3. METODOLOGIAS ESTATÍSTICAS E GEOESTATÍSTICAS

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1 33 3 METODOLOGIAS ESTATÍSTICAS E GEOESTATÍSTICAS 3 Aálse Estatístca A eecução de aálses estatístcas báscas é tarefa pratcamete obrgatóra o tratameto de amostrages e o processameto de quatdades sgfcatvas de dados ou de varáves Além de possbltarem classfcação e depuração do couto amostral, permtem também aálses terpretatvas quato aos modelos de dstrbução de probabldades, correlações e austes de fuções de regressão 3 Estatístca Descrtva Os dados obtdos por amostragem podem ser descrtos e aalsados através de estatístcas que são útes para a caracterzação das dstrbuções de freqüêca e para a realzação de ferêcas sobre a população As meddas estatístcas que descrevem as dstrbuções de freqüêca podem ser classfcadas em 3 grupos: 3 Meddas de localzação a dstrbução Méda artmétcam-alor típco de um couto de dados X, represetada por : m X 3- Moda - alor que ocorre com mas freqüêca em um couto de dados, ou sea, o valor mas comum A moda pode ão estr, e mesmo que esta, pode ão ser úca MedaaM- valor médo de um couto de dados ordeados por ordem de gradeza Metades dos valores estão acma da medaa e metade dos valores abao A medaa dos dados ordeados pode ser calculada como:

2 34 Se é ímpar M 3- X + Se é par M X + X Tato a méda quato a medaa são meddas de localzação do cetro de dstrbução A méda, o etato, é muto mas sesível a preseça de altos ou baos valores errátcos Quarts Q Q Q3 - Da mesma forma que a medaa dvde o couto de dados ordeados em duas metades, os quarts o dvdem em 4 partes guas São represetados por Q, Q e Q3, correspodetes ao prmero, segudo e tercero quartl, respectvamete Notar que M Q, podedo-se defr, de maera smlar, decs e percets que dvdem o couto de dados em ou partes guas, respectvamete 3 Meddas de dspersão arâca σ - Correspode à méda das dfereças quadrátcas dos valores observados em relação à sua méda, X m σ 3-4 errátcos Por evolver dfereças ao quadrado, a varâca é sesível a altos valores Desvo padrão σ - Represetado pela raz quadrada da varâca É frequetemete usado em vez da varâca porque sua udade é a mesma das varáves sedo descrtas Ampltude sem-terquartílca Q - Defda por Q Q3 Q 3-5

3 35 A ampltude sem-terquartílca, ao cotráro da varâca e do desvo-padrão, ão usa a méda como cetro da dstrbução, podedo ser escolhda como medda de dspersão os casos em que valores errátcos etremos fluecam a méda do couto Outras meddas de dspersão podem também ser defdas, como a ampltude terquartílca Q3 Q, a ampltude total dfereça etre os valores etremos da dstrbução e a ampltude etre os percets e 9 33 Meddas de forma Coefcete de assmetra - Idca a smetra da dstrbução de freqüêcas, defdo por: Assmetra X m 3 σ O coefcete de assmetra sofre a fluêca de valores errátcos etremos mas do que a méda ou a varâca Frequetemete ão se usa o valor do coefcete de assmetra, mas apeas o seu sal como medda de forma da dstrbução Assmetra postva: com cauda da dstrbução mas loga à dreta do valor mámo, torado a medaa meor do que a méda Assmetra egatva: se o verso ocorrer Assmetra ula: o hstograma é apromadamete smétrco e a méda e medaa são apromadamete cocdetes Meddas de assmetra também podem ser defdas em relação à dfereça etre a méda e a moda prmero coefcete de assmetra de Pearso ou etre a méda e a medaa segudo coefcete de assmetra de Pearso Coefcete de curtose - Avala o grau de achatameto de uma dstrbução em relação a uma dstrbução ormal Curtose X m 4 σ Curtose > 3, dstrbução apresetado pco relatvo mas alto leptocúrtca;

4 36 Curtose < 3, dstrbução com topo achatado platcúrtca; Curtose 3, dstrbução com a mesma forma da dstrbução ormal Outra medda de curtose também pode ser empregada, baseada a ampltude sem- terquartílca Q e os percets P e 9 P 9, e cohecda como coefcete percetílco de curtose k Q k 3-8 P 9 P Para uma dstrbução ormal k, 63 Coefcete de varação C: costtu uma medda de dspersão relatva e também é uma alteratva para avalar a smetra das dstrbuções, prmaramete usada as dstrbuções cuos valores seam todos postvos e cua assmetra sea também postva C σ 3-9 m alores de C > podem dcar a preseça de valores errátcos etremos as amostras, com sgfcatvo mpacto as estmatvas fas Os coefcetes que avalam a forma da dstrbução, são usualmete empregados para verfcar a cofguração da amostra em relação à dstrbução ormal Se os dados apresetarem uma dstrbução logormal, as prcpas estatístcas devem ser calculadas cosderado a assmetra da dstrbução dos dados Para estes casos, a méda geométrca MG e o desvo geométrco DG são mas represetatvos como meddas de tedêca cetral e de dspersão, respectvamete, e m y MG 3- DG σ y e 3- ode m y eσ y são a méda artmétca e o desvo padrão, respectvamete, dos dados orgas X trasformados por: y L 3- X

5 37 3 Modelos de dstrbução de probabldades 3 Modelos para varáves dscretas Se uma varável X pode assumr um couto dscreto de valores X, X,, X com probabldades p, p,, p, sedo p + p + + p, dz-se que está defda uma dstrbução de probabldades dscreta de X Como X pode assumr certos valores com dadas probabldades, esta é cohecda como varável aleatóra dscreta e a fução px é deomada fução de probabldade são: Os prcpas modelos de dstrbução de probabldades para varáves dscretas Dstrbução bomal Proposta por Beroull o fm do século 7, esta dstrbução correspode aos termos sucessvos do desevolvmeto, ou fórmula, bomal Se p é a probabldade de um eveto acotecer em tetatva úca probabldade de sucesso e q - p é a de que o eveto ão ocorra em qualquer tetatva úca probabldade de fracasso, etão a probabldade do eveto ocorrer k vezes em N tetatvas é dada por: p N! k! k K k p q N 3-3 N - k! Dstrbução de Posso Proposta por Posso o começo do século XIX equação 34, pode ser cosderada como um caso lmte da dstrbução bomal quado o úmero de tetatvas N for grade e a probabldade p da ocorrêca do eveto for próma de zero, de modo que q - p tede para eveto raro Na prátca, um eveto pode ser cosderado raro quado N 5 com N p < 5; estes casos, a dstrbução bomal é muto próma da dstrbução de Posso cosderado, λ Np

6 38 λ X e λ p X 3-4 X! 3 Modelo para varáves cotuas Se a varável aleatóra X assumr um couto cotíuo de valores, o polígoo de freqüêcas relatvas de uma amostra tora-se, o caso teórco ou lmte de uma população, uma curva cotíua fx desgada como fução desdade de probabldade ou apeas fução desdade Dstrbução ormal Uma das mas mportates dstrbuções cotíuas de probabldade é a dstrbução ormal, ou dstrbução de Gauss, defda pela equação: 5 X µ X e f 3-5 σ Π σ ode µ e σ represetam a méda e o desvo padrão da varável cotíua X A dstrbução bomal dscreta pode ser apromada pela dstrbução ormal cotíua quado N for grade e em p ou q estverem muto prómos de zero À medda que N aumeta, a assmetra e a curtose da dstrbução bomal tedem para as da dstrbução ormal, cocddo o lmte Na prátca a apromação é boa para Np > 5 Dstrbução logormal Quado o logartmo da varável aleatóra cotíua segue o modelo da dstrbução ormal, sto é 5 log X µ f X e 3-6 σ Π σ ode µ e σ represetam a méda e o desvo padrão dos logartmos da varável cotíua X

7 39 3 Aálse Geoestatístca Mathero em 96, defe à geoestatístca como a aplcação do formalsmo das fuções aleatóras ao recohecmeto e estmação de feômeos aturas A geoestatístca cosdera em suas aálses ão somete o valor da varável o poto ode fo amostrada, mas também a posção do poto o corpo meral ou geológco e seu relacoameto com outras amostras Segudo Royle, os prcpas argumetos para o uso dos métodos geoestatístcos são: a a geoestatístca é completamete baseada a prátca de uma boa estmatva fudametada em uma teora racoal, dferetemete das téccas empírcas tradcoas; b o recohecmeto de que a varabldade total é parte aleatóra e parte espacal, o que coduz a estmatvas que ão tem vés e fluecadas por pequeos erros 3 Fuções aleatóras estacoáras Para se efetuar meddas em locas ão amostrados, é ecessáro dspor-se de um modelo do comportameto do feômeo atural que deu orgem às varáves em estudo Etretato, o cohecmeto em detalhe dos feômeos aturas é geralmete muto dfícl, bastado para sto magar, por eemplo, a formação de solos e a compledade da teração etre os agetes que partcparam deste processo Caso houvesse um perfeto cohecmeto dos processos físcos e/ou químcos atuates, sera etão possível a elaboração de modelos determístcos que smularam o processo de acordo com uma le bem defda, ode todos os fatores estaram bem caracterzados e a fluêca dos mesmos bem cohecda Este ão é o caso em geocêcas, ode as varáves de teresse são, em geral, resultado de um vasto úmero de processos compleos, torado muto dfícl a sua descrção quattatva Os modelos probablístcos tratam os dados como resultado de um processo aleatóro, o que mutas vezes ão correspode à realdade Nossa compreesão sobre o feômeo é mutas vezes tão pobre e lmtada que sua compledade parece ter um comportameto aparetemete aleatóro

8 4 A teora das varáves regoalzadas Mathero, 96 está baseada em modelos probablístcos ode as varáves são cosderadas como a realzação úca de uma determada fução aleatóra aráves regoalzadas apresetam uma dstrbução o espaço, utamete com um determado grau de correlação espacal, aparecedo frequetemete em geocêcas como, por eemplo, a represetação do topo de uma formação geológca, profuddade de camadas de solo, pluvometra, teores geoquímcos, profuddade do leçol freátco, etc Os métodos geoestatístcos mas frequetemete usados para a estmatva de varáves regoalzadas estão baseados em fuções aleatóras estacoáras Sea uma fução udmesoal que descreve um feômeo aleatóro assocado à determada le probablístca Se todos os pares de varáves aleatóras separadas por uma dstâca h etre, +h apresetarem a mesma dstrbução de probabldade couta, depedetemete de suas localzações, mas depededo apeas da dstâca h etre elas, etão a fução é referda como fução aleatóra estacoára Os comportametos de fuções aleatóras estacoáras são geralmete descrtos por três parâmetros, terrelacoados: o varograma γ h, o correlograma ρ h e a fução de covarâca Ch 3 Aalses da varabldade espacal Um feômeo atural pode ser caracterzado pela dstrbução o espaço de uma ou mas varáves chamadas varáves regoalzadas Elas apresetam alguma correlação etre s, dcado a estêca de depedêca dos valores etre amostras cotíguas, á que ada é ao acaso a atureza e as varáves costumam possur um padrão de dstrbução Cachaya, 3 Uma das prcpas característcas das varáves regoalzadas é a sua cotudade espacal, cua avalação está fudametada os prcípos da regressão lear que, a estatístca, vestga a depedêca etre varáves de um feômeo Em geoestatístca, procura-se avalar a depedêca da varável com ela própra, avalada em dferetes posções separadas por um vetor h Esta cotudade espacal pode ser descrta em fução dos coefcetes de correlação fução de correlação ou

9 4 correlograma, das varâcas fução covarâca ou através do semvarograma ou smplesmete varograma A geoestatístca terpreta a varável regoalzada como uma realzação de uma fução aleatóra, o que permte levar em cota os aspectos errátcos e estruturados da regoalzação 3 Fução covarâca C v h Uma mportate dfereça etre os parâmetros de um modelo cocetual e as estatístcas que podem ser calculadas a partr de valores epermetas ecessta este poto ser coveetemete esclarecda Para efatzar a dfereça com valores meddos, o símbolo tl será utlzado para referecar parâmetros do modelo; assm m sgfca a méda artmétca etre valores observados e m correspode à méda dos valores defdos como realzações de uma fução aleatóra, Os valores estmados em potos ão-amostrados também serão dstgudos pelo símbolo aceto crcufleo A fução covarâca, como o ome dca, represeta a varação espacal etre varáves separadas pela dstâca h { h } C v h Cov { + h } E{ } E{ h } C v h E ode o valor esperado da varável aleatóra E{} deota sua méda m Para fuções aleatóras estacoáras, E{} E{+h}, resultado em C v { + h } E{ } h E Fução correlação ou correlograma Idca a cotudade espacal dos coefcetes de correlação, sedo matematcamete epressa por: { + h } { } ar{ + h } Cov ρ v h 3- ar

10 4 Como a covarâca etre varáves a mesma posção é a varâca da fução aleatóra, { } ar{ } C v o Cov 3- C v etão { } E{ } o E 3- Cv h ρ v h 3-3 C v observado-se que ρ v 33 Fução varograma γ h Defdo como a metade do quadrado das dfereças esperadas etre varáves aleatóras dstacadas de h, {[ ] } γ v h E + h 3-4 { } E{ + h } + E{ h } γ v h E Cosderado que para fuções aleatóras estacoaras E { } E{ + h } a epressão acma pode ser escrta como: { } E{ }, γ h E h 3-6 v + Adcoado e susbtrado E { } ao segudo termo da equação, [ ] { } E{ } E{ + h } E{ } γ h E 3-7 v Falmete resulta com auílo das equações 3-9 e 3- γ h C v C v h 3-8 v Observado-se que γ v Para a maora das fuções aleatóras usadas em aálses geoestatístcas, pares de varáves muto separadas são pratcamete depedetes etre s A fução

11 43 covarâca e o correlograma tedem a zero com o aumeto da dstâca h, equato o varograma coverge para um valor mámo, referecado como patamar sll, que também represeta a varâca da fução aleatóra estacoára A equação 3-8 pode ser escrta como γ h C v γ h 3-9 v v γ h γ γ h 3-3 v v v Cosderado que γ ou { } v C v γ v ar As fuções covarâca, correlograma e varograma forecem as mesmas formações mas de maera lgeramete dferete etre s fgura 3 O correlograma ca com o valor, tededo a zero com o crescmeto de h, equato que a fução covarâca decresce de forma smlar a partr do valor cal C σ O varograma ca em aumetado até o valor mámo γ σ Normalmete os varogramas são costruídos ao logo das dreções em que a varável apreseta maor e meor cotudade espacal Para obtê-los, város varogramas drecoas são testados em uma fase prelmar da defção do modelo geoestatístco Fgura 3- Comportameto das meddas de correlação C h, ρ h, γ h de uma varável aleatóra

12 44 O coceto de varograma a uma varável pode ser esteddo para descrever a cotudade espacal etre duas varáves, sto é, em vez de se cosderar pares da mesma varável em locas dferetes trabalham-se com varáves dferetes stuadas em posções dferetes, dstacadas pelo vetor-posção h varograma cruzado { + h } E{ U U } γ h E h 3-3 uv + É prátca comum em geoestatístca proceder a maora dos cálculos cas em termos de varogramas No etato, o método da krgagem ordára, a ser dscutdo em próma seção, recorre-se frequetemete às covarâcas, subtrado-se os valores calculados da costate σ Utlzado-se a matrz de covarâca, os maores elemetos estão localzados em sua dagoal prcpal, o que faclta a resolução umérca do sstema de equações pelo método de elmação de Gauss sem a estratéga de pvotameto umérco Característcas do varograma varograma Com base a Fgura 3- abao são descrtas as prcpas característcas de um Fgura 3- Esquema básco de uma fução varograma

13 45 a Ampltude varográfca a rage - dstâca a partr da qual os valores do varograma ou da fução covarâca permaecem essecalmete costates b Patamar C + C sll - valor mámo do varograma para dstâcas muto grades γ É também o valor da fução covarâca para h ou, smplesmete, a varâca σ da varável aleatóra C Efeto pepta C - represeta descotudades a orgem causada por város fatores como erros de amostragem, erros de medda, mcro-regoalzações da varável estudada, etc De acordo com Garca 988 a relação EC /C +C, deomada de efeto pepta relatvo, epressa o grau de aleatoredade do feômeo regoalzado, sedo classfcado como: E < 5, compoete aleatóra pequea 5<E<3, compoete aleatóra sgfcatva E>3, compoete aleatóra muto sgfcatva Na Fgura 3-3, descrevem-se os parâmetros requerdos para o cálculo do varograma O lag ou dstâca h do varograma é um dado que se requer para a determação do varograma Jaela é a zoa de fluêca do varograma drecoal O úmero de tervalos ou rage é o úmero total de tervalos utlzados o cálculo do varograma Para a obteção dos varogramas epermetas, os trabalhos tpcamete se cam com a elaboração do varograma omdrecoal para o qual a tolerâca drecoal é grade o sufcete para torar a fluêca da dreção do vetor posção h muto pequea Com todas as possíves dreções combadas em um úco varograma, somete o modulo de h dstâca h é mportate A costrução do varograma omdrecoal, ão mplca em acetar a hpótese de que a cotudade espacal da varável vestgada sea a mesma em todas as dreções Sua utldade advém bascamete das segutes razões: a como os efetos de dreção ão são cosderados este tpo de varograma, a aálse pode se cocetrar a pesqusa das dstâcas h, e em suas respectvas tolerâcas, que produzam uma estrutura de clara terpretação b se a estrutura obtda o varograma global for cofusa, é pouco provável que resultados melhores possam ser obtdos em varogramas drecoas costruídos com

14 46 meor úmero de amostras O comportameto verfcado o varograma global, esta fase prelmar dos trabalhos, pode etão dcar a preseça de amostras com valores errátcos o couto vestgado ou que as amostras perteçam a zoas específcas que coteham valores etremos da varável Uma vez obtdos os varogramas omdrecoas, pode-se etão eplorar os padrões de asotropa dreções de máma ou míma cotudade os varogramas drecoas Esta etapa pode ser facltada se alguma formação sobre os eos de asotropa for cohecda a partr de observações em campo Caso cotráro, pode-se recorrer à plotagem de mapas de sovalores ou, mas comumete, calcular-se varogramas drecoas em váras dreções e plotado-se a roseta de varogramas o valor da dstâca, aquela dreção, a qual determado valor de γ é atgdo No caso que o corpo meral ou geológco tver uma dreção de mergulho pré-determada, etão o cálculo dos varogramas se realzara a dreção do mergulho e também perpedcularmete h Fgura 3-3 Característcas do varograma Isotropa Um feômeo dz-se sotrópco quado a magtude do vetor h permaecer costate, qualquer que sea a dreção θ do vetor, e sua varabldade é smétrca Neste caso é sufcete defr um varograma omdrecoal

15 47 Asotropa Na atureza é muto raro ecotrar um feômeo sotrópco, sedo mas freqüete os feômeos asotrópcos Asotropa drecoal geométrca ou zoal aparece quado os varogramas são dferetes em dsttas dreções Para obter a morfologa do feômeo covém calcular város varogramas em dferetes dreções Estem dos grades tpos de asotropa: a Asotropa zoal - tato os valores do patamar quato da ampltude varográfca varam com as dreções, dcado possível zoeameto espacal da varável ou assocação etre populações dsttas Fgura 3-4 b Na prátca, casos de asotropa zoal pura raramete são ecotrados, mas sm assocações de asotropa zoal e geométrca b Asotropa geométrca - os varogramas costruídos em dferetes dreções apresetam o mesmo patamar, mas dferetes ampltudes varográfcas Fgura 3-4 b Este tpo de feômeo é muto comum em depóstos aluvas, ode o alcace a dreção vertcal é muto meor que a dreção prcpal do depósto, coservado sua varabldade em ambos os casos mesmo patamar Fgura 3-4 Tpos de asotropía varográfca; a geométrca; b zoal Modelos varográfcos Nos métodos de estmatvas e smulações geoestatístcas, valores de γ h ao logo de dreções e em dstâcas para as quas ão se dspõem de observações epermetas serão requstados Daí, a ecessdade de se adotar um modelo

16 48 h varográfco γ que melhor se auste ao comportameto espacal da varável estudada Como os resultados das estmatvas devem estr e serem úcos, o sstema de equações leares gerados pela krgagem ecessta possur uma matrz postvo-defda que, por sua vez, mpõe a codção de que modelos varográfcos seam costruídos com aulo de fuções postvo-defdas Detre os prcpas modelos podem ser ctados: Modelos com patamar Nesse tpo de modelo a fução varograma cresce com h até um valor mámo, correspodete à varâca da população, permaecedo etão costate Fgura 3-5 Fgura 3-5 Modelos varográfcos com patamar a Modelo esférco ou de Mathero - Modelo mas frequetemete usado e epresso por: 3 h h C5 5 h a γ h a a 3-3 C h > a No auste do modelo ao varograma epermetal é útl lembrar-se que a tagete pela orgem atge o valor do patamar a apromadamete /3 da ampltude varográfca

17 49 b Modelo epoecal - este modelo o patamar é atgdo pela fução asstotcamete A ampltude varográfca prátca deste modelo é determada quado o varograma alcaçar,95c 3h a γ h C e 3-33 No auste do modelo ao varograma epermetal é útl lembrar que a tagete pela orgem atge o patamar C a apromadamete /3 da ampltude varográfca Em mutas publcações, este modelo é apresetado sob forma geérca como, h a γ h C e 3-34 ode o parâmetro a este caso ão represeta a ampltude varográfca prátca assocada ao valor γ h, 95C c Modelo Gaussao - modelo frequetemete usado para feômeos aturas com elevada cotudade 3h a γ h C e 3-35 À semelhaça do modelo epoecal, o valor mámo γ h C é atgdo asstotcamete A ampltude varográfca prátca a é defda a dstâca ode o valor do varograma alcaçar 95% do patamar O modelo Gaussao apreseta um comportameto parabólco prómo à orgem, como também um poto de fleão da fução Nos modelos esfércos, epoecal e gaussao o efeto de pepta é, va de regra, somado ao modelo varográfco como uma costate C

18 5 d Modelo aleatóro - caracterzado pelo efeto pepta puro C, é represetatvo de feômeos aturas de elevada descotudade O efeto pepta podera ser cosderado como um caso partcular de um modelo esférco de alcace ftamete pequeo Porém, do poto de vsta físco, este uma dfereça fudametal etre ambos os modelos O modelo aleatóro represeta uma regoalzação descotua, ode os valores mudam rapdamete de um poto a outro, etato que o modelo esférco descreve uma regoalzação cotua h γ h 3-36 C h > Fgura 3-6 Modelo aleatóro Modelos sem patamar Apresetam um aumeto costate da varabldade à medda que a dstâca cresce Fgura 3-7 γ h ah θ ode θ e α represeta a clação do modelo lear quado θ 3-37

19 5 Fgura 3-7 Modelo sem patamar Outros modelos a Modelo cúbco: h 35 h 7 h 3 h C + h a γ h a 4 a a 4 a 3-38 C h a b Modelo seo-cardal que pode represetar o efeto buraco hole effect se h / a γ h C h / a 3-39 c Modelo Gama γ h C α h / a α ode o alcace prátco é defdo como a O modelo Gama com parâmetro α é deomado modelo hperbólco

20 5 34 Dessegregação de um couto de dados Efetos de segregação também fluem a forma do módulo varográfco, porém é possível austá-lo com aulo de métodos de dessegregação, como os métodos da polgoal e das células Segudo De Souza, os dos métodos apresetam resultados estatístcos semelhates, porém dsttos dos parâmetros estatístcos calculados para as amostras segregadas O método das células ou blocos será empregado este trabalho, devdo à semelhaça com o modelo de blocos utlzado os processos de estmatva e de smulação Método das células ou blocos - a área total é dvdda em regões de paralelepípedos chamadas de células D ou blocos 3D Cada amostra recebe um peso versamete proporcoal ao úmero de amostras cotdas o mesmo bloco Assm, é evdete que as amostras segregadas recebem um fator de poderação meor porque o bloco em que se ecotram o úmero de amostras é mas alto Note que o peso total das amostras o mesmo bloco deve somar O método de dessegregação por blocos ou células evolve os segutes passos: a utlzação de todas as amostras do bloco para cálculo da méda local dos blocos móves; b utlzação desta méda local para o cálculo da méda global de toda a área estudada A estmatva obtda por este método depede do tamaho da célula ou bloco Blocos muto pequeos fazem com que cada amostra teda a car em seu própro bloco com fator de poderação Blocos muto grades, a poto de compreeder toda a área global, fazem com que as amostras se stuem em úco bloco, recebedo guas fatores de poderação p / Se houver uma malha espacal de amostragem ou de produção mera, usualmete este espaçameto observado a malha represetará uma boa estmatva para o tamaho do bloco Caso cotraro, é prátca comum tetar város tamahos de blocos e escolher aquele que produz a meor estmatva da méda global, calculada a partr da equação 3-56 Este procedmeto é ustfcado para o caso em que as amostras segregadas ocorram em regões ode se observam altos valores da varável O efeto esperado

21 53 da dessegregação este caso é melhorar a estmatva da méda global sob a suposção de que a segregação é alta Para casos ode puder ser observada a estêca de malha de amostragem caso de meração, com segregação de amostras em regões de altos ou baos valores da varável, o método da dessegregação por blocos usualmete se comporta melhor Segudo De Souza, a amostragem é freqüetemete adesada em áreas que são ulgadas crtcas, por eemplo, com altos teores ou grade cocetração de metas Fgura 3-8 Dessegregação em células Isaaks & Srvastava, 989 A Fgura 3-8, mostra um caso partcular de dessegregação D, ode as amostras das células superores B e B por estarem sozhas têm um fator de poderação gual a, equato que as amostras as células ferores B 3 e B 4 têm um fator de poderação de e 8 Os fatores de poderação ou pesos permtem suavzar o efeto de amostragem em malha rregular o mometo da determação do varograma e do hstograma Os mesmos cocetos são aplcados para a dessegregação em blocos p Méda Global Estmada 3-4 p ode é o valor da amostra e p é o peso ou fator de poderação de cada amostra

22 54 33 Estmatvas clásscas Os prcpas métodos de estmatva clássca são as dstâcas poderadas e o método da polgoal Os dos métodos têm uma grade desvatagem, que sobrestma as zoas com valores altos e subestma as zoas com valores baos vés codcoal 33 Dstâcas Poderadas IQD Este método está baseado o fato que a flueca dos valores amostras um determado poto decrescem à medda que se afastam do poto, de tal maera que o valor estmado vara de acordo com uma fução versa da dstâca Neste método o estmador do bloco * s é uma combação lear poderada das amostras v Os poderadores λ são determados pelas dstâcas das amostras d, ao cetro do bloco A meor dstâca do cetro do bloco será o peso que se da à amostra * s d v β d β 3-4 O valor do ídce da poderação β é mportate o processo de estmatva, mas ao mesmo tempo é arbtrara, á que ão se cohecem métodos que permtam obter um valor adequado, stuado de modo geral etre os valores a 5 O valor de β gual a 5, segudo Bares 98, tora o método smlar ao método do polígoo e se o valor for muto bao como 5, por eemplo cresce a mportâca das amostras que estão mas dstates do cetro do bloco Observações quato ao método: Adapta-se com muta facldade para a realzação de estmatvas locas e globas, além de cosderar o agrupameto das amostras As amostras perto do cetro do bloco têm maor peso o processo de estmatva

23 55 Fgura 3-9 Poteca β do método IQD llaueva, 33 Método da polgoal Cosste em atrbur ao poto amostral uma área de fluêca, o teror da qual a varável em estudo tem valor costate e gual àquele determado epermetalmete o poto Os polígoos são costruídos por perpedculares traçadas os potos médos dos segmetos de reta que uem amostras vzhas Segudo llaueva, as áreas de fluêca quase sempre geram uma sobre avalação quado este uma correlação postva etre os valores e uma subestmatva quado a correlação é egatva A cada amostra v correspode um polígoo de fluêca com área s, de tal maera que o valor estmado do bloco * s, é o resultado da poderação das amostras coteúdas o polígoo Os fatores de poderação λ são determados por uma área, em casos D, e por um volume, as aálses 3D s v * s S 3-43 S s 3-44 Os polígoos podem ser costruídos através de medatrzes ou bssetrzes No prmero caso, perpedculares são desehadas pelo poto médo da dstâca que ue dos valores amostras, e costroem-se as medatrzes; o segudo, traçam-se

24 56 bssetrzes através dos potos médos dos âgulos formados com os potos amostras, coforme Fgura 3- Fgura 3- Método da polgoal a medatrzes; b bssetrzes 34 Estmatvas geoestatístcas Para a prevsão ou estmatva dos valores da varável em posções ão amostradas, város métodos estem, detre os clásscos ou tradcoas e os geoestatístcos forma A grade maora dos métodos de estmatva evolve combações leares da w v 3-45 ode v,v,, v represeta os valores amostrados e w um fator de poderação assocado a cada valor v Os métodos dferecam-se bascamete o processo de escolha de w para,, No caso de métodos estatístcos baseados em fuções aleatóras estacoáras, os valores são cosderados realzações de varáves aleatóras, com dstrbução de probabldade couta depededo apeas da dstâca etre elas, mas ão de suas localzações Logo, a estmatva, combação lear de para,, pode ser também cosderada aleatóra w 3-46 Assm como o erro de estmação R o 3-47

25 57 ode o represeta a modelagem aleatóra do valor verdadero em O valor esperado do erro em qualquer partcular posção é frequetemete referdo como vés bas, podedo ser defdo como: E 3-48 { R } E E{ } E { R } E w E{ } 3-49 E { R } w E{ } E{ } 3-5 Para a fução aleatóra estacoára, { } E{ } E{ } E 3-5 E etão { R } E{ } w 3-5 Gerado a codção para que o método de estmatva ão apresete vés, w Krgagem ordára OK O método de krgagem ordára é também cohecdo, em lígua glesa, pela sgla BLUE sgfcado the best lear ubased estmator Lear porque suas estmatvas são fetas por combações leares, ubased sem vés porque o erro de estmação esperado o modelo é ulo e best porque seu obetvo é mmzar a varâca destes erros σ R R O erro de estmação fo aterormete epresso por 3-54 e sua varâca pode ser defda como: ar { R } ar 3-55 ar { R } Cov Cov + Cov{ } 3-56

26 58 O prmero termo da dreta da equação 3-56 represeta a própra varâca de, ou sea ar Cov 3-57 Cosderado que w 3-58 resulta em w ar Cov 3-59 { } Cov w w Cov 3-6 C w w Cov 3-6 O segudo termo da dreta da equação 3-56 pode ser escrto como w Cov Cov { } E w E w E Cov { } { } { } [ ] E E E w Cov w C Cov O tercero termo da dreta da equação 3-56 pode ser epresso como { } { } ar Cov { } σ Cov Etão a equação 3-56 pode ser falmete escrta como OK C w C w w + σ σ 3-6

27 59 Uma vez selecoado o modelo do varograma ou da fução covarâca é possível determar-se σ e todas as covarâcas C A mmzação de uma fução a varáves produz etão um sstema de equações a cógtas fatores de poderação w, w,,w que, em prcpo, podera ser resolvdo por um método de álgebra lear vés Como este uma codção de restrção que garate que a solução ão apresete w, etão o problema de otmzação com restrção poderá etão ser resolvdo pelo método do multplcador de Lagrage, resultado: σ k σ + w w C w C o µ w 3-63 O multplcado de Lagrage µ troduz uma ova cógta o problema, agora epresso sem restrção á que a codção de ão vés é automatcamete satsfeta por 3-63 A mmzação desta equação σ R w σ R µ,, Produz um sstema de + equações que pode ser epresso sob forma matrcal da segute maera: ou C C w C w C C C C C w C µ 3-66

28 6 [ C ][ W ] [ D] Possbltado que as cógtas w, w,,w seam obtdas sem maores dfculdades através do método de elmação de Gauss, por eemplo: O valor da varâca do erro mmzada pode efm ser calculada como: R σ { W} T { D} σ 3-67 A varâca de estmatva ou varâca de krgagem fo proposta como uma medda da certeza assocada à estmatva feta por meo da krgagem ordára 34 Krgagem Smples SK A varável prmara varável aleatóra pode ser estmada pela segute combação lear λ + w 3-68 ode w são pesos assocados à fução aleatóra e λ um fator de auste da estmatva shft parameter Para uma estmatva sem vés, o valor esperado de R, deve ser ulo, ou como sabemos: E E E E E 3-69 { R } E E{ } λ 3-7 { R } E + w E{ } { R } + w E{ } E{ } λ 3-7 { R } + w E{ } E{ } λ 3-7 { R } + w m m λ 3-73 Logo,

29 6 w m m λ 3-74 Na equação w m w m 3-75 ou m w m 3-76 O erro da estmatva R pode ser escrto como m m R 3-77 m m w R 3-78 m w R 3-79 A varâca do erro pode ser epressa, como vmos a krgagem ordára, por: { } C w w R ar 3-8 Os pesos w para,, obtdas pela mmzação de ar{r } em relação a w,,, podem ser obtdos por: C C w,, 3-8 A correspodete varâca mmzada dos erros, mas cohecda como varâca da krgagem smples sk σ, é dada por: sk C w C σ 3-8 σ C é a varâca da fução aleatóra As equações da krgagem smples são também cohecdas como equações de regressão lear a estatístca tradcoal Na krgagem smples a méda m deve ser cohecda ates da aplcação do algortmo para estmatva

30 6 343 Krgagem em bloco Frequetemete se ecessta da estmatva do valor médo de uma varável em um determado volume A Uma maera de se obter tal estmatva é pela dscretzação do volume A em város potos e etão determar-se a méda das estmatvas dvduas destes potos calculados por os dversos processos de krgagem KO, SK A k K A 3-83 O processo é smples, mas computacoalmete efcete por evolver soluções desecessáras de sstemas de equações equações de krgagem No caso da krgagem ordára o sstema de equações é escrto como [ C ][ W ] [ D] Observe que a matrz [ C ], que cotém as covarâcas etre os valores amostras, ão depede da localzação espacal da estmatva, sea ela cosderada em apeas um poto ou sobre um volume A No caso do vetor [ D ], o etato, as covarâcas depedem da posção da estmatva No caso da estmatva evolver um valor médo da varável o volume A, poderíamos escrever que: C A Cov A 3-84 C C C C A A A A E A E A E{ } 3-85 k k E E k k E { } k { } E{ } E{ } 3-86 k E 3-87 k k k k [ E{ } E{ } E{ }] 3-88 C A k k Cov A 3-89

31 63 A covarâca etre a varável aleatóra e a varável A, que represeta o valor meddo do feômeo sobre o volume local A, é o mesmo do que a méda das covarâcas poto a poto da varável aleatóra stuados o teror do volume ou bloco A A varâca do erro da estmatva é dada por σ ok C AA w C A+ µ 3-9 ode C C AA represeta a covarâca etre os potos localzados o volume A AA k k k C A A 3-9 Na pratca, a covarâca C AA é apromada pela dscretzação do volume A em város potos k Mas, é mportate garatr que os valores de ok σ seam sempre postvos, por sso, os potos utlzados para o cálculo da covarâca C AA devem ser os mesmos empregados a determação das covarâcas poto a bloco C A A vatagem da krgagem por bloco é que a estmatva do valor médo da varável aleatóra de um volume A é obtda pelas soluções de um sstema de equações Quato meor o úmero de potos em que se dscretze o bloco, meor será o tempo de cálculo, mas meor também será a precsão da estmatva A Fgura 3-, mostra como um bloco, dscretzado em quatro subblocos, é estmado

32 64 Fgura 3- Avalação de um bloco sub-dvddo em 4 sub-blocos Yamamoto, Icertezas Geoestatístcas Através dos métodos geoestatístcos apresetados aterormete, estmatvas da varável podm ser fetas, ada que corporado algum erro O valor eato destas ão é possível de ser calculado, pelo smples fato de que o valor verdadero da varável a posção deseada é descohecdo No etato, sera bastate útl se ao meos alguma dcação de sua magtude pudesse ser estabelecda áros fatores podem fluecar o erro de estmação, detre os quas, o úmero de amostras, a promdades das amostras ao poto de estmatva, a cofguração espacal das amostras e a atureza do própro feômeo atural sedo estudado Em prcpo, estmatvas mas cofáves podem ser fetas com um úmero maor de amostras, prómas ao poto de teresse, ada que uma evetual segregação das amostras possa preudcar a eatdão da estmatva A fluêca dos outros fatores é meos óbva, porém ão meos mportate Estmatvas produzdas o caso de feômeos aturas bem comportados, com suave varação espacal, são mas cofáves do que aquelas obtdas ode a varável prmára ebe comportameto errátco Além dsso, é mportate recohecer e ter em mete que

33 65 a atureza do feômeo pode varar a regão de teresse, com áreas de alta varabldade local Questões comus em geocêcas como, por eemplo, em qual cofguração espacal de amostras as estmatvas são mas cofáves, podem ser tratadas por um ídce de certeza que, embora ão garatdo que uma estmava sea melhor do que outra, forece dcações da possível magtude dos erros evolvdos O ídce que mas amplamete cosdera os fatores que afetam a certeza é varâca do erros de estmação R, aterormete defdo por: m { } + Cov{ } wcov{ } σ R Cov 3-9 ode: { } Cov - represeta a varâca do poto estudado e cosdera, em parte, o comportameto errátco da varável de teresse Quato mas errátca, maor o valor deste termo e, portato, maor o ídce de certeza relatvo epresso por σ R m Cov{ } - soma poderada das covarâcas que dmu à medda em que as dstâcas aumetam Se as amostras estão bastate separadas etre s, etão a flueca deste termo será relatvamete pequea w Cov{ } - soma poderada das covarâcas etre as amostras e o poto sedo estmado Se as amostras estão prómas ao poto, as covarâcas aumetam e, devdo ao sal egatvo a equação 3-9, o ídce de certeza dmu O ídce de certeza também corpora os efetos dos fatores de poderação que, os métodos geoestatístcos, garatem estmavas sem vés w A classfcação por ídces de certeza relatva pode ão ser sufcete em mutos problemas que pedem por meddas de certeza em valores absolutos Por eemplo, é frequetemete mportate estabelecer tervalos de cofaça detro dos quas o valor verdadero da varável possa estar stuado

34 66 A maera mas tradcoal de estabelecer tas tervalos de cofaça requer que as segutes hpóteses seam satsfetas pelo problema: Os erros verdaderos sgam uma dstrbução ormal de probabldades dstrbução de Gauss A varâca dos erros do modelo baseado em fuções aleatóras medda precsa da varâca dos erros de estmação verdaderos σ R sea uma A prmera destas hpóteses é geralmete aceta, mesmo para couto de dados com alta assmetra, pos os erros de estmação tedem a ser smétrcos teorema do lmte cetral A seguda hpótese, o etato, depede fortemete, do modelo varográfco selecoado Na pratca, é mutas vezes dfícl terpretar a varâca dos erros do modelo como a varâca dos erros verdaderos Segudo Yamamoto & Code 999, a varâca da krgagem mede apeas a cofguração espacal dos potos dados e, por sso, ão recohece a dspersão local dos mesmos A dspersão local é de mportâca vtal prcpalmete para a classfcação de recursos meras Por sso, dversos autores propõem outras relações para calcular meddas que melhor represetem o erro assocado à estmatva e levem em cosderação os efetos da dspersão local regões de alta e baa varabldade 36 Smulações Geoestatístcas Em mutos casos, a estmação do valor de um bloco smples ão é sufcete para abordar todos as questões surgdas em um proeto ovo A krgagem produz a melhor estmatva do valor de um bloco, cosderado somete valores amostras ao redor do bloco e gorado a fluêca dos demas As estmações produzdas geram uma represetação suavzada da dstrbução real da varável Em termos estatístcos, sto sgfca que a varâca das estmatvas é meor do que a varâca dos valores reas Em termos prátcos, que o valor prevsto está codcoalmete com vés, subestmado os valores altos e sobrestmado os valores baos Sullva, 6 As smulações mostram um maor detalhe da varabldade espacal, á que seu obetvo é reproduzr a maor quatdade possível das propredades do couto orgal

35 67 dos dados, equato que as estmatvas são realzadas para determar propredades médas A smulação reproduz o hstograma e varograma dos dados orgas, além de estar codcoada aos dados Por meo do codcoameto, quado uma varável é smulada em uma regão amostrada, a estmatva gualará eatamete o valor da amostra As smulações podem ser realzadas mutas vezes e em cada vez produzrá superfíces dferetes Cada uma das superfíces smuladas reproduz as característcas cohecdas e modeladas dos dados, com cada superfíce represetado uma possível magem de como a varável se comportará espacalmete Em resumo, quado se quser a melhor estmatva do valor de uma propredade, deve-se usar a krgeagem, mas quado se requer a formação da varabldade, há que crar smulações Fudametos da smulação Uma smulação geoestatístca bem costruída reproduzrá muta das característcas orgas dos dados Algumas das característcas reproduzdas são:o hstograma dos dados, a correlação espacal dos dados e suas propredades locas Estem mutos algortmos para gerar uma smulação codcoal, Porém, todos os algortmos relacoam-se em quatro etapas mportates Fgura 3- Icado com uma sere de úmeros aleatóros, mpõe-se a correlação espacal Os valores correlacoados são codcoados aos dados reas e obrgados a se coformar à dstrbução dos dados orgas

36 68 Fgura 3- Passos para uma smulação 36 Smulação seqüecal gaussaa SSG Atualmete é o algortmo mas cohecda de smulação codcoal, permtdo uma solução efcete das etapas de smulação A apromação da smulação seqüecal gaussaa utlza ao mámo as propredades da dstrbução gaussaa Uma das propredades é quado os dados são mult ormalmete dstrbuídos, etão a varâca da krgagem é equvalete à varâca codcoal e o valor estmado descreve por completo a dstrbução codcoal em um poto ão amostrado Cohecedo esta dstrbução, é portato muto smples estabelecer prevsões No etato, como a seleção aleatóra de amostras de um úmero de dstrbuções codcoas depedetes ão garate que o varograma dos dados sea reproduzdo

37 69 pela smulação, etão os teores smulados são somadas ao grupo dos dados codcoates coforme são gerados Sullva, 6 Em termos matemátcos, uma smulação codcoal procura forecer realzações de N varáves aleatóras codcoas aos dados dspoíves Aqu N o úmero de potos smulados é geralmete maor que o umero de dados dspoíves Como a dstrbução multvarável adequada para este tpo de problema é geralmete muto complea, ecessta-se de um método que smplfque a solução Esta smplfcação é feta com auílo do aoma de Bayes para probabldades codcoas Para evetos dscretos, o aoma é dado por: Pr A/ B Pr A B / Pr B 3-93 Fgura 3-3 Dagrama de e Os círculos represetados a Fgura 3-3 represetam os evetos A e B A terseção dos círculos represeta a ocorrêca de A e de B ao mesmo tempo O termo PrA/B represeta qual é probabldade de que ocorra A quado á teha acotecdo B Se á ocorreu o eveto B, todos os evetos adcoas estão lmtados ao crculo que represeta B, ou sea, se á ocorreu B, a úca maera de que ocorra A é que ocorram A e B ao mesmo tempo" Ao utar esta formação, a probabldade de que ocorra A e B PrA/B é gual à probabldade de que ambos os dos A e B ocorram Pr A B dvddo pela probabldade de que ocorra B PrB Também podemos escrever a equação 3-93 como: Pr A B Pr A/ BPr B 3-94 Esta equação resulta mas adequada as smulações de dstrbuções de múltplas varáves, odea probabldade couta de A e B é o produto de duas dstrbuções Esta

38 7 relação pode ser epadda para que se possa formar a partr do produto de varáves N, a dstrbução couta de qualquer varável N Por eemplo, cosderado D B C Pr A B C Pr A D 3-95 Aplcado o aoma de Bayes Pr A D Pr A/ DPr D 3-96 Substtudo ovamete D Pr A B C Pr A/ B CPr B C 3-97 Aplcado ovamete o aoma de Bayes Pr A B C Pr A/ B CPr B / CPr C 3-98 Na smulação estem dados e N potos a smular Os potos smulados devem ser uma realzação da fução aleatóra Logo, os potos smulados devem segur as les da probabldade couta para as N varáves aleatóras N varáves aleatóras os potos que estão sedo smulados Uma realzação que segue as les de probabldade couta é defda aplcado sequecalmete o aoma de Bayes Prmero, um poto de partda aleatóro que será smulado é selecoado detre os N ós de uma malha Neste mometo, a dstrbução dos teores codcoados aos dados é defda e um teor smulado selecoado aleatoramete a partr da dstrbução codcoal Logo depos, este teor smulado é adcoado ao couto de dados codcoates e vsta-se outro dos ós da malha A dstrbução codcoal é defda este poto e um teor smulado é selecoado aleatoramete com base esta dstrbução Segudo, a dstrbução dos teores esta codcoada de maera mportate aos dados e ao teor smulado Este processo seqüecal cotua até que todos os potos N teham sdo smulados, á que todos os teores smulados são selecoados de uma dstrbução de teores codcoados à formação dspoível smulado e real; A smulação resultate é uma realzação da fução aleatóra É mportate garatr que os dados teham uma dstrbução ormal, á que a aplcação da krgagem smples defe por completo a dstrbução codcoal dos teores Neste caso, o procedmeto de smulação codcoal cosste em: star um ó de smulação Realzar uma krgagem smples para defr a dstrbução codcoal Selecoar aleatoramete um teor da dstrbução codcoal

39 7 Somar o valor smulado ao couto dos dados codcoados star outro ó e repetr o processo Este processo cotua até que todos os ós teham sdo smulados sm + dados UCSm 3-99 UCSm ode sm é o valor smulado, UCSm é o teor do dado smulado ão codcoado, dados o teor estmado com krgagem smples a partr das amostras e UCSm o teor estmado com krgagem smples a partr dos dados ão codcoalmete smulados Nas posções ode estam dados, a smulação codcoal sm será gual aos dados, á que a krgagem é um estmador eato Em um ó ode haa uma amostra UCSm UCSm e dados sm Segudo Sullva 6, a varâca da krgagem e a varâca codcoal ão são as mesmas em uma dstrbução que ão sea ormal Gaussaa, por eemplo em uma dstrbução log-ormal ode este um efeto proporcoal A varâca codcoal é uma fução do valor médo local efetvamete S &m ode S é a varâca local e m é a méda local Neste caso, quado a krgagem é realzada, a varâca da krgagem é somete codcoal com a posção dos dados, á que os pesos da krgagem são fução apeas da posção dos dados Devdo que a varâca codcoal depede das médas locas, a varâca codcoal depede tato da posção dos dados quato dos valores destes Para aplcar a teora de smulação seqüecal gaussaa os dados devem estar dstrbuídos ormalmete, o que ocorre quase uca a prátca A solução deste problema está a trasformação dos dados a uma dstrbução ormal Sem mportar seu teor de dstrbução cal, com uma méda de e um desvo padrão de cram-se valores ormalmete dstrbuídos Logo depos, a smulação é realzada sobre estes dados trasformados e os potos smulados são ovamete trasformados a seus respectvos valores orgas A trasformação dos dados se basea a dstrbução acumulatva dos dados e a dstrbução ormal

40 7 Implemetação da Smulação Seqüecal Gaussaa Revsar os dados orgas para assegurar-se que a dstrbução dos teores sea estacoára em relação ao volume que será smulado Partcularmete, revsar as tedêcas dos teores ou das áreas de valores altos e baos Se for ecessáro subdvdr o volume de smulação para obter regões admtdas estacoáras Revsar se estem grupos de dados Se os dados estão segregados ou agrupados, é provável que a dstrbução ão dessegregada dos dados ão sea represetatva Determe os pesos por um método de dessegregação Trasforme os dados para que sgam uma dstrbução ormal Modele o varograma dos dados trasformados Defa o camho aleatóro através da malha dos potos que serão smulados ste cada um dos ós e realze a krgagem smples sob os dados trasformados A krgagem smples defe a méda e a varâca estmatva da krgagem e varâca da krgagem da dstrbução codcoal, pos os dados são dstrbuídos ormalmete Usado um gerador de úmeros aleatóros, selecoe um poto da dstrbução codcoal Gaussaa Este é o valor smulado para o poto Adcoe o valor smulado ao grupo de dados codcoates ste o prómo ó a ser smulado e repta a krgagem e os passos de seleção Uma vez que todos os potos teham sdo smulados, trasforme os valores smulados sob dstrbução ormal para obter os teores smulados reas Os valores smulados fas devem ser revsados e cotrastados com os dados orgas para garatr que o varograma e o hstograma teham sdo reproduzdos adequadamete