O MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA BARREIRA MODIFICADA/PENALIDADE APLICADO AO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO

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1 O MÉODO DA FUNÇÃO AGRANGANA BARRERA MODFCADA/PENADADE APCADO AO PROBEMA DE FUXO DE POÊNCA ÓMO Agunaldo A. Perera Vanusa A. de ousa Departamento de Engenhara Elétrca EEC UP Unversdade de ão Paulo Av: rabalhador ãocarlense, 400, Centro , ão Carlos, P e-mal: agnld@hotmal.com vsousa@sel.eesc.usp.br Edméa C. Baptsta Departamento de Matemátca FC Unesp Unversdade Estadual Paulsta Av: Eng. uís Edmundo C. Coube, s/n, Vargem mpa , Bauru, P e-mal: baptsta@fc.unesp.br Geraldo R. M. da Costa Departamento de Engenhara Elétrca EEC UP Unversdade de ão Paulo e-mal: geraldo@sel.eesc.usp.br Neste trabalho propomos uma abordagem que utlza o método de barrera modfcada/penaldade para a resolução de problemas de fluxo de potênca ótmo. Nesta abordagem, as restrções canalzadas são tratadas pela função Barrera ogarítmca Modfcada, ou por uma Extrapolação Quadrátca e as restrções de gualdade do problema através da função agrangana. A mplementação do método consste num duplo estágo de aproxmação: um cclo externo, onde o problema restrto é convertdo em um problema rrestrto, usando a função agrangana Barrera Modfcada/Penaldade; e um cclo nterno, onde o método de Newton é utlzado para a atualzação das varáves prmas e duas. É apresentada também uma função Barrera Clássca Extrapolada para a ncalzação dos multplcadores de agrange. A efcênca do método fo verfcada aplcando a abordagem proposta no sstema elétrco de 8 barras. Palavras-chave programação não-lnear, método de pontos nterores, método de barrera modfcada, método de Newton, extrapolação quadrátca. Abstract n ths paper, we propose an approach that utlzes the penalty/modfed barrer method to solve the optmal power flow problem. n ths approach, the bound constrants are handled by the modfed log-barrer functon, or by quadratc extrapolaton and the equalty constrants of the problem through agrangan functon. he method, as mplemented, conssts of a two-stage approach: an outer cycle, where the constraned problem s transformed nto unconstraned problem, usng Penalty/Modfed Barrer agrangan functon; and an nner cycle, where the Newton s method s used for update the prmal and dual varables. Also, t s presented a Classcal Barrer Extrapolated functon for ntalzaton of agrange multplers. he effectveness of the proposed approach has been examned by solvng the 8-bus electrcal system. Keywords - Nonlnear Programmng, nteror Pont Method, Modfed Barrer Method, Newton Method, quadratc extrapolaton. [58]

2 sta de ímbolos z varáves de folga; µ parâmetro de barrera; φ(x) termo de barrera modfcada/penaldade; v, v, ξ, ξ multplcadores de agrange das restrções de desgualdade; g (x) restrções de desgualdade; β parâmetro que representa a tolerânca da aproxmação da regão factível; s parâmetro shft; λ E j e λ multplcadores de agrange para as restrções de gualdade; G FBMP gradente da função agrangana barrera modfcada/penaldade (FBMP); vetor dreção de busca; H FBMP Hessana da FBMP; p ndca o ndexador das terações nternas; α tamanho do passo; w constante suave; M termo de penaldade; ndexação referente à teração externa; V magntude da tensão na barra ; θ ângulo da tensão; p maor erro de potênca atva; q maor erro de potênca reatva. ntrodução Problemas de otmzação não-lnear são encontrados nas mas dversas áreas do conhecmento, como engenhara, químca, agronoma, medcna, entre outras. Esses problemas, em geral, nem sempre possuem uma resolução fácl, devdo à sua não-lneardade e quantdade de varáves, necesstando de métodos numércos efcentes para alcançar uma convergênca satsfatóra na determnação da sua solução. Dentre estes métodos, temos os métodos de barrera que transformam um problema restrto em um problema rrestrto e ntroduzem as restrções na função objetvo através de um parâmetro de barrera, que mpede a aproxmação de um ponto factível à frontera da regão factível. Neste trabalho é utlzada a teora dos métodos da função barrera modfcada, que fo desenvolvda por Polya, em 99, para resolver problemas de otmzação restrta. as métodos combnam as melhores propredades da função barrera clássca e função agrangana clássca. Comparadas com as funções barreras clásscas (FBC), as funções barrera modfcadas (FBM) e suas dervadas são defndas na solução, não crescem para o nfnto, sua matrz Hessana da função agrangana não se torna mal condconada e o parâmetro de barrera não necessta tender para zero durante o processo de convergênca. A qualdade mas mportante da FBM é a representação explcta da estmatva dos multplcadores de agrange, pos estes auxlam no processo de convergênca do método. Em contraste com a FC, a FBM é convexa na vznhança da solução para problemas de programação não convexos, desde que as condções de otmaldade de segunda ordem estejam satsfetas. Com a estmatva ótma dos multplcadores de agrange, o extremo rrestrto da FBM exste e concde com a solução do problema ncal. As funções duas, às quas são baseadas as FBM, são tão suave quanto às funções ncas do problema prmal. O problema dual é sempre convexo, ndependente de o problema prmal ser ou não convexo, e tem mportantes propredades locas próxmo à solução. No método proposto, neste trabalho, denomnado método da função agrangana barrera modfcada/penaldade, todas as restrções de desgualdade são do tpo maor ou gual; as varáves [583]

3 canalzadas são desmembradas em duas restrções de desgualdade, e as restrções canalzadas serão separadas em duas restrções de desgualdade e uma de gualdade, através do acréscmo de varáves de folga. odas as restrções de desgualdade são relaxadas e tratadas pela função barrera modfcada/penaldade. Assoca-se a esse problema uma função agrangana denomnada função agrangana barrera modfcada/penaldade (FBMP). As condções necessáras de prmera ordem são aplcadas a esta FBMP, gerando um sstema de equações não-lneares, o qual é lnearzado pelo método de Newton. Esse processo de lnearzação gera um sstema de equações cuja solução nos fornece as dreções de busca para atualzação das varáves prmas e duas e o passo é determnado por um procedmento de busca lnear. Os multplcadores de agrange são atualzados através de um esquema proposto por BREFED & HANNO (994c). O problema de fluxo de potênca ótmo (FPO) otmza uma função objetvo, a qual pode ser: custo de geração, perdas atva na transmssão, entre outras; sujeto a restrções de gualdade e desgualdade. As restrções de gualdade representam as equações não-lneares do fluxo de potênca e as de desgualdade os lmtes de geração de potênca atva e reatva, magntude das tensões nas barras, tap dos transformadores, fluxos de potênca atva e reatva nas lnhas de transmssão e nos transformadores, e as potêncas de ntercâmbo entre áreas. O problema de FPO fo proposto por CARPENER (96), o qual utlzou uma função agrangana clássca para resolvê-lo. Após sua formulação ncal por Carpenter, observou-se um crescente nteresse na sua resolução, pelo fato de ser uma ferramenta útl para análses e estudos nas atvdades de operação e planejamento do sstema de potênca. Na lteratura especalzada tem-se uma grande varedade de técncas aplcadas à resolução do problema de FPO, podemos ctar, entre outras, técncas de programação lnear, de programação quadrátca e os métodos de pontos nterores. Este trabalho está organzado da segunte forma: na seção é apresentada a formulação do problema de FPO para que seja aplcado o método da função agrangana barrera modfcada/penaldade (FBMP). Na seção 3 é apresentado o método da FBMP e seu algortmo. Na seção 4 a abordagem proposta é aplcada ao problema de FPO de 8 barras, e fnalmente na seção 5 são apresentadas às conclusões. A Formulação do Problema de Fluxo de Potênca Ótmo (FPO) Para o Método da Função agrangana Barrera Modfcada/Penaldade O problema de FPO pode ser formulado como: Mnmzar f(x) sujeto a: c c x c, =,..., m c ( ) hj(x) = 0, j =,..., m h (0) x x x, =,..., m sendo: f(x): perdas de potênca atva na transmssão; x = ( θ,v, t) : vetor das varáves de estado e de controle do problema; x x e x : vetor dos lmtes nferores e superores, respectvamente, das varáves de estado e de controle; h j (x) = 0 : conjunto das equações de balanço do fluxo de potênca; c (x): conjunto das restrções funconas do fluxo de potênca; c e c : lmtes nferores e superores das restrções c (x), respectvamente. No problema (0) ntroduzmos as varáves de folga z, =,..., mc, nas restrções canalzadas de tal forma que c (x) z = 0 e separamos cada uma das restrções canalzadas, em duas [584]

4 restrções de desgualdade. Construímos a função barrera modfcada/penaldade, FBMP, assocada ao problema, como segue: FBMP = f m x mc µ [ v φ( x ) + v φ( x x )] µ [ ξ φ( z c ) + ξ φ( c z )] x (0) = = em que v, v, ξ, ξ são os multplcadores de agrange das restrções de desgualdade; z é a varável de folga adconada às restrções de desgualdade canalzadas; µ é o parâmetro de barrera e φ(x) é um termo de barrera modfcada/penaldade. Para smplfcar a notação, as restrções de desgualdade ( x x, x x, z c e c z ) serão denotadas, a partr de agora, como g (x), =,..., m. A função φ é defnda por: φ ( g ) g ln ( ) s +, =,,..., m, se g x β sµ = µ (03) Q ( g ), =,,..., m, se g < β sµ em que Q = a, b, + qc,, =,,..., m, (04) ( g ) q ( g ) + q g é uma função penaldade (ou extrapolação quadrátca), β é um parâmetro que representa a tolerânca da aproxmação da regão factível e s é um parâmetro shft. Como o parâmetro β, as funções φ(g (x)) aproxmam-se das assíntotas dos termos logartmos. Os coefcentes da função penaldade (ou extrapolação quadrátca), q a,, q b, e q c,, apresentados em (04), são calculados de forma que esta função tenha o seu valor, bem como os das suas dervadas de prmera e segunda ordem concdentes com os da função logarítmca, no ponto g = βsµ, como fo proposto por BENA et al. (99), BREFED & HANNO (993). Os coefcentes da função penaldade são dados por: q a, =, q ( s µ ( β ) b, β ( 3β ), q ( ), β ( β ) ( ( ) β = c = + ln s β (05) s µ Com sso, (0) torna-se um problema de mnmzação somente com restrções de gualdade, com a segunte forma: mn FBMP x,z sujeto a: h j (x) = 0, j =,..., m h c (x) z = 0, =,..., m (06) c. Para transformarmos (06) em um problema rrestrto equvalente, construímos a função agrangana barrera modfcada/penaldade assocada a ele da segunte forma: FBMP = f mx mc µ [ vφ( x x ) + vφ( x x )] µ [ ξφ( z c ) + ξ φ( c z )] = = m + h mc E λ jh j + λ ( c z ) j= = + (07) [585]

5 em que λ E j e λ são os multplcadores de agrange para as restrções de gualdade do problema (06). Com sso, transformamos o problema (06) no segunte problema rrestrto: mn FBMP x,z (08) 3 O Método da Função agrangana Barrera Modfcada/Penaldade O método FBMP é composto por cclos: um externo e um nterno, que a segur, serão descrtas cada uma das suas etapas. 3. O Cclo nterno do método da FBMP (teração de Newton) Nesta subseção, nós apresentamos o cclo nterno do método da FBMP juntamente com a busca lnear utlzada. Uma teração deste cclo envolve a avalação de uma Hessana exata e de um gradente. A factbldade é checada para as restrções de desgualdade. e alguma delas não satsfzer a factbldade em algum passo da busca, sgnfca que o termo logarítmco de barrera modfcada assocado a esta restrção ultrapassou, ou está muto próxmo da sua assíntota, dfcultando, ou mpossbltando o cálculo do logartmo. A estratéga usada para evtar esse fato é o uso da extrapolação quadrátca (03), mudando o termo logarítmco para um termo quadrátco. Aplcando as condções de otmaldade de ª ordem na FBMP (07), obtemos um sstema não-lnear, como segue: FBMP = 0 x FBMP = 0 z FBMP = 0 E λ FBMP = 0 λ (09) Obtemos a solução do sstema não-lnear (09) utlzando o método de Newton. A aplcação do método de Newton gera as dreções de busca, sx, sz, sλ E e sλ, as quas são utlzadas para a atualzação das varáves do sstema e resulta num sstema matrcal, que, em sua forma smplfcada, é representado por: H FBMP = G FBMP (0) em que G FBMP é o gradente da FBMP (07), H FBMP é a Hessana da FBMP (07) e = (sx, sz, sλ E, sλ ) é o vetor dreçã o de busca. G FBMP O G FBMP é defndo como segue: = FBMP E ( x,z, λ, λ ) FBMP FBMP FBMP FBMP = E x z λ λ () [586]

6 em que: φ' ( g ) = µ s +, =,,..., m, se g βsµ g φ '( g ) = qa,g + q b,, =,,..., m, se < βsµ g () A Hessana da FBMP (07) é defnda por: c FBMP h 0 x x x FBMP 0 0 mc H FBMP = z (3) h c x m 0 0 c z em que φ ''( g ) =, =,,..., m, se g ( µ s ( )) βsµ + g x φ ''( g ) = q a,, =,,..., m, se < βsµ g (4) Consequentemente, os novos valores atualzados das varáves dentro do cclo nterno são dados por: X p+ =X p + α (5) em que: p = [x p p... x p p X mx z... z mc (λ E ) p... (λ E mx ) p (λ ) p... (λ mc ) p ] (6) onde p ndca o ndexador das terações nternas para a solução do problema de mnmzação nterno e α é o tamanho do passo, o qual é determnado através da busca lne ar de Armjo e satsfaz a seg unte condção: f p+ p p p ( x ) f ( x ) + w α( ) f ( x ) em que w é uma constante suave, satsfazendo 0 < <. Ajustamos o nosso α 0 (alfa ncal) com o valor. Caso a condção em (7) não seja satsfeta, α é atualzado com uma smples redução de acordo com a seqüênca: (7) α B B α = δ (8) em que δ > é usualmente ajustado para δ =. Os valores das varáves prmas são atualzados da [587]

7 segunte forma: p B+ p B p ( x ) = ( x ) + αs (9) em que s p = (sx p,sz p ) é a dreção de busca somente das varáves prmas, encontrada na resolução do sstema matrcal (0). Para a atualzação dos multplcadores de agrange assocados com as restrções de ualdade, λ E g j e λ (varáves duas), encontrados no vetor X p em (6), usaremos o esquema proposto por CHEN & VAAD (003), o qual é baseado em uma combnação convexa entre os multplcadores de agrange ((λj E ) p e (λ ) p ) obtdos no cclo nterno, usando o passo de Newton puro (α = ) e os multplcadores de agrange obtdos dentro da busca lnear ((λ E j ) B e (λ ) B ) : E B+ E B B ( ) ( ) E p E B λ = λ + α ( λ ) ( λ ) j j j j (0) B B B p ( λ ) = ( λ ) + α ( λ ) ( λ ) + B () Durante a busca lnear, essas novas atualzações, (x p ) B+, (λ E j ) B+ e (λ ) B+, serão utlzadas para estmar uma função penaldade mérto para o problema de otmzação em lugar da função objetvo f(x) em (7). A função penaldad e mérto, como proposta por CHEN & VAAD (003), toma a segunte forma: FPM + = f m x m C µ [ vφ( x x ) + vφ( x x )] µ [ ξφ( z c ) + ξ φ( c z )] a = = mh mc E [ M j, λ j ].h j + max[ M, λ ].c z j= = max () em que um termo de penaldade, M, é ntroduzdo para controlar a volação das restrções de gualdade. Atualzamos M da segunte forma: M novo atual [ M λ ] = max, em que λ representa λ E j e λ. O valor usual para ncalzação de M é 0, segundo CHEN & VAAD (003). 3. O Cclo Externo Apresentamos o cclo externo onde ocorre as atualzações dos parâmetros s, µ e β, bem como das estmatvas dos multplcadores de agrange (v, v, ξ, ξ ) e sua ncalzação. 3.. Os parâmetros s e µ Os parâmetros shft, s, servem para relaxar a regão factível para os lmtes superor e nferor em x e z. Em nosso trabalho, todos os parâmetros shfts terão valor constante gual a. O parâmetro de barrera, µ, é atualzado por uma smples regra de redução: + (3) [588]

8 µ = γ µ + (4) em que e é a ndexação referente à teração externa e γ > é um parâmetro preestabelecdo usualmente como sendo γ = ou γ = 0. O valor ncal, µ 0, é um valor postvo arbtráro, eralmente é usado µ = 0 ou µ = 0. g O Parâmetro β O parâmetro β é a tolerânca da aproxmação com relação à frontera da regão factível. Em conseqü ênca dsso, ele também pode ser nterpretado como a tolerânca da proxmdade das assíntotas dos logartmos dos termos de barrera modfcada. A déa envolvda é a evtar a dfculdade de se calcular o logartmo quando se está muto próxmo de sua assíntota, pos o logartmo tende ao nfnto. VAAD & BROOK (998) propuseram esse parâmetro constante, sto é, β = 0,9, o qual é utlzado neste trabalho Os Multplcadores de agrange das restrções de desgualdade Para atualzar os multplcadores de agrange das restrções de desgualdade, adotamos o esquema proposto por BREFED & HANNO (994c). λ + µ λ = µ s a, µ λ q g + g + q, =,,..., m, se g, =,,..., m, se g b, ( ) β s µ < β s µ (5) em que λ agora representa todos os multplcadores de agrange (v, v, ξ e ξ ) para as restrções de desgualdade; g (x) representa todas as restrções de desgualdade e é a ndexação referente à teração externa ncalzação dos Multplcadores de agrange Com o objetvo de determnarmos uma boa estmatva para os multplcadores de agrange, nos baseamos no esquema de ncalzação proposto por FACCO & MCCORMCK (968): estmado µ = g λ (6) onde x é o valor encontrado pelo estágo externo do método da FBC. A fórmu la (6) fornece uma estmatva para os multplcadores de agrange (v, v, ξ e ξ ) baseada na solução encontrada pelo método da função barrera clássca logarítmca (FBC) Esquema de Extrapolação da FBC Como no método FBMP, um esquema de extrapolação é ntroduzdo no método FBC, determnando a função agrangana barrera clássca/penaldade, FBCP. Deste modo, o método da FBCP fornece os valores utlzados no cálculo das estmatvas dos multplcadores de agrange λ (6). A FBCP tem a segunte forma: [589]

9 FBCP = f em que: m x µ [ φfbc ( x x ) + φfbc ( x x )] µ = mc m h m c E [ φfbc( c ) + φfbc( c z )] + λ jh j + λ c = j= = ( z ) z (7) φ FBC ( g ) = ln( g ), =,,..., m, se g ( β) sµ φ (g ) Q ( g ) ( β) s µ FBC =, =,,..., m, se g (8) < com: Q ( g ( )) ( ( )) x = a g x + b g + c ; (9) a =, (( β) µ ) s b = e c ( β) = ln( ( β) sµ ) s µ 3 (30) O método de Newton para o método da FBCP é análogo ao da FBMP, substtundo FBMP por FBCP e calculando o gradente, a Hessana e a função penaldade mérto com relação a essa função. Fxamos o número de terações do método FBCP em uma ou duas e obtemos valores estmados para as varáves prmas e duas. Esses valores serão utlzados no cálculo das estmatvas dos multplcadores de agrange de acordo com (6). O método FBMP será então ncado tendo esses valores como solução ncal. 3.3 Algortmo O algortmo do método da função agrangana barrera modfcada/penaldade se dvde em duas partes: algortmo da ncalzação com a FBCP e algortmo da FBMP: 3.3. Algortmo da ncalzação com a FBCP P asso ncal Dado o problema (0) construa a FBCP conforme a seção 3..3.; Faça K= 0; Escolha uma solução ncal para as varáves do problema: x 0, z 0, (λe) 0 e (λ) 0. Passo teratvo ) Determne o sstema para a FBCP análogo ao sstema (09) e resolva-o; 0 0 E 0 ) Atualze as varáves: x e z utlzando (9), (λ ) e (λ ) 0 utlzando (0) e (); 3) e o crtéro de parada para o método de Newton está satsfeto, vá ao passo 4); enão, volte ao passo ); 4) e as varáves do problema satsfazem as condções de KK ou se K >, calcule as estmatvas dos multplcadores de agrange (v, v, ξ e ξ ) utlzando (6) e FM; enão, vá ao passo 5); 5) Atualze o fator barrera utlzando (4), faça K= K+ e volte a ). [590]

10 3.3. Algortmo da FBMP Passo ncal nce as varáves com o algortmo 3.3.; Dado o problema (0) construa a FBMP (07); Faça K= 0; Passo teratvo ) Determne o sstema (09) e resolva-o; ) Atualze as varáves: x 0 e z 0 utlzando (9) e (λ E ) 0 e (λ ) 0 utlzando (0) e (); 3) e o crtéro de parada para o método de Newton está satsfeto, vá ao passo 4); enão, volte ao passo ); 4) e as varáves do problema satsfazem as condções de KK, FM. enão, vá ao passo 5); 5) Atualze o fator barrera utlzando (4) e os multplcadores de agrange (v, v, ξ e ξ ) utlzando (5), faça K= K+ e volte a ). 4 Exemplo Para comprovar a efcênca da abordagem proposta, esta fo aplcada ao problema de FPO referente ao sstema EEE 8 barras, ver sto Neste problema de FPO utlzamos a função objetvo perdas de potênca atva na transmssão. Esta é uma função não-lnear, não convexa e não separável. O algortmo fo mplementado em MAAB, usando dupla precsão artmétca em um mcrocomputador Pentum V GHz, com 56 Mbytes de memóra RAM. O sstema EEE 8 barras possu as seguntes característcas: uma barra de referênca; 5 barras de controle de reatvo (NBCR); 66 barras de carga (NBC) e 79 lnhas de transmssão. ua estrutura matemátca é dada por: Mnmzar f(v, θ) sujeto a: P (V, θ) = 0, =,..., NBC NBCR ( V, θ ) = 0, j =,...,NBC Q V Q j mn m mn max Q (V,θ) Q, m =,..., NBCR (3) m m max V V, =,..., NB em que: NB é o número total de barras da rede elétrca, V é a magntude da tensão na barra, e θ é o ângulo da tensão. O problema de FPO assocado ao sstema EEE 8 é composto por uma função objetvo, 83 restrções de gualdade e 68 restrções canalzadas. O método da FBMP assocado a este problema tem, obedecendo a sua formulação, um total de 454 varáves com a sua matrz hessana de ordem 689. Os parâmetros utlzados para resolver o sstema EEE 8, pelo método da FBMP são dados a segur: todos os multplcadores de agrange relaconados com as restrções de gualdade (λ E e λ ) foram todos ncados com o valor ; todas as varáves de folga foram ncalzadas com valor 0. O fator de barrera ncal fo µ 0 = 0 e parâmetro γ = 0. As abelas e mostram o desempenho da fase de ncalzação com o método da FBCP e do método da FBMP. Os dados apresentados nas tabelas não estão em p.u. [59]

11 abela - Convergênca para o sstema de 8 barras na ncalzação com o método da FBCP. t. Perdas Atva Máxmo p Máxmo q 0 0, ,0000 9,800 7,7365 0,003 0,000 7,50 0,008 0,000 abela - Convergênc a para o sstema de 8 barras com o método da FBMP. t. Perdas Atva Máxmo p Máxmo q 0 7,50 0,008 0,000 6,83 0,0038 0,000 6,400 0,0057 0, ,030 0,0074 0,0005 No estado fnal do sstema de 8 barras, todas as tensões e potêncas reatvas permaneceram dentro do s seus lmtes; a solução fnal ob edeceu a todas as restrções do sstema, satsfazendo as condções de KK com uma precsão de 0 5 p.u. 4. este Comparatvo Um teste comparatvo com o método prmal-dual barrera logarítmca (PDB) utlzando o sstema de 8 barras fo realzado para verfcarmos o desempenho computaconal do método. O ponto n cal é o mesmo usado no método da FBCP e o parâmetro de barrera ncal fo µ 0 = 0 3. A abela 3 mostra o processo de convergênca do método PDB. abela 3 - Convergênca para o sstema de 8 barras com o método PDB. t. Perdas Atva Máxmo p Máxmo q 0 0, ,0000 9,800 5,9787 9, ,568 8,589,308,38 3 7,678 0,5 0, ,5687 0,047 0, ,655 0,0048 0, ,95 0,0044 0, ,663 0,007 0, ,3050 0,04 0, ,030 0,0038 0,006 Observamos da abela 3 que para o sstema de 8 barras o método da FBMP convergu com menos terações que o método PDB. Assm, para esse sstema a abordagem proposta apresentou um melhor desempenho compu taconal. 5 Conclusões Neste trabalho fo proposta uma abordagem para a resolução de problemas de fluxo de potênca ótmo utlzando a função agrangana barrera modfcada/penaldade. [59]

12 Construímos a função agrangana barrera modfcada/penaldade, na qual as restrções canalzadas são tratadas ou pelo método de barrera modfcada ou por uma extrapolação quadrátca (penaldade). O algortmo fo baseado na solução de uma seqüênca de problemas de mnmzação rrestrta, parametrzados pela barrera, e pelas estmatvas dos multplcadores de agrange assocados com função barrera modfcada. Esse algortmo envolve terações nternas (Newton) e externas (barrera modfcada). A cada teração externa, os parâmetros de barrera e as estmatvas dos multplcadores de agrange da função barrera modfcada/penaldade são atualzados. A teração nterna corresponde a um processo para mnmzação de um problema rrestrto em que os parâmetros de barrera e as estmatvas dos multplcadores de agrange estão fxos. As varáves prmas e duas são atualzadas pelos fatores de correção, orgnados da teração nterna, e pelos passos prmas e duas respectvamente. Um algortmo para a ncalzação dos multplcadores de agrange fo utlzado, baseado na função agrangana barrera clássca/penaldade. Uma das vantagens deste método é que o fator de barrera não tende ao nfnto quando o ótmo se aproxma e a convergênca do método é acelerada. Além dsso, não há a necessdade, como no método PDB, em ajustar o parâmetro de barrera ncal de acordo com o problema ou o número de varáves. Os resultados numércos apresentados neste trabalho evdencam o potencal desta metodologa para a resolução do problema de FPO. Referêncas BEN-A, A.; BUEVK, M.; and YUEFOVCH,. (99). Modfed barrer methods for constraned and mnmax problems. echncal report, Optmzaton aboratory, Faculty of ndustral Engneerng and Management, echnon (srael nsttute of echnology). BREFED, M. G.; and HANNO, D. F. (993). Prelmnary computatonal experence wth shfted log-barrer functons for large-scale nonlnear programmng. echncal Report, Rutgers Center for Operatons Research, Rutgers Unversty, New Brunswc NJ. BREFED, M. G.; and HANNO, D. F. (994c). A globally convergent penalty-barrer algorthm for nonlnear programmng and ts computatonal performance. echncal report RRR - 94, Rutgers Center for Operatons Research and Graduate chool of Management, Rutgers Unversty, New Brunswc, NJ 08903, UA. CARPENER, J.. (96). Contrbuton a etude du Dspatchng Economque. Bull-oc. Fr Elec., er. B3, CHEN. W. C.; and VAAD V.. (003). oluton of general nonlnear optmzaton problems usng the penalty/modfed barrer method wth the use of exact Hessans. Computer and Chemcal Engneerng 7, FACCO, A. V.; and McCORMCK, G. P. (968). Nonlnear Programmng: equental Unconstraned Mnmzaton echnques, New Yor, John Wley & ons. POYAK, R. (99). Modfed barrer functons. Mathematcal Programmng, 54 (), 77-. VAAD, V..; and BROOK,. A. (998). Applcaton of the modfed barrer method n large-scale quadratc programmng problems. Computer and Chemcal Engneerng, [593]