Antonio Victorino Avila Eng.º Civil, MSc. Eng.ª Produção

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1 ENGENHARIA ECONÔMICA ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA Atoio Victorio Avila Eg.º Civil, MSc. Eg.ª Produção Cursos de Egeharia Floriaópolis-SC Egª Ecoomica~AULAS~2011B 1-198

2 Origial: INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Egº Civil Atoio Victorio Avila, MSc. Egª Produção. Floriaópolis - SC Versão ELETROSUL. Versão julho de Nº págias: 195. Copyright do autor Permitida cópia citada a fote. O objetivo deste trabalho é dispoibilizar ao aluo dos cursos de egeharia uma expressão documetal coerete com o coteúdo a ser miistrado de modo que o mesmo possa acompahar as discussões realizadas em sala de aula. Visado o bom aproveitameto das aulas é imprescidível que o aluo dispoha da ultima versão atualizada deste coteúdo. Isto porque, cometários sobre a teoria, demostrações matemáticas e os exercícios a serem resolvidos estão ela atualizados. Recomeda-se ao iteressado cosultar a bibliografia apresetada, pois o coteúdo exposto ão esgota o assuto. Atoio Victorio Avila Egª Ecoomica~AULAS~2011B 2-198

3 ÍNDICE ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 1. Premissas e Coceitos Itrodução Remueração dos Fatores de Produção Premissas Nomeclatura das taxas de juros Composição da Taxa Real Defiições Matemática Fiaceira Itrodução Coceituações de Juros Juros Simples Defiição Equações Operações de descoto Relações etre Descotos e Taxas Tempo Exato e Comercial Exercícios Resolvidos Exercícios propostos Juros Compostos Defiição Fórmulas Básicas: Valor Presete e Valor Futuro Exemplos Correlação Etre Taxas de Juros Compostos Cuidados a observar Exercícios Relação etre as taxas omial e real Efeito da Iflação Relação etre taxas Iflação e Ídices Iflação Acumulada Fórmulas Básicas Atualização de valores moetários Aplicação Exercícios Séries de Capitais Itrodução Série Uiforme Postecipada Valor Presete ou Valor Atual da Série Postecipada Valor Futuro da Série Postecipada Exemplo Comparado Juros Simples e Compostos Auidade perpétua Coceituação Exercício Resolvido Série Uiforme Atecipada Valor Presete da Série Atecipada Valor Futuro da Série Atecipada Aplicação Série Diferida Metodologia Aplicação Série Ifiita Coceituação Aplicação Exercícios Amortizações de Dívidas Tipos de Sistemas Sistemas de Amortização Costate - SAC A metodologia Exemplo Sistemas de prestação costate Metodologia Exemplo O sistema americao Metodologia Exemplo Egª Ecoomica~AULAS~2011B 3-198

4 4.5 O sistema de amortização variável Metodologia Cometários Exemplo O sistema alemão Característica Relação etre Amortizações Determiação da Prestação Equivalêcia Fiaceira Exemplo O sistema de amortização crescete - SACRE O Sistema A metodologia Exemplo Cometários Correção do saldo devedor Procedimetos Metodologia Aplicação ao Sistema SAC Exercícios Egeharia Ecoômica Coceituação Aálise de Viabilidade Coceito de Viabilidade Premissas O Fluxo de Caixa Coceituação Diagrama de Fluxo de Caixa DFC Calculo do Fluxo de Caixa Valor Presete Valor de um Ativo Calculo do Valor Presete Líquido Diagrama de Valor Presete Exemplo de Aplicação A Taxa de Míima Atratividade TMA Coceito de TMA Defiição da TMA Previsão de Fluxo de Caixa Modelo de Procedimeto Iformações Gereciais Tributos e Depreciação Ifluecia dos Tributos Ifluecia da Depreciação Classificação dos Ivestimetos Pela Variação dos Fluxos de Caixa Dispoibilidade de Recursos O processo de decisão Exercícios Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Método do Valor Presete. ete Coerêcia de resultados Projetos a mesma classe de risco A mesma taxa de descoto Projetos com idêtica vida útil Distiguir projetos de loga duração O Método do valor presete Icremeto de Riqueza Decisão Diagrama de valor presete Aálise de Sesibilidade - Risco Coceituação Domíio viável de produção Aplicação Equalização de tempos de projetos Reivestimeto em ativos semelhates Caso de Rigidez das Alterativas Caso de Outras Oportuidades Exercícios Método da Recuperação de Capital Itrodução Metodologia Egª Ecoomica~AULAS~2011B 4-198

5 8. Valor Uiforme Equivalete Itrodução Decisão Metodologia Aplicação da Metodologia Procedimetos Resolução do Caso Caso de Reivestimeto Coceituação e Artifício Mauteção em Comissioameto Aálise Crítica Exercícios Exercício Resolvido Exercício Proposto Taxa Itera de Retoro Defiições Decisão Discutido a TIR e a TMA Utilização recomedada Caso de títulos mobiliários Caso de fiaciametos Caso de ivestimetos produtivos Calculo da TIR Fução Poliomial Processo da Bisseção Aplicação da metodologia Existêcia de múltiplas TIR Coceituação Exemplo Exercícios Métodos Algébricos Fórmulas de Karpi Caso de Prestações Costates O método Aplicação Caso de Prestações Crescetes O Método Aplicação Caso de Prestações Decrescetes O Método Aplicação Exercícios Comissioameto de Ativos Defiição Tipos de Comissioametos Metodologia Decisão Compra a vista Compra a prazo Aluguel com devolução do bem Aluguel sem devolução do bem Leasig-back Exercício REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS - Casos e Trabalhos Aexo I Trabalhos I.1 Trabalho: Aálise de Fluxo de Caixa I.2 - Trabalho: Métodos de amortização I.3 Trabalho: Viabilidade de troca de lâmpadas Aexo II- Casos em Egeharia Ecoômica II.1 Caso: Ampliação da Sede II.2 Caso: Fabrica de protedidos II.3 Caso: Implatação de Termelétrica II.4 Caso: Viabilidade de costrução de pote II.5 Caso: Refiaria de petróleo Egª Ecoomica~AULAS~2011B 5-198

6 II.6 Caso: Aquisição de presas II.7 Caso: Fiaciameto de residêcia II.8 Caso: Veda de Apartameto II.9 Caso: Plao de Costrução Egª Ecoomica~AULAS~2011B 6-198

7 1. Premissas e Coceitos 1.0 Itrodução. O objetivo deste capítulo é apresetar ao iteressado uma série de premissas, coceitos e defiições que amparam o processo de decisão fiaceira e os métodos de decisão utilizados a Matemática Fiaceira e a Egeharia Ecoômica. Matemática Fiaceira correspode à matemática que descreve as relações etre o biômio tempo e diheiro ecessárias a amparar o calculo de decisões fiaceiras. Assim sedo, a matemática fiaceira estuda, basicamete, a formação dos juros, os motates de capital gerados, o valor de prestações em séries e a amortização de dívidas. A demada por fatores ecessários à produção de bes e serviços tais como: mão de obra; capital; terra; empresas; ou a capacidade técica, requer remueração. Coforme o caso, esta remueração recebe deomiação distita. Assim sedo, o capital é remuerado pelos juros; a terra pelo aluguel; a técica ou patetes pelos royalties; a empresa pelo lucro ou taxa de míima atratividade, TMA; a mão de obra pelo salário. Ver Fig.1.1 Remueração dos Fatores de Produção. A Egeharia Ecoômica correspode ao cojuto de cohecimetos e metodologias que, amparadas a matemática fiaceira, permite realizar o processo de tomada de decisão quato a eleição ou classificação de alterativas de ivestimetos fiaceiros. Esses ivestimetos podem ser referetes a: aplicação de capital em ações, reda fixa ou variável; aquisição de bes e equipametos; implatação de sistemas de produção ou de serviços, etc Remueração dos Fatores de Produção. O objetivo desta obra será discutir a remueração do capital, ou seja, os juros. E, os juros, tato podem se relacioar a um empréstimo tomado por pessoa física ou jurídica, como ao fiaciameto tomado a aquisição de bes ou a remueração do capital de sócios. O objetivo maior deste opúsculo, etão, é dispor ao iteressado de um cojuto de metodologias que permitam a Egª Ecoomica~AULAS~2011B 7-198

8 realização de um coerete processo de decisão quato à escolha de ivestimetos produtivos ou a aplicação de capital que ateda, corretamete, aos preceitos da Matemática Fiaceira e da Egeharia Ecoômica. 1.2 Premissas. A 2ª Premissa estabelece que o mometo da decisão seja sempre a data em que a mesma foi tomada. HOJE. Como se decide sobre expectativas futuras, há que se cosiderar a variação do valor aquisitivo da moeda o tempo para que haja cosistêcia quado se compara valores moetários. A matemática fiaceira e a egeharia ecoômica, como istrumetos de apoio à tomada de decisão, se apoiam as seguites premissas: 1ª Premissa MAXIMIZAÇÃO DA RIQUEZA. O objetivo de utilizar a egeharia ecoômica e a matemática fiaceira é amparar um processo de decisão capaz de eleger a alterativa de ivestimetos que maximize o lucro, a riqueza dos proprietários, sempre. 2ª Premissa MOMENTO DA DECISÃO. As decisões sempre devem efocar o quato uma ação efetuada o presete resultará em termos de aumeto de riqueza o futuro. Isto porque, e é de etedimeto geral, mesmo de modo ituitivo que, com uma quatidade de moedas, a data de hoje, é possível adquirir uma quatidade de bes diferete daquela possível de adquirir em outra data, dispodo da mesma quatidade de moeda. Sob essa cosideração, toda a operação efetuada com valores moetários, seja de adição de valores, quais sejam, etradas de caixa. Ou a dimiuição de valores, a exemplo de custos icorridos, ivestimetos realizados ou impostos devidos, deve ser correlacioada à data da tomada de decisão. Dado o exposto, somete se somam ou se subtraem valores moetários fiaceiros quado correlacioados à mesma data, dada a variação do valor da morda o tempo. Assim, ao ser aalisado um empreedimeto já em curso, a decisão presete em cotiuá-lo ou de alterar a sua aplicação ou objetivo deve basear-se em perspectivas futuras e ão em resultados passados. Só se decide sobre ações relativas ao futuro. O passado já ocorreu e sobre ele ada há que decidir. Em relação ao futuro só temos expectativas. De modo que as decisões são sempre formadas sobre expectativas. ATENÇÃO! COERÊNCIA! SOMENTE SE SOMAM OU SE SUBTRAEM VALORES MONETÁRIOS CORRELACIONADOS À MESMA DATA. Egª Ecoomica~AULAS~2011B 8-198

9 3ª Premissa - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO. O valor de R$ ,00, as codições relatadas é fiaceiramete equivalete ao valor iicialmete aplicado. Fiaceiramete falado, uma soma de diheiro a data de HOJE, e sob determiadas codições, pode ser moetariamete equivalete a outra soma diferete, o tempo. Sob tal premissa, os critérios de decisão de ivestimetos devem recohecer o valor do diheiro o tempo e, como corolário dessa premissa, a perda do poder aquisitivo do diheiro com o passar do tempo. R$1.500,00 Outro exemplo seja o caso do fiaciameto de um televisor, cujo preço de aquisição é de R$ 1.500,00 a ser quitado em cico prestações iguais, mesais e cosecutivas o valor de R$ 385,00. Sob o coceito de equivalêcia fiaceira do valor da moeda o tempo, o motate das cico prestações, a um custo de oportuidade de 8,94% ao período, é equivalete ao valor do fiaciameto. Ou seja: 1.500,00 R$ 5 385,00 R$. Ver Fig.1.1 Equivalêcia de valores , Mês 4ª Premissa CUSTO DE oportunidade. O custo de oportuidade correspode à melhor remueração a ser obtida por um fator de produção que seria obtida por ele caso fosse aplicado em outra alterativa de ivestimeto, matida a mesma classe de risco. (Sotto Costa & Attie, 1984). Fig. 1.2 Equivalêcia de valores Para que um ativo mateha o seu valor aquisitivo e, cosequetemete, ão perca valor, há que ser aplicado com um retoro equivalete à taxa de oportuidade defiida pela empresa ou adotada pelo ivestidor. Como exemplo, seja um ivestidor dispodo de uma soma de capital equivalete a D$ ,00 e havedo a oportuidade de aplicá-la a taxa de juros i=14,50 % ao ao, ao fial de um ao a importâcia iicial motará em D$ ,00. Como corolário da defiição acima, o custo de oportuidade correspode à maior taxa de descoto a ser adotada quado se compara a retabilidade de um dado projeto com a retabilidade da melhor alterativa já dispoível, cosiderado projetos situados a mesma classe de risco. A literatura existete trata o custo de oportuidade sob diversas deomiações, tais como: taxa de retabilidade, taxa de oportuidade; taxa de retoro; taxa de atratividade; taxa de descoto ou taxa de míima atratividade - TMA. Esta última, TMA, será a adotada como omeclatura esta obra. Egª Ecoomica~AULAS~2011B 9-198

10 Detro dessa premissa, um ivestidor que passa a ter a oportuidade de aplicar os seus recursos a X%, e os viha fazedo a taxa y% < X%, sua taxa de oportuidade passa a ser X%, pois esta é a melhor aplicação dispoível para seus ativos. Qualquer aplicação efetuada a taxa iferior que a de oportuidade reduz a realização ou a perspectiva de mater seus gahos um determiado patamar de lucratividade, o que cotraria a 1ª Premissa. Como exemplo, seja uma empresa que remuera seus ativos à taxa de 15% ao ao. Esta é a sua taxa de oportuidade e ela ão aceita em aplicar recursos á uma taxa iferior a ela. Porém, se coseguir remuerar a uma taxa mais elevada, tal como 18% ao ao, esta passará a ser a sua ova taxa de oportuidade. O coceito de cosiderar ou defiir a remueração do capital a ser ivestido como um custo de oportuidade parte do etedimeto de que ao ser aplicado um capital uma alterativa qualquer, a empresa estaria perdedo a oportuidade de aplicá-lo em alterativas mais retáveis a ocorrerem o futuro. 5ª Premissa DECISÃO & RESULTADO. É importate observar a difereça etre boas decisões e bos resultados, pois, em sempre, são diretamete proporcioais. Uma boa decisão é a melhor possível, cosiderado o cohecimeto dispoível sobre qualquer ação em julgameto, o mometo de sua realização. Havedo alteração do ceário previsto ou ocorredo azar, uma boa decisão pode redudar um mau resultado. É um fato a ser cosiderado. A recíproca, porém, dificilmete se mostrará verdadeira, ou seja, uma má decisão propiciado em bom resultado. Esta assertiva cotraria a lei de Murphi que diz: existido a probabilidade de algum feômeo dar errado, com certeza ele dará errado.... A ocorrêcia de uma boa decisão esta viculada a dispoibilidade de dados e iformações cofiáveis e que as alterativas reflitam as codições de mercado da época em que foram desevolvidas. São dados perfeitamete cotroláveis e depedetes da acuidade do decisor. Cabe ao aalista, elaborar um processo com a melhor qualidade possível, visado à fidedigidade dos resultados. Recomeda-se a realização de auditorias pós - decisão visado aalisar o processo decisório passado e aperfeiçoar a qualidade das decisões futuras. É um processo que educa os resposáveis por decisões possibilitado avaliar o desempeho da orgaização Nomeclatura das taxas de juros. O mercado de capitais e o comércio utilizam uma omeclatura variada para defiir as taxas de juros praticadas, muitas vezes utilizado deomiação diferete para a mesma taxa. Visado o etedimeto das omeclaturas utilizadas, são apresetadas as seguites defiições: a) Taxa Básica - é a taxa que estabelece a remueração do capital estabelecida por seu proprietário e medida em termos de moeda de poder aquisitivo costate. Moeda de poder aquisitivo costate é aquela cujo poder de compra Egª Ecoomica~AULAS~2011B

11 se matém ialterada o tempo. Logo, esta taxa, ão está embutido o efeito da iflação. taxa de juros e, outra cláusula, o ídice de correção da iflação. b) Taxa Real correspode à taxa básica acrescida de outros custos, tributos e do risco viculado ao tomador do recurso. c) Taxa Nomial correspode à remueração do capital expressa em termos de valores de moeda correte. Esta taxa egloba a taxa real e a iflação prevista. Também pode ser deomiada de taxa efetiva. Neste caso correspode à taxa empregada para a atualização e pagameto de valores moetários. d) Taxa Efetiva É a que correspode, exatamete, ao custo do diheiro empregado ou tomado emprestado. Pode ser defiida, também como aquela que icide sobre o capital efetivamete exposto ao risco. f) Taxa Bruta e Taxa Líquida são aquelas referetes à remueração bruta ou líquida da iversão, respectivamete, ates ou depois da cosideração dos impostos, comissões, icetivos fiscais, etc. icidetes sobre a operação de empréstimo. Da defiição acima, pode-se cocluir que a taxa bruta pode correspoder à taxa efetiva de juros. g) Juros Descotados - os juros são ditos descotados quato pagos o ato da operação fiaceira que lhes deu origem. Cosiderado que os juros efetivamete pagos são calculados sobre o capital efetivamete recebido, a taxa efetiva é superior à taxa expressa ou pactuada. Neste caso a situação é mais favorável ao forecedor do recurso. A Taxa Efetiva, etão, correspode à razão etre o custo do capital tomado e o valor efetivamete recebido. E, deve ser etedida como a efetiva taxa de juros a ser paga pelo tomador do recurso. CustodoCapital Σ{Juros + Ec arg os} i EFETIVA = = Valor Re cebido ValorFiaciado e) Taxa Declarada é aquela declarada ou registrada omialmete os cotratos. Normalmete ela é a base para o cálculo do juro a ser pago em uma operação. A taxa declarada pode ser cosiderada como sedo a taxa omial quado expressamete estabelecida em cotrato. Ou, à taxa real quado o cotrato estabelecer, uma clausula a h) Juros Postecipados os juros são ditos postecipados quado pagos a data de vecimeto da operação fiaceira que lhe deu origem. Neste caso, os juros efetivamete pagos e pactuados são equivaletes, situação em que os juros são mais favoráveis ao tomador do recurso. Pelo exposto este item, pode se costatar certo coflito ou icosistêcia etre algumas das defiições. Cabe ao tomador do recurso verificar o coceito ou a composição das taxa a ser estipulada em cada cotrato, pois pode haver etedimeto diferete etre istituições fiaceiras distitas. No trascorrer deste livro e para efeitos didáticos, serão utilizadas como omeclatura, apeas, a taxa omial e a taxa Egª Ecoomica~AULAS~2011B

12 real. Esta ultima, a maioria dos exercícios cosiderados este livro, com a cootação de taxa básica. 1.4 Composição da Taxa Real O valor da taxa de risco, i ρ, é defiido segudo a classificação do ível de risco atribuída ao tomador do recurso. Para tato são cosideradas as seguites variáveis: o histórico comercial de crédito do tomador dos recursos, as garatias reais que oferece e da vulerabilidade do mercado ode atua. A taxa real de juros praticada o mercado fiaceiro ão é uma simples taxa que expressa a remueração desejada pelo capitalista. Ela resulta da composição de custos, tributos e do risco icidetes sobre uma operação fiaceira. Resumidamete, correspode à soma da remueração básica do capital estipulada pelo capitalista acrescida de uma taxa suplemetar deomiada, o mercado fiaceiro, de spread. i R = i B + i SPREAD A taxa do spread tem por objeto cobrir os seguites custos: comissões de corretagem, i F, (também deomiada flat); custos viculados ao processo da itermediação fiaceira, i C ; tributos sobre operações fiaceiras, α; e, uma taxa de remueração de risco, i ρ. Etão, o modelo acima passa a ter a seguite expressão, sedo cada uma das variáveis expressa em percetagem: i R = i B + ( i F + i C + α IOF + i ρ ) A taxa básica de juros, i B, varia de país para país sedo determiada periodicamete pelos respectivos bacos cetrais. Como exemplos, o Brasil, ela é deomiada de SELIC e periodicamete estabelecida pelo Baco Cetral. Nos Estados Uidos é deomiada de Prime Rate e a Iglaterra de Libor. 1.5 Defiições. Neste item são defiidos algus coceitos a serem utilizados esta obra. Eteder esses coceitos é importate para a gestão da orgaização, pois são comus a áreas do cohecimeto como a cotabilidade e ao cotrole de custos. Assim sedo, as tabelas 1.1 a 1.3 mostram modelos de balaço patrimoial e do demostrativo de resultados do exercício. a) Gastos e dispêdios correspodem à assução de qualquer compromisso fiaceiro a ser quitado à vista ou futuramete e que propicie saída de diheiro do caixa. No Brasil, o tributo icidete sobre operações fiaceiras é o IOF, cujas alíquotas são defiidas por lei e dispoíveis do site da Receita Federal. b) Custo correspode a todo dispêdio efetuado com a produção de um bem ou serviço. São classificados como diretos e idiretos. Os diretos são os custos realizados o esforço de produção de um bem ou serviço. Os idiretos são alocados ao esforço de produção, comumete, por meio de algum processo de rateio. Egª Ecoomica~AULAS~2011B

13 Cotabilmete, os custos são apropriados o DRE, ver Fig.1.1, o que permite a apuração do resultado do exercício. c) Despesa correspode a todo dispêdio que ão se idetifica com o processo de produção de um bem ou serviço. Elas são relacioadas aos gastos icorridos com a estrutura comercial e admiistrativa da orgaização. f) Valor Fiaceiro correspode ao valor ou soma de valores que cosideram a perda do valor aquisitivo da moeda o tempo. É iteressate otar que o balaço são apropriados valores ecoômicos. Cotabilmete, as despesas são apropriadas o DRE, ver Fig.1.1, visado à apuração do resultado do exercício. d) Ivestimeto correspode a qualquer dispêdio realizado com a aquisição de bes móveis, imóveis ou itagíveis que itegram os ativos da orgaização, bem como os isumos estocados visado cosumo futuro. Cotabilmete, os ivestimetos são apropriados em cotas do o Ativo, ver Fig.1.2, visado registrar o patrimôio, bes e direitos, dispoíveis pela orgaização o fial de cada exercício. Assim sedo, os valores de capital de giro e estoques são apropriados o Ativo Circulate. Ivestimetos em bes móveis ou imóveis e a participação societária em outras empresas são apropriados o Ativo Não Circulate. São apropriados o Ativo Não Circulate, também, direitos realizáveis em logo prazo e o itagível. e) Valor Ecoômico correspode ao valor ou soma de valores que ão cosideram a perda do valor aquisitivo da moeda o tempo. Egª Ecoomica~AULAS~2011B

14 2. Matemática Fiaceira Itrodução Por defiição, a Matemática Fiaceira correspode à matemática que descreve as relações etre o biômio tempo e diheiro ecessárias a amparar o calculo de decisões fiaceiras. Neste capítulo, etão, serão discutidas essas relações e que permitem realizar a equivalêcia de capitais. 2.1 Coceituações de Juros Juro, também deomiado de iteresse, é defiido como a remueração efetuada tato a um diheiro tomado emprestado como ao capital empregado em atividade produtiva ou aplicação fiaceira. No caso dos juros se referirem a uma operação fiaceira, algus parâmetros devem ser estabelecidos ao ser pactuada a operação: É importate ter em mete, sempre, que a taxa de juros efetivamete paga é aquela que icide sobre o capital efetivamete recebido ou dispoível para o próprio mauseio. É comum em operações fiaceiras existirem taxas de abertura de crédito quado se toma uma importâcia em bacos ou fiaceiras. Ou, os juros serem pagos atecipadamete ao haver uma operação de descote de título de crédito. Ou, aida, haver o pagameto de uma etrada o caso de fiaciameto de bes de cosumo. Em todos esses casos, sob quaisquer dos dois sistemas de juros acima mecioados, o pricípio a ser estabelecido é que a remueração do capital tomado emprestado, isto é, os juros, serão sempre calculados sobre a importâcia efetivamete recebida. Observado esse pricípio, é possível verificar quado a taxa de juros pactuada e a efetivamete praticada são idêticas ou distitas. 2.2 Juros Simples Defiição A taxa de juros referete ao período da operação; As datas de pagameto ou vecimeto dos juros; O período de capitalização ou cotabilização dos juros. O sistema de remueração de capital sob a matemática de juros simples ocorre quado somete o pricipal rede juros durate o tempo em que foi pactuado o fiaciameto. A remueração de um capital pode ser efetuada sob dois sistemas, que diferem coforme a icidêcia dos juros sobre o capital: Juros Simples; Juros Compostos. O sistema de juros simples é caracterizado por serem os juros gerados durate o período pactuado para a operação fiaceira computados a data do vecimeto desta operação. Egª Ecoomica~AULAS~2011B

15 $ ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA S = P + J O motate de juros gerados após um úico período de aplicação de um capital proporcioalmete equivalete à taxa de juros pactuada. Assim: J = P i P Fig. 2.1 Diagrama tempo - diheiro No caso do capital for aplicado por períodos, o motate dos juros a serem pagos é diretamete proporcioal a esse umero de períodos. Etão: J = P i O motate S a ser restituído ao aplicador o fial do período pactuado é costituído pela soma dos juros redidos o período, acrescidos do capital aplicado. Matematicamete: E, esta data de vecimeto, ocorre a devolução do capital tomado emprestado acrescidos dos juros pactuados Equações Motate dos Juros Pagos. Defiido como P, o Pricipal ou o Capital iicialmete aplicado; i, a Taxa de juros expressa em porcetagem;, o úmero de períodos básicos correspodetes ao tempo total da aplicação; e, S, o Motate fial de aplicação, represetado a soma (P+J), em que J é o motate dos juros a serem pagos. Partido da defiição de juros simples, o motate de juros a serem pagos a data de quitação da operação fiaceira é igual ao produto do pricipal tomado, pela taxa pactuada e pelo úmero de períodos. Demostrado: S = P + J S = P + P i S 1 = P + P i = P (1+i) S 2 = P + P i + P i = P (1+ i 2) S 3 = P + P i + P i + P i = P (1+ i 3) S = P + P i + P i + P i + + P i = P (1+ i) Geeralizado para períodos, obtém-se a expressão caôica do motate de um capital P corrigido a juros simples durate períodos: S = P (1 + i) Equivalêcia etre Taxas de Juros. Egª Ecoomica~AULAS~2011B

16 Um dos questioametos decorretes da utilização de juros é defiir a proporcioalidade etre a taxa de juros correspodete a um período maior e àquela correspodete a frações iteiras desse mesmo período. No caso dos juros simples, ocorre relação direta etre essas duas taxas de juros. Assim, adotado como T um dado período e f uma fração deste período. E, respectivamete, i T e i f, as taxas de juros coexas aos períodos cosiderados, a proporcioalidade etre estas duas taxas é expressa por: T = f Ateção quato à utilização do modelo acima. Ele somete poderá ser utilizado quado se adota a matemática dos juros simples. É coceitualmete errado utilizar este modelo quado se opera sob a égide dos juros compostos Operações de descoto Tipos de descoto. Uma operação fiaceira corriqueira o mercado é a deomiada de descoto ou deságio e efetuada em trasações de títulos de crédito. Os descotos ocorrem quado títulos são egociados em data aterior ao do efetivo vecimeto e correspodem aos juros pagos pelo serviço havido etre a data do descoto e a do efetivo pagameto. i T if Essas operações servem como fote de fiaciameto de curto prazo e são lastreadas em cheques pré-datados descotados por empresas de factorig; duplicatas e letras de câmbio egociadas ates da data do efetivo pagameto; e empréstimos ou vedas garatidos por otas promissórias. O descoto ou deságio pode ser expresso em termos de porcetagem ou em valor moetário a ser descotado do valor de face do título egociado. O valor de face correspode ao motate expresso o averso do título, a ser quitado pelo emissor ou o avalista a data aprazada e também expressa o título. Neste caso, a quatia a ser paga ao portador, isto é, àquele que está egociado o título, deverá ser iferior ao valor omial ou valor de face. Isto porque, a data de vecimeto do título, este deverá ser quitado pelo valor de face. O comprador do título, etão, o adquire por um valor iferior àquele discrimiado a face do documeto, de forma a remuerá-lo durate o período compreedido da data de sua egociação até a data do vecimeto. Iteressa etão, àquele que vede o título, saber qual o motate do descoto, ou deságio, a ser efetuado sobre o valor de face e qual o motate do capital que ira receber pela veda do título. Dois são os procedimetos realizados pelo mercado para calcular o valor do deságio e deomiados de: Descoto Racioal ou por Detro; Descoto Bacário, Comercial ou por Fora. Adotado como omeclatura: Egª Ecoomica~AULAS~2011B

17 F = Valor de Face, importâcia escrita a face do título e a ser horada pelo emitete a data do respectivo vecimeto; P = Importâcia a ser paga ao vededor do título, quado egociado ates da data do vecimeto; i = taxa de juros praticados ou pactuados; t = úmero de períodos que atecedem a data de vecimeto; Dr = valor do descoto racioal. Dc = valor do descoto comercial. Como será visto o item 2.3.3, o valor de face, F, pode ser cosiderado como sedo o valor futuro do título, quado este é egociado ates da data do vecimeto ou a data de sua emissão. Isto porque, um título só terá o valor expresso em sua face quado a data de seu vecimeto, isto é, em um mometo futuro determiado por esta data. Os procedimetos utilizados o descoto racioal são idêticos àqueles utilizados a matemática dos juros simples. Porém, deve ser registrado que, muitas empresas, vêm combiado procedimetos estabelecidos pela matemática dos juros compostos com os de juros simples. No caso de ocorrer essa superposição de procedimetos, ou seja, quado os juros são referidos à um período maior, a taxa básica de juros, efetivamete utilizada em períodos meores, é calculada segudo a matemática dos juros compostos. Obtida essa taxa básica, os procedimetos seguem àqueles estabelecidos para os juros simples, segudo o expresso a seguir. Defiido o descoto racioal, este correspode ao motate dos juros expresso em valor moetário, descotado do valor de face de um título dada a egociação do mesmo ateriormete à data de vecimeto. I - Descoto Racioal ou por Detro. O descoto racioal cosidera o valor da moeda o tempo. A taxa de juros pactuada pode ser a taxa real ou a taxa omial havedo a previsão de iflação. Assim, o valor omial do título a data do efetivo pagameto expresso a face do mesmo é fiaceiramete equivalete ao valor do mesmo a data em que foi egociado. O valor do descoto e do motate a receber é calculado a partir do valor de face a data do vecimeto, atededo os procedimetos estabelecidos pela matemática fiaceira. Matematicamete, o descoto racioal é defiido por: D r = F P Da matemática dos juros simples pode-se correlacioar o valor de face, F, ao valor a ser recebido, P, cosiderado ser o primeiro o motate dispoível o fial do período de aplicação e o segudo o pricipal aplicado. Logo: F F = P(1+ ir t) P = (1+ i t) Substituido P a equação acima, obtém-se o motate do descoto racioal. r Egª Ecoomica~AULAS~2011B

18 F Dr = F (1 + it) Fit Dr = 1+ it II - Descoto Bacário, Comercial ou Por Fora. A priori, é importate ressaltar que o descoto por fora é baseado uma coveção mais simples, ão se caracterizado por uma cobraça equivalete de juros. Mas, como a simples aplicação direta de uma taxa de descoto. Por defiição: Dc = F i C t Neste caso, o motate do descoto é obtido ao se miorar do valor de face, F, o valor a ser recebido, P. Logo: Tedo sido pactuada um taxa de descoto de 42% ao ao, solicitam-se, para os dois tipos de descoto, as seguites iformações: o valor de face do título; e o motate do descoto. (R: R$ ,09/ R$ ,30). b) Um Baco pratica operações de descoto de títulos cambiais à taxa de 4,5% ao mês. Solicitam-se as seguites iformações visado comparar o resultado do descoto racioal com o bacário: O deságio relativo à operação de descoto de uma duplicata cujo valor de face é de R$ ,00, viceda em 90 dias; (R: 1486,78/1687,50 R$). O motate a ser recebido pelo iteressado a operação de descoto; Dc = F P Ao se igualar as duas expressões acima, obtém-se o valor de face: Exercícios. F i C t = F P P = F (1 i C t ) F P = (1 ict) a) A importâcia de R$ ,00 foi recebida após a operação de descoto de uma ota promissória, viceda em 120 dias. NOTA PROMISSÓRIA Nº 07/09* R$ ,00 Vecimeto: 25 de abril de Ao(s) vite e cico dias do mês de abril de dois mil e dez, PAGAREI por esta úica via de NOTA PROMISSÓRIA a Atoio de Souza ud Silva, CPF º , ou a sua ordem, a importâcia supra de doze mil e quihetos reais, em moeda correte do País. Pagarei em: Floriaópolis-SC. Emitete: Jose João Pedro... CPF º assiatura Rua Elfo dos Satos º Floriaópolis SC. Egª Ecoomica~AULAS~2011B

19 Relações etre Descotos e Taxas resultar um mesmo valor a ser recebido, P, cosiderado terem sido praticados sistemas de descoto distitos Relações etre Descotos. DC DR Neste item é aalisada a correlação existete etre o motate do descoto por detro e o motate do descoto por fora, cosiderado que as taxas pactuadas os dois casos sejam idêticas, isto é i r = i C. Sedo iguais as taxas omiais pactuadas, a taxa real praticada o processo de descoto por detro, ou racioal, é iferior àquela praticada o descoto por fora, ou bacário. P Data de Negocia Data de Vecime Tal assertiva pode ser demostrada igualado as expressões dos descotos: Fit Dr = 1+ it E sedo, por coveção: Dc = F i t, Fig.2.2 Equivalêcia etre descotos A equivalêcia etre estas taxas é demostrada ao se igualar os dois valores a serem recebidos depois de realizadas as respectivas operações de descoto. Etão: Dc Dr = (1 + it) a) Cosiderado o descoto racioal tem-se: P = F Dr P = F (1 + i r t) Taxas Equivaletes. Um dos questioametos efetuados o mercado fiaceiro é quato à correlação etre as taxas praticadas o descoto comercial e o racioal. Por defiição, diz-se que duas taxas de descoto são equivaletes etre si quado, dado o mesmo valor de face, b) Cosiderado o descoto comercial tem-se: P = F DC P = F (1 I C t) Como o valor a ser recebido, P, por defiição é igual para ambos os casos, podem ser igualadas as expressões acima. F (1 + i r t) = F (1 I C t) (1 I C t) (1 + i r t) = 1 Egª Ecoomica~AULAS~2011B

20 ( 1- I Tempo Exato e Comercial C 1 t ) = (1+ i t) Dada uma mesma taxa de juros e um mesmo pricipal, o redimeto ou motate dos juros apurado em tempo comercial será ligeiramete superior àquele apurado em tempo real ou exato. Essa variação é devido à difereça do úmero de dias estabelecida para cada tipo de exercício. Assim, o ao comercial, segudo coveção aceita pelo comercio, estabelece que o mesmo teha 360 dias. O tempo exato segue o ao caledário com 365 dias. Deste modo, o redimeto i devido a uma aplicação P, durate um itervalo de tempo t tem-se, respectivamete, para o tempo comercial e o tempo exato: P t i 360 IComercial = e r = P t IExato i 365 Efetuado a relação etre as duas expressões, fica demostrado que a proporcioalidade existete etre o redimeto havido durate ao comercial e redimeto havido durate ao exato, é fução direta do úmero de dias em que os mesmos foram defiidos. Etão: I Comercial I Exato 365 = = 1,0139 I Comercial = 1,0139 I Exato Exercícios Resolvidos a) Você aplicou a importâcia de R$ ,00 a aquisição de um título, pactuado a juros simples a taxa de 2,2% a.m. pelo prazo de 14 meses. Trascorridos oito meses desta operação, resolveu veder o título. Qual o motate a ser recebido se a data da veda a taxa de juros praticada pelo mercado for de 2,9% a.m.? S = P (1 + i ) S = ,00 (1 + 0,022 14) S = R$ ,60 DC = S i DC = ,60 0,029 (14-8) DC = R$ 2.549,03 VR = S DC VR = ,60 R$ 2.549,03 VR = R$12.100,57 a) Um veículo está sedo ofertado em duas codições: a vista por R$ ,00. Ou, a prazo, sedo 15% de etrada e o saldo dividido em quatro parcelas mesais, cosecutivas, corrigidas por juros simples à taxa de 42% a.a. Nesta codição deseja-se saber: O valor de cada prestação; e o motate a ser desembolsado. Etrada = R$ 3.480,00 Fiaciameto de cada parcela: R = R$ 4.930,00 Taxa mesal de juros: i=42 12= 3,5% a.m. Egª Ecoomica~AULAS~2011B

21 1º - Calculo do valor da 1ª prestação: VF1 =R1 + (R1 i ) VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 0,035 1) VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 172,55) VF1 = R$ 2º - Calculo do valor da 2ª prestação: VF2 = R2 + (R2 i ) VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 0,035 2) VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 345,10) VF2 = R$ 3º - Calculo do valor da 3ª prestação: VF3 = R3 + (R3 i ) VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 0,035 3) VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 517,65) VF3 = R$ 4º - Calculo do valor o da 4ª prestação: VF4 = R4 + (R4 i ) VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 0,035 4) VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 690,20) VF4=R$ 5º - Calculo do valor do motate: VFM = VF1 +VF2 +VF3 +VF4 VFM = R$ c) Uma duplicata cujo valor de face, VF, mota a R$ 8.500,00 foi emitida há 5 meses passados e tem data de vecimeto estipulada para daqui a 7 meses. Caso seja descotada esta data e se a taxa de descoto comercial for de 26,4% a.a. solicita-se determiar: O descoto comercial, DC O valor a ser recebido, VR. Por quato a duplicata foi egociada, se a data desta operação o juro comercial vigete era de 33,6% a.a. A taxa efetiva de juros o período referete à operação do descoto. 1º item - Descoto Comercial. DC = VF i DC = 8.500,00 ( 0, ) 7 DC = R$ 1.309,00 2º item Valor Recebido. VR = VF DC VR = 8.500, ,00 VR = R$ 7.191,00 3º item - Preço de compra = PC. VF = PC (1 + i ) 8.500,00 = PC (1 + 0,336 1) PC = R$ 6.362,27 4º item Taxa real ou efetiva Adotado a matemática dos juros simples e cosiderado que os juros são calculados sobre o valor efetivamete recebido: VF = VR (1 + i ) 8.500,00 = 7.191,00 (1 + i 7) 1,182 = 1 + 7i 0,182 = 7i i = 0,026 i = 2,6% a.m e/ou 31,2% a.a. Egª Ecoomica~AULAS~2011B

22 Recomedação! d) A que taxa de remueração um capital aplicado sob juros simples triplicará o prazo de três aos? (R: 66,67% a.a.). Em estudos fiaceiros recomeda-se: 1º. Desehar SEMPRE o diagrama dos fluxos de caixa; 2º. Escrever as formulas dispoíveis; 3º. Visualizar a solução dos problemas, compatibilizado as fórmulas com os fluxos de caixa! Atededo à recomedação, este procedimeto facilita a adequada solução dos problemas de egeharia ecoômica! Exercícios propostos. a) Calcular, adotado a matemática dos juros simples, o motate a ser recebido após 4 meses quado um empréstimo de D$1.000,00 é tomado a 15% ao mês. (R: 1600,00 R$). b) Um comerciate obtém um empréstimo de um milhão de dólares a juros de 33% ao ao, pactuado a juros simples. Quato pagará a ocasião do resgate se quitar o mesmo em cico ou em dezessete meses? (2,65/ 6, U$D). c) Qual o capital que a juros simples de 14,5% ao ao gerará em sete meses um motate de trezetos mil reais? (R: ,92 R$) e) Uma empresa descotou uma duplicata, o Baco da Esquia, à taxa de 84% ao ao. O descoto praticado foi o comercial, que motou a R$ ,00. Se a operação fosse de descoto racioal, o valor do descoto seria reduzido em R$ 1.764,00. Qual é o valor de face da duplicata descotada? (R: ,00 R$). f) Você deve a um baco a importâcia de R$ 1,900,00, a vecer em 30 dias, garatida por uma ota promissória. Como sabe que ão poderá quitar a importâcia a data aprazada, propõe que o pagará o prazo de 90 dias após o vecimeto previsto. Admitido que a taxa de descoto comercial praticada seja de 72% ao ao, qual será o valor de um ovo título a ser assiado? (R$ 2.317,00). g) O Bak of Squire pratica o descoto por fora à taxa de 3,00% ao mês. Ao aceitar um título cujo valor de face é de R$ ,00, com prazo de vecimeto estabelecido para seis meses, quato o baco pagará pelo título? Qual será a taxa total de juros correspodete, sabedo que o baco aida cobra uma taxa de abertura de crédito de 1,0% sobre o valor do título? (R: 23,46% ao semestre). h) A fiaceira WACS pratica o descoto racioal à taxa de 4,35% ao mês. Ao efetuar o descoto de uma duplicata cujo valor de face mota a R$ 32 mil viceda em oveta dias, cobra uma taxa de admiistração o valor de R$ 155,00, ao efetuar a operação. Iforme qual será a taxa de juros mesal, efetiva, icidete sobre esta operação. (R: 4,56% a.m.) i) Determiar o valor de um título a ser resgatado o prazo de 120 dias ates de seu vecimeto, pactuado a uma taxa de Egª Ecoomica~AULAS~2011B

23 12,0% ao ao. Sabe-se que a difereça etre o valor do descoto comercial e o descoto racioal é de R$ ,08. (R: R$ 50 milhões). j) O Bak of Squire descota, atecipadamete e por fora, os juros a operação de um papagaio. Sedo uma operação de descoto lastreada uma ota promissória cujo valor de face mota a R$ 30 mil, viceda em oveta dias e pactuada à taxa de 7% ao mês, perguta-se qual será a taxa efetivamete paga por esta operação. (R: 8,86% a.m.) k) Você dispõe de uma duplicata cujo valor de face mota a R$ 200 mil, vecível em 60 dias. Decida em qual baco deverá ser efetuada uma operação de descoto sabedo que: - o Baco A pratica o descoto racioal à taxa de 8,45% ao mês; - o Baco B procede ao descoto comercial à taxa de 7,90% ao mês. l) Você efetuou uma operação de descoto para um título vecível em 60 dias à taxa de 42% ao ao. Motado o valor do descoto em R$ 840,00. Perguta-se qual o valor de face do título os casos de ser adotado o descoto racioal ou o comercial? (R: ,00 / ,00R$ ) m) Você ecessita hoje da importâcia de R$ 50 mil e foi ao seu baco efetuar um empréstimo. O empréstimo é lastreado uma ota promissória vecível em 120 dias. O baco calcula o valor de face deste título adotado o descoto comercial à taxa de 4,5% ao mês. Além disto, cobra uma taxa de abertura de crédito de 0,55% sobre o valor de face do título e uma taxa de admiistração de R$77,00, ambos embutidos o valor fiaciado. Perguta-se, qual a taxa de juros efetiva icidete sobre esta operação? (R: 5,74% a.m.) ) Você resolveu quitar uma dívida, lastreada em ota promissória, sesseta dias ates do vecimeto. Qual será o valor a ser pago se os juros simples pactuados foram de 2,50% ao mês e o valor de face da ota mota a R$ ,00? o) Sua empresa previu a ecessidade de aquisição de um equipameto o valor de R4 50 mil e o deseja adquirir com recursos próprios. Cosiderado que, este mometo, dispõe da importâcia de R$ 20 mil e o Tesouro Nacioal esta remuerado as aplicações em 14% ao ao, perguta-se: em quato tempo poderá dispor do motate previsto? 2.3 Juros Compostos Defiição. O regime de juros composto, também deomiado de regime de capitalização ou aatocismo, é caracterizado pela icorporação ao capital dos juros gerados um período, ou seja, capitalizados, passado a gerar juros o período seguite. Estudos de aálise de viabilidade de ivestimetos são lastreados a matemática dos juros compostos, pois parte-se do pricípio que ivestidores e empresas reaplicam os lucros e os saldos de fluxos de caixa gerados a cada período, fato que cotribui para aumetar os lucros esperados futuros. Pelo acima exposto, tora-se icosistete a adoção da matemática dos juros simples em estudos de viabilidade e, além disto, vem de ecotro ao estabelecido a primeira premissa que estabelece a maximização do lucro dos proprietários. Egª Ecoomica~AULAS~2011B

24 Fórmulas Básicas: A pricipal idagação, esse sistema de capitalização, é quato ao motate a ser recebido pela aplicação de um capital, após certo úmero de períodos de tempo e cohecidos os juros pactuados. Visado calcular o motate a ser percebido, será adotada a seguite omeclatura:, represetado o úmero de períodos de capitalização pactuados; S = Motate a ser recebido após períodos de capitalização; P = Capital iicialmete aplicado ou pricipal; J = Motate dos juros a serem pagos; i = Taxa de juros pactuados. S 1 = P + (P i) = P (1 + i) S 2 = S 1 + (S 1 i) = S 1 (1 + i) = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i)² S 3 = S 2 + (S 2 i) = S 2 (1 + i) = P (1 + i)² (1 + i) = P (1 + i)³ S 4 = S 3 + (S 3 i) = S 3 (1 + i) = P (1 + i) 3 (1 + i) = P (1 + i) 4... S = S -1 + ( S -1 i ) = S -1 ( 1 + i ) = P ( 1 + i ) -1 ( 1 + i ) Geeralizado a expressão acima para períodos: S = P (1 + i) O total dos juros gerados, por sua vez, é obtido aritmeticamete, depois de efetuada a difereça etre o motate a ser percebido e o capital iicialmete aplicado, também deomiado de Pricipal. Etão: J = S P Resumido: Fórmula do Motate: S = P ( 1 + i ) Fórmula dos Juros: J = S P ou, O motate após o primeiro período é calculado de forma idêtica ao dos juros simples. A partir desse primeiro período, os juros passam a icidir dobre o ovo motate, comumete deomiado de capitalizados. Etão, matematicamete se tem: J = P ( 1 + i ) - P Egª Ecoomica~AULAS~2011B

25 2.3.3 Valor Presete e Valor Futuro. Como cometado, a matemática dos juros compostos é adotada os estudos fiaceiros, a exemplo da determiação do valor de ativos produtivos, ivestimetos em ações, títulos de capitalização, etc. A assertiva acima ocorre dado o etedimeto que ivestidores e empresas reaplicam os capitais dispoíveis, sedo o etedimeto ser esta a matemática mais adequada para aalisar ivestimetos. Para tato, ela se ampara o pricípio da equivalêcia de capital e operar dois coceitos largamete utilizados os estudos fiaceiros, quais sejam, o valor presete VP e o valor futuro VF equivalete a um dado motate e vice versa. VP=P Taxa 0... S = VF Fig.2.4 Equivalêcia - Valor Futuro Período s Deste modo, cosiderado o coceito de equivalêcia de capital pode-se escrever: VP i% VF i%. Fiaceiramete, etão, deomia-se VP i% de VALOR PRESENTE do motate de VF i%. De modo aálogo, VF i% é deomiado de VALOR FUTURO do capital aplicado, VP i% Valor Futuro - VF. Por defiição, o valor futuro VF correspodete a uma determiada importâcia P, aplicada durate um período, é equivalete a esta importâcia quado capitalizada a taxa de juros pactuada, i%. A expressão do motate dos juros compostos capitalizados defie o VALOR FUTURO a ser recebido pela aplicação de um capital, P, deomiado de VALOR PRESENTE, quado pactuado à taxa de descoto, i%, após períodos de redimeto. Sedo: S = P (1 + i), etão: VF VP (1 + i) Essa operação, comercialmete deomiada de capitalização, é utilizada em operações fiaceiras de título de capitalização, ou seja, de atualização moetária de capital. Assim sedo, dado esta data um pricipal expresso pelo seu valor presete, P=VP i%, após certo úmero de períodos e aplicado a taxa de juros i%, gerará uma soma fiaceiramete equivalete ou seu valor futuro: S=VF i%. (ver Fig.2.4 Equivalêcia: Valor Futuro). A expressão (1+i) é deomiada de Fator de Capitalização ou Fator de Valor Futuro de um Pricipal, cuja represetação pode ser efetuada sob as seguites omeclaturas: Egª Ecoomica~AULAS~2011B

26 VF = VP (1 + i) = VP s i% = VP s i VP 1 VF ( 1 + i) Valor Presete VP. Em operação iversa, o VALOR PRESENTE VP, esta data, correspodete a uma determiada importâcia futura, VF, é equivalete a esta importâcia quado descotada durate certo período de tempo a taxa de juros pactuada, i%. Partido da fórmula do motate dos juros compostos, obtém-se o VALOR PRESENTE, VP, equivalete a um dado motate futuro, VF, quado descotado à taxa de juros i%, durate certo período,. Taxa Essa operação também é deomiada de descoto de um capital a valor presete e realizada quado se deseja cohecer o valor atual relativo a um capital o futuro. A expressão 1/(1+i) é deomiada de Fator de Descoto ou Fator de Valor Presete de um capital, cuja represetação pode ser efetuada sob as seguites omeclaturas: 1 VP = VF = VF (v i ) = VF v i ( 1 + i) P VP 0... S VF período s Exemplos. a) Seja defiir o valor atual de um capital aplicado por seis meses a juros de 7% ao mês, gerou o motate de R$ 4.502,19? 1 P = S = S v i ( 1+ i) Fig.2.5 Equivalêcia - Valor Presete Sabedo-se que VF VP (1 + i), a expressão da equivalêcia de uma importâcia o presete, cohecido seu motate uma data futura é dada por: Utilizado tabela fiaceira: s 6 7 = da Tabela Fiaceira P = s 6 7 = 4.502,19 x = 3.000,00 R$ Ou utilizado diretamete o fator de valor presete: 1 1 P = S , , 00R$ 6 ( 1+ i) = ( 107, ) = Egª Ecoomica~AULAS~2011B

27 b) No caso iverso, seja um capital o valor de R$ 3.000,00, qual será o motate a ser recebido após seis meses quado aplicado a taxa de juros de 7% ao mês? correspodete a um período maior com àquela referete a frações iteiras deste mesmo período. No caso de juros compostos, ão há relação direta etre essas duas taxas de juros. S = Ps j 6 S = Ps 7 E, sedo s 7 6 = 1,5007 da Tabela Fiaceira. S = 3,000 x 1,5007 = 4.502,19 R$ Ou etão: S = P (1+i) = (1,07) 6 =4.502,19 R$ O quadro a seguir mostra a evolução do motate, ou seja, a situação do saldo devedor o fial de cada período. Período Pricipal R$ Juros 7% Motate R$ , ,00 210, , , , , , , , , , , ,19 Por defiição, duas taxas de juros são ditas equivaletes quado, sujeitas a diferetes períodos de capitalização, produzem iguais motates de juros depois de aplicadas a um mesmo volume de capital. Adotado como omeclatura: T para o período total do fiaciameto ou empréstimo e F uma fração iteira deste mesmo período. E como i T e i F, respectivamete, as taxas de juros coexas aos períodos cosiderados. Demostra-se a proporcioalidade etre estas duas taxas ao serem igualados os motates devidos pelo tomador a data pactuada para a quitação do cotrato, coforme a defiição de taxas equivaletes. Ou seja: S T = S F i P S1 S T = S F i T Correlação Etre Taxas de Juros Compostos. Ideticamete ao sistema de juros simples, um dos questioametos sobre juros compostos é quato a proporcioalidade existete etre a taxa de juros Fig.2.6 Equivalêcia - Taxas de Juros Egª Ecoomica~AULAS~2011B