Figura 1. Lema 1: Dado um grafo conexo com todos os vértices de grau par, então qualquer par de vértice faz parte de um caminho simples e fechado.

Transcrição

1 Grafo Eulriano... O Prolma do Cartiro Chinês...4 Algoritmos d Emparlhamnto Prolmas Hamiltonianos...7 Propridads para grafos hamiltonianos...8 Método Exato: Método Composição Latina...8 Passos do Algoritmo... 9 Prolma do Caixiro Viajant (PCV)...2 Algoritmos Hurístios para o PCV...2 Hurístia d Construção...2 Hurístia d Mlhoramnto... 3 Hurístia d Mlhoramnto K-Opt...3 A Hurístia 2-OPT...3 Formalização da Hurístia 2-Opt...4 Grafo Eulriano Um aminho simpls ou um iruito simpls é dito ulriano s l ontém todas as arstas d um grafo. Um grafo qu ontém um iruito ulriano é um grafo ulriano. Um grafo qu não ontém um iruito ulriano, mas ontém um aminho ulriano srá hamado grafo smi-ulriano. As figuras a ilustram grafos ulriano smi-ulriano, rsptivamnt. Figura Por dfinição, um aminho é smpr onxo. Como um iruito ulriano ontém todas as arstas d um grafo, um grafo ulriano é smpr onxo, om a xção dos vértis isolados. Lma : Dado um grafo onxo om todos os vértis d grau par, ntão qualqur par d vérti faz part d um aminho simpls fhado. Prova: (Por ontradição). Suponha qu xista um par d vértis u v qu não admitm um iruito simpls m omum. Como o grafo é onxo, ntão xist um aminho qu liga u

2 v. Portanto, xist uma arsta (x,y) uja a rmoção dsonxa o grafo, aso ontrário havria um outro aminho disjunto altrnativo ligando u v. u x y v Portanto, a rmoção da arsta (x,y) dsonxa grafo grando duas omponnts onxas, sndo o vérti x y prtnnts a omponnts difrnts. Com isso, amos os vértis passarão a sr os únios vértis d grau ímpar. Isso ontradiz o fato qu o númro d vértis d grau ímpar d um sugrafo dva sr par. C.Q.D. Torma : Um grafo onxo G é um grafo ulriano s somnt s todo vérti d G possui grau par. Prova: Ida: Sja G um grafo ulriano. Logo l ontém um iruito ulriano. Por ada oorrênia d vérti dss aminho, xist uma arsta qu hga nss vérti outra qu sai dss vérti. Como toda arsta faz part do aminho, isto é, nnhuma arsta fia fora do aminho, nssariamnt o númro d arstas inidnts m ada vérti é par. Volta: Como todo vérti possui grau par, ntão na onstrução d um aminho smpr é possívl hgar sair d um vérti por arstas difrnts ainda não utilizada. Assim, é possívl sair d vérti v rtornar a l sm rptição d arstas (Lma ). Sja C um iruito ontndo v onstruído d manira aritrária. Logo, s C ontém todas as arstas d G, tmos um iruito ulriano. Snão, rtiramos d G todas as arstas qu fazm part d C. No grafo rsultant G', todos os vértis tamém possum grau par nssariamnt um dls faz part d C, snão o grafo não sria onxo. Rommos o msmo prosso om o grafo G', partindo d um vérti omum om C, otndo assim um novo iruito C 2. A figura 2 mostra qu dois iruitos qu têm um vérti m omum podm formar um iruito únio: hgando no vérti omum m um dos dois iruitos, ontinuamos o prurso no outro iruito. Continuando ss prosso, nssariamnt otrmos um iruito únio qu ontém todas as arstas d G. Logo o grafo é ulriano. C.Q.D. 2

3 Figura 2 Um aspto muito intrssant dssa prova é qu la sugr um algoritmo para idntifiar um iruito ulriano. Considr por xmplo o grafo ilustrado na figura 3a. Figura 3 Supondo qu omçamos plo vérti, solhmos alatoriamnt um arsta nuna visitada a ada vérti visitado, até voltar ao vérti sm podr sair mais. A figura 3 mostra um iruito otido, qu onsist na squênia, 2, 5, 9,,, 6, 3. Como soram arstas não prorridas, dvmos romçar a partir d um vérti dss iruito. Supondo qu o vérti 6 foi solhido, podmos otr, omo ilustrado na figura 3, o iruito 6, 7, 2, 8, 7, 4, 3, 2, 6, 5,, 6. Cominando sss iruito om o qu já tinhamos, otmos um novo iruito, 2, 5, 9,,, 6, 7, 2, 8, 7, 4, 3, 2, 6, 5,, 6, 3,. Como ss iruito or o grafo intiro, não é priso romçar o prosso: já tmos o nosso iruito ulriano. Ess algoritmo é onhido omo o algoritmo d Hirholzr. Suponhamos qu um aminho d um vérti v até v k é rprsntado por uma lista [v, a,..., a k-, v k ], qu altrna vértis arstas. Eis uma dsrição do algoritmo d Hirholzr (supondo qu já samos qu o grafo é ulriano): 3

4 função Hirholzr(G = (V,E): grafo) : aminho G' := G { G' = (V', E')} v := um vérti d G' C := [v ] {Iniialmnt, o iruito ontém só v } Enquanto E' não vazio Rtornar C v i := um vérti d C tal qu d(v i ) > m G' C' := Ciruito m G' qu ontém v i G' := G' - {a a é arsta ontida m C'} Em C, sustituir o vérti v i plo iruito C' Complxidad do Algoritmo d Hirholzr (Exríio m sala d aula) O Prolma do Cartiro Chinês As apliaçõs dos aminhos ulrianos s rlaionam, asiamnt, om prolmas d atndimnto sqünial, sor um onjunto d usuários d um srviço ofrido no intrior d uma rd d tráfgo, tais omo, ntrga d orrio, olta d lixo, vndas por ataado, t. Um prolma intrssant ligado ao onito d grafo smi-ulriano é o Prolma do Cartiro Chinês. Imagin um artiro qu dv prorrr um rotiro todo dia. O prolma é d idntifiar ss rotiro d manira a minimizar a distânia total prorrida. Essa situação pod sr rprsntada por um grafo ond as arstas orrspondm às ruas os vértis orrspondm aos ruzamntos. S o grafo é ulriano, a solução onsist simplsmnt m ahar um iruito ulriano. Mais intrssant é o aso d um grafo não ulriano. Considrmos por xmplo um grafo smi-ulriano, omo ilustrado na figura 4. Supondo qu o artiro qur voltar ao lugar d origm, portanto om rtza para ada um dos vértis 8, uma das arstas adjants srá atravssada no mínimo duas vzs. 4

5 Figura 4 Uma solução ao prolma é a sguint. Transform o grafo m grafo ulriano, dupliando as arstas qu formam o aminho mais urto ntr os dois vértis d grau ímpar. Ess aminho é indiado m vrmlho na figura 4. O grafo assim otido é ulriano. Agora podmos apliar um dos algoritmos d idntifiação d iruito ulriano. Portanto, dado um grafo G=(V,E) onxo om usto nas arstas, o ojtivo do Prolma do Cartiro Chinês é nontrar um aminho fhado d usto mínimo passando por ada arsta plo mnos uma vz. Solução : S o grafo for d Eulr, ntão o aminho pod sr nontrado, onsqüntmnt, o su rsptivo usto, através do algoritmo d Hirholzr. O usto é dado pla soma dos ustos d todas as arstas do grafo. Solução 2: S o grafo não for d Eulr, ntão algumas arstas trão qu sr rptidas. A manira lássia d rsolvr st prolma é arsntando arstas artifiiais ao grafo original d forma a otr um novo grafo G =(V,E ). Isto dv sr fito d manira qu as arstas artifiiais arsntadas transformm todos os vértis d grau ímpar d G, m vértis d grau par. As arstas artifiiais orrspondm aos vntuais prursos rptidos d usto mínimo ntr pars d vértis d grau impar. Algoritmo para o Prolma do Cartiro hinês P. Idntifiqu os vértis d grau ímpar. Digamos qu xistam α vértis d grau ímpar. P2. Dtrmin as ominaçõs possívis d vértis d grau ímpar, intrligando-os om arstas artifiiais, formando grafos xpandidos, ontndo somnt vértis d graus par. P3. Slion o grafo G=(V,E) xpandido qu aprsntar a mnor xtnsão total das arstas artifiiais. P4. Dtrmin um rotiro d Eulr par o grafo G=(V, E). 5

6 Osrv qu as possívis ominaçõs d vértis d grau ímpars podm sr um númro muito grand. Supondo qu o grafo tnha 2k vértis d grau ímpar, m gral, o númro r d prursos é dado por: r 2 k! = = ( 2 k ) ( 2 k 3 ) k 2. k! Para tr uma idéia, osrv sts xmplos: # d vértis = 2k # d ominaçõs x 6 A numração total torna-s rapidamnt inviávl. Para prolmas pqunos, ou sja, númro pquno d vértis d grau ímpar, por inspção do grafo é gralmnt fáil ahar a ominação d usto mínimo, ou sja, a introdução d arstas artifiiais. Exmplo: Um aminhão d olta d lixo domiiliar dv prorrr as ruas d uma dtrminada zona urana rprsntada plo grafo aaixo, partindo d ponto A rtornando a st ponto. Dtrminar: a) o rotiro qu torn mínima a distânia prorrida plo víulo; ) a xtnsão total do prurso dntro da zona. Caminho: Custo: Algoritmos d Emparlhamnto. 6

7 Considr um grafo omplto K α, sndo α o númro d vértis d grau ímpar nontrados no grafo original. Cada arsta do grafo K α dv rprsntar um aminho d usto mínimo ntr os vértis d grau ímpar do grafo original. Portanto, nontrar a mlhor ominação d pars d vértis (arstas artifiiais) signifia nontrar um mparlhamnto d usto mínimo om α/2 arstas m K α. Est prolma pod failmnt sr transformado m um prolma d mparlhamnto d pso máximo (Maximum Wight Mathing). Para isto, na litratura podm sr nontrados algoritmos d omplxidad polinomial. Porém, a implmntação dsts algoritmos não é trivial. Sndo assim, não tratarmos sor isso nst urso. Aos intrssados, sugr-s uma iliografia spializada, ou até msmo na intrnt é possívl nontrar xmplars d algoritmos para st prolma. Prolmas Hamiltonianos Dfinição: Um iruito hamiltoniano m um grafo onxo G é dfinido omo um aminho lmntar, fhado passando m ada vérti d G xatamnt uma vz. Um grafo qu admit um iruito hamiltoniano é um grafo hamiltoniano. Evidntmnt nm todo grafo é hamiltoniano. A figura aaixo ilustra dois grafos, o primiro é hamiltoniano (a) o sgundo não (). Portanto, um iruito hamiltoniano d um grafo d n vértis onsist d xatamnt n arstas. Um iruito hamiltoniano quival a uma prmutação dos vértis, assim, o númro máximo d aminhos hamiltonianos d um grafo om n vértis é igual a n!. Os prolmas dsta lass são, d modo gral, d difiuldad maior qu os prolmas ulrianos. Há um grand númro d rsultados útis, ao lado d muitas qustõs m arto; por outro lado os algoritmos para dsorir um iruito hamiltoniano são m gral, muito mais traalhosos. Enquanto qu um grafo ulriano pod sr vrifiado m tmpo linar, não s onh algoritmo polinomial para vrifiar s um grafo é hamiltoniando, xto para asos partiulars. Por xmplo, não é ompliado vrifiar qu um grafo omplto possui um iruito hamiltoniano m tmpo O(n 2 ). 7

8 Propridads para grafos hamiltonianos Existm muitos rsultados para ara d grafos hamiltoniados, porém, há pouos tormas rlativamnt útis. A sguir são aprsntados dois tormas. Torma d Or. Uma ondição sufiint (mas não nssária) para qu um grafo G sja hamiltoniano é qu a soma dos graus d ada par d vértis não adjants sja no mínimo n. Torma d Dira: Uma ondição sufiint (mas não nssária) para qu um grafo simpls G possua um ilo hamiltoniano, é qu o grau d ada vérti m G sja plo mnos igual a n/2, ond n é o númro d vértis m G. Osrv qu sts tormas não são sufiints para dtrminar s um grafo é hamiltoniano. Osrv o grafo aaixo qu é um grafo hamiltoniano qu não od as ondiçõs dos tormas aima. O grau d ada vérti é 2, qu é mnos qu 6/2=3, além disso, a soma dos graus d qualqur par d vértis não adjants é smpr 4, qu é mnor qu n=6 (vértis). A sguir é aprsntado um algoritmo qu dtrmina os iruitos hamiltoniados. Método Exato: Método Composição Latina Trata-s d um método algério para numração d aminhos hamiltonianos. Est método gra todos os aminhos simpls por multipliação d matrizs. Considr a matriz B(nxn) da sguint forma: B i j = v j, s x i s t a a r s t a ( v i, v j ), a s o o n t r á r i o Passos do Algoritmo P. Construa a matriz B a matriz d adjaênia A do grafo dado. P2. Faça P A; 8

9 P3. Para i =,2,..., n-2 faça P i+ B x P i Os: ) Os lmntos da matriz P são adias d aratrs (vértis) não númros. A opração multipliação signifia a onatnação do aratrs a soma rprsnta a divisão d duas ou mais adias d aratrs. 2) Cada lmnto da matriz P i rprsnta um aminho hamiltoniano d omprimnto i + ntr os vértis s t. 3) Para todo P i + a diagonal é zro, assim omo todo aminho d s até t ontndo s. Exmplo: Dtrminar as aminhos hamiltonianos do grafo aaixo: a d Solução plo método da omposição latina. Passo : = = a d d B A Passo 2: P = A Passo 3: P 2 = BxP ; P 3 = BxP 2 ; P 4 = BxP 3 Eliminam-s nas matrizs P i os trmos sulinhados, pois são aminhos d s até t qu ontm s. Faz-s tamém a diagonal igual a zro. 9

10 P2 = a + d d + a = a + d d + a P3 = d + a + a + d + d + ad a a a + d d a + P 4 = d d a a d + a a d a d a d + a a a + a + a + a a d + d d d + a + a Os aminhos hamiltonianos são: ad, ad, da, ad, ad, ad, da, da, ad, ad. S as arstas são valoradas, ntão pod-s dtrminar o aminho d mnor usto. Os ilos disjuntos ontndo todos os vértis são: ada, ada Os: A maioria dos algoritmos xatos são normalmnt da lass Branh and- Bound. Trata-s d usas m árvors, aratrizadas plo partiionamnto do onjunto d soluçõs por um ritério dado. Em prolmas prátios sts algoritmos são inviávis, pois, o tmpo d omputação rs rapidamnt om a dimnsão do prolma.

11 Prolma do Caixiro Viajant (PCV) (Travling Salsman Prolm) É um prolma d grand importânia prátia qu onsist na dtrminação da rota d mnor usto para uma pssoa qu parta d uma idad dva visitar divrsas outras, passando plo mnos uma vz m ada idad rtornando ao ponto d partida. O usto pod sr mdido m trmos d dinhiro, tmpo, distânia, t, as opçõs xistnts para as difrnts tapas d viagns orrspondm as arstas d um grafo valorado. S o grafo não for muito grand, spialmnt, s não tivr muitos aros, srá possívl numrar os iruitos hamiltonianos dpois ahar o valor d ada um dls; mas no aso gral, isso é impossívl na prátia. Algoritmos Hurístios para o PCV Os métodos xatos para rsolvr o PCV não são omputaionalmnt fiints, o qu tm lvado os psquisadors a utilizarm algorítimos hurístios, qu gram soluçõs satisfatórias, om onsumo d tmpo omputaional muitas vzs mnor do qu um algoritmo xato. Uma hurístia é um prosso qu proura oas soluçõs d um prolma a um usto omputaional razoávl, porém, sm sr apaz d garantir a otimalidad ou até, m muitos asos, d stalr quão prto uma dada solução viávl stá da solução ótima. Portanto, não xist prova d orrtud dsss algoritmos hurístios. Os algoritmos hurístios nontrados na litratura podm sr divididos nas sguints lasss: Hurístia d Construção; Hurístia d Mlhoramnto; Hurístia mista. Hurístia d Construção As hurístias d onstrução mais onhidas são: Vizinho mais próximo; Insrção mais próxima; Insrção mais distant; Insrção mais arata; Algoritmos das Eonomias (Clark-Wright).

12 Esss algoritmos srão vistos m sala d aula. Hurístia d Mlhoramnto As hurístias d mlhoramnto (ou d mlhoria itrativa) mais onhidas são: K-opt ou K-mlhoramnto; (m sala d aula) Simulatd Annaling; Algoritmos Gnétios; Busa Tau; t. Nst urso srá visto apnas o K-Opt, porém, na litratura podm sr nontrados outros algoritmos hurístios omo itados aima. Hurístia d Mlhoramnto K-Opt Trata-s d uma stratégia d troa d arstas qu podm sr usadas para mlhorar uma solução otida por algum algoritmo d onstrução. A hurístia K-Opt limina K arstas não adjants do rotiro do PCV rontam sss k aminhos m ordm difrnts através d outras k arstas. Entrtanto, as xpriênias omputaionais om K=2 K=3 têm aprsntado os mlhors rsultados. A Hurístia 2-OPT A hurístia 2-opt é uma das ténias mais onhida para mlhorar uma solução para o prolma do aixiro viajant. Iniia-s om um ilo H; rtira-s 2 arstas d H, assim produzindo 2 grafos dsontados. Os dois grafos são rontados d tal manira qu produza outro ilo H. Assim H H difrm m xatamnt 2 arstas. Calula-s o usto w(h ) do ilo H. S w(h )< w(h), o ilo H é sustituído por H rpt-s o prosso; aso ontrário, um outro par d arstas é troado. As mudanças ontinuam até qu nnhum mlhoramnto podr s fito troando 2 arstas. A solução final qu não pod sr mlhorada mudando apnas 2 arstas é hamada d uma solução 2-opt (Figura ). Figura. Ilustração da hurístia 2-Opt 2

13 Figura 2. Ilustração da hurístia 3-Opt. D manira análoga a hurístia 2-Opt pod s riar a hurístia 3-Opt. Nst aso, a mudança d 3 arstas podm sr ominadas m 4 formas difrnt, onform a Figura 2. Formalização da Hurístia 2-Opt Dado um ilo iniial ontndo o sguint onjunto d arstas H={x, x 2,..., x n } na ordm x, x 2,..., x n.. Dfin-s w(h) o usto assoiado ao ilo H. Sja X={x i,x j } um onjunto d 2 arstas d H é apagado sustituído por outro onjunto d arstas Y={y p,y q }, otndo-s um novo ilo H = (H - X) Y. S w(h )<w(h) ntão H é sustituído por H. Osrv qu: ) as duas arstas x i, x j d X não podm sr adjants; 2) uma vz qu X tnha sido solhido, o onjunto Y é dtrminado. Assim, é possívl grar n ( n 3 ) ilos H a partir d um dado ilo H. 2 Dnota-s δ omo sndo o mlhoramnto δ= w(h) - w(h )= ( w(x i ) + w(x j ) ) - ( w(y p ) + w(y q ) ). 3

14 O algoritmo xamina todos os ilos H a fim d otr um ilo om o máximo valor d δ. O valor máximo é dnotado por δ max. A sguir é dsrito o algoritmo dst método para alançar uma solução 2-opt para o prolma do aixiro viajant através d sussivas troas d 2 arstas ( Syslo t al, 983) Produr 2-OPT gin < sja H= (x, x 2,..., x n ) o ilo orrnt >; rpat δ max :=; for i:= to (n-2) do for j:=(i+) to n < ou (n-) quando i= > do if (w(x i ) + w(x j ) - w(y p ) - w(y q ))> δ max thn gin δ max := (w(x i ) + w(x j ) - w(y p ) - w(y q )); < guardar i j >; nd; if δ max > thn H:= H- {x i, x j } {y p,y q }; until δ max =; nd; Exríios. Exríio. Faça a anális d omplxidad para ada algoritmo hurístio onstrutivo aprsntado. Exríio 2. Faça a anális d omplxidad para os algoritmos hurístios mlhorativo 2- Opt 3-Opt. Exríio 3. S um digrafo é ulriano, l é fortmnt onxo. Esta afirmativa stá orrta? Por quê? A ríproa é vrdadira? Por quê? 4