TEXTOS PARA DISCUSSÃO UFF/ECONOMIA

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1 ISSN Universidade Federal Fluminense TEXTOS PARA DISCUSSÃO UFF/ECONOMIA Universidade Federal Fluminense Faculdade de Economia Rua Tiradenes, 7 - Ingá - Nierói (RJ) Tel.: (xx2) Fax: (xx2) hp:// esc@vm.uff.br Meodologia de esimação do PIB rimesral uilizando procedimenos de coinegração e filros de Kalman Luis Fernando Cerqueira TD 26 Junho/27 Professor Adjuno da Faculdade de Economia da Universidade Federal Fluminense. Endereço elerônico: lcer@uol.com.br.

2 Economia Texo para Discussão 26 METODOLOGIA DE ESTIMAÇÃO DO PIB TRIMESTRAL UTILIZANDO PROCEDIMENTOS DE COINTEGRAÇÃO E FILTROS DE KALMAN Luiz Fernando Cerqueira Professor Adjuno Deparameno de Economia Universidade Federal Fluminense UFF Resumo Nese arigo apresenamos uma meodologia para esimação da série, em índices e valores, do PIB rimesral no Brasil para o período 96 a 996. A meodologia proposa pare da esimação da equação esáica do procedimeno de coinegração de Engle-Granger envolvendo dados anuais do PIB e variáveis a ele relacionadas, a saber: a produção de veículos auomoores, produção de cimeno, consumo indusrial de energia elérica na região Rio-São Paulo e receia ribuária do esouro nacional. Os coeficienes esimados da regressão são enão uilizados com os dados rimesrais dessas variáveis para consruir uma primeira esimaiva da série da PIB rimesral. A série esimada é encadeada com a série de PIB esimada pelo IBGE a parir de 98. O passo seguine é o de aprimorar os resulados inicialmene obidos com modelos esruurais em espaço de esado, ou seja, com procedimenos de filros de Kalman. Na classe de modelos univariados, esimamos um modelo com valores omissos no período 96 a 979 e variáveis explicaivas apropriadamene esacionarizadas, um modelo de benchmarking que corrige o erro de medida dos valores rimesrais de modo que a soma de cada ano seja igual ao oal anual calculado pelo IBGE, e esimamos um modelo com valores omissos e benchmarking, que harmoniza as esimaivas rimesrais com o oal anual. Esimamos ambém um modelo mulivariado do ipo SURE com variáveis explicaivas. A heerocedasicidade presene foi raada previamene anes da esimação de cada modelo. Os resulados reporados indicam que odos os modelos apresenam boas performances no que concerne à obediência das hipóeses do modelo gaussiano linear. Por ouro lado, o modelo com missing values recupera com êxio os valores omissos, assim como o modelo de benchmarking corrige o erro de medida dos valores rimesrais, aprimorando as esaísicas oficiais. A principal conribuição do arigo é apresenar uma meodologia consisene e original para a recuperação/esimação e oferecer bases para o desenvolvimeno de uma meodologia de previsão/exrapolação do PIB brasileiro rimesral. Palavras Chave: esimação de séries emporais; modelagem economérica; modelos esruurais univariados e mulivariados; filros de Kalman; valores omissos; benchmarking. JEL: C32, C5, C52. * O auor agradece ao CNPq e à FAPERJ pelo apoio financeiro. lcer@uol.com.br.

3 Economia Texo para Discussão Inrodução O objeivo dese arigo é descrever e aplicar a meodologia desenvolvida para recuperação e esimação do PIB rimesral no período 96 a 996, que uiliza procedimenos de coinegração combinados com méodos de espaço de esado em modelos esruurais de séries de empo. Denro dese esquema, esimamos uma relação de longo prazo, com freqüência anual, enre o PIB e séries relacionadas. E aplicamos o veor de coinegração obido sobre os dados rimesrais dessas variáveis para compuar uma primeira esimaiva do PIB. A série esimada é encadeada para rás com a série oficial de PIB esimada pelo IBGE a parir de 98. O passo seguine foi o de filrar eses resulados obidos com modelos esruurais em espaço de esado. A moivação inicial era esimar a série do índice do PIB rimesral para o período 96 a 979 e ober uma série complea para odo o período pós-96, com o inuio de uilizar a série obida em esudos poseriores, por exemplo, a esimação de uma demanda por moeda para ese período ou subperíodos, em que a renda possua um papel cenral como variável deerminane. Enreano, na démarche empreendida no processo de esimação apareceram dificuldades operacionais, relaadas na seção 3., que nos conduziram à esimação para um período mais amplo e a uma meodologia mais complexa, diferene da inicialmene preendida, e que se resumia aos procedimenos radicionais de coinegração. Acabamos chegando, assim, à escolha de modelos esruurais em esado de espaço. Alguns esudos aneriores ao nosso, uilizando enfoques diversos, procuraram sanar esa deficiência das esaísicas oficiais. Em geral, na ausência de esaísicas coleadas com o objeivo de compuar o PIB, a monagem de esimaivas rimesrais para o produo real agregado pode adoar rês criérios: (i) um rabalho de inerpolação dos dados anuais; (ii) um levanameno próprio a parir de amosras de bens e serviços; e (iii) uma combinação dos dois primeiros criérios; ver Conador e Sanos Filho (987). A parir de 992, a série do Índice de PIB rimesral não dessazonalizado passou a ser divulgada periodicamene pelo IBGE, endo sido compuada reroaivamene desde 98. Essa série passou por diversas revisões. A série uilizada nese arigo eseve disponível no sie do IPEADATA e se referia àquela calculada pelo IBGE com a meodologia aniga. Aualmene, ela aparece no sie encadeada com a série calculada pela meodologia nova. Esa série não esá disponível no sie do IBGE.

4 Economia Texo para Discussão 26 3 Exisem diversas écnicas para inerpolação de séries, desde méodos simples baseados em suposições de comporameno linear ou quadráico, aé méodos mais elaborados, que lidam mais apropriadamene com valores omissos, a exemplo do ajuse aos dados de funções spline cúbicas e filro de Hodrick-Presco, que uilizam suavizações exaas de filros de Kalman. Ou ainda procedimenos de conrole óimo de funcionais de cuso quadráicas, que uilizam soluções recursivas baseadas ambém em filros de Kalman. Ouros méodos uilizam séries disponíveis em bases mensais ou rimesrais, que possuem fore relação com a variável objeo de ineresse. No Brasil, a preferência dos pesquisadores recaiu sobre o uso da inerpolação com séries relacionadas com o produo 2. Nese esudo seguimos ambém ese úlimo caminho. A primeira eapa da nossa meodologia foi ober uma esimaiva do PIB rimesral a parir dos coeficienes de uma regressão, rodada com freqüência anual, enre o PIB e a produção de veículos auomoores, de cimeno, consumo indusrial de energia elérica nas regiões Rio e São Paulo, receia ribuária real do esouro nacional 3 ; uilizando as séries em índices base 98. Se as séries são odas inegradas de mesma ordem, faz senido realizar um ese de coinegração e uilizar o veor de coinegração associado à equação do PIB como relação de longo prazo de ineresse enre esas variáveis. Embora, o amanho da amosra seja um empecilho para esa esraégia, especialmene para a implemenação do procedimeno de Johansen, o ese de coinegração de Engle-Granger por ser menos exigene em ermos de número de observações é facível 4. Assim, os resulados obidos com a equação esáica de Engle-Granger consiuem uma informação a priori a ser uilizada. O índice do PIB rimesral é enão compuado com uma equação em que os coeficienes esimados da equação anual são muliplicados pelos índices rimesrais, respecivos, das séries relacionadas. A naureza resriiva da já convencional meodologia raiz uniária/coinegração não se coaduna com o uso de modelos que admiem uma heerogeneidade emporal mais geral; ver Caporale e Piis (22). No período em esudo, as mudanças foram endêmicas. Nese caso, os 2 Para uma análise dealhada, ver Conador e Sanos Filho (987). 3 Os dados uilizados nese arigo são descrios no apêndice A. 4 O que se deve ao fao de que defasagens nesse caso apenas da variável dependene são exigidas somene no segundo eságio do procedimeno, quando é aplicado um ese de raiz uniária sobre os resíduos da equação esáica esimada no primeiro eságio. E com freqüência anual, o número de defasagens requerido é pequeno. Embora os seus resulados devam ser omados com cauela porque é um ese, como o de Johansen, idealizado para grandes amosras.

5 Economia Texo para Discussão 26 4 processos econômicos são modelados mais adequadamene na forma de espaços de esado, que possuem uma maior flexibilidade para raar uma gama variada de problemas na análise de séries emporais. Nesa abordagem, assume-se que a evolução da série no empo é deerminada por uma série não observada de veores α s, com os quais esá associada uma série de observações y s. A relação enre os α s e os y s é especificada por um modelo de espaço de esado. O propósio da análise de espaço de esado é inferir as propriedades relevanes dos α s a parir do conhecimeno das observações. Nesses modelos, as observações são consiuídas por endência, sazonais, ciclos, componenes de regressão, mais um ermo irregular. Os componenes são geralmene represenados por formas de modelos de random walk e são modelados previamene anes de serem colocados juno às observações no modelo de espaço de esado. Oura caracerísica dos modelos de espaço de esado é que eles são flexíveis. Devido à naureza recursiva dos modelos e das écnicas compuacionais usadas para analisá-los, é imediao permiir mudanças conhecidas na esruura do sisema ao longo do empo; ver Durbin e Koopman (24). Modelos de espaço de esado são basane gerais, cobrindo uma ampla variedade de modelos 5. Observações mulivariadas podem ser raadas como exensões da eoria univariada. Pode-se permiir a presença de valores omissos. Variáveis explicaivas podem ser incorporadas ao modelo. Além disso, se necessário, pode-se permiir que os coeficienes da regressão variem esocasicamene ao longo do empo. Ajuses e variações de calendário ambém podem ser incluídos. Da mesma forma, observações mensais e rimesrais podem ser ajusadas para erem consisência com observações anuais oais ese processo de harmonização das esimaivas rimesrais com o oal anual recebe o nome de benchmarking, e é muias vezes uilizado por agências produoras de dados oficiais. A eapa seguine da meodologia consise, enão, em aprimorar a esimaiva inicial aravés de procedimenos de filros de Kalman. Uilizamos rês modelos disinos para decomposição em espaço de esado da série do PIB em seus componenes esruurais. Um 5 Devido à naureza markoviana dos modelos de espaço de esado, os cálculos necessários à sua implemenação podem ser colocados na forma recursiva, o que possibilia rabalhar com grandes modelos sem um aumeno desproporcional na carga compuacional. Ademais, nenhuma eoria adicional é necessária para realizar previsões além da amosra; udo o de que se necessia é projear o filro de Kalman para o fuuro. Assim, as previsões juno com os erros-padrão podem ser esimadas usando as mesmas fórmulas empregadas no início dos cálculos.

6 Economia Texo para Discussão 26 5 modelo univariado com valores omissos e um mulivariado SUTSE, em que a obenção do PIB filrado por cada modelo, respecivamene, é feia sem adicionar o ruído gerado pelo ermo irregular aos demais componenes. E um erceiro modelo, univariado, com benchmarking, harmonizando os dados de freqüência rimesral com os anuais, aravés da exração do erro de medida exisene nos valores rimesrais. Aé o momeno da finalização da presene versão, não emos conhecimeno de rabalhos semelhanes na lieraura econômica brasileira. O arigo esá organizado da seguine forma. Na seção 2 é feia uma revisão da lieraura brasileira sobre esimações do PIB rimesral. Na seção 3 a meodologia é descria em seus vários aspecos: na subseção 3. é descria a primeira eapa da meodologia que uiliza o procedimeno de coinegração, na 3.2 é feia uma breve apresenação sobre modelos esruurais em espaço de esado e na 3.3 do modelo em espaço de esado com benchmarking, juno com uma breve resenha sobre o assuno; na 3.4 são apresenados os procedimenos da segunda eapa da meodologia; na 3.5 é feia uma sínese da meodologia. Na seção 4 são apresenados os resulados dos modelos esimados em espaço de esado. Na seção 5 oferecese uma conclusão. No apêndice A descrevemos as séries uilizadas e os raamenos esaísicos aplicados sobre elas. No apêndice B aparecem as marizes desenhadas para se esimar o modelo de benchmarking. 2. Revisão da Lieraura Na ausência de esaísicas oficiais coleadas com o objeivo de compuar o PIB, a monagem de esimaivas rimesrais para o produo real agregado pode adoar rês criérios: (i) inerpolação dos dados anuais; (ii) levanameno próprio a parir de amosras de bens e serviços; e (iii) combinação dos dois primeiros criérios; cf. Conador e Sanos Filho (987). No Brasil, a preferência dos pesquisadores recaiu sobre o uso da inerpolação com séries relacionadas ao produo 6. Enre os esudos que uilizam variáveis relacionadas com o PIB como forma de se ober valores inerpolados cabe desacar Cardoso (98), o qual serviu de base para esudos poseriores na mesma linha meodológica, como em Rossi (98), Pasore (99), Pinoi (99) e Cerqueira (993). Nese arigo o auor obém esimaivas rimesrais para o PIB no período 966 a 979 a parir dos coeficienes de uma regressão do PIB anual conra a produção anual de cimeno e de veículos auomoores, o consumo indusrial de energia 6 Para uma análise dealhada, ver Conador e Sanos Filho (987).

7 Economia Texo para Discussão 26 6 elérica no eixo Rio-São Paulo, e a arrecadação ribuária real do Tesouro Nacional. No enender de Conador e Sanos Filho, o rabalho de Cardoso, possui deficiências no que concerne à excessiva paricipação da produção indusrial e a imposição de que a sazonalidade do produo real esimado seja a mesma apresenada pela combinação das variáveis. Esses auores, na consrução de sua série de PIB rimesral para o período 973 a 985, combinam amosragem com inerpolação e uilizam séries desagregadas para o produo do seor agropecuário, indúsria, comércio e ranspores. Conudo, a meodologia empregada é diferene daquela uilizada pelo IBGE. As séries desagregadas usadas se diferem, assim como os pesos associados a cada uma de modo a compor a série agregada. Nakane (994) procura corrigir essas deficiências uilizando as mesmas ponderações que o IBGE, de modo a ornar as séries comparáveis, e acrescena à série desagregada original dos auores acima a série produo do governo calculada pelo IBGE. Enão, com a nova ponderação, calcula o produo agregado para o período compleo. O passo seguine na esraégia de Nakane é esimar uma regressão para o período 98 a 985 da série do IBGE conra dummies sazonais e a série modificada de Conador e Sanos Filho. Os coeficienes esimados são enão uilizados para gerar a série de produo para o período 974 aé 979. Como sugerido pelo próprio Nakane, a série esimada apresena disorções devido às diferenças do padrão de sazonalidade enre ela e a série do IBGE. As esimações dos coeficienes das dummies sazonais, por mínimos quadrados recursivos, apesar de relaivamene consanes durane o período de esimação, possuem uma níida quebra no ano de 98, o qual coincide com o ano em que a série esimada é encadeada com a série do IBGE. Ao lado dos problemas aponados por Conador e Nakane, os dados rimesrais obidos aravés desa meodologia apresenam alguns problemas dignos de noa. Há desconinuidade dos dados uilizados para os seores agropecuário, de comércio e o produo do governo, assim como a dificuldade de obê-los. Há ambém um cero empirismo na escolha das proxies das variáveis uilizadas, o que orna o procedimeno árduo de se replicar e esendido para períodos maiores e aneriores a 974. Por essas razões, esse procedimeno não será empregado. Embora à primeira visa as esimaivas que uilizam variáveis relacionadas ao PIB possam falhar, por não empregarem um número de variáveis suficienemene represenaivo de seores produivos da economia, uma combinação linear dessas variáveis disponíveis pode consiuir uma boa proxy do PIB. Assim sendo é lício que uilizemos como pono de parida da nossa meodologia de recuperação e esimação do PIB uma esimaiva inicial obida por essa écnica baseada na esimação do PIB rimesral aravés de variáveis relacionadas a

8 Economia Texo para Discussão 26 7 ele. 3. Meodologia 3. Primeira Eapa: Recuperação e Esimação do PIB Trimesral aravés de Técnicas de Coinegração A idéia inicial era fazer a esimaiva do PIB rimesral apenas para o período anerior a A meodologia de esimação pariria do ese de coinegração enre o PIB e as variáveis a ele relacionadas, com freqüência anual, uilizando o procedimeno de Johansen. Os coeficienes do ermo de correção de erros esimado seriam enão aplicados sobre as séries em freqüência rimesral, gerando a série do PIB. As variáveis incluídas seriam: PIB, produção de veículos auomoores e cimeno, consumo indusrial de energia elérica nas regiões Rio e São Paulo, receia ribuária real, produção de peróleo e gás e de aço em lingoes. As séries esão expressas em índices base 98. No enano, o pequeno amanho da amosra (6 observações) se revelou desde logo um enrave. O pequeno número de graus de liberdade impediu a colocação de um número maior de defasagens para a correção da correlação serial nos resíduos, o que invalidava o ese de coinegração, o qual, ademais, requer grandes amosras. Além disso, a possível presença de séries I(2), no período 965 a 98, poderia esar causando o excesso de correlação serial. A solução enconrada para dar coninuidade aos experimenos foi reduzir o número de variáveis e aumenar o amanho da amosra. Assim, alongou-se a amosra aé o limie da disponibilidade de dados, a qual passou enão a cobrir o período 96 a O número de variáveis foi reduzido para cinco. A produção de aço foi reirada por ser inensiva em elericidade, o que esava acarreando inversão de sinais nos coeficienes do mecanismo de correção de erros (ECM). Além disso, sua presença aumenava a correlação serial dos resíduos. A produção de peróleo, por sua vez, foi reirada em função do seu crescimeno 7 O méodo de relacionar séries indicadoras à série anual do PIB, o benchmark, não represena um processo de benchmarking esrio senso. Embora resolva um problema de valores omissos exisene nas esaísicas oficiais no período 96 a 979. O procedimeno descrio nesa seção se inspira em Chow e Lin (97). 8 As séries de energia elérica e a de receia ribuária só esão disponíveis a parir de 96. O runcameno em 996 deveu-se ao fao de a série do Índice do PIB rimesral meodologia aniga do IBGE er sido inerrompida no erceiro rimesre de 997. Para não ermos que rabalhar com fração de ano a amosra foi runcada no final de 996.

9 Economia Texo para Discussão 26 8 muio acelerado após 98, o que levou a série a se afasar das demais. Os esudos realizados com o procedimeno de Johansen para o período 96 a 996 não apresenaram resulados aceiáveis. Embora os eses de raiz uniária enham indicado que as cinco séries uilizadas são I(), os resíduos do veor de correção de erros (VECM) apresenaram elevada correlação serial, que não foi possível corrigir com um polinômio de lags de ordem cinco, número máximo imposo pelo amanho da amosra (T=35). Ademais, o VECM não mosrou boas caracerísicas de esabilidade, apresenando, mesmo após a resrição sobre o espaço dos veores de coinegração, raízes muio próximas a um. Assim, essa esraégia eve de ser abandonada 9. Um procedimeno alernaivo é o ese de dois eságios de Engle-Granger. Nessa hipóese, a equação esáica é usada para fornecer os coeficienes de longo prazo e o ese de raiz uniária aplicado sobre os resíduos da equação indica a exisência de uma relação esável de longo prazo enre as variáveis. Os eses realizados esão reporados na abela. O índice do PIB é a variável dependene. Do lado esquerdo da equação aparece um ermo consane (C), uma endência (TT), e os índices de consumo de energia elérica (IEES), de produção de veículos (IAUTO), da receia ribuária real (IRTNRS) e da produção de cimeno (ICIM). Na pare inferior da abela, reporam-se as esaísicas R 2, DW e SER para a equação esáica e, o resulado do ese de raiz uniária dos resíduos juno com os p-values dos eses pormaneau para a presença de correlação serial e o valor do criério de informação bayesiano. TABELA : Tese de Coinegração de Engle-Granger Variável Dependene: PIB Variáveis Coef. C.2423 TT.7836 IEES IAUTO.8377 IRTNRS Cabe mencionar que, nos experimenos realizados, algumas variáveis apareceram com sinais negaivos, o que se deveu provavelmene à colinearidade exisene enre ceras séries, como energia elérica com aço e cimeno. Enreano, as séries de PIB esimadas com os coeficienes do ECM se apresenaram semelhanes às obidas com a esáica de Engle-Granger.

10 Economia Texo para Discussão 26 9 ICIM.237 R 2 =.9984 DW=.5793 SER=.64 αˆ = lags= Q()=.93 Q(4)=.228 Q(8)=.479 Q(2)=.26 SIC= Noa: O símbolo ( ) represena rejeição da hipóese nula de uma raiz uniária ao nível de significância de %. Ao nível de %, rejeia-se a hipóese nula de não coinegração enre as variáveis. O ese apresena resíduos sem correlação serial. Como esperado, o R 2 esá bem próximo de um, caracerizando um ajuse perfeio, eliminando a necessidade de correção para o viés de equações simulâneas ou correlação serial; ver Engle-Granger (99). Ademais, a mulicolinearidade exisene enre as variáveis colaborou no senido de ober ese ajuse. Por ouro lado, os esudos sobre os componenes sazonais esruurais aravés de modelos em espaço de esado e de Hol-Winers indicaram que a série esimada assim como a do IBGE possuem padrões de sazonalidade muio semelhanes, cujas ampliudes crescem progressivamene e, com a série esimada apresenando uma ampliude inferior à da série do IBGE após 98. O que não em implicações para o nosso esudo dado que a série que iremos usar assume enre os valores da própria série do IBGE. Talvez a represenaividade das variáveis uilizadas seja quesionável, porém um pouco de reflexão indica que elas represenam de forma adequada os principais seores produivos da economia. De fao, o seor auomobilísico é, desde os anos 6, o carro-chefe da economia. O consumo de cimeno, por sua vez, represena de forma adequada o nível de aividade da consrução civil, responsável pela geração de grande pare do emprego na economia. Da mesma forma, o consumo indusrial de energia elérica na principal região econômica do país, é um indicador relevane do nível de aividade da economia. Por fim, é evidene que a receia ribuária federal represena adequadamene as aividades do seor governamenal, especialmene quando se em em cona que pare dela é repassada a esados e + Conudo, sempre se pode argumenar sobre a presença de regressores endógenos, que ornariam as esimaivas linearmene viesadas e com disribuição limie assimérica e conendo parâmeros de nuisance. A solução dessas deficiências proposa por Philips e Hansen (99) é uilizar os esimadores fully modified LS. Os experimenos realizados com ese procedimeno e esaisicamene válidos não apresenaram resulados diferenes dos obidos com as esimaivas de EG. Assim sendo, não há porque se preocupar com endogeneidade.

11 Economia Texo para Discussão 26 municípios e ela é ineiramene gasa, pelo menos em grande pare do período de ineresse. Sendo assim, a série obida como uma combinação linear dessas variáveis, em que os escalares são os coeficienes da equação acima, fornece uma proxy inicial basane razoável para o índice do PIB rimesral. Especialmene que ela recupera os gaps exisenes nas esaísicas do período 96 a 979, onde as observações direas não esão disponíveis. Na figura aparece a série esimada com os coeficienes da equação de Engle-Granger para o período (YQEG), junamene com esa série encadeada (para rás) a parir de 98. com a série do IBGE (YQPROXY). É esa úlima que será filrada na segunda eapa da meodologia proposa e será denominada de proxy do PIB seja em índice ou em valor. 3.2 Modelos Esruurais de Séries Temporais em Espaço de Esado Um modelo univariado pode ser escrio como onde y 2 = µ + γ + ψ + ν + ε, ε ~ NID(, σ ), =,..., n, (3.) µ é a endência, γ é o ermo sazonal, ψ é o ciclo, ε ν é um ermo auo-regressivo de primeira ordem e ε é o ermo irregular. O componene esocásico de endência é especificado como um modelo esocásico de crescimeno linear onde µ = µ + β β é a inclinação da endência 2 + η, η ~ NID(, σ η ) 2 β = β + ς, ς ~ NID(, σ ), (3.2) µ. O ermo irregular ε, o erro do nível ς η, e o erro da inclinação ς são muuamene não correlacionados. O componene de inclinação da endência pode ser excluído da especificação da endência quando for apropriado. O componene sazonal pode ser especificado sob a forma de variáveis dummies ou forma rigonomérica. O número de freqüências sazonais em um período (e.g. o ano) é dado pelo ineiro s. A dummy sazonal é dada por s 2 γ + = γ + j + ω j, ω ~ N(, σ ), (3.3) j= e a forma rigonomérica é represenada pelo quasi-random walk onde [s / 2] ω γ = γ j, (3.4) j= Os dados sobre o seor de ranspores não foram incluídos por não ermos obido uma série de amanho adequado.

12 Economia Texo para Discussão 26 * j, γ + = γ cos λ + γ sinλ + ω, j, j j j * j j j * j γ + = γ sinλ + γ cos λ + ω, j =,..., [s/2], 3.5). Um processo auo-regressivo de primeira ordem 2 é dado por * j j j ν = ρ ν + ξ ξ, < ρ ν <. (3.6) 2 ν, ~ NID(, σ ξ ) Por hipóese, os disúrbios associados a cada componene do modelo são muuamene não correlacionados; ver Durbin e Koopman (24). FIGURA : Índice do PIB Trimesral.4 YQEG YQPROXY O modelo de uma equação pode incluir variáveis explanaórias exógenas, valores defasados da variável dependene e variáveis de inervenção, além de componenes não observados ais como endência, sazonais e ciclo. Assim, (3.) pode ser esendida para y = µ + γ + ψ + ν p + φ τ= k q h τ y τ + δiτxi, τ + λ jw j, + ε, (3.7) i= τ= j= onde x i é uma variável exógena, w j é uma variável de inervenção (dummy) e φ τ, δ i τ e λ j são parâmeros desconhecidos. Modelos mulivariados êm uma similaridade com os modelos univariados, exceo que 2 Por uma quesão de espaço não são apresenados os modelos do componene de ciclo. Para dealhes, ver Durbin e Koopman (24).

13 Economia Texo para Discussão 26 2 y é agora um p x veor (empilhado) mulivariado de observações, que dependem de componenes não observados que ambém são veores. Assim, no caso especial de um modelo mulivariado com nível local emos onde ε e y = µ + ε, ε ~ NID(, ), η são marizes p x p, e µ = µ + η, η ~ NID(, ), (3.8) ε η η e ε são muuamene não correlacionados em odos os períodos. Os ouros disúrbios no modelo geral (3.) se ornam ambém veores que êm marizes de covariâncias p x p. Nese modelo, conhecido como SUTSE (seemingly unrelaed ime series equaions), cada série em y é modelada como no caso univariado, mas os erros podem esar correlacionados conemporaneamene aravés das séries. No caso do modelo com ouros componenes ais como inclinação, ciclo e sazonais, os disúrbios associados com os componenes ornam-se veores que êm marizes de variância p x p. O link aravés das p diferenes séries de empo se dá aravés das correlações dos disúrbios subjacenes aos componenes. O modelo pode ser esendido para incluir variáveis explanaórias e inervenções como uma generalização de (3.7) y = µ + γ + ψ + ν p + Φ τ= s τ y τ + δ τx τ + Λw + ε, =,..., n, (3.9) τ= onde x é um veor K x de variáveis explanaórias e w é um veor K* x de inervenções. A esimação dos componenes e parâmeros fixos dos modelos esruurais faz uso dos resulados gerais para modelos em forma de espaço de esado. O modelo linear gaussiano em espaço de esado é dado pelo seguine conjuno de equações: y = α + ε, ε N(, H ), Z ~ α + = T α + R η, η N(, Q ), =,..., n, 3.) α N(a, P ), ~ ~ onde y é um veor de observações p x, α um veor de esado não observado m x e η um veor de disúrbios aleaórios r x 3. A idéia do modelo é que a evolução do sisema ao longo do empo seja deerminada por α de acordo com a segunda equação de (3.), mas uma vez que α não pode ser observado direamene, a análise deve se basear nas observações y. As marizes Z (p x m), T (m x m), R (m x r), H (p x p) e Q (r x r) são inicialmene assumidas como conhecidas e os ermos de erros ε e η são, assume-se, independenes 3 A primeira equação é a equação de observações ou de medidas, e a segunda, a equação de esado.

14 Economia Texo para Discussão 26 3 serialmene e enre si para odos os ponos do empo. As marizes Z e T - podem depender de y,..., y -. O valor inicial do veor de esado α é assumido ser N(a, P ), independene de ε,...,ε n e η,...,η n, onde a e P são, assume-se, conhecidos. Na práica, algumas ou odas as marizes dependerão de elemenos de um veor ψ de parâmeros desconhecidos. O filro de Kalman (FK) desempenha o mesmo papel para modelos em espaço de esado, que o méodo dos mínimos quadrados em modelos de regressão. O FK é formado por um conjuno de equações que esimam, recursivamene, a média e a variância condicional do veor de esado. A parir desas equações imporância é possível ober: (i) previsões um passo à frene das observações e dos veores de esado, e os correspondenes erros quadráicos médios; (ii) diagnósico aravés dos erros de predição um passo à frene; (iii) cômpuo da função de verossimilhança aravés da decomposição do erro de predição um passo à frene; (iv) algorimo de esimação do veor de esado para odo insane condicional em odas as observações série emporal, ou suavização. Uma caracerísica imporane da abordagem de espaço de esado é a habilidade com a qual ela lida com séries que possuam observações omissas. Ese recurso será expliciamene uilizado em nossa meodologia de benchmarking de forma judiciosa, pela subsiuição do valor do PIB rimesral em alguns períodos onde sua esimaiva carece de baixa confiabilidade por valores omissos. Por consrução, eses valores omissos são subsiuídos, aravés do algorimo de suavização, por valores inerpolados, consisenes com a esruura de componenes de endência e sazonalidade esocásicas; ver Durbin & Koopman (24). 3.3 Modelos Esruurais em Espaço de Esado com Benchmarking Um problema comum em esaísicas oficiais é o ajusameno de observações mensais e rimesrais, obidas aravés de levanamenos ou amosragem e, sujeias a erros, com os dados anuais oais obidos aravés de censos ou levanamenos mais dealhados, e que são por hipóese assumidos livres dos erros de amosragem. O oal anual é chamado de benchmark, e o processo de harmonização das esimaivas com o oal anual de benchmarking. Mais especificamene, benchmarking, calendarização, ou harmonização é um processo que consise em combinar de forma óima duas fones de medição de uma mesma série emporal, geralmene obidas a parir de freqüências disinas onde a série de freqüência mais baixa, a série de benchmark, é assumida como mais confiável esaisicamene. No processo de benchmarking procura-se ajusar a série de freqüência mais ala à série benchmark. Exisem duas meodologias principais de aplicar o benchmarking a uma série

15 Economia Texo para Discussão 26 4 emporal: um approach puramene numérico e ouro de modelagem esaísica. O approach numérico difere do segundo por não especificar um modelo esaísico que se suponha que a série obedeça. O approach numérico abrange a família dos méodos baseados na minimização de uma soma quadráica proposos por Deaon (97) 4 que segue o principio da preservação de movimenos, Bassie (958), e Ginsburgh (973) Enquano o méodo de modelagem esaísica envolve os modelos baseados em processos ARIMA proposos por Hillmer e Trabelsi (987), modelos de espaço de esado proposos por Durbin e Quenneville (997) e, os modelos que usam um conjuno de regressões ais como Cholee e Dagum (994), Mian e Laniel (993), assim como, as referências ciadas por eses auores 5. Nese arigo fazemos uso de um procedimeno de benchmarking o qual uiliza modelos esruurais, onde uma série emporal é decomposa em componenes de endência, sazonalidade e irregular 6. A seguir alinhavamos os passos seguidos em ordem por Durbin e Koopman (24) e Durbin e Quenneville (997). Por quesões de facilidade de exposição, suponhamos que as observações sejam mensais e que elas sejam obidas em surveys, realizados ambém mensalmene (s = 2). Denoemo-las, por y e os verdadeiros valores que se deseja esimar por * y para = 2(i - ) + j, i =,..., l e j =,..., 2, onde l é o número de anos. Assim, o erro dos surveys é e = y - y, denoado por s 2 σ ξ, onde s σ é o desvio-padrão do erro de survey no empo. O erro é modelado como um processo AR() com variância uniária 7. Em princípio processos ARMA de ordem mais ala podem ser usados. Assumamos que os valores de a parir da práica dos surveys e que o erros sejam livres de viés. * s σ esejam disponíveis 4 Para uma aplicação dese procedimeno veja Fonzo e Mariani (23). 5 Em adição, Chow e Lin (97) propuseram um modelo mulivariado de mínimos quadrados generalizados para inerpolação, disribuição e exrapolação de séries emporais. Embora não sendo um méodo de benchmarking em um senido esrio, o méodo proposo esá relacionado ao de modelagem esaísica, paricularmene ao úlimo grupo. 6 Caminhando em direção oposa, Moauro e Savio (25) apresenam um procedimeno para desagregação de séries emporais observadas em uma dada freqüência para uma oura de freqüência maior. O méodo sugerido é um modelo mulivariado SUTSE esimado com filros de Kalman. 7 Iso é, ξ + = φξ + κ,, onde φ < e κ ~ (,).

16 Economia Texo para Discussão 26 5 Os valores de benchmark são dados por 2 * x = j= y 2(i ) + j para i =,..., l. Suponhamos que os valores anuais esejam disponíveis para odos os anos de esudo; assim, na práica, os valores censiários erão em geral uma defasagem de um ano ou dois em relação às observações dos surveys. Como modelo da série de observações, usamos y s s = µ + γ + ε + σ + ξ =,..., 2l, (3.) onde µ é a endência, γ é o ermo sazonal. A série é organizada da seguine forma y,...,y 2, x, y 3,..., y 24, x 2, y 25,..., y 2l, x l. Consideremos que o insane na série em que o benchmark x ocorre é = (2i) ; assim, o insane = (2i) ocorre na série enre = 2i e =2i +. Tomando o modelo de random walk inegrado 8 para o componene de endência e o modelo (3.3) para a componene sazonal, emos 2 µ = ζ, γ = γ j + ω. j= É conveniene colocar os erros das observações de medida denro do veor de esado, assim emos α Dessa forma, y = Z α, onde e x i = Z α onde = ( µ s,..., µ, γ,..., γ, ε,..., ε, ξ ). Z = (,,...,,,,...,,,,...,, s σ ), =,, n, Z = (,...,,,...,,,...,,) = (2i), para i =,..., l. Pode-se enão escrever a ransição de α para α + enre = 2i - e = 2i. De = 2i para = (2i) a ransição é a idenidade. De = (2i) para = 2i +, a ransição é a mesma que de = 2i - para =2i. A mariz de ransição T é um mariz bloco-diagonal com elemenos 2 I,, ' I,,,2, I k,, φ para =,..., n, I, I, 8 2 Ese é um caso paricular do modelo (3.8), onde ση =. Nese caso, ese efeio pode ser represenado subsiuindo as equações de (3.2) por 2 µ + =ζ, i.e., µ + = 2µ - µ - + ζ.

17 Economia Texo para Discussão 26 6 e é igual a I 37 quando = (2i), i =,..., l. O veor de erros de esado é ν = ξ, ω, ε, κ ], se [ = 2i + 2,..., 2(i + ) e, ν = para = (2i), i =,..., l. Os demais ermos do modelo esão descrios acima. Assim, emprega-se uma forma modificada do modelo de espaço de esado inroduzido no começo da seção 3.2, no qual a variância do erro da equação de observações é zero para =,..., n e é igual a variância do benchmark para = (2i), i =,...,l. Supõe-se ambém que a mariz dos erros de benchmark seja uma mariz diagonal porque, de oura forma, o veor de esado se ornaria muio grande. A equação de ransição é enão dada por α = T α + R ν, =,...,2, (2), 3,... onde R é a mariz de seleção formada apropriadamene pelas colunas da mariz idenidade I Segunda Eapa: Procedimenos de Esimação em Espaço de Esado A parir dos resulados obidos na seção 3. os componenes esruurais do PIB rimesral foram exraídos uilizando-se modelos de espaço de esado univariados e mulivariados. Foram esimados rês modelos esruurais univariados: um com valores omissos, um com processo de benchmarking e um erceiro com missings e benchmarking. Além deles, esimou-se ambém um modelo esruural mulivariado, SUTSE, uma generalização do modelo esruural básico. As esimações foram feias para o período 96 a 996 com as séries em índices nos modelos univariado com valores omissos e mulivariado. Nese úlimo usamos as mesmas variáveis do modelo da seção (3.). Nos modelos com processo de benchmarking, uilizamos as séries em quanidades e o PIB foi esimado em valores reais de Nese úlimo, a soma dos rimesres de cada ano é diferene do PIB anual compuado oficialmene; para as demais séries, o oal anual é igual à soma das quanidades/valores rimesrais. Os experimenos preliminares com modelos esruurais básicos univariados e mulivariados em freqüência rimesral indicaram a presença de uma fore heerocedasicidade, que, se não raada, poderia compromeer os resulados esimados. A heerocedasicidade no período 96 a 996 em relação com o comporameno da axa de 9 No apêndice A é apresenada a meodologia para ransformação dos índices em valores.

18 Economia Texo para Discussão 26 7 crescimeno da economia: um longo período de crescimeno de 96 a 98, seguido de um período de axas mais de crescimeno, oscilanes e sem endência definida. Como ambém, guarda relação com o comporameno da axa de inflação 2. A parir de 973, a axa de inflação enra numa roa ascendene, inercalada por períodos de quedas violenas derivadas dos congelamenos de preços. A parir de meados de 994, com o Plano Real, ela cai abrupamene e passa a seguir uma roa declinane 2. A solução para o problema segue o caminho dos mínimos quadrados ponderados. O procedimeno é raar a heerocedasicidade aravés da normalização das séries com uma série que seja proporcional aos recíprocos dos desvios-padrão dos erros. Uma série adequada seria enão aquela que guardasse relação com o PIB e com a inflação. A receia ribuária pela eoria, coeeris paribus, deveria guardar uma relação de endogeneidade com o PIB e a inflação. No enano, no caso da economia brasileira, diversas modificações na ribuação foram efeuadas durane o período, o que conduziu a um aumeno progressivo e exógeno da receia ribuária real. A opção como faor de ponderação recaiu sobre o índice 22 da receia ribuária real 23. Como a série esá disponível mensalmene, calculou-se a receia do rimesre e, a parir dela, a série de índice. Com isso, a receia ribuária real deixou de ser uma variável isolada no modelo e passou a compor combinações com as demais. No que concerne ao PIB, esa série em valor ou em índice dividida pelo índice da receia ribuária passará a ser a variável a ser esimada PIB ponderado. O PIB esimado será recuperado muliplicando-se o PIB ponderado pelo índice da receia. Experimenos com a esimação de modelos esruurais básicos com a série ponderada do PIB indicaram uma falha no processo de esimação dos componenes esruurais, decorrene do surgimeno de spikes anes inexisenes na série. A solução foi esimar um 2 A axa de inflação é definida como a variação percenual do IGP-DI da FGV. 2 Taxas de inflação elevadas razem insegurança e aumenam a incereza do ambiene de negócios, o que por sua vez induz e aumena a volailidade das séries econômicas, enre elas o PIB. 22 A razão do uso da variável em índice é que a receia real expressa em reais de 98 assume valores muio baixos devido às conversões moneárias causadas pela inflação, o que faz os valores divididos pela série explodirem, ornando o procedimeno esaísico e compuacional pouco manejável. 23 A axa de inflação seria uma óima candidaa, não fossem os congelamenos de preços ocorridos durane o período, os quais levaram a axa de inflação próxima a zero. Assim, a divisão de uma série por ela em como resulado a geração de ouliers de difícil raameno. Iso é, a exração de um grande oulier implica o surgimeno de ouros, que, se exraídos, geram ouros, e assim por diane.

19 Economia Texo para Discussão 26 8 modelo esruural 24 para a série de receia real e exrair os ouliers idenificados na série de resíduos auxiliares da equação de medida e a quebra observada nos resíduos da equação de esado 25. Desa forma, para corrigir a heerocedasicidade idenificada, será uilizada a série de receia ribuária ajusada, devidamene raada com dummies de políica e de inervenção. As novas séries ajusadas são ploadas no apêndice, figura A. Para efeio das esimações, os parâmeros foram omados com endo densidade a priori difusa. Assim, não foram suposos valores a priori da mariz de covariância, embora priors para os coeficienes das variáveis explicaivas enham sido uilizados nas esimações feias com valores omissos. O primeiro modelo esimado (PIB) considera a presença de valores omissos na série do PIB rimesral, no período que anecede a 98. O modelo uilizado foi o modelo esruural básico com endência, mas sem inclinação, com dummies sazonais esocásicas, ermo irregular e variáveis explicaivas 26 modelo formado pelas equações (3.), (3.2) e (3.3); ou apenas (3.7). A variável do lado esquerdo da equação de medida é a série de índice do PIB ponderado ajusado com valores observados de 98 a 996, e com valores omissos de 96 a 979, os quais desejamos esimar. Se o período anerior a 98 for ineiramene cobero com valores omissos, o pacoe não realiza adequadamene as recursões. Enão, da série esimada de PIB selecionou-se aleaoriamene 5% da amosra para assumir valores omissos, para os rimesres aneriores a Por consrução, eses valores omissos são subsiuídos, aravés do algorimo de suavização, por valores inerpolados, consisenes com a esruura de componenes do modelo. As variáveis explicaivas veículos, cimeno e energia elérica 24 O modelo uilizado inclui componene esruural de endência sem inclinação, ciclo de cura duração, dummies sazonais rigonoméricas e ermo irregular. 25 O criério para exração foi o resíduo normalizado assumir um valor maior do que 3.5. Foram feias inervenções nos rimesres 98.3, 986., 986.4, 989.3, 99.2, 99.4, 992. no ermo irregular e uma inervenção no nível da série em O modelo foi esimado em Eviews 5., que usa o procedimeno descrio em Koopman, Shephard e Doornik (999) para esimações com missings. Vale a pena er em cona que o pacoe funciona mais apropriadamene quando são fornecidos priors dos valores iniciais, mariz de covariância e valores dos coeficienes do sisema que se confundem com os anilogarímos das covariâncias. 27 A seleção foi realizada uilizando 6 pseudonúmeros aleaórios exraídos de uma normal (,). Desses números, as duas primeiras casas decimais em módulo eram usadas para escolher uma posição enre e 8, à qual se aribuía um missing. Foram necessários 6 números para conseguir selecionar 4, já que alguns eram repeidos e ouros superiores a 8. Uma random seed foi uilizada.

20 Economia Texo para Discussão 26 9 devidamene ajusadas enram no lado direio da equação de medida, apropriadamene esacionarizadas 28, conforme recomendado por DK (24). O PIB reporado não inclui o componene irregular, por ser ese uma esimaiva do disúrbio aleaório. Assim, sem esse ermo, o PIB esimado fornece uma informação sobre a capacidade dos componenes de endência e sazonalidade esocásica explicar o seu comporameno. O segundo modelo univariado é o de benchmarking, que orna o PIB rimesral consisene com o PIB anual calculado pela IBGE, ao corrigir os erros de medida. Supõe-se que o erro de medida siga um processo AR(). O modelo foi esimado com o PIB em valores ponderado pelo índice médio do ano da receia ribuária 29. O modelo de esimação foi o gaussiano linear geral (3.) 3, com endência local, dummies sazonais, sem efeio calendário e sem variáveis explicaivas. O modelo obedece à esruura do modelo com processo benchmarking al como descrio na seção 3.3. As marizes Z, T, e R consruídas para operacionalizar as esimações com benchmark esão apresenadas no apêndice B. O primeiro grupo de marizes refere-se à esimação do modelo univariado reporado na seção 4. Essas marizes escrias para os dados rimesrais e oais anuais ambém consiuem o primeiro passo para a implemenação do modelo mulivariado com quaro variáveis dependenes, que não chegou a ser esimado. O segundo grupo de marizes refere-se apenas ao modelo mulivariado. Procedemos ambém a um exercício de modelo benchmarking conendo valores omissos (PIB3). Eses valores foram concenrados no período anerior a 98 e escolhidos 28 O ese clássico para a presença de raízes uniárias sazonais, HEGY, em geral rejeia a hipóese nula e, al como aponado em Maddala e Kim (22), apresena várias deficiências. Por esse ese, concluiríamos que não exisem raízes uniárias sazonais em nenhuma das variáveis explicaivas uilizadas. A solução uilizada para deecar e raar um componene sazonal esocásico foi pesquisar o comporameno da série aravés de modelos de espaço de esado. Coincidenemene, o mesmo modelo foi ajusado para odas as séries. Assim, foi esimado um modelo com endência linear local, sazonalidade esocásica e ermo AR(). Nas séries de veículos e energia elérica o ermo AR() esacionário dominou o componene irregular; com iso, ese úlimo foi reirado. Nesses casos, as séries esacionarizadas são represenadas pelo componene AR(). No caso da série cimeno, a série esacionarizada é represenada pelo ermo irregular. 29 O uso da média anual em como objeivo preservar a relação de benchmarking das séries, à exceção do PIB. 3 A esimação foi feia em SsfPack3.

21 Economia Texo para Discussão 26 2 pela sua aipicidade 3. As demais caracerísicas do modelo são como descrias acima. Em ambos os modelos, o PIB reporado não inclui o erro de medida. Cabe observar que a solução enconrada para raameno da heerocedasicidade não implicou em não-linearidades nos moldes descrios por Durbin e Queenneville DQ (997). O que fizemos foi ransformar variáveis linearmene e esimar o modelo de al maneira que os valores rimesrais fossem corrigidos para que a soma dos rimesres fosse igual ao oal anual. O nosso procedimeno de raameno da heerocedasicidade é uma alernaiva ao modelo muliplicaivo proposo por DQ (997), o qual incorre em não-linearidades. Ademais a meodologia proposa é compuacionalmene mais eficiene, além de permiir que chequemos aravés das inovações padronizadas se raamos correamene a heerocedasicidade. O úlimo modelo esimado foi um mulivariado em que as quaro variáveis PIB, veículos, cimeno e energia elérica esão endogeneizadas. As séries são usadas em índices, divididas previamene pelo índice da receia ribuária ajusada de ouliers (figura A2). A especificação envolve uma endência local para cada variável, dummies sazonais na forma rigonomérica porque no modelo lidaram melhor com a correlação serial presene, e variáveis explicaivas esacionarizadas, ambém para raameno da correlação serial; ver DK (24). No caso, a escolha recaiu sobre a série de auomóveis com seis defasagens.o ineresse dese úlimo modelo é exaamene apresenar a exração dos componenes esruurais em um ambiene mulivariado e comparar com os resulados dos modelos univariados. O PIB esimado reporado ambém não inclui o componene irregular, permiindo que os componenes de endência e sazonalidade esocásica de cada variável expliquem o seu comporameno. 3.5 Sínese da Meodologia Proposa A meodologia apresenada compõe-se dos seguines passos. () Esimar uma relação enre o PIB anual e variáveis relacionadas ou que expliquem o seu comporameno. No caso de as variáveis serem inegradas, o méodo de esimação mais simples é o ese de coinegração de dois eságios de Engle-Granger, em que as esimaivas dos coeficienes da equação de longo prazo que serão uilizados poseriormene são superconsisenes. É desejável que as variáveis coinegrem porque isso dá supore à ese de 3 Foram reirados da amosra e subsiuídos por valores omissos, os PIBs dos rimesres 966. a 966.4, 973.4, 975., 976., 979., 994. e Os dois úlimos foram removidos por erem exaamene o mesmo valor.

22 Economia Texo para Discussão 26 2 exisir uma relação esável de longo prazo; nesse caso, o amanho do ese de hipóese de coinegração pode ser aumenado convenienemene para 2%, seguindo os passos da lieraura inernacional. (2) Esimar a proxy do PIB rimesral a parir da combinação linear enre os coeficienes esimados com dados anuais, no primeiro passo, e as séries inervenienes rimesralizadas ou com a freqüência desejada. Caso sejam mensais, as séries devem ser agregadas e, caso esejam disponíveis apenas com freqüência anual, devem ser simuladas apropriadamene ou inerpoladas uilizando a meodologia descria em Bersekas (976). Nesse úlimo caso é necessária a deerminação prévia do processo ARIMA seguido pela série. No caso de exisência de uma série oficial do PIB compuada para períodos mais recenes, as séries devem ser encadeadas, de modo que a proxy esimada cubra apenas os rimesres para os quais não exisem dados. Desse passo enão obemos a proxy do PIB que será o pono de parida de um processo de refinameno, uilizando modelos esruurais em espaço de esado. (3) Escolher uma represenação em espaço de esado para o PIB, o que pode ser feio aravés de uma pesquisa de um modelo esruural para a proxy do PIB esimada no passo (2). O modelo com os melhores eses de diagnósicos das inovações padronizadas é em princípio o melhor candidao. O mesmo procedimeno deve ser adoado para as demais séries inervenienes no PIB. Desses experimenos podem surgir violações das hipóeses do modelo gaussiano linear, que deverão, em ese, ser raadas no conexo do modelo esruural a ser esimado, ou previamene à esimação. No caso da presença de heerocedasicidade, a forma de raameno recomendada é escolher uma variável que guarde relação com o PIB, seja exógena com respeio ao modelo e seja proporcional aos recíprocos dos desvios-padrão das inovações. Essa série pode ser uma das usadas nas esimações do primeiro passo. Os modelos esruurais serão esimados com as séries normalizadas pela variável escolhida, e o PIB rimesral será recuperado muliplicando-se o PIB ponderado esimado pela série usada como faor de ponderação. O raameno, enreano, pode ser mais complexo caso o PIB ponderado passe a er ouliers ou quebras não exisenes na série original. Logo recomendamos esimar um modelo esruural básico para a série faor de ponderação e raar os ouliers e quebras idenificadas aravés do exame dos resíduos auxiliares das equações de medida e de esado com dummies apropriadas. A série de ponderação raada previamene de ouliers e quebras é que será enão uilizada para corrigir a heerocedasicidade. Nossos experimenos indicaram dever-se empregar esa série em índices ao invés de valores ou quanidades. (4) Há vários objeivos na meodologia: recuperar valores desconhecidos do PIB caso de valores omissos, refinar os valores recuperados e a série oficial exisene, corrigir