COMPARANDO DIFERENTES ESTRATÉGIAS DE CONTROLE PARA SISTEMAS NÃO LINEARES INCERTOS BASEADAS EM ESCALONAMENTO DE GANHOS

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1 COMPARANDO DIFERENTES ESTRATÉGIAS DE CONTROLE PARA SISTEMAS NÃO LINEARES INCERTOS BASEADAS EM ESCALONAMENTO DE GANHOS Mateus Paresqui Berruezo, Leonardo A B Tôrres, Reinaldo Martinez Palhares Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais Av Antônio Carlos 667, 37-9, Belo Horizonte, MG, Brasil Departamento de Engenharia Eletrônica Universidade Federal de Minas Gerais s: mateuspberruezo@yahoocom, leotorres@ufmgbr, rpalhares@ufmgbr Abstract In this paper, two recent approaches for dealing with approximation and control of nonlinear systems with parametric uncertainties are presented and compared These approaches are based on Linear Parameter Varying (LPV) and polytopic fuzzy Takagi-Sugeno (TS) models, respectively Details and peculiarities of each approach are presented along the paper and a numerical example is presented to illustrate the performance of each one Keywords Takagi-Sugeno fuzzy models, LPV models, Uncertainty, Gain scheduled control Resumo Neste trabalho, são apresentadas e comparadas duas abordagens recentes para aproximação e controle de sistemas não lineares com presenças de incertezas paramétricas Essas abordagens são baseadas, respectivamente, em modelos lineares por parâmetros variantes (LPV - do inglês Linear Parameter Varying) e fuzzy Takagi-Sugeno (TS) com descrições politópicas Detalhes e particularidades de cada abordagem são apresentadas ao longo do texto e um exemplo numérico é utilizado para ilustrar a performance de cada uma Palavras-chave escalonado Modelos fuzzy Takagi-Sugeno, Modelos LPV, Incertezas paramétricas, Controle por ganho Introdução Há uma rica literatura propondo diferentes métodos para síntese de controladores considerando diferentes classes de sistemas não lineares em diferentes aplicações Um passo crucial para este tipo de metodologia diz respeito a se obter uma representação adequada para a classe de sistemas não lineares, e em alguns casos são necessárias aproximações apropriadas nos intervalos de análise antes de proceder a síntese de controle Pode-se citar como estratégias de aproximação: linearização local em torno de pontos de operação; representação por sistemas variantes no tempo e mais especificamente em subclasses na forma de sistemas com parâmetros variantes (LPV); modelos locais fuzzy Takagi-Sugeno (TS); aproximação polinomial multivariável; transformações fracionárias lineares, dentre outras A ideia é que dada uma aproximação para a classe de sistemas não lineares, a síntese de controle possa ser obtida considerando metodologias mais amigáveis e aplicáveis a estas diferentes aproximações No entanto há agravantes neste tipo de abordagem quando, por exemplo, o modelo do sistema não linear a ser aproximado apresenta incertezas paramétricas tornando a discussão mais desafiadora dependendo da aproximação Na modelagem fuzzy TS, o sistema não linear pode ser transformado em uma combinação convexa de sistemas lineares locais, ponderados por regras fuzzy com antecedentes dados por variáveis de escalonamento (variáveis premissas) e regidas por funções de pertinência (Guerra et al, 5) Na modelagem TS, em geral as variáveis premissas são variáveis de estado ou funções das mesmas O compensador paralelo distribuído fuzzy neste caso pode ser especificado também como uma combinação convexa de controladores lineares locais ponderados de forma semelhante ao modelo fuzzy TS para o sistema não linear (Guerra et al, 5) Em Campos et al discute-se conexões na obtenção de uma representação convexa para um modelo LPV dado via transformação produto tensorial (TP) O intuito neste último caso é que a transformação TP, em conjunto com outros procedimentos, leve a uma representação TS do modelo LPV Por outro lado, o método do ganho escalonado para modelos LPV consiste em obter controladores cujos ganhos variam conforme as regiões de operação da planta Vantagens deste tipo de controle incluem a estabilização e controle da planta em uma ampla faixa de operação (Rugh e Shamma, ) Claro que se pressupõe que o sistema não linear é representado como um modelo LPV Nesta representação, o novo modelo e o controlador terão suas características alteradas de acordo com a evolução das variáveis de escalonamento (Rugh e Shamma, ) Desvantagens neste último caso são a não trivialidade da transformação do sistema não linear em LPV e a falta de soluções em alguns casos (Bruzelius, 4) Variáveis de escalonamento normalmente são escolhidas como grandezas que contribuem significativamente na alteração da dinâmica do sistema Se estas variáveis forem completamente externas ao sistema, ele é denominado LPV, caso algumas ou

2 todas as variáveis de escalonamento sejam funções dos estados do sistema, ele é denominado quase- LPV (q-lpv) Em ambos os modelos TS e LPV usualmente tem sido propostas abordagens para o controle baseadas em desigualdades matriciais lineares (LMI - do inglês Linear Matrix Inequalities) e condições de estabilidade construídas a partir de funções de Lyapunov Há diversos métodos na literatura no tocante a modelos LPV (sem descrição politópica para as incertezas) com técnicas de amostragem no espaço das variáveis de escalonamento (veja (Bruzelius, 4), (Marcos e Balas, 4) e referências internas) Já nos modelos TS, as LMIs são descritas por combinações dos modelos locais lineares (Tanaka e Wang, ), (Campos et al, 3) A ideia principal neste artigo é lançar luz sobre possíveis comparações e conexões no projeto de controle por ganho escalonado para modelos LPV e controle para modelos fuzzy TS no contexto de aproximações viáveis para classes de sistemas não lineares com a presença de incertezas paramétricas e cujos modelos aproximados possam carregar uma estrutura apropriada para a descrição de incerteza Modelagem LPV e TS para Sistemas Incertos Modelo LPV Incerto Considere o sistema LPV incerto a tempo contínuo: { ẋ(t) = Â(ρ(t))x(t) + ˆB(ρ(t))u(t) () y(t) = Ĉ(ρ(t))x(t) + ˆD(ρ(t))u(t), no qual x R n é o vetor de estados, u R m é o vetor de entradas de controle, y R l é o vetor de saídas mensuráveis e ρ(t) Ω R p é o vetor de variáveis de escalonamento (parâmetros) medidas on-line e sua dependência com o tempo será desconsiderada para simplificação da notação Considere em () que as matrizes Â, ˆB, Ĉ, ˆD incorporam incertezas paramétricas na forma politópica da forma: [Â(ρ) ˆΦ(ρ) = Ĉ(ρ) ] ˆB(ρ) N [Âi = α i (ρ) ˆD(ρ) i= Ĉ i ] ˆBi, ˆDi sendo que ˆΦ(ρ) = N i= α i(ρ)ˆφ i (ρ), com N i= α i(ρ) =, α i (ρ), i =,, N, ρ Ω; e M [ ] Aij B ˆΦ i (ρ) = β ij M ij = β C ij D ij Φ ij, () ij j= j= com M j= β ij =, β ij, j =,, M Desta maneira cada matriz de um respectivo vértice i é também incerta, objetivando representar as incertezas paramétricas originalmente presentes no sistema não linear que se refletem nos parâmetros dos modelos lineares locais associados a diferentes regiões de operação Trata-se de uma representação multimodelo do sistema, um politopo para a região de operação e outro para as incertezas Essa representação multimodelo é ilustrada na Fig Figura : Representação multimodelo do sistema não linear Este tipo de representação pode introduzir algum grau de conservadorismo, pois é possível que sejam consideradas combinações de vértices que não seriam observadas na prática Uma alternativa seria considerar condições relaxadas baseadas em funções de Lyapunov dependentes de parâmetros (Oliveira et al, 9), mas isto está fora do escopo que se pretende neste trabalho A ideia é estabelecer comparações sob um mesmo cenário no contexto de funções de Lyapunov quadráticas Busca-se o projeto de uma lei de controle por realimentação linear de estados, com matriz de ganho que é escalonada valendo-se do conhecimento das variáveis de escalonamento ρ(t) Ω, dada por u(t) = K(ρ)x(t), (3) em que K(ρ) = N i= α i(ρ)k i, para matrizes K i a serem determinadas Modelo TS Incerto Considere que a i-ésima regra de um modelo fuzzy TS incerto a tempo contínuo com r regras seja dado por: Se ρ (t) é M i E E ρ p (t) é M i p, Então: { ẋ(t) = (Ai + A i )x(t) + (B i + B i )u(t) y(t) = (C i + C i )x(t) + (D i + D i )u(t), (4) sendo ρ (t),,ρ p (t) as variáveis premissas (ou variáveis de escalonamento); Mk i, k =,,p, são

3 conjuntos fuzzy; e as incertezas matriciais A i, B i, C i e D i tem norma limitada Considerando o compensador paralelo distribuído (PDC - do inglês Parallel Distributed Compensation) obtém-se a i-ésima regra do controlador: Se ρ (t) é M i E E ρ p (t) é M i p, Então: u(t) = K i x(t), Portanto o modelo pode ser reescrito em uma forma similar a () e (3): ẋ(t) = y(t) = r h i (ρ){âix(t) + ˆB i u(t)}, (5) i= r h i (ρ){ĉix(t) + ˆD i u(t)}, i= ( r ) u(t) = K(ρ)x(t) = h i (ρ)k i x(t), (6) i= ω sendo h i (ρ) = i(ρ) r ωi(ρ), ω i(ρ) = p k= µi k (ρ), i= r i= h i(ρ) = e h i (ρ), i =,, r, em que µ i k é o grau de pertinência da variável de escalonamento ρ Ω ao conjunto Mk i;  i = A i + A i, ˆB i = B i + B i, Ĉ i = C i + C i, ˆDi = D i + D i 3 Controle LPV robusto Considerando a lei de controle por realimentação de estados (3), o modelo em malha fechada do sistema () com incertezas é dado por (desconsidere neste momento y(t)): ] ẋ(t) = [Â(ρ) + ˆB(ρ)K(ρ) x(t) = Âclx(t) Para se garantir estabilidade quadrática segundo Lyapunov, basta que exista P = P T > que satisfaça:  T clp + P Âcl < (7) O problema de se encontrar uma matriz constante P, simétrica e definida-positiva, que satisfaça (7), ρ Ω, é equivalente a se encontrar a mesma matriz P considerando apenas as matrizes  i, ˆBi e K i associadas aos vértices de uma descrição politópica do problema Neste contexto, considerando que K(ρ) = N i= α i(ρ)k i, pode-se estabelecer o resultado a seguir para o cômputo do ganho de controle utilizando as tradicionais mudanças de variáveis X = P e Y i = K i X aplicadas em (7) Teorema Se existir uma matriz X = X T > e N matrizes Y i tais que, i =,, N, j =,, M: XA T ij + Y T i B T ij + A ij X + B ij Y i <, (8) então o sistema LPV, com incertezas da forma em (), é estabilizável com K i = Y i X 4 Controle fuzzy robusto Note que se pode decompor os blocos de incertezas em (4) da forma: A i = D ai ai (t)e ai, B i = D bi bi (t)e bi, (9a) (9b) tais que ai (t) = T ai (t), ai(t) γ ai e bi (t) = T bi (t), bi(t) γ bi O resultado a seguir estabelece a condição de estabilizabilidade para este caso Teorema (Tanaka e Wang, ): O sistema fuzzy TS em (4) é estabilizável via controle PDC () se existirem matrizes P = P T > e Q tais que: S ii + (s )Q <, s >, () T ij Q <, i < j sujeito a h i h j, () sendo que T ij é descrito em () e (A i + B ik i) T P + DaiP T I S ii = DbiP T I E ai γaii E bi K i γbii Λ = [ (A i + B i K j ) T P + (A j + B j K i ) T P ] +, Q = diag(q,,,, ), Q = diag(q,,,,,,,, ) O termo s indica o número de regras simultâneas que são ativadas para todo tempo de análise t Já a condição h i h j impõe que a LMI só deve ser considerada para regras cujas funções de pertinência se sobrepõem A demonstração do teorema se encontra em (Tanaka e Wang, ) 3 Estudo de caso As técnicas apresentadas anteriormente serão avaliadas considerando o pêndulo amortecido motorizado, ilustrado na Fig u Figura : Pêndulo amortecido motorizado As equações do sistema são dadas por: θ ẋ = x, (3) ẋ = g l sin(x ) l m b x + u,

4 Λ DaiP T I DbiP T I DajP T I T ij = DbjP T I E ai γaii E bi K j γbii E aj γaji E bj K i γbji () sendo que x = θ ( π,π) denota o ângulo da haste do pêndulo; x = θ R é a velocidade angular da haste; b > é o coeficiente de atrito viscoso; m é a massa do pêndulo; l é o comprimento da haste rígida de massa desprezível; g = 9,8 m/s é a constante gravitacional; e u é o torque aplicado pelo motor na haste O objetivo é manter o pêndulo em um determinado ângulo fixo x eq = θ ref Observa-se que a dinâmica do erro pode ser escrita como: ė = e, ė = g l sin(e + x eq b e + ) u, (4) em que se considerou e = x x eq e e = x ẋ eq = x A entrada de equilíbrio para (4) é dada por u eq = mgl sin(x eq ) = mgl sin(θref ), tal que u eq, se θ ref Isto é, quando o pêndulo atinge um ângulo desejado que é não nulo, é necessário aplicar um torque fixo para que ele se mantenha parado Garantir essa condição corresponde a modificar a ação de controle, adicionando u eq, ie u = k e +k e +u eq Entretanto essa estratégia é pouco robusta, pois u eq depende dos parâmetros incertos do sistema Uma alternativa é considerar a adição de uma ação integral, além da ação de controle u eq u eq nom calculada considerando os parâmetros nominais: ė = e, ė = g l sin(e + x eq b e + ẋ int = e, ) u, em que u = k e + k e + k 3 x int + u eq 3 Modelagem quase-lpv do sistema (5) Uma possível representação quase-lpv para (5) é da forma: A(e ) = g sin(e +x eq ) l e b, B =, que depende somente de e Porém, note que as condições incluem θ ref = x eq e e ( π,π), o que gera: sin(e + x eq lim ) = + ou e + ou e e Obviamente esta aproximação não é válida e induzirá a erros grosseiros no modelo TS ou LPV Uma possível maneira de se contornar esse problema é reescrever (5) da forma: ė = e, ė = g l sin(e + x eq ) b x + v + u eq, ẋ int = e, (6) com u eq = mgl sin(x eq ), e v = u ueq Note que o sistema continua algebricamente inalterado Após algumas manipulações em (6), obtém-se as novas matrizes: A(e ) = g ρ(t) b, B = l com ρ (t) = sin(e ) e, (7) cos(x eq ) cos(e ) sin(x eq e ) O termo não linear é agora limitado para todo intervalo e ( π,π), e pode ser aproximado por regras TS ou por técnicas LPV politópicas Nos resultados apresentados a seguir adotou-se que o ângulo final a ser atingido pela haste é de x eq = π/3 rad, o valor nominal da massa do pêndulo é Kg, o comprimento da haste é,5 m e o coeficiente de atrito viscoso é Kg m 3 Modelo LPV politópico A partir de (7), e notando que e está definido em um intervalo conhecido, pode-se obter os limites para ρ em uma representação politópica Isto é, ρ (ρ,ρ ) = ( 8696,558), e o sistema LPV politópico é descrito por A(ρ ) = α (ρ )A + α (ρ )A e B(ρ ) = α (ρ )B + α (ρ )B, com: A i = g b ρ i l, i =,, (8) B i =, i =,, e ρ = ρ, ρ = ρ, α (ρ ) = ρ ρ(t) ρ ρ, α (ρ ) = ρ(t) ρ ρ ρ, satisfazendo α (ρ ), α (ρ )

5 e α (ρ ) + α (ρ ) = As incertezas são tratadas de maneira muito similar, porém requerem uma modificação em cada um dos vértices A, B, A e B Para isso considere que os parâmetros incertos são limitados da forma: m [m,m] e l [l,l] Portanto cada vértice do sistema LPV deve permitir as combinação das incertezas em m e l, ie, combinações gerando 4 vértices Tomando como exemplo a matriz A : A = (β A + β A + β 3 A 3 + β 4 A 4 ), de (8), as matrizes A, A, A 3 e A 4 são obtidas substituindo-se l e m em A pela combinação a de seus limites no intervalo de variação Note que β j [,] j =,, 4 e 4 j= β j = Esta mesma decomposição deve ser feita para as demais matrizes (i =,, 3 em (8)) Considerou-se variação de % na massa do pêndulo e no comprimento da haste Do Teorema obtém-se as seguintes matrizes de ganho para o controlador LPV politópico K(ρ ) = α (ρ )K + α (ρ )K : K = [ 4,444 4,545 5,6 ], K = [ 4,3348 4,64 5,6 ] A simulação do pêndulo para o controle LPV, para diversos valores de massa de pêndulo e comprimento de haste, é ilustrada na Fig 3 3 Modelo Fuzzy Takagi-Sugeno O principal ponto da modelagem TS é obter as regras que descrevem o sistema () da forma (4) Para o caso específico do sistema em (7) são descritas abaixo cinco regras triangulares escalonadas por e para aproximar o termo não linear, evidenciadas na Fig 4, gerando: A i = g ρ i l, i = 5, B i =, i = 5 com coeficientes ρ i dados na tabela i ρ i -,553 -,8667 -,8,3859,553 Tabela : Valores de ρ i para 5 regras Para representar as incertezas paramétricas, a ideia é re-escrevê-las da forma ˆl = ẑ (t) e ( ˆmˆl ) = ẑ (t), tal que ẑ = z ( + ɛ δ (t)) e ẑ = z ( + ɛ δ (t)), com δ (t) e δ (t) elementos de uma matriz diagonal (t), respeitando os limites em norma, e z e z calculados de acordo com os valores nominais dos parâmetros incertos (Senthilkumar, ) Se as constantes ɛ, ɛ [,], tem-se uma representação de variação em percentagem do valor de z e z Decompondo individualmente cada matriz incerta Âi e ˆB i, obtém-se para a primeira regra (considere que ξ =,553 g, então: Â = A + A = A + D a a E a = ξz z + ξz ɛ z ɛ [ ] [ ] δ (t), δ (t) ˆB = B + B = B + D b b E b = [ [ ] z + z ɛ δ (t) δ (t)] Desta forma obtém-se as matrizes D a, E a, D b, E b utilizadas na síntese do controlador fuzzy Repetindo este procedimento sucessivamente obtém-se todas as matrizes necessárias para se lançar mão do Teorema Considerando novamente % de variação na massa do pêndulo e no comprimento da haste, obtém-se os ganhos abaixo, considerando 5 regras, para o controlador PDC: K = [ 9,76,3467,4346 ], K = [ 6,73,93,434 ], K 3 = [ 8,36,376,945 ], K 4 = [,363,93,434 ], K 5 = [ 5,683,3467,4346 ] As simulações para valores distintos da massa do pêndulo e comprimento da haste estão ilustrados na Fig 3 Comparando-se os resultados para ambas as abordagens, verifica-se um menor tempo de acomodação para o caso LPV, ao custo de uma maior amplitude da ação de controle em relação ao caso TS Futuramente pretende-se aprimorar essa comparação, incorporando-se aos problemas de factibilidade nos Teoremas e, limitantes superiores para o tempo de acomodação do sistema controlado em malha fechada Ainda, observa-se que para a síntese do controlador no caso LPV foi necessário considerar 9 LMIs, e no caso TS LMIs 4 Conclusões Este trabalho procurou apresentar um arcabouço matemático de como aproximar uma classe de sistemas não lineares com incertezas paramétricas Abordou-se também a síntese de controladores, considerando modelos LPV e fuzzy TS Foram apresentadas semelhanças entre as duas técnicas, como a abordagem LMI utilizada na síntese e o uso de variáveis de escalonamento/premissa para

6 θ (rad), θ (rad/s) Ângulo, Velocidade Angular (Controlador LPV) θ θ ângulo desejado em menor tempo, mas com uma oscilação maior, fato explicado pelos ganhos elevados do controlador Neste trabalho foram utilizadas condições de estabilidade quadrática, mas a discussão pode ser adaptada considerando resultados recentes para funções de Lyapunov dependentes de parâmetros, e outras relaxações na área de controle robusto θ (rad), θ (rad/s) Tempo (s) Ângulo, Velocidade Angular (Controlador PDC) TS) Tempo (s) Figura 3: (a): Simulação com o controlador LPV (b): Simulação com o controlador PDC Pertinência Funções de pertinência das regras TS Erro de posição (rad) θ θ Regra Regra Regra 3 Regra 4 Regra 5 Figura 4: Funções de pertinência da aproximação TS para o pêndulo alterar os ganhos do controlador de acordo com a região de operação Em suma, as duas abordagens utilizam técnicas lineares, porém de maneiras distintas As diferenças também são claras, e encontram-se principalmente na estrutura do modelo aproximado e do controlador, evidenciadas nas Seções e Considerando o exemplo apresentado, ambas as técnicas apresentam bom desempenho, sendo que a aproximação LPV pode ser considerada mais simples Nota-se ainda que a síntese de controle fuzzy TS requer um número maior de LMIs ao contrário do que acontece no controle LPV, porém isso não é regra e, no caso LPV, o número de LMIs tende a crescer exponencialmente em função dos parâmetros de escalonamento e das incertezas Em relação ao desempenho, a resposta com o controlador LPV atingiu o Agradecimentos O presente trabalho foi realizado com o apoio financeiro da CAPES - Brasil Referências Bruzelius, F (4) Linear parameter-varying systems and approach to gain scheduling, PhD thesis, Chalmers University of Technology, Göteborg, Sweden Campos, V C S, Souza, F O, Tôrres, L A B e Palhares, R M (3) New stability conditions based on piecewise fuzzy Lyapunov functions and tensor product transformations, IEEE Transactions on Fuzzy Systems : Campos, V C S, Tôrres, L A B e Palhares, R M (5) Revisiting the TP model transformation: Interpolation and rule reduction, Asian Journal of Control 7(): 39 4 Guerra, T M, Sala, A e Tanaka, R K (5) Fuzzy control turns 5: years later, Fuzzy Sets and Systems Marcos, A e Balas, G (4) Development of linear-parameter-varying models for aircraft, Journal of Guidance, Control, and Dynamics 7(): 8 8 Oliveira, R C L G, Oliveira, M C e Peres, P L D (9) Special time-varying Lyapunov function for robust stability analysis of linear parameter varying systems with bounded parameter variation, IET Control Theory & Applications 3: Rugh, W J e Shamma, J S () Research on gain scheduling, Automatica 36(): 4 45 Senthilkumar, D () Design of robust fuzzy controllers for uncertain nonlinear systems, PhD thesis, Indian Institute of Technology Guwahati, Assam, India Tanaka, K e Wang, H O () Fuzzy control systems design and analysis: a linear matrix inequalities approach, John Wiley & Sons, New York, United States of America