UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO CURSO DE ESTATÍSTICA PATRÍCIA DE SOUSA MODELOS DE TESTES DE VIDA ACELERADO: DESCRIÇÃO E APLICAÇÃO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO CURSO DE ESTATÍSTICA PATRÍCIA DE SOUSA MODELOS DE TESTES DE VIDA ACELERADO: DESCRIÇÃO E APLICAÇÃO OURO PRETO MARÇO DE 2013

2 i PATRÍCIA DE SOUSA MODELOS DE TESTES DE VIDA ACELERADO: DESCRIÇÃO E APLICAÇÃO Monografia apresentada ao Departamento de Estatística da Universidade Federal de Ouro Preto, como requisito parcial à obtenção do grau de Bacharel em Estatística. Orientador: Prof. Dr. Fernando Luiz Pereira de Oliveira OURO PRETO MARÇO DE 2013

3 ii DEDICATÓRIA Dedico este trabalho a Deus, pela proteção em todos os momentos da minha vida. Ao meu noivo, Archange Michael, o grande amor da minha vida, por me encorajar a conquistar os meus sonhos. E a minha família, que sempre me apoiou em todos os momentos difíceis.

4 iii AGRADECIMENTO A Deus, por iluminar os meus pensamentos, guiar os meus caminhos e ser a força que me faz acreditar que tudo é possível; Ao meu pai, pelo apoio, incentivo e oportunidade de alcançar esse objetivo; A minha mãe, pela presença e conforto quando eu precisava encontrar um lugar de morar para dar continuidade aos meus os estudos; A minha irmã, pelo incentivo, força, ajuda financeira e os puxões de orelha que me ajudaram a crescer; Ao meu noivo, por acreditar, incentivar, compreender e dizer a todo o momento que sou capaz. Por transformar momentos de angústia em alivio, de tristeza em alegria; Ao professor Fernando, pelas horas de dedicação, comprometimento e ensinamentos, por acreditar e tornar possível esse trabalho; A professora Cláudia, o professor Flávio e o professor Tiago Martins, pelo incentivo nos momentos mais difíceis do curso; Ao professor Ricardo, que me ensinou a rejeitar a hipótese do mau ; A professora Thais, o professor Anderson, o professor Spencer, o professor Thiago Rezende pelas caronas aos finais de semana; A todos os professores do Departamento de Estatística da UFOP, pelo conhecimento, paciência, dedicação e principalmente a amizade; Ao Ronaldo, pela presença nos trabalhos em grupo, pela tapioca que não trouxe, pelo exemplo de que com dedicação e disciplina é possível vencer; e pelas caronas no início do curso. A Bárbara, pela amizade, carinho e força. Por me ouvir e aconselhar nos momentos de precisão; A Tassia, pela amizade e por ser um exemplo de dedicação e perseverança; A Luiza e a Priscila, pela amizade, carinho e força quando tive que deixar minha cidade para estudar; Ao João Bosco, pela força e pela compreensão de que às vezes era necessário deixar as funções do estágio para estudar; Ao Frank e a Cezane, pela amizade e pelos programas estatísticos instalados em meu computador;

5 iv A Jaqueline, pelos conselhos, presença e amizade; A Marta e a Marineuza, por me incentivar e dizer o quanto estudar é importante; Ao Ivan e a Fernanda, pelo carinho e presença; Ao Gilberto, Paulo, Hemerson e Ari, pela força e amizade; Enfim, a todos que fazem parte da minha vida e torcem pelo meu sucesso, o meu MUITO OBRIGADA!

6 v O sucesso nasce do querer, da determinação e persistência em se chegar a um objetivo. Mesmo não atingindo o alvo, quem busca e vence obstáculos, no mínimo fará coisas admiráveis." José de Alencar

7 vi RESUMO As indústrias de fabricação, durante os últimos vintes anos, passaram por uma revolução na utilização de métodos estatísticos para a confiabilidade e qualidade do produto. Para obter informação sobre essa confiabilidade de forma mais rápida, são aplicados nos ensaios os testes de vida acelerado. Nesses testes, o material em estudo é submetido a um nível de estresse (ou aceleração) maior do que o usual, podendo ser temperatura, pressão, etc... Assim, os resultados são rapidamente obtidos para prever a vida desses produtos em condições de uso. O principal objetivo dessa pesquisa foi explorar a parte teórica, computacional e a aplicação de uma técnica que não foi abordada no curso de graduação. Neste trabalho, aplicamos esse teste em uma amostra de 80 isolantes utilizados em motores elétricos submetidos em quatros níveis de temperatura elevadas. Ao analisar os dados, percebemos que esse aumento na temperatura acarretava uma tendência decrescente no tempo vida. Assim, após ajustar os modelos estatísticos apropriados, os resultados obtidos foram utilizados para predizer o tempo médio de vida, o tempo mediano, os percentis e o prazo de garantia do produto. Palavra-chave: Análise de sobrevivência ou confiabilidade, teste de vida acelerado, variável de estresse, relação de Arrhenius, modelo de regressão estresse-reposta, modelos de probabilidade, extrapolação dos resultados.

8 vii ABSTRACT Over the past twenty years the manufacturing industries, experienced a revolution in the use of statistical methods for reliability and product quality. For fast information on the reliability, accelerated life tests are applied. In these tests, the material in question is subjected to a stress level (or acceleration) higher than usual which can be the temperature, the pressure, and so on... Thus, the results are used to predict the life of such products in normal use conditions. The main objective of this study was to explore the theoretical, computational and application of a technique that was not addressed in the undergraduate course. In this study, we applied this test to a sample of 80 insulators used in electric motors subjected to four levels of temperature. By analyzing the data, we find that this increase in the temperature entailed a downward trend in life time. So, after setting the appropriate statistical models, the results were used to predict the average life time, the median, the percentiles and the warranty period for the product. Keyword: Survival analysis and reliability, accelerated life test, variable stress, Arrhenius relationship, regression model stress-response, probability models, extrapolation of the results.

9 viii RÉSUMÉ Au cours des vingt dernières années, les industries de fabrication, ont connu une révolution dans l'utilisation de méthodes statistiques pour la fiabilité et la qualité du produit. Pour plus d'informations sur la fiabilité de maniere rapide, sont appliqués des testes : les testes de vie accélérée. Dans ces testes, le matériel en question est soumis à un niveau de stresse (ou accélération) élévé que d habitude tout en sachant que ce stresse peut être la température, la pression, etc... Ainsi, les résultats sont utilisés pour prevoir la durée de vie de ces produits dans des conditions normales. L'objectif principal de cette recherche était d'étudier la partie théorique, computationelle et l applicationt d'une technique qui n'a pas été abordée au cours du cycle de graduation. Dans cet article, nous appliquons ce teste sur un échantillon de 80 isolants utilisés dans les moteurs électriques soumis à quatre niveaux de température. En analysant le comportement des données, nous constatons que cette augmentation de température a entraîné une tendance descrecente à la durée de vie. Donc après avoir ajusté les modèles statistiques appropriés, les résultats ont été utilisés pour prédire la durée de vie moyenne, la médiane, les percentiles et la période de garantie du produit. Mot-clé : Analyse de survie ou fiabilité, teste de vie accéleré, variable stresse, relação de Arrhenius, modèle de régression stresse-réponse, modèles de probabilité, extrapolation des resultats.

10 ix LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Ilustração dos tipos de censura à direita Figura 2 Função de Confiabilidade para dois produtos Figura 3 Função Taxa de Falha Figura 4 Funções Densidade de Probabilidade de Falha e Função Acumulada de Falha Figura 5 Modelos de Probabilidade Exponencial, Weibull e Log-normal Figura 6 Função de Distribuição dos tempos de falha para diferentes níveis de estresse Figura 7 Formas de Aplicação de cargas de Estresse Figura 8 Tempo de Falha em função do estresse Figura 9 Relação do tempo de falha e a temperatura usando a Relação de Arrhenius Figura 10 Gráfico linearizado da função de confiabilidade pelos modelos exponencial, weibull, log-normal Figura 11 Gráfico da confiabilidade estimada por Kaplan-Meier versus a confiabilidade estimada pelos modelos exponencial, weibull, log-normal Figura 12 Função de Confiabilidade do estimador de Kaplan-Meier, do modelo Exponencial, Weibull e Log-normal Figura 13 Gráfico Tempo de Falha do Isolamento vs Temperatura (estresse) Figura 14 Função da Confiabilidade Estimada (KM) para cada Nível de Temperatura Figura 15 Gráficos dos Resíduos de Cox-Snell para o modelo Exponencial, Weibull e Lognormal Figura 16 Gráficos dos Resíduos Padronizados para o modelo Exponencial, Weibull e Lognormal Figura 17 Gráfico de Probabilidade para cada nível da variável aceleração com base no modelo ajustado... 51

11 x LISTA DE QUADROS Quadro 1 Exemplo: Estimador de Máxima Verossimilhança para a Distribuição Exponencial Quadro 2 Descrição do exemplo 6.2 (Colosimo e Freitas, 1997, pág.182) Quadro 3 Ajuste do Modelo de Regressão Exponencial com Relação de Arrhenius Quadro 4 Ajuste do Modelo de Regressão Weibull com Relação de Arrhenius Quadro 5 Ajuste do Modelo de Regressão Log-normal com Relação de Arrhenius Quadro 6 Estatística de Anderson-Darling para adequação do ajuste Quadro 7 Percentis estimado pelo modelo Ahrrenius-Weibull quando o Isolante é submetido a Quadro 8 Percentis estimado pelo modelo Ahrrenius-Weibull quando o Isolamento é submetido a Quadro 9 Pencentis estimado pelo Modelo Arrhenius-Log-normal quando o Isolamento é submetido a Quadro 10 Percentis estimado pelo modelo Arrhenius-Log-normal quando o Isolamento é submetido a Quadro 11 Comparação das estatísticas estimadas pelos dois modelos quando o produto é submetido a Quadro 12 Comparação das estatísticas estimadas pelos dois modelos quando o produto é submetido a Quadro 13 Pseudocódigo para dados de vida acelerado... 59

12 xi LISTA DE TABELAS Tabela 1: Exemplos de Materiais; Medidas de Desempenho e Variáveis de Estresse Tabela 2: Exemplos de Produtos; Medidas de Desempenho e Variáveis de Estresse Tabela 3 Tempo de Falha (em horas) para o isolante de motores elétricos para cada temperatura e a censura Tabela 4 Estimativa da Função de Confiabilidade para os dados submetidos à temperatura de Tabela 5 Estimativa da Função de Confiabilidade para os dados submetidos a temperatura de Tabela 6 Estimativa da Função de Confiabilidade para os dados submetidos à temperatura de Tabela 7 Estimativa da Função de Confiabilidade para os dados submetidos a temperatura de

13 xii SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Análise de Sobrevivência ou Confiabilidade Função de Confiabilidade e Função Taxa de Falha Estimação da Função de Confiabilidade e Taxa de Risco Testes Acelerados Testes de Vida Acelerado Modelos para os Testes de Vida Acelerado Modelos de Regressão Estresse-Resposta Método de Estimação dos Parâmetros Determinação do Modelo Probabilístico Adequado Aplicação dos Testes de Vida Acelerado MATERIAIS E MÉTODOS Materiais Métodos RESULTADOS Análise dos Dados na Ausência da Variável Temperatura Análise dos Dados na Presença da Variável Temperatura Análise Descritiva dos Dados Ajuste dos Modelos de Regressão Estresse-Resposta Verificação da Adequação do Modelo usando os Resíduos Extrapolação dos Resultados para as Condições de Uso Pseudocódigos para Dados de Vida Acelerado CONCLUSÕES REFERÊNCIAS ANEXO Anexo A Tabela da Função Gama... 64

14 13 1. INTRODUÇÃO Diante da forte concorrência no mercado, os fabricantes enfrentam forte pressão para desenvolver novos artifícios que auxiliem numa produção em tempo recorde, sem deixar de se preocupar com a qualidade e confiabilidade de seus produtos. Na tecnologia de produção industrial, os motores elétricos exercem um papel importante. Também, em nosso dia-a-dia sempre utilizamos equipamentos que possui um motor elétrico, como, por exemplo, o liquidificador, o ventilador, a batedeira, a furadeira, dentre outros. As indústrias utilizam amplamente o motor elétrico em sua fabricação. De fato, temos o Parque Gerador do Brasil que é responsável pelo consumo de um terço da energia ofertada pelo país (Garcia, 2003). Em um motor elétrico o material isolante é o que determina o tempo de trabalho do produto. Quanto mais potente seja esse material mais confiável é o motor e maior a sua durabilidade. No entanto, vêm as dúvidas do fabricante: qual é o tempo de falha desse material? Até que ponto esse material é considerado robusto? Qual tempo de garantia deve ter esse material de forma a não dar prejuízo? Como o tempo que leva esse tipo de material a falhar pode durar anos e isso propicia a perda de informação a respeito do produto e de dinheiro, um experimento desse porte pode tonar-se inviável. Entretanto, sabe-se que esse material é afetado principalmente pela temperatura, e que em condições normais de uso, a elevação dessa temperatura em até 10 restringe a vida útil desse isolante pela metade, provocando uma deterioração gradual. Então, esse material passa por um processo de ressecamento e perde seu poder de vida produzindo um curto circuito. Pensando na confiabilidade do material, umas das preocupações desse presente trabalho foi encontrar um modelo estatístico que, ao englobar a variável temperatura, consiga determinar o tempo de falha desse material isolante em condições de uso, e assim, responder as dúvidas do fabricante, além de minimizar o tempo e os gastos com esse experimento. Portanto, nesse estudo foi utilizado o Teste de Vida Acelerado, uma vez que esse teste possui modelos de regressão estresse-resposta que nos permitiu estudar os tempos de falha de uma amostra de 80 isolantes submetidos em quatro níveis de altas temperaturas, conhecido como variável de estresse. Essa variável acelerou o tempo de falha do produto e às estimativas obtidas foram extrapoladas para as condições normais de uso.

15 14 Esses modelos de regressão, além de aceitar dados censurados (informações incompletas), são mesclados em dois componentes: o componente determinístico que é responsável por estudar a influência da variável de estresse no experimento e o componente probabilístico que é responsável por explicar a variabilidade dos tempos de falha em um mesmo nível de estresse. As análises foram realizadas pelos programas estatísticos R (pacote Survival), o Minitab (pacote Accelerated Life Testing) e o Excel. Essa pesquisa teve como principal objetivo estudar uma técnica que não foi abordada no curso de graduação. Ela está organizada em quatro capítulos e um texto de conclusão final, em que são exploradas a parte teórica, computacional e aplicação. No capítulo 2, apresentamos uma revisão de literatura sobre Análise de Sobrevivência ou Confiabilidade, que é uma disciplina dentro da ciência estatística, abordando principalmente o tema de Testes de Vida Acelerado, que é o enfoque da presente pesquisa. No capítulo 3, expusemos a metodologia desta pesquisa, que foi realizada com um conjunto de dados extraídos do software Minitab 16. Esses dados referem-se ao tempo de falha de um isolante utilizado em motores elétricos. No capítulo 4, apresentamos as análises e os resultados da pesquisa através de gráficos, tabelas e quadros. Finalmente, nas Conclusões Finais, retomamos, brevemente, os principais resultados das análises e fazemos uma reflexão sobre o trabalho desenvolvido.

16 15 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1. Análise de Sobrevivência ou Confiabilidade A análise de sobrevivência é um conjunto de técnicas estatísticas que estuda o tempo até a ocorrência de um evento de interesse, tendo como principal característica a presença de censura (KLEINBAUM e KLEIN, 2005). Esse tempo é denominado tempo de falha, que é composto pelo tempo inicial do estudo, a escala de medida, que é na maioria das vezes o tempo real, e a falha (evento de interesse) (CÉSAR, 2005). As censuras são observações incompletas da resposta, e são usadas em um estudo de sobrevivência por fornecer informações sobre o tempo de vida dos indivíduos ou produtos. Sua eliminação podem originar conclusões viesadas (COLOSIMO e GIOLO, 2006). Existem três formas de censura: censura à direita, censura à esquerda e censura intervalar (BASTOS e ROCHA, 2006). Nesse estudo, usaremos a censura à direita, em que alguns eventos de interesse ocorrem após o término do experimento. Na figura 1, temos três estruturas diferenciadas sobre essa censura, a Censuras do tipo I, que ocorrem em estudos que, ao serem finalizados, alguns indivíduos ou produtos não exibiram o evento de interesse, Censuras do tipo II, que ocorrem em estudos que são finalizados após a ocorrência do evento de interesse em um número determinado de indivíduos ou produtos, e Censuras Aleatórias, que ocorrem quando um indivíduo ou produto é retirado do estudo sem ter sucedido o evento de interesse. Figura 1 - Ilustração dos tipos de censura à direita Legenda: representa falha e representa censura Fonte: Colosimo e Giolo, 2006

17 16 As técnicas de sobrevivência estão relacionadas à pesquisa em epidemiologia (BOTELHO, et.al. 2009) e em clínica médica (XAVIER, et.al. 2005), mas quando abordadas em engenharia (DIAS, LEITE, 1998), indústria, economia e sociologia (MONTE e PENIDO, 2008.) recebem o nome de Confiabilidade Função de Confiabilidade e Função Taxa de Falha Em um sentido mais amplo, confiabilidade está associada à operação bem sucedida de um produto na ausência de falhas, ou seja, é a probabilidade de um produto realizar seu papel de maneira satisfatória por um período de tempo estabelecido (ABREU, 2011). Matematicamente, definimos na equação (1), a confiabilidade, em que é a função de confiabilidade em termos probabilísticos, é o tempo total de funcionamento do produto e é o tempo inicial em que o produto passou a funcionar. = (1) A figura 2 exemplifica a forma de duas funções de confiabilidade. Através dessa figura podemos extrair várias informações, como por exemplo, a durabilidade e o percentual de produtos que estão em operação até um determinado tempo. Suponha, que estas duas curvas representam as funções de confiabilidade de dois produtos de marcas distintas que desenvolvem a mesma função. O produto do grupo 1 é superior ao 2 com relação a durabilidade, pois o tempo mediano é de 20 anos para que 50% do primeiro grupo falhem, enquanto que, o tempo de falha para o segundo grupo é de 10 anos. Cerca de 90% dos produtos do grupo 1 ainda estarão em operação com 10 anos de uso, ao passo que, para o grupo 2 apenas 50% (COLOSIMO e FREITAS, 1997). Figura 2 Função de Confiabilidade para dois produtos. Fonte: Colosimo, Freitas (1997)

18 17 Através da função de confiabilidade, podemos definir a função taxa de falha, equação (2), que é a probabilidade do produto falhar em um intervalo de tempo [, +. h = + (2) A função taxa de falha h é a inversa da função de confiabilidade. Ela é importante para definir a distribuição do tempo de vida do produto, pois descreve a maneira em que a taxa instantânea de falha muda com o decorrer do tempo, ao considerarmos o intervalo de tempo bem pequeno. A figura 3 mostra três funções de taxa de falha. A função crescente indica que a taxa de falha do produto aumenta com o decorrer do tempo, caracterizando o envelhecimento dos produtos. A função constante indica uma taxa de falha que não se altera com o passar do tempo. E a função decrescente, a menos comum, mostra uma taxa de falha que diminui com o passar do tempo (COLOSIMO e FREITA, 1997). crescente constante decrescente Figura 3 Função Taxa de Falha Fonte: Colosimo e Freitas (1997) Segundo Vieira (2006), as outras funções básicas de confiabilidade são: Função Densidade de Probabilidade de Falha, e a Função Acumulada de Falha, representadas na figura 4. = lim < < + (3) = (4)

19 18 Figura 4 Funções Densidade de Probabilidade de Falha e Função Acumulada de Falha Fonte: Dillenburg (2005) Estimação da Função de Confiabilidade e Taxa de Risco Para estimar a função de confiabilidade e taxa de risco podemos usar as técnicas: não paramétricas, que na presença de censura utilizam o estimador de Kaplan-Meier e Tabela de Vida para estimar a função de confiabilidade e Nelson-Aalen para estimar a taxa de risco (COLOSIMO e FREITAS, 1997, pág.79; RAMIRES, 2010, pág.22); e as técnicas paramétricas, que são os Modelos de Probabilidade. Embora, exista uma série de modelos probabilísticos, os mais usados por sua comprovada adequação a várias situações práticas são os modelos: exponencial, weibull e log-normal, ilustradas na figura 5. Figura 5 Modelos de Probabilidade Exponencial, Weibull e Log-normal Fonte: Colosimo, Giolo (2006)

20 19 Outro método de estimação da Função de Confiabilidade e Taxa de Falha são os modelos de regressão paramétricos, conhecidos como modelos de Tempo de Vida Acelerados, que serão detalhados a seguir Testes Acelerados Na área industrial, com o aumento da competitividade entre as empresas e indústrias dos mais variados segmentos, e, no intuito de, adquirir um perfil de destaque no mercado, a maior preocupação tem sido em desenvolver produtos em tempo reduzido, atendendo aos requisitos de qualidade e confiabilidade (THEIJE et al., 1998). Em busca desse diferencial, se faz necessário um estudo que leve em conta o tempo médio de vida útil desses produtos. Para estimar esse tempo de vida, muitos experimentos precisam ser realizados. No entanto, muitos produtos possuem alta confiabilidade, demandando longos períodos de operação até que ocorra uma falha em testes usuais de confiabilidade. Sendo assim, existe a necessidade de se estudar esse tipo de produtos em um tempo menor, já que a ciência e a tecnologia estão evoluindo muito rapidamente. Então, para minimizar o tempo e os gastos com estes experimentos podem-se realizar testes acelerados, de modo que as informações desejadas sejam obtidas mais rapidamente. Um teste acelerado consiste em uma variedade de métodos para reduzir a vida de produtos e provocar a degradação de sua performance o mais rápido possível (NELSON, 1990). Segundo Pizzolato (2002), para que isto ocorra, através de alguma variável de aceleração, deve-se elevar o nível de estresse do produto, fazendo com que esse trabalhe mais do que em condições normais de uso. O tipo de variável de aceleração deve ser determinado de acordo com o material em estudo. Segundo Vassilioi e Metas (2002), as cargas de estresse utilizadas são associadas ao tempo de vida através de modelos matemáticos de regressão estresse/resposta. A figura 6 mostra as características da função de distribuição dos tempos de falha para a condição normal de uso e para o teste acelerado.

21 20 Figura 6 Função de Distribuição dos tempos de falha para diferentes níveis de estresse Fonte: Vassiliou & Mettas, Segundo Colosimo e Freitas (1997), os testes acelerados podem ser divididos em dois grupos: testes de degradação acelerada (ADT s) em que a resposta de interesse é alguma medida da performance do produto obtida ao longo do tempo (NELSON, 1990, Cap.11; PIZZOLATO, 2002, Pág.36; POHL et al. 1998), e testes de vida acelerados (ALT s) em que a resposta de interesse é o tempo até a ocorrência da falha Testes de Vida Acelerado Nesses testes os produtos são submetidos a uma taxa elevada de estresse e através de um modelo de regressão estatístico-físico extrapolamos as estimativas obtidas para as condições normais de uso Formas de Aceleração dos Testes de Vida Acelerado Os testes são acelerados quando submetidos a níveis elevados de estresse. E a forma de aceleração é determinada de acordo com dois tipos de variáveis de estresse: Aceleração por alta taxa de uso: uma forma de acelerar a vida dos produtos é submetê-lo a uma taxa de uso mais elevada do que o normal. Segundo Nelson (1990), existe duas maneiras: utilização do produto em alta velocidade ou de forma contínua. Aceleração por altos níveis de estresse: com o objetivo de diminuir o tempo de vida ou aumentar a degradação do desempenho do produto, submete-o a altos níveis das variáveis de estresse.

22 21 Segundo Colosimo e Freitas (1997), as variáveis de estresse mais comuns são: o uso, a temperatura, tensão elétrico, vibração mecânica, compatibilidade eletromagnética, entre outras. As tabelas (1) e (2) exemplificam essas variáveis de estresse para alguns tipos de materiais e produtos. Tabela 1: Exemplos de Materiais; Medidas de Desempenho e Variáveis de Estresse. Materiais Tipo Medida de Desempenho Variável de Estresse 1. metais trinca; corrosão; oxidação temperatura; umidade; sal 2. dielétricos e isolamentos 3. alimentos e drogas 4.plásticos Fonte: Colosimo e Freitas (1997) tempo até a falha; alongamento tempo de estocagem; ph; reações químicas específicas propriedades mecânicas; firmeza de cor temperatura; tensão elétrica; vibração temperatura; umidade; radiação solar temperatura; vibração; choque Tabela 2: Exemplos de Produtos; Medidas de Desempenho e Variáveis de Estresse. Produtos Tipo Medida de Desempenho Variável de Estresse 1. semicondutores e componentes microeletrônicos tempo até a falha e características de operação 2. capacitores tempo até a falha 3. resistores tempo até a falha temperatura; corrente; tensão elétrica; umidade; pressão temperatura; tensão elétrica; vibração temperatura; tensão elétrica; vibração 4. contatos elétricos corrosão; tempo até a falha 5. lâmpadas Fonte: Colosimo e Freitas (1997) tempo até a falha; eficiência; luminosidade temperatura; umidade; corrente tensão elétrica; temperatura; choque (elétrico ou mecânico) Formas de Aplicação do Nível de Estresse Para realizar um teste acelerado, é necessário primeiramente elaborar um projeto. Segundo Tang et al. (2002), esse projeto deve ser construído e concretizado com a finalidade de se obter as melhores estimativas dos tempos de falha dos produtos. Devemos definir o tipo de censura, o tamanho da amostra e o nível de estresse que será aplicado, que normalmente satisfaz aos limites de especificação do projeto elaborado, mas localiza-se fora dos limites de especificação indicados pelo fabricante (RELIASOFT CORPORATION, 2001), e garante que o tempo de vida normal do produto seja reproduzido o mais fiel possível

23 22 a partir dos ensaios. De acordo com Colosimo e Freitas (1997) existem algumas formas de aplicação do nível de estresse, representados na figura 7: constante, escada, progressiva, cíclica e aleatória. Constante: o nível de estresse é fixo. A vantagem está na simplicidade da realização do teste, possibilitando o ajuste de modelos simples para análise dos resultados. Escada: o nível de estresse é elevado de um valor ao outro até se obter uma falha do produto. A principal vantagem é a rapidez na qual essa falha acontece e a desvantagem está no fato de que a falha dos produtos em condições normais de uso seja diferente por serem submetidos a níveis de estresse constantes. Progressivo: o nível de estresse cresce de forma progressiva e possui a mesma vantagem e desvantagem da forma escada. Cíclica: o nível de estresse oscila em níveis altos e baixos Aleatória: o nível de estresse altera de forma aleatória. (a) Constante (b) Escada (c) Progressivo (d) Cíclico (e) Aleatório Figura 7 Formas de Aplicação de cargas de Estresse Fonte: Vieira, Quando o modo de falha e o efeito de aceleração da variável de estresse são bem entendidos, e quando se deseja fazer estimativas para um ambiente cujo estresse é aproximadamente constante, utilizar testes com outra forma de aplicação de estresse que não a constante significa complicar desnecessariamente a situação (COLOSIMO e FREITAS, p.159, 1997).

24 Modelos para os Testes de Vida Acelerado O modelo de um teste acelerado é composto de um componente determinístico e de um componente probabilístico. A parte determinística é composta por duas relações: Relação de Arrhenius e Relação de Potência Inversa (PAPA, 2007). A parte probabilística é determinada pelas distribuições de probabilidade: Exponencial, Weibull, Log-normal. (COLOSIMO e FREITAS, 1997). Segundo Colosimo e Freitas (1997) o modelo mais simples utilizado para os testes acelerados tem a forma de um modelo de regressão que é linear no logaritmo dos tempos de falha, matematicamente, expresso na equação (5). Sua principal característica é que os tempos de falha, =, tem distribuição normal com parâmetro de locação, =!, dependente da variável de estresse x que é determinado pela relação estresse-resposta, o parâmetro de escala, " > 0, que é determinado pela parte probabilística, e o erro aleatório %, independente de e. = =! + "% (5) De acordo com Colosimo e Freitas (1997) esse modelo é capaz de explicar a variabilidade dos tempos de falha para vários níveis de estresse e através dele conseguimos estimar os parâmetros associados às relações estresse-resposta (! &) e extrapolar os resultados para as condições normais de uso. É recomendado que as curvas de sobrevivência para cada nível de estresse sejam construídas em um mesmo gráfico para facilitar a comparação entre elas. Essa situação é ilustrada através da figura 8. Note que, é possível comparar a variabilidade no tempo de falha para cada nível de estresse, por exemplo, do percentil 10%. Figura 8 Tempo de Falha em função do estresse Fonte: Colossimo e Freitas (1997)

25 Componente Determinístico: Relação Estresse-Resposta Relação de Arrhenius A relação Arrhenius é usada quando a temperatura é a variável de estresse do teste acelerado (VASSILIOU e METAS, 2002). Como a relação de Arrhenius é caracterizada por uma curva (PAPA, 2007), para facilitar os cálculos, a forma linear dessa relação é definida pela equação (6), onde representa o logaritmo do tempo de falha, ' = + 273,16 é a variável de estresse (temperatura), - é uma constante que é característica do mecanismo de falha do produto e das condições de teste,. é a energia de ativação medida em elétron-volts, / é a constante de Boltzmann: 8, /, e demonstrada pela figura 9. ln = ln (6) Segundo Colosimo e Hudson (2002), quando os valores da energia de ativação e da constante A são conhecidos, o tempo médio de vida dependeria apenas do valor da temperatura, figura 9. Como esses valores nem sempre são conhecidos, serão necessário estimá-los. Figura 9 Relação do tempo de falha e a temperatura usando a Relação de Arrhenius Fonte: Colosimo, Hudson (2002) Através da equação (6) obtemos o Fator de Aceleração de Arrhenius (FA), equação (7), que relaciona o tempo de vida entre um nível elevado de estresse e o nível normal de estresse, onde ' representa o nível de temperatura em condições normais de estresse e ' 8 representa o nível de temperatura em condições elevado de estresse.

26 25 Seja a relação de Arrhenius (equação 6) na forma não linearizada, = -9: ; 5 67 <. Então o fator de aceleração de Arrhenius é dado por: - = = > D EF> < D EF? < = 9: G5 6 ; 8 7 > 8 7? <H (7) Relação de Potência Inversa A relação Potência-Inversa é usada para qualquer tipo de variável estresse em um teste acelerado. Segundo Colossimo e Freitas (1997) temos como algumas aplicações às lâmpadas incandescentes, fadigas de metais, isolantes e dielétricos. Considerando que a variável estresse seja positiva, essa relação assume a forma linearizada na equação (8), onde ln é o logaritmo do tempo de falha, - e I são parâmetros característicos do produto e J a variável de estresse. = - + I[ J] (8) A partir da equação (8), obtemos o Fator de Aceleração entre o tempo de falha no nível de estresse inicial J e o tempo de falha no nível de estresse de interesse J 8, representada na equação (9). Seja a relação de Potência Inversa (equação 8) na forma não linearizada, L M. Então o fator de aceleração de Potência Inversa é dado por: - = = > =? = N O> M N = ; L? < P O? M L > (9) Relação Geral Estresse-Resposta Linearizada ln =! +! 8 (10) Ao relacionar a equação (6) com a equação (10), temos a relação de Arrhenius, pois! = ln -,! 8 = 5 6 e = '28, onde ' = 273,16 + é a variável de estresse

27 26 temperatura. E ao relacionar a equação (8) com a equação (10) temos a relação de Potência Inversa, pois! = ln-,! 8 = I e = J, onde J é uma variável de estresse qualquer (PINTO, 2004) Componente Probabilística: Modelos de Probabilidade Nos testes de vida acelerado, as distribuições mais utilizadas para estimação dos parâmetros são: Exponencial, Weibull e Log-Normal (ver pág. 18). A Distribuição Exponencial que é empregada em componentes eletrônicos (BRITO e SOUZA, 2010), apresenta ao longo do tempo a taxa de falha constante. Na distribuição Weibull, o parâmetro determina o tipo de taxa de falha que será apresentado: constante, crescente ou decrescente. Na confiabilidade essa distribuição é empregada em ensaios de resistência à fadiga e em equipamentos eletrônicos (NASCIMENTO et al. 2000), e é considerada a distribuição mais importante. A distribuição Log-normal apresenta melhor os tempos de vida de objetos semicondutores e é adequada para as estruturas de falha por fadiga em materiais. A seguir, temos a Função Densidade, Função de Confiabilidade, Função Taxa de Falha (h, Tempo Médio de Vida (MTTF) e os Percentis 100p% C para as três distribuições citada acima: Distribuição Exponencial = 8 R 9: G ; R <H, 0 (11) = 9: G ; R <H (12) h = 1 S (13). = T =,UV = S (14) JWX = S Y (15)

28 27 C = Sln 1 : (16) onde S =,UV :9Z9[ 63% 0 é o parâmetro de escala Distribuição Weibull = ; R^< ] ]28 9:_ S ] a, 0 (17) = 9: b ; R <] c (18) h = ; ] R < ; R <]28 (19). = T = SΓ ;1 + 8 ] < (20) JWX = S Y bγ ;1 + Y ] < Γ ;1 + 8 ] <Y c (21) C = S [ln 1 :] 8 e (22) onde S =,UV :9XZ9[ 63% 0 é o parâmetro de escala f 0 é o parâmetro de forma Distribuição Log-normal = 8 Yhi 9: G [jk2 l]m Yi m H, 0 (23) = Φ Go 2 jkp l qh i (24)

29 28 h = (25). = T = 9: ; + im Y < (26) JWX = 9:r2 + " Y sexprσ Y s 1 C = 9:wz y σ + μ{ (27) (28) onde é a média do logaritmo do tempo de falha " desvio padrão Modelos de Regressão Estresse-Resposta Quando a parte determinística assume as relações de Arrhenius ou Potência Inversa e a parte probabilística do modelo assume as distribuições Exponenciais, Weibull, Log-normal, têm-se os seguintes Modelos de Regressão Estresse-Resposta: Arrhenius-Exponencial; Potência Inversa-Exponencial; Arrhenius-Weibull; Potência Inversa-Weibull; Arrhenius-Lognormal e Potência Inversa-Log-normal Modelo Arrhenius-Exponencial e Potência Inversa-Exponencial Esse modelo é a combinação da relação de Arrhenius ou Potência Inversa com a distribuição de probabilidade Exponencial, e possui as seguintes hipóteses (COLOSIMO e FREITAS, 1997): Em cada nível de estresse, o tempo de falha segue a distribuição Exponencial. É o modelo mais simples que envolve apenas uma covariável. Por meio das hipóteses acima temos a função de confiabilidade para, condicional a uma determinada temperatura = 8 7 ou variável de estresse qualquer, = J, representada pela equação (29), em que S = exp! +! 8.

30 29 ; = 9: G ; <H ABCr} > p}? Bs (29) Modelo Arrhenius-Weibull e Potência Inversa-Weibull Esse modelo é a combinação da relação de Arrhenius com a distribuição de probabilidade de Weibull, e possui as seguintes hipóteses (COLOSIMO e FREITAS, 1997): Em cada nível de estresse, o tempo de falha segue a distribuição de Weibull e o logaritmo desse tempo tem distribuição do valor extremo, ou seja, Y= tem distribuição com parâmetro de locação ln [S] e escala " = 8, em que S = exp!. ] O parâmetro de escala é igual para todos os níveis de estresse. Por meio das hipóteses acima temos a função de confiabilidade para, condicional a uma determinada temperatura = 8 7 ou variável de estresse qualquer, x = ln V, definido pela equação (30), ; = 9: ;? < ABCrB }s (30) Modelo Arrhenius-Log-normal e Potência Inversa- Log- normal Esse modelo é a combinação da relação de Arrhenius e Potência Inversa com a distribuição de probabilidade de Log-normal, e possui as seguintes hipóteses (COLOSIMO E FREITAS, 1997): Em cada nível de estresse, o tempo de falha segue a distribuição log-normal e o logaritmo desse tempo tem distribuição normal com média =! +! 8 e variância " Y e desvio padrão constante. A função de sobrevivência para condicional a uma determinada temperatura = 8 7 ou variável de estresse qualquer = ln J, formulada através das hipóteses acima é demonstrada pela equação (31). ; = Φ G o jk2 lb i qh (31)

31 30 Quando = 8, sendo τ a temperatura absoluta, temos o modelo de 7 Arrhenius-Exponencial ou Arrhenius-Weibull ou Arrhenius-Log-Normal. E quando = J, sendo V uma variável de estresse qualquer, temos o modelo de Potência Inversa-Expoencial ou Potência Inversa-Weibull ou Potência Inversa-Log-Normal (COLOSIMO e FREITAS, p.188, 1997) Método de Estimação dos Parâmetros No teste acelerado, a parte determinística do modelo de regressão estresse-resposta analisa as alterações no comportamento da falha do produto em função dos diferentes níveis de estresse e a parte probabilística modela a variabilidade no tempo de falha através das distribuições de probabilidades. Segundo Colosimo e Giolo (2006), as distribuições de probabilidade são compostas por uma quantidade desconhecida, os parâmetros, que, baseado nos tempos de falha acelerado, devem ser estimados pelo método de Máxima Verossimilhança, pois na presença de censura o método de Mínimos Quadrados (GUJARATI, 2006), torna-se inadequado (NELSON, 1990). No modelo de regressão estresse-resposta, equação (5), o método de máxima verossimilhança estimará o vetor de parâmetros =! &; " Método de Máxima Verossimilhança O método de máxima verossimilhança consiste em maximizar a função de verossimilhança, equação (32). É constituída pela função densidade e suas observações são não censuradas. A grande importância desse método está nas propriedades dos estimadores, que são consistentes, eficientes e apresentam normalidade assintótica (GUIMARÃES, 2002, Pág. 32). Além disso, permite construir intervalos de confiança para os valores de interesse. = ; ˆ 8 (32)

32 31 Em Confiabilidade, como a principal característica é a presença de censura, a função de verossimilhança é constituída pela função densidade que representa as observações não censuradas, e pela função de confiabilidade que representa as observações censuradas, equação (33), onde as observações são divididas em duas partes, uma parte com X observações não censuradas e outra com X observações censuradas. (COLOSIMO e GIOLO, pág. 85, 2006). Š = 8 ; Šp8 ; ˆ (33) No caso particular dos testes de vida acelerado, a função de verossimilhança para o modelo linear, equação (5), assume a forma da equação (34), onde = ln, =! &, " e f é o indicador de censura que admite valores 0 ou 1. = ˆ 8 [ ] ] [ ] 82] (34) Os estimadores de máxima verossimilhança são os valores do parâmetro =! &, " que maximizam o logaritimo da função de verossimilhança (equação 34). Para encontrálos é necessário substituir as funções densidade e confiabilidade na função de verossimilhança, tomar o logaritmo e derivar em relação ao parâmetro. Para exemplificar, será apresentado no quadro 1, a maneira de encontrar o estimador de máxima verossimilhança da distribuição exponencial, = S =! &.

33 32 Quadro 1 Exemplo: Estimador de Máxima Verossimilhança para a Distribuição Exponencial Substituindo na função de verossimilhança (equação 34) as funções densidade de probabilidade (equação 11) e confiabilidade (equação 12), temos: ˆ S = Ž b 1 S 9: ] S c 8 b 9: S c 82] ˆ = Ž 1 S ] 8 9: ] S 9: S 1 9: G ; <H] R ˆ = o 8 R q] 9: G ; 8 <H R Tomando-se o logaritmo de S, temos: ˆ šw S{ = f š 1 S 1 S 8 ˆ ˆ 8 = f š1 šs 1 S 8 ˆ = f šs 1 S 8 ˆ 8 ˆ 8 Derivando šw S{ em relação ao parâmetro S œ šs œs Igualando a zero (0) Fonte: Colosimo e Giolo (2006) ˆ ˆ 8 < = œ ; f šs 8 R 8 œs ˆ 1 S f + 1 S Y = 0 8 O estimador de máxima verossimilhança de S Sž = ˆ 8 ˆ f 8 ˆ 8 = ˆ 8 X ˆ = 1 S f + 1 S Y O termo ˆ 8 é denominado tempo total sob teste. Se todos os dados fossem não censurados, Sž seria a media amostral, isto é, Sž =. 28 ˆ 8 Na estimação dos parâmetros através do método de máxima verossimilhança, faz-se necessário escolher um modelo de probabilidade que melhor se adequa aos dados, pois um modelo inadequado suscita conclusões distorcidas. Em geral, esses parâmetros serão estimados através do uso de pacotes estatísticos (BEZERRA, 2004).

34 Determinação do Modelo Probabilístico Adequado A escolha do modelo de probabilidade mais adequado para analisar um conjunto de observações se dá de duas maneiras: numericamente ou graficamente. Numericamente: essa técnica utiliza a estatística de máxima verossimilhança, a qual é determinada em modelos em que um é o caso particular do outro. Como exemplo, temos a gama generalizada que apresenta os modelos: Exponencial, Weibull, Log-normal e Gama, como caso particular (Pascoa, 2012). Graficamente: essa técnica propõe dois métodos: o primeiro método consiste na comparação da função de confiabilidade ou sobrevivência do modelo proposto com o estimador de Kaplan-Meier (ver pág. 18), o modelo mais adequado será aquele cujos pontos da função de confiabilidade estimada estiverem mais próximos dos valores obtidos pelo estimador. O segundo método consiste na linearização da função de confiabilidade ou sobrevivência, o modelo mais adequado será aquele em que a construção do gráfico seja aproximadamente linear (PAPA, 2007, pág.17) Análise de Resíduos Uma vez escolhido o modelo e feito o ajuste aos dados experimentais, é necessário fazer uma análise dos resíduos para verificar a sua adequação. As técnicas gráficas, que fazem uso dos diferentes resíduos, são bastante utilizadas com a finalidade de buscar indícios de violação das suposições feitas a respeito do modelo. Segundo Colosimo e Giolo (2006), os tipos de resíduos são: Resíduos de Cox-Snell: são úteis para examinar o ajuste global do modelo. O gráfico desses resíduos apresenta um comportamento linear quando o modelo tem indicação de ser adequado. Resíduos Padronizados: também são úteis para examinar o ajuste global do modelo. Assim como os resíduos de Cox-Snell, os gráficos desse resíduo apresenta um comportamento linear quando o modelo é dito adequado. Resíduos Martingal: é usado para determinar a forma funcional (linear, quadrática, etc.) de uma covariável incluída no modelo de regressão. Os gráficos desse resíduo devem apresentar um comportamento aleatório em torno do zero, caso o modelo seja adequado.

35 34 Resíduos Deviance: examina a precisão do modelo e de auxiliar na detecção de pontos atípicos. Assim como os resíduos Martingal, os gráficos desse resíduo devem apresentar um comportamento aleatório em torno do zero, caso o modelo seja adequado Aplicação dos Testes de Vida Acelerado Será apresentado a seguir o exemplo 6.2 Experimento com certo tipo de componente eletrônico, onde um grupo foi submetido a testes sob estresse constante de 75ºC, o outro, submetido ao estresse de 95ºC e o outro ao estresse de 115ºC Confiabilidade: Análise de Tempo de Falha e Testes de Vida Acelerado (COLOSIMO E FREITAS, 1997, pág. 182). Quadro 2 Descrição do exemplo 6.2 (Colosimo e Freitas, 1997, pág.182) Um fabricante de eletrodomésticos da linha marrom, visando aumentar sua fatia no mercado, está desenvolvendo uma nova tecnologia para um de seus produtos. Entretanto, o sucesso desta depende fortemente da performance de um novo componente, o qual não é fabricado pela própria empresa. Nas reuniões realizadas entre o fabricante e o fornecedor, preocupado a confiabilidade do produto levantou-se a possibilidade de se realizar testes mais detalhados para verificar o percentual de falhas esperado no primeiro ano de uso desse componente. onente. Então, foi realizado um teste acelerado utilizando-se 120 componentes e três níveis de temperatura: 75, 95 e 115. Os componentes foram divididos igualmente para cada nível e esse experimento teve uma duração de 10 semanas (1680horas). Esse experimento está representado na tabela 1, onde especifica o tempo de falha para cada nível de temperatura. Tabela A Tempo de falha em minutos para cada grupo de componente submetido a testes com níveis de estresse (temperatura) constante. Fonte: Colosimo e Freitas (1997)

36 35 Observando a tabela A, verificamos que o número de falhas parece aumentar gradativamente com a elevação do nível de estresse (temperatura), ou seja, o aumento da temperatura está fazendo com que os itens falhem mais rápido. Gráfico 1 Tempo de Falha (min) dos componentes eletrônicos vs. tensão elétrica (kv) Fonte: Colosimo e Freitas (1997) Observando gráfico 1, verificamos que, apesar de o número de falhas ter aumentado com o aumento da temperatura, o alto número de censuras parece estar mascarando os resultados. Note também que, a variabilidade dos tempos de falha para a temperatura mais alta (115 ) parece ser menor do que as outras temperaturas. Para estudar o comportamento dos dados e responder ao interesse do fabricante quanto às características do componente, como o tempo médio de vida do componente, tempo mediano, período de garantia, entre outros, será necessário um modelo estatístico. Através desse, podemos estimar a função de confiabilidade do componente e os percentis da distribuição do tempo de falha para qualquer nível de temperatura considerada. O modelo apropriado para essa situação é o Modelo de Regressão Estresse-Resposta, sendo que a parte determinística (relação estresse-reposta) explicará o efeito dos níveis de estresse e a parte probabilística explicará a variabilidade dos dados. ADEQUAÇÃO DO MODELO Estimação da Função de Confiabilidade para cada Nível de Estresse usando o Estimador de Kaplan-Meier (KM) Gráfico 2 Função da Confiabilidade estimada pelo estimador Kaplan-Meier para cada nível de temperatura Fonte: Colosimo e Freitas (1997)

37 36 Analisando o gráfico 2, verificamos que a função de confiabilidade para o nível mais alto da temperatura cai muito mais rápido do que as temperaturas mais baixas. Como a taxa de falha é o inverso da confiabilidade, podemos dizer que a taxa de falha aumenta com o aumento da temperatura. Ajuste e Escolha do Modelo de Regressão Extresse-Resposta Será utilizada a relação de Arrhenius na parte determinística, pois a variável de estresse em estudo é a temperatura. Então ajustaremos os modelos de regressão estresse reposta com as distribuições de probabilidade Exponencial, Weibull e Log Normal para escolha do modelo mais apropriado para esse conjunto de dados. Tabela B Ajuste do Modelo de Arrhenius Exponencial (Saídas do Modulo SURVIVAL- SYSTAT R ) Fonte: Colosimo e Freitas (1997, pág 202) Analisando o ajuste dos dados pelo Modelo Exponencial Arrhenius (tabela B). Temos:! = 16,90! 8 = 8,87 Portanto o tempo de falha [ = 9 :9XW XW 9 = Z : 99& tem distribuição exponencial com Sž = exp 16,90 + 8,87 =,UV Tabela C Ajuste do Modelo de Arrhenius Weibull (Saídas do Modulo SURVIVAL- SYSTAT R ) Fonte: Colosimo e Freitas (1997, pág 202)

38 37 Analisando o ajuste dos dados pelo Modelo Weibull Arrhenius (tabela C). Temos:! = 18,66! 8 = 9,53 "ž = 1,13 Portanto o tempo de falha [ = 9 :9XW XW 9 = Z : 99& tem distribuição Weibull com Sž = exp 18,66 + 9,53 e f 8 = f Y = f V = 8 8,8V Tabela D Ajuste do Modelo de Arrhenius Log-normal (Saídas do Modulo SURVIVAL- SYSTAT R ) Fonte: Colosimo e Freitas (1997, pág 202) Analisando o ajuste dos dados pelo Modelo Log-normal Arrhenius (tabela D). Temos:! = 20,38! 8 = 9,97 "ž = 1,69 Portanto o tempo de falha ln [ = 9 :9XW XW 9 = Z : 99& tem distribuição normal com = 20,38 + 9,97 e "ž = 1,69 Validação dos Modelos através da Análise de Resíduos Apresentaremos a seguir os gráficos de linearização das funções de confiabilidade para os modelos Arrhenius-Exponencial, Arrhenius-Weibull e Arrhenius-Log-normal. Os pontos próximos de uma reta significam que o modelo é adequado.

39 38 ln(resíduos) modelo exponencial ln(resíduos) modelo weibull ln(resíduos) modelo log-normal Gráfico 3 Verificação da Adequação do Modelo Arrhenius-Exponencial, Arrhenius-Weibull e Arrhenius- Log-Normal. Fonte: Colosimo e Freitas(1997) Os dois primeiros gráficos apresentam uma tendência linear. No ultimo gráfico, os pontos não estão alinhados, indicando que o modelo Arrhenius-log-normal parece ser inapropriado. Pela técnica gráfica, temos que, tanto o modelo Arrhenius-exponencial quanto o modelo Arrhenius-weibull parecem ser adequados. No entanto, ao comparar esse dois modelos, podemos dizer que o modelo mais apropriado é Arrhenius-exponencial, pois, no ajuste do modelo Arrhenius-weibull, o intervalo de confiança [0,921;1,346] (tabela B, linha pontilhada) para o parâmetro " do modelo inclui o valor 1. Sabe-se que a distribuição exponencial é a distribuição weibull com parâmetro de forma f = 1 " igual a 1. Extrapolação dos Resultados para as Condições de Uso Determinado o melhor modelo, o exponencial, agora utilizaremos métodos de estimação para responder às dúvidas do fabricante em relação à confiabilidade de seu produto. Quadro A Formula de estimação do modelo de Arrhenius-Exponencial ž C =! +! 8 + % C C = 9:w ž C { = 8 Y V,8Up ; 9 9 = 8 7 % C = ln ln 1 :

40 39 Tempo médio de falha à temperatura de 55ºC 8, ž,uv = 16, ln ln 1 0,63 = 10, ,16,UV = expw ž,uv { = 25591h XW& Este é o número médio de horas de funcionamento de tempo contínuo. O fabricante acredita que o produto seja utilizado, em média, 5 horas diário, então: 9 : é [ WhW = h XW& 14W & O tempo médio de funcionamento do componente submetido a uma temperatura de 55ºC é de 14 anos Tempo mediano de falha à temperatura de 55ºC ž,uv = 16,90 + 8,873,05 + %,3 = 9,78,3 = exp9,78 = 17677horas Considerando 5 horas de uso por dia 9 : 9 [W WhW = h XW& 10 W & O tempo mediano de funcionamento do componente submetido a uma temperatura de 55ºC é de 10 anos Tempo de garantia para um percentual de falha de no mínimo 5% ž,3 = 16,90 + 8,873,05 + %,3 = 7,15,3 = exp7,15 = 1274 horas Considerando 5 horas de uso/dia 9 : 9 šwxw[w = h XW& 9 9&9& O tempo de garantia para um percentual de falha de no mínimo 5% para o componente submetido a uma temperatura de 55 é de 9 meses.