APÊNDICE D DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
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- Carlos Eduardo Aldeia
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1 Apêndic D APÊNDICE D DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS Distriuição inomil A distriuição inomil é distriuição d proilidd discrt do númro d sucssos num squênci d n tnttivs dsd qu s tnttivs sjm indpndnts. Cd tnttiv rsult pns m dus possiilidds, sucsso S ou frcsso F. A prssão qu dfin distriuição inomil d proilidd é: p n n C p p D. Ond: C n n! n! n! D. Ond é vriávl ltóri inomil, significndo o númro d sucssos m n rptiçõs do primnto; p é proilidd d otr sucssos m n tnttivs indpndnts do primnto; p é proilidd d sucsso pr um únic tnttiv; p é proilidd complmntr frcsso; n é o númro d vzs qu o primnto é rlizdo. N distriuição inomil tm-s, portnto, como crctrístics: somnt dois vntos podm ocorrr; cd tnttiv no primnto é indpndnt ds outrs; c proilidd d cd ocorrênci s mntém constnt pr cd tnttiv. Um form mis dscritiv d prsntr distriuição inominl é: n n p p p sucsso flh D.3 Em lgums situçõs s dsj otr proilidd comind d um grupo d rsultdos. Esss rsultdos normlmnt são do tipo mis do qu ou mnos do qu dtrmindo vlor. No cso d distriuição inomil cumultiv, prssão corrspond à som ds proilidds considrds, ou sj: n n n p C p p D.4 A distriuição inomil pod proimr-s d distriuição norml nos csos m qu n for muito grnd p não sj próimo d zro. A proimção é tão mis vrddir qunto mis o vlor d p s proim d 0,5 ou qundo s vrific condição dd pl Eq. D.5 sguir: Originári d distriuição d Brnoulli ss distriuição é discrt d spço mostrl {0, }, com proilidd p0 p pp. O cintist suíço Jo Brnoulli foi o primiro mtmático dsnvolvr o cálculo difrncil pr lém do qu for fito por Nwton Liniz, plicndo-o novos prolms. S,,..., n são n distriuiçõs d Brnoulli indpndnts com o msmo prâmtro p, ntão su som é um distriuição inomil.
2 Apêndic D np p 5 D.5 A sprnç vriânci d um vriávl ltóri qu tm distriuição inomil são, rspctivmnt: E np np p D.6 Um cso prticulr d distriuição inomil é distriuição d Brnoulli, qundo n. Distriuição d Poisson A distriuição d Poisson prss proilidd d vntos discrtos ocorrrm num dtrmindo intrvlo d mdids contínus, tis como o tmpo, distânci, ár, o volum tc. Emplos d prolms qu podm sr rsolvidos com distriuição d Poisson: dtrminção do númro d consumidors por hor m um posto d comustívl, númros d vzs m qu um forncimnto d nrgi é intrrompido por smstr, pontos d corrosão por mtro qudrdo m um pltform d ptrólo, númro d cmds d rochs por quilômtro d profundidd num formção sdimntr tc. Osrv qu vriávl ltóri é discrt unidd d mdid é contínu. A distriuição d Poisson vi dsd zro ocorrênci té, toricmnt, um númro ilimitdo d ocorrêncis. S um vriávl ltóri tm distriuição d Poisson, ntão proilidd d ocorrr um ddo númro d ocorrêncis por unidd d mdid h, m, m 3, smstr tc. é dd por: p t t! D.7 Ond é o númro d ocorrêncis; é t médi por unidd d mdid; t é o númro d unidds. O vlor t rprsnt médi d ocorrêncis no intrvlo d mdid t, portnto: tµ. Assim, Eq. D.7 s torn: p! D.8 Not qu distriuição d Poisson é crctrizd por um único prâmtro, su médi. Tnto o vlor sprdo como vriânci d um distriuição d Poisson é su médi, t. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS c Distriuição uniform A distriuição uniform crctriz-s plo fto d vriávl ltóri ssumir vlors d msm proilidd d ocorrênci. É tmém chmd d distriuição rtngulr utilizd m trtmnto d rros. Osrv n Figur D. qu todos os vlors d ntr min m têm msm proilidd d ocorrênci. A distriuição d Poisson foi prsntd por Siméon-Dnis Poisson pulicd com su tori d proilidd m 838 no su trlho Rchrchs sur l proilité ds jugmnts n mtièrs criminlls t mtièr civil.
3 Apêndic D 3 Figur D. Distriuição uniform A distriuição uniform é distriuição n qul proilidd d s grr qulqur ponto m um intrvlo contido no spço mostrl é proporcionl o tmnho do intrvlo. S [, ][min, m] for o spço mostrl, por mplo, ntão função dnsidd d proilidd frquênci cumultiv são rspctivmnt: F f ;, 0;, 0;, 0; D.9 EXEMPLO D. Com s n dfinição do vlor sprdo d vriânci ddos pls Eqs. C.8 C.6 do Apêndic C rspctivmnt, dtrmin E vr pr um distriuição uniform. Solução D cordo com dfinição do vlor sprdo d um distriuição contínu, tm-s qu: d d f E D.0 Ou: E + + D. A vriânci vr é clculd pl Eq. C.6. Pr dtrminr E, st plicr Eq. C.8 pr distriuição uniform, portnto: d d f E D. Logo: 4 3 vr 3 3 E E + D.3 Qu rsult m:
4 Apêndic D 4 vr D.4 Os simuldors sttísticos ou plnilhs d cálculo possum um grdor d númros ltórios qu gr vlors ntr 0 sguindo um distriuição uniform. A simulção Mont Crlos, por mplo, utiliz ss rcurso. Ess númro é chmdo d psudoltório, um vz qu é possívl rptir msm squênci prtir d um smnt ltóri 3. d Distriuição norml A distriuição norml é mis importnt mis mprgd distriuição no studo d proilidd d sttístic, tmém conhcid como distriuição d Guss. A função qu rprsnt ss distriuição foi prsntd plo mtmático frncês Arhm d Moivr 4. Além d dscrvr fnômnos físicos d nturz, tm sido usd tmém pr outrs árs. Um distriuição norml fic prfitmnt dfinid por dois prâmtros, médi μ o dsvio pdrão σ. Dvido à su simtri, médi, mod mdin são iguis. Assim, conhcndo-s médi o dsvio pdrão s consgu dtrminr qulqur proilidd d um vnto qu prsnt distriuição norml. A prssão grl pr função dnsidd d proilidd d distriuição norml é: / f D.5 A curv do ldo squrdo d Figur D. ilustr um curv d distriuição norml com s rspctivs árs d cordo com o dsvio pdrão. A do ldo dirito indic função dnsidd d proilidd função distriuição cumuld. Figur D. Curv d distriuição norml ou curv gussin O domínio d função norml stnd-s d té +. O vlor d médi divid curv m dus prts o vlor do dsvio pdrão dtrmin tnsão do splhmnto ou disprsão d vriávl. Como ár totl so curv é igul, conclui-s qu, qundo médi ltur é 3 A smnt ltóri é um númro ou vtor usdo pr inicir um lgoritmo grdor d númros psudoltórios gr um squênci d númros proimdmnt indpndnts uns dos outros. Eist um hrdwr pr grção d númro vrddirmnt ltório. 4 Arhm d Moivr mtmático frncês. Ficou fmoso com pulicção d Fórmul d Moivr, qu rlcion os númros complos com trigonomtri por sus trlhos rlciondos à tori d proilidd, distriuição norml. D Moivr foi o primiro usr princípios turiis ss cintífics pr o cálculo d sguros d vid no no d 75.
5 Apêndic D 5 rduzid, curv dv splhr-s pr s ltris pr mntr msm ár totl unitári. Adots sguint notção qundo um vriávl ltóri tm um distriuição norml: N, D.6 Qundo 0, rduz-s pr curv norml pdrão cuj função dnsidd distriuição d frquênci cumuld são rspctivmnt: / t f rfc F /, dt D.7 Ond rfc é conhcid como função rro gussin. O fto d curv norml sr prfitmnt dfinid pl su médi su dsvio pdrão, prmit qu tods s curvs normis possm sr rduzids um curv norml pdrão por simpls mudnç d vriávl. Pr litur d dtrmind ár cumultiv so curv d distriuição norml, pod-s mprgr o método d distriuição norml pdrão, utilizndo-s, pr tnto, um tl spcil pdronizd qu prsnt os vlors pr um vriávl dimnsionl z dfinid por: z D.8 Ond é um vlor spcífico d vriávl d intrss, μ é su médi σ é o su dsvio pdrão. Ess prssão prmit dtrminr o ponto z sor curv norml pdrão qu corrspond qulqur ponto sor curv norml. A curv mis simpls pr s trlhr é qu tm médi igul 0 dsvio pdrão igul, rzão pl qul s trnsformm s curvs normis pr ss curv pdrão. Como distriuição é simétric m torno d médi, é comum prsntr tl pr mtd d distriuição. A tl é dstind dtrminr ár pr vriávl z so mtd dirit d curv norml qu tm como médi 0 dsvio pdrão. A ár so curv d um distriuição norml N0, comprndid ntr vr Figur D.3 é clculd com sguint prssão: / p d D.9 Figur D.3 Ár so curv comprndid por dois vlors A intgrl d Eq. D.9 só é otid por métodos d intgrção numéric. Há rzõs pr importânci d distriuição norml n sttístic tóric n plicd. Entr sss rzõs podm sr citds: Rprsntm com o proimção pr um infinidd d fnômnos físicos nturis; Srvm como proimção d distriuiçõs inomiis qundo n é grnd;
6 Apêndic D 6 É possívl stlcr, conform já posto, um curv norml pdrão por mio d um sclonmnto rltivo ds vriávis ris médi dsvio com vriávl z. Isso torn fácil trlhr com distriuição d tods s distriuiçõs normis. A distriuição norml rprsnt um fmíli infinit d distriuiçõs, um pr cd cominção possívl d médi dsvio pdrão. Cd curv d fmíli tm msm ár. Vr Figur D.4. Figur D.4 Fmílis d curvs normis ár so curv igul Um torm importnt d distriuição norml diz qu, s um vriávl ltóri tivr um distriuição norml Nµ, s y+, ntão y trá um distriuição norml Nµ+,. Distriuição ponncil A distriuição ponncil trt d proilidds d vntos o longo do tmpo ou d distânci ntr ocorrêncis num intrvlo contínuo. Emplos d vntos qu podm sr rprsntdos por um distriuição ponncil: Tmpo d chgd d um clint m um posto d stcimnto d iodisl; Tmpo d flhs m poços d ptrólo; Tmpo ntr um troc d roc outr ns oprçõs d prfurção d poços tc. Há smlhnçs ntr distriuição ponncil distriuição d Poisson. As proilidds ponnciis são prsss m trmos d tmpo ou distânci d ocorrênci ntr os vntos. A função qu modl ss dstruição é: t p T t p T t D.0 Ond rprsnt s ocorrêncis durnt um intrvlo. Assim, o spço ou tmpo tc. ntr ocorrêncis durnt ss intrvlo é /. A Eq. D.0 pod sr rprsntd por um gráfico conform indicdo n Figur D.5. t Figur D.5 Distriuição ponncil
7 Apêndic D 7 f Distriuição lognorml A distriuição lognorml é um distriuição contínu d proilidd smlhnt à distriuição norml com ssimtri m rlção o io vrticl. D msm form qu norml, distriuição lognorml é dfinid por dois prâmtros: médi o dsvio pdrão. Qundo vriávl ltóri tm distriuição lognorml, o logritmo d tm distriuição norml. Qundo vriávl ltóri é formd plo produto d outrs vriávis ltóris, distriuição tnd à lognorml. A distriuição lognorml, ssim como distriuição d Wiull, é útil pr modlr s funçõs d tmpo d vid d produtos mtriis, por mplo: fdig d mtis m grl, quipmnto como oms d cvidds progrssivs d poços d ptrólo, comprssors d unidd d gás, smicondutors tc. A função dnsidd pr distriuição lognorml é: ln f p D. Osrv qu distriuição lognorml é crctrizd pl médi plo dsvio pdrão. Ss tmém qu, s lny é um vriávl ltóri com distriuição lognorml, ntão y é um vriávl ltóri com distriuição norml. A Figur D.6 mostr lgums curvs com distriuição lognorml. Figur D.6 Distriuição lognorml Pod-s dmonstrr qu o vlor sprdo d um vriávl qu tm distriuição lognorml é: Ond vry é vriânci d y, qu quivl : y E y + 0,5 vr y E E D. E y + vr y vr y vr D.3 As distriuiçõs contínus sguints são s mis comuns d litrtur são mostrds nst rvisão pns título d informção. Algums dls podm sr útis m studos spcíficos d lgums vriávis d nturz divrs.
8 Apêndic D 8 g Distriuição d Ryligh A função dnsidd d proilidd d Ryligh 5 é dfinid conform Eq. D.4 sguir: / f D.4 Ond é um prâmtro d posição. A função d frquênci cumuld é: / F D.5 A Figur D.7 ilustr função dnsidd d proilidd função d frquênci cumulds d distriuição d Ryligh pr lguns vlors d. Ess distriuição d frquênci tm vlor sprdo vriânci rspctivmnt iguis : 4 E vr D.6 Figur D.7 Distriuição d Rylig A distriuição d Ryligh é utilizd, por mplo, pr rprsntr mgnitud dos vtors vlocidds ortogonis do vnto durnt um no, dsd qu s ssum qu tis vtors tnhm distriuição norml com igul vriânci não sjm corrlciondos. Outrs plicçõs dss distriuição stão rlcionds à suprfíci d onds sinis d rádio. S y são vriávis indpndnts com distriuição norml N0,, ntão vriávl sguir: R + y D.7 Sgu um distriuição d Ryligh. Ess distriuição é um cso spcil d distriuição d Wiull. 5 John Willim Strutt, 3 º Bron Ryligh físico inglês. Junto d Willim Rmsy, dscoriu o lmnto rgônio rcu por isso o prêmio Nol d Físic m 904. El tmém plicou porqu o céu é zul fz prdiçõs sor s suprfícis d onds, hoj conhcids como onds Ryligh.
9 Apêndic D 9 h Distriuição Gm Um distriuição importnt d tori d proilidds é distriuição Gm. Ess distriuição é frquntmnt utilizd pr modlr tmpo d spr, como, por mplo, o tmpo d vid d um psso. Por dfinição, um vriávl ltóri tm um distriuição Gm com grus d lirdd um prâmtro sclr s prsntr sguint fdp: f,, 0 / 0, 0 0 D.8 Ond é função Gm. A distriuição Gm não tm um form simpls como distriuição norml, ponncil ou lognorml vr mplo n Figur D.8 pr lguns grus d lirdd lguns vlors sclrs d. Figur D.8 Distriuição Gm Normlmnt, distriuição Gm é prmtrizd com /. Assim, com ss prmtrizção, tm-s sguint fdp: f,, 0 0, 0 0 D.9 A função Gm é um tnsão d função ftoril pr númros complos, dfinid por: t 0 t dt D.30 Ond t é um vriávl mud d intgrção. Ess função, d modo grl, tm sguint rlção d rcorrênci: n n n n n n... n n... D.3 Como, tm-s qu: n n! D.3 Com sguint prticulridd:
10 Apêndic D 0 D.33 O vlor sprdo d distriuição gm é E/ vriânci é vr/. Os csos prticulrs dss distriuição são: S, rsult qu f, qu quivl à distriuição ponncil ond. Portnto, distriuição ponncil é um cso prticulr d distriuição Gm; S / /, ond é um intiro positivo mior qu zro, função Gm ssum sguint fdp: f, 0, / / / /, 0 0 D.34 Ess fdp rprsnt distriuição qui-qudrd com grus d lirdd, com E vriânci vr. Ess distriuição é muito utilizd m tsts d significânci d váris mostrs pr stimr proporçõs. S, ond é um intiro positivo mior qu zro, distriuição Gm s trnsform n distriuição d Erlng 6 com sguint fdp: f,,!, 0 D.35 Um notção usul utilizd m lgums pulicçõs é fit com o uílio d indicdors com os quis fic plícito qu, for do intrvlo spcificdo no indicdor, função dnsidd s nul. Por mplo, fdp d Eq. D.35 pod sr rscrit incluindo um função indicdor: f / /, I[0, / D.36 / Ond: ; s I[, ] D.37 0; pr qulqur outro vlor d i Distriuição d Wiull Por dfinição, um vriávl ltóri tm um distriuição d Wiull 7 com prâmtros, qundo su função dnsidd d proilidd s comport conform Eq. D.38 sguir: 6 Agnr Krrup Erlng foi mtmático, sttístico ngnhiro, pioniro n Engnhri d Tráfico pulicou clnts trlhos sor tori ds fils m studos d tlcomunicçõs. A distriuição d Erlng é usd m procssos stocásticos d iomtmátic. 7 Ernst Hjlmr Wloddi Wiull ngnhiro mtmático suco. É rconhcido plo su trlho n ár d fdig d mtriis n sttístic por su contriuição distriuição d Wiull.
11 Apêndic D f ;, 0, /, 0 0 D.38 Ond >0 é um prâmtro d form é um prâmtro d scl. O vlor sprdo vriânci d distriuição d Wiull são ddos por: + + E ; vr + D.39 A distriuição d Wiull é usd m prvisão d tmpo d vid d quipmntos stimtiv d tmpos ntr flhs. j Distriuição d Cuchy A distriuição d Cuchy 8 s crctriz por não possuir um médi dfinid, portnto tmém não s pod dfinir su dsvio pdrão. A distriuição d Cuchy tm pouc utilidd m nális d risco. É usd com frquênci n mcânic n létric m prolms d mdição clirção. Ess distriuição pod sr otid por simulção ntr dus distriuiçõs normis indpndnts. A função d distriuição d frquênci dfinid é: Cuj distriuição d frquênci cumuld é: f D F + rctn D.4 Ond o prâmtro 0 s rfr à posição n qul ocorr o pico d distriuição é um prâmtro d scl. Como n distriuição gussin, distriuição d Cuchy tm um form pdrão, ssim su fdp é: f D.4 + Distriuição Bt A distriuição Bt rprsnt um fmíli d distriuição d proilidd contínu dfinid num intrvlo d 0 prmtrizd por dois prâmtros d form,. Algums vzs, distriuição Bt é usd pr dscrvr proilidds d distriuição dsconhcids. A função dnsidd qu dfin um distriuição Bt é: 8 Tmém chmd d distriuição d Cuchy-Lorntz m homngm Augustin-Louis Cuchy mtmático frncês Hndri Lorntz físico prmido com o Nol m 90 por su trlho sor rdiçõs ltromgnétics.
12 Apêndic D F D.43 s s ds 0 O vlor sprdo vriânci d distriuição Bt são, rspctivmnt: E vr D l Distriuição F d Sndcor Fishr-Sndcor Por dfinição, um vriávl ltóri tm um distriuição d Fischr-Sndcor, com prâmtros n d, qundo su função dnsidd d proilidd s comport conform Eq. D.45 sguir: n n n+ d n n f ; n, d + n d d d D.45 B, Ond B é função t, dfinid por: y B, y t t dt 0 A função t tm s sguints propridds, dntr outrs: B, y B y, y B, y + y n y n B, y + n n 0 D.46 D.47 m Distriuição t d Studnt S um vriávl z tm um distriuição norml N0, V tm distriuição qui-qudrdo com gru d lirdd, ntão vriávl conform Eq. D.48 tm distriuição t d Studnt com grus d lirdd. z D.48 V / Por dfinição, um vriávl ltóri tm um distriuição t d Studnt com grus d lirdd, qundo su função dnsidd d proilidd s comport conform Eq. D.49 sguir:
13 Apêndic D f D.49 Ond é função gm com sguint propridd: D.50 A distriuição t d Studnt é plicd nos prolms d dtrminção d médi prtir d um mostr d um populção qu sgu um distriuição norml. Nsss prolms, médi ou o dsvio pdrão d populção são dsconhcidos.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS. Vamos agora estudar algumas variáveis aleatórias contínuas e respectivas propriedades, nomeadamente:
86 VARIÁVIS ALATÓRIAS CONTÍNUAS Vmos gor studr lgums vriávis ltóris contínus rspctivs propridds, nomdmnt: uniform ponncil norml qui-qudrdo t-studnt F DISTRIBUIÇÃO UNIFORM Considr-s qu função dnsidd d proilidd
c.c. É a função que associa a cada x X(S) um número f(x) que deve satisfazer as seguintes propriedades:
Prof. Lorí Vili, Dr. vili@mt.ufrgs.r http://www.mt.ufrgs.r/~vili/ Sj um vriávl ltóri com conjunto d vlors (S). S o conjunto d vlors for infinito não numrávl ntão vriávl é dit contínu. É função qu ssoci
A Função Densidade de Probabilidade
Prof. Lorí Vili, Dr. vili@mt.ufrgs.r http://www.mt.ufrgs.r/~vili/ Sj X um vriávl ltóri com conjunto d vlors X(S). S o conjunto d vlors for infinito não numrávl ntão vriávl é dit contínu. A Função Dnsidd
TÓPICOS. Melhor aproximação. Projecção num subespaço. Mínimo erro quadrático.
Not m: litur dsts pontmntos não dispns d modo lgum litur tnt d iliogrfi principl d cdir Chm-s tnção pr importânci do trlho pssol rlizr plo luno rsolvndo os prolms prsntdos n iliogrfi, sm consult prévi
Adição dos antecedentes com os consequentes das duas razões
Adição dos ntcdnts com os consqunts ds dus rzõs Osrv: 0 0 0 0, ou sj,, ou sj, 0 Otnh s trnsformds por mio d dição dos ntcdnts com os consqünts: ) ) ) 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 0 0 0 0 ) 0 0 0 0 ) Osrv gor como
= 1, independente do valor de x, logo seria uma função afim e não exponencial.
6. Função Eponncil É todo função qu pod sr scrit n form: f: R R + = Em qu é um númro rl tl qu 0
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