CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 8 CÔNICAS

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1 Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru CAPÍTULO 8 CÔNICAS Muits descoerts iorttes e teátic e e outrs ciêcis estão relciods às seções côics. Desde os teos dos gregos clássicos coo Arquiedes, Aolôio etre outros, já hvi estudos sore esss curvs. No teto "Eleetos de Euclides" (70.C.) trtv de elises, hiéroles e ráols ou, r usros o oe cou, seções côics. Ests são curvs otids qudo u lo itercet u coe de revolução. Eiste u teori colet ds côics u trtdo de Aolôio (00.C.). Ele ostr, or eelo, que u elise é o lugr descrito or u oto que se oviet de tl odo que so de sus distâcis dois otos ddos, os focos, erece costtes e té que u hiérole é o lugr descrito or u oto que se oviet de tl odo que difereç de sus distâcis dois otos ddos, os focos, erece costtes. Desde o teo de Aolôio que s seções côics tê cotriuído r descoerts iorttes Físic. E 160, Glileu descoriu que, lçdo-se u rojétil horizotlete do too de u torre, suodo que úic forç tute sej d grvidde, su trjetóri é u ráol Keler (que er is strôoo e físico do que teático) descoriu or volt de 1610 que os lets se ove e elises co o sol u dos focos. Por volt de 1686, Newto rovou e seu livro "Pricii Mthetic" que isso ode ser deduzido d lei de grvitção e ds leis d Mecâic. A edr gulr d Mecâic Quâtic é o teore esectrl r trsforções lieres uto-djuts, descedetes ds seções côics. Nos resultdos otidos or Newto sore o ovieto letário, rece equção ds côics e coordeds olres. A hiérole é utilizd o estudo descritivo d esão dos gses e otores elosão. A ráol é curv que descreve trjetóri de u rojétil, desrezdo resistêci do r. Arece id costrução de eselhos rólicos, utilizdos e fróis de utoóveis e e tes rólics. Coo vios o equeo histórico ci, s seções côics são curvs ls otids d iterseção de u lo co u coe de revolução. São els: ráol, elise e hiérole. A circuferêci ão é cosiderd u côic, esr de oder ser otid té or u seção de u coe. Devido su iquestioável iortâci teátic, e rticulr geoetri, e e outrs ciêcis, estreos té itroduzido o estudo d circuferêci. Circuferêci Elise Práol Hiérole

2 Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru 1 EXPRESSÃO GERAL DE UMA CÔNICA As côics e circuferêci são figurs ls. Portto, sus reresetções serão relizds o lo crtesio (R ). A eressão gerl de u côic, eceto r circuferêci, é u equção do º gru d for: A + B + C + D + E + F = 0. O tero "" d equção gerl ds côics é chdo de "tero retâgulo". Qudo equção gerl resetr o tero retâgulo, dizeos que equção é "degeerd". Qudo equção gerl ão resetr o tero retâgulo, silesete chres de equção gerl. Geoetricete, difereç etre equção gerl e equção gerl degeerd está osição d côic e relção os eios coordedos. Qudo equção gerl é degeerd o eio de sietri d côic é iclido e relção os eios coordedos e qudo equção gerl ão é degeerd o eio de sietri d côic é rlelo u dos eios coordedos. eio de sietri eio de sietri Elise de equção gerl degeerd Elise de equção gerl ão degeerd Neste cítulo estreos estuddo soete s côics co equção gerl ão degeerd. Posteriorete, qudo itroduziros o estudo de trslção e rotção de eios, estudreos s côics co equção gerl degeerd. Coo equção gerl ds côics reset u eressão seelhte r tods, ou sej, A + B + C + D + E + F = 0, u for de idetificr côic trvés d su equção gerl é utilizr seguite clssificção: Por eelo: seb seb seb AC < 0 elise AC = 0 ráol AC > 0 hiérole ) Se = 0 B AC = 6 < 0 elise. ) Se = 0 B AC = 0 ráol. c) Se = 0 B AC = 88 > 0 hiérole.

3 CIRCUNFERÊNCIA CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru Defiição: é o lugr geoétrico dos otos do lo eqüidisttes de u oto fio C (cetro) do eso lo. OBS: O segeto que ue qulquer oto d circuferêci o cetro é chdo de rio, deotdo el letr r. O segeto que ue dois otos quisquer d circuferêci ssdo elo cetro e chdo de diâetro, deotdo el letr d. Vle relção d = r. Sej circuferêci de cetro C(,) e rio r. Sej P(,) u oto qulquer d circuferêci. O C r θ P(,) S O O Teos que CP = r, que é equção vetoril d circuferêci. Coo CP = (, ), etão: CP = ( + ( ) = r, logo ( ) + ( ) = r. Est eressão é chd de equção reduzid d circuferêci. O desevolvieto d equção reduzid result equção gerl, ou sej, u equção do tio + + c + d + e = 0, e são ssi que gerlete els rece litertur. Outr equção iortte são s equções rétrics, s quis são defiids coo segue. N figur terior, vos deterir o seθ e o cosθ o triâgulo CPS. se θ = = + rseθ e cos θ = = + rcosθ r r = + rcosθ As equções rétrics d circuferêci são:, 0 θ π. = + rseθ Eelo (1): Deterie s coordeds do cetro e o rio d circuferêci = 0.

4 Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru Solução: Note circuferêci foi dd for d su equção gerl. Pr deteriros o cetro e o rio e ecessário ssr r for reduzid, coletdo os qudrdos. Etão: = 0 ( ) + ( + 3) = 16. Agor for d 13 ( ) (+ 3) equção reduzid odeos ver que o cetro é igul C(,-3) e o rio é igul r =. Eelo (): Deterie equção reduzid d circuferêci, sedo-se que u de seus diâetros é o segeto de etreos A(1,3) e B(5,-3). Solução: O diâetro é o segeto que ue dois otos quisquer d circuferêci ssdo elo cetro e vle d = r. Logo o cetro C(,) d circuferêci é oto édio do diâetro. Etão: C (,) =, = (3,0). A distâci etre A e B é o vlor do diâetro. Assi, d d = AB = (5 1) + ( 3 3) = 13, logo r = = 13. Portto, equção reduzid é ( 3) + = 13. ELIPSE Defiição: Ddos dois otos fios F 1 e F do lo, co F 1 F = c, chos de elise o lugr geoétrico dos otos deste lo, cuj so ds distâcis os otos F 1 e F é u costte >c. O B 1 P A 1 A F 1 C c F O C(,) é o cetro; A 1, A, B 1 e B são vértices; F 1 e F são focos; A 1 A = é o eio ior; B 1 B = é o eio eor; F 1 F = c é distâci focl; B O

5 Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru Relção otável r elise: Do triâgulo CB 1 F ve que = + c. Ecetricidde: c e =. A ecetricidde ede ertur ds côics, ou sej, quto is "rredodd" ou "chtd" é figur. Coo, r elise, c <, etão 0 < e < 1. Assi, quto is róio de 1 estiver ecetricidde, is chtd (logd) é elise e, quto is róio de zero, is rredodd el será. Sej P(,) u oto qulquer d elise. A distâci do oto P o foco F 1 é dd or F 1 P e distâci do oto P o foco F é dd or F P. Portto, el defiição d elise escreveos eressão F1 P + FP = chd de equção vetoril d elise. O desevolvedo d equção vetoril result e outr eressão chd de equção reduzid d elise. Vos fzer este desevolvieto. Cosidere u elise de cetro C (,), focos F 1 ( c,) e F ( + c,) e eio ior horizotl, ou sej, o eio ior d elise A 1 A é rlelo o eio coordedo O. Sej P (, ) u oto qulquer d elise coo ostr figur io. O B 1 P A 1 F 1 C F A c c B O -c +c O Teos que: F1 P = FP = ( ( c), ) F1P = (( + c, ) ( ( + c), ) F P = (( c, ) F 1P = FP = [( + c] [( c] + ( ) + ( ) Coo FP 1 + FP = F1P = FP. Elevdo o qudrdo os os ldos dest últi iguldde ve que: ( ) F1 P = FP F1 P = FP + FP F1P FP = FP

6 Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru ( [ ) + c] + ( ) [( c] + ( ) = F P [ ) + c] + ( ) [( c] ( ) = F P ( ( ) + c( + c ( + c( c = FP c( ) = FP c( ) = FP. Elevdo os os eros o qudrdo ve que: [ ] ( ) c( ) = FP [ c( ) ] = ( ) FP [ c( ) ] = ( ) [( c] + ( ) (( c( + c + ( ) ) c ( ) c( + = c ( ) c( + = ( c( + c + ( ) c ( ) ( ( ) + c = 0 (c ) ( ( ) + ( c ) = 0 (*) Pel relção otável d elise (*) ve que: = + c c =. Sustituido equção ( ( ) + = 0 ( ( ) = Dividido todos os teros d equção or ( ) ve que: ( ( ) = 1 1 ( + ( ) = 1 ( ) ( ) e filete oteos equção reduzid d elise: + = 1 Est eressão ci deostrd é equção reduzid de u elise de eio ior horizotl (eio ior A 1 A rlelo o eio O), s eiste s elises de eio ior verticl (eio ior A 1 A rlelo o eio O) e sus equções são diferetes. O desevolvieto r oteros equção reduzid de u elise de eio ior verticl é álogo o que fizeos r elise de eio ior horizotl e, ortto, ão resetreos este desevolvieto. De u for gerl teos: Equção Reduzid: ( ) ( ) ) Elise de eio ior horizotl: + = 1

7 Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru ( ) ( ) ) Elise de eio ior verticl: + = 1 OBS: E u elise, se =, teos que = + c = + c c = 0. ( ( ) Fzedo = equção reduzid ve que: + = 1 ( ) + ( ) =, que é equção de u circuferêci de rio R =, ou sej, circuferêci ode ser cosiderd u elise de ecetricidde ul, ois, c 0 e = = = 0. Desevolvedo-se equção reduzid d elise oté-se outr eressão chd de equção gerl, qul te for α + β + γ + θ + φ = 0. Vos fzer este desevolvieto r o cso de u elise de eio ior ( ( ) horizotl, cuj equção reduzid é + = 1. Multilicdo tod equção or ve que: ( + ( ) = ( + ( ) = ( + ) + ( + ) = = ( + ) = 0. Fzedo: { + { ( + ) = 0, oté-se equção 1 3 α β γ θ φ gerl d elise α + β + γ + θ + φ = 0. Cosidere coo figur io, u elise E de eio ior horizotl, co cetro e C (,), co eio ior A 1 A = e eio eor B 1 B =, circuferêci C i co cetro e C (,) e rio igul "", iscrit elise, circuferêci C c co cetro e C (,) e rio igul "", circuscrit elise e P(E, E) u oto qulquer d elise E. Por P, trç-se u rlel o eio O, que deteri e C c o oto R(c, c) e u rlel o eio O, que deteri e C i o oto M(i, i). De cordo co s equções rétrics de u circuferêci te-se:

8 Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru i (I): i = + cos θ = + seθ e (II): c c = + cos θ, 0 θ π. = + seθ Por outro ldo, os otos C, M e R são colieres. De fto: + cos θ + cos θ + seθ + seθ = 0 Equivleteete, o segeto PM é rlelo o eio O. Dess for, E = c e E = i, ou sej: (I): E E = + cos θ, 0 θ π. Portto, s equções = + seθ rétrics d elise são: E E = + cos θ, 0 θ π. = + seθ O R E = i B 1 M P θ A Q A 1 C N C i B C c E = c O Alogete ode ser deterids s equções rétrics de u elise de eio ior verticl. De u for gerl teos: Equções Prétrics: ) Elise de eio ior horizotl: = + cosθ, 0 θ π = + seθ ) Elise de eio ior verticl: = + cosθ, 0 θ π = + seθ OBS: É uito cou deterir s equções rétrics fzedo seguite idetificção: d equção reduzid teos + = 1. Usdo relção fudetl d trigooetri cos θ+ se θ = 1e, cofrotdo s dus

9 Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru eressões tereos: = + seθ. cosθ = = + cosθ e seθ = Eelo (3): Deterie o cetro, vértices, focos e ecetricidde d elise =0. Solução: Coo elise foi dd su for orl, deveos coletr os qudrdos e ssá-l r for reduzid. Etão: ( ) + 3 = 0 ( ) + ( ) = ( ) ( ) ( ) 36 ( ) + 36 = ( ) ( ) + = 1. Coo 36 9 >, etão = 36 = 6, e elise é de eio ior horizotl. D relção otável ve que = 9 = 3 = + c c = 3 3. D equção reduzid teos que o cetro é C(,). ( A 1 ( F 1,) = (,), A ( +,) = (8,), B 1 (, + ) = (,7), B (, ) = (,1), c,) = ( 3 3,) e F ( + c,) = ( + 3 3,). B 1 A 1 F 1 F C A - B Eelo (): Deterie equção reduzid d elise de ecetricidde, cujos 5 focos são otos d ret + = 0 e sedo B 1 (-1,3) u dos etreos do eio eor. Solução: Coo os focos estão sore ret =, trt-se de u elise de eio ior verticl. Geoetricete odeos deterir o cetro C(,3), = 3 e B ( 7,3). Coo c e = = c =. D relção = + c = = 9 5 = 5 e c =.

10 Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru = ( + ) ( 3) Portto, equção reduzid será + = HIPÉRBOLE Defiição: Ddos dois otos fios F 1 e F de u lo, tis que F 1 F = c, chos de hiérole o lugr geoétrico dos otos do lo, cujo ódulo d difereç ds distâcis os otos F 1 e F é u costte < c. (r ) (r 1) B 1 Q c P F 1 A 1 A F C B Seus eleetos são: C(,) é o cetro; A 1, A são vértices; F 1 e F são focos; A 1 A = é o eio rel (ou eio trsverso); B 1 B = é o eio igiário (ou eio cojugdo); F 1 F = c é distâci focl; Relção otável r elise: Do triâgulo CA Q c = +

11 Ecetricidde: CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru c e =. Coo, r hiérole, < c, etão e > 1. Assi, quto is róio de 1 estiver à ecetricidde, is fechdos são os ros d hiérole e, is ertos eles serão à edid que ecetricidde se fst de 1. As rets (r 1 ) e (r ) são chds de ssítots. Els são uito úteis o esoço d hiérole, ortedo ertur dos ros, u vez que, os ros ão itercet e e tgeci s ssítots. Sus equções são deterids or: ( ) = ± ( r hiérole de eio rel horizotl (eio rel 1 A A rlelo o eio O) e ( ) = ± ( r hiérole de eio rel verticl (eio rel A 1 A rlelo o eio O). A A 1 A C C A 1 hiérole de eio rel horizotl hiérole de eio rel verticl Sej P(,) u oto qulquer d hiérole. Pel defiição teos que: F1 P FP = que é equção vetoril d hiérole. A eelo do que foi relizdo co elise, o desevolvieto d equção vetoril result equção reduzid. Etão: Equção reduzid: ) Hiérole de eio rel horizotl: ( ) ( ) + = 1 ) Hiérole de eio rel verticl: ( ) ( ) + = 1 O desevolvieto d equção reduzid result equção gerl, ou sej, u equção d for: α + β + γ + θ + φ = 0.

12 Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru Cosidere u hiérole de eio rel horizotl coo figur io, co cetro e C (,), co eio rel A 1 A =, igiário B 1 B = e distâci focl F 1 F = c. Trç-se u circuferêci C 1 co cetro e C (,) e rio igul "c", circuferêci C co cetro e C (,) e rio igul "" e u ds ssítots (r 1 ). C 1 C (r 1) =+ B 1 Q P c F 1 C θ A 1 A F B =+c Sej P(,) u oto qulquer d hiérole. A iterseção d ssítot (r 1 ) co circuferêci C 1 é o oto Q. Pelos otos Q e A, trç-se u rlel o O. Pel costrução teos que = e s coordeds do oto P(,) são = + c e = +. Do triâgulo retâgulo CA Q ve que: cos θ = c c 1 = cos θ = sec θ = + sec θ tg θ = = tgθ = tgθ = + tgθ. Alogete, odeos deostrr s equções rétrics r u hiérole de eio rel verticl. Assi: Equções Prétrics ) Hiérole de eio rel horizotl: ) Hiérole de eio rel verticl: = + secθ, 0 θ π = + tgθ = + tgθ, 0 θ π = + sec θ OBS: É uito cou deterir s equções rétrics fzedo seguite idetificção: d equção reduzid teos = 1. Usdo relção

13 Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru d trigooetri sec θ tg θ = 1. Cofrotdo s dus eressões tereos: secθ = = + secθ e tgθ = = + tgθ. Eelo (5): Deterie os focos e os vértices d hiérole de equção orl = 0. Solução: Escrevedo equção for reduzid tereos: 9( + 1 1) 16( + + ) 199 = 0 9( 1) 16( + ) = 0 9( 1) 16( + ) = 1 9( 1) 1 16( + ) 1 = 1 1 ( 1) ( + ) ( 1) ( + ) + = 1 ou = A equção reduzid ostr que hiérole é de eio rel horizotl e, = 16 =, = 9 = 3. D relção otável: = c = 5. O c + cetro é C(,) = (1,-). A1( +,) = (5, ) vértices: A(,) = ( 3,) focos: F1( + c,) = (6, ) F( c,) = (,) Eelo (6): O eio rel de u hiérole é verticl e sus ssítots são s rets ( r 1 ): + 3 = 0 e ( r ): + 3 = 0. Escrev su equção reduzid sedo-se que el ss elo oto P(0,7) e fç u esoço. Solução: A iterseção ds ssítots é o cetro C(,). Resolvedo o siste + 3 = 0 lier, deterios o cetro C(0,3). Fzedo u idetificção + 3 = 0 co s equções ds ssítots ( ) = ± ( e = + 3, deterios = + 3 os coeficietes gulres = ±. Di, odeos escrever que =. Coo hiérole ss elo oto P(,6)=(,), etão ele stisfz equção reduzid ( ( ) + (0 0) (7 3) = 1.Logo: + = 1 () = 1 = e ( 3) =. Portto, equção reduzid é + = (r 1 ) 7 A (r ) 3 C(0,3) A 1

14 Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru PARÁBOLA Defiição: É o lugr geoétrico dos otos do lo, eqüidisttes de u ret (d) fi e de u oto fio (F), ão ertecete à ret (d). (d) Q P R V F O Os eleetos d ráol são: Vértice: V(,) F: foco (d): ret diretriz A ret que ss or F e V é o eio de sietri d ráol O segeto Os segetos RF =, ode é chdo de râetro d ráol RV = VF = Sej P(,) u oto qulquer d ráol. Pel defiição teos que: QP = FP que é equção vetoril. O desevolvieto d equção vetoril result equção reduzid. Cosidere u ráol co eio de sietri horizotl (rlelo o eio O) coo figur io. Etão su equção vetoril é QP = FP. Coo P (,), Q, e + F,, ve que QP = +, 0 e FP =,. Assi: QP = FP ( = ( + ( ) + ( ) = ( + ( ) + ( ) + ( + = ( ( + + ( ) ( ) = (. Que é equção reduzid de u ráol co eio de sietri horizotl.

15 Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru (d) Q P R V F O + Alogete deostr-se equção reduzid de u ráol co eio de sietri verticl (rlelo o eio O). Etão: Equção reduzid: ) Práol co eio de sietri horizotl: ( ) = ( ) Retdiretriz : = ± ( ) = ( ) ) Práol co eio de sietri verticl: Retdiretriz : = ± O desevolvieto d equção reduzid result equção gerl. Pr u ráol co eio de sietri horizotl teos: 1 ( ) = ( + = + + =. Fzedo: 1 =, = e c = +, teos eressão = + + c, que é equção gerl de u ráol de eio de sietri horizotl. Note que este cso vriável est e fução d vriável, ou sej, = f(). Alogete, oteos equção gerl de u ráol co eio de sietri verticl que é dd or = + + c, e este cso vriável está e fução d vriável, ou sej, = f(). Cosidere u ráol co eio de sietri horizotl co vértice V (,), ret diretriz (d). Sej P(,) u oto qulquer d ráol. Pelo vértice V, trçse u ret rlel o eio O otedo o oto S. (d) Q S P(,) R θ V F

16 Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru Do triâgulo retâgulo RSV ve que: tg. θ = = tgθ = + tgθ Coo ( ) = tg θ e ( ) = (, iguldo s dus eressões ve que: ( = tg θ = + tg θ. Esss são s equções rétrics 8 r u ráol co eio de sietri horizotl. Alogete, ode-se deostrr s equções rétrics de u ráol co eio de sietri verticl. Etão: Equções Prétrics: = + tg θ ) Práol co eio de sietri horizotl: 8,0 θ π = + tgθ = + cotgθ ) Práol co eio de sietri verticl:,0 θ π = + cotg θ 8 Eelo (7): Deterie o vértice, foco e ret diretriz d ráol = Fç u esoço d ráol. Solução: A equção dd está for orl e é de u ráol de eio verticl co cocvidde r ci. Vos ssr r for reduzid, etão: = ( 3) = 1 ( + 1). Idetificdo co equção ( 3) ( ) = ( ), teos que o vértice V(,) = (3,-1) e = = e =. Logo, o foco é (, ) (3, ) F + 3 = e ret diretriz (d): = F V (d)

17 Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru Eelo (8): O foco de u ráol é o oto F(,3) e su ret diretriz é (d): =. Deterie su equção orl e s equções rétrics. Solução: Se diretriz é ret =, etão ráol é de eio horizotl. O vértice V(,) é oto édio do segeto QF que ue ret diretriz o foco, logo V(3,3) e o râetro =. Coo o foco está à direit d diretriz, su cocvidde é voltd r direit. Vej figur io. Desevolvedo equção reduzid oteos equção orl: ( ) = ( ( 3) = ( 3) = 1 = As equções rétrics são: = + tg θ 8 = + tgθ 1 = 3 + tg θ = 3 + tgθ (d) 3 Q V F 3 Eercícios Proostos 1) Deterie equção gerl d circuferêci que te cetro sore o eio O e qul u de sus cords te or etreo os otos A(6,) e B(3,-5). Res: = 0 ) Escrever equção gerl d circuferêci que ss elos otos A(0,1), B(1,) e C(1,8). Res: = 0 3) U stélite e órit elític e ecetricidde 1 3, vij o redor d Terr, situd u dos focos d trjetóri do stélite. Sedo-se que distâci is rói do stélite Terr é de 300 K, clculr ior distâci. 600 K ) Dd à elise de equções rétrics del co ret (r): Res: = 3 + 5cosθ, deterie iterseção = + 3seθ 3 1 =. Res: A(8,) e B(3,-1) 5 5) U hiérole eqüiláter é quel e que =. Deterie equção reduzid e s equções rétrics de u hiérole eqüiláter de focos F 1 (-,0) e F (,0).

18 Luiz Frcisco d Cruz Derteto de Mteátic Ues/Buru Res: + = 8 e = = secθ tgθ 6) Mostre que equção = E, sedo E R e E 0, rereset u fíli de hiéroles de ecetricidde costte igul 5. 7) Deterie o râetro, o foco, o vértice e ret diretriz d ráol de equção = 1. Res: = 6, V(0,0), F(3,0) e (d): = 3 8) Deterie o râetro, o vértice, o foco e ret diretriz d ráol = Res: 1 15 =, V(1,), F 1, e (d): = 17