UFPA. Rodrigo Melo e Silva de Oliveira. Segundo semestre de 2002

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1 UFPA Méodo FDTD Aplicado a Aálise da Propagação Eleromagéica em Ambiees Idoor e Oudoor Rodrigo Melo e Silva de Oliveira Segudo semesre de 00 CENTRO TECNOLÓGICO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO GUAMÁ BELÉM-PARÁ

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Rodrigo Melo e Silva de Oliveira Méodo FDTD Aplicado a Aálise da Propagação Eleromagéica em Ambiees Idoor e Oudoor TRABALHO SUBMETIDO AO COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO ELETRICISTA - OPÇÃO TELECOMUNICAÇÕES. Belém 003

3 ?? Méodo FDTD Aplicado a Aálise da Propagação Eleromagéica em Ambiees Idoor e Oudoor Ese rabalho foi julgado em /0/003, adequado para obeção do grau de Egeheiro Elericisa Opção Telecomuicações, e aprovado a sua forma fial pela baca eamiadora que aribuiu o coceio Ecelee.! " # $ # % & '(*) A# *B DCEF GH D %JI' +-KL;MN;<.0O54687:95;<.>= AP& *QSRT U GWVX* ' +XY5Z\[5.;]957\[#754%^ 7_*`75Z\0a4%7:95;<.75= b T A#HQ!P %JI' I' +XY5Z\[5.;]957\[#754%^ 7_*`75Z\0a4%7:95;<.75= Prof. Dr. Jorge Robero Brio de Soua (Coordeador do Curso de Egeharia Elérica)

4 AGRADECIMENTOS Primeiramee, agradeço ao professor Carlos Leoidas pelo ecelee e eemplar rabalho de orieação. Sua dedicação ao seu rabalho é admirável e é fudameal para o crescimeo ielecual dos seus orieados. Muio obrigado! Agradeço ambém ao meu co-orieador, Roaldo, por odas as dicas durae o desevolvimeo dese rabalho e pela grade eperiêcia adquirida com o osso rabalho em cojuo. O papel fudameal do Josivaldo e do Joh o processameo paralelo deve ser desacado em odos os rabalhos que uiliem a écica. Valeu o empeho! Agradeço a odos os compaheiros do Lae pelo óimo relacioameo o laboraório: Roaldo, Fabrício, Felipe, Paulo, Tuma, Marcos, Josivaldo e Joh. Gosaria de epressar aqui miha eorme graidão pelo papel fudameal da miha família, que é o pilar de oda a miha formação pessoal e ielecual: Meu pai: Jacob; Miha mãe: Roselucie; miha irmã: Reaa e ambém ao meu Tio: José Jacob. Muio obrigado por udo. Por fim, gosaria de agradecer ambém a miha foe de ispiração e compaheira de odas as horas: Vicoria Masuaga. Agradeço pelo seu cariho e pelo seu amor icodicioal em odos os momeos. O projeo da Ericsso e da Amaôia celular eve um papel imporaíssimo, a medida em que dispoibiliou os recursos que possibiliaram a cocepção do cluser Amaôia (Lae ). Agradeço a eles e, mais uma ve ao professor Leoidas, pela oporuidade de faer pare dese projeo.

5 Toda a ossa ciêcia, comparada com a realidade, é primiiva e ifail - e, o eao, é a coisa mais preciosa que emos. Alber Eisei ( )

6 LISTA DE SÍMBOLOS i j k Icremeo emporal ou período de amosragem, e Icremeo ao logo dos eios caresiaos,,, respecivamee Ídice idicador da posição da célula segudo o eio caresiao Ídice idicador da posição da célula segudo o eio caresiao Ídice idicador da posição da célula segudo o eio caresiao Número de ierações o empo 0 Permissividade elérica absolua o vácuo µ 0 Permeabilidade magéica absolua o vácuo r Permissividade elérica relaiva do maerial µ Permeabilidade magéica Permissividade elérica [µ] Tesor permeabilidade magéica [ ] esor permissividade elérica E H E + E H + ½ H - ½ E H B D J j Veor iesidade de campo elérico Veor iesidade de campo magéico Veor campo elérico o isae aual Veor campo elérico o isae passado Campo magéico o isae aual Campo magéico o isae passado Fasor Veor iesidade de campo elérico Fasor Veor iesidade de campo magéico Veor desidade de fluo magéico Veor desidade de fluo elérico Coduividade segudo o eio Coduividade segudo o eio Coduividade segudo o eio Comprimeo de oda Desidade de corree elérica Freqüêcia agular Cosae de fase - ½

7 Sumário Capíulo Irodução.... Objeivos Composição... Referêcias Bibliográficas...3 CAPÍTULO ANÁLISE TEÓRICA...4. O MÉTODO FDTD...4. PRECISÃO E ESTABILIDADE NO MÉTODO FDTD....3 TRUNCAMENTO POR PML Técica de Correção de Campo para modelagem Fios Fios (Thi Wires)....5 SPEEDUP...8 Referêcias Bibliográficas CAPÍTULO 3 PROBLEMAS E RESULTADOS O problema oudoor O problema idoor CAPÍTULO 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS...58 Referêcias Bibliográficas...59

8 Lisa de Figuras FIGURAS DESCRIÇÃO PÁG. A idéia de derivada cerada. (a) Represeação da célula primária (isae ), (b) Represeação da célula secudária (isae +½) e (c) Represeação ridimesioal de ambas as células iercaladas o empo e o espaço. 5 8 A Célula de Yee em perspeciva ridimesioal 9 Erro Toal, iroduido por Roudoff e pela própria discreiação Idéia de rucameo de um domíio compuacioal bidimesioal por UPML 3 Aálise da disribuição dos faores k o domíio umérico. 9 Represeação bidimesioal da célula de Yee 0 Geomeria de um fio fio e a disribuição das compoees de campo para o plao -. Geomeria de um fio fio e a disribuição das compoees de campo para o plao - Geomeria de um fio fio e a disribuição das compoees de campo para o plao - Modelameo FDTD para um dipolo alihado paralelamee ao eio Z com gap D. 5 7! Geomeria do Problema Bidimesioal 3 Pulso de eciação gaussiao usado a primeira simulação bidimesioal 34 Pulso de eciação modulado em 850MH 34 Poradora coíua aplicada como eciação 35 Lógica da implemeação FDTD baseada em algoríimo seqüecial 36 Lógica da implemeação FDTD baseada em algoríimo paraleliado 37 Aálise dos domíios 38 (a) Tempo de processameo e (b) Speedup para o problema bidimesioal 39 aalisado com,, 4 e 8 processadores de.8gh Perspeciva da ampliude do campo elérico E após 84,9 s 40 Disribuição da compoee E do campo elérico em diversos isaes 4 Regisro da Poêcia recebida em L (Figura 3.) para a Eciação Gaussiaa 4 modulada em 850MH Regisro da Poêcia recebida em L (Figura 3.) para a Eciação Gaussiaa 4 modulada em 850MH Regisro da Poêcia recebida em L3 (Figura 3.) para a Eciação Gaussiaa 4 modulada em 850MH Regisro da Poêcia recebida em L4 (Figura 3.) para a Eciação Gaussiaa 43 modulada em 850MH

9 !! Regisro da Poêcia recebida em L5 (Figura 3.) para a Eciação Gaussiaa modulada em 850MH Regisro emporal da poêcia recebida em L (Figura 3.) (ecição seoidal ampliude 000 A/m) Regisro emporal da poêcia recebida em L (Figura 3.) (ecição seoidal ampliude 00 A/m) Regisro emporal da poêcia recebida em L (Figura 3.) (ecição seoidal ampliude 0 A/m) Regisro emporal da poêcia recebida em L (Figura 3.) (ecição seoidal ampliude A/m) Geomeria da residêcia e os poos de rasmissão T e recepção em BR, KTC e LR. Pulso de eciação 49 Disribuição da compoee E (db) após 300 ierações 50 Disribuição da compoee E (db) após 500 ierações 50 Disribuição da compoee E (db) após 700 ierações 5 Poêcia recebida o quaro (Eciação Gaussiaa), poo BR 5 Poêcia recebida a coiha (Eciação Gaussiaa), poo KTC 5 Pulso gaussiao modulado em H uiliado como eciação a célula de gap do 53 dipolo Poêcia recebida o quaro (Eciação Gaussiaa Modulada em GH) 53 Poêcia recebida a coiha (Eciação Gaussiaa Modulada em GH) 54 Poêcia recebida a sala de esar (Eciação Gaussiaa Modulada em GH) 54 Disribuição da compoee E (db) após 300 ierações 55 Disribuição da compoee E após 500 ierações 55 Disribuição da compoee E após 700 ierações 56 Disribuição da compoee E após 900 ierações

10 Resumo É iicialmee é apreseado o méodo das difereças fiias o domíio do empo, o FDTD, a sua formulação origial, proposa por Yee. Em seguida, são feias cosiderações sobre precisão e esabilidade do méodo. São apreseados, eão, os coceios de UPML, de correção de campo para modelar fios fios e de speedup. Em seguida, são apreseados os dois problemas solucioados ese rabalho, feias cosiderações sobre suas soluções e apreseados os resulados. Ao fial, faem-se as úlimas cosiderações a respeio dese rabalho.

11 Capíulo Irodução A imporâcia da aplicação de odas eleromagéicas a rasmisão e a recepção de iformações em crescido de forma epressiva eses úlimos aos [-3]. Iso se deve, ao surgimeo de disposiivos poráeis de comuicação, como celulares e compuadores (mais uiliados em ambiees oudoor), além da recee demada pela implemeação de redes wireless locais de compuadores, uiliadas em ambiees idoor, como residêcias e escriórios. Se a iformação a ser rasmiida for eviada aravés do espaço livre, a recepção ão haverá qualquer ipo de disorção do sial, cosiderado que o recepor e o rasmissor esejam parados. Nese caso, haverá apeas a aeuação do sial devida à epasão da oda. Na práica, quado se deseja faer um esudo sobre propagação idoor ou oudoor, a siuação é bem diferee, pois esses ambiees são formados por vários obsáculos e ormalmee o rasmissor e o recepor são corpos em movimeo, ode o sial recebido é o resulado da superposição de odas direa, refleidas, refraadas, difraadas, ec [,]. Para aeder essas siuações mais gerais, várias écicas êm sido desevolvidas para prever o comporameo das odas em diversos ipos de ambiees. Ese ipo de rabalho propicia a redução das medições dos siais que ormalmee são realiadas os projeos, coseqüeemee reduido ambém os cusos e o período de realiação do projeo, o que pode ser crucial para o sucesso de um sisema de comuicação sem fio. Nese coeo, as écicas uméricas usadas para predição dos siais [,,4], evolvem ão só um grade empo compuacioal como ambém um cosiderável espaço de memória para processameo. A dispoibilidade de máquias cada ve mais poees, a cusos cada ve meores; o surgimeo de sisemas operacioais grauios [5], aberos e pricipalmee robusos; e o méodo FDTD [-3],[6-7], associado aos recursos, que hoje são dispoíveis, para redução do empo de processameo e espaço de memória, ais como: ) codição de froeira absorvee UPML [8], ) écica de redução do úmero de compoees dos campos elérico e magéico [3], 3) formulação do problema em coordeadas curvilíeas gerais [,3,6,7], 4) écicas de compressão de dados [4], e 5) processameo paralelo [8,9], sugerem que sejam aplicados ais recursos a solução de problemas reais ão só de eleromageismo aplicado à comuicação, mas os mais vários campos da ciêcia.. Objeivos Nese rabalho, foram desevolvidos códigos especiais, usado-se o méodo FDTD, a solução das equações de Mawell, para rodar em ambiee de processameo paralelo. A formulação foi desevolvida em coordeadas reagulares, cosiderado-se como écica de rucagem da região de aálise o uso da UPML. Para faciliar a aálise dos problemas proposos foi sugerido o uso de uma foe de eciação especifica, a qual raa-se de um dipolo de meia-oda cosiuído de fio fio. O ambiee compuacioal assim desevolvido foi esado a solução de dois ipos de problemas evolvedo espalhameo eleromagéico: o primeiro refere-se a um problema em ambiee oudoor e o ouro em ambiee idoor. Dessa forma, os pricipais objeivos dese rabalho se cosiuem por:

12 . Reproduir a solução origial do problema aalisado em [] e mosrar que a formulação bidimesioal do méodo FDTD pode ser uiliada em simulações de propagação oudoor para a obeção de iformações úeis, como a caraceriação da disorção do sial origial devido ao meio e aos parâmeros da solução umérica, como a ampliude e a forma do sial de eciação, por eemplo. Além disso, desejou-se epadir a solução compuacioal origial para rodar em processameo paralelo [8,9]. Nese caso, será realiada uma aálise da performace compuacioal do cluser omado-se como referêcia o processameo serial realiado em uma úica máquia.. Aplicar a formulação ridimesioal do méodo FDTD para avaliar a propagação eleromagéica o ambiee idoor simulado em []. Vale ressalar que os resulados aqui obidos deverão ser mais precisos devido as seguies raões: ) sempre usou-se como codição de froeira absorvee (ABC) a UPML (abordada a Seção.3), ao passo que Kodlis a all. [] usaram Mur a ordem; ) foi feia a correção das compoees do campo magéico cosiderado os efeios causados por elemeos subcelulares (Seção.4) e 3) ese rabalho, écicas de processameo paralelo foram aplicadas, o que ão ocorre a obra origial.. - Composição Ese rabalho esá orgaiado da seguie maeira: Capíulo : mosram-se os aspecos relacioados ao assuo raado, sua relevâcia e os objeivos básicos dese rabalho; Capíulo : apresea-se o méodo umérico FDTD em sua formulação origial, proposa por Yee, assim como os aspecos relaivos à precisão e à esabilidade do méodo, além da aálise da ABC UPML, da correção de campo modelado Thi Wires e do coceio de Speedup. Capíulo 3: Nese capíulo, apreseam-se os dois problemas a serem solucioados ese rabalho, o primeiro relaivo a propagação oudoor e o ouro para idoor. Em seguida, são feias cosiderações sobre as soluções aplicadas e são mosrados e aalisados os resulados obidos. Capíulo 4: Aqui são feias as cosiderações fiais sobre o rabalho.

13 Referêcias Bibliográficas [] A.N. Belém, Caraceriação Bidimesioal de Caais de Rádio Aravés de Difereças Fiias o Domíio do Tempo, Disseração de Mesrado, Uiversidade Federal de Mias Gerais, de seembro de 00. [] George D. Kodlis, O idoor wireless chael characeriaio ad he desig of ierferece aware medium access corol proocals for packe swiched eworks, Tese de Pós-douorado, Uiversi of Califoria, Los Ageles, 000. [3] G.D. Kodlis, F. De Flaviis, G.J. Poie, ad T. Ioh, A memor-efficie formulaio of he fiiedifferece ime-domai mehod for he soluio of Mawell equaios, IEEE Tras. O Microwave Theor ad Techiques, vol. 49, o. 7, Jul. 00. [4] R. Valeuela, A ra racig approach for predicig idoor wireless rasmissio, i Proc. IEEE Vehicukar Techolog Coferece, VTC993, Ma, 993; [5] liu.org [6] Josivaldo Araújo, Aálise de aeas em -D uiliado o méodo das difereças fiias o domíio do empo com processameo paralelo, Tese de Mesrado, UFPA/PPGEE, Belém Pará, 4 de jaeiro de 003; [7] W. Yu ad R. Mira, A ew subgriddig mehod for he fiie-differece ime-domai (FDTD) algorihm, Microwave ad opical echolog leers, vol., o. 5, Ju [8] S.D. Gede, A aisoropic perfecel mached laer absorbig medium for he rucaio of FDTD laices, IEEE Tras. Aeas Propaga., vol. AP-44, o., pp , Dec [9] D. Sulliva ad J.L. Youg, Far-field ime-domai calculaio from aperure radiaors usig he FDTD mehod, IEEE Tras. Aeas Propaga., vol. 49, o. 3, Mar. 00. [0] K.S. Yee, Numerical soluio of iiial boudar value problems ivolvig Mawell s equaios i isoropic media, IEEE Tras. Aeas Propaga., vol. AP-4, pp , Ma 966. [] R. Hollad, The case agais saircasig, i Proc. 6 h Aual Review of Progress i Applied Compuaioal Elecromageics (Moere, CA),Mar.9-, 990, pp [] R. Hollad, Fiie-Differece soluio of Mawell s equaios i geeralied oorhogoal coordiaes, IEEE Tras. Nucl. Sci., Vol. NS-30, o.6 Dec [3] J. F. Lee, Modelig Three-Dimesioal Discoiuiies i Waveguides Usig No-orhogoal FDTD Algorihm, IEEE Trasacios o Microwave Theor ad Techiques, vol.40, o. Feb. 99. [4] A. Taflove, Fiie Differece Time Domai Mehods for Elecrodamics Aalsis. NY: Arech House, ma 998. [5] A. Taflove, Compuacioal Elecrodamics: The Fiie Differece Time Domai Mehod, NY: Arech House, ma 995; [6] M. Fusco, FDTD algorihm i curviliear coordeiaes, IEEE Tras. Aeas Propaga., vol. 38, pp 76-88, Ja [7] E. A. Navarro, C. Wu, P. Y. Chug ad J. Liva, Some Cosideraios Abou he Fiie Differece Time Domai Mehod i Geeral Curviliear Coordiaes, IEEE Microwave ad Guided Wave Leers, vol. 38, No.,pp , December 994. [8] I. Foser, Desigig ad buildig parallel programs: Coceps ad ools for parallel sofware egieerig, Addiso Wesle 994. [9] Joh Rocha, "Cluser Beowulf. Aspecos de Projeo e Implemeação.", Disseração de Mesrado, PPGEE/UFPA, Jaeiro de 003; 3

14 CAPÍTULO ANÁLISE TEÓRICA. O MÉTODO FDTD Em 966, Kae Yee [] publicou um modelo de discreiação das equações difereciais de Mawell que era de fácil compreesão e implemeação, mas que, devido ao alo cuso compuacioal vigee aé eão e às limiações presees em sua publicação origial, ão desperou isaaeamee ieresse a comuidade cieífica. Porém, o rápido decréscimo da relação cuso por poder de processameo dos equipameos digiais, o desevolvimeo de écicas eficiees de rucagem do méodo FDTD e, aualmee, a dispoibiliação de sofwares livres e aberos de ala qualidade [] êm propiciado um grade ieresse por pesquisas em diversos campos do cohecimeo uiliado-se do algoríimo de Yee, sedo que a úlima década o úmero de publicações relacioadas ao méodo de difereças fiias o domíio do empo (méodo FDTD), cresceu e vem crescedo lieralmee de forma epoecial. A simplicidade do méodo se deve pricipalmee ao fao de se basear o cálculo de um úmero fiio de aproimações algébricas obidas a parir de equações difereciais. Dessa forma, como essas equações evolvem soluções os domíios espacial e emporal, o méodo gera um úmero fiio de cojuos formados por uma quaidade fiia de poos a cada ieração. Iuiivamee, isso é algo semelhae ao que ocorre a produção de vídeos digiais, ode cada quadro do filme coém um cojuo fiio de poos amosrados da imagem real (que possui, a verdade, ifiios poos o momeo da amosra) e cada quadro correspode a um isae discreo do processo. Isso auralmee sugere que, depededo do que se quer discreiar, há um úmero óimo de poos que devem esar coidos em cada amosra emporal, assim como deve ser esabelecido um iervalo míimo de empo ere as amosras, de forma que se erre o míimo possível. Isso caraceria a esabilidade do méodo. Vale lembrar que um refiameo da discreiação além desse poo óimo ão produ resulados muio melhores que o jusifique, o que só demadaria mais empo de processameo para a obeção dos resulados. Além disso, esse refiameo em limies imposos pela própria máquia o que se refere à precisão, iso é, pelo próprio amaho das palavras biárias que a máquia pode maipular (erro de arredodameo). Se isso ão for respeiado, logicamee erros de precisão serão iroduidos durae os cálculos. Devese ressalar aida que o méodo FDTD é freqüeemee aplicado em sua modalidade ridimesioal, cujo modelo é dealhado a seguir... A Formulação 3D do Méodo FDTD Como mecioado aeriormee, o méodo das difereças fiias o domíio do empo é baseado em cálculos de difereças algébricas obidas a parir de equações difereciais. Quado o méodo FDTD é aplicado com o objeivo de simular propagação de odas eleromagéicas, essas difereças algébricas vêm das equações de Mawell. Essas difereças baseiam-se a epasão de fuções em série de Talor [3], com depedêcia espacial e emporal, como será mosrado a seguir. Cosiderado o domíio uidimesioal, sem perda de geeralidade, ode a derivada de uma fução f(), que é fiia e coíua em oro de um poo, assim como as suas derivadas, é ecorada a parir de sua epasão em série de Talor em oro de al poo. Eão, podemos dier que (figura.): 4

15 f f f! ² f ² 3! 3 ³ f ³ (.a) f f f! ² f ² 3! 3 ³ f ³ (.b) Subraido a equação (.a) de (.b), resula: f f f 3! 3 ³ f ³ (.) A epressão acima será rucada levado os ermos desacados os colchees a ero, gerado eão uma aproimação de a ordem, pois odos os ermos despreados possuem o com epoees maiores ou iguais a. Assim, a equação que aproima as derivadas por difereças algébricas o méodo FDTD com precisão de a ordem se defie por (caso uidimesioal): f f f, (.3) que é a defiição de Derivada Cerada de a ordem (figura.), que será usada as aproimações das derivadas espaciais e emporais para a solução das equações de Mawell. f() f (+ ) f () f (- ) (- ) (+ ) Figura. - A idéia de Derivada Cerada Cosidere agora que emos uma fução coíua o empo e o espaço, represeada por 5

16 F(,,,). Se omarmos valores discreos para as suas variáveis idepedees, emos valores discreos de F(,,, ) represeados por F(i., j., k.,. ), de maeira que,, e sejam os icremeos discreos de suas respecivas variáveis e i, j, k e sejam valores ieiros que, juos, caraceriem as posições dos poos da discreiação, ou seja, se i, j, k e são máimos, o produo i..j..k. é o volume oal cosiderado e. é a duração oal da observação do feômeo. Assim, a fução F, em sua versão discrea, pode er a seguie represeação: F(i, j, k,), ou melhor: F,,, F i, j, k (.4) Dessa forma, a propagação de odas eleromagéicas, cosiderado meios isorópicos, pode ser descria pelas equações de Mawell a forma diferecial como segue: E H, (.5) ode E e H represeam os veores iesidade de campo elérico e magéico, respecivamee, e µ é a permeabilidade magéica. A equação acima escria a forma escalar, gera as seguies equações para a variação emporal do campo magéico: e H H H H E E E E E, (.5a) E, (.5b) E, (.5c) J, (.6) cuja forma epadida é: E E E H H H H H H E, (.6a) E, (.6b) E, (.6c) que são as equações de propagação para o campo eleromagéico. Assim, dispodo-se das equações (.5) e (.6) a forma epadida, pode-se aplicar a 6

17 # defiição de derivada cerada (.3), obedo-se assim as equações de Mawell em suas versões discreas, que são mosradas as equações (.7) para o campo magéico (.5a,.5b e.5c): H i, j, k H i, j, k E i, j, k E i, j, k E i, j, k E i, j, k, (.7a) H i, j, k H i, j, k E i, j, k E i, j, k E i, j, k E i, j, k, (.7b) H i, j, k H i, j, k E i, j, k E i, j, k E i, j, k E i, j, k (.7c) De forma semelhae, para o campo elérico(.6a,.6b e.6c), emos: E i, j, k E i, j, k H i, j, k H i, j, k H i, j, k H i, j, k E i, j, k E i, j, k, (.7d) E i, j, k E i, j, k H i, j, k H i, j, k H i, j, k H i, j, k! E i, j, k E i, j, k, (.7e) E i, j, k " E i, j, k H i, j, k H i, j, k H i, j, k H i, j, k! E i, j, k E i, j, k (.7f) 7

18 Observado-se aeamee as equações.7, que são uiliadas para aualiar os campos em cada ieração, oa-se que as compoees dos campos elérico e magéico foram discreiadas de al maeira que esão iercalados o empo e o espaço, orado possível, a parir do esudo das caracerísicas da oda eciadora e do(s) meio(s) o(s) qual(is) ela se propaga, defiirmos os icremeos emporal ( ) e espaciais (, e ) que garaam que erros causados pela amosragem sejam míimos, assegurado a esabilidade umérica do algoríimo e saisfaedo a coiuidade dos campos ageciais as ierfaces ere meios com caracerísicas diferees [4]. Tem-se eão um isae as compoees do campo elérico e o isae -½ aquelas do campo magéico como base de referêcia emporal para aualiar as compoees os isaes + (campo elérico) e +½ (campo magéico). É, eão, raoável se pesar em dois ipos de célula: uma para as compoees do campo elérico e oura para aquelas do campo magéico, chamadas primária (figura.a) e secudária (figura.b), respecivamee, que são separadas o empo por ½. e espacialmee separadas pelas meades dos icremeos, e (figura.c). i, j, k+ E H i + ½, j - ½, k + ½ H E i, j, k + ½ H i+, j, k H E i, j, k H E i, j+, k E i, j, k H E Célula Primária (isae ) (a) () (+ /) Tempo E H X Z Y Espaço Célula Secudária (isae + ½) (b) E H H E E H (c) Figura. - (a) Represeação da célula primária (isae ), (b) Represeação da célula secudária (isae +½) e (c) Represeação ridimesioal de ambas as células iercaladas o empo e o espaço. 8

19 O coceio de célula primária e secudária discuido acima é fudamealmee imporae quado um problema é solucioado com a uiliação de coordeadas gerais, ou seja, quado o direcioameo das compoees de campo ão é o mesmo em odas as células do domíio em quesão. Porém, ese rabalho, a solução dos problemas se dá com predeermiação uiforme da direção de odas as compoees de campo. Noa-se eão que é possível represear essas compoees de campo de forma discrea por uma úica célula (uidade discreiadora úica) que seja composa pelas coordeadas de ambos os campos, elérico e magéico, disribuídos a mesma disposição da figura.c, obedecedo porao as iercalações emporais e espaciais. Tal represeação, mosrada a figura.3, caraceria a proposição de Yee. (i +, j +, k+) H E H (i+, j, k) (i + ½, j, k) E (i, j, k) H E (i, j + ½, k) (i, j +, k) () Tempo Espaço X Z E H E Y (+ /) (+) Figura.3 A Célula de Yee em perspeciva ridimesioal As equações.7 e a disribuição de campos de Yee (figura.3) são as pricipais ferrameas ecessárias à implemeação compuacioal para a aálise de propagação de campos pelo méodo FDTD. É ieressae ressalar, o eao, que a aplicação do méodo FDTD à região que se quer aalisar deermiada propagação eleromagéica ão caraceria o preechimeo das células de Yee por maéria. Toda a iformação esá coida as compoees de campo, calculadas em cada uidade discreiadora a cada ieração, cohecedo-se as caracerísicas eleromagéicas ( e µ) em cada célula do domíio em quesão [4]. Para ilusrar uma implemeação compuacioal do méodo FDTD, o caso da figura.3, por eemplo, em-se represeada a célula (i,j,k) o domíio espacial da implemeação e são calculadas as compoees de campo elérico E(i,j,k), E(i,j,k) e E(i,j,k) de ossa célula em um isae + (.7d,.7e e.7f) e as compoees de campo magéico H(i,j,k), H(i,j,k) e H(i,j,k) para o isae +½ (.7a,.7b e.7c) o mesmo loop emporal do sofware, após cohecidas as compoees de campo elérico. Obviamee, as caracerísicas eleromagéicas são defiidas aes dos cálculos de ais compoees ou iseridas direamee as equações de campo, quebrado-se 9

20 o laço do empo em regiões espaciais com caracerísicas eleromagéicas pariculares. Tais cuidados são de grade imporâcia devido ao gigaesco poder de processameo requerido pelo méodo FDTD a resolução da maioria dos problemas. Observe, o eao, que a implemeação do méodo a região de aálise ão são uiliados os ídices + ½ ( pode ser i, j, k ou ) porque as equações de campo (.7) ão depedem direamee desses ídices (da posição física dos campos), mas sim de valores de campo em isaes ou posições com ídices iferiores ao auais, i, j e/ou k. Além disso, como os valores de campo em deermiado isae são usualmee armaeados em veores, cujos ídices dos elemeos são valores ieiros, visualiar uma célula (i,j,k) o isae com as seis compoees de campo com ídices (i,j,k,) dero do programa represea uma grade facilidade a implemeação. Durae a geração do código foe do programa, deve-se er cuidado ao se referir às compoees correamee. O raciocíio mais simples é sempre baseado a idéia de que cada célula possui as seis compoees de campo (caso 3D) e, porao, odas elas possuem os mesmos ídices i, j, k e a implemeação. Como será viso em seções subseqüees, os faores ½ que ão aparecem as equações de campo da região de aálise a implemeação são, o eao, imporaíssimos para as equações das regiões de rucameo do méodo: as regiões de PML... O Traameo das Codições de Cooro para Coduores Perfeios Uma quesão imporae, cujo desaque é adequado ese poo, é o raameo dado aos maeriais coduores coidos o volume compuacioal. Eles são defiidos simplesmee aulado-se os campos eléricos ageciais as suas superfícies à cada ieração, impedido, porao, que haja peeração de campo em coduores eléricos...3 Cosiderações sobre o méodo FDTD Percebe-se, eão, que o méodo FDTD é eremamee poderoso, pois possibilia a obeção de valores dos campos elérico e magéico em odos os poos (discreos) da esruura em odos os isaes (igualmee discreos) do feômeo sob simulação. Com ais iformações, podese gerar dados para esudos esaísicos de poêcia, por eemplo, em diversos poos de recepção rodado o sofware uma úica ve e caraceriar suas evoluções durae o decorrer do empo de aálise. Verifica-se ambém que é possível modelar ambiees com grade grau de compleidade e dealhameo com relaiva facilidade. Todavia, ambém é evidee que o méodo requer grade quaidade de memória compuacioal e capacidade de processameo, orado-o, depededo dos recursos dispoíveis e do amaho elérico do problema a ser solucioado, mais araivo para a aálise e modelameo de ambiees idoor do que oudoor, pois ese úlimo requer quaidades realmee gigaescas de RAM pela grade quaidade de células evolvidas, pricipalmee o caso ridimesioal. Tal implemeação é mais rabalhosa ao programador, mas garae melhor performace compuacioal, o que é primordial para aalisar propagação em grades regiões. Como a grade maioria dos casos e µ são cosaes com o empo, esa é a forma de implemeação mais idicada. 0

21 . PRECISÃO E ESTABILIDADE NO MÉTODO FDTD Assegurar que um código compuacioal desevolvido para solucioar deermiado problema baseado em um méodo umérico gere resulados o mais próimo possível da realidade sem, em momeo algum, haver divergêcia da solução procurada sigifica raar de precisão e de esabilidade, respecivamee. Com o méodo das difereças fiias o domíio do empo ão é diferee. Dessa forma, ais quesões são eremamee imporaes se são desejados resulados úeis para se aalisar deermiado problema com cofiabilidade, sedo, porao, requeridos esudos prelimiares dealhados sobre essas quesões. No caso específico da simulação de propagação de odas uiliado o méodo FDTD, precisão e esabilidade esão iimamee relacioadas às dimesões das células de Yee, e e à discreiação emporal caraceriada pelo icremeo. Assim, raar dessas duas quesões para solucioar um problema por FDTD sigifica, basicamee, deermiar limies superiores para os icremeos espaciais e emporal que assegurem ambos: erros míimos decorrees da discreiação e a esabilidade umérica do méodo. Assim, para que ão haja grades difereças ere os valores dos campos de células viihas, é iuiivamee percepível que, e sejam apeas uma pequea pare do meor comprimeo da oda propagae do problema. Além disso, deve haver um compromeimeo dos icremeos espaciais com o icremeo emporal que garaa a esabilidade do processo umérico[5]. Para eviar que uma ieração gere um erro superior ao gerado pela ieração aerior, ou seja, para que o méodo seja esável, deve ser saisfeia a seguie codição: v ma (.8a) Tal iequação é a codição de esabilidade para uma oda que se propaga por células uiárias de Yee o méodo FDTD e é cohecida como codição de Coura [6] para o caso ridimesioal, ode v ma é a máima velocidade de propagação da oda a região de aálise. Para problemas bidimesioais e uidimesioais, devem ser saisfeias, respecivamee, as seguies equações [7]: v ma (.8b) v ma (.8c) As equações.8b e.8c são as codições de esabilidade de Coura para os casos bidimesioal e uidimesioal, ode ß é a cosae de fase e ß e ß são decomposições de ß os eios e. As equações (.8b) e (.8c) são uiliadas a aálise das caracerísicas de propagação em guias de oda. Todavia, para problemas de espalhameo eleromagéico, como os solucioados ese rabalho, a cosae de fase ß é elimiada. Em ermos de precisão, para a escolha dos icremeos espaciais, será uiliado o limie esabelecido pela iequação (.9), que garae precisão adequada os resulados obidos a solução dos problemas raados o decorrer dese rabalho.

22 mi,, 0 Os limies iferiores das dimesões da célula de Yee e de (ou seja, os limies de refiameo da discreiação) são deermiados pela capacidade da máquia, ou mesmo do compilador em algus casos, de maipular palavras biárias de aé deermiado amaho em operações de poo fluuae. Ou seja, a medida em que os valores absoluos dos úmeros que se quer represear vão ededo a ero (ou a ifiio), mais bis são ecessários para represeá-los em base (biário). Para ameiar essas limiações, os compiladores oferecem, por eemplo, possibilidade de declarar variáveis com precisão dupla (real*8 o forra ou double em C), ou aida com quádrupla precisão (log double em C) ou seja, esamos especificado quaos bis serão desiados para essas variáveis (3 bis para precisão simples, 64 para dupla precisão, ec...) [8].Todavia, deve-se oar que maipular palavras maiores ambém sigifica a demada de mais empo de processameo e de maior cosumo de memória. Como é percepível e já foi mecioado, há um limie imposo ao ível de discreiação deermiado pelo próprio sisema uiliado, pois erros de arredodameo, cohecidos a lieraura como erros de roudoff [9], são iroduidos os cálculos e podem se orar basae sigificaivos se aálises prelimiares (sobre precisão) ão forem realiadas. Além disso, muios compiladores seguem, por eemplo, a seguie políica: quado ão coseguem represear deermiada quaidade, eram em uderflow se al quaidade for muio pequea ou em overflow se for muio grade. Assim reoram em seus cálculos palavras-chave como NAN (No A Number) e INF (Ifii) e coiuam o processameo, sedo, esses casos, visivelmee clara a propagação de erros dessa aurea. Pode-se oar eão que há dois ipos imporaes de erro que podem ser iroduidos: os chamados erros de discreiação, iseridos quado o ível de refiameo da discreiação ão é grade o suficiee para maer uma difereça adequada ere ampliudes de campos de células adjacees e erros de roudoff, que vão se orado mais palpáveis a medida em que a discreiação do volume umérico é mais refiada. Tal corase esá ilusrado qualiaivamee a figura.4. (.9) Erro Erro Toal Erro de Roudoff Erro de discreiação Refiameo da discreiação Figura.4 Erro Toal, iroduido por Roudoff e pela própria discreiação

23 .3 TRUNCAMENTO POR PML Em uma simulação por FDTD, há a ecessidade de impor, os limies do volume umérico de ieresse, codições de absorção da oda aalisada [6]. Se ais codições ão forem imposas, é ecessário cosiderar a propagação da oda ao ifiio, o que requer uma quaidade ifiia de memória e de processameo compuacioais, orado o méodo FDTD irrealiável. Se a região for simplesmee rucada sem os cuidados de uma região de absorção, problemas de refleão se apreseam. A absorção a periferia dos limies uméricos deve er a máima eficiêcia possível, eviado, porao, a iserção de erros os cálculos realiados a região de aálise efeiva (que é o foco de ieresse do problema) por refleão em ais limies. Essas codições, cohecidas como codições de froeira absorvee (ABCs)[6], oram realidade simulações desse ipo pelo méodo FDTD. O que se deseja com iso, porao, é que a oda de eciação se propague da forma mais aural possível a região de aálise, mesmo processado-se um úmero superior de ierações aquele ecessário para a oda aigir as froeiras do volume umérico, idepedeemee da freqüêcia, do âgulo de icidêcia e da polariação da oda aalisada[0] o momeo em que esa aige a região de absorção. Isso garae um alo ível de eaidão dos resulados obidos dero da região de aálise efeiva, iso é, ais codições faem parecer que a oda coiua se propagado fora do domíio de aálise, ido para o ifiio. Dessa maeira, a idéia de rucar a região de aálise com meios dispersivos, com íveis de aeuação graduais providos de casameo perfeio de impedâcia, cohecidos como Perfecl Mached Laers (PML), em gaho muios adepos por sua relaiva simplicidade de implemeação e compreesão e vem sedo alvo de cosaes melhorias por ser realmee efica. Assim, pesquisas de modelameo de meios absorvees vêm evoluido e aumeado a eficácia do méodo FDTD []. Uma idéia geral de implemeação usado o méodo FDTD rucado por PML, a qual ermia em um plao coduor perfeio, é ilusrada pela figura.5. PML Região de aálise Parede Elérica Coduora Figura.5 Idéia de rucameo de um domíio compuacioal bidimesioal por PML. Na região de aálise são especificadas as caracerísicas cosiuivas do meio de ieresse e aplicadas as equações de Mawell discreiadas, aualiado os campos elérico e magéico a cada ieração. Já a região de PML, são defiidos os parâmeros de aeuação e aplicadas as equações 3

24 especiais de propagação com perdas a PML. Essa região é aida evolvida por uma parede elérica para aular os pequeos campos eléricos ageciais que chegam à essa região coduora. É imporae observar que as refleões desses campos a parede elérica eera serão rapidamee aeuadas pela PML o camiho de vola. As caracerísicas dessa região, bem como as equações que regem o comporameo de seus campos serão dealhadas a seguir..3. UPML: Caracerísicas Gerais e Equações de Propagação As regiões de aálise, para os problemas solucioados o próimo capíulo dese rabalho, foram rucadas por um ipo especial de PML: a PML uiaial ou UPML. Dessa forma, procurarse-ão mosrar, de forma rápida e objeiva, as caracerísicas das camadas que cosiuem uma região de PML e as equações que goveram a propagação com aeuação uidirecioal gradual esses meios uiliado o méodo das difereças fiias. As equações de UPML aqui apreseadas são baseadas a formulação desevolvida por S.D. Gede[0], pois esa é relaivamee simples e de grade eficiêcia. Gede pariu das codições esabelecidas por Holad[] para rasmissão oal (casameo de impedâcia ere dois meios), que é valida apeas para odas plaas com icidêcia ormal à ierface de separação ere dois meios: e. Tais codições são dadas por: e m, (.0a), (.0b), (.0c) ode e é a coduividade elérica e m a coduividade magéica, µ i e i são a permeabilidade magéica e a permissividade elérica do meio i, respecivamee. Gede se baseou ambém o rabalho desevolvido por Bereger[], o qual foi mosrado pela primeira ve o coceio de uma região absorvee formada por várias camadas (meios) que gradualmee aeuam a oda icidee: o coceio de PML. Gede simplificou maemaicamee a formulação de Bereger, orado a PML mais eficiee. Dessa forma, se for cosiderada a passagem da oda de um meio isorópico para um meio com aisoropia uiaial (que caraceriará a região absorvee sob aálise), as relações que caraceriam a aisoropia do segudo meio podem ser dadas por: D E, (.) B H, (.) ode [µ] é o esor permeabilidade magéica e [ ] é o esor permissividade elérica do meio, de maeira que possam ser escrios ambém da seguie forma: 4

25 a b c, (.3) a b c (.4) As equações acima são epressões gerais que represeam as caracerísicas eleromagéicas de um meio aisorópico, ode a, b e c, que são os elemeos da diagoal da mari, êm geralmee a forma complea. Dessa maeira, o uso da oação esorial sugere a uiliação das equações de Mawell o domíio da freqüêcia, para simplificar sua solução. Assim, em-se: E j H, (.5) H j E, (.6) ode E e H represeam os fasores veor iesidade de campo elérico e magéico, respecivamee. Um formao da mari que garae juamee com as codições.0 que uma oda plaa, com compoee de propagação a direção, por eemplo, seja oalmee rasmiida do espaço livre ao meio em quesão, idepedeemee de sua freqüêcia, de seu âgulo de icidêcia e de sua polariação é dado por [6]: j j j 0 (.7) Tal disposição dos elemeos da mari acima caraceria aeuação devida às pares imagiárias (coduividade ), a direção. Dessa forma, mesmo que uma oda icida obliquamee a ierface de separação =0, por eemplo, como há uma compoee de propagação a direção, haverá eão aeuação em al direção. Todavia, uma versão mais complea dessa aisoropia, que se aplique à oda a geomeria ridimesioal de absorção por UPML o méodo FDTD é coveiee. A idéia é que haja aeuação em odas as seis ierfaces que cooram o volume de aálise e os quaro caos eisees. Dessa forma, pode-se descrever maemaicamee essa aisoropia com a mari [S], defiida por [6]: 5

26 S j 0 0 j j 0 0 j j j 0 0 j 0 0 j j 0 (.8) Uma maeira mais compaca de escrever a equação.8 é defiir: s i i j 0, (.9) ode i é uma das coordeadas espaciais. Dessa maeira, pode-se reescrever a mari [S] assim: S s s s s s s 0, (.0) 0 0 s s s e, porao, as equações.5 e.6 são reescrias como segue E j S H, (.) H j S E (.) Aalisado as equações.0,. e. compuacioalmee, observa-se que, se as equações (.) e (.) fossem rasformadas para o domíio do empo, covoluções iriam surgir ere o esor [S] e os veores campo elérico e magéico, gerado um código ieficiee. Por isso, defiem-se as relações cosiuivas para as compoees dos veores desidade de fluo magéico (B) e elérico (D) da seguie maeira: B! B #" B #" D $&% D ')( D ')( s s H ; (.3a) s s H ; (.3b) s s H ; (.3c) s s E ; (.4a) s s E ; (.4b) s s E, (.4c) 6

27 ode Bi, Hi, Di e Ei (i =,, ) represeam as compoees dos campos o domíio da freqüêcia, as quais permiem facilmee coverer as equações. e. para o domíio emporal [6]. São obidas, eão, as seguies equações a forma discreiada: B i, j, k B i, j, k E i, j, k E i, j, k E i, j, k E i, j, k ; (.5a) H i, j, k H i, j, k r 0 B i, j, k 0 B i, j, k 0 ; (.5b) B i, j, k B i, j, k E i, j, k E i, j, k E i, j, k E i, j, k ; (.5c) H i, j, k H i, j, k r 0 B i, j, k 0 B i, j, k 0 ; (.5d) B i, j, k B i, j, k E i, j, k E i, j, k E i, j, k E i, j, k ; (.5e) H i, j, k H i, j, k r 0 B i, j, k 0 B i, j, k 0, (.5f) 7

28 D i, j, k D i, j, k H i, j, k H i, j, k H i, j, k H i, j, k ; (.6a) E i, j, k E i, j, k r 0 D i, j, k 0 D i, j, k 0 ; (.6b) D i, j, k D i, j, k H i, j, k H i, j, k H i, j, k H i, j, k ; (.6c) E i, j, k E i, j, k r 0 D i, j, k 0 D i, j, k 0 ; (.6d) D i, j, k D i, j, k H i, j, k H i, j, k H i, j, k H i, j, k ; (.6e) E i, j, k E i, j, k r 0 D i, j, k 0 D i, j, k 0 ; (.6f) que podem ser calculadas a seqüêcia apreseada acima a implemeação de um código FDTD. É ieressae observar que essas equações podem ser aplicadas em odo o volume compuacioal, icluido a região de aálise e a de PML, já que os faores, e são ão-ulos apeas a região de absorção e as equações (.5) e (.6) recaem as equações discreas de Mawell (.7) a região de aálise. 8

29 Isso redu sigificaivamee o rabalho de programação. Todavia, esse procedimeo é recomedado apeas para pequeos volumes uméricos, os quais a quesão da performace do sofware ão é ão imporae em ão prejudicada quao as grades malhas. Nesses casos, é acocelhavel aplicar as equações de Mawell (.7) a região de aálise e as equações (.5) e (.6) a região de PML, eviado porao, um grade compromeimeo da performace compuacioal pelo uso de grades arras de coduividade. Vale ressalar que isso ambém se jusifica pelo fao da PML ser formada por poucas células em cada dimesão, freqüeemee em oro de uma deea. Para se er uma idéia da disribuição dos parâmeros pela região de absorção, o caso bidimesioal foi dealhado sob ese aspeco a ilusração que segue (figura.6). Parede Elérica UPML Reg. de aálise j j i 0 i Figura.6 Aálise da disribuição dos faores k o domíio umérico..regiões e 5: 0 0. regiões, 4, 6 e 8: regiões 3 e 7: Região de aálise (9): 0 5. Paredes Eléricas: Compoees de Campo Elérico ageciais ulas. 9

30 Ouro aspeco fudameal da UPML é a disribuição dos valores que k assume dero da região absorvee. Nese caso, cosidere por eemplo as áreas das regiões 5, 6 e 7, as figuras.6 e.7. Aalisado apeas a região 5 da figura.6, à medida em que se camiha a direção crescee de, é icremeado, sedo que a ierface ere a região de aálise e a região de PML (primeira célula da região 5), é ulo para as compoees E, E e H, que, a verdade ão esão dero da região de PML. Assim, a oda é aeuada a direção e a compoee agecial do campo elérico é aulada a parede elérica (úlima célula da região 5). Aalisado a região 7, o mesmo acoece a direção crescee da coordeada com, que vai aumeado essa direção, sedo que a primeira célula da região de PML, é ulo para as compoees E, E e H. Na região 6, que é a verdade uma região comum ere 5 e 7, emos e ambos ão ulos e crescees com as coordeadas e, respecivamee, sedo que e são ulos para a compoee E a primeira célula dessa região. Figura.7: Represeação bidimesioal da célula de Yee Pode-se oar com o que foi aalisado que a posição física das compoees dos campos elérico e magéico em cada célula da PML é de fudameal imporâcia, pois as equações que defiem k êm depedêcia direa dessas posições. Assim, aplicado essas cosiderações à figura.6, pode-se escrever, por eemplo, para a aeuação do campo elérico E a direção dero da região de PML, a seguie equação: j m ma j j, c m 0 j j 0 j j j má (.7a) 0

31 e para a aeuação a direção de H, em-se i ma i i m c m, 0 i i 0 i i i má (.7b) ode ma é o máimo valor de coduividade da região de PML (a parede elérica), i é a posição em ode há ierface ere a região de aálise e a PML esa coordeada (j é aálogo), pode ser 0 ou depededo da região (figura.6), c é úmero de células coidas em uma dimesão da PML (essa largura geralmee é de 0 células) e m é a ordem do poliômio ierpolador (geralmee é 4). Vale ressalar que a eficiêcia da PML depede foremee de ma, cujo valor óimo pode ser calculado aravés da equação: k ma m 50 k, (.8) a qual k =, ou e k é o icremeo espacial correspodee. Esse mesmo raciocíio deve ser seguido para se ober o veor coduividade para cada compoee de campo elérico e magéico para aeuá-la em cada uma das direções do espaço, cosiderado cada posição de ierface ere a região de aálise e a PML..4 - Técica de Correção de Campo para modelagem Fios Fios (Thi Wires) O méodo FDTD, como abordado aeriormee, baseia-se a resolução umérica das equações de Mawell, quado aplicado em simulações de propagação de odas eleromagéicas. Isso evolve defiir a discreiação espacial de acordo com o comprimeo da oda que se quer propagar. Todavia, as dimesões da célula de Yee, defiidas dessa maeira, são freqüeemee algumas vees maiores que o diâmero da aea eciadora do problema, por eemplo, ou maiores que as dimesões de ceras esruuras coidas o ambiee, o que poderia sugerir, iuiivamee, um refiameo da discreiação em pelo meos duas direções para modelar ais elemeos. No eao, al solução implica em um grade cuso compuacioal, orado-a pouco araiva. Aproimar as dimesões da esruura às dimesões da célula de Yee afearia as caracerísicas fudameais das aeas, como a sua impedâcia. Nese coeo, com o objeivo de coorar esse problema de uma maeira relaivamee simples, modificações as equações de campo são iroduidas apeas as células que coém ais esruuras de pequeas dimesões, caraceriado eesões subcelulares. Esruuras comus, com ais caracerísicas, presees o ambiee o qual se quer simular a propagação de odas por FDTD, cosisem em um cilidro meálico de pequeo raio que poderia ser, por eemplo, o elemeo irradiador (moopolo, dipolo, ec...). Uma modelagem mais precisa do efeio causado por essas esruuras a solução de um deermiado problema pode ser desevolvida a parir da uiliação das equações de Mawell a forma iegral [4] para a obeção das equações de aualiação das compoees de campo magéico adjacees à al esruura (figura.8). A obeção das equações aproimadas para o cálculo das compoees dos campos elérico e magéico pare

32 da Leis de Farada e Ampère, respecivamee, como segue: c E dl s H ds (.3) e H dl E ds E ds, (.3) c s s ode s é uma superfície limiada por c. No esquema apreseado pela figura.8, que será aalisado a seguir, a esruura em quesão deve er o raio r o meor que, ou seja, o raio do coduor cilídrico deve ser uma pequea pare de, que já é uma pequea fração do comprimeo de oda propagae, para que as correções as equações de aualiação das compoees dos campos, desevolvidas a seguir, sejam aplicáveis. Além disso, o fio fio deve esar ceraliado ao logo da direção de uma das compoees do campo elérico da célula de Yee (ese caso esá ceraliado em E). Assim, podese dier que, se r é a disâcia radial de um poo ao eio do cilidro, há uma depedêcia (aproimada) de as compoees ormais de campo elérico e magéico, dero das células r em que a esruura esá coida [4]. E(i-,j,k+) E(i,j,k) E(i,j,k+) E(i-,j,k) H(i-,j,k) H(i,j,k) E(i+,j,k) E(i-,j,k) E(i,j,k) r o Fio fio Figura.8 Geomeria de um fio fio e a disribuição das compoees de campo para o plao -. Assim, de acordo com a figura.8, podem-se aproimar maemaicamee, para as proimidades do coduor [4], as seguies compoees

33 #, H r, j, k H i, j, k r (.33) e E r, j, k E i, j, k r (.34) É imporae observar que E (i, j, k) é ulo, pois esá a região coduora e que E (i+, j, k) e E (i-,j,k) ão possuem a depedêcia da disâcia radial r. Dessa maeira, aplicado-se a equação.3 às compoees de campo do cooro (célula) que esá o lado direio da Figura.8, em-se E i, j, k 0 r 0 E i, j, k r dr r 0 E i, j, k r dr r 0 H i, j, k r dr, que se ora, resolvedo as iegrais E i, j, k E i, j, k l r 0 E i, j, k l r 0 H i, j, k l r 0, gerado, aravés da aproimação da derivada emporal de H por difereças fiias H i, j, k H i, j, k "!! $ E % i, j, k E! i, j, k #! l! r 0 E i, j, k, (.35a) que é a equação para aualiar o campo H (i,j,k) da figura.8. Eecuado um procedimeo aálogo para o campo H (i-,j,k) da mesma figura, obém-se a seguie equação de aualiação para o campo magéico: ' H ( & i &, j, k H )+* i &, j, k * -.. E i &, j, k E * i &, j, k ', * l * r 0 E i &, j, k. (.35b) É fudameal oar que, o caso de um problema ridimesioal, o qual o cilidro coduor eseja alihado com o eio (Figura.8), as compoees do campo magéico perpediculares ao plao -, às proimidades do coduor, ambém devem ser corrigidas. Dessa forma, com um procedimeo semelhae ao desevolvido para o plao -, obém-se as seguies correções de H para o plao -: 3

34 H i, j, k ( H i, j, k E i, j, k E i, j, k l r 0 E i, j, k, (.35c) e H i, j, k ( H i, j, k E i, j, k E i, j, k l r 0 E i, j, k. (.35d) O mesmo raciocíio deve ser aplicado quado o coduor esiver alihado com qualquer ouro eio de coordeadas, como será mosrado a seguir. A figura.9 mosra um coduor cilídrico ceraliado ao logo da direção do eio, o plao -. E(i+,j-,k) E(i,j,k) E(i+,j,k) E(i,j-,k) H(i,j-,k) H(i,j,k) E(i,j+,k) E(i,j-,k) E(i,j,k) r o Fio fio Figura.9 Geomeria de um fio fio e a disribuição das compoees de campo para o plao -. Nesse caso, as compoees H (i, j, k) e H (i, j-, k) são corrigidas com as equações (.36a) e (.36b), respecivamee, obidas a parir de aálise similar à realiada para o alihameo aerior. H i, j, k ( H i, j, k E i, j, k E i, j, k l r 0 E i, j, k (.36a) e 4

35 ( H i, j, k H i, j, k E i, j, k E i, j, k l r 0 E i, j, k. (.36b) Eaamee da mesma maeira, é ecessária ambém a correção das compoees de campo magéico orogoais ao plao -. Assim, essas compoees (H) são corrigidas por H i, j, k H i, j, k E i, j, k E i, j, k l r 0 E i, j, k (.36c) e H i, j, k H i, j, k E i, j, k E i, j, k l r 0 E i, j, k. (.36d) E, fialmee, é cosiderado o caso o qual o eio do coduor esá o eio de coordeadas, como mosrado a figura.0. E(i, j+, k-) E(i,j,k) E(i,j+,k) E (i,j,k-) H(i,j,k-) H(i,j,k) E(i,j,k+) E(i,j,k-) E(i,j,k) Fio fio r o Figura.0 Geomeria de um fio fio e a disribuição das compoees de campo para o plao -. 5

36 O campo H é corrigido de forma aáloga aos casos aeriores, da seguie maeira: H i, j, k H i, j, k E i, j, k E i, j, k l r 0 E i, j, k (.37a) e H i, j, k H i, j, k E i, j, k E i, j, k l r 0 E i, j, k. (.37b) Novamee, é ecessário igualmee corrigir as compoees adjacees de campo magéico perpediculares ao plao -, para ese caso. H i, j, k H i, j, k E i, j, k E i, j, k l r 0 E i, j, k (.37c) e H i, j, k H i, j, k E i, j, k E i, j, k l r 0 E i, j, k. (.37d) Com as equações demosradas esa seção, pode-se simular com maior eaidão o comporameo dos campos as proimidades de uma esruura coduora, a qual possui dimesões meores que as da célula discreiadora do problema, sem a ecessidade de refiameo de discreiação essas regiões. Dessa maeira, o campo magéico é calculado ormalmee a região de aálise com as suas equações de Mawell a forma discrea (.7) e em seguida aualiado com as equações mosradas aqui as células adjacees à esruura, de acordo com o posicioameo do cilidro meálico. Da mesma maeira, após calcular o campo elérico em oda a região de aálise, as suas compoees que esiverem a esruura (como E (i,j,k) da Figura.0) devem ser auladas, caraceriado o maerial coduor. Tal abordagem é imporae para ese rabalho, pois, os problemas solucioados o capíulo 3, foi uiliado esse ipo de correção de campo as aeas eciadoras de cada um deles. Ambos os modelameos cosiuem um dipolo, como o mosrado a figura., cujo raio é de amaho bem iferior às dimesões da célula de Yee. 6

37 E (i,j,k+kmá) = 0 E (i,j,k+) = 0 Gap E (i,j,k) E (i,j,k-) = 0 E (i,j,k-kmá) = 0 Figura. Modelameo FDTD para um dipolo alihado paralelamee ao eio Z com gap. Para ese caso (ilusrado pela Figura.), o qual a aea esá alihada com as compoees do campo elérico E, odas essas compoees que pereçam à região coduora do elemeo irradiador são auladas. A compoee E (i,j,k), que se localia o gap da aea, é calculada com a equação de aualiação de espaço livre (.7f), e,fialmee, odas as compoees de campo magéico adjacees a ambas as hases da aea (H e H) são corrigidas com as equações (.35). A eciação é gerada com uma esão aplicada os ermiais da aea, a região de gap. Assim, o campo o gap E (i,j,k) se relacioa com al esão da seguie maeira: V E s i, j, k Z. (.38) É esperada, com a aplicação desa écica, a obeção de resulados refiados, como será abordado com mais cuidado o capíulo 3..5 SPEEDUP 7

38 No próimo capíulo dese rabalho, dois problemas serão resolvidos, sedo um problema bidimesioal para um ceário oudoor e o ouro ridimesioal para um ceário idoor. Ambos, especialmee o ridimesioal, requerem um grade poder de processameo. O primeiro problema foi solucioado de duas maeiras: ) de forma serial (com um sofware escrio para rodar em apeas um compuador) e ) com implemeação paralela ode programas foram desevolvidos para rodar em duas, quaro e oio máquias. Já o ceário ridimesioal idoor, por ser eremamee pesado, foi solucioado apeas com o úmero máimo de máquias dispoível (8 máquias). Dessa maeira, é adequado se faerem ese poo cosiderações sobre o desempeho do cluser. A defiição clássica e mais simples de speedup [4] é a relação ere o empo de eecução de um sofware escrio com algoríimo serial (um processador) e o empo de eecução de um sofware escrio com um algoríimo equivalee paraleliado (roda em mais de um processador). Assim, emos formalmee eão Speedup empo processador empo N processadores (.8) Porém, ão esão sedo levados em coa diversos faores, como, por eemplo, o comporameo da memória cache (que é muio mais rápida que a RAM e que, porao, um maior úmero de compuadores evolvidos represeam mais cache dispoível), ou as limiações imposas pela rede ou mesmo pares do programa que ão podem ser paraleliadas, como reuir dados para gravá-los em disco ou para uiliá-los em ouras máquias. Essa úlima quesão é uma observação muio comum quado se fala em processameo paralelo e é raada pela lei de Amdahl, defiida da seguie maeira [4]: se a compoee serial de um algoríimo comribui com /s do empo oal de eecução de um programa, eão o máimo speedup que se pode alcaçar com compuação paralela é s. Nos primórdios da compuação paralela acrediava-se que isso limiaria o uso de sua uiliação a poucas aplicações específicas. Hoje em dia, sabe-se com a práica, o eao, que isso é de pouca relevâcia a realidade. Por eemplo, se 50 rabalhadores de 5 esão ociosos equao uma compoee serial do processo é eecuada pelo rabalhador resae, pode-se ver claramee que isso ão é um problema iríseco da arefa que os rabalhadores eecuam, mas um erro de gereciameo. É idiscuível, o eao, que se apeas um deles eecuasse oda a arefa e ão só uma compoee, levaria muio mais empo que os 5. Fica claro ambém que dividir o problema em N pares (compuadores ou rabalhadores) ão sigifica dividir o empo gaso por N. Esse ipo de paralelismo, o qual em odos os processos podem ser paraleliados é chamado paralelismo parcial ou icremeal, e sua eficiêcia é geralmee mais evidee em sisemas relaivamee pequeos. De acordo com a lei de Amdahl, pode-se escrever [3] 8

39 T p T s P N S, (.9) a qual: T p é o empo de processameo paralelo; T S é o empo de processameo serial; P é a porceagem paraleliavel; S é a porceagem ão-paraliavel (serial); N é o úmero de processadores evolvidos. Assim, icorporado as observações de Amdahl (.9) ao coceio de speedup (.8), obém-se Speedup P N S (.30) Ereao, ese coceio é basae subjeivo e, porao, sujeio a diversas ierpreações. Dessa maeira, será usado aqui o coceio básico da equação (.8). 9

40 Referêcias Bibliográficas [] K. S. Yee, Numerical soluio of iiial bodar value problems ivolvig Mawell s equaios i isoropic media, IEEE Tras. Aeas ad Propaga., vol. 4, pp , Ma 966; [] hp:// ; [3] P. Morse, H. Freshbach, Mehods of Theoreical Phsics-Par I, New York: Mcgraw-Hill, pp , 953; [4] Ku Luebbers ad Ramod J. Luebbers, "The Fiie Differece Time Domai Mehod for Elecromageism", CRC Press Washigo D.C., 993; [5] A.Taflove ad M.E. Brodwi, Numerical Soluio of Sead-Sae Elecromageic Scaerig Problems Usig he Time-Depede Mawell s Equaios, IEEE Tras. Microwave Theor ad Tech., vol. MTT-3, Number 8, Aug. 975, pp ; [6] A. Taflove, Fiie Differece Time Domai Mehods for elerodamic Aalsis. New York: Arech, 998; [7] C. T. Saches, Arur, O méodo FDTD a aálise de esruuras periódicas. TCC, Uiversidade Federal do Pará, CT/DEE, Belém, Pará. Pág Ouubro de 000; [8] Viviae Mirahi, Vicorie, Treiameo em Liguagem C (Módulo ), São Paulo: Mcgraw-Hill, pág. 3, 990; [9] C.L. Da S.S. Sobriho, Tópicos Especiais em Telecomuicações: Méodo das Difereças Fiias, aoações de aula, PPGEE/UFPA, 00; [0] S. D. Gede, A aisoropic perfecl mached laer-absorbig medium for he rucaio of FDTD laices, IEEE Tras. Aeas Propaga., vol.44, pp , Dec. 996; [] R. Hollad ad J. Willams, Toal field versus scaered-field fiie-differece, IEEE Tras. Nuclear.Sciece, vol.30, pp , 983; [] J. P. Bereger, A perfecl Mached laer for he absorpio of elecromageic waves, J. Compua. Phs., vol.4, pp.85-00, Oc. 993; [3] Josivaldo Araújo, Aálise de aeas em -D uiliado o méodo das difereças fiias o domíio do empo com processameo paralelo, Tese de Mesrado, UFPA/PPGEE, Belém Pa, 4 de jaeiro de 003; [4] Foser, hp://www-ui.mcs.al.gov/dbpp/e/ode.hml, 3.. Amdahl s Law. 30

41 CAPÍTULO 3 PROBLEMAS E RESULTADOS No capíulo aerior, foi abordado o méodo FDTD e mosrado que ele pode ser muio úil a predição da propagação de odas eleromagéicas em diversos ipos de ambiees, pois cosise basicamee a aproimação umérica das equações de Mawell por difereças algébricas. Dessa forma, obém-se soluções com óima cofiabilidade, limiada essecialmee pela eaidão de ais aproimações e sesivelmee melhorada pelo projeo das codições de froeira absorvee com PML (.3.) e pelas correções de campo aplicadas a esruuras subcelulares (.4). A possibilidade de simulação de propagação eleromagéica em diversos ambiees com alo grau de cofiabilidade é uma grade ferramea que pode efeivamee reduir cusos e o empo em esudos sobre a caraceriação de caais de rádio (pois dimiui a demada por medições). Tais esudos podem ser a chave para o êio de um projeo de um sisema de comuicação wireless. Nese coeo, são solucioados ese capíulo dois problemas: o primeiro cosise em simular a propagação eleromagéica em um ambiee oudoor e o ouro aalisa o caso da propagação idoor. No caso do problema oudoor, que cosise em um ambiee com seis edifícios meálicos, foram implemeadas quaro versões do sofware simulador, de forma que, aravés da modalidade bidimesioal do méodo, possa-se faer ambém a avaliação de desempeho uiliado-se,, 4 e 8 compuadores, aplicado écicas de processameo paralelo (biblioeca LAM-MPI) [] e o coceio de speedup, apreseado a seção.5. Desa forma, foram obidos dados sobre a resposa ao impulso do caal de propagação e sobre a poêcia recebida em cico poos, a parir de eciação seoidal coíua com quaro íveis de ampliude diferees. Além disso, foram gerados gráficos os quais se pode observar a disribuição de campo esses casos. Para al, foi cosruída uma malha de células, represeado 3030 m. O equipameo uiliado para o processameo cosise em um cluser Beowulf [][3], com 8 PCs equipados com processadores AMD Ahlo de.8gh,,5gb de memória RAM 66MH, sedo que o compuador maser possui processadores do mesmo ipo. A iercoeão de rede baseia-se a ierface Ehere 00MBis/s com eceção do maser, que é de GBi/s. Tudo foi ierligado com um swich, garaido melhor performace em relação a um hub. O sisema operacioal uiliado é o RedHa Liu 7.3 [4]. Todavia, mesmo com esses recursos, o modelameo FDTD ridimesioal dese problema oudoor requer uma grade capacidade de processameo e pricipalmee uma quaidade gigaesca de memória para os padrões de hoje, sedo, à primeira visa, impraicável com esses recursos dispoíveis o momeo. Mais esudos podem e devem ser feios para miimiar os requerimeos ecessários à simulações FDTD. Já o caso do problema idoor, foi simulado um ambiee de uma residêcia vaia, a qual foram cosideradas as permissividades equivalees das paredes ieras e eeras e, pela implemeação er sido baseada a modalidade ridimesioal do méodo FDTD, são cosiderados os efeios de refleão e refração causados pelo piso e pelo eo do ambiee, além da difração as paredes. Para a aálise do ambiee, foi cosruída uma malha de , que, por ser aproimadamee seis vees maior que a malha bidimesioal do problema aerior, foi escria apeas uma versão do sofware, que roda em oio processadores (cluser). A resposa ao impulso do caal foi caraceriada e foi aalisada a propagação de uma poradora seoidal coíua. Um problema similar foi resolvido em [5]. Todavia, os resulados obidos aqui são ceramee mais precisos, pela correção de campo de esruuras sub celulares (ausee a obra origial) e pela uiliação do méodo de rucameo UMPL (Mür foi usado em [6]) uiliados ese rabalho. Os recursos uiliados para solucioar ese problema são os mesmos que foram usados o problema bidimesioal, aqui abordado. 3

42 3. O problema oudoor Como mecioado aeriormee, ese problema cosise em aplicar o méodo FDTD em sua formulação bidimesioal para ober dados a respeio da propagação de odas eleromagéicas o ambiee mosrado pela Figura 3., realiado as devidas comparações com os resulados ecorados em [7], além da obeção de dados sobre a propagação de uma poradora. O ambiee bidimesioal ilusrado pela Figura 3. cosise em uma área urbaa de 3030m, a qual é poso um rasmissor (T) a rua pricipal e cico recepores (L, L, L3, L4 e L5), sedo dois em ruas secudárias disias (L4 e L5) e os ouros rês a própria aveida pricipal. Há seis edifícios meálicos a região com dimesões 6 9m, defiidos por coduores elericamee perfeios (PEC), disribuídos a disposição apreseada a seguir. Célula Células Y(m) , A B C 300 9, T X L L L , A L 4 B C 00, X(m) Células Figura 3. Geomeria do problema bidimesioal A formulação bidimesioal aplicada esa solução é baseada o modo TM, o qual são calculadas as compoees de campo magéico H e H e a compoee de campo elérico E (Figura.7), que esá direcioada perpedicularmee ao plao - (da Figura 3.). 3

43 3.. A Discreiação Baseado-se as codições de precisão e esabilidade descrias a seção. pelas equações (.9) e (.8b) e a freqüêcia de 850MH do sial eciador (dealhado a seguir), obém-se, respecivamee mi m, que, com a uiliação de uma margem de seguraça de 5%, defie os icremeos espaciais por 0.05 m (3.) e v ma ma ma.94 0 s, que, para a devida comparação dos resulados com [7], é uiliado o icremeo emporal dado por s (3.) Tais valores, por saisfaerem as equações (.9) e (.8b) para a freqüêcia 850MH, garaem a precisão e a covergêcia do méodo. 3.. Eciações Em uma primeira aálise, para efeio de comparação com [7], que uiliou as mesmas écicas aplicadas aqui, foi empregado como eciação um pulso gaussiao de desidade de corree, modulado em 850MH, cuja localiação é o poo T da Figura 3.. Se ς caraceria o descaimeo do pulso, ese pode ser modelado por J T J. e A m, (3.3) ode J é a ampliude do pulso e α, o iverso da variâcia, é dado por 4 (3.4) 33

44 Assim como em [7], foi uiliada a ampliude J = 000 A/m e ς = 3, edo, sem modulação, a primeira eciação cosiderada aqui, a represeação mosrada a Figura 3.. Ampliude (A/m) Figura 3. Pulso de eciação gaussiao usado a primeira simulação bidimesioal Esse pulso modulado em oro da freqüêcia de 850MH, que será o sial efeivamee aplicado o caal, é ilusrado a seguir pela Figura 3.3. Ampliude (A/m) Tempo (s) Figura 3.3 Pulso de eciação modulado em 850MH Tempo (s) 34

45 O segudo ipo de eciação aplicado é simplesmee a poradora seoidal coíua de 850MH, com ampliudes de 000, 00, 0 e A/m. Apeas com propósio ilusraivo, o sial de eciação dese ipo com ampliude de 000 A/m (apeas aé o isae 0-0 s) esá mosrado a Figura 3.4. Ampliude (A/m) Figura 3.4 Poradora coíua aplicada como eciação Tempo (s) 3..4 Soluções aplicadas ao problema bidimesioal Ese problema foi resolvido compuacioalmee, basicamee de duas maeiras: com a solução umérica radicioal, baseada em processameo seqüecial, e com a aplicação da paraleliação da solução, sedo que, ese caso, o sofware foi adapado para rodar em duas, quaro e oio processadores. Para a solução seqüecial, um úico domíio foi defiido, que pode ser represeado eaamee pela Figura.6 para ese problema. O procedimeo para ese ipo de solução pode ser sieiado pelo diagrama de fluo da Figura 3.5, ode se verificam os passos realiados a seção 3.. e, poseriormee, mosra-se uma visão geral do sofware. Após iiciada a eciação de campo, a aualiação dos mesmos é feia com as equações (.7) dero da região de aálise e com as equações (.5) e (.6) a região de UPML. Em seguida, são aplicadas as codições de cooro, ese caso, PEC para os prédios e para a camada mais eera da região de PML (Figura 3.7). Cosiderado a solução que emprega processameo paralelo, o procedimeo pode ser sieiado a Figura 3.6. As difereças começam já a fase de aálise, de forma que esa cose o esudo idividual de cada subdomíio do domíio origial. Isso iclui a defiição das ecessidades de comuicação ere ais domíuos, como ilusrado pela Figura 3.6. Observe, por eemplo, a ierface ere as máquias 0 e 4. Para se aualiarem as compoees H, das células dessa ierface, perecees à máquia 0, é ecessário que al máquia coheça as compoees E perecees à 35

46 ! #"%$'&!(*)!,+-&. /034&3(65!7!.+37'8&49:7<;; B +7YX>7!7?@".6J47=GK"HLZ&!(6)!\[>7<$]=>&<;H^ _ &=G`".aB &blz7<c-+!,&,u<cb+>"p(a)! +37 cde3fhg-iwj klamoqpsr4u vkc<" JO"P&<;M"MLZ&!(*)!,+-.w-7=G<I7!.+-7,JD&>$,! /q-jo" G &!(6)! G!&<;Ž" LO&!(6)!,+,U&<$]=N8:&- #C=V=G`"HJ*] o : Š F WG`b&<;Ž" LO&!(6)!,+-,U&<$ =N/3; V=G` " J6] `š< Š o U<C+3" (65-7!.+37 U<CbG # C + Não {} ~{Q< I Sim ƒ!i!j*7!.6.6&<$ 7<C4G,+7,+&!+-. ƒo=gˆ<cbjo"m&^3[ 3+7NEZ-#" 7<` Š Œ Gravação de iformações em disco Figura 3.5 Lógica da implemeação FDTD baseada em algoríimo seqüecial 36

47 ! #"%$'&)(+*-,/.0"!*43 ;!ABA 7"CED& FG;C LM*03 DN& 3/OKP;QLR& S/*0,I.0"573T7*0OQ& *CA70" DU"V(W)H!& "O/"C(X*Y[Z!A)8CA * \]H!& LM^! _& *`-;+ac;@; DN& 3/OKP;QLR&bS/*0,c.@"edV;C(fQ"CP*VAbg h *%LR&B3iF *@Sc;CH7-"`*Y["CH79&,/.K" 0;j9k!l0mo7p9q ½E¾4 GÀbp-À)ÁIÂ!k`Ã-kKÄÄ4l0ÅCÃ0k7ÆfÇBp-À)kKÄ+ÈVl0¾ É ¾0mRqP¾7pCÊc¾0m Â!k=ÊI!Ã@Æ=Ë!È!l0ÀBp! r`suwv@u{@ ~}{0u R # ƒ s [ ˆ@ B [Š) ) 7 VŒ4 VŽ Ž e ' - Ž[ o V f ˆ% 9Ž ' bˆ@ ) [ŠB ) 4 VŒ4 VŽ ' ÍÌ' ¼Ì Š¼ Ž9 _ Vˆ4 ˆ4Ž] ÏÎ[ [ ˆ4 VŒ4 VŽÑÐIÒÓ! Ô š% œ GžTŸ_T / K c % Q %œ R QªPª «II c Q w Q«/ I «Õ7 Ö wžk œ ØRžTŸ_T Ù Q Ú0žT w Û9žTÜ4 /Ý Öœ R «Q Í ižw Tž i K w / Q ) wœ œ Q GžK w«cžk Ù«Q c «/ IÞKœ ß«ªº«I _«Q /Ÿ_T Ù TžTÚ0 Q w Q w«t c P«/N /«uàvá ârãåä æv«q c Öªº«Û[çIè4 %œ IžT'é9œ Ø œ QêIžT Õ0 # /žk œ ØRžTŸoT ß % Ú7ž% w / Ý ªGœ R «Q ožt %žß Q / / Q %œ œ K GžK /«žk Ù«Q I «/ IÞKœ ß«ª «I R«Q wÿ_t Ù Q«ÙÚ0 Q w Q c«q I «/ Q«ë ágâiã «Q I Öªº«Û'çwèK Qœ wžt'é9œ Øœ %êwžt ± C²K³ Não + Sim 5!HKì-& "=@;f&íh4fg"co(*0,/:0;03k*cp** (^0698!&)H7*0 &¼H4OQ&)7*!A4; F#&)H4*VA & S/*0,I.0"f0*ïî!&)î-A)& "4LM;0OI*`-;`O/"V(8CH!& O/*0,/.4" µ4 "0Oc;@3/3/*@(;CHKLM"`-"03-*4!"@3 µt"4lm CH7OQ& *!gcd -0;¹JT"-8-M& ;! º P ¼» Gravação de iformações em disco Figura 3.6 Lógica da implemeação FDTD baseada em algoríimo paraleliado 37

48 ! &' $% $( &' H E H H H E $( &' H H H H E E &' $% i DM DC &' &' $% $( $% " # &' $% DC DM 000 j j0 i0 &' $( &' &' $% H - H DC Domíio coíuo DM Domíio por máquia H E H E H H H H E E H E H H E H H H E H H E H H H H E E Figura 3.7 Aálise dos domíios. 38

49 máquia 4. Eão, após a aualiação do campo elérico em odos os domíios, como mosrado a Figura 3.6, a máquia 4 deve eviar, aravés de um fução da biblioeca de comuicação, as compoees E do campo elérico à máquia 0 (que aravés de oura fução da biblioeca deve recebêlas), possibiliado que esa máquia possa aualiar o campo magéico a próimo ieração. No caso específico da MPI, uiliada aqui para possibiliar a comuicação ere os domíos, essas fuções são, respecivamee, a MPI_SEND e a MPI_RECV []. O mesmo acoece com as compoees de campo elérico E perecees às células da máquia 4 que esão a mesma ierface. Essa máquia deve cohecer as compoees H das células da máquia 0, que esão a mesma ierface. Tais passages devem acoecer após a aualiação do compo magéico em odos os domíios Speedup Para que se possa er uma idéia dos beefícios providos pela paraleliação, foi regisrado o empo gaso para solucioar ese problema uiliado um, dois, quaro e oio processadores para 4000 ierações, o cluser descrio aeriormee. Esses dados esão orgaiados a abela 3. e comparados a Figura 3.8 a seguir, de forma que o speedup é calculado a parir da equação (.8). Tabela 3. Iformações sobre empo e speedup a solução do problema oudoor!#"$ $ % &'" 605, 04,53, ,77 6,5 8 38,6 5,8 Tempo de Processameo Speedup (*),+.-./ 0, 34/654587,-,9 / (*),+9-,/ 0:3;/5;587,-.. /5 4 8 Tempo (miuos) Speedup (a) (b) Figura 3.8 (a) Tempo de processameo e (b) Speedup, para o problema bidimesioal aalisado com,, 4 e 8 processadores de.8 GH. 39

50 É ieressae observar a Figura 3.8a que houve uma grade dimiuição o empo de processameo quado foi aplicada a paraleliação com dois processadores, reduido ese empo para meos de 35% do empo gaso por um processador. Quado foram uiliadas 4 máquias, ese empo caiu para 48% do empo gaso por processadores; e quado usaram-se 8 processadores, o empo ecessário para solucioar o problema chegou a 40% do empo uiliado pelas 4 máquias da solução aerior. Isso idica que, a parir de um cero poo, alve ão seja ão vaajoso o esforço ivesido em um grade ível de paraleliação, pois percebe-se que há um limie de sauração essa redução emporal. Com o speedup (Figura 3.8b) ocorre o iverso Resulados Nesa seção, serão apreseados os resulados obidos a parir dos sofwares descrios aeriormee. Basicamee serão mosrados os regisros emporais da poêcia e do módulo do campo elérico os poos idicados a Figura 3. e a disribuição de campo elérico a região de aálise em algus isaes de empo. Primeiramee, o domíio da Figura 3. foi simulado com a eciação da Figura 3.3, que é um pulso gaussiao modulado em 850MH, como base de comparação com [7]. Obiveram-se eão as disribuições de campo mosradas a seguir. T Figura pespeciva da ampliude do campo elérico E após 84,9 s. Foi gerada ambém uma sequêcia de quadros que mosra, em uma visão superior, a disribuição do campo elérico em diversos isaes. Nela pode-se perceber claramee efeios como a refleão o maerial coduor dos prédios, difração e a absorção a região de absorção UPML. Essa aimação, que se ecora o CD aeado a ese rabalho (predios.avi), camiha com iervalos de 40 ierações o empo. Algus desses quadros esão dispoíveis a Figura 3.0, a seguir. 40

51 ! " # $ &%' %& ( $ Figura 3.0 Disribuição da compoee E do campo elérico em diversos isaes A parir do campo elérico calculado em cada ieração, foi regisrada a poêcia eregue a um recepor isorópico em cada poo L da Figura 3. para 4000 isaes de empo. Tais resulados esão de acordo com aqueles apreseados em [7]. 50 L 0 Poêcia (dbw) Tempo (s) Figura 3. Regisro da Poêcia recebida em L (Figura 3.) para a Eciação Gaussiaa modulada em 850MH 4

52 Noa-se, pela Figura 3. e pela aimação (predios.avi), que as elevações a ampliude da poêcia recebida, para os isaes 3s, 4.5s, 6 s, 76 s, ec..., se devem basicamee pela refleão as paredes dos prédios A e A e poseriormee pela difração as quias dos prédios B e B, sedo que o primeiro pulso, recebido o isae 0s, ocorre devido à oda direa. 50 L 0 Poêcia (dbw) Tempo (s) Figura 3.3 Regisro da Poêcia recebida em L (Figura 3.) para a Eciação gaussiaa modulada em 850MH A Figura 3.3 mosra a poêcia recebida o poo L, que esá a 3,5m do rasmissor. O resulado é similar ao da Figura 3. (L). Observe que o primeiro pico da poêcia recebida decorree da visada direa ocorre em aproimadamee 45 s. É ieressae oar, por predios.avi e pela Figura 3.0, que os aumeos o ível de poêcia que aparecem poseriormee são provocados pela difração as quias dos prédios B e B, pela refleão as paredes laeriais dos mesmos prédios e ambém pela difração a quia dos prédios C e C. As Figuras esão de acordo com esses resulados. 50 L3 0 Poêcia (dbw) Tempo (s) Figura 3.4 Regisro da Poêcia recebida em L3 (Figura 3.) para a Eciação gaussiaa modulada em 850MH 4

53 L4 0 Poêcia (dbw) Tempo (s) Figura 3.5 Poêcia recebida em L4 (Figura 3.) para a Eciação gaussiaa modulada em 850MH L5 0 Poêcia (dbw) Tempo (s) Figura 3.6 Regisro da Poêcia recebida em L5 (Figura 3.) para a Eciação gaussiaa modulada em 850MH. 43

54 O problema aerior foi simulado uiliado-se a eciação da Figura 3.4, que é uma poradora seoidal coíua, para ampliudes de 000, 00, 0 e A/m. Dessa maeira, é esperado um alo ível de refleões e difrações, com regisros crescees de poêcia recebida, cuja forma ambém deve ser seoidal, como mosrado a Figura 3.7. B 60 Y Ais Tile X Ais Tile Tempo (s) L Tempo (s) Figura 3.7 Regisro emporal da poêcia recebida em L (Figura 3.) (ecição seoidal ampliude 000 A/m) Para as ampliudes de eciação de 00, 0 e A/m, as poêcias recebidas esão ilusradas as Figuras 3.8, 3.9 e 3.0, respecivamee, ambém para o poo L da Figura

55 L 0,004 0,00 0,000 Poêcia (W) 0,0008 0,0006 0,0004 0,000 0,0000-0, Tempo (s) Figura 3.8 Regisro emporal da poêcia recebida em L (ecição seoidal ampliude 00 A/m) 0,00006 L 0, ,0000 0,00000 Poêcia (W) 0, , , , , , Tempo (s) Figura 3.9 Regisro emporal da poêcia recebida em L (ecição seoidal ampliude 0 A/m) 45

56 0,006 Poêcia (W) 0,003 0, Tempo (s) Tempo (s) L L Figura 3.0 Regisro emporal da poêcia recebida em L(ecição seoidal ampliude A/m) 46

57 Como pode-se perceber pela Figura 3.0, a (relaivamee) baia ampliude de eciação provoca erro de arredodameo (roudoff - seção.) devido à epasão da oda ( aeuação o espaço livre). Algumas alerações a forma do sial já podem ser observadas as Figuras 3.8 e 3.9 em relação à Figura 3.7. Observa-se, porao, a imporâcia da ampliude aplicada e, ligada a ela, do amaho da malha cosiderada sobre essa quesão, o que mosra mais um moivo para que o méodo FDTD, em sua formulação aual, seja efeivamee mais úil em ambiees idoor [5]. Deve-se lembrar que ese problema, ambiee oudoor, foi solucioado em duas dimesões, ou seja, ão foi cosiderada a refleão da oda o solo em os efeios de difração a pare superior dos prédios (caso 3D). Além disso, os prédios foram cosiderados como sedo meálicos, e as caracerísicas mais realisas como as permissividades dos maeriais com o quais ais prédios foram cosruídos podem ser iseridas o problema para a obeção de resulados mais próimos do que ocorre a práica, como foi feio o problema aalisado a seguir. 47

58 3. O problema idoor Nesa seção, o méodo FDTD será aplicado em sua modalidade ridimesioal para prever o comporameo da propagação de odas eleromagéicas dero de uma residêcia. 3.. Defiição do problema e a solução O ambiee mosrado as Figuras 3. e 3. foi aalisado origialmee por [5], uiliado a écica de ABC Mur. Nese rabalho, o ambiee idoor será rucado por UPML, como o problema aerior, e a eciação será feia aravés de uma aea dipolo de 7cm alihada ao eio, o poo T, com o gap de uma célula a,5m de alura. As compoees de campo magéico foram corrigidas mediae a écica de represeação dos efeios provocados por elemeos subcelulares apreseada o íem.4. Com a aplicação desse cojuo de méodos, resulados mais apurados ceramee foram obidos. As paredes ieras e eeras, o piso e o eo foram defiidas em ermos do parâmero permissividade elérica da seguie maeira [5]: Tabela 3. - permissividade elérica que defie a alvearia da residêcia! #%$'&)(*$,+-./( +0 3$4$.5$76&8$ :970;. +0 3$4$. -<9'&)$:90. 6, 5 4, (" ) Além disso, perdas foram adicioadas à alvearia, com = = 0,. As dimesões da residêcia são de.83m e, como a eciação que será aplicada em freqüêcia ceral de GH, opou-se por uiliar o amaho máimo para a célula de Yee, ou seja, um décimo do comprimeo de oda (> =3cm). Obém-se assim uma malha de células (Figura 3.), com discreiação emporal caraceriada por? = 38.49s. A solução aplicado paraleliação com oio processadores foi uiliada. 48

59 V U R T QR S O P N L M KJ GHI %,&(.-! #"$ %'&()+* / ;:=<>@?BAC? D EF 3.. Resulados Figura 3. Geomeria da residêcia e os poos de rasmissão T e recepção (BR, KTC e LR) Primeiramee, uiliou-se como eciação um pulso gaussiao de campo elérico, como ilusrado pela Figura 3.3, a célula do gap da aea dipolo. Campo elérico (V/m) Tempo (s) Figura 3. Pulso de Eciação 49

60 Para ese caso, foram obidas as seguies disribuições de campo elérico o plao - a alura da alimeação do dipolo (db com ormaliações, para melhorar o corase de cores). Figura 3.3 Disribuição da compoee E (db) após 300 ierações Figura 3.4 Disribuição da compoee E (db) após 500 ierações 50

61 Figura 3.5 Disribuição da compoee E (db) após 700 ierações Aalisado as Figuras 3.3 a 3.5, podem ser percebibos claramee efeios como a refração e a euação ocasioadas pelas paredes e ambém a absorção a região de UPML (bordas). A seguir, as Figuras 3.6 e 3.7, são mosradas as poêcias recebidas o quaro (poo BR ) e a coiha (poo KTC), respecivamee. Observe a defasagem o sial recebido o quaro e sua aeuação devida a preseça da parede, em relação à coiha. Noe que ambos os siais aida ão covergiram, ou seja, aida ão chegaram à esabilidade. 5

62 -0 BR Poêcia (dbw) Poêcia (db) Time (s) Figura 3.6 Poêcia recebida o quaro (Eciação Gaussiaa), poo BR -0 KTC Poêcia (dbw) Poêcia (db) Time (s) Figura 3.7 Poêcia recebida a coiha (Eciação Gaussiaa), poo KTC A foe de eciação mosrada a Figura 3. foi, eão, modulada em GH (Figura 3.8) e aplicada em seguida ao seário. Similarmee, foram calculadas as poêcias os rês poos de recepção (Figura 3.), como mosrado as Figuras Já as Figuras , em-se a disribuição da compoee E (db) do campo elérico para o ambiee odo, cosiderado-se os isaes de empo =300., 500., 700. e 900., respecivamee. 5

63 Figura 3.8 Pulso gaussiao modulado em GH uiliado como eciação a célula de gap do dipolo BR "! # $ %& ' )(* + Figura 3.9 Poêcia recebida o quaro (Eciação Gaussiaa Modulada em GH) 53

64 KTC Figura 3.30 Poêcia recebida a coiha (Eciação Gaussiaa Modulada em GH) LR Figura 3.3 Poêcia recebida a sala de esar (Eciação Gaussiaa Modulada em GH) 54

65 Fig 3.3 Disribuição da compoee E (db) após 300 ierações Figura 3.33 Disribuição da compoee E após 500 ierações 55