UMA ABORDAGEM BASEADA EM REDES NEURAIS ARTIFICIAIS E LÓGICA NEBULOSA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE DESPACHO ECONÔMICO

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1 A pesqusa Operaconal e os Recursos Renováves 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN UMA ABORDAGEM BASEADA EM REDES NEURAIS ARTIFICIAIS E LÓGICA NEBULOSA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE DESPACHO ECONÔMICO Letca Takahash Unversdade Estadual Paulsta UNESP Bauru SP Departamento de Engenhara Elétrca takahash_let@yahoo.com.br Leonardo Nepomuceno Unversdade Estadual Paulsta UNESP Bauru SP Departamento de Engenhara Elétrca leo@feb.unesp.br Ivan Nunes da Slva Unversdade Estadual Paulsta UNESP Bauru SP Departamento de Engenhara Elétrca van@feb.unesp.br Resumo: Problemas de Despacho Econômco (DE) têm sdo resolvdos por uma varedade de técncas de otmzação. Neste trabalho, a formulação do problema de DE é resolvda por uma abordagem neural utlzando um controlador lógco nebuloso. Uma rede neural de Hopfeld Modfcada é desenvolvda com a fnaldade de resolver problemas de DE com representação do sstema de transmssão. O sstema de transmssão é representado através de equações de fluxo de carga lneares e restrções nos fluxos de potênca atva. Um controlador lógco nebuloso é desenvolvdo para acelerar a taxa de convergênca da rede. A vantagem desta abordagem está relaconada à convergênca efcente em dreção aos pontos de equlíbro factíves. Exemplos de smulação da abordagem neural/fuzzy proposta são apresentados e comparados com o problema de DE resolvdo sem a mplementação do controlador lógco nebuloso. Os resultados demonstram que o desenvolvmento do controlador lógco nebuloso fornece uma melhora sgnfcatva na convergênca da rede neural. Palavras-Chaves: Redes Neuras Artfcas, Despacho Econômco, Sstemas Fuzzy, Redes de Hopfeld, Otmzação Neural. Abstract: Economc Dspatch (ED) problems have been solved by a varety of optmzaton technques. In ths work, the soluton of the proposed ED problem s acheved by a neural network approach wth an embedded fuzzy logc controller. A Modfed Hopfeld Network s developed wth the purpose to solve ED problems nvolvng representaton of the transmsson system. The transmsson system s represented through lnear load flow equatons and lmts on actve power flows. The man advantage of ths topology s effcency of convergence toward feasble equlbrum ponts. The fuzzy logc controller s developed to speed up the convergence propertes of the network. Examples of smulaton nvolvng the proposed neural/fuzzy approach are presented and compared to results presented by the same neural approach wthout the mplementaton of the fuzzy logc controller. The results demonstrate that the development of the fuzzy logc controller mproves sgnfcantly the neural network convergence. Keywords: Artfcal Neural Networks, Economc Dspatch, Fuzzy Sets, Hopfeld Networks, Neural Optmzaton.

2 . Introdução O problema de Despacho Econômco (DE) consste em dstrbur níves de geração às undades geradoras a fm de suprr nteramente a demanda da manera mas econômca e respetando os lmtes operaconas dos sstemas de geração e transmssão. Mutos problemas de DE foram propostos na lteratura apresentando dferentes níves de representação para os sstemas de transmssão e geração. Uma revsão dos avanços desta área é apresentada em Chowdhury e Rahman (990). O Despacho Econômco Clássco (DEC) dscutdo em Chowdhury e Rahman (990) é o ponto ncal dos problemas de DE. O DEC se preocupa com a mnmzação dos custos operaconas totas enquanto supre ntegralmente a demanda do sstema e mpõe lmtes aos níves de geração. Nos procedmentos do DEC, a representação da rede de transmssão é totalmente desprezada. Com sso, o DEC pode calcular dstrbuções que não levam em consderação mportantes restrções de potênca atva, tas como fluxos de potênca atva nas lnhas de transmssão e transformadores; e anda, equações de fluxo de carga no sstema de transmssão. Na formulação de despacho econômco estudado neste trabalho, uma representação detalhada do sstema de transmssão é adotada. A representação do sstema de transmssão é ncorporada através de equações de fluxo de carga lneares e lmtes nos fluxos de potênca atva. A formulação do problema de DE é resolvda utlzando uma rede de Hopfeld Modfcada e um controlador lógco nebuloso para acelerar a taxa de convergênca da rede. Algumas aplcações efetvas de redes neuras artfcas em problemas de DE têm sdo apresentadas na lteratura. Em Walsh e O Malley (997) uma abordagem buscando unfcar o problema de unt commtment e funções de despacho de geração é descrta. Nesta abordagem é proposta uma rede de Hopfeld híbrda, uma vez que a função de energa desta rede é capaz de ldar com termos dscretos e contínuos. Em Park et al. (993) uma rede neural de Hopfeld é proposta para resolver um problema de DEC com funções de custo não-convexas. O esforço computaconal para resolver o problema é alto devdo ao grande número de terações para obter a precsão desejada. Em Su e Chou (997a) um método analítco de Hopfeld é proposto, reduzndo consderavelmente este esforço computaconal. Entretanto, o método não é aplcável a funções de custo não-convexas. Em Su e Chou (997b), um modelo de Hopfeld para problemas de DE consderando zonas probdas fo desenvolvdo. A maora das aplcações neuras descrtas acma apresenta problemas de convergênca para os pontos de equlíbro que representam soluções factíves para o problema de despacho. Uma análse cudadosa dos resultados apresentados em alguns destes artgos revela que soluções nfactíves são, algumas vezes, obtdas. Na abordagem de Hopfeld modfcada proposta em Slva e Nepomuceno (200) para resolver o problema de DEC, a função custo e as restrções envolvdas no mapeamento do problema são tratadas em dferentes estágos. A abordagem de Hopfeld modfcada garante a convergênca da rede para soluções ótmas factíves (Slva et al., 2000). Os problemas assocados com velocdade de convergênca, descrtos em Walsh e O Malley (997) e em Park et al. (993), foram também satsfatoramente tratados em Slva e Nepomuceno (200). Como demonstrado em Slva et al. (2000), a rede de Hopfeld modfcada é também aplcável se funções de custo não-convexas são utlzadas no problema de despacho. Este trabalho aplca a rede de Hopfeld modfcada descrta em Slva e Nepomuceno (200) para resolver um problema de despacho mas representatvo, no qual o sstema de transmssão é descrto em mas detalhe. Além dsso, um controlador lógco nebuloso é desenvolvdo para acelerar a taxa de convergênca da rede. O problema de despacho econômco estudado e a abordagem neural adotada são descrtos nas seções a segur. 2. Descrção do Modelo de despacho Adotado A formulação de Despacho Econômco (DE) adotada neste trabalho é matematcamente descrta pelo segunte problema de otmzação: 230

3 onde: Mn DE s. a. : C T é o custo total de combustível. NG é o número de geradores dsponíves. C (P ) = a + b.p + c. 2 P é o custo de geração da undade. P é a potênca atva de saída da undade. a, b e c são os coefcentes de custo para a undade. P é o vetor das njeções líqudas de potênca atva. B é a matrz de susceptâncas da rede. θ é o vetor dos ângulos das tensões. mn P é a mínma geração de saída da undade. NG C T = C ( P ) ( a ) = P = B. θ ( b ) () mn P P P ( c ) mn F F ( θ ) F ( d ) P é a máxma geração de saída da undade. F (θ)=(θ k θ l )/x kl é o fluxo de potênca atva no ramo (lnha ou transformador) conectando as barras k e l. θ k é o ângulo de tensão na barra k. x kl é a reatânca no ramo conectando as barras k e l. O modelo DE descrto em () representa as equações de fluxo de potênca atva (b) de forma lnear. As equações (c) e (d) representam respectvamente os lmtes na geração de potênca atva e nos fluxos de potênca atva no sstema de transmssão. Esses fluxos no sstema são também representados por equações lneares. A função quadrátca de custo (ª) é também algumas vezes expressa por um polnômo do tercero grau (Jang e Ertem, 995). Para usnas térmcas, a função custo pode também ser representada como uma função quadrátca por partes (Park et al., 993). Isto não representa um problema para a abordagem proposta, uma vez que a mesma é capaz de tratar funções de custo geras não-convexas. 3. Rede Neural de Hopfeld Modfcada Fuzzy (RHMF) As redes de Hopfeld têm sdo aplcadas em dversas classes de problemas de otmzação, demonstrando grande habldade na resolução destes tpos de problemas. A equação nodal para a rede de Hopfeld contínua no tempo é defnda por: n u ( t) = η. u ( t) + Tj. v j ( t) + b j= & (2) v (t) = g (u (t)) (3) onde: u(t) é o estado corrente do -ésmo neurôno. Tj é o peso unndo o j-ésmo ao -ésmo neurôno. Vj(t) é a saída do j-ésmo neurôno. b vetor de entradas do -ésmo neurôno (offset bas). η.u(t) é um termo de decamento passvo. G(u(t)) é a função de atvação de cada neurôno. 23

4 Nota-se que g(u(t)) é uma função de atvação, monotcamente crescente, que lmta a saída de cada neurôno em um ntervalo pré-defndo. Pode ser verfcado em Hopfeld (984) que os pontos de equlíbro da rede correspondem aos valores v(t) para os quas a função de energa (função de Lyapunov) da rede é mnmzada: E(t) = v T (t).t.v(t) v T (t). b (4) 2 O mapeamento do DE usando uma rede de Hopfeld consste em se determnar a matrz de pesos T (smétrca) e o vetor de entradas b assocados à função de energa da rede. Esta função, por sua vez, deve ser assocada à função objetvo e às restrções, descrevendo o problema a ser resolvdo. Neste artgo, a função de energa E(t) fo modfcada de modo a consstr de 2 termos de energa. A função de energa modfcada E m (t) é defnda como segue: E m (t) = E conf (t) + E ot (t) (5) onde E conf (t) é um termo de confnamento que agrupa as restrções dadas por (b), (c) e (d); e E ot (t) é um termo de otmzação que conduz a saída da rede aos pontos de equlíbro. Este método dfere da maora das abordagens neuras usadas em problemas de DE, os quas tratam termos de otmzação e restrções em uma únca função de energa. Smlarmente a (4), E ot e E conf são defndas por: ot ot T ot E ( t) = v ( t) T v( t) v ( t) (6) 2 conf conf T conf E ( t) = v ( t) T v( t) v ( t) (7) 2 A rede aqu descrta atua com o propósto de mnmzar smultaneamente a função de energa E ot correspondente à função objetvo e o conjunto de funções ( E ) descrevendo as k-ésmas restrções envolvdas no problema. Se qualquer uma destas restrções for volada, a solução é consderada nválda. Conforme dscutdo em Slva e Nepomuceno (200), a rede neural de Hopfeld Modfcada tem o seu desempenho bastante afetado pela escolha de um valor fxo para o passo t. Para contornar este problema propõe-se neste trabalho a mplementação da rede de Hopfeld Modfcada Fuzzy com taxa de convergênca (passo) calculada por um controlador lógco nebuloso. A operação da rede de Hopfeld Modfcada Fuzzy consste de quatro passos prncpas descrtos a segur e mostrados na Fg.. Passo (I): Mnmzação de E conf, correspondendo à projeção de v no subespaço-váldo defndo por: v = T val.v + s (8) onde: T val é uma matrz projeção. Assm, qualquer componente de v que seja ortogonal a T val.v é desprezada. Esta operação realza uma mnmzação ndreta de E conf. Passo (II): Aplcação de uma função de atvação do tpo rampa smétrca não-lnear restrngndo vem um hpercubo: onde v [lm, lm ]. nf nf nf lm, se lm > v r nf sup g ( v ) = v, se lm v lm (9) sup sup lm, se v > lm sup conf k 232

5 Passo (III): Determnação da taxa de convergênca t (tamanho do passo) da rede através do controlador lógco nebuloso. Passo (I) v =T val.v + s Passo (II) v v v Passo (III) t CL v v+ v Passo (IV) v= t(t ot.v+ ot ) t,v Fgura Rede de Hopfeld Modfcada Fuzzy (RHMF) Passo (IV): Mnmzação de E ot, o que envolve a atualzação de v na dreção da solução ótma (defnda por T ot e ot ) correspondendo aos pontos de equlíbro da rede. Estes pontos são também as soluções para o problema do despacho econômco, desde que o gradente em relação ao termo de energa E ot seja aplcado. Utlzando a função de atvação rampa-smétrca e dado que η=0, tem-se: v(t)= g r ( u( t)) = u( t) (0) ot dv( t) E ( t) = v& = dt v () v = t. E ot (v) = t.(t ot.v + ot ) (2) Desta forma, a mnmzação do termo E ot consste em atualzar v na dreção oposta ao gradente de E ot em relação a v. Estes resultados também são váldos quando uma função de atvação do tpo tangente hperbólca for utlzada. Como vsto na Fg., cada teração possu 2 estágos dferentes. Prmero, como descrto no Passo (IV), v é atualzado usando o gradente do termo E ot separadamente. Em seguda, após cada atualzação, v é dretamente projetado no subespaço-váldo. Este é um processo teratvo, no qual v é prmeramente projetado ortogonalmente no subespaço-váldo e em seguda é lmtado pela função de atvação rampasmétrca (9) dentro do ntervalo [lm, lm nf sup ]. 4. Mapeamento Do problema (DE) Pela Rede de Hopfeld Modfcada Como observado na seção 2, o problema de despacho econômco consste em mnmzar uma função custo na presença de restrções lneares de gualdade e desgualdade. Uma vez que restrções de gualdade podem ser faclmente convertdas em restrções de desgualdade assumese, por smplcdade, apenas restrções de desgualdade. Consdere o segunte problema de otmzação restrta, com m restrções e n varáves, defndo pelas seguntes equações: Mn s.a.: E E conf z mn ot (v) = C ( v) : A T v z T. v b (3) 233

6 onde A R nxm, b R m, e c, v, z mn, z R n. As restrções de desgualdade em (3) defnem as fronteras de um poledro convexo. No problema DE temos v T = [P T F T ], o qual deve permanecer dentro deste poledro caso o mesmo represente uma solução válda para o problema. A técnca do subespaço-váldo garante que a prmera restrção de desgualdade em (3) seja satsfeta. Além dsso, o hpercubo ncal representado pelas restrções canalzadas em (3) é mapeado dretamente pela função rampa-smétrca (9) usada como uma função de atvação da rede. Os termos T conf e conf são calculados pela transformação das desgualdades em (3) em gualdades, ntroduzndo-se varáves de folga w R n, conforme a segur. q g ( v ) + δ j. w j = 0 (4) j= sendo que δ j é defndo pela função mpulso de Kronecker:, se = j δ j = (5) 0, se j Após esta transformação, o problema defndo em (3) pode ser rescrto como: Mn s. a.: E conf z E ( v) : ( A mn ot 0 v ( v) = C v T + T ). v z z = b + {.. n} { n +.. N + } (6) onde N + = n + m, e v +T = [v T w T ] R N+ é um vetor de varáves estenddas. Como no problema DE as lnhas de A + são lnearmente ndependentes, então a solução para a restrção de gualdade de (6) será dada por: v + = A +.( A +T.A + ) -.b + (7) e a expressão do subespaço-váldo em (8) deve levar em consderação esta solução,.e.: conf = A +.( A +T.A + ) -.b + (8) O parâmetro T conf é deduzdo como segue: v + = T conf.v + + conf (9) v + = T conf.v + + A +.( A +T.A + ) -.b + (20) A expressão para T conf é dada por: T conf = I A +.(A +T.A + ) -. A +T (2) onde I é a matrz dentdade. Os parâmetros T ot e ot neste caso são tas que o vetor v + é atualzado na dreção oposta ao gradente da função de energa E ot. Uma vez que as condções dadas no problema (6) defnem um poledro convexo fechado, então sua função objetvo possu um únco mínmo global ( T op =0 ). Assm, usando (4) e (2), os pontos de equlíbro da rede podem ser calculados assumndo-se os seguntes valores para T ot and ot : ot f ( v) f ( v) f ( v) = L v v2 vn (22) T ot = 0 (23) 234

7 5. Controlador Lógco Nebuloso Sstemas lógcos nebulosos, ntroduzdos por (Zadeh, 965), permtem a manpulação de nformações ncertas. Em um controlador baseado em regras, as varáves de entrada são normalzadas e convertdas em representações nebulosas. As bases de regras são executadas em paralelo, produzndo conseqüentemente uma regão nebulosa para cada varável. Em seguda, as regões são convertdas em valores crsp (não-nebuloso) com o objetvo de determnar uma ação de controle (não nebulosa) que melhor represente a decsão nebulosa. Na teora clássca de conjuntos, os conjuntos são dtos crsp, de tal forma que um dado elemento do unverso de dscurso (domíno) pertence ou não pertence ao referdo conjunto. Na teora dos conjuntos nebulosos, consdera-se ncalmente um unverso de dscurso U, onde u é um elemento genérco. Um conjunto nebuloso F, defndo neste unverso, é caracterzado por uma função de pertnênca µ F (.) sobre o ntervalo [0,]. O grau de pertnênca do elemento u ao conjunto F é dado pelo valor µ F (u). Consderando dos conjuntos nebulosos A e B em U, as três operações báscas podem ser defndas através de suas funções de pertnênca ( µ A e µ B ) dadas por: Unão: µ A B = { µ A ( u), µ B ( u) } Interseção: µ = mn{ µ ( u), ( u) } A B A µ B µ = µ A ( u A Complemento: ) Um sstema de decsão nebuloso, ou controlador nebuloso, é então formado por um conjunto de regras de controle, às quas se assocam mplcações nebulosas utlzando as operações precedentes. Uma regra nebulosa típca Se (x é A e y é B ) então (Z é C ) é 235

8 lngüístca de entrada tem valores no segunte conjunto de termos: muto pequeno (MP), pequeno (PE), médo (ME), grande (GR) e muto grande (MG). Para a varável de saída t, os valores são: pequeno (PE), médo (ME) e grande (GR). As funções de pertnênca para as varáves lngüístcas do controlador são dadas na Fgura 2. µ MP PE ME GR MG µ E 0 / 6 E 0 / 3 E 0 / 2 E 0 / 3 E 0 / 6 E0 ot E MP PE ME GR MG µ EQ / 6 EQ/ 3 EQ0 / 2 EQ0 / 3 EQ0 / 6 EQ0 0 0 EQM PE ME GR x t = 0 x = - 4 x = - 3 x=-2 x=- x= 0 Fgura 2 - Funções de Pertnênca do Controlador Nebuloso Os valores de t são obtdos pela aplcação de regra de nferênca composconal de Zadeh em regras do tpo Se (EQM é grande) e ( E é pequeno) então ( t é médo). Para cada regra, dada na Tabela, o grau de atvação da ação de controle é calculado de acordo com o resultado da combnação de seus antecedentes e conseqüentes. Tabela - Conjunto de Regras Nebulosas t E ot (t) EQM(t) MP PE ME GR MG MP PE PE ME ME ME PE PE PE ME ME GR ME ME ME ME GR GR GR ME ME GR GR GR MG ME GR GR GR GR 236

9 Os parâmetros E0 e, EQM 0 dferentes em cada tpo de problema a ser resolvdo pela rede, são obtdos após as prmeras terações executadas pela rede. Após a aplcação do procedmento de nferênca, o valor crsp (não nebuloso) de t é calculado pelo método do centro de área (CDA), dado pela fgura 2. n µ B' ( vk ). vk k= CDA = n µ B' ( vk ) k= onde n é o número de níves de quantzação da saída, ou seja, o número de segmentos gerados pela dscretzação do unverso de dscurso. 6. Resultados Esta seção mostra alguns resultados de smulação envolvendo o sstema teste de 4 barras do IEEE, no qual 5 undades geradoras sustentam toda a demanda, que é de 259 MW. De posse dos dados fornecdos pela Tabela 2, alguns casos são analsados a fm de avalar a sensbldade da abordagem de Hopfeld proposta com relação a algumas característcas de modelagem específcas (restrções, função objetvo, etc.). Tabela 2 - Parâmetros Incas mn Undade a b c P (MW) P (MW) Caso I - Os resultados computados pela rede de Hopfeld Modfcada (RHM) e rede de Hopfeld Modfcada Fuzzy (RHMF) são apresentados na Tabela 3. Tabela 3 - Resultados da Smulação (Caso I) Rede P (MW) P 2 (MW) P 3 (MW) P 6 (MW) P 8 (MW) RHM RHMF As fguras 3 e 4 mostram, respectvamente, a evolução da função custo durante a convergênca da rede de Hopfeld Modfcada (RHM) e da rede de Hopfeld Modfcada Fuzzy (RHMF). A rede atngu a solução de custo mínmo em aproxmadamente 30 terações para RHM e 9 terações para RHMF. Desta forma, problemas relaconados ao passo de teração são contornados na RHMF, onde a velocdade de convergênca fo acelerada. 237

10 Função Custo ($) Função Custo ($) Número de Iterações Número de Iterações Fgura 3 RHM (Caso I) Fgura 4 RHMF (Caso I) Caso II - No Caso II, o lmte máxmo de geração para a undade 8 fo modfcado para 20 MW de modo a verfcar o comportamento da rede nos casos em que lmtes na geração devam ser forçados. O despacho calculado pelo modelo proposto é mostrado na Tabela 4. Como pode ser vsto nesta tabela, a geração de saída para a undade 8 fo convenentemente fxada em seu valor máxmo (20MW). Tabela 4 - Restrngndo a Geração (Caso II) Rede P (MW) P 2 (MW) P 3 (MW) P 6 (MW) P 8 (MW) RHM RHMF A evolução da função custo para este caso é apresentada nas Fguras 5 e 6. A rede neural atngu a solução em aproxmadamente 40 terações para a rede de Hopfeld sem a mplementação de um controlador lógco nebuloso. Já, com a mplementação de um controlador lógco nebuloso, a rede neural atngu a solução em aproxmadamente 7 terações. Função Custo ($) Função Custo ($) Número de Iterações Fgura 5 - RHM (Caso II) Número de Iterações Fgura 6 - RHMF (Caso II) 238

11 Caso III - Para o Caso III analsa-se o comportamento da rede de Hopfeld quando lmtes no fluxo de potênca atva são forçados. Neste caso, os lmtes em duas lnhas do sstema (conectando as barras -5 e 7-9), seleconadas aleatoramente, são fxados em zero, smulando uma contngênca dupla de lnhas. O novo despacho calculado pelo método proposto é apresentado na Tabela 5. Tabela 5 - Contngênca na Lnha (Caso III) Rede P (MW) P 2 (MW) P 3 (MW) P 6 (MW) P 8 (MW) RHM RHMF As Fguras 7 e 8 mostram a evolução da função custo para este caso. A partr desta fgura pode ser notado que o número de terações fo realmente pequeno (foram necessáras 8 terações para RHM e 3 terações para RHMF). Neste caso, o número de terações em RHMF também fo menor que em RHM. Função Custo ($) Função Custo ($) Número de Iterações Fgura 7 - RHM (Caso III) Número de Iterações Fgura 8 - RHMF (Caso III) 7. Conclusões Neste trabalho, uma rede de Hopfled modfcada (RHMF) fo utlzada para mapear o problema de despacho econômco. O desempenho da rede neural de Hopfeld sem a mplementação de um controlador lógco nebuloso (RHM) é afetado pelo uso de um passo de teração ( t) fxo. Para um t pequeno, a convergênca para os pontos de equlíbro é lenta, enquanto que para um t grande, a precsão destes pontos de equlíbro é prejudcada. Com a fnaldade de contornar estes problemas, um controlador lógco nebuloso fo mplementado. Para a rede de Hopfeld Modfcada Fuzzy, o passo de teração é automatcamente calculado através de um controlador lógco nebuloso, cujos objetvos são: ) acelerar a convergênca da rede ) garantr a precsão dos pontos de equlíbro ) tornar o cálculo do tamanho do passo ndependente do problema. Os resultados, comentáros e gráfcos apresentados demonstram a 239

12 efcênca da abordagem proposta. Em todos os casos a velocdade de convergênca da rede fo maor no método em que o controlador lógco nebuloso fo mplementado. Esse fato vem confrmar que a abordagem proposta é robusta e possu boas característcas de convergênca quando aplcada no tratamento do despacho de potênca. 8. Referênca Bblográfca Ayer, S.V.B., M. Nranjan and F. Fallsde (990). A theoretcal nvestgaton nto the performance of the Hopfeld Model. IEEE Trans. on Neural Networks,, Chowdhury, B.H. and S. Rahman (990). A revew of recent advances n economc dspatch. IEEE Trans. Power Systems, 5, Hopfeld, J.J. (984). Neurons wth a graded response have collectve computatonal propertes lke those of two-state neurons. Proc. of the Natonal Academy of Scence, 8, Hopfeld, J.J. and D. W. Tamk.(985) Neural Computaton of decsons n optmzaton problems. Bologcal Cybernetcs, vol. 52, pp Jang, A. and S. Ertem (995). Economc dspatch wth non-monotoncally ncreasng ncremental cost unts and transmsson system losses. IEEE Trans. Power Systems, 0, Park, J. H., Y. S. Kn, I. K. Eom and K. Y. Lee (993). Economc load dspatch for pecewse quadratc cost functon usng Hopfeld neural network. IEEE Trans. Power Systems, 8, Slva, I. N., L. V. R. Arruda and W. C. Amaral (2000). A modfed Hopfeld archtecture for solvng nonlnear programmng problems wth bounded varables. Neural Network World, 0, Slva, I. N. and L. Nepomuceno (200). An effcent neural approach to economc load dspatch n power systems, IEEE PES Summer Meetng, Vancouver, CD-Rom. Su, C.-T. and G.-J Chou (997a). A fast-computaton Hopfeld method to economc dspatch of power systems. IEEE Trans. Power Systems, 2, Su, C.-T. and G.-J. Chou (997b). An Enhanced Hopfeld Model for Economc Dspatch Consderng Prohbted Zones. Electrc Power Systems Research, 42, Walsh, M.P. and M.J. O Malley (997). Augmented Hopfeld network for unt commtment and economc dspatch. IEEE Trans. Power Systems, 2, Zadeh, L.A.(965) Fuzzy Sets. Informaton and Control, vol.8, pp Zadeh, L.A. (973) Outlne of a new approach to the analyss of complex system and decson processes. IEEE Trans. On Systems, Man and Cybernetcs, vol. SMC-3, pp