REVISITANDO THALES. Leandro Ferreira da Silva Universidade Federal Rural de Pernambuco - UFRPE Alexandre Marcelino de Lucena

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1 X Enontro Nionl de Edução Mteáti Edução Mteáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julho de REVISITANDO THALES Lendro Ferreir d Silv Universidde Federl Rurl de Pernuo - UFRPE leoteti@gil.o Alexndre Mrelino de Luen Universidde Federl Rurl de Pernuo - UFRPE Resuo: Neste rtigo pretendeos ostrr oo u teore pode ser deonstrdo de váris fors, usndo áres diferentes d teáti. O nosso intuito é deonstrr que teáti, eso evoluindo o o tepo, te seus resultdos eleentres válidos. Isso ostr u estrutur lógi onsolidd dentre n teáti trvés dos tepos e que foi uito iportnte pr seu desenvolviento. Plvrs-hve: Thles; Deonstrção; Geoetri Pln; Geoetri Anlíti; Cálulo Vetoril. U dos grndes teátios de tod históri foi Thles de Mileto, que su juventude trlhou oo erdor, onde uulou riquez sufiiente pr dedir prte finl d su vid s sus vigens e teáti. Segundo o historidor grego Herótodo ele nseu e Mileto por volt do no de 64 A.C e entrou pr históri oo o prieiro teátio, pois foi o prieiro dr u trtento dedutivo teáti, e espeil geoetri. U historidor grego Prolus4-485 D.C puliou u livro de oentários sore o prieiro livro dos eleentos de Eulides onde triui Thles deonstrção de ino teores eleentres d geoetri pln, que são:. Qulquer diâetro efetu isseção do irulo e que é trçdo;. Os ângulos d se de u triângulo isóseles são iguis; 3. Ângulos opostos pelo vértie são iguis; 4. Se dois triângulos tê dois ângulos e u ldo e d u deles respetivente iguis, então esse triângulos são iguis 5. U ângulo insrito no sei-irulo é reto. Neste trlho pretendeos deonstrr os teores e 5, usndo geoetri pln eleentr, geoetri nlíti e lulo vetoril, pretendeos o isso ostrr Anis do X Enontro Nionl de Edução Mteáti

2 X Enontro Nionl de Edução Mteáti Edução Mteáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julho de que resultdos eleentres pode ser provdos usndo áres is vnçds dentro d teáti e oo esss áres se interlig entre els. Iniilente provreos o teore 5 e posteriorente o teore. O teore sore o feixe de prlels onheido oo teore de Thles só ess denoinção pel prieir vez no finl Se. XIX n Frnç no Livro Éléents de géoétrie de Rouhe e Coerousse, por isso não trtreos dele neste rtigo. TEOREMA 5 Se AB é u diâetro e C é u ponto qulquer d irunferêni, distintos de A e B, então o AB C é retângulo e C, isto é, C é reto. Figur Dreos três soluções pr esse prole, ordndo três áres diferentes d teáti. SOLUÇÃO GEOMETRIA PLANA Considere seguinte figur Os Triângulos CEA e EAD são isóseles, pois CE EArios e EA EDrios,então e y,pelo teore do ângulo externo teos Anis do X Enontro Nionl de Edução Mteáti

3 X Enontro Nionl de Edução Mteáti Edução Mteáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julho de z e t y y, logo, t t z z 8, y Sustituindo y y 9 t z n segund equção teos: 8 SOLUÇÃO GEOMETRIA ANALÍTICA Considere figur o ldo. Figur 3 Clulndo teos e Prieirente ireos lulr o oefiiente ngulr d ret ford pelos pontos -, e, que hrei de, pós lulreos o oefiiente ngulr d ret ford o pelos pontos, e, que hrei de. Outro resultdo iportnte onsiderr é os pontos, e, são eqüidistntes do entro,vistos que esss distânis represent rio.. Pr dus rets sere perpendiulres o produto dos oefiientes ngulres te que ser -.., s. Então tereos:. 3 SOLUÇÃO CALCULO VETORIAL Anis do X Enontro Nionl de Edução Mteáti 3

4 X Enontro Nionl de Edução Mteáti Edução Mteáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julho de o Considere figur o ldo, sendo u,v e w vetores. Dois vetores são perpendiulres qundo produto interno entre eles é zero. v u, v u v u.visto que v u rio d irunferêni Figur 4 TEOREMA Os ângulos d se de u triângulo isóseles são iguis Figur 5 SOLUÇÃO GEOMETRIA PLANA Figur 6 Anis do X Enontro Nionl de Edução Mteáti 4

5 X Enontro Nionl de Edução Mteáti Edução Mteáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julho de Ddo o ABC isóseles, sendo AB BC. Trçndo u issetriz do ângulo B,oteos os triângulos ABD e CDB. Esses triângulos são ongruentes, pois : BD é u ldo ou os dois triângulos ldo. A B D AB D BC, pois BD é issetriz ângulo BC, pois é u triângulo isóseles. Pelo ritério de ongruêni LAL os triângulos ABD e CDB são ongruentes, logo os ângulos B AD e B C D são iguis. SOLUÇÃO GEOMETRIA ANALÍTICA Ddo o triângulo isóseles ixo, deonstrr que α β. Figur 7 N geoetri nlíti qundo quereos enontrr u ângulo entre dus rets usos expressão:. Onde e são os oefiientes ngulres ds rets que for o ângulo. Anis do X Enontro Nionl de Edução Mteáti 5

6 X Enontro Nionl de Edução Mteáti Edução Mteáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julho de Iniilente lulreos o oefiiente ngulr ds rets que dão suporte os seguientos que for o triângulo isóseles. Ret suporte do segento fordo pelos pontos, e,. Ret suporte do segento fordo pelos pontos, e, Ret suporte do segento fordo pelos pontos,,, 3 Clulndo α e β ; Seos que o segento fordo pelos pontos, e, e o segento, e, são iguis pois o triângulo é isóseles.. Sustituindo n β teos: Anis do X Enontro Nionl de Edução Mteáti 6

7 X Enontro Nionl de Edução Mteáti Edução Mteáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julho de Co isso provos que: 3ª SOLUÇÃO CALCULO VETORIAL Usndo os vetores u,v e w, ireos deonstrr que α β. u,,, w,,, v,,, Pr lulr o ângulo entre dois vetores usreos expressão; os w, t w. t Clulndo; Ângulo entre os vetores u e w. os,,,,, o ; Anis do X Enontro Nionl de Edução Mteáti 7

8 X Enontro Nionl de Edução Mteáti Edução Mteáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julho de Anis do X Enontro Nionl de Edução Mteáti 8 Ângulo entre os vetores w e v vide figur 8.,,,,, os Por outro ldo seos que v u,pois o triângulo fordo pelos vetores v,w e u é isóseles; v u Usndo esse resultdo n expressão e os tereos, os CONCLUSÕES U dos pilres d teáti é o rioínio lógio-dedutivo,pois n teáti nd é teológio,ou sej, onde reditos pelo poder d fé, por isso é uito iportnte que nossos lunos tenh oportunidde de deonstrr,eso lgo siples, oo esse teore teátio,pois deonstrção ostr estrutur lógi d teáti e pode té tornr is trente téri pr os disentes. REFERÊNCIAS Bongiovnni,v. Teore de Tles: u ligção entre o geoétrio e o nuério. Revist Eletrôni de Edução Mteáti. V.5, p. 94-6, UFSC: 7. Eves, H.Introdução á históri d Mteáti. CAMPINAS: Editor Unip, 8.

9 X Enontro Nionl de Edução Mteáti Edução Mteáti, Cultur e Diversidde Slvdor BA, 7 9 de Julho de Loureiro C., Bstos R., Deonstrção u questão polêi. Enontro d Soiedde Portugues de iênis d Edução. p.5-8,. Disponível e Aesso 6/6/9. Iezzi,G.,Dole, O.,Mhdo, A. Mteti e Relidde 7ª Serie. São Pulo.Editor Atul, 5. Dnte,L. R.Tudo é teáti 7ª Serie.São Pulo. Editor áti,7. Editor Modern. Projeto Arriá.São Pulo, Editor Modern, 6. Anis do X Enontro Nionl de Edução Mteáti 9