Utilizando-se as relações entre as funções básicas é possível obter as demais funções de sobrevivência.

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1 MÉTODOS PARAMÉTRICOS PARA A ANÁLISE DE DADOS DE SOBREVIVÊNCIA Nesta abordagem paramétrica, para estimar as funções básicas da análise de sobrevida, assume-se que o tempo de falha T segue uma distribuição conhecida de probabilidade. PERGUNTA: Que tipo de distribuição de probabilidade poderia representar T? LEMBRANDO: I. T é uma V.A. contínua não-negativa. II. T apresenta forte assimetria. Dessa forma, a distribuição normal, que permite valores negativos, não é adequada para modelar o tempo de sobrevida. Alguns modelos mais utilizados, por se adaptarem a uma grande variedade de situações, são: exponencial, weibull e lognormal.

2 DISTRIBUIÇÕES BÁSICAS EM SOBREVIVÊNCIA 1. DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL Em termos matemáticos, a distribuição exponencial é um dos modelos probabilísticos mais simples para descrever o tempo de vida. Esta distribuição apresenta um único parâmetro e é a única que se caracteriza por ter uma função de risco constante. É bastante utilizada para descrever o tempo de vida de certos produtos, bem como, o tempo de vida e remissão em doenças crônicas e infecciosas. A função densidade de probabilidade é dada por: f ( t) = λ exp( λt), λ > 0. Em que o parâmetro λ tem a mesma unidade do tempo de vida T.

3 Utilizando-se as relações entre as funções básicas é possível obter as demais funções de sobrevivência. A função de sobrevivência é dada por: As funções de risco é dada por:

4 ILUSTRAÇÃO DAS FUNÇÕES DE SOBREVIVÊNCIA SEGUNDO O MODELO EXPONENCIAL.

5 O fato da taxa de falha (função de risco) ser constante significa que tanto uma unidade velha, quanto uma nova, que ainda não falharam, tem o mesmo risco de falhar em um intervalo futuro. Esta propriedade é chamada de falta de memória da distribuição exponencial. Apesar da simplicidade matemática, a suposição de risco constante é pouco plausível na maioria dos fenômenos da saúde e engenharia. A distribuição exponencial pode ser uma boa aproximação quando o tempo de acompanhamento é curto o suficiente para que o risco naquele período possa ser considerado constante. Por exemplo, o risco de óbito de crianças entre dois e cinco anos pode ser considerado constante nesse intervalo.

6 CARACTERÍSTICAS DE INTERESSE. Lembrando: E(T)=1/λ e Var(T)=1/ λ 2. TEMPO MÉDIO: t médio = 1 λ TEMPO MEDIANO: Como a variável T é assimétrica, muitas vezes faz mais sentido calcular o tempo mediano. S ( ) = 0,5 e λt med =0, 5 t med PERCENTIL 100p%: t p = ln p λ = 1 ln p λ

7 PROPRIEDADE DE FALTA DE MEMÓRIA DA EXPONENCIAL

8 EXEMPLO: Considere um estudo de 193 pacientes com aids, onde observou-se o tempo desde o diagnóstico até o óbito. Um modelo exponencial foi utilizado com λ=0, a) Obtenha o tempo médio de vida dos pacientes. b) Qual o tempo mediano de vida? c) Qual o tempo tal que cerca de 90% dos pacientes ainda estarão vivos? d) Qual o percentual de pacientes que ainda estarão vivos após 10 anos do início do estudo?

9 DISTRIBUIÇÕES BÁSICAS EM SOBREVIVÊNCIA 2. DISTRIBUIÇÃO WEIBULL A distribuição Weibull é uma generalização da distribuição exponencial. É bastante utilizada em aplicações práticas por apresentar uma grande variedade de formas: a sua função de risco é monótona, isto é, ela é crescente, decrescente ou constante. A distribuição Weibull é uma das mais utilizada para modelar tempos de sobrevida, particularmente em estudos nas áreas biomédica e industrial. Alguns exemplos: tempo até a ocorrência de tumores, estudo de mortalidade por causas específicas e tempo de incubação do HIV.

10 A f.d.p. de uma V.A. T com distribuição de Weibull é dada por: f ( t ) = λγ ( λ t ) γ 1 e ( λ t ) γ O parâmetro de forma, e o de escala, são ambos positivos. O parâmetro λ tem a mesma unidade de medida do tempo e γ não tem unidade de medida. Função de sobrevivência: γ λ

11 Funções de risco: Observe que para γ > 1: A função de risco é estritamente crescente. γ < 1: A função de risco é estritamente decrescente. γ = 1: A função de risco é constante, equivalendo ao modelo exponencial.

12 ILUSTRAÇÃO DAS FUNÇÕES DE SOBREVIVÊNCIA SEGUNDO O MODELO WEIBULL.

13 CARACTERÍSTICAS DE INTERESSE. As expressões para a média e a variância da Weibull incluem o uso da função gama. λ γ + Γ = 1 1 E(T) + Γ + Γ = ) ( γ γ λ T Var com Tempo mediano: = Γ o x k dx e x k 1 ) (

14 CARACTERÍSTICAS DE INTERESSE. Percentil: O percentil t p pode ser obtido por: t p = ln 1 p λ 1 γ

15 EXEMPLO: O tempo em dias para desenvolvimento de tumor em ratos expostios a uma substância cancerígena segue uma distribuição de Weibull com λ=0,01 e γ=2. a) Qual é a probabilidade de um rato sobreviver sem tumor aos primeiros 30 dias? b) Qual o tempo mediano até o aparecimento do tumor? c) Ache a taxa de falha (risco) de aparecimento de tumor aos 30, 45 e 60 dias. Interprete esses valores.

16 3. DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL É muito utilizada para caracterizar tempos de vida de produtos e indivíduos. Alguns exemplos: fadiga de metal, semicondutores e pacientes com leucemia. Existe uma relação entre as distribuições lognormal e normal que facilita a apresentação e análise de dados. O logaritmo de uma variável com distribuição lognormal 2 segue uma distribuição normal com parâmetros µ e σ. A f.d.p. de uma variável aleatória T com distribuição lognormal é dada por: f ( t) ln( t) µ = exp, t tσ 2π 2 σ > 0

17 A função de sobrevivência de uma variável lognormal não apresenta uma forma analítica explícita e é representada por: S ( t) = 1 F ( t) = 1 φ ln( t) µ σ em que φ(.) é a função de distribuição acumulada de uma normal padrão. A função de risco apresenta uma forma analítica explícita e é representada por: h = f ( t ) ( t ) S( t) A média (tempo médio) e a variância da distribuição lognormal são dadas, respectivamente, por { } 2 µ + σ ( ) { } E ( T ) = exp { } 2 Var( T) = expσ 2 1 exp2µ + σ 2

18 ILUSTRAÇÃO DAS FUNÇÕES DE SOBREVIVÊNCIA SEGUNDO O MODELO LOGNORMAL.

19 Observe que as funções de risco não são monótonas como as da distribuição Weibull. Elas crescem, atingem um valor máximo e depois decrescem. Os percentis podem ser obtidos por t p [ z ] = exp pσ + µ Com z p o 100p% percentil da distribuição normal padrão (ver tabela da distribuição normal padrão). O tempo mediano: t med = exp[ z 0, 5σ + µ ] A popularidade dessa distribuição é em parte devido ao fato de que o valor acumulado de ln(t) pode ser obtido da tabela da distribuição normal padrão e o correspondente valor de t é então encontrado pela aplicação de antilogaritmo.

20 EXEMPLO: Considere que o tempo de duração de um equipamento seja uma V.A. modelada por uma distribuição log-normal com µ=0 e σ 2 =0,5. Encontre o tempo médio e o tempo mediano de duração do equipamento.