UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA ELÉTRICA, MECÂNICA E DE COMPUTAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA ELÉTRICA, MECÂNICA E DE COMPUTAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO LUCAS FRANCO DE ASSIS CÁLCULO DO COGGING TORQUE EM CARGA NAS MÁQUINAS SÍNCRONAS DE ÍMÃS PERMANENTES NO ROTOR GOIÂNIA 2018

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3 LUCAS FRANCO DE ASSIS CÁLCULO DO COGGING TORQUE EM CARGA NAS MÁQUINAS SÍNCRONAS DE ÍMÃS PERMANENTES NO ROTOR Dissertação apresentada à Escola de Engenharia Elétrica, Mecânica e de Coputação da Universidade Federal de Goiás para obtenção do título de Mestre e Engenharia Elétrica pelo Prograa de Pós- Graduação e Engenharia Elétrica e de Coputação. Área de concentração: Máquinas Elétricas. Orientador: Prof. Dr. Geyverson Teixeira de Paula. Co-Orientador: Prof. Dr. Bernardo Pinheiro de Alvarenga. GOIÂNIA 2018

4 Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor, através do Prograa de Geração Autoática do Sistea de Bibliotecas da UFG. Assis, Lucas Franco de Cálculo do Cogging Torque e Carga nas Máquinas Síncronas de Íãs Peranentes no Rotor [anuscrito] / Lucas Franco de Assis f.: il. Orientador: Prof. Dr. Geyverson Teixeira de Paula; co-orientador Dr. Bernardo Pinheiro de Alvarenga. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Goiás, Escola de Engenharia Elétrica, Mecânica e de Coputação (EMC), Prograa de Pós-Graduação e Engenharia Elétrica e de Coputação, Goiânia, Bibliografia. Apêndice. Inclui lista de figuras, lista de tabelas. 1. Máquina Síncrona de Íãs Peranentes no Rotor. 2. Cogging Torque. 3. Método dos Eleentos Finitos. 4. Método da Pereabilidade Fixa. I. Paula, Geyverson Teixeira de, orient. II. Título. CDU 621.3

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6 À Deus, aos eus pais, failiares e aigos, pela confiança, incentivo, apoio e o ienso carinho.

7 AGRADECIMENTOS Ao Prof. Dr. Geyverson Teixeira de Paula e ao Prof. Dr. Bernardo Pinheiro de Alvarenga pela oportunidade, sabedoria, coproetiento, infinita paciência, carisa, orientação ao longo deste trabalho e esclareciento de inúeras dúvidas. Ao Prof. Dr. Marcelo Seensato que e apresentou o incrível universo das áquinas elétricas. Ao Prof. Dr. André Luiz Silva Pereira e ao Prof. Dr. Fernando Silva Pereira pelo apoio e incentivo. Aos eus aigos e colegas de laboratório, Beatriz, Thaíssa, Ciliana, Lázaro, Morgan, Phillipe, Renato, Anderson, Arthur, Jéssica e Henrique pela copanhia nos oentos de estudos e nas inúeras epreitadas durante o estrado.

8 Eu escalei a ontanha da vida Reovendo pedras E plantando flores. (Cora Coralina)

9 RESUMO O presente trabalho investiga o cálculo do cogging torque e carga nas áquinas síncronas de íãs peranentes no rotor. Muitos étodos existentes para calcular o cogging torque, seja eles analíticos ou nuéricos, negligencia a influência da carga, isto é, atribue a oscilação do torque única e exclusivaente ao cogging torque ou faze a atribuição incorreta dos efeitos da carga sobre o eso. Para conduzir esta investigação, três étodos co relevância no eio científico são analisados quando associados ao Método dos Eleentos Finitos (MEF) e ao Método da Pereabilidade Fixa (MPF), são eles: o Método dos Tensores de Maxwell, o Método do Trabalho Virtual e o étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu. Dessa fora, as siulações são conduzidas ipleentando-se o MEF e o MPF co o auxílio do software FEMM (Finite Eleent Method Magnetics) e e seguida aplicando-se os étodos e análise a fi de verificar a validade de cada u deles e diferentes topologias de rotor e foras de acionaento, o que ainda não é encontrado na literatura especializada, e averiguar qual é o ais apropriado para o cálculo do cogging torque e carga. Ebora os três étodos e estudo seja be difundidos, o Método do Trabalho Virtual e o étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu são incoerentes co o princípio da conservação de energia quando ipleentados co o MEF e o MPF, enquanto que o Método dos Tensores de Maxwell ostra-se ais adequado para o cálculo do cogging torque e carga nas áquinas síncronas de íãs peranentes no rotor. Palavras-chave: Máquina Síncrona de Íãs Peranentes no Rotor. Cogging Torque. Método dos Eleentos Finitos. Método da Pereabilidade Fixa.

10 LISTA DE FIGURAS Figura 1.1 Topologia de áquinas síncronas de íãs peranentes no rotor Figura 2.1 Curva característica de agnetização e principais pontos de interesse para o MPF.7 Figura 2.2 Coponente noral da densidade de fluxo agnético no entreferro da áquina síncrona de íãs peranentes no rotor quando I 4 A, 0, e a Figura 2.3 Coponente tangencial da densidade de fluxo agnético no entreferro da áquina síncrona de íãs peranentes no rotor quando I 4 A, 0, e a Figura 2.4 Aplicação do Método da Pereabilidade Fixa Figura 2.5 Área equivalente a energia agnética no Método da Pereabilidade Fixa convencional Figura 2.6 Área equivalente a energia agnética no Método da Pereabilidade Fixa elhorado Figura 2.7 Aplicação do Método da Pereabilidade Fixa elhorado Figura 3.1 Densidades de energia e coenergia e diversos ateriais...20 Figura 4.1 Estudos de casos da áquina síncrona de íãs peranentes no rotor...28 Figura 4.2 Fora de onda e aplitude das correntes senoidais (4 A) Figura 4.3 Fora de onda e aplitude das correntes quadradas (3,6363 A) Figura 4.4 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (operação e vazio) Figura 4.5 Cogging torque (operação e vazio) Figura 4.6 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.7 Torque eletroagnético (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.8 Cogging torque e carga (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.9 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (carregaento co correntes quadradas) Figura 4.10 Torque eletroagnético (carregaento co correntes quadradas) Figura 4.11 Cogging torque e carga (carregaento co correntes quadradas) Figura 4.12 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (operação e vazio) Figura 4.13 Cogging torque (operação e vazio)

11 Figura 4.14 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (carreaento co correntes senoidais) Figura 4.15 Torque eletroagnético (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.16 Cogging torque e carga (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.17 Cogging torque e carga co aior detalhaento (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.18 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (carregaento co correntes quadradas) Figura 4.19 Torque eletroagnético (carregaento co correntes quadradas) Figura 4.20 Cogging torque e carga (carregaento co correntes quadradas) Figura 4.21 Cogging torque e carga co aior detalhaento (carregaento co correntes quadradas) Figura 4.22 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (operação e vazio) Figura 4.23 Cogging torque (operação e vazio) Figura 4.24 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.25 Torque eletroagnético (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.26 Cogging torque e carga (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.27 Cogging torque e carga (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.28 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (carregaento co correntes quadradas) Figura 4.29 Torque eletroagnético (carregaento co correntes quadradas) Figura 4.30 Cogging torque e carga (carregaento co correntes quadradas) Figura 4.31 Cogging torque e carga (carregaento co correntes quadradas) Figura 4.32 Foras de onda de torque para a áquina síncrona de íãs peranentes do caso Figura 4.33 Máquina do estudo de caso 1 co I 4 A e a Figura 4.34 Máquina do estudo de caso 2 co I 4 A e a Figura 4.35 Máquina do estudo de caso 3 co I 4 A e a Figura 4.36 Variação da energia agnética arazenada para a áquina do estudo de caso

12 Figura 4.37 Variação da energia agnética arazenada para a áquina do estudo de caso Figura 4.38 Variação da energia agnética arazenada para a áquina do estudo de caso Figura 4.39 Coparação entre dw d e a variação da energia de entrada dw in, ZHU, in MEF d obtida e eleentos finitos para a áquina do caso Figura 4.40 Coparação entre dw d e a variação da energia de entrada dw in, ZHU, in MEF d obtida e eleentos finitos para a áquina do caso Figura 4.41 Coparação entre dw d e a variação da energia de entrada dw in, ZHU, in MEF d obtida e eleentos finitos para a áquina do caso Figura 4.42 Foras de onda do cogging torque e carga na áquina síncrona de íãs peranentes do caso Figura 4.43 Torque eletroagnético no estudo de caso 1 (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.44 Conteúdo harônico do torque eletroagnético no estudo de caso 1 (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.45 Torque eletroagnético no estudo de caso 2 (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.46 Conteúdo harônico do torque eletroagnético no estudo de caso 2 (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.47 Torque eletroagnético no estudo de caso 3 (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.48 Conteúdo harônico do torque eletroagnético no estudo de caso 3 (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.49 Cogging torque e carga no estudo de caso 1 (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.50 Cogging torque e carga no estudo de caso 2 (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.51 Cogging torque e carga no estudo de caso 3 (carregaento co correntes senoidais) Figura 4.52 Cogging torque e carga no estudo de caso 1 (carregaento co correntes quadradas)

13 Figura 4.53 Cogging torque e carga no estudo de caso 2 (carregaento co correntes quadradas) Figura 4.54 Cogging torque e carga no estudo de caso 3 (carregaento co correntes quadradas) Figura 4.55 Fora de onda e aplitude das correntes constantes Figura 4.56 Torque eletroagnético na áquina do estudo de caso 1 (carregaento co correntes constantes) Figura 4.57 Torque eletroagnético na áquina do estudo de caso 2 (carregaento co correntes constantes) Figura 4.58 Torque eletroagnético na áquina do estudo de caso 3 (carregaento co correntes constantes) Figura 4.59 Cogging torque e carga no estudo de caso 1 (carregaento co correntes constantes) Figura 4.60 Cogging torque e carga no estudo de caso 2 (carregaento co correntes constante) Figura 4.61 Cogging torque e carga no estudo de caso 3 (carregaento co correntes constantes) Figura 4.62 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina do caso 1 co o MPF convencional Figura 4.63 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina do caso 2 co o MPF convencional Figura 4.64 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina do caso 3 co o MPF convencional Figura 4.65 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina do caso 1 co o MPF elhorado Figura 4.66 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina do caso 2 co o MPF elhorado Figura 4.67 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina do caso 3 co o MPF elhorado Figura 4.68 Análise de u circuito elétrico fazendo analogia ao circuito agnético siplificado da áquina síncrona de íãs peranentes Figura 4.69 Curva B-H de u aterial ferroagnético hipotético após a aplicação do MPF

14 LISTA DE TABELAS Tabela 4.1 Diensões das áquinas síncronas de íãs peranentes no rotor Tabela 4.2 Valores do cogging torque (operação e vazio) Tabela 4.3 Valores do torque eletroagnético (carregaento co correntes senoidais) Tabela 4.4 Valores do cogging torque e carga (carregaento co correntes senoidais).. 36 Tabela 4.5 Valores do torque eletroagnético (carregaento co correntes quadradas) Tabela 4.6 Valores do cogging torque e carga (carregaento co correntes quadradas). 39 Tabela 4.7 Valores do cogging torque (operação e vazio) Tabela 4.8 Valores do torque eletroagnético (carregaento co correntes senoidais) Tabela 4.9 Valores do cogging torque e carga (carregaento co correntes senoidais).. 44 Tabela 4.10 Valores do torque eletroagnético (carregaento co correntes quadradas).. 46 Tabela 4.11 Valores do cogging torque e carga (carregaento co correntes quadradas) Tabela 4.12 Valores do cogging torque (operação e vazio) Tabela 4.13 Valores do torque eletroagnético (carregaento co correntes senoidais) Tabela 4.14 Valores do cogging torque e carga (carregaento co correntes senoidais).53 Tabela 4.15 Valores do torque eletroagnético (carregaento co correntes quadradas).. 56 Tabela 4.16 Valores do cogging torque e carga (carregaento co correntes quadradas)

15 SUMÁRIO CAPÍTULO INTRODUÇÃO Considerações Iniciais Objetivos Organização da Dissertação... 5 CAPÍTULO MÉTODO DA PERMEABILIDADE FIXA Método da Pereabilidade Fixa Método da Pereabilidade Fixa Melhorado CAPÍTULO TORQUE ELETROMAGNÉTICO E O CÁLCULO DO COGGING TORQUE Definição e Forulação do Torque Eletroagnético Torque Mútuo Torque de Relutância Cogging Torque Método dos Tensores de Maxwell Método do Trabalho Virtual Método de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu CAPÍTULO ESTUDOS DE CASOS Introdução Análise do Caso Condição e Vazio (0 A) Condição e Carregaento (Correntes Senoidais) Condição e Carregaento (Correntes Quadradas) Análise do Caso Condição e Vazio (0 A) Condição e Carregaento (Correntes Senoidais) Condição e Carregaento (Correntes Quadradas)... 45

16 4.4 Análise do Caso Condição e Vazio (0 A) Condição e Carregaento (Correntes Senoidais) Condição e Carregaento (Correntes Quadradas) Discussão dos Resultados CAPÍTULO CONCLUSÕES Considerações Finais REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...88 APÊNDICE A ALGORITMOS DAS SIMULAÇÕES...93 A.1 Siulação e Vazio...93 A.2 Siulação e Carga Correntes Senoidais...95 A.3 Siulação e Carga Correntes Quadradas...100

17 1 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1.1 Considerações Iniciais As áquinas elétricas são conversores eletroecânicos de energia, ou seja, são dispositivos capazes de proover transforações de energia ecânica e energia elétrica e vice-versa (FITZGERALD, 2006). Atualente, constitue parte da vida do hoe, sendo presentes e diversas aplicações, seja elas residenciais, coerciais ou industriais (PAULA, 2016). Pode-se destacar seu uso e veículos de transporte, e aparelhos eletrodoésticos e eletrônicos, na indústria, e ainda na geração de energia elétrica (CHAPMAN, 2013; KOSOW, 1982). Co o avanço tecnológico dos ateriais agnéticos, ais especificaente dos íãs de ferrite e de terras raras, e o desenvolviento dos circuitos eletrônicos responsáveis por seu acionaento, os otores síncronos de íãs peranentes no rotor vê ganhando destaque dentre os otores elétricos e são referidos frequenteente por otores se escovas (brushless) de íãs peranentes ou apenas por otores síncronos de íãs peranentes (HANSELMAN, 1994; TEIXEIRA, 2006). E linhas gerais, estas áquinas possue a capacidade de produzir torque através da interação entre o capo agnético produzido pelas correntes que circula nas bobinas do estator e o capo agnético produzido pelos íãs do rotor (FITZGERALD, 2006; PERRINE, 2000). Os otores síncronos de íãs peranentes pode ser classificados co relação à fora de onda da força contra eletrootriz (back-emf) e duas categorias: otores brushless AC (do inglês alternating current que significa corrente alternada) que apresenta back-emf co fora de onda senoidal e otores brushless DC (do inglês direct current que significa corrente contínua) que apresenta back-emf co fora de onda não-senoidal, tabé conhecidos por otores BLAC e BLDC, respectivaente. De u odo geral, a fora de onda não-senoidal ais couente encontrada se asseelha a u trapézio (HENDERSHOT; MILLER, 1994; PRADO, 2016). Abos os tipos de otores, BLAC e BLDC, não pode ser conectados diretaente à rede elétrica de alientação e necessita de u conversor para seu acionaento, este que pode ser realizado por correntes de fase defasadas entre si e 120 elétricos, para os otores trifásicos, ou 180 elétricos, para os otores bifásicos (MILLER, 1989; SCHMITZ, 2017).

18 2 Os otores síncronos coparados a outros tipos de áquinas elétricas, apresenta duas grandes vantagens: Alta eficiência: dada principalente e razão deste tipo de áquina não apresentar perdas ôhicas no circuito do rotor e tabé pela ausência de escovas, anéis coletores ou coutadores ecânicos, características estas que pode tornar sua fabricação e anutenção ais siples (KRAUSE, 2013; PAULA, 2016). Alta densidade de energia: decorrente de íãs de terras raras ou de topologias de rotor que perite a aior densidade de fluxo agnético no entreferro utilizando íãs de ferrite, o que garante altos valores de torque/corrente e torque/volue (KRAUSE, 2013; PAULA, 2016). Por ais que os otores síncronos de íãs peranentes apresente as vantagens citadas, seu projeto ainda requer u cuidado especial. De acordo co Paula (2016), estas áquinas possue alguas características intrínsecas que atua diretaente na robustez, confiabilidade, eficiência e eficácia de sua operação. Tais características estão associadas à fora de onda do fluxo concatenado por fase e consequenteente à fora de onda da força contra eletrootriz; à fora de onda da indutância e sua respectiva variação o que resulta no torque de relutância; e à fora de onda e aplitude do torque de borda (cogging torque). Ua vez que o núcleo dessas áquinas é coposto por aterial ferroagnético e apresenta u coportaento não linear, seus parâetros pode ser influenciados por u fenôeno físico denoinado saturação agnética, caracterizado pelo auento da intensidade de capo agnético co pequenos increentos na densidade de fluxo agnético do otor (PAULA, 2013). A investigação dos efeitos da saturação e do acionaento sobre as áquinas síncronas de íãs peranentes te sido destaque e diversos estudos, entre eles pode-se destacar os trabalhos desenvolvidos por Sung e Park (2011), Azar e Zhu (2012), Zarate e Escalada (2017), Paula e Aleida (2018). O torque eletroagnético é a grandeza de aior relevância para qualquer otor. Co base no potencial que esta áquina te para produzi-lo, define-se a aplicabilidade e a capacidade de carga ecânica da esa (HENDERSHOT; MILLER, 1994). Tanto as características intrínsecas do otor síncrono de íãs peranentes coo a qualidade do sistea de acionaento elétrico epregado influencia no torque produzido, ou seja, no quão suave e se oscilações pode ser a sua fora de onda (CONCER, 2008). De odo geral, a coposição do torque eletroagnético nas áquinas síncronas de íãs peranentes é dada pela contribuição de três parcelas be definidas: o torque útuo e os torques de relutância associados às bobinas e aos íãs peranentes, sendo estes dois últios

19 3 conhecidos respectivaente por torque de relutância e cogging torque. O prieiro tero é responsável por produzir a aior parte do torque desejado no eixo do otor e co isso deve ser axiizado no projeto, enquanto que os dois últios são uitas vezes considerados torques parasitas e deve ser iniizados (RUWER, 2015). Independente da topologia adotada para o projeto da áquina o cogging torque se faz presente e é indesejado por gerar vibração, ruído acústico e oscilações no torque eletroagnético (MIYAMASU; AKATSU, 2011). Durante o projeto dos otores síncronos de íãs peranentes a iportância dada a ua ou ais de suas características intrínsecas depende da topologia adotada e da aplicação desejada para estas áquinas. Dentre as topologias possíveis, destaca-se: as de íãs ontados na superfície do rotor, as de íãs sei-enterrados no rotor, as de íãs enterrados transversalente e as de íãs enterrados longitudinalente, ilustradas na Figura 1.1 (CHAU; CHAN, 2008). Figura 1.1 Topologia de áquinas síncronas de íãs peranentes no rotor. (a) Íãs ontados na superfície do rotor. (b) Íãs sei-enterrados no rotor. (c) Íãs enterrados transversalente. (d) Íãs enterrados longitudinalente. Fonte: (CHAU; CHAN, 2008). Ua das principais etas de projeto de ua áquina síncrona de íãs peranentes no rotor é que a esa seja capaz de produzir u torque co valores ínios de oscilações, a fi de iniizar perdas eletroagnéticas e desgastes ecânicos. Neste sentido, inúeros trabalhos te sido desenvolvidos, ora para aperfeiçoar o projeto, ora para encontrar e entender as origens das oscilações no torque para elhorias no projeto e controle da áquina, entre eles pode-se destacar: Li e Sleon (1988), Hanselan (1997), Zhu e Howe (2000), Bianchi e

20 4 Bolognani (2002), Koh e Seol (2003), Zhu e Howe (2003), Isla e Sebastian (2004), Lukaniszyn e Jagiela (2004), Lateb e Takorabet (2006), Aydin e Zhu (2007), Dosiek e Pillay (2007), Zhu e Chen (2008), Zhu e Jiang (2009), Pang e Zhu (2011), Jang e Park (2011), Dorrel e Popescu (2011). A aioria deles estão interessados na áquina e vazio, onde a única parcela de torque existente é o cogging torque e a influência da saturação agnética devido à carga é negligenciada. O cogging torque e vazio pode ser calculado por vários étodos, coo o Método dos Tensores de Maxwell e o Método do Trabalho Virtual, o que perite o desenvolviento de diversas técnicas co o intuito de reduzi-lo. No entanto, as oscilações no torque eletroagnético co a áquina e carga são uito ais coplexas coparadas às oscilações no torque co a áquina e vazio (CHU; ZHU, 2013a). Neste contexto, para os processos de controle e projeto desses otores, é de grande valia a separação do torque eletroagnético e a análise de cada ua de suas parcelas, dada ua condição de operação, para verificar coo cada ua delas está se coportando e assi possibilitar a alteração de parâetros do projeto e/ou do controlador da áquina para se conseguir diinuir os efeitos negativos que cada parcela pode estar introduzindo e consequenteente reduzir as oscilações no torque total. O étodo ais eficiente e difundido para a separação do torque eletroagnético co a áquina e carga foi publicado e 1998 (BIANCHI; BOLOGNANI, 1998), sendo conhecido por Método da Pereabilidade Fixa (Frozen Pereability Method). Avaliações do étodo e sugestões de elhorias são desenvolvidas a fi de torná-lo ais robusto, coo proposto e Chu e Zhu (2013a). Associados ao Método dos Eleentos Finitos (MEF) e ao Método da Pereabilidade Fixa (MPF) destaca-se no eio científico alguns étodos para o cálculo do cogging torque e carga nas áquinas síncronas de íãs peranentes no rotor, coo o Método dos Tensores de Maxwell e o Método do Trabalho Virtual. U outro étodo que ve ganhando destaque nos últios anos é apresentado e Chu e Zhu (2013a) e te sido bastante referenciado, coo por exeplo e Abbaszadeh e Ala (2011), Fei e Luk (2014), Chai e Liang (2015), Li e Zhu (2016), Kuar e Ravagan (2017). Ebora os étodos citados seja be difundidos, os esos apresenta indícios de sere inadequados na obtenção do cogging torque e carga para qualquer caso de acionaento ou topologia de áquina. Portanto, o presente trabalho te coo objetivo analisar estes étodos, verificar a validade de cada u deles para diferentes topologias de rotor e foras de acionaento, o que ainda não é encontrado na literatura especializada, e averiguar qual é o ais apropriado para o cálculo do cogging torque e carga nas áquinas síncronas de íãs peranentes no rotor. As investigações são conduzidas toando por base três áquinas de topologias diferentes (íãs sei-enterrados no rotor, íãs

21 5 enterrados longitudinalente no rotor e íãs ontados na superfície do rotor), abas alientadas por correntes senoidais e quadradas defasadas entre si e 120 elétricos, aplitude de 4 e 3,6363 apères, respectivaente, o que sugere níveis de carregaento eletroagnético próxios, já que apresenta o eso valor para o prieiro harônico da corrente, e ângulo de avanço da corrente de fase de 30. Todas as siulações são realizadas co o auxílio do FEMM (Finite Eleent Method Magnetics), software aplicado na ipleentação do MEF e do MPF. 1.2 Objetivos Co base no exposto, o objetivo principal do presente trabalho é verificar dentre os étodos citados (Método dos Tensores de Maxwell, Método do Trabalho Virtual e étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu), qual deles é o ais apropriado, cobinado ao Método dos Eleentos Finitos e ao Método da Pereabilidade Fixa, para calcular o cogging torque e carga nas áquinas síncronas de íãs peranentes no rotor. Coo objetivos secundários, te-se: Obter o cogging torque e carga através do Método dos Tensores de Maxwell. Obter o cogging torque e carga através do Método do Trabalho Virtual. Obter o cogging torque e carga através do étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu. Coparar os resultados obtidos e cada étodo ipleentado para topologias e acionaentos distintos da áquina síncrona de íãs peranentes no rotor. 1.3 Organização da Dissertação O presente trabalho encontra-se estruturado e 05 capítulos, descritos a seguir: Capítulo 1 Apresenta a introdução de conceitos vistos neste trabalho e aponta as principais otivações e objetivos para seu desenvolviento. Capítulo 2 Apresenta a fundaentação teórica sobre o Método da Pereabilidade Fixa convencional e o Método da Pereabilidade Fixa elhorado proposto e Chu e Zhu (2013a), be coo são realizadas suas ipleentações e siulações e eleentos finitos.

22 6 Capítulo 3 Apresenta a definição e a forulação do torque eletroagnético nas áquinas síncronas de íãs peranentes no rotor, be coo de suas parcelas, e a fundaentação teórica sobre o Método dos Tensores de Maxwell, o Método do Trabalho Virtual e o étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu para o cálculo do cogging torque. Capítulo 4 Apresenta três estudos de casos para a análise do Método dos Tensores de Maxwell, do Método do Trabalho Virtual e do étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu, cobinados ao Método dos Eleentos Finitos (MEF) e ao Método da Pereabilidade Fixa (MPF), no cálculo do cogging torque e carga nas áquinas síncronas de íãs peranentes no rotor. Capítulo 5 Apresenta as considerações finais referentes aos resultados obtidos neste trabalho e as sugestões para projetos futuros.

23 7 CAPÍTULO 2 MÉTODO DA PERMEABILIDADE FIXA 2.1 Método da Pereabilidade Fixa E linhas gerais, o Método da Pereabilidade Fixa (MPF) propõe a linearização da curva de agnetização de ateriais ferroagnéticos não lineares co base na fixação da pereabilidade calculada no ponto de operação dos esos quando subetidos a ua carga eletroagnética. Co isso, o MPF perite a aplicação do teorea da sobreposição de fontes para analisar a contribuição de cada ua das fontes de fluxo agnético sobre o aterial (PAULA, 2016). A Figura 2.1 exeplifica a linearização proposta pelo MPF aplicada à curva de agnetização de u aterial ferroagnético hipotético. Figura 2.1 Curva característica de agnetização e principais pontos de interesse para o MPF. Fonte: Adaptado de Chu e Zhu (2013a). Se a linearização proposta pelo MPF, pode-se observar na Figura 2.1 que soente co a excitação dos íãs (ponto B), a densidade de fluxo agnético resultante é B PM e a intensidade de capo agnético resultante é H PM. Soente co a excitação das correntes (ponto C), a densidade de fluxo agnético resultante é resultante é B i e a intensidade de capo agnético H i. Quando está e carga (ponto A), o aterial encontra-se excitado pelas duas

24 fontes de fluxo agnético, íãs e correntes, e co isso HOP HPM Hi, poré BOP BPM Bi. Neste caso H OP é a intensidade de capo agnético de excitação resultante e B OP é a densidade de fluxo agnético resultante, abos do ponto de operação do aterial e carga (CHU; ZHU, 2013a). Co o aterial da Figura 2.1 na condição de carregaento (ponto A) e a linearização proposta pelo MPF, a pereabilidade relativa e carga OP é prieiraente obtida por eio do MEF, fixada e salva. E seguida, duas análises lineares são realizadas baseadas na pereabilidade fixa OP, ua delas co a excitação dos íãs (ponto D) para se obter a densidade de fluxo agnético B FP, PM e a outra co a excitação das correntes (ponto E) para se obter a densidade de fluxo agnético B FP, i. Ua vez que o problea não linear foi 8 convertido e u problea linear, fixada a pereabilidade OP, te-se que HOP HPM Hi e BOP B, B FP PM FP, i (CHU; ZHU, 2013a). Para deonstrar que a linearização proposta pelo Método da Pereabilidade Fixa funciona e perite a aplicação do teorea da sobreposição de fontes, a Figura 2.2 e a Figura 2.3, abas adquiridas a partir da siulação da áquina presente e Chu e Zhu (2013b), apresenta respectivaente as coponentes noral e tangencial da densidade de fluxo agnético no entreferro de u otor síncrono de íãs peranentes no rotor na condição de carregaento e que a aplitude da corrente de fase I a é de 4 A, o ângulo de avanço da corrente de fase é 0, e a posição angular ecânica do rotor é 0 ecânico. Figura 2.2 Coponente noral da densidade de fluxo agnético no entreferro da áquina síncrona de íãs peranentes no rotor quando I 4 A, 0, e 0. a Densidade de Fluxo Magnético Noral (T) Total (FP,PM)+(FP,i) (FP,PM) (FP,i) Ângulo (graus ecânicos) Fonte: Adaptado de Chu e Zhu (2013b).

25 Figura 2.3 Coponente tangencial da densidade de fluxo agnético no entreferro da áquina síncrona de íãs peranentes no rotor quando I 4 A, 0, e 0. a 9 Densidade de Fluxo Magnético Tangencial (T) Total (FP,PM)+(FP,i) (FP,PM) (FP,i) Ângulo (graus ecânicos) Fonte: Adaptado de Chu e Zhu (2013b). Pode-se observar na Figura 2.2 que, para cada ponto, as coponentes noral da densidade de fluxo agnético no odelo e carga não linear (Total) são iguais ao soatório ateático das coponentes noral do odelo e carga linearizado co íãs (FP,PM) e o odelo e carga linearizado co correntes (FP,i). Tal análise é válida para qualquer outra posição do rotor e condição de carga da áquina (CHU; ZHU, 2013b). De aneira análoga, pode-se observar na Figura 2.3 que para cada ponto, as coponentes tangencial da densidade de fluxo agnético no odelo não linear (Total) são iguais ao soatório ateático das coponentes tangencial do odelo linearizado co íãs (FP,PM) co o odelo linearizado co correntes (FP,i). Esta análise tabé é válida para qualquer outra posição do rotor e condição de carga da áquina (CHU; ZHU, 2013b). No eio científico o Método da Pereabilidade Fixa (MPF), associado ao Método dos Eleentos Finitos (MEF), é reconhecido por uitos coo a aneira ais eficiente de separar apropriadaente os coponentes do torque eletroagnético e avaliar a influência da saturação agnética sobre os parâetros da áquina (PAULA, 2016). O fluxograa da Figura 2.4, adaptado de Paula (2016), resue o procediento de aplicação e siulação do MPF e ua áquina síncrona de íãs peranentes para cada posição do rotor. Na prieira etapa te-se a siulação da áquina e vazio, apresentando apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético. O objetivo desta fase é obter os valores e foras de onda do fluxo concatenado, da força contra eletrootriz e do cogging torque e vazio. Tais

26 parâetros são analisados posteriorente co a áquina e carga a fi de se investigar suas distorções e variações confore o auento do carregaento eletroagnético. 10 Figura 2.4 Aplicação do Método da Pereabilidade Fixa. Prieira etapa: siulação e vazio (apenas íãs peranentes). Segunda etapa: siulação e carga (íãs peranentes e correntes nas bobinas do estator). Terceira etapa: Método da Pereabilidade Fixa convencional (fixação e arazenaento da alha de pereabilidade relativa). Quarta etapa: siulação linear (íãs peranentes ou correntes nas bobinas do estator). Fonte: Adaptado de Paula (2016). Na segunda etapa te-se a siulação da áquina e carga aplicando os íãs e as correntes nas bobinas coo fontes de fluxo agnético. O objetivo desta fase é obter os valores e foras de onda do fluxo concatenado e do torque eletroagnético, be coo sua aplitude e frequência de oscilações. Na terceira etapa aplica-se o Método da Pereabilidade Fixa associado ao Método dos Eleentos Finitos para obtenção, fixação e arazenaento da alha de pereabilidade na siulação da áquina e carga. Co isso, o odelo linearizado e eleentos finitos pode ser gerado para análise das contribuições de cada ua das fontes de fluxo agnético. Na quarta etapa te-se a siulação linear da áquina e carga a partir de seu odelo linearizado, na qual se analisa ora a contribuição dos íãs coo fonte de fluxo agnético, ora a contribuição das correntes nas bobinas do estator coo fonte de fluxo agnético (PAULA, 2016). O objetivo da análise e que te apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético é obter os valores e foras de onda do fluxo concatenado pelas bobinas, da força contra eletrootriz e do cogging torque e carga; enquanto o objetivo da análise e que te apenas as correntes

27 11 coo fonte de fluxo agnético é obter os valores e foras de onda do fluxo produzido pelas bobinas, da indutância e do torque de relutância. E todas as etapas, a extração das coponentes noral e tangencial da densidade de fluxo agnético ao longo do entreferro, da energia agnética arazenada e da coenergia agnética são iportantes para a aplicação do Método dos Tensores de Maxwell, do Método do Trabalho Virtual e do étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu, respectivaente. 2.2 Método da Pereabilidade Fixa Melhorado Ebora o Método da Pereabilidade Fixa seja be aceito no eio científico e seja aplaente aplicado, alguas críticas persiste sobre sua ipleentação. A aior delas está associada ao cálculo da energia agnética arazenada nos ateriais ferroagnéticos após a linearização do problea. Chu e Zhu (2013a) aponta que a fora co que a linearização é conduzida provoca erros significativos no cálculo das contribuições de energia, tanto na análise que te coo fonte de fluxo agnético os íãs peranentes no rotor da áquina, coo tabé na análise que te coo fonte de fluxo agnético as correntes nas bobinas do estator. Sendo assi, a proposta de elhoria do MPF ocorre na quarta etapa do étodo, e que ao invés de se calcular a energia co base no triângulo ODG da Figura 2.5, no caso da análise co íãs, utiliza-se a área hachurada da Figura 2.6. Para isto, busca-se o ponto F na curva de agnetização do aterial ferroagnético. Figura 2.5 Área equivalente a energia agnética no Método da Pereabilidade Fixa convencional. Fonte: Adaptado de Chu e Zhu (2013a).

28 12 Figura 2.6 Área equivalente a energia agnética no Método da Pereabilidade Fixa elhorado. Fonte: Adaptado de Chu e Zhu (2013a). Desta fora, tanto no MPF elhorado coo no MPF convencional, as distribuições de fluxo agnético no odelo da áquina e carga são obtidas da esa aneira, poré co a divergência no cálculo da energia nos ateriais ferroagnéticos, coo proposto e Chu e Zhu (2013a). O fluxograa da Figura 2.7, adaptado de Chu e Zhu (2013a), resue o procediento de aplicação e siulação do Método da Pereabilidade Fixa elhorado e ua áquina síncrona de íãs peranentes para cada posição do rotor. Figura 2.7 Aplicação do Método da Pereabilidade Fixa elhorado. Prieira etapa: siulação e vazio (apenas íãs peranentes). Segunda etapa: siulação e carga (íãs peranentes e correntes nas bobinas do estator). Terceira etapa: Método da Pereabilidade Fixa elhorado (fixação e arazenaento da alha de pereabilidade relativa). Quarta etapa: iteração não-linear, cálculo da energia segundo a curva de agnetização do aterial (íãs peranentes ou correntes nas bobinas do estator). Fonte: Adaptado de Chu e Zhu (2013a).

29 13 CAPÍTULO 3 TORQUE ELETROMAGNÉTICO E O CÁLCULO DO COGGING TORQUE 3.1 Definição e Forulação do Torque Eletroagnético A partir do torque eletroagnético deterina-se a aplicabilidade e a capacidade de carga ecânica de ua áquina elétrica rotativa, o que faz dessa grandeza a de aior iportância para qualquer otor (HENDERSHOT; MILLER, 1994). Sua forulação pode ser deterinada pela variação da energia agnética arazenada W e teros de fluxo agnético ou pela variação da coenergia agnética Equações (3.1) e (3.2), respectivaente (HANSELMAN, 1994). W ' e teros de corrente elétrica, coo ostra as T EL T EL dw, (3.1) d constante dw ' i, (3.2) d iconstante (J), Note que T EL é o torque eletroagnético (N.), W é a energia agnética arazenada W ' é a coenergia (J), é a posição angular ecânica do rotor (rad), é o fluxo concatenado pelas bobinas (Wb.e) e i é a corrente elétrica (A). De acordo co Hanselan (1994), a deterinação do torque eletroagnético por eio da variação da coenergia se ostra ais favorável que sua deterinação por eio da variação da energia, isto porque tanto na prática coo e siulação é enos trabalhoso estiar e anipular corrente elétrica do que fluxo agnético. Para as áquinas síncronas de íãs peranentes no rotor, co os enrolaentos do estator conectados e estrela, a coenergia do sistea é definida pela Equação (3.3) (HANSELMAN, 1994) W ' Nilinhaíãs ilinha Llinha (3.3) íãs 2 2

30 Note que N é o núero de espiras nas bobinas, íãs é o fluxo agnético proveniente dos íãs (Wb), L linha é a indutância de linha da áquina (H) e é a relutância vista pelo circuito agnético que te coo fonte de fluxo os íãs peranentes (A.e/Wb). Substituindo-se (3.3) e (3.2), obté-se a Equação (3.4) que descreve a forulação do torque eletroagnético (HANSELMAN, 1994). 14 d 1 dl 1 d T Ni i (3.4) 2 íãs 2 linha íãs EL linha linha d 2 d 2 d Ebora seja ais conveniente forular o torque eletroagnético a partir da variação da coenergia e teros da corrente de acionaento da áquina, existe a dificuldade de deterinar o fluxo agnético proveniente dos íãs e a relutância vista pelo circuito agnético que te coo fonte de fluxo os íãs peranentes. Para solucionar este problea, recorre-se aos eios coputacionais e ao Método dos Eleentos Finitos (PAULA, 2016). Relacionando as Equações (3.4) e (3.5), pode-se observar a existência de três parcelas distintas que copõe o torque eletroagnético de ua áquina síncrona de íãs peranentes no rotor, definidas por torque útuo, torque de relutância e cogging torque (PAULA, 2016). TEL Tútuo Trelutância T (3.5) cogging Torque Mútuo A prieira parcela de (3.4), denoinada por torque útuo, refere-se ao torque produzido pelo acoplaento entre as duas fontes de fluxo agnético na áquina, os íãs peranentes no rotor e as correntes de acionaento nas bobinas do estator, sendo responsável por produzir a aior parte do torque desejado no eixo do otor (HANSELMAN, 1994). A Equação (3.6) descreve o torque útuo e função das correntes de acionaento, das forças contra eletrootrizes e da velocidade angular ecânica da áquina (PAULA, 2016). T d i e i e i e íãs A A B B C C útuo Nilinha (3.6) d

31 Note que as correntes i A, i B e i C (A) e as forças contra eletrootrizes e A, e B e e C (V) pertence as fases A, B e C da áquina, respectivaente; e ecânica do rotor (rad/s). 15 é a velocidade angular Torque de Relutância A segunda parcela de (3.4), denoinada por torque de relutância, é produzida pela variação da indutância de linha da áquina que te coo fonte de fluxo as correntes de acionaento nas bobinas do estator (HANSELMAN, 1994). Ua vez que a áquina está co seus enrolaentos do estator conectados e estrela, a Equação (3.7) descreve o torque de relutância e função da corrente de alientação e da variação da indutância de linha (PAULA, 2016). T relutância 1 2 dllinha ilinha (3.7) 2 d E alguns casos, o torque de relutância pode contribuir co o torque eletroagnético da áquina, as usualente é considerado u torque parasita (RUWER, 2015) Cogging Torque A terceira parcela de (3.4), denoinada por cogging torque, é produzida pela variação da relutância vista pelo circuito agnético que te coo fonte de fluxo os íãs peranentes no rotor (HANSELMAN, 1994). E outras palavras, essa parcela é atribuída à interação entre os íãs peranentes no rotor e as ranhuras presentes no estator da áquina (PAULA, 2016). A Equação (3.8) descreve o cogging torque e função da variação da relutância vista pelo circuito agnético e do fluxo proveniente dos íãs no rotor da áquina (PAULA, 2016). T cogging 2 1 díãs (3.8) 2 d Quando a áquina síncrona de íãs peranentes está e vazio o cogging torque te seu coportaento oscilatório deterinado de odo satisfatório, onde a frequência de oscilação, apresentada na Equação (3.9), pode ser descrita co relação ao harônico

32 16 fundaental de ua revolução elétrica do otor (CHABCHOUB; SALAH, 2012). Ainda na condição se carga, o valor édio dessa coponente de torque é igual à zero quando observado o seu ciclo copleto e se justifica pela distribuição de pereabilidade no interior da áquina que está apenas sob influência do capo agnético produzido pelos íãs, resultando e u sistea conservativo de energia (CHU; ZHU, 2013b; PAULA, 2016). MMC 2 p, NR fcogging i i (3.9) 2 Note que fcogging i é a frequência do cogging torque para o i-ézio harônico, MMC é a operação de ínio últiplo cou, 2 p é o núeros de polos da áquina, de ranhuras do estator e i é a orde do harônico. N R é o núero Quanto aior a razão entre o núero de ranhuras do estator e o núero de polos da áquina, aior é a aplitude do cogging torque (GIERAS; WING, 2002). Apesar de indesejada, essa parcela de torque é ua característica intrínseca nas áquinas síncronas de íãs peranentes capaz de gerar vibração, ruído acústico e oscilações no torque eletroagnético (CHU; ZHU, 2013a). Desde o surgiento dos prieiros otores de íãs, o principal objetivo dos estudos realizados e das técnicas desenvolvidas para a itigação dessa coponente te sido de tornar o torque total ais suave (HENDERSHOT; MILLER, 1994; PAULA, 2013). Trabalhos coo Azar e Zhu (2012) e Paula (2013) ostra que o cogging torque apresenta variações tanto na sua frequência coo na sua aplitude por estar sob os efeitos da saturação agnética no otor, o que acarreta e valores distintos coparados àqueles previstos na avaliação e vazio. Poré, seu cálculo tornou-se possível ao associar o Método dos Eleentos Finitos (MEF) e o Método da Pereabilidade Fixa (MPF) a outros étodos, coo o Método dos Tensores de Maxwell, o Método do Trabalho Virtual e o étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu, apresentados na seções seguintes. 3.2 Método dos Tensores de Maxwell Co base no Método dos Tensores de Maxwell, o torque eletroagnético de ua áquina é calculado a partir da integral das coponentes noral e tangencial da densidade de

33 fluxo agnético ao longo do entreferro, coo ostra a Equação (3.10) (DURRER, 2007; PAULA, 2016). 17 L T r B B d (3.10) 2 ef 2 EL, Maxwell n( OP) t( OP) 0 0 Note que T EL, Maxwell é o torque eletroagnético (N.), L ef é o copriento ativo do pacote de lâinas do estator (), 0 é a pereabilidade absoluta do vácuo (H/), r é raio do centro do entreferro (), B n( OP) é a coponente noral da densidade de fluxo agnético no ponto de operação da áquina (T), B t( OP) é a coponente tangencial da densidade de fluxo agnético no ponto de operação da áquina (T) e é a posição angular do ponto de leitura, no centro do entreferro, de B n( OP) e B t( OP) (rad). Co a aplicação do Método da Pereabilidade Fixa convencional na siulação da áquina síncrona de íãs peranentes na condição de carregaento, é válido afirar que: B B B (3.11) OP FP, PM FP, i Note que B OP é a densidade de fluxo agnético no ponto de operação da áquina, B FP, PM é a contribuição apenas dos íãs na distribuição de fluxo agnético total e FP, i contribuição apenas das correntes na distribuição de fluxo agnético total. B é a Coo consequência de (3.11), no que diz respeito às coponentes noral e tangencial da densidade de fluxo agnético no ponto de operação da áquina, pode-se concluir que: B B B (3.12) n( OP) n FP, PM n FP, i B B B (3.13),, t OP t FP PM t FP i Note que B nfp, PM e B tfp, PM são as coponentes noral e tangencial da densidade de fluxo agnético da contribuição dos íãs, enquanto que B nfp, i e B tfp, i são as coponentes noral e tangencial da densidade de fluxo agnético da contribuição das correntes.

34 18 Substituindo-se (3.12) e (3.13) e (3.10), é possível verificar que: L T r B B B B d (3.14) 2 ef 2 EL, Maxwell n FP, PM n FP, i t FP, PM t FP, i 0 0 Expandindo-se a Equação (3.14), te-se ainda que: 2 2 Lef L 2 ef 2 TEL, Maxwell r B, B n FP PM tfp, i d r Bn FP, ib tfp, PM d Lef L 2 ef 2 r Bn FP, ib tfp, i d r Bn FP, PM B tfp, PM d (3.15) A partir de (3.15) pode-se observar quatro parcelas distintas que copõe o torque eletroagnético da áquina: as duas prieiras são utilizadas para o cálculo do torque útuo, ua vez que estas lida co a interação entre as distribuições das densidades de fluxo agnético provenientes dos íãs no rotor e das correntes nas bobinas do estator, assi coo expresso e (3.4) e (3.6); a terceira é utilizada para o cálculo do torque de relutância, cujo resultado é obtido na quarta etapa de siulação do MPF e que se te apenas as correntes coo fonte de fluxo agnético; e a últia é utilizada para o cálculo do cogging torque, cujo resultado tabé é obtido na quarta etapa de siulação do MPF, poré, havendo apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético. Sendo assi, define-se: L L T r B B d r B B d 2 2 ef 2 ef 2 útuo, Maxwell n FP, PM t FP, i n FP, i t FP, PM (3.16) L T r B B d 2 2 (3.17) ef relutância, Maxwell 0 0 n FP, i t FP, i L T r B B d 2 2 (3.18) ef cogging, Maxwell 0 0 n FP, PM t FP, PM A precisão do Método dos Tensores de Maxwell é forteente dependente da discretização do odelo e siulação. Co isso, a alha de eleentos finitos no entreferro deve estar be refinada para a obtenção de resultados ais satisfatórios e condizentes co o funcionaento da áquina (POPESCU; DORREL, 2006).

35 Método do Trabalho Virtual Baseado no Método do Trabalho Virtual, o torque eletroagnético de ua áquina pode ser calculado a partir da variação da energia W e teros de fluxo agnético ou da coenergia W ' e teros de corrente elétrica, coo ostra as Equações (3.1) e (3.2), respectivaente (HANSELMAN, 1994). O cálculo da energia e (3.1) e da coenergia e (3.2) para cada posição angular ecânica do rotor são apresentados (POPESCU; DORREL, 2006): W V w dv (3.19) W ' w' dv (3.20) V Note que w e volue V da áquina. w ' são respectivaente as densidades de energia e coenergia e todo o Na áquina síncrona de íãs peranentes, as densidades de energia e coenergia são copostas por contribuições provenientes dos ateriais lineares (entreferro e bobinas); dos ateriais agnéticos oles (estator e rotor); e dos ateriais agnéticos duros (íãs); coo se segue (POPESCU; DORREL, 2006): w w w w (3.21) ateriais _ lineares ateriais _ agnéticos _ oles ateriais _ agnéticos _ duros w' w' w' w' (3.22) ateriais _ lineares ateriais _ agnéticos _ oles ateriais _ agnéticos _ duros As densidades de energia e coenergia nos ateriais lineares, calculadas a partir da curva B-H da Figura 3.1 (a), são dadas por (POPESCU; DORREL, 2006): 1 wentreferro w' entreferro BOP H (3.23) OP 2 Note que B OP é a densidade de fluxo agnético no ponto de operação do aterial (T) e H OP é a intensidade de capo agnético no ponto de operação do aterial (A.e/).

36 20 Figura 3.1 Densidades de energia e coenergia e diversos ateriais. (a) Materiais lineares. (b) Materiais agnéticos oles. (c) Materiais agnéticos duros. Fonte: Adaptado de Popescu e Dorrel (2006).

37 As densidades de energia e coenergia nos ateriais agnéticos oles, calculadas a partir da curva B-H da Figura 3.1 (b), são dadas por (POPESCU; DORREL, 2006): 21 w ateriais _ agnéticos _ oles B OP HdB (3.24) 0 w' ateriais _ agnéticos _ oles H OP BdH (3.25) 0 E por fi, as densidades de energia e coenergia nos ateriais agnéticos duros, calculadas a partir da Figura 3.1 (c), onde Hc 0 e H 0, são dadas por (POPESCU; DORREL, 2006): OP w ateriais _ agnéticos _ duros HOP Br BOP (3.26) 2 w' ateriais _ agnéticos _ duros BOP HOP Hc (3.27) 2 Note que B r é a densidade reanescente de fluxo agnético (T) e do aterial agnético duro (A.e/). H c é a coercitividade De acordo co Chang e Eastha (1989) e Popescu e Dorrel (2006), as Equações (3.1) e (3.2) pode ser reescritas coo: T EL, Virtual W W2 W1 constante 2 1 constante (3.28) T EL, Virtual W ' W ' W ' 2 1 iconstante 2 1 iconstante (3.29) W 1, 1 Note que os subscritos 1 e 2 refere-se as duas soluções consecutivas da áquina, onde W ' e 1 são a energia, a coenergia e a posição angular ecânica do rotor referentes ao passo atual; W 2, W ' e 2 2 são a energia, a coenergia e a posição angular ecânica do rotor referentes ao passo posterior; e é o increento na posição angular ecânica do rotor.

38 Dessa fora, para o cálculo do torque segundo a energia, W 1 e W 2 são obtidos antendo-se o fluxo constante, isto é, o fluxo peranece igual para 1 e Já para o cálculo do torque segundo a coenergia, W ' e 1 W ' 2 são obtidos antendo-se a corrente constante, isto é, a corrente peranece igual para 1 e 2. Ua desvantage apresentada pelo Método do Trabalho Virtual está associada à necessidade de u procediento de tentativa e erro para selecionar u valor adequado de increento na posição angular ecânica do rotor,. Se de energia, ou coenergia, será insuficiente para o cálculo do torque; e se for uito pequeno, a variação for uito grande, o valor do torque calculado não será preciso para a posição especificada (POPESCU; DORREL, 2006). Sabendo-se que W in é a energia de entrada da áquina e desprezando-se as perdas no sistea, a Equação (3.30) e (3.31) fundaenta-se no princípio da conservação de energia (STRAHAN, 1998). Win W W ' (3.30) W ' W W (3.31) in Então, aplicando-se o Método do Trabalho Virtual e (3.31), pode-se afirar que (STRAHAN, 1998): T EL, Virtual dw ' dwin dw (3.32) d d d iconstante iconstante iconstante Segundo Strahan (1998), Chu e Zhu (2013b) e Zarate e Escalada (2017), para u deslocaento rotacional d na áquina síncrona de íãs peranentes e vazio, onde i 0 e consequenteente Win 0, o cogging torque pode ser calculado a partir de (3.32) e é ostrado na Equação (3.33). T cogging ( vazio), Virtual dw ' vazio dw vazio (3.33) d d iconstante iconstante

39 23 Já na siulação da áquina e condição de carregaento, aplicando-se o Método da Pereabilidade Fixa, te-se a análise e que os íãs são a única fonte de fluxo agnético (FP,PM), onde i 0 e, teoricaente, W 0. No entanto, o estudo do balanço de energia e in u sistea epregando-se o MPF, convencional ou elhorado, ainda não foi deonstrado ou verificado na literatura. Portanto, faz-se necessário exainar a Equação (3.34). dw ' dw, in, dw FP PM FP PM FP, PM (3.34) d d d iconstante iconstante iconstante Após a aplicação do MPF convencional, de acordo co Strahan (1998), Popescu e Miller (2005), Chu e Zhu (2013b) e Zarate e Escalada (2017), ipleentando-se a siulação linear e que se te apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético e co base no Método do Trabalho Virtual, o cogging torque e carga da áquina síncrona de íãs peranentes pode ser calculado a partir da variação da energia agnética arazenada ou segundo a variação da coenergia agnética, coo pode ser visto na Equação (3.35) e (3.36), respectivaente. T cogging, Virtual dw FP, PM (3.35) d iconstante T cogging, Virtual dw ' FP, PM (3.36) d iconstante Assi coo no caso da áquina e vazio, espera-se que o resultado da Equação (3.35) seja igual ao resultado obtido por eio da Equação (3.36), respeitando o princípio da conservação de energia. Portanto, aplicando-se o MPF convencional, é fundaental analisar e coparar as duas foras de cálculo do cogging torque e carga apresentadas e (3.35) e (3.36), estas que relacionadas às Equações (3.28) e (3.29) pode ser reescritas coo: T cogging, Virtual W W W FP, PM 2FP, PM 1FP, PM iconstante 2 1 iconstante (3.37) T cogging, Virtual W ' W ' W ' FP, PM 2FP, PM 1FP, PM iconstante 2 1 iconstante (3.38)

40 24 Note que o subscrito FP, PM se refere a análise realizada co a aplicação do MPF onde se te apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético na áquina e carga; W 1 FP, PM e W são a energia e a coenergia referentes ao passo atual da siulação; e W 2 e W ' são 2 ' 1 FP, PM a energia e coenergia referentes ao passo posterior da siulação. A ipleentação do Método do Trabalho Virtual para a deterinação do torque requer o cálculo ais preciso possível da energia ou da coenergia no sistea. Portanto, faz-se necessário refinar a alha de toda a área analisada da áquina, especialente nas áreas onde há grandes variações na densidade de fluxo agnético (POPESCU; DORREL, 2006). 3.4 Método de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu O étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu para o cálculo do cogging torque na áquina síncrona de íãs peranentes e carga é baseado no Método do Trabalho Virtual e no Método da Pereabilidade Fixa. Para fundaentar seus estudos, Chu e Zhu (2013b) parte da análise da Equação (3.32), a respeito do princípio da conservação de energia, e da Equação (3.39) que, segundo os autores, caracteriza a variação da energia de entrada no sistea. dwin, ZHU 3 d d d q pi I I I d 2 de de d q d q q d (3.39) Note que p é o núero de pares de polos; I d e I q são as correntes nos eixos d e q (A); d e q são os fluxos concatenados nos eixos d e q (Wb.e); e e é a posição angular elétrica do rotor (rad). Na avaliação da áquina síncrona de íãs peranentes, Chu e Zhu (2013b) substitui d (3.39) e (3.32) e afira que, q e e e dw d não contribue para o cálculo do valor édio do torque eletroagnético, coo descreve a Equação (3.40) baseada no odelo clássico dq0. 3 Tdq 0, ZHU pd Iq qid (3.40) 2

41 De acordo co Chu e Zhu (2013b), os fluxos concatenados dos eixos d e q são descritos na Equação (3.41) e (3.42), respectivaente. Lebrando que os resultados de d e q são obtidos a partir das siulações utilizando-se o MEF e o MPF. 25 (3.41) d d PM d i (3.42) q q PM q i Note que dpm e qpm são os fluxos concatenados dos eixos d e q que tê os íãs coo fonte de fluxo agnético, enquanto que di e qi são os fluxos concatenados dos eixos d e q que tê as correntes nas bobinas coo fonte de fluxo agnético. Substituindo-se (3.41) e (3.42) e (3.40), te-se que (CHU; ZHU, 2013b): 3 Tdq 0, ZHU p Iq I d Iq I d 2 dpm qpm di qi (3.43) A partir de (3.43), Chu e Zhu (2013b) conclui quanto aos valores édios de cada parcela do torque eletroagnético da áquina síncrona de íãs peranentes: 3 T p útuo édio, Zhu dpm Iq qpm I d 2 (3.44) 3 T p relutância édio, Zhu diiq qii d 2 (3.45) T 0 cogging édio, Zhu (3.46) No entanto, deve notar-se que (3.44), (3.45) e (3.46) são diferentes do torque útuo, do torque de relutância e do cogging torque da áquina e carga, respectivaente, ua vez que suas ondulações são iprecisas. Portanto, são apenas adequadas para a avaliação do torque édio, as não para a sua fora de onda ou para as suas ondulações (CHU; ZHU, 2013b). Após a aplicação do Método da Pereabilidade Fixa na áquina síncronas de íãs peranentes e carga para o cálculo do cogging torque, Chu e Zhu (2013b) conclui que a siulação da áquina e que se te apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético se

42 26 asseelha a siulação e que a áquina está e vazio, por não haver corrente elétrica circulando nas bobinas do estator, tapouco energia de entrada no sistea; e afira ainda que o cogging torque nesta condição deve apresentar valor édio igual a zero. Dado que o Método da Pereabilidade Fixa prioriza a distribuição dos fluxos agnéticos no interior do otor e o Método do Trabalho Virtual requer o cálculo ais preciso possível da energia ou da coenergia no sistea, Chu e Zhu (2013a) propõe o MPF elhorado para o cálculo do cogging torque e carga na áquina síncrona de íãs peranentes segundo a variação da energia agnética arazenada, coo é apresentado na Equação (3.47). T cogging, Zhu dw FP, PM (3.47) d iconstante Durante a aplicação do MPF elhorado e que se te apenas a contribuição dos íãs coo fonte de fluxo agnético presue-se que o torque existente na áquina é o cogging torque e carga. Sendo assi, seu cálculo segundo a variação da coenergia é apresentado na Equação (3.48). T cogging, Zhu dw ' FP, PM (3.48) d iconstante Assi coo no caso da áquina e vazio, espera-se que o resultado da Equação (3.47) seja igual ao resultado obtido por eio da Equação (3.48), respeitando o princípio da conservação de energia, sendo que a veracidade desta condição ainda não foi verificada na literatura. Portanto, aplicando-se o MPF elhorado, faz-se necessário avaliar e coparar as duas foras de cálculo do cogging torque e carga descritas e (3.47) e (3.48), estas que relacionadas às Equações (3.28) e (3.29) pode ser reescritas coo: T cogging, Zhu W W W FP, PM 2FP, PM 1FP, PM iconstante 2 1 iconstante (3.49) T cogging, Zhu W ' W ' W ' FP, PM 2FP, PM 1FP, PM iconstante 2 1 iconstante (3.50)

43 27 Ainda de acordo co Chu e Zhu (2013a), as discussões e conclusões de seu estudo são igualente aplicáveis para qualquer outro tipo de áquina elétrica. No entanto, a avaliação foi realizada co apenas u tipo de áquina síncrona de íãs peranentes co fora de onda da força contra eletrootriz senoidal, onde o acionaento é efetuado co correntes puraente senoidais e a topologia adotada é a de íãs sei-enterrados no rotor.

44 28 CAPÍTULO 4 ESTUDOS DE CASOS 4.1 Introdução O presente capítulo apresenta a avaliação de três estudos de casos, ilustrados na Figura 4.1, para a análise do Método dos Tensores de Maxwell, do Método do Trabalho Virtual e do étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu, cobinados ao Método dos Eleentos Finitos (MEF) e ao Método da Pereabilidade Fixa (MPF), no cálculo do cogging torque e carga nas áquinas síncronas de íãs peranentes no rotor. Todas as siulações conduzidas neste trabalho são realizadas co o auxílio do FEMM (Finite Eleent Method Magnetics), software aplicado na ipleentação do MEF e do MPF. Figura 4.1 Estudos de casos da áquina síncrona de íãs peranentes no rotor.. (a) Caso 1 Máquina síncrona co íãs sei-enterrados no rotor. (b) Caso 2 Máquina síncrona co íãs enterrados longitudinalente. (c) Caso 3 Máquina síncrona co íãs ontados na superfície do rotor. Os três estudos de casos referentes às diferentes topologias da áquina síncrona de íãs peranentes são descritos a seguir: Caso 1: A prieira áquina e estudo, tabé analisada e Chu e Zhu (2013a) e Chu e Zhu (2013b), é ua topologia de áquina síncrona co íãs sei-enterrados no rotor. Caso 2: A segunda áquina e estudo é u odelo disponível no Laboratório de Máquinas Elétricas da Escola de Engenharia Elétrica, Mecânica e de Coputação

45 29 (EMC) da Universidade Federal de Goiás (UFG), sendo ua topologia de áquina síncrona co íãs enterrados longitudinalente. Caso 3: A terceira áquina e estudo é u odelo disponível no Laboratório de Controle e Eletrônica de Potência (LACEP) do Departaento de Engenharia Elétrica da Universidade de São Paulo (USP), sendo ua topologia de áquina síncrona co íãs ontados na superfície do rotor. As principais diensões das áquinas apresentadas e cada u dos estudos de casos são descritas na Tabela 4.1. Deve-se levar e consideração que os casos analisados não apresenta inclinação no pacote de lâinas do estator (skewing slot), contribuindo, portanto, para a presença do cogging torque nas áquinas e estudo. Tabela 4.1 Diensões das áquinas síncronas de íãs peranentes no rotor. Parâetros Diensões Caso 1 Caso 2 Caso 3 Núero de ranhuras Núero de polos Profundidade Diâetro externo do estator ,6 Diâetro interno do estator Espessura da carcaça do estator 6,8 22,9 14,35 Copriento do entreferro 0,75 1 1,35 Diâetro externo do rotor 60, ,3 Largura do dente 5 8,16 3,52 Abertura da ranhura 2,3 2,2 2,15 Diâetro do eixo 24, Espessura da ponta da sapata do dente Espessura do íã 3,25 8,3 7,6 Tipo do íã NdFeB NdFeB NdFeB As siulações no presente trabalho são realizadas co o auxílio do FEMM (Finite Eleent Method Magnetics), software aplicado na ipleentação do MEF, do MPF convencional e do MPF elhorado. Sua escolha baseou-se no fato de ser u software livre, distribuído gratuitaente, e que perite a autoatização de seus processos de siulação por eio de scripts fundaentados na linguage LUA. Alé disso, ele perite a inclusão e edição dos ateriais utilizados nas siulações e o refinaento das alhas de eleentos finitos de fora independente e cada aterial. Para todos os casos, as áquinas são alientadas por correntes senoidais e quadradas defasadas entre si e 120 elétricos, aplitude de 4 e 3,6363 apères, respectivaente, o que

46 30 sugere níveis de carregaento eletroagnético próxios, já que apresenta o eso valor para o prieiro harônico da corrente, e ângulo de avanço da corrente de fase de 30, ver Figura 4.2 e Figura 4.3. O cálculo do cogging torque e carga é conduzido coo segue: Siulação da áquina na condição de carga no FEMM para ipleentação do MEF e do MPF convencional. Extração das coponentes noral e tangencial da densidade de fluxo agnético ao longo do entreferro a partir da siulação linear e que se te apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético para aplicação do Método dos Tensores de Maxwell, coo é visto e (3.18). Extração dos valores de energia e coenergia agnética na áquina para cada posição do rotor a partir da siulação linear e que se te apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético para aplicação do Método do Trabalho Virtual, coo é visto e (3.35) e (3.36), respectivaente. Siulação da áquina na condição de carga no FEMM para ipleentação do MEF e do MPF elhorado. Extração dos valores de energia e coenergia agnética na áquina para cada posição do rotor a partir da siulação linear e que se te apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético para aplicação do étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu, coo é visto e (3.47) e (3.48), respectivaente. Figura 4.2 Fora de onda e aplitude das correntes senoidais (4 A). Corrente (A) Corrente Fase A Corrente Fase B Corrente Fase C Posição do Rotor (graus elétricos)

47 31 Figura 4.3 Fora de onda e aplitude das correntes quadradas (3,6363 A). Corrente (A) Corrente Fase A Corrente Fase B Corrente Fase C Posição do Rotor (graus elétricos) Para todos os estudos de casos são apresentados os seguintes dados nas subseções a seguir: Condição e vazio (0 A): a distribuição de pereabilidade na áquina; e o cogging torque calculado a partir do Método dos Tensores de Maxwell e do Método do Trabalho Virtual, cobinados ao Método dos Eleentos Finitos. Condição e carregaento (correntes senoidais e quadradas): a distribuição de pereabilidade na áquina; o torque eletroagnético; e o cogging torque calculado a partir do Método dos Tensores de Maxwell, do Método do Trabalho Virtual e do étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu, cobinados ao Método dos Eleentos Finitos e ao Método da Pereabilidade Fixa. 4.2 Análise do Caso 1 Análise do estudo de caso 1 referente à áquina síncrona de íãs peranentes seienterrados no rotor Condição e Vazio (0 A) Na condição de operação e vazio a Figura 4.4 apresenta a distribuição de pereabilidade no interior da áquina obtida na posição angular ecânica do rotor 0. Nota-se que a distribuição é siétrica e está apenas sob influência do capo agnético produzido pelos íãs, resultando e u sistea conservativo de energia tanto do ponto de

48 32 vista acroscópico, previsto pela Equação (3.30), quanto do ponto de vista icroscópico, decorrente do capo iposto sobre o rotor ser constante e qualquer ua de suas posições. Coo consequência, o valor édio do torque produzido no eixo da áquina é zero quando observado o seu ciclo copleto. Figura 4.4 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (operação e vazio). Na Figura 4.5 o cogging torque e vazio é obtido a partir do Método dos Tensores de Maxwell e do Método do Trabalho Virtual, associados ao Método dos Eleentos Finitos. Notase que as foras de onda apresentadas pelos dois étodos são idênticas, evidenciando que a alha do entreferro da siulação está be refinada. Por eio da Equação (3.9) é esperado coo frequência fundaental o valor de 6 vezes a frequência fundaental de ua revolução elétrica. Os valores ínio, édio e áxio do cogging torque e vazio são apresentados na Tabela 4.2.

49 33 Figura 4.5 Cogging torque (operação e vazio). Torque (N.) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Virtual) Posição do Rotor (graus elétricos) Tabela 4.2 Valores do cogging torque (operação e vazio). Método dos Tensores de Maxwell Método do Trabalho Virtual Mínio (N.) Médio (N.) Máxio (N.) -0,36 0 0,36-0,36 0 0, Condição e Carregaento (Correntes Senoidais) Na condição de operação e carga co correntes senoidais a Figura 4.6 apresenta a distribuição de pereabilidade no interior da áquina obtida na posição angular ecânica do rotor 0. Nota-se que diferenteente da condição e vazio, a distribuição é assiétrica e está sob influência do capo agnético produzido pelos íãs e do capo agnético produzido pelas correntes, resultando e u sistea conservativo de energia do ponto de vista acroscópico, previsto pela Equação (3.30), poré não conservativo do ponto de vista icroscópico, decorrente do capo iposto sobre o rotor não ser constante e qualquer ua de suas posições. Coo consequência, o valor édio do torque produzido no eixo da áquina é diferente de zero quando observado o seu ciclo copleto. Na Figura 4.7 o torque eletroagnético para a áquina e carga é obtido a partir do Método dos Tensores de Maxwell e do Método do Trabalho Virtual associados ao Método dos Eleentos Finitos. Nota-se que as foras de onda apresentadas pelos dois étodos são idênticas, evidenciando que a alha do entreferro da siulação está be refinada. Os valores ínio, édio e áxio do torque total são apresentados na Tabela 4.3.

50 34 Figura 4.6 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (carregaento co correntes senoidais). Figura 4.7 Torque eletroagnético (carregaento co correntes senoidais). Torque (N.) Torque Eletroagnético (Maxw ell) Torque Eletroagnético (dw'/d) i=cte (Virtual) Posição do Rotor (graus elétricos)

51 35 Tabela 4.3 Valores do torque eletroagnético (carregaento co correntes senoidais). Método dos Tensores de Maxwell Método do Trabalho Virtual Mínio (N.) Médio (N.) Máxio (N.) 1,81 3,02 3,78 1,81 3,02 3,78 Na Figura 4.8 o cogging torque e carga é obtido a partir do Método dos Tensores de Maxwell, do Método do Trabalho Virtual e do étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu, associados ao Método dos Eleentos Finitos e ao Método da Pereabilidade Fixa. Os valores ínio, édio e áxio do cogging torque e carga são apresentados na Tabela 4.4. Figura 4.8 Cogging torque e carga (carregaento co correntes senoidais). Torque (N.) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Zhu) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Zhu) Posição do Rotor (graus elétricos) No estudo de caso 1 nota-se co a Figura 4.8 e a Tabela 4.4 que há ua considerável discrepância entre os resultados obtidos a partir dos étodos aplicados para o cálculo do cogging torque, tanto na fora de onda quanto na aplitude e no valor édio, co exceção para as curvas encontradas co a variação da energia agnética arazenada, onde o Método do Trabalho Virtual baseia-se no MPF convencional e o étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu baseia-se no MPF elhorado.

52 36 Tabela 4.4 Valores do cogging torque e carga (carregaento co correntes senoidais). Método dos Tensores de Maxwell Método do Trabalho Virtual (co a variação da energia) Método do Trabalho Virtual (co a variação da coenergia) Método de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu (co a variação da energia) Método de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu (co a variação da coenergia) Mínio (N.) Médio (N.) Máxio (N.) -0,88-0,58-0,33-0,51-0,15 0,04-2,16-0,93-0,25-0,36-0,11 0,10-2,41-1,38 0,85 É interessante observar que nesta etapa do Método da Pereabilidade Fixa, na qual se te apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético (FP,PM), eso não havendo correntes circulando nas bobinas das áquinas, obteve-se dw ', d dw FP PM FP, PM d, ou seja, dw d, contrariando o princípio da conservação de energia. Pode-se notar ainda in, 0 FP PM que os valores édios calculados e todos os étodos são diferentes de zero, o que leva a questionar o que é afirado e Chu e Zhu (2013b) sobre o valor édio do cogging torque na áquina síncrona de íãs peranentes na condição de carga Condição e Carregaento (Correntes Quadradas) Na condição de operação e carga co correntes quadradas a Figura 4.9 apresenta a distribuição de pereabilidade no interior da áquina obtida na posição angular ecânica do rotor 0. Nota-se que a distribuição é assiétrica e bastante seelhante àquela vista na Figura 4.6 devido aos níveis de carregaento eletroagnético próxios entre as correntes senoidais e quadradas por apresentare o eso valor para o prieiro harônico da corrente. Na Figura 4.10 o torque eletroagnético para a áquina e carga é obtido a partir do Método dos Tensores de Maxwell e do Método do Trabalho Virtual associados ao Método dos Eleentos Finitos. Nota-se que as foras de onda apresentadas pelos dois étodos são idênticas, evidenciando que a alha do entreferro da siulação está be refinada. Os valores ínio, édio e áxio do torque total são apresentados na Tabela 4.5. Pode-se observar que o valor édio do torque eletroagnético no carregaento co correntes quadradas aproxia-

53 se ao valor édio do torque eletroagnético no carregaento co correntes senoidais devido aos níveis de carregaento eletroagnético próxios. 37 Figura 4.9 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (carregaento co correntes quadradas). Figura 4.10 Torque eletroagnético (carregaento co correntes quadradas). 7 6 Torque Eletroagnético (Maxw ell) Torque Eletroagnético (dw'/d) i=cte (Virtual) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos)

54 38 Tabela 4.5 Valores do torque eletroagnético (carregaento co correntes quadradas). Método dos Tensores de Maxwell Método do Trabalho Virtual Mínio (N.) Médio (N.) Máxio (N.) 1,63 3,03 5,17 1,63 3,03 5,17 Na Figura 4.11 o cogging torque e carga é obtido a partir do Método dos Tensores de Maxwell, do Método do Trabalho Virtual e do étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu, associados ao Método dos Eleentos Finitos e ao Método da Pereabilidade Fixa. Os valores ínio, édio e áxio do cogging torque e carga são apresentados na Tabela 4.6. Assi coo no caso do torque eletroagnético, pode-se observar que os valores édios do cogging torque e carga no carregaento co correntes quadradas aproxia-se aos valores édios do cogging torque e carga no carregaento co correntes senoidais devido aos níveis de carregaento eletroagnético próxios. Figura 4.11 Cogging torque e carga (carregaento co correntes quadradas) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Zhu) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Zhu) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos) No estudo de caso 1 nota-se co a Figura 4.11 e a Tabela 4.6 que há ua considerável discrepância nas foras de onda entre os resultados obtidos a partir dos diferentes étodos aplicados para o cálculo do cogging torque e carga.

55 39 Tabela 4.6 Valores do cogging torque e carga (carregaento co correntes quadradas). Método dos Tensores de Maxwell Método do Trabalho Virtual (co a variação da energia) Método do Trabalho Virtual (co a variação da coenergia) Método de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu (co a variação da energia) Método de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu (co a variação da coenergia) Mínio (N.) Médio (N.) Máxio (N.) -0,88-0,56-0,26-0,51-0,15 0,01-2,21-0,87-0,01-0,37-0,12 0,09-2,68-1,26 0,72 É interessante observar, assi coo no carregaento co correntes senoidais, que nesta etapa do Método da Pereabilidade Fixa, na qual se te apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético (FP,PM), eso não havendo correntes circulando nas bobinas das áquinas, obteve-se dw ', d dw FP PM FP, PM d, ou seja, dwin, d 0, novaente, FP PM contrariando o princípio da conservação de energia. Pode-se notar tabé que os valores édios calculados e todos os étodos são diferentes de zero, o que reforça o questionaento quanto ao que é afirado e Chu e Zhu (2013b) sobre o valor édio do cogging torque na áquina síncrona de íãs peranentes na condição de carga. 4.3 Análise do Caso 2 Análise do estudo de caso 2 referente à áquina síncrona co íãs enterrados longitudinalente no rotor Condição e Vazio (0 A) Na condição de operação e vazio a Figura 4.12 apresenta a distribuição de pereabilidade no interior da áquina obtida na posição angular ecânica do rotor 0. Nota-se que a distribuição é siétrica e está apenas sob influência do capo agnético produzido pelos íãs, resultando e u sistea conservativo de energia tanto do ponto de vista acroscópico, previsto pela Equação (3.30), quanto do ponto de vista icroscópico,

56 40 decorrente do capo iposto sobre o rotor ser constante e qualquer ua de suas posições. Coo consequência, o valor édio do torque produzido no eixo da áquina é zero quando observado o seu ciclo copleto. Figura 4.12 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (operação e vazio). Na Figura 4.13 o cogging torque e vazio é obtido a partir do Método dos Tensores de Maxwell e do Método do Trabalho Virtual, associados ao Método dos Eleentos Finitos. Notase que as foras de onda apresentadas pelos dois étodos são idênticas, evidenciando que a alha do entreferro da siulação está be refinada. Por eio da Equação (3.9) é esperado coo frequência fundaental o valor de 12 vezes a frequência fundaental de ua revolução elétrica. Os valores ínio, édio e áxio do cogging torque e vazio são apresentados na Tabela 4.7.

57 41 Figura 4.13 Cogging torque (operação e vazio). Torque (N.) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Virtual) Posição do Rotor (graus elétricos) Tabela 4.7 Valores do cogging torque (operação e vazio). Método dos Tensores de Maxwell Método do Trabalho Virtual Mínio (N.) Médio (N.) Máxio (N.) -0,57 0 0,57-0,57 0 0, Condição e Carregaento (Correntes Senoidais) Na condição de operação e carga co correntes senoidais a Figura 4.14 apresenta a distribuição de pereabilidade no interior da áquina obtida na posição angular ecânica do rotor 0. Nota-se que diferenteente da condição e vazio, a distribuição é assiétrica e está sob influência do capo agnético produzido pelos íãs e do capo agnético produzido pelas correntes, resultando e u sistea conservativo de energia do ponto de vista acroscópico, previsto pela Equação (3.30), poré não conservativo do ponto de vista icroscópico, decorrente do capo iposto sobre o rotor não ser constante e qualquer ua de suas posições. Coo consequência, o valor édio do torque produzido no eixo da áquina é diferente de zero quando observado o seu ciclo copleto. Na Figura 4.15 o torque eletroagnético para a áquina e carga é obtido a partir do Método dos Tensores de Maxwell e do Método do Trabalho Virtual associados ao Método dos Eleentos Finitos. Nota-se que as foras de onda apresentadas pelos dois étodos são idênticas, evidenciando que a alha do entreferro da siulação está be refinada. Os valores ínio, édio e áxio do torque total são apresentados na Tabela 4.8.

58 42 Figura 4.14 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (carregaento co correntes senoidais). Figura 4.15 Torque eletroagnético (carregaento co correntes senoidais) Torque Eletroagnético (Maxw ell) Torque Eletroagnético (dw'/d) i=cte (Virtual) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos)

59 43 Tabela 4.8 Valores do torque eletroagnético (carregaento co correntes senoidais). Método dos Tensores de Maxwell Método do Trabalho Virtual Mínio (N.) Médio (N.) Máxio (N.) 3,58 4,42 5,07 3,58 4,42 5,07 Na Figura 4.16 o cogging torque e carga é obtido a partir do Método dos Tensores de Maxwell, do Método do Trabalho Virtual e do étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu, associados ao Método dos Eleentos Finitos e ao Método da Pereabilidade Fixa. Dada a discrepância entre os resultados obtidos a Figura 4.17 apresenta as curvas co aior detalhaento das foras de onda e das oscilações. Os valores ínio, édio e áxio do cogging torque e carga são apresentados na Tabela 4.9. Figura 4.16 Cogging torque e carga (carregaento co correntes senoidais) Torque (N.) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Zhu) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Zhu) Posição do Rotor (graus elétricos) No estudo de caso 2 nota-se co a Figura 4.16, a Figura 4.17 e a Tabela 4.9 que há ua considerável discrepância entre os resultados obtidos a partir dos étodos aplicados para o cálculo do cogging torque, tanto na fora de onda quanto na aplitude e no valor édio, co destaque para as curvas associadas ao MPF elhorado que apresenta valores édios absurdos

60 de cogging torque coparados ao torque total da áquina, -3,35 N. co a variação da energia agnética arazenada e 32,91 N. co a variação da coenergia agnética. 44 Figura 4.17 Cogging torque e carga co aior detalhaento (carregaento co correntes senoidais) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Virtual) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos) Tabela 4.9 Valores do cogging torque e carga (carregaento co correntes senoidais). Método dos Tensores de Maxwell Método do Trabalho Virtual (co a variação da energia) Método do Trabalho Virtual (co a variação da coenergia) Método de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu (co a variação da energia) Método de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu (co a variação da coenergia) Mínio (N.) Médio (N.) Máxio (N.) -0,56-0,02 0,37 1,04 1,52 1,91 0,13 0,82 1,68-5,90-3,35-0,83 24,17 32,91 41,49 É interessante observar, assi coo no estudo de caso 1, que nesta etapa do Método da Pereabilidade Fixa, na qual se te apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético (FP,PM),

61 45 eso não havendo correntes circulando nas bobinas das áquinas, obteve-se dw ', d dw FP PM FP, PM d, ou seja, dwin, d 0, contrariando o princípio da FP PM conservação de energia. Pode-se notar tabé que os valores édios calculados e todos os étodos são diferentes de zero, o que reforça o questionaento quanto ao que é afirado e Chu e Zhu (2013b) sobre o valor édio do cogging torque na áquina síncrona de íãs peranentes na condição de carga Condição e Carregaento (Correntes Quadradas) Na condição de operação e carga co correntes quadradas a Figura 4.18 apresenta a distribuição de pereabilidade no interior da áquina obtida na posição angular ecânica do rotor 0. Nota-se que a distribuição é assiétrica e bastante seelhante àquela vista na Figura 4.14 devido aos níveis de carregaento eletroagnético próxios entre as correntes senoidais e quadradas por apresentare o eso valor para o prieiro harônico da corrente. Figura 4.18 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (carregaento co correntes quadradas).

62 46 Na Figura 4.19 o torque eletroagnético para a áquina e carga é obtido a partir do Método dos Tensores de Maxwell e do Método do Trabalho Virtual associados ao Método dos Eleentos Finitos. Nota-se que as foras de onda apresentadas pelos dois étodos são idênticas, evidenciando que a alha do entreferro da siulação está be refinada. Os valores ínio, édio e áxio do torque total são apresentados na Tabela Pode-se observar que o valor édio do torque eletroagnético no carregaento co correntes quadradas aproxia-se ao valor édio do torque eletroagnético no carregaento co correntes senoidais devido aos níveis de carregaento eletroagnético próxios. Figura 4.19 Torque eletroagnético (carregaento co correntes quadradas). Torque (N.) Torque Eletroagnético (Maxw ell) Torque Eletroagnético (dw'/d) i=cte (Virtual) Posição do Rotor (graus elétricos) Tabela 4.10 Valores do torque eletroagnético (carregaento co correntes quadradas). Método dos Tensores de Maxwell Método do Trabalho Virtual Mínio (N.) Médio (N.) Máxio (N.) 1,95 4,51 5,99 1,95 4,51 5,99 Na Figura 4.20 o cogging torque e carga é obtido a partir do Método dos Tensores de Maxwell, do Método do Trabalho Virtual e do étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu, associados ao Método dos Eleentos Finitos e ao Método da Pereabilidade Fixa. Dada a discrepância entre os resultados obtidos a Figura 4.21 apresenta as curvas co aior detalhaento das foras de onda e das oscilações. Os valores ínio, édio e áxio do cogging torque e carga são apresentados na Tabela Assi coo no caso do torque eletroagnético, podese observar que os valores édios do cogging torque e carga no carregaento co correntes

63 quadradas aproxia-se aos valores édios do cogging torque e carga no carregaento co correntes senoidais devido aos níveis de carregaento eletroagnético próxios. 47 Figura 4.20 Cogging torque e carga (carregaento co correntes quadradas) Torque (N.) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Zhu) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Zhu) Posição do Rotor (graus elétricos) Figura 4.21 Cogging torque e carga co aior detalhaento (carregaento co correntes quadradas) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Virtual) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos)

64 48 Tabela 4.11 Valores do cogging torque e carga (carregaento co correntes quadradas). Método dos Tensores de Maxwell Método do Trabalho Virtual (co a variação da energia) Método do Trabalho Virtual (co a variação da coenergia) Método de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu (co a variação da energia) Método de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu (co a variação da coenergia) Mínio (N.) Médio (N.) Máxio (N.) -0,56-0,01 0,41 0,70 1,53 2,00-0,01 0,85 1,66-6,41-3,40-0,85 23,05 32,63 46,21 No estudo de caso 2 nota-se co a Figura 4.20, a Figura 4.21 e a Tabela 4.11 que há ua considerável discrepância nas foras de onda entre os resultados obtidos a partir dos diferentes étodos aplicados para o cálculo do cogging torque e carga, co destaque para as curvas associadas ao MPF elhorado que apresenta valores édios absurdos de cogging torque coparados ao torque total da áquina, -3,40 N. co a variação da energia agnética arazenada e 32,63 N. co a variação da coenergia agnética. É interessante observar, assi coo no carregaento co correntes senoidais, que nesta etapa do Método da Pereabilidade Fixa, na qual se te apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético (FP,PM), eso não havendo correntes circulando nas bobinas das áquinas, obteve-se dw ', d dw FP PM FP, PM d, ou seja, dwin, d 0, novaente, FP PM contrariando o princípio da conservação de energia. Pode-se notar tabé que os valores édios calculados e todos os étodos são diferentes de zero, o que reforça o questionaento quanto ao que é afirado e Chu e Zhu (2013b) sobre o valor édio do cogging torque na áquina síncrona de íãs peranentes na condição de carga Análise do Caso 3 Análise do estudo de caso 3 referente à áquina síncrona co íãs ontados na superfície do rotor.

65 Condição e Vazio (0 A) Na condição de operação e vazio a Figura 4.22 apresenta a distribuição de pereabilidade no interior da áquina obtida na posição angular ecânica do rotor 0. Nota-se que a distribuição é siétrica e está apenas sob influência do capo agnético produzido pelos íãs, resultando e u sistea conservativo de energia tanto do ponto de vista acroscópico, previsto pela Equação (3.30), quanto do ponto de vista icroscópico, decorrente do capo iposto sobre o rotor ser constante e qualquer ua de suas posições. Coo consequência, o valor édio do torque produzido no eixo da áquina é zero quando observado o seu ciclo copleto. Figura 4.22 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (operação e vazio). Na Figura 4.23 o cogging torque e vazio é obtido a partir do Método dos Tensores de Maxwell e do Método do Trabalho Virtual, associados ao Método dos Eleentos Finitos. Notase que as foras de onda apresentadas pelos dois étodos são idênticas, evidenciando que a

66 50 alha do entreferro da siulação está be refinada. Por eio da Equação (3.9) é esperado coo frequência fundaental o valor de 12 vezes a frequência fundaental de ua revolução elétrica. Os valores ínio, édio e áxio do cogging torque e vazio são apresentados na Tabela Figura 4.23 Cogging torque (operação e vazio). Torque (N.) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Virtual) Posição do Rotor (graus elétricos) Tabela 4.12 Valores do cogging torque (operação e vazio). Método dos Tensores de Maxwell Método do Trabalho Virtual Mínio (N.) Médio (N.) Máxio (N.) -12, ,30-12, , Condição e Carregaento (Correntes Senoidais) Na condição de operação e carga co correntes senoidais a Figura 4.24 apresenta a distribuição de pereabilidade no interior da áquina obtida na posição angular ecânica do rotor 0. Nota-se que diferenteente da condição e vazio, a distribuição é assiétrica e está sob influência do capo agnético produzido pelos íãs e do capo agnético produzido pelas correntes, resultando e u sistea conservativo de energia do ponto de vista acroscópico, previsto pela Equação (3.30), poré não conservativo do ponto de vista icroscópico, decorrente do capo iposto sobre o rotor não ser constante e qualquer ua de suas posições. Coo consequência, o valor édio do torque produzido no eixo da áquina é diferente de zero quando observado o seu ciclo copleto.

67 51 Figura 4.24 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (carregaento co correntes senoidais). Na Figura 4.25 o torque eletroagnético para a áquina e carga é obtido a partir do Método dos Tensores de Maxwell e do Método do Trabalho Virtual associados ao Método dos Eleentos Finitos. Nota-se que as foras de onda apresentadas pelos dois étodos são idênticas, evidenciando que a alha do entreferro da siulação está be refinada. Os valores ínio, édio e áxio do torque total são apresentados na Tabela Na Figura 4.26 o cogging torque e carga é obtido a partir do Método dos Tensores de Maxwell, do Método do Trabalho Virtual e do étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu, associados ao Método dos Eleentos Finitos e ao Método da Pereabilidade Fixa. Os valores ínio, édio e áxio do cogging torque e carga são ostrados na Tabela 4.14.

68 52 Figura 4.25 Torque eletroagnético (carregaento co correntes senoidais). Torque (N.) Torque Eletroagnético (Maxw ell) Torque Eletroagnético (dw'/d) i=cte (Virtual) Posição do Rotor (graus elétricos) Tabela 4.13 Valores do torque eletroagnético (carregaento co correntes senoidais). Método dos Tensores de Maxwell Método do Trabalho Virtual Mínio (N.) Médio (N.) Máxio (N.) 1,29 1,37 1,45 1,29 1,37 1,45 Figura 4.26 Cogging torque e carga (carregaento co correntes senoidais) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Zhu) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Zhu) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos)

69 53 Tabela 4.14 Valores do cogging torque e carga (carregaento co correntes senoidais). Método dos Tensores de Maxwell Método do Trabalho Virtual (co a variação da energia) Método do Trabalho Virtual (co a variação da coenergia) Método de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu (co a variação da energia) Método de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu (co a variação da coenergia) Mínio (N.) Médio (N.) Máxio (N.) -11,80 0,18 12,50-10,60 0,13 11,40-10,50 1,10 12,20-10,60 0,08 11,30-10,20 1,20 12,10 Diferenteente dos casos 1 e 2, no estudo de caso 3 nota-se co a Figura 4.26 e a Tabela 4.14 que a discrepância entre os resultados obtidos a partir dos étodos aplicados para o cálculo do cogging torque é enos acentuada, tanto na fora de onda quanto na aplitude e no valor édio, o que poderia indicar u erro nuérico. A proxiidade nuérica entre as curvas é devido ao grande entreferro equivalente e ao baixo carregaento eletroagnético (4 A). Neste caso, u carregaento eletroagnético aior (e.g. 16 A) pode evidenciar a discrepância entre os étodos, coo é visto na Figura Para esta áquina os valores de torque produzidos pelo MPF convencional e pelo MPF elhorado são uito próxios, não trazendo benefícios claros ao optar-se por u deles. É interessante observar, assi coo nos outros casos, que nesta etapa do Método da Pereabilidade Fixa, na qual se te apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético (FP,PM), eso não havendo correntes circulando nas bobinas das áquinas, obteve-se dw ', d dw FP PM FP, PM d, ou seja, dwin, d 0, da esa fora que os FP PM casos anteriores, evidenciando que o sistea é não conservativo. Pode-se notar tabé que os valores édios calculados e todos os étodos são diferentes de zero, o que reforça o questionaento quanto ao que é afirado e Chu e Zhu (2013b) sobre o valor édio do cogging torque na áquina síncrona de íãs peranentes na condição de carga. Assi coo nos casos 1 e 2, no estudo de caso 3 e que o nível de carregaento eletroagnético é aior, ver Figura 4.27, nota-se que há ua considerável discrepância nas foras de onda entre os resultados obtidos a partir dos diferentes étodos aplicados para o cálculo do cogging torque e carga.

70 54 Figura 4.27 Cogging torque e carga (carregaento co correntes senoidais). Torque (N.) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Zhu) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Zhu) Posição do Rotor (graus elétricos) Condição e Carregaento (Correntes Quadradas) Na condição de operação e carga co correntes quadradas a Figura 4.28 apresenta a distribuição de pereabilidade no interior da áquina é obtida na posição angular ecânica do rotor 0. Nota-se que a distribuição é assiétrica e bastante seelhante àquela vista na Figura 4.24 devido aos níveis de carregaento eletroagnético próxios entre as correntes senoidais e quadradas por apresentare o eso valor para o prieiro harônico da corrente. Na Figura 4.29 o torque eletroagnético para a áquina e carga é obtido a partir do Método dos Tensores de Maxwell e do Método do Trabalho Virtual associados ao Método dos Eleentos Finitos. Nota-se que as foras de onda apresentadas pelos dois étodos são idênticas, evidenciando que a alha do entreferro da siulação está be refinada. Os valores ínio, édio e áxio do torque total são apresentados na Tabela Pode-se observar que o valor édio do torque eletroagnético no carregaento co correntes quadradas aproxia-se ao valor édio do torque eletroagnético no carregaento co correntes senoidais devido aos níveis de carregaento eletroagnético próxios.

71 55 Figura 4.28 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina co 0 (carregaento co correntes quadradas). Figura 4.29 Torque eletroagnético (carregaento co correntes quadradas) Torque Eletroagnético (Maxw ell) Torque Eletroagnético (dw'/d) i=cte(virtual) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos)

72 56 Tabela 4.15 Valores do torque eletroagnético (carregaento co correntes quadradas). Método dos Tensores de Maxwell Método do Trabalho Virtual Mínio (N.) Médio (N.) Máxio (N.) 0,82 1,37 1,60 0,82 1,37 1,60 Na Figura 4.30 o cogging torque e carga é obtido a partir do Método dos Tensores de Maxwell, do Método do Trabalho Virtual e do étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu, associados ao Método dos Eleentos Finitos e ao Método da Pereabilidade Fixa. Os valores ínio, édio e áxio do cogging torque e carga são apresentados na Tabela Assi coo no caso do torque eletroagnético, pode-se observar que os valores édios do cogging torque e carga no carregaento co correntes quadradas aproxia-se aos valores édios do cogging torque e carga no carregaento co correntes senoidais devido aos níveis de carregaento eletroagnético próxios. Figura 4.30 Cogging torque e carga (carregaento co correntes quadradas) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Zhu) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Zhu) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos) Diferenteente dos casos 1 e 2, no estudo de caso 3 nota-se co a Figura 4.30 e a Tabela 4.16 que a discrepância entre os resultados obtidos a partir dos étodos aplicados para o cálculo

73 57 do cogging torque é enos acentuada, tanto na fora de onda quanto na aplitude e no valor édio, o que poderia indicar u erro nuérico. A proxiidade nuérica entre as curvas é devido ao grande entreferro equivalente e ao baixo carregaento eletroagnético (3,6363 A). Neste caso, u carregaento eletroagnético aior (e.g. 14,5454 A) pode evidenciar a discrepância entre os étodos, coo é visto na Figura Para esta áquina os valores de torque produzidos pelo MPF convencional e pelo MPF elhorado são uito próxios, não trazendo benefícios claros ao optar-se por u deles. Tabela 4.16 Valores do cogging torque e carga (carregaento co correntes quadradas). Método dos Tensores de Maxwell Método do Trabalho Virtual (co a variação da energia) Método do Trabalho Virtual (co a variação da coenergia) Método de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu (co a variação da energia) Método de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu (co a variação da coenergia) Mínio (N.) Médio (N.) Máxio (N.) -11,80 0,16 12,20-10,50 0,14 11,40-10,50 0,86 12,50-10,60 0,09 11,30-10,30 0,91 12,30 É interessante observar, assi coo no carregaento co correntes senoidais, que nesta etapa do Método da Pereabilidade Fixa, na qual se te apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético (FP,PM), eso não havendo correntes circulando nas bobinas das áquinas, obteve-se dw ', d dw FP PM FP, PM d, ou seja, dwin, d 0, o eso fato que FP PM os anteriores. Pode-se notar tabé que os valores édios calculados e todos os étodos são diferentes de zero, o que reforça o questionaento quanto ao que é afirado e Chu e Zhu (2013b) sobre o valor édio do cogging torque na áquina síncrona de íãs peranentes na condição de carga. Assi coo nos casos 1 e 2, no estudo de caso 3 e que o nível de carregaento eletroagnético é aior, ver Figura 4.31, nota-se que há ua considerável discrepância nas foras de onda entre os resultados obtidos a partir dos diferentes étodos aplicados para o cálculo do cogging torque e carga.

74 58 Figura 4.31 Cogging torque e carga (carregaento co correntes quadradas). 0.1 Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Virtual) 0.05 Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Zhu) Torque (N.) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Zhu) Posição do Rotor (graus elétricos) 4.5 Discussão dos Resultados Co a discrepância encontrada nos resultados dos três estudos de casos analisados, fazse necessário verificar dentre os étodos aplicados (Método dos Tensores de Maxwell, Método do Trabalho Virtual e étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu), qual deles é o ais apropriado, cobinado ao Método dos Eleentos Finitos e ao Método da Pereabilidade Fixa, para o cálculo do cogging torque e carga nas áquinas síncronas de íãs peranentes no rotor. Durante a quarta etapa do MPF e que se te apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético (FP,PM), eso não havendo correntes circulando nas bobinas das áquinas é interessante observar que e todos os casos obteve-se dw ', d dw FP PM FP, PM d, ou seja, dwin, d 0. Pode-se notar ainda que os valores édios obtidos e todos os FP PM étodos são diferentes de zero, o que leva a questionar o que é afirado e Chu e Zhu (2013b) sobre o valor édio do cogging torque na áquina síncrona de íãs peranentes na condição de carga. Co o objetivo de avaliar tal afiração, as Equações (3.32) e (3.39) são analisadas juntaente a Figura 4.32, extraída de Chu e Zhu (2013b).

75 59 Figura 4.32 Foras de onda de torque para a áquina síncrona de íãs peranentes do caso 1. Fonte: (CHU; ZHU, 2013b). Na Figura 4.32 são apresentadas as seguintes foras de onda: T w que refere-se ao tero EL, Maxwell T da Equação (3.10); T vir que refere-se ao tero dw ' d da Equação (3.32); dq0 T que refere-se ao tero T dq0, ZHU da Equação (3.40); T que refere-se ao tero dwin, ZHU d da Equação (3.39); in d W d que refere-se ao tero dw d da Equação (3.32). O resultado apresentado na Figura 4.32 referente à variação da energia agnética arazenada ostra-se de algua fora controverso, pois foi avaliado coo ostra a Equação (4.1), ao invés de ser avaliado co o auxílio de u software que ipleente o Método dos Eleentos Finitos utilizando a forulação sugerida entre (3.19) e (3.27). No entanto, para o cálculo da variação da coenergia Chu e Zhu (2013b) faz uso do MEF. dw dw ' ZHU MEF in, ZHU d i constante d iconstante d (4.1) iconstante dw Para apontar u possível erro na avaliação da variação da energia agnética arazenada feita pelos autores e Chu e Zhu (2013b), as áquinas propostas nos estudos de

76 60 casos 1, 2 e 3 são novaente analisadas entre a Figura 4.33 e a Figura É possível observar que nos três casos os resultados de dwmef d, baseados na forulação sugerida entre (3.19) e (3.27), são diferentes dos resultados de dwzhu d, baseados na Equação (4.1). Figura 4.33 Máquina do estudo de caso 1 co I 4 A e 30. a Torque (N.) dw' MEF /d Tdq0 ZHU dwin ZHU /d -dw ZHU /d -dw MEF /d Posição do Rotor (graus elétricos) Figura 4.34 Máquina do estudo de caso 2 co I 4 A e 30. a 5 4 Torque (N.) dw' MEF /d Tdq0 ZHU dwin ZHU /d -dw ZHU /d -dw MEF /d Posição do Rotor (graus elétricos)

77 61 Figura 4.35 Máquina do estudo de caso 3 co I 4 A e 30. a Torque (N.) dw' MEF /d Tdq0 ZHU dwin ZHU /d -dw ZHU /d -dw MEF /d Posição do Rotor (graus elétricos) Note que dwin, ZHU d refere-se à variação da energia de entrada calculada e (3.39). Os resultados de dwzhu d ostra-se co valores édios aiores e ódulo coparados aos resultados de dwmef d. O único caso onde dwzhu d é aproxiadaente igual à dwmef d é no estudo de caso 3 da áquina síncrona co íãs ontados na superfície do rotor. É iportante encionar que a aior parte da variação da energia agnética arazenada nos casos analisados deve-se aos íãs peranentes e ao entreferro das áquinas, coo é ostrado da Figura 4.36 a Figura 4.38, onde os resultados são obtidos a partir do MEF. Assi, eso para diferentes ateriais ferroagnéticos, estes representa ua enor parte de dw d devido à sua alta pereabilidade relativa que pode não influenciar MEF consideravelente no resultado. Portanto, existe três conclusões que pode ser feitas co base nos resultados apresentados entre a Figura 4.33 e a Figura 4.38: dw in, ZHU d : Na verdade este tero é ais parecido coo ua estiativa do torque eletroagnético, não ua solução exata, do que a real variação da energia de entrada da áquina, coo é ostrado da Figura 4.33 a Figura Claro, é bo o suficiente para ua estiativa coputacional rápida do valor do torque total, as

78 62 coo não considera a interação entre as ranhuras do estator e os íãs, coo será ostrado ais adiante, resulta e ua atribuição iprópria da energia agnética arazenada na áquina síncrona de íãs peranentes se for usada coo a variação da energia de entrada e consequenteente não pode ser utilizada para a separação das parcelas de torque. Figura 4.36 Variação da energia agnética arazenada para a áquina do estudo de caso dw entreferro /d -dw estator /d 1.1 -dw rotor /d Torque (N.) 0.6 -dw bobinas /d -dw íãs /d -dw total /d Posição do Rotor (graus elétricos) Figura 4.37 Variação da energia agnética arazenada para a áquina do estudo de caso dw entreferro /d -dw estator /d 1 -dw rotor /d Torque (N.) dw bobinas /d -dw íãs /d -dw total /d Posição do Rotor (graus elétricos)

79 63 Figura 4.38 Variação da energia agnética arazenada para a áquina do estudo de caso Torque (N.) dw entreferro /d -dw estator /d -dw rotor /d -dw bobinas /d -dw íãs /d -dw total /d Posição do Rotor (graus elétricos) dwzhu d : Te u valor édio próxio de zero graças à suposição errônea de que a variação da energia de entrada na áquina síncrona de íãs peranentes te de ser calculada a partir de (3.39), o que levou Chu e Zhu (2013b) a concluir que a energia agnética arazenada e carga contribui, principalente, na ondulação do torque eletroagnético e o cogging torque e carga não pode apresentar u valor édio diferente de zero. dw MEF d : confore ilustrado, os resultados da siulação e eleentos finitos ostra que a energia agnética arazenada contribui para a ondulação do torque eletroagnético, be coo para o seu valor édio e te u valor édio considerável. Para explicar essas conclusões, considere a seguinte hipótese: se a variação da coenergia agnética dw ' d é forulada e (3.32), e considerando que W ' é a coenergia agnética total na áquina, W é a energia agnética arazenada da áquina e total na áquina, é verdade afirar que: W in é a energia de entrada W ' W ' W ' W ' W ' W ' (4.2) entreferro estator rotor bobinas íãs W Wentreferro Westator Wrotor Wbobinas W (4.3) íãs

80 64 W W ' W (4.4) in E suas derivadas são: dw ' dw ' entreferro dw ' estator dw ' rotor dw ' bobinas dw ' íãs (4.5) d d d d d d dw dw dw dw dw dw d d d d d d entreferro estator rotor bobinas íãs (4.6) dwin dw ' dw (4.7) d d d Assi sendo, se dwin, ZHU d dwin d, proposto por Chu e Zhu (2013b), seria verdade: dwin, ZHU dwin, MEF dw ' MEF dwmef (4.8) d d d d Os resultados baseados e (4.8) para as áquinas propostas nos três estudos de casos são ilustrados da Figura 4.39 a Figura 4.41 e coparados co os resultados de dwin, ZHU d, forulado por Chu e Zhu (2013b). Confore é ilustrado, fica claro que a suposição feita e Chu e Zhu (2013b) que dw in, ZHU d descreve a variação da energia de entrada na áquina síncrona de íãs peranentes é errônea. Contudo, dw, in ZHU d é ua boa estiativa para o torque eletroagnético, ou seja, é ua boa aproxiação de dw ' d. O único caso e que dwin, ZHU d é siilar à dwin d é na áquina síncrona co íãs ontados na superfície do rotor devido ao grande entreferro equivalente observado pelo estator, ua vez que a pereabilidade agnética relativa dos íãs é aproxiadaente u e não há saliência no rotor, isto é, os íãs estão voltados diretaente para o entreferro.

81 65 Figura 4.39 Coparação entre dw d e a variação da energia de entrada dw in, ZHU, in MEF d obtida e eleentos finitos para a áquina do caso 1. Figura 4.40 Coparação entre dw d e a variação da energia de entrada dw in, ZHU, in MEF d obtida e eleentos finitos para a áquina do caso 2.

82 66 Figura 4.41 Coparação entre dw d e a variação da energia de entrada dw in, ZHU, in MEF d obtida e eleentos finitos para a áquina do caso 3. Por outro lado, onde os íãs não estão voltados diretaente para o entreferro ou o rotor apresenta saliência, a diferença entre o valor édio de dw, in ZHU d e o valor édio de dw in d é aior devido a diferença entre o valor absoluto da variação da energia agnética arazenada dos íãs dwiãs d e a variação da energia agnética arazenada do entreferro dw dw entreferro in, ZHU d, coportaento este que não está devidaente descrito na forulação de d. E outras palavras, a interação entre as ranhuras do estator e os íãs não encontra-se descrita e dwin, ZHU d. Outro fato que deve ser destacado nesses resultados, reside nos casos e que dwin d é enor que a variação da coenergia dw ' d. Esses casos pode ser explicados principalente pela fora coo os íãs interage co o sistea, ua vez que contribue coo fonte de energia na áquina síncrona de íãs peranentes e de acordo co o que é ostrado da Figura 4.36 a Figura 4.38 a variação da energia agnética arazenada nos íãs contribui para dw d 0. Todos estes resultados estão de acordo co (4.4) e (4.7) e respeita o princípio da conservação de energia.

83 67 Diferenteente da forulação para dw, in ZHU d, descrita e (3.39), que ostra a interação entre íãs e correntes que resulta no torque útuo e a interação entre correntes e suas indutâncias próprias que resulta no torque de relutância, ua forulação analítica para dw in d deveria ilustrar a interação entre as ranhuras do estator e os íãs co base na topologia do rotor, especialente no arranjo dos íãs. Alé disso, ua vez que dw, in ZHU d não descreve este fato de fora adequada, o valor édio do cogging torque e carga co base e dw, in ZHU d claraente não está correto. Co os indícios apresentados de que o cogging torque e carga apresenta valor édio diferente de zero, a Figura 4.42, extraída de Chu e Zhu (2013a), causa estranheza e levanta dúvidas quanto à fora utilizada pelos autores para deterinar o valor édio igual a zero do cogging torque e carga na áquina síncrona de íãs peranentes do caso 1. Figura 4.42 Foras de onda do cogging torque e carga na áquina síncrona de íãs peranentes do caso 1. Fonte: (CHU; ZHU, 2013a). Os resultados apresentados na Figura 4.42 referentes ao cogging torque e carga da áquina síncrona de íãs peranentes do caso 1 ostra-se de algua fora controversos, pois fora avaliados coo ostra a Equação (4.9), ao invés de ser avaliado coo e (3.49), não antendo-se a corrente constante para 1 e 2.

84 T cogging, Zhu W W W FP, PM 2FP, PM 1 FP, PM (4.9) Co o objetivo de avaliar tal fato, observe a seguinte análise: TEL TAvg T (4.10) Ripple T EL dw ' (4.11) d iconstante dw ' dwin dw (4.12) d d d iconstante iconstante iconstante dw ' dw ' dw ' Avg Ripple d icons tante d icons tan te d icons tan te (4.13) dw in dw in dw in Avg Ripple d icons tante d icons tan te d icons tan te (4.14) dw dw dw Avg Ripple d icons tante d icons tante d icons tan te (4.15) Note que os subscritos Avg e Ripple refere-se ao valor édio e a ondulação do torque, respectivaente. Substituindo (4.13), (4.14) e (4.15) e (4.12), pode-se concluir que: dw ' dw in dw TAvg Avg Avg Avg d d d icons tante icons tante icons tante (4.16) dw ' dw in dw TRipple Ripple Ripple Ripple d d d icons tante icons tante icons tante (4.17) Se o cogging torque é definido coo a interação entre as ranhuras do estator e os íãs, então pela Equação (4.17) nota-se que a ondulação do torque total conté o ripple de todas as fontes de energia (íãs e bobinas). Associada a essa análise, considere a Equação (4.18) e

85 0 n refere-se a Série de Fourier, 0 1 que a a senn a sen n n é o ripple do torque e n é o harônico a é o valor édio do torque, dw ' d 0 icons tante 1 n a a sen n (4.18) Avaliando-se as áquinas dos estudos de caso 1, 2 e 3, abas e carga co correntes senoidais (4 A), e utilizando-se o software Matlab para aplicar a FFT (Fast Fourier Transfor) e dw ' d icons tante e dw ', pode-se observar os resultados entre a Figura 4.43 e a Figura d Figura 4.43 Torque eletroagnético no estudo de caso 1 (carregaento co correntes senoidais). 6 4 Torque Eletroagnético (dw'/d) i=cte Torque Eletroagnético (dw'/d) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos) Figura 4.44 Conteúdo harônico do torque eletroagnético no estudo de caso 1 (carregaento co correntes senoidais) Torque Eletroagnético (dw'/d) i=cte Torque Eletroagnético (dw'/d) Aplitude Harônico

86 70 Figura 4.45 Torque eletroagnético no estudo de caso 2 (carregaento co correntes senoidais). 6 4 Torque (N.) 2 0 Torque Eletroagnético (dw'/d) i=cte Torque Eletroagnético (dw'/d) Posição do Rotor (graus elétricos) Figura 4.46 Conteúdo harônico do torque eletroagnético no estudo de caso 2 (carregaento co correntes senoidais). 5 4 Torque Eletroagnético (dw'/d) i=cte Torque Eletroagnético (dw'/d) Aplitude Harônico Figura 4.47 Torque eletroagnético no estudo de caso 3 (carregaento co correntes senoidais). 3 2 Torque Eletroagnético (dw'/d) i=cte Torque Eletroagnético (dw'/d) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos)

87 Figura 4.48 Conteúdo harônico do torque eletroagnético no estudo de caso 3 (carregaento co correntes senoidais) Torque Eletroagnético (dw'/d) i=cte Torque Eletroagnético (dw'/d) Aplitude Harônico Co base nos resultados apresentados entre a Figura 4.43 e a Figura 4.48 nota-se que os harônicos de orde aior ou igual a u n 1 são iguais para abas as transforações, tanto na FFT de dw ' d icons tante quanto na FFT de dw '. Portanto, pode-se concluir que: d dw ' ansen n (4.19) d 1 dw ' d icons tante dw ' a0 (4.20) d E outras palavras, pode-se dizer que para deterinar o valor édio e o ripple do torque eletroagnético a partir da variação da coenergia agnética é necessário anter a corrente constante; do contrário, o cálculo desconsidera o valor édio do torque e apresenta apenas sua ondulação. De odo análogo, esta avaliação é válida para o cálculo do cogging torque e carga, coo é ostrado entre a Figura 4.49 e a Figura Pode-se observar que na aplicação do Método do Trabalho Virtual e no étodo de W. Q. Chu e Z. Q. Zhu para o cálculo do cogging torque e carga, caso a corrente não seja antida constante para 1 e 2, coo é ostrado e (4.9), então o valor édio é forçado a ser zero por levar e consideração apenas o ripple do torque, desrespeitando, portanto, a condição priordial para o cálculo de torque a partir da variação da energia e coenergia.

88 72 Figura 4.49 Cogging torque e carga no estudo de caso 1 (carregaento co correntes senoidais). Torque (N.) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) (Virtual) Cogging Torque (-dw/d) (Zhu) Cogging Torque (dw'/d) (Zhu) Posição do Rotor (graus elétricos) Figura 4.50 Cogging torque e carga no estudo de caso 2 (carregaento co correntes senoidais) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) (Virtual) Cogging Torque (-dw/d) (Zhu) 10 Cogging Torque (dw'/d) (Zhu) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos)

89 73 Figura 4.51 Cogging torque e carga no estudo de caso 3 (carregaento co correntes senoidais) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) (Virtual) Cogging Torque (-dw/d) (Zhu) Cogging Torque (dw'/d) (Zhu) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos) Diferenteente do acionaento senoidal, analisando-se as áquinas dos estudos de casos 1, 2 e 3, abas alientadas por correntes quadradas (3,6363 A), pode-se notar entre a Figura 4.52 e a Figura 4.54 que independente de coo o cogging torque e carga é avaliado, por (3.49) ou (4.9), seu valor édio é diferente de zero. Figura 4.52 Cogging torque e carga no estudo de caso 1 (carregaento co correntes quadradas) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) (Virtual) Cogging Torque (-dw/d) (Zhu) Cogging Torque (dw'/d) (Zhu) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos)

90 74 Figura 4.53 Cogging torque e carga no estudo de caso 2 (carregaento co correntes quadradas) Torque (N.) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) (Virtual) Cogging Torque (-dw/d) (Zhu) Cogging Torque (dw'/d) (Zhu) Posição do Rotor (graus elétricos) Figura 4.54 Cogging torque e carga no estudo de caso 3 (carregaento co correntes quadradas) Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) (Virtual) Cogging Torque (-dw/d) (Zhu) Cogging Torque (dw'/d) (Zhu) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos) Para reforçar a ideia de que o cogging torque e carga te valor édio diferente de zero, considere a seguinte hipótese: dw ' d iconstante dw ' (4.21) d

91 Te-se que (4.20) é equivalente a (4.21) na seguinte condição: ateaticaente, quando a0 0; fisicaente, a0 0 quando trata-se de u sistea conservativo de energia, tanto do ponto de vista acroscópico, previsto pela Equação (3.30), quanto do ponto de vista icroscópico, decorrente do capo iposto sobre o rotor ser constante e qualquer ua de suas posições (e.g. áquina e vazio). Co a aplicação do Método da Pereabilidade Fixa essa condição é respeitada quando i 75 iconstante, ou seja, as correntes não varia nas fases, independenteente da posição angular ecânica do rotor. Para provar isto, as áquinas dos estudos de casos 1, 2 e 3 são alientadas por correntes constantes, coo ostra a Figura 4.55; posteriorente são calculados o torque eletroagnético e o cogging torque e carga, apresentados entre a Figura 4.56 e a Figura Figura 4.55 Fora de onda e aplitude das correntes constantes. 6 4 Corrente (A) 2 0 Corrente Fase A Corrente Fase B Corrente Fase C Posição do Rotor (graus elétricos) Figura 4.56 Torque eletroagnético na áquina do estudo de caso 1 (carregaento co correntes constantes). 10 Torque Eletroagnético (Maxw ell) Torque Eletroagnético (dw'/d) i=cte (Virtual) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos)

92 76 Figura 4.57 Torque eletroagnético na áquina do estudo de caso 2 (carregaento co correntes constantes). 10 Torque Eletroagnético (Maxw ell) 5 Torque Eletroagnético (dw'/d) i=cte (Virtual) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos) Figura 4.58 Torque eletroagnético na áquina do estudo de caso 3 (carregaento co correntes constantes). 2 Torque Eletroagnético (Maxw ell) 1 Torque Eletroagnético (dw'/d) i=cte (Virtual) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos) Pode-se observar co os resultados obtidos entre a Figura 4.56 e a Figura 4.58 que eso as áquinas nos três estudos de casos estando na condição de carga, elas apresenta o torque eletroagnético co valor édio igual a zero quando observado o seu ciclo copleto, isto por tratar-se de u sistea conservativo de energia, tanto do ponto de vista acroscópico, previsto pela Equação (3.30), quanto do ponto de vista icroscópico, decorrente do capo iposto sobre o rotor ser constante e qualquer ua de suas posições coo consequência de i iconstante. Assi coo no caso do torque eletroagnético, pode-se observar co os resultados obtidos entre a Figura 4.59 e a Figura 4.61 que o cogging torque e carga apresenta valor édio igual a zero quando observado o seu ciclo copleto, independenteente do étodo adotado para o seu cálculo. Nota-se tabé que durante a quarta etapa do MPF e que se te apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético (FP,PM), eso não havendo correntes circulando nas

93 77 bobinas das áquinas obteve-se dw ', d dw FP PM FP, PM d, ou seja, in, 0 FP PM dw d. Portanto, o valor édio do cogging torque só é igual a zero quando tratase de u sistea conservativo de energia, tanto do ponto de vista acroscópico, quanto do ponto de vista icroscópico, diferenteente de quando a áquina é acionada por correntes que varia nas fases dependendo da posição do rotor e ipõe sobre o eso u capo não constante. Figura 4.59 Cogging torque e carga no estudo de caso 1 (carregaento co correntes constantes) Torque (N.) 0-2 Cogging Torque (Maxw ell) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Virtual) -4 Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Zhu) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Zhu) Posição do Rotor (graus elétricos) Figura 4.60 Cogging torque e carga no estudo de caso 2 (carregaento co correntes constante). 40 Cogging Torque (Maxw ell) Torque (N.) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Zhu) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Zhu) Posição do Rotor (graus elétricos)

94 78 Figura 4.61 Cogging torque e carga no estudo de caso 3 (carregaento co correntes constantes) Cogging Torque (Maxw ell) 0.03 Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Virtual) Cogging Torque (-dw/d) i=cte (Zhu) 0.02 Cogging Torque (dw'/d) i=cte (Zhu) Torque (N.) Posição do Rotor (graus elétricos) Sendo assi, o valor édio do cogging torque e carga, coo é proposto por Chu e Zhu (2013b), não só está incorreto coo tabé não está de acordo co a saliência agnética equivalente no estator explicada pelos próprios autores. Essa é a esa razão pela qual o Método dos Tensores de Maxwell resulta e u valor édio diferente de zero quando epregado para avaliar o cogging torque e carga usando o Método de Pereabilidade Fixa. A justificativa para o valor édio ser diferente de zero reside no fato de que a interação entre o capo agnético devido às correntes e o capo agnético proveniente dos íãs produz u capo girante que afeta a alha de pereabilidade agnética nos dentes do estator. Coo resposta, surge alguns pontos de saturação nas sapatas dos dentes criando a saliência agnética equivalente, ostrada entre a Figura 4.62 e a Figura 4.64 para a aplicação do MPF convencional e entre a Figura 4.65 e a Figura 4.67 para a aplicação do MPF elhorado. Figura 4.62 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina do caso 1 co o MPF convencional. (a) 0. (b) 4. (c) 8. Fonte: Autor

95 79 Figura 4.63 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina do caso 2 co o MPF convencional. (a) 0. (b) 4. (c) 8. Fonte: Autor Figura 4.64 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina do caso 3 co o MPF convencional. (a) 0. (b) 4. (c) 8. Fonte: Autor Figura 4.65 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina do caso 1 co o MPF elhorado. (a) 0. (b) 4. (c) 8.

96 80 Figura 4.66 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina do caso 2 co o MPF elhorado. (a) 0. (b) 4. (c) 8. Figura 4.67 Distribuição da pereabilidade no interior da áquina do caso 3 co o MPF elhorado (a) 0. (b) 4. (c) 8. O que parece ser controverso e Chu e Zhu (2013b) é que, ebora os autores tenha ilustrado que a distribuição da densidade de fluxo agnético da áquina apresentada está devidaente separada para as contribuições dos íãs e das correntes co o auxílio do Método de Pereabilidade Fixa, eles rejeita os resultados do Método dos Tensores de Maxwell baseado na distribuição da densidade de fluxo que ostrara estar correta. Os autores justifica a sua rejeição baseando-se no fato de que a siulação (FP,PM), e que se te apenas os íãs coo fonte de fluxo agnético, ou seja, que não te atuação das correntes, deve se coportar exataente coo a siulação se carga, ou seja, a siulação e vazio. A fonte da confusão de Chu e Zhu (2013b) é que tanto na siulação e vazio quanto na siulação (FP,PM) são realizadas co correntes iguais a zero, as para o sistea e vazio, não existe