Dimensionamento otimizado de pilares mistos preenchidos de aço e concreto

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1 a Dimensionameno oimizado de pilares misos preenchidos de aço e concreo Opimum design of mied seel and concree filled columns Jéssica Salomão Lourenção Elcio Cassimiro Alves Resumo A uilização de perfis de aço de seções ubulares para pilares misos preenchidos de aço e concreo é uma solução ineressane para a consrução civil, viso que esse ipo de perfil apresena grande resisência aos esforços solicianes, além da dispensa do uso de formas e proeção conra o fogo e a corrosão. Ese arigo objeiva esudar o dimensionameno óimo de pilares misos preenchidos de aço e concreo seguindo as prescrições da NBR 8800:008 e a NBR 639:03. O desenvolvimeno da formulação será feio denro da plaaforma do Malab uilizando a ferramena do guide. A solução do problema será obida via méodo dos ponos ineriores e programação quadráica sequencial para verificar a eficiência dos algorimos de oimização. Eemplos de aplicação serão apresenados de modo a validar a formulação proposa bem como aponar melhores soluções a parir de um problema definido. Absrac The use of ubular secions o filled concree columns of seel and concree is an ineresing soluion for he civil consrucion, since his ype of profile presens grea resisance o he requesing effors, besides he dispensaion of he use of forms and proecion agains he fire and corrosion. This aricle aims o sudy he opimal design of filled concree columns of seel and concree following he requiremens of NBR 8800:008 and NBR 639:03. The developmen of he formulaion will be done wihin he Malab plaform using he guide ool. The soluion of he problem will be obained hrough he inerior poins mehod and quadraic sequenial programming o verify he efficiency of he opimizaion algorihms. Applicaion eamples will be presened in order o validae he proposed formulaion as well as o poin ou beer soluions from a defined problem. Palavras-chave: Pilares / Misos / Óimo / Tubular Keywords: Columns / Mied / Opimum / Tubular 33

2 Jéssica Salomão Lourenção Mesranda em Engenharia Civil Universidade Federal do Espírio Sano Viória ES Brasil Elcio Cassimiro Alves Douor em Engenharia e Tecnologias Espaciais Universidade Federal do Espírio Sano Viória ES Brasil elcio.calves@gmail.com Inrodução Os perfis ubulares de aço sempre foram muio uilizados na consrução civil por apresenarem grande resisência aos esforços solicianes, além de apresenarem vanagens ais como proeção conra o fogo e a corrosão, e dispensa do uso de formas. Um pilar miso preenchido é composo por um perfil de aço que rabalha em conjuno com o concreo, unindo a capacidade de resisência do aço com a robusez do concreo. De acordo com a NBR 8800:008, emos rês ipos de seções ransversais disponíveis, circular, reangular e quadrada, possibiliando assim, inúmeras geomerias de seções ransversais com ou sem armações que saisfazem cada siuação de esforço soliciane. Pilares misos com ese ipo de configuração foram ciados em esudos como os de Fernandes (997), De Nardin (999), De Nardin (003), Oliveira (008), Gomes (05), enre ouros. Enreano, os mesmos não apresenaram esudos que reraassem o dimensionameno desses pilares seguindo as eigências das normas brasileiras de dimensionameno, moivando, assim, o desenvolvimeno dese esudo. Ese arigo objeiva apresenar a formulação e os criérios para o dimensionameno oimizado de pilares misos preenchidos de aço e concreo em função do cuso do pilar miso preenchido. Será desenvolvido um programa compuacional para uso educacional no sofware Malab que, após definidos os dados do perfil ubular, comprimeno do pilar, caracerísicas do ambiene e dos maeriais e os esforços solicianes de cálculo, dimensionará o pilar de forma oimizada, uilizando, para a oimização, o méodo dos ponos ineriores e a programação quadráica sequencial eisene na biblioeca do Malab. Adicionalmene, o programa compuacional em por objeivo auiliar no esudo do dimensionameno de pilares misos preenchidos, viso que aualmene não eisem muias pesquisas relacionadas ao mesmo. Dimensionameno de pilares misos preenchidos de aço e concreo Aviso legal As opiniões manifesadas na Revisa Poruguesa de Engenharia de Esruuras são da eclusiva responsabilidade dos seus auores. Legal noice The views epressed in he Poruguese Journal of Srucural Engineering are he sole responsibiliy of he auhors. Nese rabalho, o dimensionameno de pilares misos preenchidos de aço e concreo será realizado com base nas prescrições da NBR 8800:008, podendo, alernaivamene, uilizar as modificações sugeridas pelas NBR 639:03. No enano, num coneo inernacional, os mesmos podem ser dimensionados de acordo com as normas: Eurocódigo 4 - Pare. (994), ANSI/AISC 360 (005), e ouras.. Hipóeses básicas e limies de aplicabilidade do dimensionameno Lourenção, J. [e al.] Dimensionameno oimizado de pilares misos preenchidos de aço e concreo. Revisa Poruguesa de Engenharia de Esruuras. Ed. LNEC. Série III. n.º 8. ISSN (novembro 08) O aneo P da NBR 8800:008 aborda as direrizes para o dimensionameno por méodo simplificado. As hipóeses básicas adoadas pelo méodo simplificado são: oal ineração enre aço e concreo; a flambagem local não pode ser um esado-limie úlimo predominane; e as imperfeições iniciais são consisenes com aquelas adoadas na deerminação da resisência de barras de aço. O méodo ainda possui alguns limies de aplicabilidade, ais como: 34

3 os pilares misos devem er dupla simeria e seções ransversais consanes ao longo do comprimeno; o concreo deve possuir densidade normal; a conribuição do perfil meálico para a capacidade resisene da seção misa deve esar enre 0, e 0,9, conforme equação (); a esbelez relaiva do pilar não pode ser superior a,0, de acordo com equação (); as seções ransversais preenchidas com concreo podem ser fabricadas sem qualquer armadura, eceo para algumas condições em siuação de incêndio; a relação enre a alura e a largura das seções ransversais misas reangulares deve esar enre 0, e 5; e o projeo das armaduras deve aender aos requisios da NBR 68:04. A δ = a f yd N pl,rd Npl.R λ 0,m = () N e. Flambagem local dos elemenos de aço Para garanir a hipóese de que as resisências de odos os maeriais devem ser aingidas sem que ocorra flambagem local dos elemenos componenes do perfil de aço da seção ransversal, não podem ser ulrapassadas as relações indicadas na Tabela. Tabela Limiação do índice de esbelez local dos pilares misos preenchidos Morfologia da seção Seção ubular reangular e quadrangular preenchida Seção ubular circular preenchida Fone. ABNT NBR 8800:008 Limie de esbelez bi E,6 f D E 0,5 f.3 Dimensionameno segundo a ABNT NBR 8800:008 e a ABNT NBR 639:03.3. Dimensionameno a força aial de compressão O dimensionameno por méodo simplificado proposo pela NBR 8800:008 é aplicado, como eplicado aneriormene, a pilares misos duplamene siméricos e com seção ransversal consane ao longo do seu comprimeno. Para al, a força aial resisene de cálculo da seção ransversal à plasificação oal é calculada de acordo com a equação (3). Npl,Rd = Aa fyd +α Ac fcd + As f sd (3) onde: α coeficiene igual a 0,95 para seções ubulares circulares preenchidas com concreo e 0,85 para as demais seções. Devido aos efeios de reração e fluência do concreo, uma redução a y a y () no módulo de elasicidade do concreo é aplicada, omando-se no lugar de E c o valor de E c,red descrio na equação (4). E c,red = Ec NG,Sd + ϕ Nsd A rigidez efeiva à fleão e a rigidez aial efeiva à compressão são calculadas respecivamene na equação (5) e equação (6), conforme a NBR 8800:008. No enano, na NBR 639:03 recomenda-se uilizar a equação (7) no cálculo da rigidez efeiva à fleão. ( EI) = E I + 0, 6 E I + E I (5) e a a c,red c s s ( EA) e = Ea Aa + Ec,red Ac + Es A s (6) ( ŽŽŽŽ ) e = a a c c + (7) s s A força aial de flambagem elásica, equação (8), e o faor de redução da resisência, equação (9) e equação (0), são ambém obidos conforme a NBR 8800:008. No enano, a NBR 639:03 recomenda uilizar a equação () para o cálculo do faor de redução da resisência. π ( EI) Ne = ( KL) λ χ = e λ0,m 0,m, 5 0, 658 (9) 0, 877 λ 0,m >, 5 χ = (0) λ χ = 4 48,4, ( +λ0,m ) 0, m (4) (8) () Porano, o cálculo da força aial resisene de cálculo é dado na equação () e poseriormene a capacidade resisene do pilar à compressão é verificada garanindo que a força aial resisene de cálculo seja maior ou igual à força aial soliciane de cálculo, equação (3). N = χn () Rd pl,rd N N (3) Rd Sd.3. Dimensionameno a fleo-compressão Para o dimensionameno de pilares misos sujeios aos efeios combinados de força aial de compressão e momeno fleor em relação a um ou aos dois eios de simeria da seção ransversal podem ser uilizados um modelo de cálculo mais simplificado, modelo de cálculo I, ou um modelo mais rigoroso, modelo de cálculo II, de acordo com a NBR 8800:008 ou um modelo de cálculo proposo pela NBR 639:03. Para al, o momeno fleor resisene de plasificação de cálculo (M pl,rd ) de seções misas duplamene siméricas em relação ao eio ou ao eio y, M pl,,rd e M pl,y,rd, e o momeno fleor máimo resisene de plasificação (M ma,pl,rd ) em relação ao eio ou ao eio y, M ma,pl,,rd e M ma,pl,y,rd, podem ser calculados de acordo com as equação (4) e 35

4 equação (5). M = f ( Z Z ) + 0, 5 f ( Z Z ) + f ( Z Z ) (4) pl,rd yd a an cd c cn sd s sn M = f Z + 0, 5 f Z + f Z (5) ma,pl,rd yd a cd c sd s O cálculo do módulo de resisência plásico para seções circulares preenchidas e seções ubulares reangulares e quadrangulares é descrio nas equações (6) a (7). Seção ubular circular: Eio : ( b )( b ) 3 ( ) b Zc, = r r 4 π r Z 4 3 Z h n = A e s, si i i= n, ( ) ( ) A f A f f = b f + 4 f f c cd sn sd cd cd yd cd s, () (3) (4) n = Z A e sn, sin yi i= (5) Zcn, = ( b ) hn Z (6) sn, Zan, = b hn Zcn, Zsn, (7) Eio y: Para o cálculo com relação ao eio y, devem ser uilizadas as equações relaivas ao eio, porém subsiuindo enre si as dimensões b e b, bem como os índices subscrios e y. Figura Seção ubular circular preenchida com concreo (ABNT NBR 8800 (008)) ( D ) 3 D 3 = D ( π) D D Z c 4 Z (6) s 4 3 Z n = A e s si i i= ( ) ( ) A f A f f hn = Df + 4 f f c cd sn sd cd cd yd cd (7) (8).3.. Modelo de cálculo I (NBR 8800:008) No Modelo de Cálculo I, o diagrama de ineração é composo por duas reas, como indica a Figura 3, e a verificação dos efeios da força aial de compressão e dos momenos fleores deve saisfazer as equações (8) e (9). n = Z A e sn sin i i= (9) Z = ( D ) h Z (0) cn n sn Z = Dh Z Z () an n cn sn Seção ubular reangular e quadrangular: Figura 3 Diagrama de ineração momeno fleor-força normal Nsd NSd 8 M,Sd M y,sd 0, + +, 0 NRd NRd 9 M,Rd Nsd NSd M,Sd M y,sd < 0, + +, 0 NRd NRd M,Rd (8) (9) Figura Seção ubular reangular/quadrangular preenchida com concreo (ABNT NBR 8800 (008)).3.. Modelo de cálculo II (NBR 8800:008) No Modelo de Cálculo II, a curva de ineração é formada por rês reas, como indica a Figura 4, o que pode aproimar melhor os segmenos de rea à curva racejada que represena a relação do pilar fleo-comprimido. A ineração enre o momeno fleor e a força normal auane devem saisfazer as equações (30) a (3) 36

5 sendo o cálculo de µ y idênico ao cálculo de µ, apenas subsiuindo as grandezas referenes a por y. considerado com seu valor diferene de zero, M y,i,sd deve ser omado igual a zero, e vice-versa Modelo de cálculo I (NBR 639:03) No Modelo de cálculo, o diagrama de ineração é composo por duas reas, como indica a Figura 5. A verificação dos efeios da força aial de compressão e dos momenos fleores é feia por meio da equação (39) e da equação (40). Figura 4 Diagrama de ineração momeno fleor-força normal N N Sd c µ = NSd Npl,c,Rd N N (30) pl,rd pl,c,rd N M N M NSd N c µ = + M N M c d, Sd d, c, pl,c,rd c, (3) N M N M 0 N Sd µ = + M N M c d, Sd d, c, pl,c,rd c, (3) Os momenos devidos às imperfeições ao longo do pilar, respecivamene em relação aos eios e y são obidos conforme a equação (33) e equação (34). M M,i,Sd y,i,sd NSd L = N 00 N NSd Ly = N 50 N Sd e,y Sd e,y (33) (34) Assim, os momenos fleores solicianes de cálculo oais, caso não seja feia análise mais rigorosa, são dados na equação (35) e equação (36). M,o,Sd = M,Sd + M,i,Sd (35) M y,o,sd = M y,sd + M y,i,sd (36) Porano, a verificação dos efeios da força aial de compressão e dos momenos fleores pode ser feia por meio da equação (37) e equação (38). N N (37) Rd Sd M,o,Sd M y,o,sd +, 0 (38) µ M µ M c, y c,y É imporane ressalar que, ao se enrar com os valores de M,o,Sd e M y,o,sd na equação (38), deve-se considerar o momeno devido às imperfeições ao longo do pilar em relação apenas a um dos eios, o que levar o resulado mais desfavorável. Isso implica que se M,i,Sd for Figura 5 Diagrama de ineração momeno fleor-força normal M,Sd M y,sd NSd N c +, 0 (39) M M,Rd y,rd NSd Nc M,Sd M y,sd NSd N c + +, 0 (40) N N M M Rd c,rd y,rd 3 Formulação do problema de oimização O problema de oimização se baseia em enconrar a solução óima que maimize ou minimize a função objeivo. No caso do dimensionameno de pilares misos preenchidos de aço e concreo, a função objeivo é o cuso oal do pilar (por mero linear), que engloba o cuso do concreo, do perfil de aço e das armaduras uilizadas. Assim, a função objeivo a qual deseja-se minimizar pode ser definida por: f = C A p + C A + C A p (min) a a a c c s s s (4) em que C a é o cuso do perfil de aço (R$/kg), A a é a área de aço oal do perfil, p a é o peso específico do aço (kg/m 3 ), C c é o cuso do concreo (R$/m 3 ), A c é a área de concreo na seção ransversal do perfil de aço (m ), C s é o cuso das armaduras de aço (R$/kg), A s é a área das armaduras de aço (m ) e p s é o peso específico das armaduras (kg/m 3 ). Os cusos relacionados ao processo consruivo do pilar miso preenchido não esão sendo levados em consideração no sofware desenvolvido, os mesmos serão inroduzidos poseriormene. A solução óima para a função objeivo acima definida é dada por meio de cálculos ieraivos que aleram os valores das variáveis sucessivamene, aé ober o pono mínimo. Porano, para os pilares misos de seção ubular circular, Figura 6, emos as seguines 37

6 variáveis: Diâmero do perfil ( = D); Espessura do perfil ( = ); Resisência caracerísica do concreo a compressão ( 3 = ); Área das armaduras de aço ( 4 = A s ). Figura 6 Variáveis de projeo seção ubular circular Já para os pilares misos de seção ubular reangular e quadrangular, Figura 7, as variáveis de projeo são as seguines: Base do perfil ( = b); Alura do perfil ( = b); Espessura do perfil ( 3 = ); Resisência caracerísica do concreo a compressão ( 4 = ); Área das armaduras de aço ( 5 = A s ). Figura 7 Variáveis de projeo seção ubular reangular e quadrangular No programa, o usuário define para pilares misos de seção ubular circular se as variáveis, e 3 devem ser fias ou er seus valores alerados ieraivamene, assim como as variáveis,, 3 e 4 para os pilares misos de seção reangular e quadrangular. Em visa disso, as dimensões do perfil ubular enconrado pelo algorimo podem ser de um perfil ubular não caalogado ou comercial. Da mesma forma, a variável 3, para seção ubular circular, e a variável 4, para seções ubulares reangular e quadrangular, não são limiadas a classes eisenes da NBR 68:04. Além disso, é possível ambém escolher se o pilar miso preenchido possuirá armaduras longiudinais ou não. A quanidade de armaduras longiudinais deerminada pelo processo de oimização será sempre um número ineiro, sendo que para seção ubular circular o número mínimo de armaduras longiudinais é seis e para seções ubulares reangular e quadrangular o número mínimo de armaduras longiudinais é quaro, as quais são deerminadas em camadas de mesma quanidade. O espaçameno enre as armaduras longiudinais ambém será deerminado pelo algorimo, podendo ser um número ineiro ou decimal, obedecendo sempre os criérios da norma. A solução óima deve aender às funções de resrições, as quais, em geral, são recomendações e eigências das normas de dimensionameno. As funções de resrições inseridas no programa esão epliciadas a seguir: Seção ubular circular: Resisências devem ser superiores às soliciações: N N (4) Rd Sd M M (43),Rd,Sd M M (44) y,rd sendo: N Sd y,sd a força aial resisene de cálculo; a força aial soliciane de cálculo; e os momenos resisenes de cálculo em relação ao eio e ao eio y, da seção misa; M,Sd e M y,sd os momenos solicianes de cálculo em relação ao eio e ao eio y, da seção misa. Resisência aos esforços combinados devem ser superiores às soliciações combinadas: Modelo de Cálculo I NSd NSd 8 M,Sd M y,sd 0, + +, 0 NRd NRd 9 M,Rd NSd NSd M,Sd M y,sd < 0, + +, 0 NRd NRd M,Rd Modelo de Cálculo II (45) (46) M,o,Sd M y,o,sd +, 0 (47) µ M µ M c, y c,y Modelo de Cálculo M,Sd M y,sd NSd N c +, 0 (48) M M,Rd y,rd NSd Nc M,Sd M y,sd NSd N c + +, 0 (49) N N M M Rd c,rd y,rd sendo: M,o,Sd e M y,o,sd os momenos solicianes de cálculo oal em relação ao eio e ao eio y; M c, e M c,y dados por 0,9 M pl,,rd e por 0,9 M pl,y,rd ; N c dado por χn pl,c,rd. 38

7 Limie de aplicabilidade: D Ea 0, 5 (50) f y em que E a é o módulo de elasicidade do aço e f y é o limie de escoameno do aço. Faor de conribuição do aço: Aa fyd 0, 0, 9 (5) N pl,rd no qual f yd é a resisência de cálculo ao escoameno do aço e N pl,rd é a força aial resisene de cálculo à plasificação oal. Taas geoméricas mínimas e máimas: NSd máimo 0, 004 A c; 0, 5 A s 0, 04 A (5) c fsd Número de barras mínimo na seção: n 6 (53) Espaçameno mínimo e máimo: π( d n b ) cm s = 40 cm (54) n em que s é o espaçameno enre barras, medido radialmene, e b é o diâmero da barra. Seção ubular reangular e quadrada: Resisências devem ser superiores às soliciações: N N (55) Rd Sd M M (56),Rd,Sd M M (57) y,rd y,sd Resisência aos esforços combinados devem ser superiores às soliciações combinadas: Modelo de Cálculo I NSd NSd 8 M,Sd M y,sd 0, + +, 0 NRd NRd 9 M,Rd NSd NSd M,Sd M y,sd < 0, + +, 0 NRd NRd M,Rd Modelo de Cálculo II (58) (59) M,o,Sd M y,o,sd +, 0 (60) µ M µ M c, y c,y Modelo de Cálculo M,Sd M y,sd NSd N c +, 0 (6) M M,Rd y,rd NSd Nc M,Sd M y,sd NSd N c + +, 0 (6) N N M M Rd c,rd y,rd Limie de aplicabilidade: bi Ea, 6 (63) f y Faor de conribuição do aço: Aa fyd 0, 0, 9 (64) N pl,rd Relação enre a base e a alura: h 0, 5, 0 (65) b Taas geoméricas mínimas e máimas: NSd máimo 0, 004 A c; 0, 5 A s 0, 04 A (66) c fsd Número de barras mínimo na seção: n, n (67) c cy Espaçameno mínimo e máimo: ( 3 d nc b ) ( 3 d ncy b ) cm s =,s y = 40 cm n n c cy (68) em que s e s y são os espaçamenos enre as barras e b é o diâmero da barra. Finalmene, em-se o espaço de busca, ou região viável, o qual deverá coner a solução óima, dada para pilares misos preenchidos de seção por: Seção ubular circular: 33, 4 mm 355, 6 mm (69) 3, mm 5 mm (70) ( ck,min ) 3 máimo 0 MPa,f 90 MPa (7) sendo,min o valor mínimo eigido pela norma para a resisência caracerísica do concreo à compressão em função da classe de agressividade do local da edificação. Seção ubular reangular: 40 mm 00 mm (7) 60 mm 400 mm (73) 3, 6 mm 3 6 mm (74) ( ck,min ) 4 máimo 0 MPa,f 90 MPa (75) Seção ubular quadrangular: 50 mm 300 mm (76) 50 mm 300 mm (77) 3, 6 mm 0 mm (78) 3 ( ck,min ) 4 máimo 0 MPa,f 90 MPa (79) 39

8 4 Eemplos As soluções oimizadas apresenadas nos eemplos foram obidas por meio do sofware desenvolvido que uiliza o méodo dos ponos ineriores (IP) e o méodo de programação quadráica sequencial (SQP), Figura 8. Os méodos escolhidos são baseados em algorimos deerminísicos que geram uma sequência de possíveis soluções, uilizando, na maioria das vezes, o uso de pelo menos a primeira derivada da função objeivo em relação às variáveis de projeo que são dadas como funções maemáicas e relações funcionais. Eles parem de um pono inicial e buscam deerminar alguns ponos no inerior da região viável do problema, e a parir deses ponos eles coninuam a procurar pelo pono óimo. Todos os ponos obidos em sequência possuirão sempre valores decrescenes a cada passo, mesmo que a convergência para o pono óimo não seja garanida. Para al, os eemplos abaio foram obidos nas lierauras ciadas com o objeivo de validação dos cálculos realizados pelo sofware desenvolvido; devido a isso, não possuem inerligação enre si. No mais, o dimensionameno oimizado foi realizado duas vezes para cada eemplo aendendo as resrições eemplificadas na formulação do problema. Para a comparação dos cusos, os valores uilizados foram baseados na Tabela SINAPI, da Caia Econômica Federal, de novembro de 05 e referene à cidade de Viória ES. É imporane salienar que a definição precisa dos cusos dos maeriais influencia direa e foremene os resulados fornecidos pelo programa. Dessa forma, os cusos devem ser levanados de forma adequada para não se ober resulados disorcidos. Além disso, para odos os eemplos, o programa de oimização busca qual a melhor combinação enre a geomeria da seção e a resisência a compressão do concreo ( ), no qual o resulado será a solução óima denro do grande espaço viável de busca. Figura 8 Inerface gráfica do sofware desenvolvido 40

9 4. Pilar miso preenchido de perfil ubular circular O primeiro eemplo é de um pilar miso preenchido composo por perfil ubular circular submeido a uma compressão aial e a fleão oblíqua no eio, Figura 9, de solução dada por um sofware PilarMiso (Caldas, Fakury e Souza Jr., 08) uilizando a NBR 8800:008. Dados do problema: numa diferença percenual de 37,5% comparando com a solução dada no dimensionameno. 4. Pilar miso preenchido de perfil ubular reangular Ese eemplo é de um pilar miso preenchido composo por perfil ubular reangular submeido a uma compressão aial e a fleão oblíqua no eio e no eio y, Figura 0, de solução dada por um sofware PilarMiso (Caldas, Fakury e Souza Jr., 08) uilizando a NBR 8800:008. Dados do problema: Figura 9 Diâmero do perfil ubular = 33,80 mm Espessura do perfil ubular =,5 mm Comprimeno do pilar miso = 4000 mm Resisência do concreo ( ) = 30 MPa Limie de escoameno do aço (f yk ) = 50 MPa Carregameno verical (N Sk ) = 48,57 kn.cm Momeno na direção (M,Sk ) = 948,57 kn.cm Momeno na direção y (M y,sk ) = 0 kn Pilar miso circular Na Tabela são apresenados o diâmero, a espessura, a resisência do concreo, os esforços resisenes e o cuso oal do pilar miso preenchido de seção ubular circular. O primeiro é o dimensionameno realizado pelo sofware PilarMiso O segundo é o dimensionameno realizado pelo programa desenvolvido. O dimensionameno realizado pelo programa apresenou um aumeno de 0,4% no resulado da força resisene de compressão aial quando comparado com o dimensionameno realizado pelo sofware PilarMiso Isso pode er ocorrido devido a alguma inconsisência na formulação das áreas de aço e de concreo, como ambém dos esforços resisenes. No enano, não houve diferença enre os valores dos momenos resisenes em nenhum dos eios. Já o fao de os faores de segurança serem diferenes deriva de a força resisene de compressão possuir esse acréscimo de 0,4%. As Tabelas 3 e 4 apresenam o dimensionameno oimizado pelo processo dos ponos ineriores (IP) e pelo processo de programação quadráica sequencial (SQP), respecivamene. As abelas ainda informam quais foram as variáveis de projeo oimizadas e os respecivos esforços resisenes, além do cuso oal do pilar miso. Os resulados enconrados com os dois méodos IP e SQP mosraram que não houve diferença nas soluções. Em qualquer siuação de oimização das variáveis de projeo os valores obidos foram os mesmos. Conudo, as linhas que não possuem resulados indicam que o sofware não conseguiu enconrar uma solução óima devido a ser muio pequena a olerância enre um passo e ouro, ocorrendo assim a parada do sofware sem uma possível solução. Como pode ser observado, o melhor resulado foi obido quando se deiou o sofware oimizar odas as variáveis de projeo, chegando Base do perfil ubular = 80,00 mm Alura do perfil ubular = 380,00 mm Espessura do perfil ubular =,5 mm Comprimeno do pilar miso = 3000 mm Resisência do concreo ( ) = 40 MPa Limie de escoameno do aço (f yk ) = 50 MPa Carregameno verical (N Sk ) = 07,43 kn Momeno na direção (M,Sk ) = 948,57 kn.cm Momeno na direção y (M y,sk ) = 548,57 kn.cm Figura 0 Pilar miso reangular A Tabela 5 apresena a base, a alura, a espessura, a resisência do concreo, os esforços resisenes e o cuso oal do pilar miso preenchido de seção ubular reangular. O primeiro é dimensionameno realizado pelo sofware PilarMiso O segundo é o dimensionameno realizado pelo programa desenvolvido. O dimensionameno realizado pelo programa apresenou uma redução de,0% no resulado da força resisene de compressão aial, uma redução de 3,0% no resulado dos momenos resisenes no eio e no eio y, quando comparados com o dimensionameno realizado pelo sofware PilarMiso Isso pode er ocorrido devido ao fao de consideramos o valor do raio eerno e inerno dos perfis ubulares como sendo duas vezes a espessura e uma vez a espessura, respecivamene, ocasionando assim uma diferença nos resulados dos faores de segurança. Já as Tabelas 6 e 7 apresenam o dimensionameno oimizado pelo processo dos ponos ineriores (IP) e pelo processo de programação quadráica sequencial (SQP), respecivamene. As abelas ainda informam quais foram as variáveis de projeo oimizadas, as dimensões do perfil ubular e os respecivos esforços resisenes, além do cuso oal do pilar miso. Os resulados enconrados com os dois méodos IP e SQP foram basicamene os mesmos, no enano, houve uma diferença no 4

10 Tabela Resulados das resrições dos sofwares para o eemplo Méodo D FS FS PilarMiso ,8, ,9 0,80 Sofware 33,8, ,90 0, Tabela 3 Resulados das resrições para o méodo IP do eemplo Méodo (IP) D D FS FS 3,8, ,96, ,8 0, ,99, ,8,5 9, ,9 0, ,3 6, ,00 0, ,3, ,00 0, ,8 6, ,00 0,77 50 Tabela 4 Resulados das resrições para o méodo SQP do eemplo Méodo (SQP) D D FS FS 3,8, ,96, ,8 0, ,99, ,3 6, ,00 0, ,6 8, ,00 0, ,3, ,00 0,9 078 Tabela 5 Resulados das resrições dos sofwares para o eemplo Méodo b h FS FS PilarMiso ,0 380,0, ,97 0,94 Sofware 80,0 380,0, ,00 0,

11 resulado enconrado quando as variáveis de projeo, base e resisência do concreo, foram selecionadas para serem oimizadas. Os valores obidos foram diferenes, no enano, o cuso oal do pilar miso preenchido se mosrou o mesmo. Além disso, as linhas que não possuem resulados indicam que o sofware não conseguiu enconrar uma solução óima devido a olerância enre um passo e ouro ser muio pequena, ocorrendo assim a parada do sofware sem uma possível solução. Novamene a melhor solução foi obida quando se liberou odas variáveis para serem oimizadas, obendo uma redução no cuso final de,98%. 4.3 Pilar miso preenchido de perfil ubular quadrangular Um pilar miso preenchido composo por perfil ubular quadrangular submeido somene a uma compressão aial, Figura, de solução dada pelo sofware PilarMiso (Caldas, Fakury e Souza Jr., 08) uilizando a NBR 8800:008. Dados do problema: respecivos esforços resisenes, além do cuso oal do pilar miso. As linhas que não possuem resulados indicam que o sofware não conseguiu enconrar uma solução óima por a olerância enre um passo e ouro ser muio pequena, ocorrendo assim a parada do sofware sem uma possível solução. Os resulados enconrados com os dois méodos IP e SQP foram basicamene os mesmos, no enano, houve uma diferença no resulado enconrado quando a variável de projeo, resisência do concreo, foi selecionada para ser oimizada. Os valores obidos foram diferenes, no enano, o cuso oal do pilar miso preenchido se mosrou o mesmo. Além disso, as linhas que não possuem resulados indicam que o sofware não conseguiu enconrar uma solução óima devido a olerância enre um passo e ouro ser muio pequena, ocorrendo assim a parada do sofware sem uma possível solução. De forma similar aos eemplos aneriores, a melhor solução foi obida considerando odas as variáveis no problema de oimização, porém nese caso a redução do cuso chegou aos 65,%. 4.4 Pilar miso preenchido de perfil ubular circular Nese eemplo, é dado um pilar miso preenchido composo por perfil ubular circular submeido a uma compressão aial e a fleão oblíqua no eio, Figura, de solução dada por Canales (04) uilizando a NBR 639:03. Dados do problema: Base do perfil ubular = 50,00 mm Alura do perfil ubular = 50,00 mm Espessura do perfil ubular =,5 mm Comprimeno do pilar miso = 3000 mm Resisência do concreo ( ) = 30 MPa Limie de escoameno do aço (f yk ) = 50 MPa Carregameno verical (N Sk ) = 74,9 kn Momeno na direção (M,Sk ) = 0 kn Momeno na direção y (M y,sk ) = 0 kn Figura Pilar miso quadrangular A Tabela 8 apresena as dimensões do perfil, a resisência do concreo, os esforços resisenes e o cuso oal. Na primeira linha em-se o dimensionameno realizado pelo sofware PilarMiso 3.04., enquano na segunda é o dimensionameno realizado pelo programa desenvolvido. O dimensionameno realizado pelo programa apresenou uma redução de 5,6% no resulado da força resisene de compressão aial, uma redução de 5,5% no resulado dos momenos resisenes no eio e no eio y, quando comparados com o dimensionameno realizado pelo sofware PilarMiso Isso pode er ocorrido devido ao fao de consideramos o valor do raio eerno e inerno dos perfis ubulares como sendo duas vezes a espessura e uma vez a espessura, respecivamene. Já as Tabelas 9 e 0 apresenam o dimensionameno oimizado pelo processo dos ponos ineriores (IP) e pelo processo de programação quadráica sequencial (SQP), respecivamene. As abelas ainda informam quais foram as variáveis de projeo oimizadas e os Diâmero do perfil ubular = 33,80 mm Espessura do perfil ubular = 0,3 mm Comprimeno do pilar miso = 4000 mm Resisência do concreo ( ) = 30 MPa Limie de escoameno do aço (f yk ) = 50 MPa Carregameno verical (N Sk ) = 48,57 kn.cm Momeno na direção (M,Sk ) = 948,57 kn.cm Momeno na direção y (M y,sk ) = 0 kn Figura Pilar miso circular Na Tabela é apresenada o diâmero, a espessura, a resisência do concreo, os esforços resisenes e o cuso oal do pilar miso preenchido de seção ubular circular. O primeiro dimensionameno é o realizado por Canales (04). O segundo é o dimensionameno realizado pelo programa desenvolvido. O dimensionameno realizado pelo programa apresenou um aumeno de 8,5% no resulado da força resisene de compressão aial quando comparado com o dimensionameno realizado por Canales (04) e uma diminuição no faor de segurança devida a força resisene de compressão. Já as Tabelas e 3 apresenam o dimensionameno oimizado pelo 43

12 Tabela 6 Resulados das resrições para o méodo IP do eemplo Méodo (IP) b h b h FS FS 79, 380,0, ,00 0, ,0 378,6, ,00 0, ,0 380,0, ,00 0, ,0 400,0 7, ,00 0, ,0 400,0 0, ,00 0, ,0 305,, ,00 0, ,0 380,0 8, ,00 0, ,0 346,7, ,00 0, ,0 380,0 0, ,00 0, ,6 380,0, ,99, ,0 400,0, ,00 0, ,0 335,, ,00,00 8 Tabela 7 Resulados das resrições para o méodo SQP do eemplo Méodo (SQP) b h b h FS FS 79, 380,0, ,00 0, ,0 378,6, ,00 0, ,0 380,0, ,00 0, ,0 400,0 7, ,00 0, ,0 400,0 0, ,00 0, ,0 305,, ,00 0, ,0 380,0 8, ,00 0, ,0 400,0 9, ,00 0, ,0 346,7, ,00 0, ,0 380,0 0, ,00 0, , 380,0,5 69, ,00 0, ,0 400,0, ,00 0, ,0 335,, ,00, ,0 380,0 0, ,00 0,

13 Tabela 8 Resulados das resrições dos sofwares para o eemplo 3 Méodo b/h FS FS PilarMiso ,0, ,00 0,00 Sofware 50,0, ,00 0, Tabela 9 Resulados das resrições para o méodo IP do eemplo 3 Méodo (IP) b/h b/h FS FS,8, ,00 0, ,0 6, ,00 0, ,0,5 9, ,00 0, , 3, ,00 0, ,9 4, ,00 0, ,9, ,00 0, ,0 3,7 74, ,00 0, Tabela 0 Resulados das resrições para o méodo SQP do eemplo 3 Méodo (SQP) b/h b/h FS FS,8, ,00 0, ,0 6, ,00 0, ,0, ,00 0, , 3, ,00 0, ,9 4, ,00 0, ,9, ,00 0,00 68 Tabela Resulados das resrições dos sofwares para o eemplo 4 Méodo D FS3 Canales (04) 33,8 0, ,88 Sofware 33,8 0, ,

14 Tabela Resulados das resrições para o méodo IP do eemplo 4 Méodo (IP) D D FS3 97,0 0, , ,8 7, , ,8 0,3 9, , , 5, , ,7 0, , ,8 6,4 48, , Tabela 3 Resulados das resrições para o méodo SQP do eemplo 4 Méodo (SQP) D D FS3 97,0 0, , ,8 7, , ,8 0, , , 5, , , 6, , ,7 0, , ,8 6,4 48, , Tabela 4 Resulados das resrições dos sofwares para o eemplo 5 Méodo b/h FS3 Canales (04) 90,0 9, ,89 Sofware 90,0 9, , processo dos ponos ineriores (IP) e pelo processo de programação quadráica sequencial (SQP), respecivamene. As abelas ainda informam quais foram as variáveis de projeo oimizadas e os respecivos esforços resisenes, além do cuso oal do pilar miso. Os resulados enconrados com os dois méodos IP e SQP foram basicamene os mesmos, no enano, houve uma diferença no resulado enconrado quando a variável de projeo, resisência do concreo, foi selecionada para ser oimizada. Os valores obidos foram diferenes, no enano, o cuso oal do pilar miso preenchido se mosrou bem próimo. Além disso, as linhas que não possuem resulados indicam que o sofware não conseguiu enconrar uma solução óima devido a olerância enre um passo e ouro ser muio pequena, ocorrendo assim a parada do sofware sem uma possível solução. Novamene a melhor solução com uma redução no cuso de 4,98% foi obida quando se considerou odas as variáveis no problema de oimização. 4.5 Pilar miso preenchido de perfil ubular quadrangular Um pilar miso preenchido composo por perfil ubular quadrangular submeido a compressão aial e fleão oblíqua no eio, Figura 3, de solução dada por Canales (04) uilizando a NBR 639:03. Dados do problema: 46

15 Base do perfil ubular = 90,00 mm Alura do perfil ubular = 90,00 mm Espessura do perfil ubular = 9,5 mm Comprimeno do pilar miso = 4000 mm Resisência do concreo ( ) = 30 MPa Limie de escoameno do aço (f yk ) = 50 MPa Carregameno verical (N Sk ) = 48,57 kn.cm Momeno na direção (M,Sk ) = 948,57 kn.cm Momeno na direção y (M y,sk ) = 0 kn Figura 3 Pilar miso quadrangular A Tabela 4 apresena as dimensões do perfil, a resisência do concreo, os esforços resisenes e o cuso oal. Na primeira linha em-se o dimensionameno realizado por Canales (04), e na segunda o dimensionameno realizado pelo programa desenvolvido. O dimensionameno realizado pelo programa apresenou um aumeno de 7,7% no resulado da força resisene de compressão aial quando comparado com o dimensionameno realizado por Canales (04) e uma diminuição no faor de segurança devida a força resisene de compressão. Isso pode er ocorrido devido ao fao de consideramos o valor do raio eerno e inerno dos perfis ubulares como sendo duas vezes a espessura e uma vez a espessura, respecivamene. As Tabelas 5 e 6 apresenam o dimensionameno oimizado pelo processo dos ponos ineriores (IP) e pelo processo de programação quadráica sequencial (SQP), respecivamene. As abelas ainda informam quais foram as variáveis de projeo oimizadas e os respecivos esforços resisenes, além do cuso oal do pilar miso. Os resulados enconrados com os dois méodos IP e SQP foram basicamene os mesmos, no enano, houve uma diferença no resulado enconrado quando a variável de projeo, resisência do concreo, foi selecionada para ser oimizada. Os valores obidos foram diferenes, no enano, o cuso oal do pilar miso preenchido se mosrou bem próimo. Além disso, as linhas que não possuem resulados indicam que o sofware não conseguiu enconrar uma solução óima por a olerância enre um passo e ouro ser muio pequena, ocorrendo assim a parada do sofware sem uma possível solução. A redução final no cuso foi de 4,66%. Tabela 5 Resulados das resrições para o méodo IP do eemplo 5 Méodo (IP) b/h b/h FS3 66,4 9, , ,0 7, , ,0 9,5 9, , ,8 5, ,00 87,4 7, ,00 570,3 9, ,00 54 Tabela 6 Resulados das resrições para o méodo SQP do eemplo 5 Méodo (SQP) b/h b/h FS3 66,4 9, , ,0 7, , ,0 9, , ,8 5, ,00 87,4 7, ,00 570,3 9, , ,0 7, 8, ,

16 5 Conclusões O dimensionameno óimo de pilares misos preenchidos de aço e concreo uilizando écnicas de oimização, eisenes denro do sofware Malab, foi desenvolvido para esimar o menor cuso oal dese elemeno esruural, endo por base as propriedades e cusos uniários dos maeriais uilizados para a sua consrução, bem como as diversas resrições imposas pelas normas vigenes no país. Os resulados enconrados pelos dois méodos de oimização uilizados, méodo dos ponos ineriores e programação quadráica sequencial, praicamene em odos os eemplos convergiram para uma mesma solução, aponando que a solução enconrada em orno dessas dimensões é a solução oimizada do problema. A formulação ano para o dimensionameno quano para o problema de oimização foi comparada com as resoluções de problemas resolvidos na lieraura e com resulados obidos por meio de sofware, apresenando resulados bem próimos e significaivos, validando assim a uilização do algorimo. No enano, o sofware uilizado nas comparações não revela as formulações que uiliza para o dimensionameno de pilares misos preenchidos, porém os resulados se mosraram consisenes. No mais, realizar o dimensionameno óimo de pilares misos preenchidos frene as soliciações imposas ao mesmo possibilia ao profissional uma análise mais analíica para a escolha do ipo de perfil ubular, bem como as dimensões dese elemeno esruural e a resisência do concreo, garanindo assim uma redução de valores epressivos para o seu cuso oal. Além disso, ressala-se que o esudo realizado pode sofrer impacos quando comparado com as normas inernacionais de dimensionameno de pilares misos preenchidos de aço e concreo devido as paricularidades de cada norma nos cálculos para obenção dos esforços resisenes. [5] Fernandes, Juliana Ferreira Pilares misos: ubos de aço com seções quadradas e reangulares e núcleo de concreo de ala resisência f. 5 Disseração (Mesre em Engenharia Civil) Engenharia Civil, Universidade Esadual de Campinas, 997. [6] De Nardin, Silvana Esudo éorico-eperimenal de pilares misos composos por ubos de aço preenchidos com concreo de ala resisência f. Disseração (Mesre em Engenharia Civil) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 999. [7] De Nardin, Silvana Pilares misos preenchidos: esudo da fleocompressão e de ligações viga-pilar f. Tese (Douor em Engenharia Civil) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 003. [8] Gomes, Harlley Davidson Análise numérica de pilares misos de aço e concreo ubulares circulares com concreo de alo desempenho f. Disseração (Mesre em Engenharia Civil) Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírio Sano, Viória, 05. [9] Oliveira, Waler Luiz Andrade de Análise eórico-eperimenal de pilares misos preenchidos de seção circular f. Tese (Douor em Engenharia de Esruuras) Engenharia Civil, Universidade de São Paulo, São Carlos, 008. [0] Vallourec Tubos Do Brasil Tubos esruurais seção circular, quadrada e reangular. Minas Gerais: Belo Horizone, p. Caálogo esruural. [] Caldas, R. B; Fakury, R. H.; Souza Jr., J. B. M. PilarMiso 3.04.: verificação de pilares misos de aço e concreo segundo a ABNT NBR 8800:008 e a NBR 433:00. Belo Horizone: UFMG, Deparameno de Engenharia de Esruuras. Acesso em: 30 maio 08. Referências [] Associação Brasileira de Normas Técnicas. ABNT, NBR 68 Projeo de esruuras de concreo - Procedimeno (04). [] Associação Brasileira de Normas Técnicas. ABNT, NBR 8800 Projeo de esruuras de aço e de esruuras misas de aço e concreo de edifícios (008). [3] Associação Brasileira de Normas Técnicas. ABNT, NBR 639 Projeo de esruuras de aço e de esruuras misas de aço e concreo de edificações com perfis ubulares (03). [4] Canales, Ana Flávia Esudo do dimensionameno de pilares de aço ubulares e pilares misos de perfis ubulares preenchidos com concreo de acordo com a ABNT NBR 639: f. Trabalho de Conclusão de Curso (Bacharelado em Engenharia Civil) Engenharia Civil, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Campo Mourão,