Testando a lei dos grandes números: simulando cálculo de probabilidades através do Stata

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1 Testado a lei dos grades úmeros: simulado cálculo de probabilidades através do Stata 3) A laça uma moeda + vezes e B laça a mesma moeda vezes. Qual é a probabilidade de A obter mais caras que B? Solução: Seja X A o úmero de caras obtido por A em + laçametos da moeda e seja seja X B o úmero de caras obtido por B em laçametos da mesma moeda. Perguta-se: P(X A > X B ). PX ( ) A PX ( ) B ( )! X ( X )! X! X A X A A A A B B! X ( X )! X! X X B B B Temos uma matriz costituída por (+) lihas correspodetes aos laçametos de A e coluas correspodetes aos laçametos de B. x x x,,, x x x x,,, x ,, ,, x x O valor do primeiro subscrito dos elemetos desta matriz correspode ao úmero de caras de A e o valor do segudo subscrito dos elemetos desta matriz correspode ao úmero de caras de B. As combiações em que A faz maior úmero de caras do que B correspodem a região da matriz que está abaixo da diagoal que vai de x, a x,. i i j ( )!! ( i)! i! ( j)! j! i i j ( )!! ( i)! i!( j)! j! i ( )!! ( i)! i!( j)! j! i j

2 ( )!!( )!! ( )!3!( )!! ( )!3!( )!! (0)!( )!( )!! (0)!( )!( )!! (0)!( )!0!! Fiz uma simulação deste somatório para = até 30 através de uma rotia o Stata coforme abaixo e cheguei aos resultados listados depois do programa. Os resultados do cálculo da probabilidade covergem rapidamete para 0,. Mas esta é uma solução por simulação. Se alguém coseguir uma solução aalítica para o desevolvimeto do somatória acima, favor eviar. forvalues = ()30 { scalar soma = 0 forvalues i=()`' { local k = `i' - forvalues j=()`k' { scalar fator = (exp(lfactorial(`'+-`i'))*exp(lfactorial(`i'))*exp(lfactorial(`'- `j'))*exp(lfactorial(`j')))^(-) scalar soma = soma + fator disp " = ", `', " probabilidade = ", soma*.^(*`' + )*exp(lfactorial(`'+))*exp(lfactorial(`')) = probabilidade =.87 = 3 probabilidade =.38 = 4 probabilidade =.406 = probabilidade =.4406 = 6 probabilidade = = 7 probabilidade = = 8 probabilidade = = 9 probabilidade = = 0 probabilidade = = probabilidade = = probabilidade = = 3 probabilidade = = 4 probabilidade = = probabilidade = = 6 probabilidade = = 7 probabilidade = = 8 probabilidade = = 9 probabilidade = = 0 probabilidade = = probabilidade = = probabilidade =

3 = 3 probabilidade = = 4 probabilidade = = probabilidade = = 6 probabilidade = = 7 probabilidade = = 8 probabilidade = = 9 probabilidade =. = 30 probabilidade =. 70) Motores de avião fucioam idepedetemete e cada motor tem uma probabilidade p de falhar durate o vôo. Um avião voa com seguraça se a maioria de seus motores fucioa. Para que valores de p um avião com 3 motores é preferível a um avião com motores? Solução: para um avião de três motores a probabilidade de voar é: 3 3 3! 3! P3 p ( p) p ( p) p ( p) p 3!! 3!0! p ( p) p 3p p Para o avião de motores: P p ( p) p ( p) p ( p) p p 4 p Etão o avião de 3 motores é preferível ao avião de cico motores quado é satisfeita a seguite iequação: 3 4 3p p p 4 p p p p 3p 0 3 p (4p p p 3) 0 Desevolvi a seguite rotia o Stata para estudar o sial deste poliômio. Esta rotia resulta a costrução do gráfico a seguir. Pelo gráfico verifica-se que o valor do poliômio é sempre positivo para 0 < p <. Portato o trimotor é sempre preferível ao avião de motores. clear set more off set matsize 000 matrix A = J(000,,0) local j = 0 forvalues i = 0(.00) { local j = `j' + scalar t = 4*`i'^ - *`i'^4 - *`i'^3 + 3*`i'^

4 0 f(p)...3 matrix A[`j',] = `i' matrix A[`j',] = t disp t svmat A, ames(a) reame A y reame A p twoway (lie y p), ytitle(f(p)) p 8) Quatas vezes, o míimo, se deve laçar um dado ão tedecioso para que a probabilidade de obter algum 6 seja superior a 0,9? Solução: Seja o úmero de laçametos do dado. A probabilidade de se obter o míimo um 6 em laçametos é dado por: P(o miimo um 6) = - P(ehum 6) = ! 0.9 ( 0)!0!

5 log log 0. 6 log0. > log 6 >.63 Para = Para = ) Uma loteria tem úmeros e só um prêmio. Um jogador compra bilhetes em uma extração. Outro compra só um bilhete em extrações diferetes. ( ambos os jogadores apostam portato a mesma importâcia). Qual deles tem maior probabilidade de gahar o prêmio? Solução: O primeiro jogador tem probabilidade de gahar o premio igual: PX ( 0)... O segudo jogador tem probabilidade igual a: 0 0 PX ( 0) 0 Para demostrar que o segudo jogador tem maior probabilidade de gahar o premio, temos que demostrar que <. para qualquer e,

6 Esta expressão é falsa, pois quado é grade e Portato o primeiro jogador terá maior probabilidade de gahar o premio. 39) Uma moeda é jogada 6 vezes. Sabedo-se que o primeiro laçameto deu coroa,calcular a probabilidade codicioal de que o úmero de caras os 6 laçametos supere o úmero de coroas. Solução: Em cico laçametos restates, como já temos uma coroa, o úmero de caras deve superar o umero de coroas +. Temos etão de calcular P(X>= 3) ode X é o úmero de caras em laçametos , Simulei vezes laçametos de uma mesma moeda através do seguite programa Stata e a proporção de resultados com 3 mais caras foi igual a 0, * Simulado laçametos de uma moeda cap prog drop moeda prog def moeda local cotador = 0 forvalues i = () { scalar z = ruiform() if z <=. { scalar moeda = 0 else { scalar moeda = local cotador = `cotador' + if `cotador' >= 3 { scalar x = else { scalar x = 0 ed simulate y=x, reps(00000) odots: moeda summa y

7 30) João e Pedro laçam, cada um, um dado ão-tedecioso. Qual é a probabilidade do resultado de João ser maior igual ao resultado de Pedro? Solução: Supoe-se que os resultados de João e Pedro são idepedetes. A probabilidade dp resultado de João ser maior do que o resultado de Pedro correspode a um subcojuto do espaço amostral, que se costitui de 36 evetos subtraido-se os evetos em que Pedro gaha e teremos (36-6)/ = evetos em que João gaha, cada um com probabilidade /36 e portato a probabilidade de João gahar é igual a /36. 7) Colocam-se ao acaso botões em um tabuleiro x, ão sedo permitido haver dois botões em uma mesma casa. Qual é a probabilidade de ão haver dois botões em a mesma liha em a mesma colua? Solução: Existem possibilidades de se colocar o primeiro dos botões o tabuleiro. Para cada uma destas possibilidades temos ( -) possibilidades de colocarmos o segudo dos botões e assim por diate quado chegamos ao peúltimo botão só os resta uma possibilidade restate de colocarmos o osso -esimo botão. Etão o umero de evetos distitos em que ão ocorrem dois botões a mesma casa é: ( ) ( )...( ) ( )! Este é o tamaho de osso espaço amostral. O úmero de evetos favoráveis é igual a!. Por exemplo, se = 3 temos os seguites evetos favoráveis:! O úmero de resultados (evetos) distitos do espaço amostral é igual a Portato a probabilidade será igual a:.!!!!( )! ( )! Por exemplo, para = 3 temos:!! 9! 9! 4!!( )! 3!(9 3 )! 3!7! 3 ( )! Vamos simular este experimeto através da seguite rotia Stata:

8 * Simulado o preechimeto com botões em um tabuleiro * com x posições cap prog drop tabuleiro prog def tabuleiro local = matrix X = J(`',`',0) local i = while `i' <= `' { local k = it(+(`')*ruiform()) local l = it(+(`')*ruiform()) scalar x = X[`k',`l'] if x == { else { matrix X[`k',`l'] = local i = `i' + matrix list X matrix li = J(,`'+,0) matrix col = J(`',,0) matrix X = X,col matrix X = X\li forvalues i = ()`' { forvalues j = ()`' { matrix X[`i',`'+] = X[`i',`'+] + X[`i',`j'] matrix X[`'+,`j'] = X[`'+,`j'] + X[`i',`j'] scalar x = 0 forvalues i = ()`' { forvalues j = ()`' { if X[`'+,`j'] > { scalar x = cotiue, break if X[`i',`'+] > { scalar x = cotiue, break scalar x = - x ed simulate y=x, reps(0000) odots: tabuleiro summa y qui local =

9 disp exp(lfactorial(`'))*exp(lfactorial(`'^-`'+))/exp(lfactorial(`'^))