ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE UMA VIGA ESCALONADA SOBRE APOIOS ELÁSTICOS VARIÁVEIS USANDO MATERIAL COMPÓSITO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE UMA VIGA ESCALONADA SOBRE APOIOS ELÁSTICOS VARIÁVEIS USANDO MATERIAL COMPÓSITO Autor: Felpe de Souza Eloy Oretador: Prof. Dr. José Julao de Lma Juor Itajubá, Feverero de 4

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE UMA VIGA ESCALONADA SOBRE APOIOS ELÁSTICOS VARIÁVEIS USANDO MATERIAL COMPÓSITO Autor: Felpe de Souza Eloy Oretador: Prof. Dr. José Julao de Lma Juor Curso: Mestrado em Egehara Mecâca Área de Cocetração: Projeto e Fabrcação Dssertação submetda ao Programa de Pós-Graduação em Egehara Mecâca como parte dos requstos para obteção do Título de Mestre em Egehara Mecâca. Itajubá, Feverero de 4 M.G. Brasl

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4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE UMA VIGA ESCALONADA SOBRE APOIOS ELÁSTICOS VARIÁVEIS USANDO MATERIAL COMPÓSITO Autor: Felpe de Souza Eloy Oretador: Prof. Dr. José Julao de Lma Juor Composção da Baca Eamadora: Prof. Dr. Ferado José de Olvera Morera - EMBRAER Prof. Dr. Atôo Carlos Acelott Júor - IEM/UNIFEI Prof. Dr. José Julao de Lma Juor - IEM/UNIFEI

5 Dedcatóra Aos meus pas, Sebastão e Helea.

6 Agradecmetos Agradeço a Deus por me abeçoar e me coceder a realzação deste trabalho. Ao meu oretador Prof. Dr. José Julao de Lma Juor, meus agradecmetos pela valosa colaboração, pacêca, dedcação e pelos mportates coselhos. Ao Prof. Dr. Atôo Carlos Acelott Júor, pela colaboração com a parte epermetal deste trabalho, e aos demas Professores do IEM. À Uversdade Federal de Itajubá, pela possbldade da realzação deste mestrado. Aos secretáros Mara Auta, Patríca e Vaderle, detre outros, pelo bom atedmeto e auílo com as questões burocrátcas. Aos amgos da UNIFEI, Alberto Cardoso Almeda, Atôo Edso Castro, Aurelao Rodrgues Barborat, Daro de Almeda, Edras Devys, Fabíola Ottobo, Jea Mchel Suveges, Julo César Slva de Souza, Lucaa Berardo Justo e Tharoe Cot Seraf pelas cotrbuções, coselhos, compahersmo, horas de lazer e boas coversas. À mha famíla, a prcpal resposável pelo meu esforço. À CAPES pelo apoo facero coceddo à esta pesqusa. mzade. E por fm, a todos meus amgos e paretes, pelo cetvo aos meus estudos e pela a-

7 Resumo ELOY, F. S. (4, Aálse do Comportameto Dâmco de uma Vga Escaloada sobre Apoos Elástcos Varáves Usado Materal Compósto, Itajubá, 6 p. Dssertação, Mestrado em Projeto e Fabrcação, Isttuto de Egehara Mecâca, Uversdade Federal de Itajubá. Devdo à grade aplcação dos materas compóstos as dústras, este trabalho apreseta um estudo dâmco comparatvo etre as frequêcas aturas dos modelos de vga escaloada de Euler-Beroull e Csalhameto, com dferetes codções de apoos elástcos. É apresetado todo o desevolvmeto aalítco e as equações dferecas que regem o comportameto de uma vga lamada cotíua e escaloada em váras partes. As frequêcas aturas dmesoas e admesoas obtdas pelo programa computacoal desevolvdo com base os modelos teórcos são comparadas com aquelas obtdas a lteratura. Os resultados são obtdos varado-se os ídces de esbeltez da vga, bem como para as dferetes codções de apoos elástcos e dsposções das lâmas, em fução da oretação de suas fbras. Para os casos ode as fbras estão oretadas a º, os valores das frequêcas foram maores que para os casos cotedo fbras oretadas a 9º, ao passo que para fbras oretadas a 45º, os valores obtdos para as frequêcas foram termedáros etre estes dos últmos casos, tato para o modelo de Euler-Beroull quato para o modelo de Csalhameto, de modo que pode ser avalada a fluêca da rgdez de cada costtute do lamado (fbra e matrz sobre suas frequêcas aturas. Este estudo permte a compreesão do comportameto dâmco de uma vga compósta quado aalsada por dos modelos teórcos dferetes. Palavras-chave Frequêcas Naturas, Vga Lamada Escaloada, Apoos Elástcos.

8 Abstract ELOY, F. S. (4, Dyamc Behavor Aalyss of a Stepped Beam wth Varables Elastc Supports Usg Composte Materal, Itajubá, 6 p. MSc. Dssertato Mechacal Egeerg Isttute, Federal Uversty of Itajubá. Due to the crease of applcato of composte materals the dustry, ths work presets a dyamc comparatve study about the atural frequeces of stepped beam models of Euler- Beroull ad Shear wth dfferet codtos of elastc supports. It's preseted all the aalytcal developmet ad the dfferetal equatos that gover the behavor of a cotuous ad mult-stepped lamated beam. Dmesoal ad dmesoless atural frequeces are obtaed by the computatoal program based o the theoretcal models ad they are compared wth those foud the lterature. Results are obtaed by the varato slederess rato, as well as for dfferet elastc supports codtos ad layups, depedg o the plate's fbers oretato. For the cases volvg fbers oreted at º, frequeces values were hgher tha those for the cases cotag fbers oreted at 9º, whle for fbers oreted at 45º the obtaed frequeces were termedate betwee the last cases, for both Euler-Beroull ad Shear models, so that the fluece of the stffess of each costtuet of the lamate o ts atural frequeces ca be evaluated. Ths study gves a uderstadg about the dyamc behavor of a composte beam aalyzed by two dfferet theoretcal models. Keywords Natural Frequeces, Lamated Stepped Beam, Elastc Supports.

9 Sumáro SUMÁRIO I LISTA DE FIGURAS III LISTA DE TABELAS VI LISTA DE FOTOS IX SIMBOLOGIA X LETRAS LATINAS X LETRAS GREGAS XII SUBSCRITOS XII ABREVIATURAS XIII OPERADORES XIII SIGLAS XIV CAPÍTULO INTRODUÇÃO. OBJETIVOS REVISÃO DA LITERATURA Modelos utlzados o estudo de vbrações em vgas Estudo de vgas escaloadas Vbrações em vgas compóstas lamadas CONTRIBUIÇÃO DO TRABALHO CONTEÚDO CAPÍTULO 3 MATERIAIS COMPÓSITOS LAMINADOS 3. DEFINIÇÕES ANÁLISE DE LAMINADOS Propredades elástcas Regra das msturas Teora Clássca dos Lamados

10 CAPÍTULO 3 4 MODELOS DE VIGA COMPÓSITA LAMINADA ESCALONADA EM VÁRIAS PARTES E ELASTICAMENTE APOIADA 4 3. ANÁLISE DINÂMICA DE UMA VIGA ESCALONADA EM VÁRIAS PARTES --4 CAPÍTULO 4 55 VALIDAÇÃO O PROGRAMA COMPUTACIONAL DESENVOLVIDO COMPARAÇÕES DE FREQUÊNCIAS NATURAIS DIMENSIONAIS E ADIMENSIONAIS DE VIGAS CONTÍNUAS COMPARAÇÕES DAS FREQUÊNCIAS NATURAIS DE UMA VIGA ESCALONADA EM DUAS PARTES CAPÍTULO 5 78 EXPERIMENTO CONFECÇÃO DOS MODELOS DE VIGA CARACTERIZAÇÃO DO COMPÓSITO DESCRIÇÃO DO ENSAIO DE VIBRAÇÃO LIVRE Frequêcas aturas CAPÍTULO 6 97 RESULTADOS FREQUÊNCIAS NATURAIS ADIMENSIONAIS DE UMA VIGA COMPÓSITA ESCALONADA EM DUAS PARTES FREQUÊNCIAS NATURAIS ADIMENSIONAIS DE UMA VIGA COMPÓSITA ESCALONADA EM TRÊS PARTES CAPÍTULO 7 8 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS 8 7. CONCLUSÕES PERSPECTIVAS FUTURAS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 3 APÊNDICE A 37 MODELO DE VIGA COMPÓSITA LAMINADA UNIFORME DE EULER- BERNOULLI 37 A. EQUACIONAMENTO DO MODELO DE VIGA COMPÓSITA DE EULER- BERNOULLI

11 APÊNDICE B 48 MODELO DE VIGA UNIFORME COMPÓSITA LAMINADA DE CISALHAMENTO48 B. EQUACIONAMENTO DO MODELO DE VIGA LAMINADA DE CISALHAMENTO APÊNDICE C 56 INSTRUMENTAÇÃO 56

12 Lsta de Fguras Fgura. - Tpos de compóstos. Fote: Belo ( Fgura. - Lamado mult-drecoal e sstema de coordeadas. Fote: Dael e Isha ( Fgura.3 - Modelo smplfcado de um compósto udrecoal sob ação de uma carga F. - Fgura.4 - Esquema represetatvo de um tecdo plao. Fote: Gay et al. ( Fgura.5 - Sstema de coordeadas de um elemeto de uma lâma. Adaptado de Vso e Serakowsk ( Fgura.6 - Represetação dos deslocametos de um lamado. Adaptado de Reddy e Mravete ( Fgura.7 - Represetação esquemátca do emplhameto das lâmas. Fote: Vso e Serakowsk ( Fgura.8 - Represetação esquemátca das forças e mometos atuates sobre o lamado. -37 Fgura 3. Vsta lateral de uma vga lamada escaloada em partes Fgura 4. Comportameto da frequêca admesoal em fução da varação do âgulo de oretação das fbras Fgura 4. Vga com um escaloameto. Fote: Tog ( Fgura 5. - Vsta superor da dsposção das lâmas da placa escaloada a espessura Fgura 5. - Esquema do processo VARTM Fgura Marcação e corte das lâmas Fgura Bolsa de vácuo motada Fgura Equpameto motado destado à fusão da resa o reforço Fgura Movmeto da resa a pré-forma: a o íco; b o meo e c após a fusão. 83 Fgura Mata térmca o processo de cura da resa Fgura Modelo de vga lamada cotíua Fgura Modelo de vga lamada escaloada em duas partes Fgura 5. - Modelo de vga lamada escaloada em três partes Fgura 5. - Vga egastada, Vbrômetro Laser e Aalsador de Sas

13 v Fgura 5. - Espectro de frequêca da vga uforme Fgura Espectro de frequêca da vga escaloada em duas partes Fgura Espectro de frequêca da vga escaloada em três partes Fgura 6. - Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada Fgura 6. - Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada Fgura 6. - Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada Fgura 6. - Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada Fgura 6. - Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada. --- Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada Fgura 6. - Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada

14 v Fgura 6. - Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada Fgura 6. - Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada. --- Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada Fgura A. Modelo de uma vga cotíua lamada de Euler-Beroull Fgura A. Elemeto ftesmal de um modelo de vga compósta lamada de Euler- Beroull Fgura B. Elemeto ftesmal de um modelo de vga compósta de Csalhameto

15 v Lsta de Tabelas Tabela. Classfcação dos materas compóstos stétcos quato à forma, tamaho e dstrbução dos reforços. Fote: Hull ( Tabela. Determação das costates elástcas. Fote: Vso e Serakowsk ( Tabela 4. Propredades geométrcas e do materal da vga cotíua smulada Tabela 4. - a, a e 3 a Frequêcas aturas admesoas para uma vga cotíua apoada apoada Tabela Desvo relatvo (% etre os valores calculados e os valores teórcos vga cotíua apoada - apoada Tabela a, a e 3 a Frequêcas aturas admesoas para uma vga cotíua lvre lvre Tabela Desvo relatvo (% etre os valores calculados e os valores teórcos vga cotíua lvre - lvre Tabela a, a e 3 a Frequêcas aturas admesoas para uma vga cotíua egastada lvre Tabela 4.7 Desvo relatvo (% etre os valores calculados e os valores teórcos vga cotíua egastada lvre Tabela 4.8 Propredades materas e geométrcas da vga lamada Tabela Frequêcas aturas (em khz para uma vga espessa smplesmete apoada (º.64 Tabela 4. - Frequêcas aturas (em khz para uma vga esbelta smplesmete apoada (º Tabela 4. - Frequêcas aturas admesoas para uma vga feta a partr de um lamado agle-ply ( θ / θ / θ / θ Cotuação da tabela 4. - Frequêcas aturas admesoas para uma vga feta a partr de um lamado agle-ply ( θ / θ / θ / θ Tabela 4. Desvo relatvo (% etre as frequêcas aturas admesoas calculadas e teórcas para uma vga feta a partr de um lamado agle-ply ( θ / θ / θ / θ Tabela Frequêcas aturas admesoas para a vga cotíua (º/9º/9º/º

16 v Tabela 4.4 Desvo relatvo (% etre as frequêcas aturas admesoas calculadas e teórcas Tabela 4.5 Propredades materas e geométrcas da vga lamada Tabela Frequêcas aturas (em Hz para uma vga esbelta Tabela 4.7 Erro relatvo etre as frequêcas aturas obtdas teorcamete e epermetalmete Tabela 3.8 Propredades geométrcas e materas da vga escaloada Tabela Frequêcas aturas admesoas da vga escaloada em uma parte egastada - lvre Tabela 4. Desvo relatvo (% etre os valores calculados pelo autor e os valores teórcos obtdos por Almeda ( vga escaloada egastada - lvre Tabela 5. Propredades dos costtutes do compósto Tabela 5. Valores das massas cas, fas e das porcetages em peso de cada fase Tabela 5.3 Propredades do compósto Tabela 5.4 Propredades geométrcas das vgas utlzadas os esaos Tabela 5.5 Três prmeras frequêcas epermetas e calculadas da vga cotíua lamada (Hz Tabela Desvo relatvo (% etre os valores epermetas e os valores calculados das frequêcas aturas da vga cotíua Tabela Três prmeras frequêcas epermetas e calculadas da vga escaloada em duas partes (Hz Tabela 5.7 Desvo relatvo (% etre os valores epermetas e os valores calculados das frequêcas aturas da vga escaloada em duas partes Tabela Três prmeras frequêcas epermetas e calculadas da vga escaloada em três partes (Hz Tabela Desvo relatvo (% etre os valores epermetas e os valores calculados das frequêcas aturas da vga escaloada em três partes Tabela 6. Propredades materas das vgas smuladas Tabela 6. Propredades geométrcas das vgas smuladas Tabela 6.3 Três prmeras frequêcas admesoas do caso modelo de Euler- Beroull Tabela 6.4 Três prmeras frequêcas admesoas do caso modelo de Csalhameto.

17 v Tabela 6.5 Três prmeras frequêcas admesoas do caso modelo de Euler- Beroull Tabela 6.6 Três prmeras frequêcas admesoas do caso modelo de Csalhameto.5 Tabela 6.7 Três prmeras frequêcas admesoas do caso 3 modelo de Euler- Beroull Tabela 6.8 Três prmeras frequêcas admesoas do caso 3 modelo de Csalhameto. Tabela 6.9 Três prmeras frequêcas admesoas do Caso modelo de Euler- Beroull Tabela 6. Três prmeras frequêcas admesoas do caso modelo de Csalhameto.5 Tabela 6. Três prmeras frequêcas admesoas do caso modelo de Euler- Beroull Tabela 6. Três prmeras frequêcas admesoas do caso modelo de Csalhameto.9 Tabela 6.3 Três prmeras frequêcas admesoas do caso 3 modelo de Euler- Beroull Tabela 6.4 Três prmeras frequêcas admesoas do caso 3 modelo de Csalhameto.4

18 Lsta de Fotos Fotografa C. Vsta frotal do vbrômetro laser Fotografa C. Vsta frotal do aalsador de sas Fotografa C.3 Paquímetro utlzado Fotografa C.4 - Máqua de corte utlzada Fotografa C.5 - Mata térmca utlzada Fotografa C.6 Cotrolador de tempo e temperatura Fotografa C.7 Bomba de vácuo

19 Smbologa Letras Latas A área da seção trasversal da vga modelo uforme. m [ A ] matrz de rgdez à tração e à compressão. A j termo da lha e colua j da matrz de rgdez à tração e à compressão. N/m b base de uma vga de seção retagular. m b { b } B [ B ] C relação etre valores da base de trechos adjacetes da vga escaloada. vetor de cógtas. costate de tegração. matrz de acoplameto etre a rgdez plaar e rgdez à fleão. co-seo. c velocdade de propagação da oda o meo sóldo m/s CH D [ D ] co-seo hperbólco. costate da equação temporal. matrz de rgdez à fleão do lamado. D j termo da lha e colua j da matrz de rgdez à fleão. Nm D relação etre valores de rgdez à fleão de trechos adjacetes. E módulo de elastcdade a dreção da vga lamada. GPa F força. N f frequêca atural. Hz G j módulo de csalhameto o plao -j. GPa h altura da vga. m

20 h dstâca da superfíce da lâma até o plao de smetra do lamado. m [ H ] matrz de coefcetes do sstema lear. k c fator umérco que depede da forma da seção trasversal o csalhameto. k R costate de rgdez de rotação. Nm/rad k T costate de rgdez de traslação. Nm K costate. L comprmeto dos trechos da vga escaloada. m L comprmeto total da vga. m úmero de trechos de uma vga escaloada. m massa. kg M mometo fletor. Nm N força ormal. N q carga dstrbuída por udade de comprmeto da vga. N/m Q força cortate. N R S SH costate admesoal dretamete proporcoal a rgdez de rotação. seo. seo hperbólco. t tempo. s Τ T solução temporal. costate admesoal dretamete proporcoal a rgdez de traslação. u deslocameto da superfíce cetral do lamado. m v deslocameto a dreção y ou defleão. m V esforço cortate. N V f porcetagem em volume de fbras. % V m porcetagem em volume de matrz. % v& & aceleração a dreção y. m/s w deslocameto da superfíce cetral do lamado. m W f porcetagem em peso de fbras. % W m porcetagem em peso de matrz. % X modo de vbração ou solução espacal. eo coordeado cartesao.

21 y z eo coordeado cartesao. eo coordeado cartesao. Letras Gregas α prmera dervada do deslocameto lateral com relação a. β prmera dervada do deslocameto lateral com relação a y. β relação de frequêcas aturas de trechos adjacetes de uma vga escaloada. β frequêca atural dmesoal dos trechos da vga escaloada. m - ^ β k - ésma frequêca atural admesoal em relação ao prmero trecho de uma,k vga escaloada. β,k k - ésma frequêca atural dmesoal em relação ao prmero trecho de uma ε η vga escaloada. (m - deformação específca. costate. ρ massa específca. kg/m 3 σ tesão ormal. N/m ν j coefcete de Posso assocado com carregameto a dreção e deformação a dreção j. ω frequêca atural agular. rad/s ω ad frequêca atural admesoal para a vga lamada. γ y âgulo de dstorção º θ âgulo de fase. rad/s µ relação etre o termo A 55 e o termo D. /m² Subscrtos

22 ídce do prmero trecho da vga. ídce do elemeto da prmera lha e prmera colua da matrz de rgdez à fleão. ídce do segudo trecho da vga. b j k S y z o ídce do - ésmo trecho da vga escaloada. ídce da costate de tegração para uma vga com ftos escaloametos. ídce de uma vga escaloada com partes. ídce que dca a k -ésma frequêca atural. ídce que dca a smetra das lâmas de uma vga. eo cartesao. eo cartesao. eo cartesao. codção cal. Abrevaturas MEF Método dos Elemetos Ftos Operadores tegral. somatóro. { } vetor. [ ] matrz.

23 v t t prmera dervada com relação a. seguda dervada com relação ao tempo. quarta dervada com relação ao tempo. seguda dervada com relação a. quarta dervada com relação a. Sglas DTEP IEM ITEP Problema de autovalor trascedetal dreto Isttuto de Egehara Mecâca Problema de autovalor trascedetal verso UNIFEI Uversdade Federal de Itajubá

24 CAPÍTULO INTRODUÇÃO Atualmete é desevolvda uma coscêca global que asea por ovas soluções eergétcas efcetes, que desafa as dústras a reordearem suas prordades, redrecoado seus esforços o setdo de produzrem uma tecologa otmzada, efcete e de bao custo. Para sso, ovas metodologas, processos e materas vêm sedo desevolvdos. Neste coteto, as dústras vêm fazedo o uso de materas compóstos, os quas são a combação de dos ou mas materas com a faldade de se obter um materal resultate com propredades especfcadas. Segudo Subramaa (6, os materas compóstos têm sdo etesvamete utlzados as egeharas aeroespacal, automotva, uclear, marha, bomédca e cvl, devdo ao fato desses materas possuírem elevada relação resstêca-peso, elevada rgdez em relação ao peso, característcas superores de fadga e capacdade de oretação das fbras para ateder a requstos de projeto. Uma grade vatagem dos materas compóstos, como afrma Joes (999, ctado por Perdgão (, é que quado são projetados corretamete, possuem as melhores característcas/qualdades dos seus costtutes ou compoetes e, por vezes, algumas qualdades que ehum costtute/compoete possu.

25 Algumas dfculdades ada são ecotradas a trodução desses materas a dústra modera. Tta (999 afrma que etre as prcpas causas dsso está a dfculdade de se prever o modo de falha eato do materal, os custos a sua fabrcação e a falta de cohecmeto sobre o comportameto do materal juto a materas químcos corrosvos. Frete às vatages epostas, que tedem a favorecer o aumeto da utlzação de compóstos em estruturas mecâcas, tora-se de grade mportâca o cohecmeto do comportameto dâmco dessas estruturas, que duz vbrações. Tal cohecmeto é mportate o desevolvmeto de projetos de forma segura, a tetatva de se aumetar a vda útl de peças e equpametos e de se evtar feômeos desejáves, tas como a ressoâca, que pode levar ao colapso da estrutura. Um dos modelos com maor aplcação prátca em estruturas elástcas é a vga. Um modelo de vga compósta pode ser utlzado em asas de avões, potes, eos, hélces de helcópteros e em estruturas de máquas, detre outras úmeras aplcações. Daí o teresse em se levar em cosderação as vgas compóstas com mudaças as seções de área trasversal, a fm de uma avalação mas acurada do possível comportameto dâmco da estrutura. Para o estudo do comportameto dâmco de vgas, são ecotrados a lteratura quatro modelos, sedo eles os modelos de vga de Euler-Beroull, de Csalhameto, de Vlasov e de Tmosheko. Almeda ( afrma que estes modelos dferem quato à sua formulação. Segudo o autor, o modelo de Euler-Beroull, é cosderado apeas o efeto da fleão pura, sedo que a fluêca do csalhameto e da érca de rotação é desprezada, e ada é feta a suposção de que as seções plaas permaecem plaas e perpedculares à lha eutra da vga após a deformação. O modelo de Vlasov, também despreza o efeto do csalhameto, porém cosdera o efeto da érca de rotação. O modelo de Csalhameto leva em cota o efeto causado pelo csalhameto, e descosdera a érca de rotação, supodo-se que as seções plaas permaecem plaas, mas ão ecessaramete perpedculares à lha eutra da vga, uma vez que há um gro da seção em relação a esta lha devdo à fluêca do csalhameto. Já o modelo de Tmosheko, é o mas completo, uma vez que adcoa ao modelo de Euler-Beroull, a érca de rotação e a deformação causada pelo csalhameto ao mesmo tempo.

26 3 Sedo assm, o presete trabalho aalsa o comportameto dâmco de vgas compóstas lamadas smétrcas, escaloadas em partes e apoadas sobre apoos elástcos varáves. Para sso, desevolve-se um estudo comparatvo etre as frequêcas aturas obtdas pelos modelos de vga de Euler-Beroull e de Csalhameto. Logo, são determadas as prmeras frequêcas aturas dos modelos de vga estudados, assm como a comparação etre esses dos modelos.. OBJETIVOS Apresetação de um estudo dâmco comparatvo etre os modelos de vga escaloada de Euler-Beroull e Csalhameto aplcados a vgas fetas de materal compósto lamado elastcamete apoadas, de modo que as frequêcas aturas admesoas e dmesoas destas vgas sejam determadas, bem como a realzação de esaos epermetas e a avalação da fluêca do ídce de esbeltez e do âgulo de oretação das fbras das lâmas sobre as frequêcas aturas da estrutura.. REVISÃO DA LITERATURA O estudo da dâmca de estruturas com parâmetros dstrbuídos evolve varáves que depedem tato do tempo quato do espaço. Sedo assm, o comportameto dâmco de uma estrutura é goverado por equações dferecas parcas e por certas codções de cotoro que devem ser satsfetas. A vga é um dos modelos fudametas de estruturas elástcas, uma vez que é utlzada em uma varedade de aplcações, como por eemplo, em hélces de helcópteros, asas de avões, braços robótcos e trlhos de tres (Costa, 6. A vga é tratada como um modelo udmesoal, fazedo-se a hpótese de que o comprmeto é bem maor que as dmesões da seção trasversal.

27 4 Frete à mportâca da aplcação dada a uma vga e da compreesão de seu comportameto dâmco, mutos pesqusadores têm dedcado seus trabalhos à modelagem e aálse deste tpo de estrutura... Modelos utlzados o estudo de vbrações em vgas De acordo com Vso e Serakowsk (987, uma vga, colua ou barra é um compoete estrutural logo e fo de largura b, altura h e comprmeto L, ode b/l << e h/l<<. O termo vga é utlzado quado a estrutura é sujeta a um carregameto lateral a dreção de sua espessura, de modo que a fleão ocorra. Já o termo barra é usado quado a estrutura é carregada a dreção aal por forças de tração, e por fm, quado a estrutura é carregada por forças de compressão a dreção aal, usa-se o termo colua. Para o estudo do comportameto dâmco de vgas, dspõem-se a lteratura de quatro modelos, sedo eles os modelos de Euler-Beroull, Vlasov, Csalhameto e Tmosheko. A teora de Euler-Beroull data do século XVIII, quado Jacob Beroull ( propôs que a curvatura de uma vga elástca em um poto qualquer é proporcoal ao mometo fletor aquele poto. Dael Beroull (7-78, sobrho de Jacob, fo o prmero pesqusador a formular a equação dferecal do movmeto de uma vga em vbração. Mutos avaços sobre curvas elástcas foram alcaçados por Euler, como afrma Tmosheko (953, ctado por Ha et al. (999. O modelo de Euler-Beroull, por ser o meos compleo e apresetar resultados razoáves para mutos problemas, é o mas utlzado. De acordo com Lma Jr e Arates (, esta teora apreseta resultados melhores quado aplcada a vgas fas ou esbeltas, equato que Costa (6 afrma que este modelo tede a superestmar as frequêcas aturas relatvas aos maores modos.

28 5 A teora da vga de Vlasov forece uma pequea melhora sobre o modelo de Euler- Beroull por clur o efeto da rotação da seção trasversal. Como resultado, esta clusão corrge parcalmete o efeto da superestmação das frequêcas aturas observada o modelo de Euler-Beroull. Já o modelo de Csalhameto, clu sobre o modelo de Euler-Beroull o efeto da dstorção devda ao csalhameto, assm, a estmatva das frequêcas aturas melhora cosderavelmete (Ha et al., 999. Tmosheko (9 propôs um modelo de vga que adcoa o efeto da dstorção causada pelo csalhameto e o efeto de érca de rotação ao modelo de Euler-Beroull. De a- cordo com Costa (6, este últmo modelo fo e ada é a maor melhora para a apromação da resposta de vgas ão-delgadas e para altas frequêcas, ode os efetos do csalhameto e da rotação ão podem ser desprezados. Ima ( desevolve o modelo aalítco para as teoras de Euler-Beroull e Tmosheko, cosderado as codções clásscas de apoo: apoada-apoada, lvre-lvre, egastada-egastada, egastada-lvre e egastada-apoada. As frequêcas aturas admesoas também são tabeladas para cada um desses casos... Estudo de vgas escaloadas Mutos pesqusadores estudaram as propredades de uma vga escaloada, etre eles Jag e Bert (989, os quas obtveram os prmeros resultados eatos ao deduzr as equações de frequêca de uma vga escaloada cosderado-se as codções clásscas de cotoro e baseado-se a teora de Euler-Beroull. Estes autores tveram seu trabalho geeralzado por Maurz e Bellés (993a, ode fo estudada a vga de Euler-Beroull com uma mudaça de seção e os modos de vbração para cada trecho da vga foram obtdos por meo da solução da equação dferecal ordára de quarta ordem por eles obtda. Hog e Km (999 serram o efeto do amortecmeto a aálse modal de uma vga com múltplos escaloametos. Icalmete ecotraram a matrz dâmca eata para um elemeto da vga uforme de Tmosheko, e a equação espacal fo ecotrada por meo da

29 6 trasformada de Laplace, e com a substtução das codções de cotoro, ecotraram um sstema que pode ser motado da mesma maera que o método dos elemetos ftos (MEF. Segudo os autores, a grade vatagem do método proposto é que ele ecotra soluções eatas para os parâmetros dstrbuídos da vga com múltplos escaloametos. A valdação do método proposto é realzada por meo de três eemplos umércos: o prmero, cosderou-se uma vga com um úco escaloameto; o segudo, uma vga com múltplos escaloametos suportada por artculações fleíves com amortecmeto, e o tercero, uma vga com múltplos escaloametos sob uma carga em movmeto. Naguleswara (a cotuou o estudo desevolvdo por Jag e Bert (989 estudado as três prmeras frequêcas aturas de uma vga de Euler-Beroull com uma mudaça de seção e sobre apoos clásscos, cosderado seções trasversas de área retagular e crcular. Em seguda, Naguleswara (b aalsaram um modelo de vga, também de Euler-Beroull, agora com três mudaças de seção trasversal de área, ode fo feta uma combação de 45 apoos elástcos e determadas as três prmeras frequêcas aturas. Uma vga egastada com múltplos escaloametos é estudada por Jaworsk e Dowell (8. Os resultados da vbração lvre da vga foram obtdos teorcamete e epermetalmete. Os resultados teórcos foram obtdos baseado-se o modelo de Euler-Beroull, o Método dos Elemetos Ftos (MEF., por meo do programa comercal ANSYS, ode observou-se um pequeo desvo a prmera frequêca atural etre os resultados teórcos com os resultados obtdos epermetalmete e pelo MEF. Vaz (8 apresetou uma metodologa para a determação das frequêcas aturas e dos modos de vbração de uma vga escaloada em váras partes, pelo modelo de Euler- Beroull. Foram usados dferetes apoos elástcos as etremdades e geometras dferetes. Os resultados foram gerados por um programa computacoal desevolvdo pela autora e comparados com esaos epermetas com vgas escaloadas em até três partes de seção crcular e com resultados teórcos obtdos a lteratura. O método utlzado elma a ecessdade do uso de malhas a solução de problemas dâmcos e é capaz de gerar bos resultados.

30 7 Almeda ( aalsou o comportameto dâmco de uma vga escaloada em váras partes, sobre apoos elastcamete varáves utlzado os modelos de Euler-Beroull, Vlasov, Csalhameto e Tmosheko. Uma comparação etre esses modelos é feta, e cocluse deste trabalho que o efeto do csalhameto é mas mportate que o efeto da érca de rotação, uma vez que os resultados obtdos pelo modelo de Csalhameto apromam-se mas do modelo de Tmosheko, do que o modelo de Vlasov...3 Vbrações em vgas compóstas lamadas Dada a grade mportâca do cohecmeto do comportameto de uma vga quado sujeta a carregametos tato estátcos quato dâmcos, segue uma revsão sobre os trabalhos evolvdos com problemas de vbrações em vgas lamadas. Teoh e Huag (977 aalsaram o efeto da deformação causada pelo csalhameto e da érca de rotação sobre as frequêcas aturas de uma vga lamada egastada em uma etremdade e lvre a outra. São plotados gráfcos mostrado a fluêca do csalhameto e da oretação das fbras sobre as frequêcas aturas da vga. Coclu-se deste trabalho que a frequêca deca de forma apromadamete lear com o aumeto da oretação das fbras de º a apromadamete 5º, e acma de 5º o decréscmo tora-se meor. Uma teora de vga baseada a teora clássca da lamação é apresetada por Vso e Serakowsk (987. Uma solução eata para a vbração lvre de uma vga sobre apoos smples é descrta, assm como a solução aalítca para o caso, pelo modelo de Euler-Beroull. Segudo o autor, uma vga de materal compósto possu o mesmo modo de vbração de uma vga feta a partr de materal sotrópco, porém, a equação para determação das frequêcas aturas da vga lamada dfere daquela para materal sotrópco. Chadrashekhara et al. (99 determaram as frequêcas aturas de uma vga lamada pela teora de Csalhameto de Prmera Ordem, ode é adcoada a érca de rotação e o efeto da deformação causada pelo csalhameto, cosderado dferetes codções de apoos elástcos as etremdades. As frequêcas admesoas foram tabeladas para d-

31 8 feretes âgulos de oretação das fbras das lâmas, assm como para duas relações de comprmeto sobre espessura da vga. Os autores cocluíram que para relações comprmeto/espessura altas, a teora de Csalhameto de Prmera Ordem, forece os mesmos resultados obtdos pela teora Clássca da Lamação, utlzada por Vso e Serakowsk (987, ou seja, para vgas fas logas o efeto da deformação causada pelo csalhameto pode ser descosderado. Os autores afrmam que o efeto da deformação causada pelo csalhameto deve ser levada em cota a predção das frequêcas aturas de um lamado. Trabalho parecdo fo feto por Krshaswamy et al. (99 que utlzaram estes mesmos modelos, porém aalsaram também o efeto do úmero de lâmas e dferetes dsposções de lamados sobre a resposta fal. Vbrações lvres de uma vga lamada crossply ão smétrca são estudadas o trabalho de Abramovch e Lvshts (994, baseado-se a teora de Tmosheko. Ses dferetes codções de apoos elástcos foram cosderadas e os resultados obtdos pelo presete método foram comparados com os obtdos pela teora clássca de Euler-Beroull. São determadas as frequêcas para dos casos smétrcos e para um caso ão smétrco para uma relação comprmeto/espessura gual a. Uma formulação baseada o Método dos Elemetos Ftos e a Teora de Deformação de Prmera Ordem é apresetada por Nab e Gaesa (994 para obter a solução das vbrações lvres de uma vga compósta levado-se em cota os deslocametos etesoal, fleural e torcoal da vga. É apresetado o efeto da oretação das fbras, da geometra da vga e da deformação por csalhameto sobre as frequêcas aturas admesoas. Khder e Reddy (994 desevolveram um estudo comparatvo etre a teora clássca de Euler-Beroull e as teoras de Csalhameto de Prmera Ordem, de Seguda Ordem e de Tercera Ordem. São determadas as frequêcas fudametas admesoas da vga com dferetes codções de apoos elástcos e dferetes relações comprmeto/espessura. Os autores cocluíram que o erro etre as dferetes teoras de deformação de csalhameto é muto meor do que o erro etre qualquer uma delas e o modelo de Euler-Beroull.

32 9 Farghaly e Gadelrab (995 fazem um estudo admesoal sobre o comportameto dâmco de uma vga escaloada em duas partes usado o modelo de Tmosheko. Quatro materas compóstos são cosderados o trabalho: grafte/epó, carboo/epó, boro/epó e fbra de vdro-e/epó. A varação da fração de volume de fbra sobre as frequêcas também é aalsada em forma de gráfcos. A aálse de vbrações e de amortecmeto de vgas revestdas com materal compósto lamado é estudada por Hamada (995. São vestgadas umercamete as varações as frequêcas aturas e as propredades de amortecmeto cosderado-se dferetes oretações das lâmas e dos úcleos de materal sotrópco são utlzados, o caso aço e alumío. Segudo os autores, de acordo com a escolha da oretação das fbras da camada de revestmeto, há a possbldade de se melhorar a capacdade de amortecmeto da vga sem que ocorram varações cosderáves as frequêcas aturas da mesma. Lam e Sathyamoorthy (996 aalsam a fluêca de um mpacto de baa velocdade sobre a resposta dâmca de uma vga lamada escaloada. Icalmete avala-se uma vga cotíua, e depos uma vga escaloada em duas e três partes, varado-se etre vgas smétrcas, ão smétrcas, cross-ply e agle-ply sob dferetes codções de apoos elástcos. Maher et al. (999 modelaram o amortecmeto de vbrações em uma vga de materal compósto lamado e cocluíram que o âgulo de oretação das lâmas eteras tem efetos sgfcates sobre os parâmetros modas do compósto comparado com o âgulo das lâmas teras, e que o âgulo de oretação das lâmas de 45º, o qual o parâmetro csalhameto atge seus valores mas altos, tem a maor fluêca sobre os parâmetros modas em relação às outras oretações. Yldrm e Kral ( determaram as frequêcas aturas de uma vga lamada smétrca pelo método da matrz de trasferêca. A érca de rotação e o efeto do csalhameto são cosderados a aálse da vga de Tmosheko baseada a teora da deformação de Csalhameto de Prmera Ordem. Comparam-se os resultados obtdos pela teora de Tmosheko com resultados obtdos pela teora de Euler-Beroull. É avalada a fluêca da rela-

33 ção comprmeto/espessura de uma faa de 3 a sobre as frequêcas aturas admesoas, e as codções de cotoro foram egastada-egastada, egastada-apoada e egastadalvre. De acordo com os gráfcos plotados, ota-se que o erro relatvo etre as duas teoras estudadas tede a se torar mímo à medda que a relação comprmeto/espessura apromase de. Um método aalítco para a determação das frequêcas aturas de vgas lamadas e vgas sadwch é desevolvdo por Rao et al. ( usado teoras mstas de alta ordem. O prcípo de Hamlto é empregado para dervar as equações de equlíbro. São apresetados os resultados para ses dferetes eemplos cludo dferetes dsposções e propredades de lâmas e seções trasversas de área fas e espessas. As frequêcas obtdas para vgas fas por este método foram ferores àquelas obtdas pelas teoras de csalhameto de alta ordem. Che et al. (4 propõem uma teora baseada a quadratura dferecal espacal, a fm de se determar as frequêcas aturas de uma vga com múltplas camadas. Os resultados são comparados com aqueles presetes a lteratura, e os modos de vbração são apresetados, em fução das relações comprmeto/espessura, esquema das lâmas e úmeros de camadas. Sgh et al. (6 pesqusaram um ovo modelo para a aálse de uma vga compósta ão uforme. Eles desevolvem certos problemas de autovalor trascedetal dreto (DTEP e problemas de autovalor trascedetal verso (ITEP assocados com vgas ãouformes, escaloadas a largura. As DTEP e ITEP desevolvdas por eles são drecoadas para vgas compóstas logas e fas, goveradas pela equação de vga de Euler-Beroull. O comportameto espectral obtdo pela DTEP é comparado com resultados estetes. As téccas epermetas e uma recostrução precsa de parâmetros físcos baseados em dados epermetas também são apresetados. Os autores também utlzam o programa comercal ANSYS para a aálse em 3-D da vga e apresetam os três prmeros modos de vbração da vga escaloada em estudo. Ju e Hogg (9 desevolvem a matrz de rgdez dâmca de vgas lamadas baseado-se a teora da deformação por Csalhameto Trgoométrca. A fluêca do efe-

34 to do coefcete de Posso, do ídce de esbeltez, da asotropa do materal e das codções de cotoro sobre as frequêcas aturas é dscutda. São utlzadas propredades referetes a vgas de fbra de vdro e fbra de carboo com resa poléster e epó, respectvamete..3 CONTRIBUIÇÃO DO TRABALHO Tedo como base os modelos de vga de Euler-Beroull e de Csalhameto, o presete trabalho apreseta uma metodologa para o cálculo das frequêcas aturas admesoas e dmesoas de vgas escaloadas em váras partes, sobre apoos elástcos varáves e fetas a partr de materas compóstos lamados. É também desevolvdo um programa computacoal capaz de determar essas frequêcas para dferetes codções de cotoro e dferetes materas, o caso compóstos lamados..4 CONTEÚDO No capítulo, é apresetada uma déa geral acerca do tema estudado, e também é feta uma revsão dos trabalhos publcados a área de modelagem de vgas compóstas, sedo destacadas as prcpas teoras para a determação das frequêcas aturas deste tpo de estrutura. No capítulo, toda a teora evolvedo os materas compóstos lamados é descrta. Icalmete as defções, termos e tpos de compóstos são apresetados, e depos, todo o desevolvmeto aalítco para a determação das equações referetes às vgas lamadas é feto. No capítulo 3, é feta uma descrção do modelo que rege o comportameto de uma vga escaloada em váras partes, elastcamete apoada as etremdades. A obteção da equa-

35 ção dferecal de quarta ordem é mostrada, bem como as codções de cotoro e a matrz dos coefcetes. No capítulo 4, a valdação dos resultados umércos é feta para vgas cotíuas e escaloadas em duas partes, lamadas e sotrópcas, com dferetes codções de cotoro. No capítulo 5, é apresetado todo o procedmeto epermetal referete à cofecção dos modelos de vga, e ao esao de vbrações. São apresetados os espectros de frequêca para uma vga cotíua, escaloada em duas e em três partes, a codção egastada-lvre. No capítulo 6, são apresetados os resultados gerados com base as teoras propostas e os modelos umércos desevolvdos, sedo aalsados parâmetros de terferêca sobre as frequêcas aturas, tas como a oretação das fbras das lâmas. As coclusões da dssertação são apresetadas o capítulo 7, com cometáros sobre algus dos resultados teórcos e epermetas, além de sugestões para trabalhos futuros. Nos apêdces A e B são apresetados com mas pormeores todo o equacoameto dos modelos de vgas cotíua de Euler-Beroull e Csalhameto, as cosderações fetas para uma vga cotíua, além do procedmeto usado para obter as frequêcas aturas e os modos de vbração. Já o apêdce C são apresetadas as fotos e as especfcações téccas dos equpametos utlzados os esaos epermetas.

36 3 CAPÍTULO MATERIAIS COMPÓSITOS LAMINADOS Ates de se abordar o assuto vbrações em compóstos lamados, é teressate prmero cohecer este tpo de materal, sua defção e classfcação, bem como sua omeclatura. Sedo assm, seguem as formações eretes a esta classe de materal, e posterormete, os prómos capítulos, um aprofudameto sobre os métodos aalítcos utlzados para descrever seu comportameto dâmco.. DEFINIÇÕES Um compósto cosste de um materal multfásco feto artfcalmete ode as fases costtutes devem ser qumcamete dferetes e devem estar separadas por uma terface dstta. A maora dos compóstos fo crada para melhorar combações de característcas mecâcas tas como a rgdez, teacdade e resstêca as codções ambetes e a altas temperaturas (Callster,. Os materas que formam um compósto podem ser classfcados em uma fase cotíua, também cohecda como matrz, e em uma fase dspersa, cohecda com reforçate. De acordo com Tta (999, a fução da matrz é mater os reforçates udos, trasmtdo a

37 4 eles o carregameto aplcado. Já os reforçates, têm como fução suportar os carregametos trasmtdos pela matrz. Segudo Correa (988, ctado por Tô (, as matrzes têm como fução básca atuar como um camho de trasferêca de carga para os reforços através das tesões csalhates, assm como também proteger o reforço da abrasão e da ação do ambete etero, que este veha a sofrer. As matrzes se classfcam em: orgâcas (polmércas, metálcas e cerâmcas, sedo a prmera, a mas dfudda o mercado, de acordo com o autor. Dael e Isha (994 afrmam que as propredades de um compósto depedem das propredades dos costtutes, da geometra e da dstrbução das fases, sedo que um dos parâmetros mas mportates é a fração volumétrca da fbra, ou reforço. Quato mas desuforme é a dstrbução do reforço, mas heterogêeo é o materal e mas susceptível à ocorrêca de falhas também. Detre as váras classfcações para esses materas, está a apresetada por Hull (988, que dz que os materas compóstos estão dvddos em duas grades categoras: materas compóstos aturas, aqueles crados pela atureza, como por eemplo a madera, os ossos e os músculos, e materas compóstos stétcos, aqueles fabrcados pelo homem. Ada segudo este autor, a mas relevate classfcação é quato ao tamaho, forma e dstrbução dos reforços, como mostrado a Tabela., a qual mostra as possíves dstrbuções das fbras em fução de seu tamaho e forma. Os materas compóstos fbrosos são costtuídos de fbras aderdas a uma matrz, ormalmete fbras que possuem um alto módulo de elastcdade e alta resstêca mecâca, evolvda a matrz com terface etre elas (Matthews e Rawlgs, 994. No que dz respeto aos tpos de fbras fabrcados atualmete, Tô ( destaca as fbras de vdro, de carboo, de aramda (kevlar e de boro. Ada segudo o autor, as fbras de vdro são as mas utlzadas mudalmete devdo às suas propredades físcas e mecâcas, à sua grade aderêca para a maora dos sstemas fbra/matrz e ao seu bao custo.

38 5 Tabela. Classfcação dos materas compóstos stétcos quato à forma, tamaho e dstrbução dos reforços. Fote: Hull (988. Forma Tamaho Dstrbução Fbras mersas em matrzes Partculados mersos em matrzes Estrutura lamar Cotíua Curta Idefdo Idefdo Alhada ou aleatóra Aleatóra Aleatóra Ordeada Aleatóra Belo (6 caracterza os compóstos em três grupos prcpas: compóstos fbrosos (Fgura. (a,(b e (c, aqueles costtuídos de fbras curtas ou logas evolvdas a matrz, compóstos partculados (Fgura. (d, costtuídos de pequeas partículas dspersas a matrz, e compóstos lamados (Fgura. (e e (f, aqueles formados por uma ou mas lâmas. Fgura. - Tpos de compóstos. Fote: Belo (6. Farão parte do escopo deste trabalho os compóstos lamados reforçados com fbras bdrecoas, devdo à sua grade aplcação as dústras. Sedo assm, seguem as formações referetes à omeclatura e propredades mecâcas deste tpo de compósto.

39 6. ANÁLISE DE LAMINADOS De acordo com Belo (6, a lâma represeta o bloco fudametal da estrutura e cosste de fbras evoltas a matrz. Já o lamado, é o cojuto de lâmas emplhadas oretadas sob dversas dreções a fm de se promover o aumeto das característcas físcas e mecâcas que somete uma lâma tera. A sequêca de emplhameto das lâmas segudo as váras dreções é chamado de esquema de lamação. A oretação das fbras em váras dreções e a seqüêca de emplhameto das lâmas é que garatem aos compóstos lamados a otmzação da estrutura coforme um dado carregameto. Dael e Isha (994 dzem que as lâmas (ou camadas podem ter dferetes espessuras, dferetes oretações das fbras e cosstr de dferetes materas, desde que o materal dfra de camada para camada. É mas coveete aalsar um lamado usado um sstema comum fo de coordeadas (,y,z, como mostrado a Fgura.. A oretação de uma dada camada é dada pelo âgulo etre o eo de referêca e o eo prcpal do materal da camada (oretação da fbra. Segudo os autores, um lamado é caracterzado de modo que se dque o úmero, o tpo, a oretação e a seqüêca de emplhameto de suas camadas. A segur, são dados algus eemplos de omeclaturas de lamados: - Udrecoal de 6 camadas: [ / / / / / ] [6 ] No lamado udrecoal, as fbras de cada camada estão oretadas somete em uma dada dreção, a. - Smétrco Crossply : [ / 9/9/ ] [/9] S [ / 9 / ] [ / 9] S 9. Compóstos Crossply possuem uma combação de âgulos das camadas etre e

40 7 - Smétrco Agle-Ply : [ + 45/ 45/ 45/ + 45] [ ± 45] S [ 3/ 3/3/ 3/ 3/3/ 3/3] [ ± 3] S - Não - smétrco Agle-Ply : [ 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ 3] [ ± 3] 4 Compóstos Agle-Ply possuem as camadas oretadas a + θ e a θ. - Mult drecoal: [ / 45/ 45/ 45/ 45/ ] [ / ± 45] S [ / / 45/ 45/ / / / / 45/ 45/ / ] [ / ± 45/ ] S [ /5/ 5/5/ 5/ ] [/ ± 5/ ± 5/ ] T [/( ± 5 / ] T - Híbrdo: K K C C G C C K K K [ / / 45 / 45 / 9 / 45 / 45 / / ] T [ / ± 45 C / 9 G ] S sedo úmero subscrto múltplo das camadas ou grupos de camadas, S Seqüêca smétrca, T Número de camadas e Deota que o lamado é smétrco sobre o plao cetral da lâma. Para o caso do lamado híbrdo, os sobrescrtos K, C e G deotam fbras de Kevlar (aramda, carboo (grafte e vdro, respectvamete.

41 8 Fgura. - Lamado mult-drecoal e sstema de coordeadas. Fote: Dael e Isha ( Propredades elástcas As propredades elástcas dos materas compóstos polmércos, sedo elas os módulos de elastcdade, módulos de csalhameto e coefcete de Posso, são característcas mecâcas essecas para a aálse de tesões e o projeto de compoetes estruturas utlzados em város ramos da egehara. Vso e Serakowsk (987 trataram os compóstos sob dos potos de vsta dferetes. O prmero, o mcromecâco, leva em cota as frações volumétrcas e propredades da fbra e da matrz em separado, de modo que se cosga caracterzar a lâma em fução destas duas, e o segudo, o macromecâco, aalsa o lamado usado as propredades das lâmas, de modo que se obteham as propredades logtudas e trasversas de alhameto das fbras, ecessáras para a aálse de vgas e de outros elemetos estruturas.

42 9 Uma das prcpas vatages da mcro-mecâca, como afrmam Neto e Pard (6, é permtr o cálculo das propredades elástcas de um compósto a partr das propredades elástcas de seus costtutes, desde que as frações volumétrcas dos mesmos sejam cohecdas. O método de obteção dessas propredades através deste prcípo é cohecdo como Regra das Msturas. Tta (999 afrma haver dos métodos de obteção das propredades elástcas, sedo eles a determação das propredades mecâcas por meo da Regra das Msturas ou por esaos epermetas. Após sua determação, usa-se um procedmeto de cálculo aplcado a materas compóstos lamados cohecdo por Teora Clássca dos Lamados. Ada de a- cordo com o autor, devdo à compledade ecotrada em um lamado, esta teora tede a apromar os resultados. Segudo Hull (98 ctado por Tta (999, algumas cosderações devem ser tomadas ao utlzar-se a Teora Clássca dos Lamados: - O materal é ortotrópco, ou seja, apreseta três eos de smetra; - O materal apreseta homogeedade a sua composção; - A uão etre as lâmas é cosderada perfeta, de modo que ão haja deslocametos relatvos etre as mesmas; - Faz-se a cosderação de estado plao de tesões em cada lâma; - As propredades fas depedem da oretação de cada camada relatva à outra subseqüete.... Regra das msturas Um método fácl para se determar a rgdez de um compósto o qual as fbras estão alhadas a dreção da carga aplcada (Fgura.3 é assumr que as fases fbra e matrz estão perfetamete udas de modo que elas rão deformar-se jutas.

43 As costates elástcas ecessáras para o projeto com materas compóstos são: - E ou E : Módulo de elastcdade (Pa a dreção ou dreção prcpal do materal (paralelo às fbras; fbras; - E ou E : Módulo de elastcdade (Pa a dreção (perpedcular ao plao das fbra; E ou E 33 : Módulo de elastcdade (Pa a dreção 3 (o setdo da espessura da G, G 3 e G 3 : Módulos de csalhameto (Pa os plaos -, -3 e -3, respectvamete; a dreção ; - v : Coefcete de Posso assocado com carregameto a dreção e deformação a dreção 3; - v 3: Coefcete de Posso assocado com carregameto a dreção e deformação a dreção 3. - v 3 : Coefcete de Posso assocado com carregameto a dreção e deformação Seja a área do compoete fbra gual a A f (m, e a área do compoete matrz A m (m. Pode-se represetar as quatdades dos dos compoetes em termos de suas frações em volume, V f (% e V (%, logo, sua soma é V V. A fração em volume de m f + m fbra, V f, é o parâmetro materal crítco para a maora dos propóstos.

44 Fgura.3 - Modelo smplfcado de um compósto udrecoal sob ação de uma carga F. A carga aplcada (em N sobre o compósto é dvdda em duas fases, de modo que F F f + F m e a deformação relatva a dreção prcpal (logtudal à fbra é a mesma tato para a matrz quato para a fbra, logo ε ε f ε m. Como a tesão é uma relação etre a força aplcada e a área: σ A σ A + σ A f f m m (. Da relação tesão versus deformação de um materal sabe-se que: σ f ε E f (. σ m ε E m (.3 Sedo E f e E m os módulos de elastcdade da fbra e da matrz (Pa, respectvamete, a dreção prcpal do materal. Dvddo-se toda a Equação (. por ε, obtém-se: E A E A + E A f f m m (.4 Af Am Como V f e Vm, e V f + V m, etão a determação do módulo de elastcdade a dreção prcpal (comprmeto das fbras do materal é dada pela segute equa- A A ção:

45 E E V + E ( V (.5 f f m f De acordo com Tta (999, segudo-se o mesmo racocío para cargas aplcadas perpedcularmete às fbras e de csalhameto à lâma, tem-se a segute equação, dada por Vso e Serakowsk (987: ( Pf V f + ηpmv m P (.6 ( V + ηv f m sedo que para as costates elástcas P, a obteção de P f, P m e η são dadas a Tabela.. Hah (98, ctado por Vso e Serakowsk (987, codfcaram certos resultados para fbras de seção crcular dstrbuídas aleatoramete em um plao ormal às fbras oretadas udrecoalmete. Para este caso, o compósto é macroscopcamete, trasversalmete sotrópco, de modo que ( ( 3 e ( ( 33. Ode, detro dos parêteses as quatdades deveram ser E (Módulo de Elastcdade, G (Módulo de Csalhameto ou v (Coefcete de Posso. Na Tabela., para a determação das costates elástcas, é ecessáro se cohecer o valor de outras costates. Assm sedo, seguem as equações para obteção dessas costates: G + G η 6 m f (.7 sedo G f o módulo de csalhameto da fbra (Pa e G m o módulo de csalhameto da matrz (Pa. Se a matrz for sotrópca, G m Em, sedo v m o coefcete de Posso da ( + v m matrz e E m o módulo de elastcdade da mesma (Pa.

46 3 η 4 3 4v m 4( v G + G m 3 f m (.8 G 3 f é o módulo de csalhameto da fbra (Pa. Tabela. Determação das costates elástcas. Fote: Vso e Serakowsk (987. Costate Elástca P P f P m η E E E f E m v v v f v m G G G f G m η 6 G 3 G 3 G 3 f G m η 4 K T K T K f K m η K η K G + K ( v m f m (.9 Seja ada: K f E f (. ( v f e K m Em (. ( v m

47 4 De posse das Equações (. e (., tora-se possível a obteção da costate K T (calculada pela Equação.6, a qual será utlzada a determação de E, dada pela segute equação: E E 4K G T 3 3 (. KT + mg3 com 4KT v m + (.3 E G G m f Ada de acordo com Vso e Serakowsk (987, Ha (98 otou que quado <,5, a apromação dos parâmetros η é 3 4vm η 6,5 ; η 4 e 4( v η k ( v m m (.4 e se a matrz for epó, o coefcete de Posso da matrz é v m, 35. Etão η, 4 63 e η,77. K E por últmo, o coefcete de Posso v 3 pode se escrto como: v 3 v E m + v m v E f V f + vm ( V f (.5 Em v + v v m m E

48 5 Em algus casos, somete as frações em peso da fbra e da matrz, W f e W m (% são cohecdas, estes casos, a fração em volume de fbra é obtda pela segute equação, ode ρ f e ρ m são as desdades da fbra e da matrz (kg/m³, respectvamete: V f ρmw f (.6 ρ W + ρ W m f f m Barbero (998 propõe uma outra equação para a determação do módulo de csalhameto G 3, de modo que a mesma ão seja uma fução do módulo de csalhameto da fbra o plao -3 (G 3f, parâmetro este dfícl de ser determado a maora das vezes. Assm, a equação é dada da segute maera: G 3 G m V f + η 3( V f G η3( V f + V f G m f (.7 sedo η 3 3 4v m 4( v G + G m m f (.8 Gay et al. ( afrmam que é ecessára uma correção as propredades elástcas quado se trata de tecdos, os quas são fetos de fbras oretadas ao logo de duas dreções perpedculares, como mostrado a fgura.4, ode tora-se possível a observação da dsposção de um cojuto de fbras em relação ao outro. Assm sedo, usa-se a segute otação: úmero de cojutos de fbras por metro a dreção do comprmeto da lâma; úmero de cojutos de fbras por metro a dreção da largura da lâma; k + (.9

49 6 As costates elástcas para o tecdo são dadas etão por: E ( E (. ' k E + k E ( E + k E (. ' k G (. ' G v ' v E k + ( k E (.3 sedo ' E e ' E os módulos de elastcdade (Pa as dreções e, respectvamete, para o tecdo, ' G o módulo de csalhameto (Pa para o tecdo o plao - e Posso para o tecdo. ' v o coefcete de Fgura.4 - Esquema represetatvo de um tecdo plao. Fote: Gay et al. (. Logo, cohecedo-se as propredades dos costtutes e suas frações em volume, pode-se prever as costates elástcas do lamado, e posterormete, sua rgdez. Todas as e- quações apresetadas, foram obtdas descosderado-se os efetos da temperatura e umdade sobre o comportameto do compósto.

50 7.. Teora Clássca dos Lamados Usado a Teora Clássca dos Lamados tora-se possível a obteção das matrzes de rgdez do compósto, bem como das equações para determação das forças ormas, mometos e forças cortates atuates sobre o materal. Icalmete, faz-se o estudo de uma lâma, para depos dar prossegumeto ao estudo de um lamado. Como a maora dos materas compóstos são fos, devdo às suas boas propredades de resstêca, cosdere-se um pequeo elemeto de uma lâma de espessura costate h, ode os eos prcpas do elemeto são os eos (dreção paralela às fbras e (dreção ormal às fbras, e que os eos geométrcos da vga, placa ou casca são os eos e y, como mostrado a Fgura.5. Fgura.5 - Sstema de coordeadas de um elemeto de uma lâma. Adaptado de Vso e Serakowsk (987. Para se relacoar σ, σ y e σ y a σ, σ e σ, o procedmeto é eatamete aálogo à aálse do círculo de Mohr a resstêca dos materas básca, dferdo-se apeas o fato de que aqu as equações estão a forma matrcal. Logo vem:

51 8 σ σ σ [ T ] CL σ σ y σ y (.4 sedo m m T CL m m (.5 m m ( m [ ] com m cosθ, seθ e o sub-escrto CL refere-se ao caso clássco b-dmesoal, somete. De maera aáloga, as relações de deformação são dadas por: ε ε ε [ T ] CL ε ε y ε y (.6 Etretato, as relações b-dmesoas devem ser modfcadas para se levar em cota o efeto da deformação causada pelo csalhameto trasversal. Neste caso, adcoa-se às E- quações (.4 e (.6 também as relações de σ 4 ε 4 e σ 5 ε 5. Na dreção da fbra, o compósto tem mutas das propredades mecâcas da própra fbra, equato que a dreção da espessura, as fbras pratcamete ão afetam, e as propredades de csalhameto são domadas pelo materal da matrz que é mas fraco (Vso e Serakowsk(987. Assm se escreve: ε ε ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 [ T ] ε ε y ε z ε yz ε z ε y (.7

52 9 [ ] y z yz z y T σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ (.8 com [ ] ( m m m m m m m m m T (.9 ou de outra forma: [ ] ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε T y z yz z y (.3 [ ] σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ T y z yz z y (.3 sedo [ ] T a versa da matrz [ ] T.

53 3 Neste poto, a Le de Hooke pode ser utlzada para relacoar tesão e deformação. Etão a equação geral de uma lâma de materal compósto reforçado com fbras em termos de suas dreções prcpas é: σ Q σ Q σ Q 3 σ 4 σ 5 σ 6 3 Q Q Q 3 Q Q Q Q 44 Q 55 Q 66 ε ε ε 3 ε 3 ε 3 ε (.3 sedo a matrz [ Q ] a matrz de rgdez de uma lâma, a qual provém da Teora da Elastcdade. Na equação (.3, as quatdades Q j (Pa podem ser escrtas como: Q E ( v 3 v 3 Q E ( v 3 v 3 Q 33 E 33 ( v v Q 44 G 3 Q 55 G 3 (.33 Q 66 G

54 3 Q ( v + v3v 3 E ( v + v3v 3 E Q 3 ( v 3 + vv 3 E ( v 3 + vv 3 E 33 Q 3 ( v 3 + vv 3 E ( v 3 + vv 3 E 33 v v v v v v v v v Se a lâma for trasversalmete sotrópca, ou seja, tver as mesmas propredades as dreções e 3, etão v v3, G G3, e E E33. Sedo assm, as Equações (.33 smplfcam-se a segute forma: Q E ( vv Q E ( vv Q ve v E Q (.34 v v ( v v ( Q 66 G v E v E Utlzado essas equações smplfcadas e desprezado-se o efeto causado pelo csalhameto, obtém-se:

55 3 σ Q σ Q σ 3 Q Q ε ε Q 66 ε (.35 Quado os eos estruturas, y e z ão estão alhados com os eos prcpas, e 3, como dcado a Fgura.4, uma trasformação de coordeadas é ecessára. Para sso utlza-se a Equação (.3 a Equação (.3, logo: σ Q σ y Q σ z Q σ yz σ z σ y Q 3 6 Q Q Q Q 3 6 Q Q Q Q Q Q Q Q Q ε 6 Q ε 6 y Q ε 36 z ε yz ε z Q ε y 66 (.36 sedo [ Q] [ T ] [ Q][ T ], ou: Q Qm ( Q Q66 m Q 4 Q ( Q + Q 4Q66 m + Q ( m + 4 Q + 3 Q3m Q3 3 3 Q m Q + m Q m( m ( Q Q Q Q ( Q Q66 m Qm Q + 3 Q3 Q3m Q 33 Q 33 (.37

56 Q m Q + m Q + m( m ( Q Q Q Q Q m 36 ( 3 3 Q + 44 Q44m Q55 Q Q Q m 45 ( Q + 55 Q55m Q44 Q + 66 ( Q Q Q m Q66 ( m + Novamete, para cálculos smples ou apromações, tem-se: σ Q σ y Q σ y Q 6 Q Q Q 6 Q Q Q ε ε y ε y (.38 Até agora, foram formuladas as equações costtutvas equvaletes a uma lâma de um materal compósto, porém, sabe-se que uma estrutura compósta (vga, placa ou casca pode ser costtuída de váras lâmas, as quas udas, formam o compoete. Daqu para frete, as equações desevolvdas passam a ser relatvas ao lamado, as equações para os mometos, forças ormas e forças cortates serão apresetadas, assm como a termologa utlzada quado se utlza esse tpo de materal. Assume-se que o lamado cosste de lâmas perfetamete coladas, e as colas (matrz são assumdas ser ftesmalmete fas. Os deslocametos são cotíuos através dos cotoros da lâma de modo que ehuma lâma deslze em relação à outra. Etão, o lamado age como uma camada sgular (Reddy e Mravete, 995.

57 34 De acordo com Vso e Serakowsk (987 em qualquer corpo elástco (Fgura.6, cosderado-se deformação elástca lear, os deslocametos são dados por: Fgura.6 - Represetação dos deslocametos de um lamado. Adaptado de Reddy e Mravete (995. u ε, y v y ε, z w z ε + w z u z ε, + y w z v yz ε (.39 + v y u y ε sedo u, v e w os deslocametos ao logo dos eos, y e z, respectvamete, dados por:, (, (,, ( y z y u z y u α +, (, (,, ( y z y v z y v β + (.4

58 35, (,, ( y w z y w sedo u, v e w os deslocametos da superfíce cetral, correspodetes à sua traslação, e α e β os valores egatvos da prmera dervada do deslocameto lateral com relação às coordeadas e y (ou seja, w α e y w β. Ada é assumdo a teora clássca, que o elemeto a dreção da espessura ão pode ser esteddo em cotraído, uma vez que sofrerá o mámo uma rotação e traslação, etão, (,, ( y w z y w. Substtudo as Equações (.4 as Equações (.39, vem: z u + α ε, z y v y + β ε, z ε + w ε z α, + y w ε yz β ( y z v y u y β α ε As deformações o plao cetral do lamado são: u ε, y v y ε, + v y u y ε (.4 E as curvaturas são dadas por: α κ, y y β κ, + y y β α κ (.43

59 36 Substtudo a Equação (.4 a Equação (.43, e cosderado-se que a tesão a dreção da espessura pode ser desprezada, vem: σ y σ σ yz σ z σ y k [ Q] k ε + zκ y z y ε + κ ε yz ε z ( ε y + κ y z k (.44 sedo que o subscrto k represeta o úmero da lâma. A represetação de um compósto lamado é mostrada a Fgura.7, ode h é a espessura do lamado e h k é a dstâca do plao cetral do compósto à superfíce superor da k-ésma lâma. Assm, qualquer posção abao do plao cetral é tomada como egatva, e qualquer posção acma do plao cetral é dada como postva. Fgura.7 - Represetação esquemátca do emplhameto das lâmas. Fote: Vso e Serakowsk (987. Parte-se agora, para a determação das forças e mometos sobre o lamado (Fgura.8. Para vgas, cascas ou placas lamadas, as forças resultates N (N, os mometos M (N.m e as forças cortates Q (N são dados por udade de comprmeto, uma vez que estas

60 37 estruturas, estas quatdades varam tato da dreção quato a dreção y, assm essas quatdades são obtdas pela tegral das tesões em cada lâma através da espessura, tal como segue: dz Q Q N N N h h yz z y y y y y σ σ σ σ σ, h h y y y y zdz M M M σ σ σ (.45 Fgura.8 - Represetação esquemátca das forças e mometos atuates sobre o lamado. Empregado-se as Equações (.39 e (.4 a (.43, para um lamado com um úmero N de camadas, obtém-se: [ ] [ ] + N k h h y y k h h k y y k y y k k k k zdz Q dz Q N N N κ κ κ ε ε ε (.46 A Equação (.46 pode ser escrta como:

61 38 { } [ ]{ } [ ]{ } κ ε B A N + (.47 com ( ( N k k k k j j h h Q A (.48 ( ( N k k k k j j h h Q B (.49 sedo, j, e 6; ] [A : Matrz de rgdez à tração e à compressão (N/m; ] [B : Matrz de acoplameto etre a rgdez plaar e a rgdez à fleão (N. Aalogamete, é obtda a epressão para os mometos: [ ] [ ] + N k h h y y k h h k y y k y y k k k k dz z Q zdz Q M M M κ κ κ ε ε ε (.5 ou seja: { } [ ]{ } [ ]{ } κ ε D B M + (.5 com

62 39 D j 3 N 3 3 ( Q j ( hk hk k k (.5 sedo, j, e 6; [D]: Matrz de rgdez à fleão (N.m; Na forma matrcal: N N N M M M y y y y A A A B B B 6 6 A A A B B B 6 6 A A A B B B B B B D D D 6 6 B B B D D D 6 6 B B B D D D ε ε y ε y κ κ y κ y (.53 A clusão do efeto do csalhameto sobre o comportameto da estrutura, gera uma melhora a teora por represetar de forma mas próma o real comportameto da estrutura. As equações para a determação das forças cortates são dadas a segur: Q ( A ε + A ε ( z 45 yz Q y ( A ε + A ε ( z 44 yz com N c k ( Q ( h h A j k k k (.56 j k para

63 4, j 4,5; k c fator de correção de csalhameto, que depede da forma da área da seção trasversal (ormalmete gual a 5/6 para seções retagulares, de acordo com Vso e Serakowsk (987; h dstâca da superfíce da lâma até o plao cetral do lamado (m. Se o lamado for smétrco em relação ao seu plao cetral, a matrz [B] será ula. Tta (999 afrma que a rgdez fal do lamado depede em parte da sequêca de emplhameto das lâmas para a determação das matrzes de rgdez. Assm, ota-se a mportâca da dsposção das fbras sobre o lamado. Essa característca, erete aos compóstos reforçados com fbras, faz com que esses materas sejam muto atratvos para o desevolvmeto de projetos. Etão, cohecedo-se a Teora Clássca dos Lamados e suas equações, tora-se possível o projeto e aálse de estruturas compostas por estes materas, tedo a sua dsposção as equações para determação das tesões, mometos e forças atuates sobre um compósto, e a possbldade de mudaças a dsposção das lâmas e oretações de suas fbras, de modo que se possa ateder a requstos dos projetos.

64 4 CAPÍTULO 3 MODELOS DE VIGA COMPÓSITA LAMINADA ESCA- LONADA EM VÁRIAS PARTES E ELASTICAMENTE APOIADA Com a faldade de se obter as frequêcas aturas e os modos de vbração de uma vga compósta escaloada em váras partes, sobre apoos elastcamete varáves, é ebdo este capítulo todo o equacoameto e os cocetos ecessáros para a modelagem matemátca que rege o comportameto da vga em estudo. Em Ima ( é apresetado o equacoameto do modelo de Euler-Beroull para a determação das frequêcas admesoas de uma vga cotíua em vbração lvre. Da mesma forma, em Vso e Serakowsk (987 é também apresetado o equacoameto, porém aplcado a materas compóstos lamados. Este modelo matemátco apresetado os forece uma boa base teórca para casos ode a geometra da vga pode ser um pouco mas complea, o que dz respeto ao úmero de escaloametos. Sedo assm, a segur desevolvem-se todas as hpóteses e cosderações para o estudo da vga escaloada mostrada a fgura 3..

65 4 3. ANÁLISE DINÂMICA DE UMA VIGA ESCALONADA EM VÁRIAS PARTES Vgas escaloadas são aquelas que apresetam varações as áreas das seções trasversas em fução de seu comprmeto. Algumas das estruturas compleas mecâcas, cvs e aeroáutcas, detre outras, podem como prmera apromação, serem dealzadas como vgas escaloadas. A partr dos modelos matemátcos de vgas uforme de Euler-Beroull e de Csalhameto aplcados a vgas compóstas, tem-se uma base trodutóra para casos mas compleos, de ode se ca etão, o estudo de vga do tpo escaloada em váras partes e com dferetes suportes elástcos as etremdades, coforme fgura 3.. Nesta fgura, observam-se as dferetes seções de área trasversal, em fução dos dferetes úmeros de lâmas ou camadas para cada trecho. Ode A é a área da seção trasversal do -ésmo trecho da vga escaloada (m, L é o comprmeto do -ésmo trecho da vga escaloada (m e R, k R e kt, kt k são costates de rgdez de rotação (Nm/rad e traslação (Nm os apoos da vga, respectvamete. Assm, o equacoameto a ser apresetado este capítulo, rege o comportameto dâmco de vgas escaloadas tato a espessura (em fução do úmero de camadas, quato a largura da vga. O escaloameto dá-se tato da maor espessura para a meor, quato da meor espessura para a maor, aplcado-se assm às dversas codções que podem ser ecotradas a prátca ou os projetos evolvedo compóstos. As vgas escaloadas compóstas possuem as camadas cetras pertecetes a todos os seus trechos, ou camadas globas, sedo que o escaloameto é defdo pela adção de uma ou mas camadas as superfíces superor ou feror de cada trecho, como mostrado a fgura 3., ode os trechos da vga são apresetados sob dferetes cores. Nos Apêdces A e B são apresetados com mas detalhes os equacoametos relatvos aos modelos de vga de Euler-Beroull e de Csalhameto, respectvamete, bem como a lha de racocío seguda para a obteção das equações apresetadas este capítulo.

66 43 Fgura 3. Vsta lateral de uma vga lamada escaloada em partes. As equações espacas dos modelos de vga de Euler-Beroull e Csalhameto são respectvamete: d 4 ( X X (,, d c,..., 4 ω (3. ( ω d X ( 4 d X ω + X (,, d c kc d c,..., 4 µ (3. com A β e 4 ω ρ ω c b D A D 55 µ (3.3 sedo β a frequêca atural dmesoal (m -, ω a frequêca atural agular (rad/s, c a velocdade de propagação da oda o meo sóldo (m/s, ρ a massa específca (kg/m 3, A a

67 44 área da seção trasversal (m, A 55 o coefcete de csalhameto (N/m, D o prmero termo da matrz de rgdez à fleão do lamado (N.m, µ a relação etre A 55 e D e k c o fator umérco que depede da forma da seção trasversal o csalhameto. A solução espacal para cada trecho da vga dos modelos estudados é dado pelas equações (3.4 e (3.5, sedo que a solução espacal para o modelo de Euler-Beroull é represetada pela equação (3.4 e a solução espacal para o modelo de Csalhameto pela equação (3.5. As costates K + ( e K + ( da equação (3.5 são represetadas pelas equações (3.6 e (3.7. X ( β + B cos( β + B seh( β B cosh( β ( Bb se b b + 3 b 4 (3.4 ( K ( + Bb cos K+ ( ( + Bb seh( K + ( Bb ( K + ( X ( Bb se cosh (3.5 Para L com 4 8 β β + + 4β 4 kcµ kc µ K + ( ( β β + + 4β 4 kcµ kc µ K + ( (3.7 sedo o úmero de trechos da vga. A determação dos ídces b, b, b3 e b4 dos coefcetes B das equações (3.4 e (3.5 é feta através da segute equação:

68 ( 4 4 ( 4 3 ( 4 ( b b b b (3.8 com,..., As codções de cotoro para a vga compósta escaloada em partes, duas codções para cada apoo e as demas para as juções, são: Nas etremdades: Em, Para mometo de fleão: ( ( R d dx k d X d D b (3.9 Para força de csalhameto: 3 3 ( ( T X k d X d D b (3. Em L, Para mometo de fleão: L R L d dx k d X d D b ( ( (3. Para força de csalhameto:

69 46 d X ( (3. 3 b D kt X ( 3 L d L Nas juções: Para defleão: X ( L X (,,, (3.3 Para clação: dx ( d dx + ( d + L + + (3.4 Para mometo de fleão: d X ( d X ( b D (3.5 d + + b + D + L d + + Para força de csalhameto: 3 d X ( d X ( b D (3.6 d b+ D + 3 L d + + As costates de tegração, B b, B, e b B b B 3 b, que compõem as equações (3.4 e (3.5 4 formam o vetor de cógtas, { b }, de ordem 4. As oto codções de cotoro, referetes às etremdades e as juções, os forecem um sstema lear de equações homogêeas que formam a chamada matrz de coefcetes [ H ], como mostrado a equação (3.7. No caso de uma vga escaloada em partes, a matrz de coefcetes tem dmesão 4 4.

70 47 [ ]{ b} { } H (3.7 Para que o sstema da equação (3.7 teha solução, é ecessáro que o determate da matrz [H] seja gual a zero, com sso, através de busca de raízes chega-se ao valor das frequêcas aturas. ^ det H β, k (3.8 sedo ^, k β correspodete à k -ésma frequêca atural admesoal, que tem como referêca o prmero trecho da vga escaloada, k é o ídce que dca a k -ésma frequêca atural e o ídce de β referete ao prmero trecho da vga escaloada, uma vez que os valores ecotrados ao se gualar o determate a zero correspodem à frequêca admesoal do prmero trecho da vga. Há uma relação etre a frequêca atural admesoal do º trecho ( β, e a frequêca atural dmesoal do º trecho ( β, dada pela equação (3.9., k ^, k ^ β β L (3.9, k,k De modo que L seja o comprmeto da vga escaloada (m. A matrz [ H ] é uma fução da frequêca atural do º trecho, que servrá como base para o cálculo das frequêcas aturas dos demas trechos pela equação (3.. Assm, faz-se uma trasferêca das frequêcas dos trechos da vga em fução da frequêca do prmero trecho. ^ β ^ ^ β + β β,,..., ^ + β (3. β

71 48 com β a relação etre as frequêcas aturas de trechos adjacetes de uma vga escaloada e ^ ^ e β + β as frequêcas aturas admesoas referetes aos trechos, e +, da vga escaloada. Fetas as devdas cosderações, parte-se agora para a determação da matrz [H] para uma vga escaloada em partes, de modo que a mesma seja geeralzada para dferetes tpos de apoos elástcos. Uma vez que as matrzes são para vgas escaloadas, logo >. Fazedo-se as segutes defções: S C SH CH seβ L cos β L sehβ L cosh β L (3. b (3. b + b D D + (3.3 D R k L R (3.4 b D 3 ktl T (3.5 b D R k L R bd (3.6 k L 3 T b D (3.7 T

72 49 com b a relação etre os valores da base de trechos adjacetes de uma vga escaloada, b + e b os valores das bases referetes aos trechos, + e, de uma vga escaloada (m, D a relação etre os valores das rgdezes à fleão de trechos adjacetes da vga escaloa- da, D e D + os valores da rgdez à fleão referetes aos trechos + e da vga escaloada (Nm, R e R são costates admesoas dretamete proporcoas à rgdez de rotação e T e T são costates admesoas dretamete proporcoas à rgdez de traslação. Assm, a partr das codções de cotoro apresetadas as equações de (3.9 a (3.6, tora-se possível a motagem da matrz de coefcetes [H] para os modelos de Euler- Beroull e Csalhameto. Icalmete a matrz [H] é declarada como sedo uma matrz quadrada ula de ordem 4, logo após as quatro prmeras lhas são preechdas como segue: Modelo de Euler- Beroull: Das codções de cotoro os dos apoos da vga, tomado-se a referêca proposta a fgura 3., ou seja, partdo-se sempre da esquerda para a dreta, vem: ª lha, coluas de até 4 : R β L R β... (3.8 L ª lha, coluas de até 4 : β L T β L... (3.9 T 3ª lha, coluas de 4 3 até 4 : ( β L S + RC ( β L C RS ( β L SH + RCH ( β L CH RSH L + (3.3 4ª lha, coluas de 4 3 até 4 :

73 5 L β LC TS β LS TC β LCH TSH β LSH T CH (3.3 Para a motagem da matrz [H] a partr da quta lha, utlza-se as codções de cotoro apresetadas as equações de (3.3 a (3.6 a sub-matrz m do algortmo da equação (3.3. Iíco úmero de escaloametos; Para > faça s 5 ; j ; Para até faça [ m] S C S C C S C S SH CH SH CH CH SH CH SH D β b β 3 D b β D β b β 3 ; D b β (3.3 H ( s s + 3, j j + 7 m ( 4, 8 ; s s + 4 ; j j + 4 ; Fm-Para; Fm-Para; Fm. da matrz [H]. Assm, mota-se uma sub-matrz m de ordem 48, a qual possu - posções detro forma: Colocado-se a forma matrcal, a matrz dos coefcetes [ H ] assume a segute

74 5 ( ( L L L L O M M M M M M M M L L L L L L L L ] [ D b D b SH CH S C D b D b CH SH C S SH CH S C CH SH C S T L T L L R L R H β β β β β β β β β β ( ( ( ( D b D b SH CH S C D b D b CH SH C S SH CH S C CH SH C S CH T SH L SH T CH L C T S L S T C L SH R CH L CH R SH L S R C L C R S L β β β β β β β β β β β β β β M M M M M M M M (3.33

75 5 Partdo-se agora para a defção da matrz dos coefcetes [H] para o modelo de Csalhameto, faz-se a segute defção: S C SH CH sek cos K + ( + ( sehk cosh K L L + ( L + ( L (3.34 Modelo de Csalhameto: ª lha, coluas de até 4 : ( K L R K ( K... R (3.35 K L ª lha, coluas de até 4 : ( K L T ( K L... (3.36 T 3ª lha, coluas de 4 3 até 4 : L SH L K + S L K + R CH K + + R C K C L K R S K, ( + ( + ( + ( CH L K ( + ( + ( + ( + R SH K (3.37 4ª lha, coluas de 4 3 até 4 : L CH L K 3 + T SH C L K T S S L K TC, SH L K ( + ( T CH ( + ( 3 (3.38 Para a motagem da matrz [H] a partr da quta lha, utlza-se as codções de cotoro apresetadas as equações de (3.3 a (3.6 a sub-matrz m do algortmo da equação (3.39 para o modelo de Csalhameto.

76 53 Iíco úmero de escaloametos; Para > faça s 5 ; j ; o ; Para até faça [ m] S K C K K o o S 3 o C K K C K S o o C 3 o S K K K SH o+ o+ 3 o+ CH SH CH K K K CH o+ o+ 3 o+ SH CH SH D K o+ b K 3 o+ D b K o+ D K o+ 3 b K 3 o+ 3 D b K o+ 3 ; H ( s s + 3, j j + 7 m ( 4, 8 ; s s + 4 ; j j + 4 ; o o + ; Fm-Para; Fm-Para; Fm. (3.39 Logo, a matrz [ H ] para o modelo de csalhameto, fazedo-se as segutes defções, pode ser escrta a forma da equação (3.4: K + ( Q (3.4 K+ ( U (3.4

77 54 ( ( ( ( L L L L O M M M M M M M M L L L L L L L L ] [ D b K D b K SH K CH K K S C K D b K D b K CH K SH K C K K S K K SH K CH K K S C K CH SH C S T L K T L K L K R K L K R K H D b U D b Q U SH U CH Q S Q C D b U D b Q U CH U SH Q C Q S U Q U SH U CH Q S Q C CH SH C S CH T SH U L SH T U CH L C T S Q L S T Q C L U SH R CH L U U CH R SH L U Q S R Q C L Q C R Q S L M M M M M M M M (3.4

78 55 CAPÍTULO 4 VALIDAÇÃO Para que o programa computacoal desevolvdo pelo autor utlzado o software MATLAB teha cofabldade, é feta este capítulo sua valdação, comparado os resultados aqu gerados com aqueles dspoíves a lteratura. Icalmete descreve-se o programa computacoal, bem como a fução de suas sub-rotas, depos comparam-se as frequêcas admesoas de uma vga cotíua sob codções clásscas de apoo, e por fm, as frequêcas aturas são comparadas para dferetes dsposções de lâmas e de codções de cotoro. 4. O PROGRAMA COMPUTACIONAL DESENVOLVIDO Para a determação das frequêcas aturas de vgas compóstas, o programa desevolvdo é dvddo em rotas, de modo que a rota prcpal é resposável pela letura das sub-rotas. Ambos modelos de Euler-Beroull e de Csalhameto são ldos a mesma rota, de modo que os resultados sejam gerados jutos também.

79 56 Para o desevolvmeto das rotas usa-se como base o desevolvmeto matemátco apresetado o capítulo 3 e os apêdces A e B. Assm sedo, com base a teora proposta, o programa determa as frequêcas aturas admesoas e dmesoas de vgas compóstas lamadas, cotíuas ou escaloadas em partes, sobre apoos elastcamete varáves. A segur as rotas e a fução de cada uma delas: Rota Prcpal: É a rota que cotém e lê as demas sub-rotas. Sub-rota Etrada: Na sub-rota etrada, o usuáro forece as formações ecessáras a respeto da vga a ser estudada, sedo elas: o Número de escaloametos; o Valores dos módulos de elastcdade do compósto as dreções e, bem como os valores do módulo de csalhameto os plaos -, -3 e -3, e também o valor do coefcete de Posso o plao -, o qual é descosderado os modelos de vga estudados, cotudo é ecessáro a determação das costates elástcas do lamado; o Propredades geométrcas da vga, sedo elas os valores das bases, das alturas e dos comprmetos de cada trecho; o Propredades das lâmas, sedo o úmero de camadas de cada trecho, a espessura de cada lâma e a oretação das fbras de cada camada; o Valor da massa específca do lamado; o Valor do fator de forma ( k c utlzado o modelo de csalhameto, o qual depede da seção da área trasversal da vga; o Valores das costates admesoas dretamete proporcoas às rgdezes de rotação e traslação ( R e T, que são as codções de cotoro a serem adotadas. Sub-rota Matrz:

80 57 A matrz dos coefcetes [H] é determada esta sub-rota, a qual é geeralzada em fução do úmero de escaloametos da vga, sedo motada a partr do sstema de equações leares proveetes da aplcação das codções de cotoro especfcadas o capítulo ateror. Sub-rota Cálculo do Determate: Nesta sub-rota, o valor do determate da matrz [H] é ecotrado para uma estmatva cal de um tervalo que possa coter as frequêcas aturas da vga. Sub-rota Raízes: Aqu, realza-se a busca das frequêcas aturas admesoas através da fução fzero do Matlab. O algortmo utlzado a fução fzero é uma combação dos métodos da bsseção e da terpolação quadrátca versa. A busca é realzada a fução gerada após ecotrar-se o determate da matrz [ H ]. Sub-rota Cálculo das Frequêcas Naturas Dmesoas: São aqu determadas as frequêcas aturas da vga em Hz e em rad/s, as quas são determadas em fução dos valores das frequêcas aturas admesoas ecotradas a sub-rota Raízes, do valor da massa específca do compósto, do termo D referete ao lamado, do valor da base, do comprmeto total e da área da seção trasversal da vga. Sub-rota Resultado: Sub-rota resposável por agrupar os resultados proveetes de cada teora e mprm-los a tela do computador de forma orgazada e clara.

81 58 4. COMPARAÇÕES DE FREQUÊNCIAS NATURAIS DI- MENSIONAIS E ADIMENSIONAIS DE VIGAS CONTÍNUAS O programa computacoal fo desevolvdo para modelos de vga escaloada, como mostrado o capítulo 3, assm sedo, para que uma vga cotíua seja smulada, é ecessáro fazer-se a smulação de uma vga escaloada em duas partes, de modo que a área da seção trasversal dos dos trechos da vga seja a mesma, bem como o úmero de lâmas, a espessura de cada lâma e também a oretação das fbras de cada camada. Uma últma cosderação para a represetação de uma vga cotíua é a de que o comprmeto do segudo trecho da vga correspoda a um valor muto pequeo se comparado com o comprmeto do prmero trecho, apromadamete % do comprmeto total. Deste modo, cosegue-se fazer a represetação de uma vga cotíua através de uma vga escaloada em duas partes. Uma das vatages do programa computacoal desevolvdo este trabalho é que ele pode determar, de forma apromada, as frequêcas admesoas de uma vga feta a partr de um materal sotrópco, como o aço, por eemplo. Assm, tora-se possível aqu a comparação apromada com frequêcas admesoas calculadas para materas sotrópcos, tas como aquelas propostas por Ima ( e por Almeda (. Para sso, é ecessáro atrbur às costates elástcas solctadas pelo programa valores correspodetes aos do aço. Para fs de comparação, calmete, trabalha-se com vga cotíua com dferetes codções de apoos elástcos as etremdades. Os desvos relatvos (% etre os resultados são calculados pela equação 4.. Desvo Relatvo Freq. Freq. (4. Freq. teórcos calculada (% teórcos sedo Freq. teórcos os valores das frequêcas aturas proveetes de trabalhos dspoíves a lteratura e Freq. calculada os valores das frequêcas aturas calculados pelo programa computacoal desevolvdo pelo autor.

82 59 as costates Para os dferetes tpos de apoos elástcos, como apresetado o capítulo 3, usam-se R e T apresetadas as equações de (3.4 a (3.7, pela facldade de se trabalhar com costates admesoas. Essas costates são dretamete proporcoas à rgdez de rotação e traslação, R k e k, respectvamete. Logo, quado a rgdez de rotação e traslação tedem para fto, as costates admesoas T R e T tedem a fto também, este caso, o apoo apreseta uma rgdez muto alta, o que correspode a um apoo egastado, e se essas costates tedem a zero, sgfca que ão há ehuma restrção ou à rotação ou à traslação o apoo da vga, de modo que o apoo é lvre. Etão varado os valores das costates admesoas cosegumos smular as dferetes codções de cotoro estudadas. Para as smulações aqu realzadas, usam-se os dados proveetes da tabela 4., ode são forecdas formações relatvas ao aço e às propredades geométrcas da vga estudada. Os dados apresetados esta tabela foram obtdos de Almeda (. Tabela 4. Propredades geométrcas e do materal da vga cotíua smulada. Gradeza Valor Udade Módulo de elastcdade logtudal E, GPa Módulo de elastcdade trasversal E, GPa Módulo de csalhameto o plao - G 8, GPa Módulo de csalhameto o plao -3 G 3 8, GPa Módulo de csalhameto o plao -3 G 3 8, GPa Massa específca ρ 78 kg/m 3 Coefcete de Posso ν,3 - Coefcete de csalhameto k c 5/6 - Base b,75 m Espessura h,75 m Comprmeto L,5 m Número de lâmas - Oretação das fbras da lâma º

83 6 Nas tabelas de 4. a 4.7 são apresetadas as três prmeras frequêcas aturas admesoas ( ^ β para uma vga cotíua em fução de dferetes codções de apoos, de modo que os erros percetuas também são mostrados. Comparam-se as frequêcas aturas a- dmesoas aqu obtdas com aquelas ecotradas aaltcamete por Ima (, através do modelo de Euler-Beroull, e com aquelas obtdas por Almeda ( usado o modelo de Csalhameto. Tabela 4. - a, a e 3 a Frequêcas aturas admesoas para uma vga cotíua apoada apoada. L Vga Cotíua com, L,5 m h Freq. Ima ( Almeda ( Autor EB C EB C a 3,4 3,36 3,4 3,36 a 6,83 6,43 6,83 6,4 3 a 9,45 9,93 9,45 9,8 EB Euler-Beroull, C Csalhameto. Das tabelas de 4. a 4.7, observa-se que as frequêcas aturas admesoas para a vga cotíua obtdas pelo autor apresetam boa cocordâca para com aquelas ecotradas a lteratura, sedo que ão houve dfereça percetual para o modelo de Euler-Beroull, e dfereça muto pequea para o modelo de csalhameto. Embora a smulação teha sdo realzada para as propredades de um materal sotrópco, mas a partr do desevolvmeto teórco para um materal compósto, ota-se boa cocordâca com a lteratura, o que ajuda a cofabldade do programa desevolvdo.

84 6 Tabela Desvo relatvo (% etre os valores calculados e os valores teórcos vga cotíua apoada - apoada. Modelos de Vga a Frequêca Natural a Frequêca Natural 3 a Frequêca Natural Euler-Beroull,,, Csalhameto,,5,3 Tabela a, a e 3 a Frequêcas aturas admesoas para uma vga cotíua lvre lvre. L Vga Cotíua com, L,5 m h Freq. Ima ( Almeda ( Autor EB C EB C a 4,73 4,7 4,73 4,7 a 7,853 7,795 7,853 7,79 3 a,996,85,996,8 EB Euler-Beroull, C Csalhameto. Tabela Desvo relatvo (% etre os valores calculados e os valores teórcos vga cotíua lvre - lvre. Modelos de Vga a Frequêca Natural a Frequêca Natural 3 a Frequêca Natural Euler-Beroull,,, Csalhameto,,6,4

85 6 Tabela a, a e 3 a Frequêcas aturas admesoas para uma vga cotíua egastada lvre. L Vga Cotíua com, L,5 m h Freq. Ima ( Almeda ( Autor EB C EB C a,875,875,875,875 a 4,694 4,683 4,694 4,683 3 a 7,855 7,797 7,855 7,79 EB Euler-Beroull, C Csalhameto. Tabela 4.7 Desvo relatvo (% etre os valores calculados e os valores teórcos vga cotíua egastada lvre. Modelos de Vga a Frequêca Natural a Frequêca Natural 3 a Frequêca Natural Euler-Beroull,,, Csalhameto,,,6 Parte-se agora para a comparação das frequêcas aturas dmesoas e admesoas com as frequêcas ecotradas a lteratura para materas lamados, em fução das codções de apoo e da relação comprmeto sobre espessura ( h L dessas vgas. As smulações a serem apresetadas são realzadas em fução das propredades materas e geométrcas da vga lamada mostradas a tabela 4.8. Essas propredades foram obtdas de Yldrm e Kral ( e são valores característcos do compósto de fbra de carboo/resa epó, sedo o reforço udrecoal. As tabelas 4.9 e 4. mostram os valores das frequêcas em khz para uma vga cotíua lamada, costtuída de uma úca lâma oretada a º, smplesmete apoada as

86 63 etremdades, ode se comparam os valores obtdos para uma vga esbelta e para uma vga espessa. Tabela 4.8 Propredades materas e geométrcas da vga lamada. Gradeza Valor Udade Módulo de elastcdade logtudal E 44,8 GPa Módulo de elastcdade trasversal E 9,65 GPa Módulo de csalhameto o plao - G 4,4 GPa Módulo de csalhameto o plao -3 G 3 4,4 GPa Módulo de csalhameto o plao -3 G 3 3,45 GPa Massa específca ρ 389,3 kg/m 3 Coefcete de Posso ν,3 - Coefcete de csalhameto k c 5/6 - Nota-se a tabela 4.9, que há dscordâcas etre as váras teoras utlzadas para o cálculo das frequêcas aturas. Para a relação 5 o modelo de Euler-Beroull apresetou L h um desvo percetual de 7,54% para a prmera frequêca atural quado se utlza alguma teora que leve em cota o efeto do csalhameto. Já o modelo de csalhameto apresetou os valores das frequêcas etre aqueles dspostos a lteratura, assm sedo, o csalhameto, este caso, é um fator que deve ser cosderado, dada a sua fluêca sobre as frequêcas aturas.

87 64 Tabela Frequêcas aturas (em khz para uma vga espessa smplesmete apoada (º. L Vga Cotíua com 5, L 38 mm, b 5,4 mm h Referêcas Modos Chadrashekhara et al. a (99,755,548 4,76 6,96 9,94 Rao e Gaesa a (997,753,545 4,74 7, 9, Rao e Gaesa b (997,754,555 4,753 7,5 9,38 Chadrashekhara e Bagera c (99,756,554 4, Nab e Gaesa c (994,789,656 4, Yldrm e Kral d (,753,544 4,7 - - Autor (Csalhameto,756,555 4,73 6,979 9,5 Vso e Serakowsk e (987,83 3,5 7,34 3,,36 Autor (Euler-Beroull,83 3,5 7,3 3,,3 a - Teora de csalhameto de prmera ordem; b -Teora de csalhameto de alta ordem; c Método dos Elemetos ftos; d Teora de Tmosheko; e - Teora de Euler-Beroull. Tabela 4. - Frequêcas aturas (em khz para uma vga esbelta smplesmete apoada (º. L Vga Cotíua com, h 6,35 mm, b 5,4 mm h Referêcas Modos Chadrashekhara et al. a (99,5,3,457,8,69 Rao e Gaesa a (997,5,,45,798,36 Rao e Gaesa b (997,5,,454,84,5 Autor (Csalhameto,5,,45,798,33 Vso e Serakowsk e (987,5,3,457,8,69 Autor (Euler-Beroull,5,3,457,83,7 a - Teora de csalhameto de prmera ordem; b -Teora de csalhameto de alta ordem; e - Teora de Euler-Beroull.

88 65 L Da tabela 4., percebe-se que quado a relação é aumetada para um valor alto, os h valores obtdos pelo modelo de Euler-Beroull e de Csalhameto tedem a se apromar, prcpalmete para as prmeras frequêcas aturas, e este caso o efeto do csalhameto sobre o comportameto dâmco da vga pode ser descosderado. Nas tabelas 4.9 e 4., observa-se que os resultados obtdos pelo programa computacoal desevolvdo pelo autor apresetaram boa cocordâca com aqueles dspoíves a lteratura. Para essas tabelas, o desvo percetual ão fo tabelado, uma vez que a comparação fo realzada com váras referêcas, detre as quas pôde ser otado um pequeo desvo, assm ão fo adotado ehum modelo como referêca. A tabela 4. mostra as frequêcas aturas admesoas dadas pela equação 4., para dferetes âgulos de oretação das fbras das lâmas, bem como para dferetes codções de cotoro. Cabe ressaltar aqu que essas frequêcas aturas admesoas ( ω são dferetes daquelas mostradas aterormete, ^ β. Para vgas compóstas, as frequêcas admesoas dadas pela equação (4. são as mas comus ecotradas a lteratura. ad ρ ω ad ωl (4. Eh sedoω a frequêca atural agular da vga (rad/s, L o comprmeto da vga (m, ρ a massa específca do materal (kg/m³, E o módulo de elastcdade a dreção prcpal do lamado (Pa e h a espessura da vga (m.

89 66 Tabela 4. - Frequêcas aturas admesoas para uma vga feta a partr de um lamado agle-ply ( θ / θ / θ / θ. L ω ad 5 h Âgulo( Referêca SS CC CF CS Chadrashekhara et al (99,656 4,8487,98 3,735 Autor (Csalhameto,6577 5,95,5 4,5 Autor (Euler-Beroull,8577 6,4779,8 4,464 Krshawamy et al (99-4,869-3,837 Chadrashekhara et al (99,55 4,6635,949 3, Autor (Csalhameto,53 5,697,96 3,8847 Autor (Euler-Beroull,68 6,779,955 4,885 Krshawamy et al (99-3,988-3,43 Chadrashekhara et al (99,3 4,98,7678 3,573 3 Autor (Csalhameto,48 4,795,7887 3,639 Autor (Euler-Beroull,46 4,9975,7853 3,4439 Krshawamy et al (99 -,878 -,3 Chadrashekhara et al (99,5368 3,843,555,33 45 Autor (Csalhameto,5377 3,4645,563,39 Autor (Euler-Beroull,577 3,575,568,4638 Krshawamy et al (99 -,947 -,388 Chadrashekhara et al (99,4,984,363,55 6 Autor (Csalhameto,9,875,3649,5778 Autor (Euler-Beroull,34,3,3646,5988 Krshawamy et al (99 -,644 -,46

90 67 Cotuação da tabela 4. - Frequêcas aturas admesoas para uma vga feta a partr de um lamado agle-ply ( θ / θ / θ / θ. Âgulo (º Referêca SS CC CF CS Chadrashekhara et al (99,76,685,73, Autor (Csalhameto,7598,796,76,856 Autor (Euler-Beroull,7648,7338,75,948 Krshawamy et al (99 -,6 -,9 Chadrashekhara et al (99,73,6,69,3 9 Autor (Csalhameto,738,654,6,44 Autor (Euler-Beroull,7353,6668,69,487 Krshawamy et al (99 -,63 -,36 SS Smplesmete apoada; CC egastada as duas etremdades; CF egastada - lvre; CS egastada apoada. O gráfco da fgura 4. mostra o comportameto da frequêca admesoal em fução da varação do âgulo de oretação das fbras para o caso o qual a vga é smplesmete apoada, mostrado a tabela 4.. Uma vez que para todas as codções de apoos apresetadas o comportameto das frequêcas é o mesmo, é mostrado apeas o caso para a codção smplesmete apoada. Nota-se este gráfco que à medda em que o âgulo de oretação das fbras aumeta, até um valor de 9º, os valores das frequêcas admesoas ( ω dmuem para a mesma codção de cotoro. Outra observação é a de que a partr de um âgulo de 6º os valores das frequêcas obtdos pelos modelos de Euler-Beroull e Csalhameto toram-se muto prómos. Logo, para âgulos meores o efeto do csalhameto mostrou-se mas fluete sobre o modelo de Euler-Beroull. ad

91 68 Fgura 4. Comportameto da frequêca admesoal em fução da varação do âgulo de oretação das fbras. A tabela 4. mostra o desvo relatvo etre os valores calculados e os valores teórcos, sedo tomados como referêca os valores ecotrados por Chadrashekhara et al (99, uma vez que Krshawamy et al (99 também o tomam como referêca. O desvo relatvo etre estas duas referêcas também é mostrado. Observa-se da tabela 4. que os desvos relatvos toram-se pequeos à medda que o âgulo de oretação das fbras aumeta, tato para o modelo de Euler-Beroull, quato para o modelo de Csalhameto. Para âgulos de oretação das fbras de 45º a 9º, as propredades do lamado são domadas pela resa, de modo que ão depedem das fbras. Os desvos foram maores, em méda, para a codção de cotoro egastada-egastada tato para os modelos estudados pelo autor, quato para o modelo estudado por Krshawamy et al (99, que levaram em cota a adção do coefcete de Posso à teora de csalhameto de prmera ordem. O maor desvo percetual obtdo pelo autor fo de -33,6% para o modelo de Euler- Beroull, a codção egastada-egastada, equato que para Krshawamy et al (99, o maor desvo fo de 39,74% para a codção egastada-apoada. As maores apromações foram observadas para a codção de cotoro smplesmete apoada.

92 69 Tabela 4. Desvo relatvo (% etre as frequêcas aturas admesoas calculadas e teórcas para uma vga feta a partr de um lamado agle-ply ( θ / θ / θ / θ. Desvo (% Âgulo Modelo SS CC CF CS Autor (Csalhameto -,6 -, -4,38 -,4 Autor (Euler-Beroull -7,69-33,6-3,67-9,67 Krshawamy et al (99 - -,4 - -,85 Autor (Csalhameto -,7 -,9-3,9-9,4 5 Autor (Euler-Beroull -6,79-3,33-3,8-7,68 Krshawamy et al (99-4,48-8,89 Autor (Csalhameto -,8-5,6 -,7-6,76 3 Autor (Euler-Beroull -4,8 -,95 -,8 -,65 Krshawamy et al (99-9,77-7,6 Autor (Csalhameto -,6-8,8 -,44-3,86 45 Autor (Euler-Beroull -,6 -,7 -, -6,97 Krshawamy et al (99-38,86-39,74 Autor (Csalhameto,5-4,5 -,5 -,7 6 Autor (Euler-Beroull -,9-5,54 -,4-3,8 Krshawamy et al (99-5, - 6, Autor (Csalhameto,7 -,7 -, -,88 75 Autor (Euler-Beroull -,49-3, -,7 -,66 Krshawamy et al (99-3,6-3,94 Autor (Csalhameto,6 -, -,8 -,8 9 Autor (Euler-Beroull -,45 -,89, -,55 Krshawamy et al (99 - -,68 - -,4

93 7 Na tabela 4.3, são mostradas as frequêcas admesoas de uma vga lamada cotíua sob dferetes codções de apoos. Os resultados são comparados com Chadrashekhara et al (99, sedo que o desvo relatvo também é mostrado. Tabela Frequêcas aturas admesoas para a vga cotíua (º/9º/9º/º. L ω ad 5 h Modo Referêca SS CF CS CC Chadrashekhara et al (99,53,94 3,554 4,594 Autor (Csalhameto,559,963 3,874 5,593 Autor (Euler-Beroull,6858,9568 4,958 6,885 Chadrashekhara et al (99 8,48 4,895 9,443,96 Autor (Csalhameto 8,568 5,466,596,8736 Autor (Euler-Beroull,7433 5,9963 3,597 6,783 Chadrashekhara et al (99 5,7558,44 6,3839 6, Autor (Csalhameto 5,867,965 8,56,8545 Autor (Euler-Beroull 4,74 6,7897 8,369 3,95 SS Smplesmete apoada; CC egastada as duas etremdades; CF egastada - lvre; CS egastada apoada. De acordo com a tabela 4.4, os modelos de Euler-Beroull e de Csalhameto apresetam os meores desvos relatvos para a codção smplesmete apoada, e também para as prmeras frequêcas, sedo que para a codção egastada-egastada os desvos observados foram os maores, de modo que para a tercera frequêca da codção egastada-egastada os desvos relatvos foram muto altos.

94 7 Tabela 4.4 Desvo relatvo (% etre as frequêcas aturas admesoas calculadas e teórcas. Desvo (% L h 5 Modo Referêca SS CF CS CC 3 Autor (Csalhameto -,4-4, -9,84 -,69 Autor (Euler-Beroull -7,33-3,54-9, -3,53 Autor (Csalhameto -,3 -,6 -, -5, Autor (Euler-Beroull -6,67 -,56-44, -63,9 Autor (Csalhameto -,3 -,8 -,43 -,9 Autor (Euler-Beroull -53,4-46,76-73,5-93,93 SS Smplesmete apoada; CC egastada as duas etremdades; CF egastada - lvre; CS egastada apoada. As propredades geométrcas e de materas da vga smulada a tabela 4.6 são apresetadas a tabela 4.5. Os dados da tabela 4.5 foram obtdos de Tta (999, o qual determou as frequêcas aturas de uma vga cotíua lamada a codção egastada lvre utlzado o método dos elemetos ftos e também epermetalmete. Na tabela 4.7 o desvo relatvo etre as frequêcas geradas pelas teoras de Euler- Beroull e Csalhameto em relação às frequêcas obtdas epermetalmete por Tta (999 é mostrado. Ada esta tabela, o desvo obtdo etre o método dos elemetos ftos e epermetalmete, relatvo ao trabalho de Tta (999 também é mostrado e em todas as determações, as frequêcas obtdas epermetalmete foram tomadas como referêca, de acordo com a equação (4.3. Desvo Relatvo Freq. Freq. (4.3 Freq. epermetal calculada (% epermetal

95 7 sedo Freq.epermetal a frequêca obtda epermetalmete por Tta (999 e Freq.calculada aquela obtda aaltcamete pela teora de Euler-Beroull e Csalhameto ou umercamete pelo método dos elemetos ftos. Tabela 4.5 Propredades materas e geométrcas da vga lamada. Gradeza Valor Udade Módulo de elastcdade logtudal E 44,8 GPa Módulo de elastcdade trasversal E,7 GPa Módulo de csalhameto o plao - G 4,86 GPa Módulo de csalhameto o plao -3 G 3 4,86 GPa Módulo de csalhameto o plao -3 G 3 4,45 GPa Massa específca ρ 78, kg/m 3 Coefcete de Posso ν,8 - Coefcete de csalhameto k c 5/6 - Base da vga b,5 m Espessura da vga h,6 m Comprmeto da vga L,45 m Das tabelas 4.6 e 4.7 ota-se que os valores obtdos pelos modelos de Euler- Beroull e Csalhameto foram pratcamete os mesmos, sso se deve ao fato da vga em estudo ser muto esbelta, de modo que o efeto do csalhameto tora-se desprezível quado comparado ao modelo de Euler-Beroull, e esses valores se apromaram mas dos valores obtdos umercamete pelo método dos elemetos ftos do que os obtdos epermetalmete. De acordo com Tta (999, város fatores podem terferr a precsão dos valores, etre eles destacam-se a preseça de ruídos durate as medções, preseça de defetos as amostras, tas como porosdade e falta de uformdade a espessura. Outro poto mportate é o de que a vga fo feta de tecdo de fbra de vdro, ou seja, tecdo bdrecoal, e as propredades utlzadas tato este trabalho quato o trabalho de Tta (999 foram relatvas a fbras udrecoas. Mas mesmo assm, ota-se boa apromação dos dados obtdos aaltcamete com aqueles obtdos umercamete pelo método dos elemetos ftos.

96 73 Tabela Frequêcas aturas (em Hz para uma vga esbelta. L Frequêcas aturas em Hz ( 65, 6 h Tta (999 Autor Referêca MEF [45/-45/45/-45/45/-45/45/-45//9] s EXP [45/-45/45/-45/45/-45/45/-45//9] s MEF [/9//9//9//9//9] s EXP [/9//9//9//9//9] s C [45/-45/45/-45/45/-45/45/-45//9] s EB [45/-45/45/-45/45/-45/45/-45//9] s C [/9//9//9//9//9] s EB [/9//9//9//9//9] s Modos ,8 9,9 83,8 64,5 7,6 4, 5,5 74, 39, - 6,7 4, 7,6 3, 379,6 4,5 8, 84, - - 4,9 3,7 85,9 68,3 78, 4,9 3,7 85,9 68,3 78,3 6,6 4,7 6,6 8,5 377,5 6,6 4,7 6,6 8,6 377,9 s - smétrco; MEF Método dos elemetos ftos; C Csalhameto; EB Euler-Beroull; EXP Epermetal. Ada em relação ao trabalho de Tta (999, ão é otada uma elevação o desvo relatvo à medda que os modos aumetam, como observado os demas trabalhos ecotrados a lteratura, porém, o que é observado é uma redução os valores dos desvos com o aumeto dos modos. Isso se deve prcpalmete à utlzação de propredade referetes a fbras udrecoas as smulações, equato que o resultado epermetal reproduz felmete as frequêcas referetes a um lamado bdrecoal, assm o desvo comporta-se de forma esperada. Para a prmera codção estudada, os desvos obtdos pelos modelos de Euler-Beroull e Csalhameto foram um pouco maores que os obtdos por Tta (999, porém para a seguda codção, os desvos foram meores que os obtdos por este autor.

97 74 Tabela 4.7 Desvo relatvo etre as frequêcas aturas obtdas teorcamete e epermetalmete. L Desvo (%, 65, 6 h Tta (999 Autor Referêca MEF [45/-45/45/-45/45/-45/45/-45//9] s MEF [/9//9//9//9//9] s C [45/-45/45/-45/45/-45/45/-45//9] s EB [45/-45/45/-45/45/-45/45/-45//9] s C [/9//9//9//9//9] s EB [/9//9//9//9//9] s Modos , -7,3-3, -8, ,9-5, -4, - - -,5 -,4-6, -, - -,5 -,4-6, -, - -46,7-48,9-38, ,7-48,9-38,8 - - s - smétrco; MEF Método dos elemetos ftos; C Csalhameto; EB Euler-Beroull. 4.3 COMPARAÇÕES DAS FREQUÊNCIAS NATURAIS DE UMA VIGA ESCALONADA EM DUAS PARTES Nesta parte do capítulo, são apresetadas as frequêcas admesoas de um modelo de vga escaloada. Aqu, mas uma vez faz-se recorrêca à comparação de frequêcas aturas obtdas pelo programa computacoal desevolvdo pelo autor com aquelas obtdas a lteratura para vgas fetas a partr de materal sotrópco, uma vez que são poucos os trabalhos evolvedo a aálse dâmca de vgas lamadas escaloadas. Embora os estetes apresetem as frequêcas para este tpo de vga, algus deles aalsam a fluêca de algus parâmetros sobre os resultados, como por eemplo, a fluêca da velocdade de mpacto sobre as frequêcas aturas da vga, de modo que esses parâmetros ão são cosderados o presete trabalho.

98 75 Tog (995, ctado por Almeda (, determa as três prmeras frequêcas aturas admesoas de uma vga com um escaloameto egastada em uma etremdade e lvre a outra. Os resultados são obtdos através do método dos elemetos ftos, utlzado-se o modelo de vga de Tmosheko. A fgura 4. lustra a vga estudada por Tog (995. Fgura 4. Vga com um escaloameto. Fote: Tog (995. Nas tabelas 4.9 e 4. são apresetados os valores e os desvos relatvos (% das três L prmeras frequêcas aturas admesoas para três dferetes relações. Os valores calculados pelo autor são comparados com os valores obtdos por Almeda ( tato para o h modelo de Euler-Beroull quato para o modelo de Csalhameto. As propredades geométrcas e materas da vga smulada as tabelas 4.9 e 4. são apresetadas a tabela 4.8. Os dados da tabela 4.8 foram obtdos de Tog (995, ctado por Almeda (. Sedo que os valores de b, h e L, para as tabelas 4.9 e 4. são escolhdos de maera que satsfaça a relação h L das tabelas. Observa-se da tabela 4.9 que há dfereças etre os valores calculados e os valores teórcos obtdos por Almeda (. Isso se deve ao fato de que, mesmo que os modelos teórcos estudados desprezem o efeto do coefcete de Posso, ele é serdo a determação das costates elástcas, como mostra a equação (.33 para a determação da matrz de rgdez reduzda do lamado. Assm, mesmo utlzado-se as propredades pertecetes a mate-

99 76 ras sotrópcos, a rgdez fleural da vga sofre dretamete a fluêca do coefcete de Posso, de modo que para a vga lamada, a rgdez fleural bd é dferete da rgdez fleural EI da vga sotrópca, pos o termo D depede da equação (.33, que por sua vez é fução do coefcete de Posso. Tabela 4.8 Propredades geométrcas e materas da vga escaloada. Gradeza Valor Udade Base b b b m Espessura h h h, 8 m / Comprmeto L L / L / 3 m Coefcete de Posso ν,3 - Coefcete de csalhameto k c 5/6 - Tabela Frequêcas aturas admesoas da vga escaloada em duas partes egastada - lvre. L h,7,8 7, Modo ^ Tog (995 β Almeda (, k ^ ^ β, k Autor β, T EB C EB C 3,8 3,97 3,97 3,83 3,83,354,335,59,577,5 3 55,4 58,38 57,668 56,346 55,75 3,83 3,97 3,97 3,83 3,835,78,335,33,578,7 3 5,685 58,38 55,86 56,35 53,897 3,77 3,97 3,97 3,845 3,856 9,83,335,669,68, ,354 58,38 53,87 56,47 5,74 EB Euler-Beroull, C Csalhameto, T Tmosheko. k

100 77 Tabela 4. Desvo relatvo (% etre os valores calculados pelo autor e os valores teórcos obtdos por Almeda ( vga escaloada egastada - lvre. Desvo (% Modelo Modo L h,7,8 7, Euler- Beroull Csalhameto 3,55 3,55 3, 3,39 3,39 3,5 3 3,36 3,36 3,3 3,5 3,45,9 3,4 3,46 3,4 3 3,4 3,5 4,65

101 78 CAPÍTULO 5 EXPERIMENTO A parte epermetal do presete trabalho costa de duas etapas: A prmera dz respeto à cofecção dos modelos de vga cotíua e escaloada em materal compósto lamado, e a seguda refere-se à determação epermetal das frequêcas aturas dessas vgas. A segur, ambas etapas são descrtas, cludo os processos utlzados, os materas e equpametos evolvdos. Todos os dados téccos dos equpametos utlzados estão cotdos o Apêdce C desta dssertação. 5. CONFECÇÃO DOS MODELOS DE VIGA A cofecção dos modelos de vga esaados fo realzada o Laboratóro de Materas Compóstos do IEM da UNIFEI, ode foram motadas as vgas utlzado-se tecdo de fbra bdrecoal de vdro plao WR4 e resa epó da Hutsma, em sstema resa/edurecedor (Araudte LY 55/ Aradur 55. Icalmete, com a ajuda de uma régua e um pcel marcador, foram desehados o tecdo quatro retâgulos de 35 cm de comprmeto (o setdo do comprmeto do rolo a º

102 79 por 3 cm de largura. Logo após mas dos retâgulos de 5 cm e por fm mas dos de 5 6 cm. Esses retâgulos foram cortados com uma tesoura, tomado-se os devdos cudados para que o corte fosse realzado a dreção º das fbras do tecdo. Em seguda, os retâgulos foram combados de maera que os quatro maores foram sobrepostos prmero, depos os dos termedáros foram colocados sobre os quatro prmeros e por fm os dos meores sobre os dos termedáros, de modo a formar uma placa com espessura ão costate ao logo de seu comprmeto. Todas as lâmas foram colocadas de modo que a oretação de suas fbras fosse º com relação ao seu comprmeto. Tal combação de lâmas é mostrada a fgura 5.. Dessa forma, após a fusão da resa as lâmas, a placa pode ser cortada o setdo de seu comprmeto, assm obtêm-se os modelos de vga cotíua, escaloada em duas partes e escaloada em três partes. Fgura 5. - Vsta superor da dsposção das lâmas da placa escaloada a espessura. Motado o esquema de lamação, parte-se para o procedmeto de fusão da resa o tecdo de fbra de vdro. Para sso fo utlzada a Moldagem por Trasferêca de Resa Assstda por Vácuo (VARTM, que costa de um processo ode a resa é trasferda para o teror das fbras das lâmas através de um gradete de pressão desevolvdo o teror de uma bolsa de vácuo, ode se ecotra a pré-forma (ou fbras do reforço, como mostrado a fgura 5..

103 8 Fgura 5. - Esquema do processo VARTM. Icalmete, passou-se sobre o ferrametal (ou base de solameto, este caso uma superfíce metálca plaa, um desmoldate, cuja fução é facltar a desmoldagem a retrada do lamado. Em seguda fo colocada uma camada de peel ply, que é um tecdo fo e poroso resposável pelo bom acabameto do materal. Sobre a prmera camada de peel ply, foram colocadas as lâmas do tecdo de fbra de vdro (pré-forma a dsposção desejada, tal como a fgura 5.. Sobre a pré-forma, colocou-se ovamete outra camada de peel ply, e sobre esta, uma rede de plástco (tecdo de dstrbução de resa do tamaho apromado da placa do reforço, cuja fução é facltar e acelerar o movmeto da resa sobre as fbras, dmudo-se assm o tempo do processo. Após esse arrajo, foram colocados dos dutos em forma de espral, as etremdades do lamado. Em seguda, toda a motagem fo coberta por um plástco para a formação da bolsa de vácuo, de modo que esse plástco teve suas bordas vedadas através de um selate de bordas, que fo colocado etre o plástco e a base de solameto. Fechada a bolsa, o prómo passo fo coectar uma maguera etera a um dos dutos e a um ful que ra coter a resa à pressão atmosférca. Outra maguera fo coectada o outro duto e em uma bomba de vácuo. Para a averguação do correto fechameto da bolsa ates da fusão da resa, lgou-se a bomba e retrou-se todo o ar de detro da bolsa, e fo procurada qualquer possível etrada de ar a mesma.

104 8 Logo após, a resa fo preparada, sedo msturados 48,6 gramas de Araudte LY 55 com 56,47 gramas de Aradur 55, tal como dcado pelo fabrcate ( partes em peso de resa para 38 de edurecedor. A quatdade ecessára dessas duas partes é uma fução da área ou do peso do reforço e do volume de fbras desejado, de acordo com o recomedado pelo fabrcate. Os compoetes da resa foram msturados maualmete por 5 mutos com o auílo de uma haste de madera para homogeezar a mstura. Em seguda, a resa etão msturada fo levada a um taque de pressão, ode permaeceu por um tempo de mutos sob pressão de 6 pol/hg eercda pela bomba de vácuo. Assm todas as bolhas de ar devdas à mstura maual foram retradas, elmado-se etão o possível aparecmeto de vazos o teror do lamado. Após toda a preparação, partu-se falmete para a fusão da resa, a qual fo colocada em um ful suspeso e coectado a uma maguera com uma válvula para o cotrole de seu fluo. Assm, a partr do mometo em que a bomba de vácuo fo lgada, devdo ao gradete de pressão a resa começou a ser movmetada sobre a pré-forma. O tempo total da fusão fo de apromadamete 9 mutos. As fotografas mostradas as fguras 5.3 a 5.7 lustram as etapas do processo. Fgura Marcação e corte das lâmas.

105 8 Fgura Bolsa de vácuo motada. Fgura Equpameto motado destado à fusão da resa o reforço.

106 83 Fgura Movmeto da resa a pré-forma: a o íco; b o meo e c após a fusão. Termado o processo de fusão da resa o reforço, é ecessáro certo tempo de descaso para que a resa fque totalmete polmerzada (curada ou edurecda, tempo este chamado de tempo de cura. Esse tempo pode ser meor caso se cosga aumetar a temperatura sobre o compósto, assm, utlzou-se uma mata térmca que foreceu uma temperatura de 8ºC durate 4 horas para o processo de cura da resa. Fgura Mata térmca o processo de cura da resa. Trascorrdo o tempo de cura, desmotou-se a bolsa e os equpametos e retraram-se as camadas de peel ply. A placa obtda fo cortada o setdo de seu comprmeto para a ob-

107 84 teção dos modelos de vga a serem esaados, desprezado-se as bordas logtudas e trasversas de cada vga. A máqua utlzada o corte fo uma máqua de dsco de corte. Obtdos os corpos de prova, os mesmos foram submetdos a lameto as lateras que foram cortadas, de modo a obter-se bom acabameto e correções de possíves desuformdades durate o corte, usado-se calmete la 4 e posterormete para o acabameto la 6. Todo o lameto fo realzado embao de água. 5. CARACTERIZAÇÃO DO COMPÓSITO A determação da desdade do materal compósto fo feta através do Prcípo de Arqumedes. Foram retradas três amostras quadradas com 3 cetímetros de lado para a determação da desdade. De acordo com esse prcípo, todo corpo submerso totalmete ou parcalmete em um líqudo está sujeto à ação de uma força vertcal de bao para cma chamada empuo (E, de tesdade gual ao peso do líqudo deslocado. Assm, as equações de (5. a (5.6 descrevem a determação da desdade do compósto merso o líqudo. Neste caso a água, sedo m L a massa do líqudo deslocado (kg, g a aceleração da gravdade (m/s², ρ L a desdade do líqudo (kg/m³, V L o volume do líqudo deslocado (m³, V c o volume do corpo merso, m c a massa do corpo (kg e ρ c a desdade do corpo. E m g (5. ou E V g (5. ρ L L L Cosderado-se que o volume do líqudo deslocado é gual ao volume do corpo: V V V (5.3 c L

108 85 Como: V m c (5.4 ρ c Substtudo (5.4 em (5.: mc E ρ g (5.5 L ρ c Igualado-se (5.5 a (5.: m c ρ c ρ L (5.6 ml Desta forma, a partr da equação (5.6 tora-se possível a obteção da desdade do compósto. Para a determação das demas propredades deste materal, através da Regra das Msturas, as característcas de cada compoete são dadas separadamete a tabela 5.. Tabela 5. Propredades dos costtutes do compósto. Propredade Reforço Matrz Desdade (g/cm³,54,5 Módulo de Elastcdade (GPa 7,5 3,4 Módulo de Csalhameto (GPa 3,3 Coefcete de Posso,,3 Para a determação da porcetagem em volume de fbras e de matrz presete o compósto desevolvdo através da regra das msturas, é ecessáro o cohecmeto da porcetagem em peso de cada costtute. Para sso foram retrados três corpos de prova (,5 8 cm da placa com a faldade de secagem dos mesmos em estufa por 3 horas a 4ºC, assm, cosegue-se a remoção da resa e determa-se a porcetagem em peso referete às fbras.

109 86 A tabela 5. mostra os valores das porcetages em peso da fbra (W r e da matrz (W m, bem como os valores das massas cas e fas de cada corpo de prova. Tabela 5. Valores das massas cas, fas e das porcetages em peso de cada fase. Propredade Corpo de prova 3 Massa cal (g 3,5 3,6,9793 Massa fal (g,47,675,368 W r (% 7,7 7,83 75,8 W m (% 8,83 9,7 4,9 Assm, a porcetagem em peso méda do reforço fo de 7,36% e da matrz, 7,64%, e com a utlzação da equação (.6 chegou-se ao valor da porcetagem em peso das fbras (V f. Com a utlzação da Regra das Msturas, as propredades característcas do compósto cofeccoado que este trabalho serão utlzadas, estão apresetadas a tabela 5.3. Tabela 5.3 Propredades do compósto. Propredade Udade Valor Fração volumétrca de fbra ( V % 54,4% f Desdade ( ρ kg/m³ 98, Módulo de elastcdade logtudal ( E GPa 3,96 Módulo de elastcdade trasversal ( E GPa 3,96 Módulo de csalhameto o plao - ( G GPa,7 Módulo de csalhameto o plao -3 ( G 3 GPa 3,4 Módulo de csalhameto o plao -3 ( G 3 GPa 3,4 Coefcete de Posso o plao - ( v -, Após a obteção e caracterzação do materal compósto lamado, partu-se para o esao de vbração lvre dos modelos de vga.

110 DESCRIÇÃO DO ENSAIO DE VIBRAÇÃO LIVRE Os esaos de vbração foram realzados o Laboratóro de Vbrações Mecâcas do IEM da UNIFEI. Esta parte do epermeto tem a faldade de levatar epermetalmete as propredades dâmcas de vgas lamadas uformes e escaloadas a fm de se compararem as frequêcas aturas calculadas pelo programa desevolvdo pelo autor com as frequêcas meddas o laboratóro. Foram aalsadas três vgas compóstas lamadas, sedo uma cotíua, uma escaloada em duas partes e a outra, escaloada em três partes. As fguras de 5.8 a 5. mostram as vgas e a respectva deomação de seus parâmetros geométrcos. Fgura Modelo de vga lamada cotíua. Fgura Modelo de vga lamada escaloada em duas partes.

111 88 Fgura 5. - Modelo de vga lamada escaloada em três partes. A tabela 5.4 cotém os valores referetes à largura, espessura e comprmeto de cada trecho de cada vga mostrada as fguras de 5.8 a 5.. Esses valores foram meddos com um paquímetro dgtal e referem-se às médas de algumas medções. Tabela 5.4 Propredades geométrcas das vgas utlzadas os esaos. Vga Propredade Udade Trecho 3 Comprmeto (L m,3 - - Cotíua Espessura (h m,9 - - Largura (b m, Número de lâmas (º Comprmeto (L m,3,79 - Escaloada: Espessura (h m,3,89 - duas partes Largura (b m,7, Número de lâmas (º Comprmeto (L m,3757,998,799 Escaloada: Espessura (h m,69,35,94 três partes Largura (b m,58,53,5 Número de lâmas (º

112 Frequêcas aturas Os esaos em laboratóro tveram como objetvo a determação das frequêcas aturas das vgas compóstas lamadas, uma vez que o cohecmeto dessas frequêcas é de fudametal mportâca para o cohecmeto do comportameto de uma estrutura quado solctada damcamete. As frequêcas obtdas epermetalmete servram também para a comparação com aquelas calculadas pelo programa computacoal desevolvdo pelo autor. Para a realzação do esao, a codção de cotoro utlzada fo a egastada-lvre, ode a vga tem seus movmetos restrtos em uma etremdade, através de seu egaste em um suporte que é muto bem apertado, elevado assm a rgdez o apoo da vga, a qual é colocada em osclação medate a aplcação de um mpulso o plao perpedcular ao plao de fação da vga, a altura de sua lha eutra e em sua etremdade lvre. O mpulso aplcado ecta damcamete a vga. Assm a vga etra em movmeto e o sal deste movmeto é captado pelo vbrômetro laser, poscoado o mesmo plao de aplcação da força mpulsva e trasmtdo ao aalsador de sas, coforme a fotografa 5.. Devdo à trasparêca do materal costtute da vga, fo colocado em sua etremdade sob a cdêca do laser um pequeo pedaço de fta solate, de modo que o laser pudesse capturar melhor o movmeto da vga. O aalsador é capaz de receber e armazear um úmero bastate grade de sas do vbrômetro em curtos tervalos de tempo, permtdo a obteção dos gráfcos de espectro de frequêca. Nas tabelas de (5.5 a (5. estão presetes os resultados obtdos os esaos e os valores gerados pelo programa computacoal desevolvdo pelo autor, bem como os erros relatvos, dados pela equação (5.7. As frequêcas meddas em laboratóro apresetam-se em Hertz, equato que o programa computacoal permte a obteção dos valores em rad/s, em Hz e em valores admesoas, β, k, os quas são substtuídos a equação (5.7 para o cálculo das frequêcas em rad/s e posterormete utlzado a equação (5.8 obtêm-se as frequêcas em Hz, que serão utlzadas para as comparações.

113 9 Fgura 5. - Vga egastada, Vbrômetro Laser e Aalsador de Sas. Cálculo da frequêca atural: β ωk L b D, k ρa (5.7 ωk f k (5.8 π sedoω a k -ésma frequêca atural agular (rad/s, k β a k -ésma frequêca atural, k admesoal que tem como referêca o prmero trecho da vga escaloada, L o comprmeto total da vga (m, D o termo que reflete a rgdez à fleão do materal do prmero trecho da vga (N.m, b a largura do prmero trecho da vga (m, ρ a massa específca (kg/m 3, A a área da seção trasversal do prmero trecho da vga escaloada (m, f k a k -ésma frequêca atural (Hz, k o ídce que dca a k -ésma frequêca atural e ídce de β, D e b referete ao prmero trecho da vga escaloada.

114 9 As fguras 5. a 5.4 mostram os espectros de frequêca de cada vga esaada. Os desvos relatvos (% para todas as tabelas a segur são calculados pela equação (5.9 e os valores das frequêcas de laboratóro tabeladas são retrados das fguras de espectro de frequêca. Desvo Relatvo Freq. Freq. (5.9 Freq. epermetal calculada (% epermetal sedo Freq. epermetal as frequêcas aturas proveetes dos esaos e Freq. calculada as frequêcas aturas calculadas pelo programa computacoal desevolvdo pelo autor. Fgura 5. - Espectro de frequêca da vga uforme. A tabela 5.5 mostra a comparação etre as frequêcas aturas obtdas epermetalmete e através do programa computacoal desevolvdo pelo autor. Já a tabela 5.6, mostra o desvo relatvo etre as mesmas.

115 9 Tabela 5.5 Três prmeras frequêcas epermetas e calculadas da vga cotíua lamada (Hz. Freq. L Frequêcas aturas (Hz ( 337 h Epermetal Euler- Beroull Csalhameto a 4,3858 5,596 5,539 a 7, ,8889 3, a 77, ,4987 9,39796 Tabela Desvo relatvo (% etre os valores epermetas e os valores calculados das frequêcas aturas da vga cotíua. Modelos de Vga a Frequêca Natural a Frequêca Natural 3 a Frequêca Natural Euler-Beroull -7,49-7,98-7,6 Csalhameto -7,49-7,97-7,5 Nota-se boa cocordâca etre os modelos de Euler-Beroull e Csalhameto, pos a vga é esbelta e o efeto do csalhameto é desprezível. A fgura 5.3 e as tabelas 5.6 e 5.7 apresetam o espectro de frequêca do esao, as frequêcas aturas e os desvos relatvos (% etre os valores de frequêcas aturas epermetas e calculadas, respectvamete, para o modelo de vga escaloada em duas partes. Como a vga lamada é fa e tem seu comprmeto muto maor que sua espessura, o efeto do csalhameto tora-se desprezível, como pode ser observado a tabela 5.5 a promdade etre os valores obtdos pelo modelo de Euler-Beroull e pelo modelo de Csalhameto.

116 93 Fgura Espectro de frequêca da vga escaloada em duas partes. Tabela Três prmeras frequêcas epermetas e calculadas da vga escaloada em duas partes (Hz. L L Frequêcas aturas (Hz ( 76, 3, 89, h h Freq. Epermetal Euler- Beroull Csalhameto a 7,849,7443,758 a 4, , ,638 3 a 4,974 5, ,38979 Novamete é observada uma boa cocordâca etre os modelos de Euler-Beroull e Csalhameto. Com o escaloameto, ota-se um aumeto as frequêcas aturas. Isso se deve ao aumeto de rgdez em cada trecho devdo ao aumeto das lâmas, este casso duas lâmas acrescdas ao prmero trecho da vga já proporcoaram um aumeto cosderável as frequêcas aturas da estrutura.

117 94 Tabela 5.7 Desvo relatvo (% etre os valores epermetas e os valores calculados das frequêcas aturas da vga escaloada em duas partes. Modelos de Vga a Frequêca Natural a Frequêca Natural 3 a Frequêca Natural Euler-Beroull -8,5-3, -45,4 Csalhameto -8,5-3, -45,38 A fgura 5.4 e as tabelas 5.8 e 5.9 apresetam o espectro de frequêca do esao, as frequêcas aturas e os desvos relatvos (% etre os valores de frequêcas aturas epermetas e calculadas, respectvamete, referetes à vga escaloada em três partes. Fgura Espectro de frequêca da vga escaloada em três partes.

118 95 Tabela Três prmeras frequêcas epermetas e calculadas da vga escaloada em três partes (Hz. Freq. Frequêcas aturas (Hz L L L ( 8, 4, 68, 9, 85, h h h Epermetal 3 Euler- Beroull Csalhameto a,8663 6, ,79963 a 47, ,358 86, a 6, ,7833 3,563 Tabela Desvo relatvo (% etre os valores epermetas e os valores calculados das frequêcas aturas da vga escaloada em três partes. Modelos de Vga a Frequêca Natural a Frequêca Natural 3 a Frequêca Natural Euler-Beroull -55,7-83,8-97,37 Csalhameto -55,7-83,6-97,6 Para o caso da vga escaloada em três partes, os valores das frequêcas aturas foram ada maores que os da vga escaloada em duas partes, devdo ada ao fato da adção de camadas elevar a rgdez da vga, deado a estrutura meos fleível. Os desvos relatvos ão foram baos, prcpalmete para os casos ode a vga fo escaloada. Algus fatores fazem com que esses desvos se torem maores, como aqueles relacoados às amostras, como por eemplo a preseça de porosdade, a falta de uformdade a espessura medda da vga e a superfíce rregular das amostras. Durate o desevolvmeto aalítco dos modelos de vga, esses fatores ão são levados em cota, pos cosderam-se amostras perfetas e com uma dstrbução homogêea de propredades, fato este que ormalmete ão ocorre com amostras reas. Outro aspecto a ser cosderado é o de que as

119 96 propredades do materal utlzadas os cálculos são proveetes da Regra das Msturas, a qual ão cosdera os efetos da terface fbra-matrz e em da dstrbução rregular de resa sobre o reforço. Assm, a dstrbução ão uforme da resa etre as fbras e cosequetemete a preseça de regões ode as lâmas ão foram perfetamete coladas podem eercer uma boa fluêca os valores das frequêcas obtdas, de modo que os deslocametos observados presetes o lamado sejam dferetes daqueles adotados para um elemeto ftesmal de um corpo elástco, como mostrado a equação (.39, devdo à possbldade de uma lâma da vga, durate a fleão, deslocar-se ou escorregar-se sobre as outras lâmas. Para as vgas escaloadas, outro poto mportate dz respeto à sobreposção das lâmas, pos pode ser que algumas lâmas ão teham fcado oretadas eatamete a º o setdo logtudal e o escaloameto pode ão ter sdo perfeto, pos como se trata de lâmas costtuídas de fbras, é possível que ão houve uma redução brusca da seção trasversal de área, equato que o modelo aalítco essa redução de área é cosderada perfeta. E por fm, durate o corte das vgas a partr da placa compósta, para que o corte fosse perfeto a º era ecessáro que os lados da placa formassem âgulos retos etre s, para o perfeto ecae a máqua de corte, fato este que pode ão ter ocorrdo. Assm, ota-se que város fatores podem fazer com que os resultados epermetas se apromem ou se afastem daqueles obtdos aaltcamete, e que em materas compóstos, cada um desses fatores pode ter um efeto cosderável sobre as frequêcas aturas obtdas.

120 97 CAPÍTULO 6 RESULTADOS O objetvo deste capítulo é o de apresetar as frequêcas aturas admesoas de vgas escaloadas em duas e em três partes, dadas pela equação 6., uma vez que as frequêcas admesoas propostas por esta equação são as mas ecotradas a lteratura, e avalar o efeto da oretação das fbras sobre estss frequêcas. As vgas são cosderadas sobre a- poos elástcos as suas etremdades. Os resultados apresetados aqu foram gerados pelo programa computacoal desevolvdo pelo autor, e algus desses resultados ada ão se ecotram dspoíves a lteratura. Logo, estes resultados poderão servr de base para o estudo de outros autores sobre o tema. As propredades do materal das vgas a serem smuladas são apresetadas a tabela 6., equato que as propredades geométrcas das vgas cotíuas e escaloadas são apresetadas a tabela 6.. L ρ ω ad ω (6. Eh sedoω a frequêca atural agular da vga (rad/s, L o comprmeto total da vga (m, ρ a massa específca do materal (kg/m³, E o módulo de elastcdade a dreção prcpal do lamado (Pa e h a espessura do prmero trecho da vga (m.

121 98 Tabela 6. Propredades materas das vgas smuladas (Yldrm e Kral (. Propredade Udade Valor Desdade ( ρ kg/m³ 389,3 Módulo de elastcdade logtudal ( E GPa 44,8 Módulo de elastcdade trasversal ( E GPa 9,65 Módulo de csalhameto o plao - ( G GPa 4,4 Módulo de csalhameto o plao -3 ( G 3 GPa 4,4 Módulo de csalhameto o plao -3 ( G 3 GPa 3,45 Coefcete de Posso o plao - ( v -,3 Tabela 6. Propredades geométrcas das vgas smuladas. Vga Propredade Udade Trecho 3 Comprmeto (L m,75,75 - Espessura (h m,,5 - Escaloada: Largura (b m,, - duas partes Número de lâmas Caso - [///] [/] - Caso - [9/9/9/9] [9/9] - Caso 3 - [45/-45/-45/45] [-45/-45] - Comprmeto (L m,75,75,75 Espessura (h m,5,,5 Escaloada: Largura (b m,,, três partes Número de lâmas Caso - [//] s [/] s [/] Caso - [9/9/9] s [9/9] s [9/9] Caso 3 - [-45/45/-45] s [45/-45] s [-45/-45] S smétrco.

122 99 As propredades do materal foram retradas de Yldrm e Kral (, que se referem a um compósto fbra de carboo com resa epó. 6. FREQUÊNCIAS NATURAIS ADIMENSIONAIS DE UMA VIGA COMPÓSITA ESCALONADA EM DUAS PARTES Atrbu-se o mesmo comprmeto para os trechos, de modo que três esquemas de lamação possam ser aalsados, coforme mostrado a tabela 6.. São apresetados também gráfcos mostrado o comportameto das quatro prmeras frequêcas admesoas em fução do aumeto da relação L, sedo L o valor do comprmeto total da vga (em m e h o h valor da espessura do prmero trecho (em m. Para a elaboração dos gráfcos, a espessura fo cosderada costate e o valor do comprmeto total da vga fo a varável. Nas tabelas de 6.3 a 6.8 ecotram-se os resultados obtdos a determação das quatro prmeras frequêcas aturas admesoas da vga escaloada em duas partes sobre dferetes tpos de apoo para o Caso. Tabela 6.3 Três prmeras frequêcas admesoas do caso modelo de Euler- Beroull. Caso - Modelo de Euler-Beroull Codção ª Freq. ª Freq. 3ª Freq. SS,848,959 6,968 CC 6,5 8,645 35,755 FF 6,553 8,65 35,774 CF,3796 6,6647 8,554 CS 4,775 4,9897 3,8686 SS smplesmete apoada; CC egastada as duas etremdades; FF lvre-lvre; CF egastada-lvre; CS egastada-apoada.

123 Tabela 6.4 Três prmeras frequêcas admesoas do caso modelo de Csalhameto. Caso - Modelo de Csalhameto Codção ª Freq. ª Freq. 3ª Freq. SS,674 9,68 7,6349 CC 6,65 4,53 3,37 FF 6,83 4,5664 3,886 CF,3934 6,558 3,339 CS 4,4456,8667,5583 SS smplesmete apoada; CC egastada as duas etremdades; FF lvre-lvre; CF egastada-lvre; CS egastada-apoada. As fguras de 6. a 6.6 mostram a varação da frequêca admesoal em fução da relação L da vga e o desvo relatvo etre os modelos de Euler-Beroull e Csalhameto h para o Caso. São apresetados os gráfcos para as codções smplesmete apoada, egastada-apoada e egastada-egastada, uma vez que os gráfcos são muto semelhates para as demas codções de apoo. Fgura 6. - Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada.

124 Fgura 6. - Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada. Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada.

125 Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada. Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada.

126 3 Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada. O desvo relatvo etre os modelos fo calculado através da equação 6.. Sedo ω ad EB a frequêca admesoal obtda pelo método de Euler-Beroull e ω ad é a frequêca ad- C mesoal obtda pelo método de Csalhameto. ω Desvo(% ad EB ω ω ad C ad C * (6. Nota-se que as frequêcas obtdas pelo modelo de Euler-Beroull ão sofrem a fluêca da relação L, ou seja, as lhas ecotradas para este modelo os gráfcos das fguras h 6., 6.3 e 6.5 permaecem costates a medda que esta relação é alterada. Com o aumeto da relação L, o desvo relatvo etre os modelos dmu. Adotado-se um padrão de desvo h relatvo, a partr do qual os modelos de Euler-Beroull e Csalhameto covergem para a mesma frequêca, sedo este desvo de,% para a prmera e quarta frequêca atural. Este desvo é adotado de modo que se tore possível a tomada de decsão de quado se utl-

127 4 zar um ou outro modelo para a determação das frequêcas aturas de uma vga com uma determada relação L, uma vez que pode-se optar pela utlzação do modelo de Eulerh Beroull devdo à sua meor compledade se comparado ao modelo de Csalhameto. Logo, este desvo adotado é cosderado pequeo, de modo que as frequêcas obtdas pelos modelos de Euler-Beroull e Csalhameto são também cosderadas guas. Não é adotado aqu um desvo de %, devdo ao comportameto asstótco das curvas dos desvos plotadas. L A partr de 8 h para a prmera frequêca o desvo coverge para o valor de,% para a codção smplesmete apoada, e para as codções egastada-apoada e egastada-egastada, estes valores de L são de 7 e 3, respectvamete. Já para a quarta fre- h quêca, o desvo relatvo etre os modelos estudados coverge para,% a partr de uma relação L de 44, 4 e 4 para as codções smplesmete apoada, egastada-apoada e h egastada-egastada, respectvamete. Nota-se ada, que para frequêcas maores o desvo relatvo é muto alto para baas relações L, e dmu à medda em que é aumetada essa h relação, como observado o trabalho de Yldrm e Kral (. As tabela 6.5 e 6.6 mostram as frequêcas admesoas obtdas para o Caso, para as dferetes codções de apoo elástco. Já as fguras de 6.7 a 6. lustram o comportameto das frequêcas admesoas pra dferetes relações L. h

128 5 Tabela 6.5 Três prmeras frequêcas admesoas do caso modelo de Euler- Beroull. Caso - Modelo de Euler-Beroull Codção ª Freq. ª Freq. 3ª Freq. SS,7334 3,873 6,768 CC,683 4,88 9, FF,697 4,88 9,8 CF,356,75 4,789 CS,78 3,8696 7,9688 SS smplesmete apoada; CC egastada as duas etremdades; FF lvre-lvre; CF egastada-lvre; CS egastada-apoada. Tabela 6.6 Três prmeras frequêcas admesoas do caso modelo de Csalhameto. Caso - Modelo de Csalhameto Codção ª Freq. ª Freq. 3ª Freq. SS,796 3,5 6,459 CC,677 4,696 8,76 FF,68 4,695 8,7596 CF,3564,79 4,678 CS,7 3,789 7,6 SS smplesmete apoada; CC egastada as duas etremdades; FF lvre-lvre; CF egastada-lvre; CS egastada-apoada. É observada uma redução os valores das frequêcas aturas admesoas do Caso para o Caso. Isto reflete a fluêca da oretação das fbras sobre as frequêcas aturas, ou seja, quado as fbras estão oretadas a º a rgdez à fleão é maor do que quado as fbras estão oretadas a 9º, pos a º a resstêca aos esforços é devda prcpalmete às fbras, já a 9º, esta resstêca é devda prcpalmete à matrz, a qual possu uma rgdez feror àquela apresetada pela fbra. Logo, quato maor a rgdez, maores os valores das frequêcas aturas da vga. Isto mostra que é possível a alteração da rgdez da estrutura sem

129 6 alterar sua massa ou suas propredades geométrcas. Desta forma, pode-se optar pela sequêca de emplhameto que melhor ateder à solctação egda sobre a estrutura. Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada. Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada.

130 7 Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada. Fgura 6. - Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada.

131 8 Fgura 6. - Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada. Fgura 6. - Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada.

132 9 Observa-se para o Caso, para as frequêcas fudametas, que a partr de uma relação L gual a 34, 33 e 37, para as codções smplesmete apoada, egastada-apoada e e- h gastada-egastada, respectvamete, o desvo relatvo etre o modelo de Euler-Beroull e o modelo de Csalhameto coverge para o valor de,%. Para a quarta frequêca, o desvo coverge para,% para uma relação L gual a 37, 39 e 43, para as codções ctadas, h esta ordem. Isso mostra que uma alteração de 9º a dreção das fbras, por eemplo para a codção smplesmete apoada, do Caso para o Caso, reduz em 7,9% o valor da relação L a partr da qual o desvo relatvo etre os dos modelos coverge para,% para a h prmera frequêca atural. o Caso 3. As tabelas 6.7 e 6.8 e as fguras de 6.3 a 6.8 mostram os resultados ecotrados para Tabela 6.7 Três prmeras frequêcas admesoas do caso 3 modelo de Euler- Beroull. Caso 3 - Modelo de Euler-Beroull Codção ª Freq. ª Freq. 3ª Freq. SS,569 6,655 4,4695 CC 3,63,87 9,77 FF 3,696,873 9,76 CF,76 3,68,467 CS,657 8,794 7,499 SS smplesmete apoada; CC egastada as duas etremdades; FF lvre-lvre; CF egastada-lvre; CS egastada-apoada.

133 Tabela 6.8 Três prmeras frequêcas admesoas do caso 3 modelo de Csalhameto. Caso 3 - Modelo de Csalhameto Codção ª Freq. ª Freq. 3ª Freq. SS,5365 6,796,48 CC 3,55 9,3439 6,3958 FF 3,567 9,357 6,388 CF,7645 3,58 9,967 CS,554 7,5699 4,333 SS smplesmete apoada; CC egastada as duas etremdades; FF lvre-lvre; CF egastada-lvre; CS egastada-apoada. Para o Caso 3, os valores das frequêcas aturas obtdos permaeceram etre aqueles ecotrados para o Caso e para o Caso, ou seja, foram maores que para o Caso, e meores que para o Caso, como já era de se esperar, pos as fbras estado oretadas a +45º e a -45º, fazem com que a rgdez da vga à fleão teha um valor termedáro etre aquelas rgdezes ecotradas para a oretação das fbras a º e a 9º. Para este Caso 3, boa parte da resstêca aos esforços é devda à matrz e outra boa parte às fbras, fato este que justfca a rgdez à fleão termedára etre os demas casos. Da mesma forma, observado-se os gráfcos das fguras 6.3 a 6.8, as frequêcas aturas admesoas obtdas pelos modelos de Euler-Beroull e Csalhameto se apromam para uma relação L de 68, 68, e 76, respectvamete para as codções smplesmete apoa- h da, egastada-apoada e egastada-egastada para a prmera frequêca atural, de modo que a partr desta relação, o desvo relatvo etre estes dos modelos tora-se,%. Para a quarta frequêca, a covergêca do desvo relatvo para,% ocorre a partr de L gual a 33, h 37 e 44 respectvamete para as codções de apoo ctadas.

134 Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada. Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada.

135 Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada. Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada.

136 3 Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada. Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada.

137 4 6. FREQUÊNCIAS NATURAIS ADIMENSIONAIS DE UMA VIGA COMPÓSITA ESCALONADA EM TRÊS PARTES Trabalha-se agora, com vgas escaloadas em três partes, ou seja, com duas mudaças de seções. Aqu ovamete os comprmetos dos trechos escaloados são guas, e para a elaboração dos gráfcos da varação das frequêcas admesoas em fução da relação L, o h valor da espessura fo matdo costate, e a varável fo o valor do comprmeto total da vga. As propredades materas e geométrcas para esta vga estão presetes as tabelas 6. e 6.. As tabelas 6.9 e 6. apresetam os valores das três prmeras frequêcas aturas admesoas para uma vga escaloada em três partes e apoada elastcamete as etremdades para o Caso. Nota-se uma elevação os valores das frequêcas admesoas quado a comparação é feta para o mesmo Caso da vga escaloada em duas partes. Embora o comprmeto total da vga escaloada em três partes seja maor que o da escaloada em duas partes, o prmero trecho da vga teve a adção de duas camadas, fato este que elevou sua rgdez, e como a frequêca atural é uma fução da rgdez, a mesma também se eleva. Tabela 6.9 Três prmeras frequêcas admesoas do Caso modelo de Euler- Beroull. Caso - Modelo de Euler-Beroull Codção ª Freq. ª Freq. 3ª Freq. SS 3,59,886 3,596 CC 7,334 9,96 4,5858 FF 7,96, 4,56 CF,6 8,69, CS 5,38 6,538 34,8763 SS smplesmete apoada; CC egastada as duas etremdades; FF lvre-lvre; CF egastada-lvre; CS egastada-apoada.

138 5 Já as fguras de 6.9 a 6.4 mostram a varação das frequêcas admesoas em fução da relação L, bem como o desvo relatvo etre os dos modelos estudados, para as co- h dções smplesmete apoada e egastada-apoada, ada para o Caso. Tabela 6. Três prmeras frequêcas admesoas do caso modelo de Csalhameto. Caso - Modelo de Csalhameto Codção ª Freq. ª Freq. 3ª Freq. SS 3,495,59 9,83 CC 6,663 5,3545 5,967 FF 7,347 6,699 5,8486 CF,68 7,38 5,699 CS 4,9674 3,994,6553 SS smplesmete apoada; CC egastada as duas etremdades; FF lvre-lvre; CF egastada-lvre; CS egastada-apoada. Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada.

139 6 Fgura 6. - Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada. Fgura 6. - Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada.

140 7 Nota-se que a prmera frequêca admesoal para os dos modelos se aproma para uma relação L gual a 4, 4 e 39, respectvamete para as codções smplesmete h apoada, egastada-apoada e egastada-egastada, e a partr desta relação, o desvo relatvo etre os modelos tora-se meor que,%. Já para a quarta frequêca, o desvo relatvo coverge para,% a partr de uma relação L de 47, 4 e 434, respectvamete para as h codções smplesmete apoada, egastada-apoada e egastada-egastada. É observada ada uma boa promdade etre os valores de L obtdos para as dfe- h retes codções de apoos, sedo que para as codções smplesmete apoada e egastada apoada, os valores são mas prómos ada. Fgura 6. - Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada.

141 8 Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada. Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada. Nas tabelas 6. e 6. são mostradas as quatro prmeras frequêcas aturas admesoas para o Caso, obtdas pelo modelo de Euler-Beroull e Csalhameto, para dfe-

142 9 retes codções de apoos elástcos. Já as fguras de 6.5 a 6.3 mostram a varação das frequêcas admesoas em fução da relação L. h Tabela 6. Três prmeras frequêcas admesoas do caso modelo de Euler- Beroull. Caso - Modelo de Euler-Beroull Codção ª Freq. ª Freq. 3ª Freq. SS,844 3,39 7,76 CC,8673 5,374,4774 FF,555 5,5,465 CF,456,85 5,4 CS,373 4,68 9,35 SS smplesmete apoada; CC egastada as duas etremdades; FF lvre-lvre; CF egastada-lvre; CS egastada-apoada. Tabela 6. Três prmeras frequêcas admesoas do caso modelo de Csalhameto. Caso - Modelo de Csalhameto Codção ª Freq. ª Freq. 3ª Freq. SS,8366 3,37 7,3857 CC,854 5,56 9,983 FF,43 5,84 9,94 CF,46,66 5,889 CS,365 4,73 8,553 SS smplesmete apoada; CC egastada as duas etremdades; FF lvre-lvre; CF egastada-lvre; CS egastada-apoada.

143 Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada. Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada.

144 Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada. Assm como para o Caso, as frequêcas admesoas obtdas para o Caso, para a vga escaloada em três partes, são maores que aquelas obtdas para o mesmo Caso para a vga escaloada em duas partes. A razão para sso é a mesma, a elevação da rgdez devda à adção de duas camadas ao prmero trecho da vga. As frequêcas obtdas para o Caso são meores que as do Caso, uma vez que o Caso as fbras estão oretadas a º, e durate a fleão a resstêca aos esforços é devda prcpalmete às fbras, equato que o Caso, ode as fbras estão oretadas a 9º, a resstêca aos esforços é devda prcpalmete à matrz, o que dmu a rgdez, bem como as frequêcas aturas. Para o Caso, a partr de uma relação L gual a 35, 35 e 4, respectvamete para as h codções smplesmete apoada, egastada-apoada e egastada-egastada, o desvo relatvo para a prmera frequêca admesoal tora-se gual a,%, e para a quarta frequêca, o desvo relatvo coverge para o valor de,% para uma relação de L gual a 4, 43 e h 47, respectvamete para as codções de apoo ctadas.

145 Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada. Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada.

146 3 Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada. As tabelas 6.3 e 6.4 mostram as frequêcas obtdas para o Caso 3. Equato que as fguras de 6.3 a 6.36 mostram o comportameto da frequêca admesoal em fução da relação L. Das tabelas, percebe-se que as frequêcas admesoas para o Caso 3 tveram h seus valores termedáros etre os Casos e, assm como o ocorrdo para a vga escaloada em duas partes. Pos uma vez as fbras estado oretadas a +45º e a -45º, a resstêca aos esforços é devda tato às fbras quato à matrz durate a fleão, como eplcado para a vga escaloada em duas partes. Dos gráfcos ota-se que as frequêcas fudametas para os dos modelos se apromam a partr de uma relação L gual a 7, 7 e 8, respectvamete para as codções sm- h plesmete apoada, egastada-apoada e egastada-egastada, e a partr desta relação, o desvo relatvo tora-se feror a,%. Para a quarta frequêca, a relação L a partr da qual o h desvo relatvo tora-se feror a,% é de 4, 43 e 5, respectvamete para as codções smplesmete apoada, egastada-apoada e egastada-egastada.

147 4 Tabela 6.3 Três prmeras frequêcas admesoas do caso 3 modelo de Euler- Beroull. Caso 3 - Modelo de Euler-Beroull Codção ª Freq. ª Freq. 3ª Freq. SS,8 7,8 6,63 CC 3,9953,998,47 FF 4,3978,578,38 CF,8893 4,4535,694 CS,938 9,37 9,635 SS smplesmete apoada; CC egastada as duas etremdades; FF lvre-lvre; CF egastada-lvre; CS egastada-apoada. Tabela 6.4 Três prmeras frequêcas admesoas do caso 3 modelo de Csalhameto. Caso 3 - Modelo de Csalhameto Codção ª Freq. ª Freq. 3ª Freq. SS,759 6,498 3,87 CC 3,886 9,9377 8,445 FF 4,757,4 8,369 CF,896 4,34,84 CS,8648 8,35 5,9743 SS smplesmete apoada; CC egastada as duas etremdades; FF lvre-lvre; CF egastada-lvre; CS egastada-apoada. Comparado-se os resultados obtdos para a vga escaloada em três partes com os obtdos para a vga escaloada em duas partes, as relações L a partr das quas as frequêcas h aturas fudametas admesoas obtdas pelos modelos de Euler-Beroull e Csalhameto têm seus valores guas, de acordo com os desvos relatvos adotados, varam em fução prcpalmete da dsposção das camadas do lamado, ou seja, essas relações são bem flu-

148 5 ecadas pelo âgulo de oretação das fbras das lâmas. E por fm, é percebdo que o comportameto da varação das frequêcas em fução do ídce de esbeltez é muto semelhate para as vgas escaloadas em duas e em três partes. Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada. Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga smplesmete apoada.

149 6 Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada. Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-apoada.

150 7 Fgura Quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada. Fgura Desvo relatvo para as quatro prmeras frequêcas admesoas - vga egastada-egastada.

151 8 CAPÍTULO 7 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS 7. CONCLUSÕES Fo apresetada uma metodologa para aálse dâmca de vgas compóstas escaloadas sobre apoos elástcos. As frequêcas aturas dmesoas e admesoas calculadas foram obtdas de acordo com dos modelos dâmcos: o modelo de Euler-Beroull e o modelo de Csalhameto. Estes métodos utlzados elmam a ecessdade do uso de malhas a solução de problemas dâmcos. A valdação dos resultados calculados fo efetva. Para a codção smplesmete apoada e para as codções em que foram smulados casos com materas sotrópcos, os desvos foram os meores. Já para as demas codções houve certo desvo etre os valores obtdos, cotudo algus desses erros foram coeretes com os erros obtdos por outros autores com relação à mesma referêca. O modelo de Euler -Beroull pratcamete ão sofreu a fluêca da relação L, e- h quato que os resultados obtdos pelo modelo de Csalhameto vararam em fução dessa relação. Para os casos aqu estudados, embora as frequêcas admesoas de vgas escalo-

152 9 adas sejam dferetes em fução do úmero de trechos, otou-se que a relação L a partr da h qual as frequêcas fudametas admesoas dos modelos de Euler-Beroull e Csalhameto se apromam depede também do esquema de lamação, ou seja, da oretação das fbras de cada lâma costtute da vga. A maor relação L ecotrada fo de 37 para o Caso, ode as fbras estão oreta- h das a º, tato para a vga escaloada em duas partes quato para a vga escaloada em três partes. Já o meor valor de L fo de para o Caso, ode as fbras estão oretadas a 9 º, h para a vga escaloada em três partes. A prcpal vatagem do cohecmeto desses valores dz respeto à tomada de decsão de quado se utlzar um ou outro modelo, uma vez que sabedo-se as codções as quas os dos modelos se apresetam equvaletes, pode-se optar pela escolha do modelo de Euler-Beroull, uma vez que o mesmo é meos compleo que o modelo de Csalhameto. Notou-se que com a adção do efeto causado pelo csalhameto ao modelo de Euler- Beroull, os valores das frequêcas ecotradas apromaram-se mas dos valores reas. Porém, o modelo de Csalhameto precsa ser melhorado para os casos evolvedo materas compóstos lamados. Para stuações as quas ão se requer muto dos resultados, estes modelos podem ser utlzados, porém, o modelo de Csalhameto é o que se aproma mas da resposta real, depededo da relação L. h Para projetos evolvedo materas compóstos lamados, ão se tora ecessára a alteração dos valores de massa ou as propredades geométrcas da estrutura para obter a rgdez ecessára para forecer as frequêcas aturas esperadas, pos pode-se alterar a oretação das fbras das lâmas de modo a atgr os parâmetros requstados pelo projeto. Assm, mostrou-se este trabalho a fluêca da oretação das fbras das camadas do lamado sobre as frequêcas aturas de uma vga compósta.

153 3 7. PERSPECTIVAS FUTURAS A partr do desevolvmeto matemátco e das smulações realzadas este trabalho, futuramete poderam ser alteradas as posções dos suportes elástcos ao logo da vga, podera ser adcoado o efeto do amortecmeto sobre a estrutura, e ada, pode ser realzada a smulação de forças eteras aplcadas sobre a vga. Uma boa tetatva para se melhorarem os resultados, sera adcoar ao modelo de Csalhameto o efeto da érca de rotação também, o que é cohecdo como Teora de Tmosheko, ou se estudarem outros modelos matemátcos que se mostraram mas efcetes de acordo com a lteratura, etre eles a Teora de Csalhameto de Alta Ordem. Uma outra proposta é realzar um estudo dâmco evolvedo vgas de seções geométrcas compleas, como vgas de seções crculares, ou vgas de seções retagulares com dferetes fuções de escaloametos, ou seja, com mudaças ão bruscas os escaloametos (vgas "Drop-off", devdo à sua aplcação as dústras, e ada o estudo de lamados ãosmétrcos. Por fm, podera-se também determar as váras propredades do lamado epermetalmete, de acordo com a ormas e regras vgetes. Assm, sera possível um estudo da fluêca das propredades obtdas epermetalmete e teorcamete sobre as frequêcas aturas.

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159 36 TIMOSHENKO, S. (953, Hstory of Stregth of Materals, New York: Dover Publcatos, 45 p. TINÔ, S. R. L. (, Descotudade a Seção Trasversal em Lamados Compóstos Polmércos: Efetos e Propredades, Dssertação (Mestrado em Egehara Mecâca Cetro de Tecologa, Uversdade Federal do Ro Grade do Norte. 97 p. TITA, V. (999, Aálse Dâmca Teórca e Epermetal de Vgas Fabrcadas a Partr de Materas Compóstos Polmércos Reforçados, Dssertação (Mestrado em Egehara Mecâca - Departameto de Egehara Mecâca, Escola de Egehara de São Carlos, São Carlos, p. TONG, X., TABARROK, B. (995, Vbrato Aalyss of Tmosheko Beams wth No-homogeety ad Varyg Cross-Secto, Joural of Soud ad Vbrato, vol. 86, 5, pp VAZ, J. D. C. (8, Aálse do Comportameto Dâmco de uma Vga de Euler-Beroull Escaloada com Apoos Elastcamete Varáves, Dssertação de Mestrado, Isttuto de Egehara Mecâca, Uversdade Federal de Itajubá, 94 p. VINSON, J. R., SIERAKOWSKI, R. L. (987, The Behavor of Structures Composed of Composte Materals, ª ed., Waterloo, Otaro: Dordrecht, 396 p. YILDIRIM, V., KIRAL, E. (, Ivestgato of the Rotary Ierta ad Shear Deformato Effects o the Out-of-Plae Bedg ad Torsoal Natural Frequeces of Lamated Beams, Composte Structures, vol.49, pp

160 37 APÊNDICE A MODELO DE VIGA COMPÓSITA LAMINADA UNI- FORME DE EULER-BERNOULLI A teora da vga de Euler-Beroull dta que somete a fleão pura é cosderada, sedo que a deformação causada pela dstorção devda ao csalhameto e o efeto da érca de rotação sobre a vga são desprezados. Este modelo aplca-se a vgas esbeltas, ou seja, vgas as quas o comprmeto é muto maor que as dmesões da área trasversal (base e altura. A. EQUACIONAMENTO DO MODELO DE VIGA COMPÓSI- TA DE EULER-BERNOULLI Nesta seção é apresetado o desevolvmeto aalítco do modelo de vga de Euler- Beroull aplcado a uma vga compósta lamada uforme, ode admte-se a ocorrêca de vbrações lvres e ausêca de amortecmeto os apoos. Para o desevolvmeto do modelo, algumas cosderações devem ser levadas em cota, são elas:

161 38 As lâmas são perfetamete udas, de modo que ão haja deslocametos relatvos etre as mesmas e a espessura da matrz (resa presete etre uma lâma e outra é cosderada muto pequea, de modo que possa ser desprezada; Após a ocorrêca da fleão, as seções plaas da vga permaecem plaas e ormas à lha eutra; O valor do comprmeto da vga é bem maor do que o valor das outras dmesões L L ( > ou > ; b h Os deslocametos vertcas, eo z, de todos os potos de uma seção trasversal são pequeos; O deslocameto lateral segudo o eo y é ulo; A érca de rotação é desprezível; A vga é cosderada a ausêca de carregameto aal; O coefcete de Posso ão é cosderado; Não são cosderadas as forças dsspatvas. Na fgura A. é lustrada uma vga lamada egastada com vbração a dreção do eo z. Na vga de Euler-Beroull, a vbração a dreção do eo z é geralmete chamada de vbração trasversal ou vbração fleoal. A vga em questão possu seção retagular A (, dada em m², base b (m, altura h (m e comprmeto L (m. O deslocameto vertcal em uma seção trasversal de abscssa em um tempo t, é represetado por w. Também são mostrados os mometos e forças atuates sobre um dferecal de vga de comprmeto d. Cosdera-se calmete que a vga possu carregameto vertcal a dreção z. Devdo ao fato de uma vga ser esbelta (b<<l, as tesões são goradas a dreção y, o que mplca que os efetos do coefcete de Posso podem ser gorados também. Assm sedo, ão há ehuma depedêca da dreção y sobre qualquer quatdade evolvda o cojuto das equações goverates mostradas Capítulo. Logo, da equação (.53, chega-se à segute equação:

162 39 N B ε M A B D k (A. E da equação (.54, quado o csalhameto for cosderado: Q A ε (A. 55 z Se a vga for smétrca em relação ao seu plao cetral ( B, etão o mometo fletor da vga, M (, t, é dado como: j w(, t M (, t b( D ( (A.3 com M (, t mometo fletor (Nm, D termo da matrz de rgdez à fleão (Nm defdo pela equação (.5, b ( base da vga (m e w (, t defleão ao logo do eo z (m. O produto epresso por b ( D ( dz respeto à rgdez fleural para vgas compóstas de seção retagular, ao vés de EI ( usada para materas sotrópcos, com I mometo de érca de 4 área ( m e E módulo de elastcdade do materal (Pa. Fgura A. Modelo de uma vga cotíua lamada de Euler-Beroull.

163 4 Fgura A. Elemeto ftesmal de um modelo de vga compósta lamada de Euler- Beroull. Através da ª Le de Newto aplcada ao elemeto ftesmal do modelo de vga lamada de Euler-Beroull, obtém-se o segute somatóro de forças a dreção z. w(, t t F z dm (A.4 w(, t V ( + d, t V (, t + q(, t d dm (A.5 t

164 4, ( (, (, (, (, ( t t w d A d t q t V d t V t V + + ρ (A.6 sedo, ( t V força cortate (N, ρ a massa específca (kg/m³, ( A área da seção trasversal (m² e, ( t q a força dstrbuída por udade de comprmeto (N/m. Fazedo-se agora o somatóro de mometos gual a zero, uma vez que ão é cosderada a érca de rotação: (, (, (, (, ( d t d V d d t q t M t d M (A.7, (, (, (, (, (, ( d d t V t V d t q t M d t M t M (A.8 (, (, (, (, ( d t q t V d t V t M (A.9 Desprezado-se o termo dferecal de ordem superor ( d para o mometo, temse: t M t V, (, ( (A. Isso mostra que a força cortate é proporcoal à dervada do mometo fletor em relação à. A substtução da equação (A. a equação (A.6 produz:, ( (, (, ( t t w d A d t q d t M + ρ (A. A substtução adcoal da equação (A.3 a equação (A., e ada dvddo-se toda a equação por, d leva a:

165 4 w(, t w(, t ρ A ( + b( D ( q(, t t (A. Se ehuma força etera for aplcada, ou seja, q (, t, b ( D ( e A ( são admtdos costates ao logo da vga, a equação (A. smplfca-se de modo que a vbração lvre é goverada por: w(, t + c t 4 w(, t, 4 c bd ρa (A.3 sedo c a velocdade de propagação da oda o meo sóldo (m/s. Como a equação goverate da vbração lvre do modelo de Euler-Beroull é uma equação dferecal de quarta ordem, são ecessáras quatro codções de cotoro de modo que se cosga determar a sua solução. A preseça das dervadas temporas de seguda ordem requer que sejam especfcadas duas codções cas, uma para a defleão e outra para a clação. As codções de cotoro ecessáras para resolver a equação (A.3 o coteto de uma solução por separação de varáves são obtdas cosderado-se a defleão w (, t, a dervada da defleão w(, t /, o mometo fletor bd w, t / (, e a força cortate bd 3 3 w(, t / em cada etremdade da vga, sto é, aplcado as devdas codções de cotoro. As equações de (A.4 a (A. são as codções de cotoro clásscas para cada etremdade: lvre, egastada, apoada e deslzate. Se uma vga em vbração trasversal é lvre em uma etremdade, as codções de cotoro para a força cortate e o mometo fletor devem ser ulos. ( w, t M (, t bd (mometo fletor (A.4

166 43 ( t V, bd (, t w (força cortate (A.5 Se, por outro lado, a etremdade da vga for egastada, a codção de cotoro mpõe que a defleão e a clação devem ser ulas esse etremo. (, t w (defleão (A.6 (, t w (clação (A.7 ulos. Já em uma etremdade smplesmete apoada, a defleão e o mometo de fleão são (, t w (defleão (A.8 ( w, t M (, t bd (mometo fletor (A.9 E por fm, em um apoo deslzate, a clação e a força cortate são ulos. (, t w (clação (A. ( t V, bd (, t w (força cortate (A. Pode haver outras codções ão clásscas de cotoro, sedo que a equação de movmeto para essas codções são determadas em fução de balaços de forças e de mometos.

167 44 Além das quatro codções de cotoro, a solução da equação (A.3, para a vbração lvre, só pode ser determada se duas codções cas forem especfcadas. w ( t w ( (, t dw ( dw, t, (A. dt dt t Cosderado que t é o tempo cal. Sabe-se que w ( e dw ( / dt ser ambos ulos, ou ão havera movmeto resultate. ão podem A solução da equação (A.3 sujeta a quatro codções de cotoro e duas codções cas seguem os passos covecoas usados os problemas de cotoro e de valor cal, ou seja, são usadas para se obter um sstema de equações que determam as costates da solução geral. Para o desevolvmeto da solução da equação (A.3, será admtda a possbldade de se escrever a solução a forma de separação de varáves como a equação (A.3. w(, t X ( Τ( t (A.3 Substtudo a equação (A.3 a equação (A.3, obtém-se: d X ( d X ( d T( t dt T( t 4 c ω (A.4 4 A escolha da costate de separação, ω, é feta de modo que a equação temporal teha solução harmôca e que ω seja a frequêca atural agular da vga em estudo. Tomado o lado dreto da equação (A.4, referete à parte temporal, vem: d T( t + ω Τ( t (A.5 dt

168 45 Assumdo-se para esta equação uma solução do tpo T λt ( t Ce, a sua solução é dada etão a forma: ( ωt θ Τ( t Dcos (A.6 As costates D e θ são determadas usado-se as codções cas especfcadas e posterormete combado-as com a solução da equação em. A equação espacal surge do rearrajo da equação (A.4, o que leva a: 4 d X ( ω 4 d c X ( (A.7 Defdo: ω ρaω (A.8 c bd 4 β sedo β a frequêca atural dmesoal ( m. Assumdo para equação (A.7 uma solução a forma: a (, t Ce (A.9 w vem 4 4 a ( Ce a β (A.3 a Como Ce para todo, etão: 4 4 ( β a (A.3

169 46 Chega-se etão a uma equação polomal de quarto grau cuja solução é: a, ±β e a 3,4 ±β (A.3 A solução espacal da equação (A.7 é: X β β β β ( C e + C e + C e + C e 3 4 (A.33 Aplcado as relações de Euler, equações (A.34 a (A.37, a equação (A.33, tem-se a equação (A.38. e β cos( β + se( β (A.34 e β cos( β se( β (A.35 β e cosh( β + seh( β (A.36 β e cosh( β se( β (A.37 ( β + B cos( β + B sh( β B cosh( β X ( B s (A.38 A equação (A.38 represeta o modo de vbração da vga em estudo, tal que para cada frequêca atural, a vga possurá uma forma dferete de vbração. Com a aplcação das codções de cotoro a vga a ser modelada obtém-se um sstema de equações leares, equação (A.39, que é fução de β e { b }. Devdo o sstema lear ser homogêeo, este uma combação lear etre suas equações, de modo que o valor de uma das costates que compõe o vetor { } [ ] T b B B B3 B4 pode ter o seu valor arbtrado.

170 47 [ ( ]{ b} { } H β (A.39 A matrz [ H ] é a matrz dos coefcetes e { b } é o vetor de cógtas. Para que o sstema teha solução ão trval é ecessáro que { b } { } matrz [ H ] seja gual a zero, equação (A.4., o que mplca que o determate da A matrz [ H ] será uma fução de frequêca atural, da segute maera: β L, etão pode-se fazer a admesoalzação da ^ β βl (A.4 E os valores dessa frequêca são determados por: ^ det H β (A.4 sedo etão ^ β a frequêca atural admesoal, β a frequêca atural dmesoal (m - e L o comprmeto total da vga (m. Com a aplcação de β a equação (A.8, obtém-se a frequêca agular (rad/s, e cosequetemete, a frequêca atural em Hz, obtda por (A.4. ω f (A.4 π

171 48 APÊNDICE B MODELO DE VIGA UNIFORME COMPÓSITA LAMI- NADA DE CISALHAMENTO O modelo de Csalhameto adcoa ao modelo de Euler-Beroull o efeto da dstorção causada pelo csalhameto, porém ão leva em cota o efeto da érca de rotação. A clusão do efeto do csalhameto sobre a aálse do comportameto dâmco de uma vga proporcoa uma melhora cosderável os resultados, de modo que estes se apromem de forma sgfcatva do valor real (Almeda,. B. EQUACIONAMENTO DO MODELO DE VIGA LAMINADA DE CISALHAMENTO Na fgura B., é lustrado um elemeto ftesmal de um modelo de vga de csalhameto. Para o desevolvmeto de todo o equacoameto aalítco deste modelo, deve-se levar em cota as segutes cosderações: Assm como o modelo de Euler-Beroull, as lâmas são cosderadas perfetamete udas, de modo que ão haja deslocametos relatvos etre uma lâma e outra, e

172 49 também a espessura da resa etre uma lâma e outra é muta pequea de modo que pode ser desprezada; Após a deformação devda à fleão da vga, suas seções plaas cotuam plaas à lha eutra, mas ão ecessaramete perpedculares a esta lha, pos este um gro adcoal a seção devdo à dstorção causada pelo csalhameto; O valor do comprmeto da vga é maor do que o valor das outras dmesões; Os deslocametos vertcas, eo z, de todos os potos de uma seção trasversal são pequeos; O deslocameto lateral segudo o eo y é ulo; A érca de rotação é descosderada; A vga é cosderada ão ter carregameto aal; O coefcete de Posso ão é cosderado; Não são cosderadas as forças dsspatvas. Fgura B. Elemeto ftesmal de um modelo de vga compósta de Csalhameto.

173 5 O mometo fletor, M (, t e o esforço cortate, V (, t são apresetados as equações (B. e (B.6, respectvamete, sedo que a força cortate por udade de comprmeto é dada pela equação (A.: M, t b( D ( ψ (, t ( (B. V (, t b( (B. Q Substtudo (A. em (B., vem: V (, t b( A ε (B.3 55 z como e logo γ ε z (B.4 w(, t γ ψ (, t (B.5 w(, t V (, t kcb( A55 ( ψ (, t (B.6 sedo M (, t é o mometo fletor (Nm, b( é o valor da base da vga (m, D é o termo da matrz de rgdez à fleão (N.m, A 55 é o coefcete de csalhameto (N/m, ψ (, t rotação da seção trasversal, V (, t esforço cortate (N, k c fator umérco que depede da forma da seção trasversal o csalhameto, A ( área da seção trasversal (m, e w (, t defleão ao logo do eo z (m.

174 5 Aplcado-se a ª Le de Newto ao elemeto ftesmal do modelo de vga de Csalhameto, obtém-se o segute somatóro de forças a dreção z :, ( t t w dm F z (B.7, (, (, (, ( t t w dm d t q t V t d V + + (B.8, ( (, (, (, (, ( t t w d A d t q t V d t V t V + + ρ (B.9 sedo ρ a massa específca (kg/m 3 e, ( t q a força dstrbuída por udade de comprmeto (N/m. Smplfcado a equação (B.9, temos:, ( (, (, ( t t w d A d t q d t V + ρ (B. Fazedo a substtução da equação (B.6 a equação (B., temos: ( ( ( t w(,t ρa(d q(,td d (ψ(,t A b k d w(,t ( A b k c c + (B. Partdo-se agora para o somatóro de mometos gual a zero, uma vez que é descosderada a érca de rotação: (, (, (, (, ( d t d V d d t q t M t d M (B., (, (, (, (, (, ( d d t V t V d t q t M d t M t M (B.3

175 5, (, (, (, ( d t q t V d t V t M (B.4 Desprezado-se o termo dferecal de ordem superor ( d para o mometo, temse: t M t V, (, ( (B.5 Mas uma vez é mostrado que a força cortate é proporcoal à dervada do mometo fletor em relação à. A substtução da epressão do mometo fletor equação (B. e do esforço cortate equação (B.6 a equação (B.5, admtdo ( ( D b costates ao logo da vga, leva a:, (, (, ( d t bd d t ba k d t w A bk c c ψ ψ (B.6 Dervado-se calmete a equação (B.6, fazedo o acoplameto deste resultado com a equação (B., depos dervado-se mas duas vezes o resultado da prmera dervada e fazedo as mapulações matemátcas ecessáras bem como as devdas substtuções chega-se à equação (B.7:, (, (, (, ( t q t t w A k D t t w t w A bd c ρ (B.7 Chamado-se de µ a relação etre 55 A e D e cosderado-se que ehuma força etera é aplcada, ou seja,, ( t q, a equação (B.7 smplfca-se de modo que a vbração lvre do modelo de Csalhameto é goverada por: A bd c t t w k t w c t t w c ρ µ 4 4 4,, (, (, ( + (B.7 Ode c é a velocdade de propagação da oda o meo sóldo (m/s.

176 53 Assm como o Apêdce A aqu será admtda a possbldade de se escrever a solução da equação (B.8 a forma de separação de varáves. Para sso substtu-se a equação (A.5 a equação (B.8 e obtém-se: c 4 d X ( 4 d d X ( X ( k µ d c d T( t dt Τ( t ω (B.9 A escolha da costate de separação, ω, da equação (B.9 é feta de maera que a equação temporal teha solução harmôca e que ω seja a frequêca atural agular. Tomado o lado dreto da equação (B.9, equação temporal, vem: d T( t + ω Τ( t (B. dt A solução para a equação (B. é dada a forma: ( ωt θ Τ( t Dcos (B. As costates D e θ são determadas usado-se as codções cas especfcadas o Apêdce A, equação (A., e posterormete combado-as com a solução da equação em. A equação espacal surge do rearrajo da equação (B.9, tomado-se o lado esquerdo da mesma, o que leva a: c 4 d X ( 4 d d X ( X ( k µ d c ω (B.

177 54 4 d X ( ω d X ( ω + ( 4 X d c k µ d c c (B.3 Fazedo-se a segute defção: ω ω ρa (B.4 c bd 4 β sedo β a frequêca atural dmesoal ( m. Aplcado-se agora a equação (B.4, a equação (B.3, vem: 4 d X ( 4 d X ( 4 + β β X ( (B.5 4 d k µ d c Assumdo para equação (B.5 uma solução dada pela equação (A.9, tem-se: a a + β a β Ce (B.6 kcµ a Uma vez que Ce para todo, etão: a β a β kcµ (B.7 A equação (B.7 tem uma solução polomal do quarto grau a saber: a ± K, ± K e a 3,4 ± K ± K (B.8 Defdo-se:

178 β + β 4β µ + µ k c k c K e β + β + 4β µ µ k c k c K (B.9 A solução espacal é dada etão pela segute equação: K K K K ( C e + C e + C e + C e X 3 4 (B.3 a: Aplcado as relações de Euler, equações (A.34 a (A.37, a equação (B.3, chega-se X ( B s K + B cosk + B3 sh K + B4 cosh K (B.3 Assm como o Apêdce A, aplcam-se à equação (B.3 as codções de cotoro da vga e chega-se a um sstema de equações leares, equação (A.39, a partr da qual são ecotradas as frequêcas aturas. Novamete atrbu-se um valor a uma das costates, devdo ao fato de ser um sstema de equações learmete depedetes. De posse das frequêcas admesoas, chega-se ao valor das frequêcas agulares (rad/s, equação (B.4, e das frequêcas aturas em Hz, equação (A.4.

179 56 APÊNDICE C INSTRUMENTAÇÃO Vbrômetro Descrção: Vbrômetro OMETRON Modelo: VQ-5-D Faa de frequêca:,5 Hz à khz Faa de medção: mm/s, mm/s e 5 mm/s Melhor resolução:, µm/s/(hz,5 Fotografa C. Vsta frotal do vbrômetro laser.

180 57 Aalsador de sas Descrção: Aalsador de sas - SRS (Staford Research Systems Modelo: SR 78 Largura de bada:,4 khz Gama Dâmca: 9 db Fotografa C. Vsta frotal do aalsador de sas. Paquímetro dgtal Descrção: Paquímetro dgtal - DIGIMESS Modelo:.78 BL Resolução:, mm Capacdade: mm Fotografa C.3 Paquímetro utlzado.

181 58 Máqua de corte Descrção: Máqua de corte Norto Modelo: Clpper TR E Potêca: 9 W Fotografa C.4 - Máqua de corte utlzada. Mata térmca Descrção: Mata térmca HIGHERFLEX Materal: Slcoe

182 59 Fotografa C.5 - Mata térmca utlzada. Cotrolador de tempo e temperatura Descrção: Cotrolador de tempo e temperatura Tholz Modelo: Tholz MVL Sesor de temperatura cofgurável Fotografa C.6 Cotrolador de tempo e temperatura.

183 6 Bomba de vácuo Descrção: Bomba de vácuo: Modelo: Bush R5 Tpo: KB 6 E 3Z Pressão: mbar Motor: Motor Atas Potêca: 88 W Cldro: Cldro Fbermaq Compostes Fotografa C.7 Bomba de vácuo.