Modelos de Filas de Espera

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1 Departamento de Informática Modelos de Filas de Espera Métodos Quantitativos LEI 2006/2007 Susana Nascimento Advertência Autores João Moura Pires Susana Nascimento Este material pode ser livremente usado para uso pessoal ou académico e sem qualquer autorização prévia do autor desde que acompanhado desta declaração do autor. Para uso comercial (por exemplo em cursos pagos) o uso deste material requer a expressa autorização do autor. 2 MQ-06/07 1

2 Sumário Estrutura básica de Modelos de Filas de Espera Distribuição Exponencial Processo de nascimento e morte Modelos de filas de espera baseados no processo de nascimento e morte Modelos com distribuições não exponenciais Modelos com prioridades nas filas 3 Sumário (A1-FE) Estrutura básica de Modelos de Filas de Espera Distribuição Exponencial Processo de nascimento e morte Modelos de filas de espera baseados no processo de nascimento e morte Modelos com distribuições não exponenciais Modelos com prioridades nas filas 4 MQ-06/07 2

3 Processo básico de Fila de Espera Sistema de Fila de Espera Fonte de Entrada Clientes Fila Mecanismo de Serviço Clientes servidos 1. Uma fonte de entrada gera ao longo do tempo clientes que solicitam um serviço. Os clientes entram no Sistema de Fila de Espera ejuntam-se a uma Fila de Espera Em certos instantes é escolhido um membro da fila, para ser servido, de acordo com alguma regra conhecida por Disciplina da Fila de Espera. O Cliente seleccionado é servido por um mecanismo de serviço Quando um serviço é concluído para um cliente, este sai do sistema de Fila de Espera. 5 Processo básico de Fila de Espera Sistema de Fila de Espera Fonte de Entrada Clientes Fila Mecanismo de Serviço Clientes servidos Dimensão da população que pode ser servida Padrão estatístico como os clientes são gerados ao longo do tempo para serem servidos 6 MQ-06/07 3

4 Processo básico de Fila de Espera Sistema de Fila de Espera Fonte de Entrada Clientes Fila Mecanismo de Serviço Clientes servidos Capacidade da Fila (número de clientes que pode conter) Disciplina da Fila de espera 7 Processo básico de Fila de Espera Sistema de Fila de Espera Fonte de Entrada Clientes Fila Mecanismo de Serviço Clientes servidos Número de canais paralelos de serviço - número de servidores Tempo de serviço - Distribuição de probabilidades - 8 MQ-06/07 4

5 Fonte de entrada - População alvo - Dimensão: número total de clientes que podem requerer serviços do sistema Infinito: a fonte é ilimitada. Cálculos são mais simples É assumido quando a dimensão é finita mas grande Finito: a fonte é limitada. Modelo analítico mais complicado pois o número de clientes dentro do sistema (na fila ou a ser servidos) afecta o número de clientes fora do sistema. Este modelo deve ser adoptado sempre que o ritmo a que os clientes são gerados pela fonte depende significativamente do número de clientes que estão dentro do sistema. 9 Fonte de entrada - População alvo - Padrão estatístico segundo o qual os clientes se apresentam para serem servidos: Distribuição de Poisson - O número de clientes gerados (que aparecem para ser servidos) até um certo tempo t segue uma distribuição de Poisson. Assume que a chegada de clientes ao sistema é independente do número de clientes presentes -> população infinita. Tempo entre chegadas de clientes ao sistema - Distribuição exponencial 10 MQ-06/07 5

6 Fila de Espera Dimensão da fila de Espera Infinita A suposição de fila de capacidade infinita é a forma mais geral, mesmo quando a capacidade for finita mas suficientemente grande. Finita Quando o limite é finito e pequeno de tal modo que a capacidade da fila possa ser atingida com frequência, então assume-se que a capacidade é um número finito Modelo mais complexo Disciplina da Fila de Espera Primeiro a chegar, primeiro a ser servido Aleatório Prioridades 11 Mecanismo de Serviço Organização Uma ou mais infraestruturas de serviço Se for mais de uma, cada cliente deve ser servido sequencialmente por todas elas Cada infraestrutura de serviço é composta por um ou mais servidores em paralelo 12 MQ-06/07 6

7 Mecanismo de Serviço Tempo de Serviço Para cada servidor é necessário especificar a distribuição de probabilidades dos tempos de serviço (eventualmente um por cada tipo de cliente) Em geral todos os servidores têm a mesma distribuição de probabilidades Distribuições de probabilidades comuns Distribuição Exponencial Distribuição degenerada (constante) Distribuição de Erlang 13 Sistema de Fila de Espera Elementar Uma única fila de Espera Uma única infraestrutura de serviço Um ou mais servidores Sistema de Fila de Espera Mecanismo de Serviço Clientes Fila C C C C C C C C S 1 S 2 Clientes servidos C S 3 14 MQ-06/07 7

8 Hipóteses de independência Os tempos entre chegadas são independentes e identicamente distribuidos Os tempos de serviço são independentes e identicamente distribuidos? /? / s Distribuição de tempos Entre chegadas Número de servidores Distribuição de tempos serviços 15 Modelos?/?/s Notação usada para as distribuições M: distribuição Exponencial (Marcoviana) D: distribuição Degenerada (tempos constantes) E k : distribuição de Erlang com parâmetro k G: distribuição Geral ou arbitrária Exemplos M/M/s M/G/1 16 MQ-06/07 8

9 Terminologia e Notação (1) Estado do Sistema: número de clientes dentro do sistema de fila de espera (na fila ou a ser servido pelos servidores) Comprimento da fila: número de clientes na fila à espera de serviço = Estado do Sistema - número de clientes a serem servidos N(t): número de clientes no sistema no instante t (t 0) P n (t): probabilidade de estarem exactamente n clientes no sistema no instante t, conhecido o número de clientes no instante t = 0. s: número de servidores (canais paralelos) no sistema. 17 Terminologia e Notação (2) n : ritmo médio de chegadas de novos clientes quando estão n clientes no sistema (número esperado de chegadas por unidade de tempo) Se n é constante para todos os valores de n, ou seja quando o ritmo de chegada não depende do número de clientes no sistema, denota-se por. 1/ éo tempo esperado entre chegadas de novos clientes. 18 MQ-06/07 9

10 Terminologia e Notação (3) µ n : ritmo médio de serviço global do sistema (número médio de clientes que terminam o seu serviço por unidade de tempo). Observação: µ n é um valor combinado do ritmo de serviço de todos os servidores ocupados. µ : Quando o ritmo médio de serviço, por servidor ocupado, é constante para todos os valores de n. µ n = sµ quando n s, isto é, quando todos os servidores estão ocupados 1/µ éo tempo esperado de serviço 19 Terminologia e Notação (4) ρ = /(sµ) é o factor (taxa) de utilização da infraestrutura de serviço, isto é, a fracção de tempo esperado em que os servidores estão ocupados: µ é o número médio de clientes que terminam o seu serviço por unidade de tempo por servidor sempre ocupado s o número de servidores sµ é o número médio de clientes que terminam o seu serviço por unidade de tempo supondo que todos os servidores estão ocupados, ou seja, é a capacidade de serviço do sistema por unidade de tempo. é o número esperado de novos clientes por unidade de tempo 20 MQ-06/07 10

11 Terminologia e Notação: Regime Estacionário Sistema em Regime Estacionário A distribuição de probabilidade do sistema mantem-se a mesma ao longo do tempo. Grandezas definidas para o sistema em regime estacionário P n - probabilidade de estarem exactamente n clientes no sistema L - número esperado de clientes no sistema L q - comprimento esperado da fila de espera (excluindo os clientes que estão a ser servidos) W - Tempo passado no sistema (incluindo o tempo de serviço) para cada cliente; W = E(W) W q - Tempo de espera no sistema (excluindo o tempo de serviço) de cada cliente; W q = E(W q ) 21 Relações entre L, W, L q e W q Assumindo que n, ritmo médio de chegadas ao sistema, é constante e igual a para todo n, verifica-se num regime estacionário: e L = W L q = W q (Fórmula de Little) Se n não toma o mesmo valor para todos os valores de n, então, é possível substituir por valor médio dos n ao longo do tempo. 22 MQ-06/07 11

12 Relações entre L, W, L q e W q Assumindo que o tempo médio de serviço é um valor constante 1/µ para n 1, então: W = W q + 1/µ (Tempo passado no sistema= Tempo passado à espera + tempo de serviço) 23 Resumo da terminologia Sistema de Fila de Espera n, N(t) Mecanismo de Serviço Clientes Fila C C C C C C C C S 1 S 2 Clientes servidos C S 3 s n µ n µ # por unidade de tempo 1/ n 1/ 1/µ n 1/µ tempo Tempos entre chegadas Tempos de serviço Factor de utilização ρ = /(sµ) sµ - capacidade 24 MQ-06/07 12

13 Resumo da terminologia - Regime estacionário Clientes Número esperado de clientes no sistema Sistema de Fila de Espera L n, N(t) Mecanismo de Serviço Fila C S 1 µ Clientes C C C C C C C S 2 servidos 1/ L 1/µ q Número esperado de clientes na fila C S 3 s W W = E(W) W q 1/µ W q = E(W q ) L = W L q = W q W = W q + 1/µ 25 Distribuição Exponencial Caracterização de um sistema de Filas de Espera Distribuição de probabilidades dos tempos entre chegadas Distribuição de probabilidades do número de clientes novos Distribuição de probabilidades dos tempos de serviço Requisitos para um modelo teórico Suficientemente realista Previsões razoáveis Suficientemente simples Matematicamente tratável Distribuição Exponencial 26 MQ-06/07 13

14 Distribuição Exponencial com parâmetro α T uma variável aleatória (v.a.) que respresenta o tempos entre chegadas ou os tempos de serviço f T (t) = αe αt para t 0 0 para t < 0 Função densidade P[T t] =1 e αt P[T > t] = e αt para t 0 Probabilidades acumuladas E(T ) = 1 α var(t ) = 1 α 2 Esperança Matemática Variância 27 Distribuição Exponencial com parâmetro α = 4 f T (t) = αe αt para t 0 0 para t < 0 Função densidade f (t ) (para α = 4) t E(T) = 1/α = 1/4 28 MQ-06/07 14

15 Distribuição Exponencial com parâmetro α f (t ) α = α = t 29 P1: f T (t) é uma função estritamente decrescente em t P[0 T t] > P[t T t + t] para t > 0 e t > 0 P[0 T 1/α] = f (t ) (para α = 4) P[1/α T 2/α] = P[2/α T 3/α] = t 30 MQ-06/07 15

16 P1: f T (t) é uma função estritamente decrescente em t É mais provável que os valores de T sejam pequenos do que grandes, isto é, valores inferiores a menos de metade de E(T), ou seja inferiores a 1/(2α). P[0 T 1/α] = : Inferior a E(T) P[0 T 0.5/α] = : Inferior a metade de E(T) P[0.5/α T 1.5/α] = : Inferior a metade de E(T) E(T) E(T) 1.5E(T) P1: f T (t) é uma função estritamente decrescente em t A distribuição exponencial é adequada para tempos de serviço quando este é em geral muito curto e ocasionalmente muito longo. Bancos de hospitais, Bancos, lojas, etc A distribuição exponencial é adequada para tempos entre chegadas, em situações em que potencias clientes desistem (e voltam mais tarde) quando outro cliente já está na fila. Vão aparecendo mais ou menos regularmente (curtos intervalos) com intervalos ocasionalmente longos sem aparecer nenhum cliente. 32 MQ-06/07 16

17 P2: Falta de memória P[T > t + t T > t] = P[T > t] para t > 0 e t > 0 P[T > t + t T > t] = = P[T > t,t > t + t] P[T > t] P[T > t + t] P[T > t] = e α(t+ t) e α t = e αt = P[T > t] 33 P2: Falta de memória A distribuição de probabilidades do restante tempo até ao próximo evento (chegada de um novo cliente) é a mesma independentemente de há quanto tempo ocorreu o último evento (chegada do último cliente) Tempo entre chegadas O tempo até a próxima chegada é independente de quando aconteceu a última chegada Tempo de serviço Situações com diferentes tempos de serviço.. 34 MQ-06/07 17

18 P3:O mínimo de várias exponenciais independentes é uma distribuição exponencial Sejam T 1, T 2,, T n variáveis aleatórias independentes com distribuições exponenciais de parâmetros α 1, α 2,, α n. Seja U uma v.a U = min{t 1, T 2,, T n } Se T i representa o instante em que ocorre um destes eventos, então U representa o instante em que o primeiro dos n eventos ocorre. P[U > t] = P[T 1 > t,t 2 > t,...,t n > t] = P[T 1 > t]p[t 2 > t]...p[t n > t] α t α t α nt = e 1 e 2 Le n i α t = e i= 1 n α i i=1 α U = 35 P3:O mínimo de várias exponenciais independentes é uma distribuição exponencial Tempo entre chegadas Considerar que existem n tipos de clientes diferentes com diferentes distribuições exponenciais com α 1, α 2,, α n P2 (falta memória) O tempo que falta, a partir de um dado instante, até à chegada de um cliente de tipo i tem também uma exponencial de parâmetro α i (mesma distribuição). P3 (mínimo é exponencial) O tempo que falta, a partir de um dado instante, até à chegada de um cliente de qualquer tipo tem também uma exponencial de parâmetro: n α i i=1 α U = 36 MQ-06/07 18

19 P3:O mínimo de várias exponenciais independentes é uma distribuição exponencial Tempo de serviço Assuma-se que existem n (i.e. s) servidores em paralelo com a mesma distribuição exponencial (com parâmetro µ) dos tempo de serviço Se T i é o tempo de serviço que ainda falta, a partir de um dado instante, para o servidor i, então a distribuição de probabilidades do tempo até que um próximo servidor termine o serviço éuma exponencial com parâmetro nµ. Ou seja o sistema multi-servidor pode ser visto como um sistema mono- servidor cuja distribuição do tempo de serviço é nµ. 37 P4: Relação com a distribuição de Poisson Seja X(t) o número de ocorrências de um evento no intervalo de tempo entre 0 e t (t 0) uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade P[X(t) = n] = (αt)n e αt para n = 0,1,... n! X(t) tem uma distribuição de Poisson com parâmetro αt. A correspondente esperança matemática é: E(X(t)) = αt Então, o número esperado de eventos por unidade de tempo é α. (α é designado de ritmo médio de ocorrência de eventos) 38 MQ-06/07 19

20 P4: Relação com a distribuição de Poisson Com n = 0 temos: P[X(t) = 0]= e αt que é a probabilidade de que o primeiro evento ocorra depois do tempo t. Trata-se de uma distribuição exponencial de probabilidade sobre t. Quando os eventos são contados numa base contínua, o processo contínuo {X(t); t 0} é designado de Processo de Poisson 39 P4: Relação com a distribuição de Poisson Tempos entre chegadas Tempos de serviço Exponencial Número de chegadas Número de serviços completados Poisson 40 MQ-06/07 20

21 P4: Relação com a distribuição de Poisson 0.4 Prob[X(t) = n] t=1 t=2 t= n 41 P4: Relação com a distribuição de Poisson Se os tempos de serviço seguem uma distribuição exponencial de parâmetro µ então define-se X(t) como o número de serviços concluídos por um servidor continuamente ocupado durante um tempo t, com α = µ. Para modelos multi-servidores o número de serviços concluídos por n servidores continuamente ocupados durante um tempo t, com α = nµ 42 MQ-06/07 21

22 P4: Relação com a distribuição de Poisson Se os tempos entre chegadas de novos clientes seguem uma distribuição exponencial de parâmetro então definimos X(t) como sendo o número de chegadas durante um tempo t, com α = (que é o ritmo médio de chegadas). 43 P5: t 0, P[T t + t T > t] α t para pequeno t T é o tempo desde o último evento (chegada ou conclusão de um serviço) Estamos a supor que já passou o tempo t sem que o próximo evento tenha ocorrido (P[T t + t T > t] ) A propriedade 2 (falta memória), (P[T > t + t T > t] = P[T > t] para t > 0 e t > 0), já indica que a probabilidade de o próximo evento ocorrer num próximo intervalo t (de tamanho fixo) é constante independentemente de t (o tempo que já passou), qualquer que seja a dimensão de t. P5 indica que se t for pequeno, então: A probabilidade pode ser aproximada por α t A probabilidade é proporcional a t considerando diferentes valores pequenos 44 MQ-06/07 22

23 P5: t 0, P[T t + t T > t] α t para pequeno t P[T t + t T > t] = P[T t] e x =1+ x + x n n! n=2 =1 e α t =1 1+α t ( α t) n n! n=2 P[T t + t T > t] α t para pequenos valores de t. 45 P6: Insensível à Agregação e Desagregação Supondo que existem n tipos de clientes e que a chegada de cada um deles é um processo de Poisson com parâmetro i. Assumindo que são processos independentes então a chegada de todos os clientes (independentemente do seu tipo) é também um processo de Poisson com parâmetro = n Inversamente, se a probabilidade de chegar um cliente do tipo i for p i,então i = p i 46 MQ-06/07 23

24 Distribuição de Erlang com parâmetro k - distribuição gamma - Função densidade Média f (t) = (µk)k (k 1)! t k 1 e kµt para t 0 µ e k são parâmetros positivos. k é inteiro E(T ) = 1 µ Desvio Padrão StDev(T ) = 1 k 1 µ parâmetro k define o grau de variabilidade dos tempos de serviço relativamente á média. 47 Distribuição de Erlang com parâmetro k - distribuição gamma - f(t) µ k = k = 3 k = 2 k = 1 1/µ t k = 1 : Exponencial k = : Degenerada (tempo constante) 48 MQ-06/07 24

25 Distribuição de Erlang com parâmetro k - distribuição gamma - Sejam T 1, T 2,, T k k variáveis aleatórias independentes identicamente distribuídas com distribuição exponencial com esperança de 1/(kµ) Então a variável aleatória T = T 1 + T T k tem uma distribuição de Erlang com parâmetros µ e k. Quando o serviço é composto por uma sequência de serviços, cada um deles com uma distribuição exponencial, o tempo total de serviço tem uma distribuição de Erlang. 49 Sumário Estrutura básica de Modelos de Filas de Espera Distribuição Exponencial Processo de nascimento e morte Modelos de filas de espera baseados no processo de nascimento e morte Modelos com distribuições não exponenciais Modelos com prioridades nas filas 50 MQ-06/07 25

26 Introdução A maioria dos modelos elementares de filas de espera assume que as entradas- chegadas de novos clientes- e as saídas- saídas de clientes- do sistema de fila de espera ocorre de acordo com o processo de nascimento e morte, em que: Nascimento: chegada de clientes ao sistema. Morte: saída de clientes (com serviço concluído) do sistema. 51 Hipóteses do Processo de Nascimento e Morte Estado do sistema- N(t) - número de clientes no sistema Dado N(t) = n, então a D.P do tempo até à próxima chegada éuma exponencial de parâmetro n. Dado N(t) = n, então a D.P do tempo até à próxima saída é uma exponencial de parâmetro µ n. As variáveis aleatórias tempo até à próxima chegada e tempo até à próxima saída são mutuamente independentes. As transições de estado (alteração de N(t)) são: n n + 1 (um único nascimento) n n - 1 (uma única morte) 52 MQ-06/07 26

27 Diagrama de estados Dado N(t) = n, a D.P do tempo até à próxima chegada ser uma distribuição exponencial de parâmetro n P4 n é o ritmo médio de chegadas (média de chegadas por unidade de tempo) Dado N(t) = n, a D.P do tempo até à próxima saída ser uma distribuição exponencial de parâmetro µ n. P4 µ n é o ritmo médio de saídas (média de saídas por unidade de tempo) n-1 n n-1 n n+1 Uma transição possível µ n µ n+1 53 Condições em regime estacionário Seja E n (t) o número de vezes que o processo entrou no estado n até ao instante t Seja L n (t) o número de vezes que o processo saiu do estado n até ao instante t Naturalmente que se verifica E n (t) - L n (t) 1 E n (t) L n(t) 1 t t t E lim n (t) L n(t) t t t = 0 E n ( t) lim = ritmo médio de vezes que o processo entra no estado n t t L n (t) = ritmo médio de vezes que o processo sai do estado n t lim t 54 MQ-06/07 27

28 Condições em regime estacionário: Eq. de Equilíbrio O número esperado de vezes que o processo entra no estado n, para qualquer valor de n 0, é igual ao número esperado de vezes que o processo sai desse estado. lim t E n (t) L = lim n (t) t t t E n (t) = L n (t) Seja P n a probabilidade de o processo estar no estado n em regime estacionário. P n é proporcional ao tempo que o processo se encontra no estado n 55 Eq. de Equilíbrio para o estado n = 0 L 0 (t) - número esperado de vezes que o processo sai do estado n = 0 P Tempo que está no estado n = 0 x Número médio de clientes que chegam ao sistema por unidade de tempo P 0 a probabilidade de o processo estar no estado n = 0 em regime estacionário. P 0 é proporcional ao tempo em que o processo se encontra no estado n = 0 L 0 ( t) = P MQ-06/07 28

29 Eq. de Equilíbrio para o estado n = 0 E 0 (t) - número esperado de vezes que o processo entra no estado n = 0 0 P P 1 Tempo que está no estado n = 1 x Número médio de clientes que saiem do sistema por unidade de tempo µ 1 E 0 (t) = µ 1 P 1 57 Eq. de Equilíbrio para o estado n = 0 E 0( t) = L0 ( t) Nº estimado de vezes que processo entra no estado igual Nº estimado de vezes que processo sai do estado L 0 ( t) = P0 0 E 0 ( t) = P1 µ 1 0 P P 1 µ 1 P 0 0 = P 1 µ 1 58 MQ-06/07 29

30 Diagrama de estados n-2 n-1 n n-2 n-1 n n+1 µ 1 µ 2 µ 3 µ n-1 µ n µ n+1 59 Eq. de Equilíbrio para o estado n L n (t) - número estimado de vezes que o processo sai do estado n µ n n n-1 n n+1 P n L n (t) = P n ( n + µ n ) Tempo que está no estado n x Número médio de clientes que chegam ao sistema por unidade de tempo (transições para n +1) + Número médio de clientes que saiem do sistema por unidade de tempo (transições para n -1) 60 MQ-06/07 30

31 Eq. de Equilíbrio para o estado n E n (t) - número esperado de vezes que o processo entra no estado n n-1 n-1 n n+1 P n-1 µ n+1 P n+1 E n (t) = P n 1 n 1 + P n+1 µ n+1 Tempo que está no estado n-1 x Número médio de clientes que chegam ao sistema por unidade de tempo (transições para n) + Tempo que está no estado n+1 x Número médio de clientes que saiem do sistema por unidade de tempo (transições de n +1) 61 Eq. de Equilíbrio para o estado n E n (t) = L n (t) Nº estimado de vezes que processo entra no estado n é igual Nº estimado de vezes que processo sai do estado n E n (t) = P n 1 n 1 + P n+1 µ n+1 L n (t) = P n ( n + µ n ) n-1 n n-1 n n+1 P n-1 P n+1 µ n µ n+1 P n ( n + µ n ) = P n 1 n 1 + P n+1 µ n+1 62 MQ-06/07 31

32 Eq. de Equilíbrio para um processo de nascimento e morte Estado n-1 n E n (t) = L n (t) 0 P 0 = µ 1 P 1 ( 1 + µ 1 ) P 1 = 0 P 0 + µ 2 P 2 ( 2 + µ 2 ) P 2 = 1 P 1 + µ 3 P 3 ( n-1 + µ n-1 ) P n-1 = n-2 P n-2 + µ n P n ( n + µ n ) P n = n-1 P n-1 + µ n+1 P n+1 63 Probabilidades do regime estacionário Estado 0: 1 P1 = 0 P µ 0 1 P 20 P= 1 0 +µ P µ P 1 2 = (µ µ 2 ( 1 P 11 +µ 1 )P 0 P 10 ) P 2 = 1 P µ 2 1 P 2 = 1 0 µ 2 µ 1 P 0 2 n P 31 P= 2 1 +µ P 3 P 3 = ( +µ 2 )P µ (µ µ 3 2 P 2 1 P 1 ) P 3 = 2 P µ 3 2 P 3 = P n = n 1 P µ n n 1 P n = n µ n...µ 2 µ 1 P 0 µ 3 µ 2 µ 1 P 0 C n = n µ n...µ 2 µ 1 para n 1 P n = C n P 0 para n = 0, 1, C n =1 para n = 0 P n =1 64 MQ-06/07 32

33 Probabilidades do regime estacionário C n n µ n K µ 2µ 1 = para n 1 C n =1 para n = 0 P n = C n P 0 P n =1 para n = 1, C n P 0 =1 C n P 0 =1 P 0 = C n 1 65 Determinação de L, L q, W, W q Clientes 1/ Número esperado de clientes no sistema Sistema de Fila de Espera L n, N(t) Mecanismo de Serviço Fila C S 1 Clientes C C C C C C C servidos L q Número esperado de clientes na fila C S 2 S 3 L = E(n) = np n L q = E(n s) = (n s)p n O número de servidores, s, representa o número de clientes que podem ser servidos simultaneamente, i.e., clientes que não estão na fila de espera n=s 66 MQ-06/07 33

34 Determinação de L, L q, W, W q Clientes 1/ Fila C C C C C C L q n, N(t) Mecanismo de Serviço C C C L S 1 S 2 S 3 Clientes servidos W W = E(W) W q W q = E(W q ) W = L W q = L q onde é a média do ritmo de chegada = E( n ) = n P n 67 Condições para o regime estacionário O sistema atinge sempre um regime estacionário: Seexistir um n tal n = 0 Número finito de estados Se n e µ n tiverem o mesmo valor para todo o n, isto é, se e µ estiverem definidos e a taxa de utilização for menor que 1, ou seja ρ = / (s µ) < 1 O sistema não está em sobre utilização O sistema não atinge um regime estacionário se C n = n=1 68 MQ-06/07 34

35 Resultados de séries geométricas (e não só) N+1 1 x = 1 x N x n para x 1 x n = 1 1 x para x <1 x n n! = e x 69 Exemplos Alguns problemas da 7ª edição MQ-06/07 35

36 Dois servidores em regime estacionário (s = 2) Número de clientes no sistema varia entre 0 e 4 P 0 =1/16; P 1 =4/16; P 2 =6/16; P 3 =4/16; P 4 =1/16; Determinar 1. L (número esperado de clientes no sistema). 2. L q (número esperado de clientes na fila). 3. O número esperado de clientes a serem servidos. 4. Para um ritmo médio de chegada de 2 clientes por hora determinar o tempo esperado de espera no sistema (W) e o tempo esperado de espera na fila (W q ). 5. Supondo que os dois servidores têm o mesmo tempo esperado de serviço, determine o seu valor L (número esperado de clientes no sistema). L = 4 n.p n = = 2 2. L q (número esperado de clientes na fila). L q = (n 2).P n = = 8 3 n=2 3. O número esperado de clientes a serem servidos. n = 1 - apenas um cliente está a ser servido n = 2, 3, 4 - estarão dois clientes a serem servidos =1.P (P 2 + P 3 + P 4 ) = ( ) = MQ-06/07 36

37 Para um ritmo médio de chegada de 2 clientes por hora determinar o tempo esperado de espera no sistema (W) e o tempo esperado de espera na fila (W q ). = 2 ritmo médio de chegada de 2 clientes por hora w = L = 2 2 =1 hora w = L q = 3 8 = hora 5. Supondo que os dois servidores têm o mesmo tempo esperado de serviço, determine o seu valor. Tempo esperado serviço = 1 µ = W W q = hora Dois sistemas de fila de espera Q 1, Q 2. 2 = 2 1 ; µ 2 = 2 µ 1 ; L 2 = 2 L 1 Determinar W 2 /W 1 W 2 = L 2 2 W 1 = L 1 1 W 2 W 1 = L 2 2 L 1 1 = L 2 1 L 1 2 = 2 2 =1 74 MQ-06/07 37

38 Modelo G/G/1 Verifique as seguintes relações a) L = L q P 0 L = L q quando não existem clientes no sistema (n = 0) L = L q +1 quando existem ao menos um cliente no sistema (n > 0) L = L q.p 0 + (L q + 1)(1 - P 0 ) = L q P 0 b) L = L q + ρ L = W = (W q +1/µ) = W q + /µ = L q + ρ c) P 0 = 1 - ρ a) = b) L q + ρ = L q P 0 P 0 = 1 - ρ L = W L q = W q W = W q +1/µ Mostrar que L = np n s 1 s 1 + L q + s 1 P n L = np n = np n + np n = np n + (n s)p n + sp n s 1 L = np n + L q + sp n s 1 n=s L = np n + L q + s P n n=s s 1 s 1 L = np n + L q + s 1 P n s 1 n=s s 1 n=s n=s 76 MQ-06/07 38

39 Sistema com dois servidores (s = 2) 1/ = 2 horas; 1/µ = 2 horas para cada servidor; Um cliente chegou ao meio dia Interpretando os dados = 1/2; µ = 1/2; µ n = 1/2 para n = 1; µ n = 2(1/2) = 1 para n = 2; a) Prob de que a próxima chegada seja: i) Antes das 1:00 PM ii) Entre a 1:00 PM e as 2:00 PM iii) Depois das 2:00 PM 77 Distribuição Exponencial com parâmetro α T uma variável aleatória que respresenta o tempos ente chegadas ou os tempos de serviço f T (t) = αe αt para t 0 0 para t < 0 Função densidade P[T t] =1 e αt P[T > t] = e αt para t 0 Probabilidades acumuladas E(T ) = 1 α var(t ) = 1 α 2 Esperança Matemática Variançia 78 MQ-06/07 39

40 Distribuição Exponencial com parâmetro α = 4 f (t ) (para α = 4) t E(T) = 1/α = 1/ P[próxima chegada seja antes da 1:00 PM] = = P[T < t =1] =1 e 1 = P[próxima chegada seja entre a 1:00 PM e as 2:00 PM] = = P[1 < T < 2]= P[T < 2] P[T <1] =1 e = P[próxima chegada seja depois das 2:00 PM] = = P[T > t = 2]= e 2 = MQ-06/07 40

41 b) Prob[próxima chegada entre a 1:00 PM e 2:00 PM sabendo que não chegou nehum cliente até à 1:00PM] Propriedade 2: Sem memória Prob[T entre a 1:00 PM e 2:00 PM T > 1:00 PM] = Prob[T entre a 12:00 PM e 1:00 PM] = c) Prob[ # chegadas entre 1:00 PM e as 2:00 PM = k] i) k = 0; = e 1 2 = ii) k = 1; = 1 2 e 1 2 = iii) k 2; =1 [e e 1 2 ] = P[X(t) = n] = (t)n e t n! Distr. Poisson d) Ambos os servidores estão ocupados à 1:00 PM. Qual a probabilidade de que nenhum dos clientes tenha o serviço completo: i) Antes de 2:00? µ n = 1 para n = 2; = e 1 = ii) Antes da 1:10? P[T > t] = e t = e 1(1/6) = iii) Antes da 1:01? = e 1(1/60) = MQ-06/07 41

42 Sumário Estrutura básica de Modelos de Filas de Espera Distribuição Exponencial Processo de nascimento e morte Modelos de filas de espera baseados no processo de nascimento e morte Modelos com distribuições não exponenciais Modelos com prioridades nas filas 83 Modelos de filas de espera baseados no processo de nascimento e morte A maioria dos modelos elementares de filas de espera assume que as entradas (chegadas de novos clientes) e as saídas (saídas de clientes) do sistema de fila de espera ocorre de acordo com o processo de nascimento e morte. Dizem-se modelos com entradas de Poisson e tempos de serviço exponenciais. Os ritmos de chegada de clientes ( n ) e ritmos de clientes servidos (µ n ) podem ser quaisquer valores não negativos. Os diferentes modelos de filas de espera diferem apenas nas hipóteses de como n e µ n variam em função de n. 84 MQ-06/07 42

43 Modelos M/M/s s = 1 s > 1 M/M/s com fila de espera de dimensão finita k s = 1 s > 1 M/M/s com população de chamada de dimensão finita s = 1 s > 1 Modelos com e/ou µ variando com o valor de n. s = 1 s > 1 85 M/M/s Assume que: Os tempos entre chegadas são independentes e identicamente distribuídos de acordo com uma exponencial Os tempos de serviço são independentes e identicamente distribuídos de acordo com uma exponencial Consequentemente é constante e independente de n; n = para n = 0, 1, 2 µ é constante e independente de n; µ n = µ para n = 1, 2, 86 MQ-06/07 43

44 M/M/s (caso s = 1) n = para n = 0, 1, 2 µ n = µ para n = 1, 2, n-2 n-1 n n+1 µ µ µ µ µ µ Se ρ = /µ < 1 (o ritmo de chegada dos clientes não excede a capacidade de serviço do sistema) e o sistema atinge um regime estacionário. 87 Simplificações no caso M/M/s (s = 1) n = para n = 0, 1, 2 µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 C n = n µ n...µ 2 µ 1 para n 1 C n =1 para n = 0 C n = ( µ ) n = ρ n para n 0 P n = C n P 0 para n = 1, P n = ρ n P 0 para n = 0, 1, P 0 = x n C n = 1 1 x 1 para x <1 P 0 = ρ n 1 1 = 1 ρ 1 P n = (1 ρ)ρ n para n = 0, 1, =1 ρ 88 MQ-06/07 44

45 Simplificações no caso M/M/s (s = 1) n = para n = 0, 1, 2 µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 L = E(n) = L = np n n(1 ρ)ρ n L = (1 ρ) nρ n = (1 ρ)ρ nρ n 1 = (1 ρ)ρ L = (1 ρ)ρ d dρ L = ρ n ρ (1 ρ) = µ (1 µ ) = (µ ) P n = (1 ρ)ρ n para n = 0, 1, d dρ (ρ n ) d 1 = (1 ρ)ρ dρ 1 ρ = (1 ρ)ρ 1 (1 ρ) 2 89 Simplificações no caso M/M/s (s = 1) n = para n = 0, 1, 2 µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 L q = E(n s) = (n s)p n P 0 =1 ρ L = (µ ) n=s L q = (n 1)P n = n.p n P n = L (1 P 0 ) = L ρ L q = n=1 L = P n n=1 n=1 n.p n = 0.P 0 + n.p n = n.p n =1= P 0 + P n (µ ) µ = n=1 n=1 n=1 µ µ 2 µ(µ ) µ(µ ) L q = 2 µ(µ ) 90 MQ-06/07 45

46 M/M/s (s = 1) - Resumo: P n, L, L q n = para n = 0, 1, 2 µ n = µ para n = 1, 2, s= 1 P n = (1 ρ)ρ n para n = 0, 1, P 0 =1 ρ Distribuição de probabilidades ρ = µ <1 L = L q = (µ ) 2 µ(µ ) Número esperado de clientes no sistema Número esperado de clientes na fila < µ 91 M/M/s (s = 1) - Tempo de espera no sistema: W C n + 1 Fila C C C C C C Mecanismo de Serviço C S n Clientes servidos W - quanto tempo tem que esperar sabendo que existem actualmente n clientes no sistema? Tem que esperar que esses n clientes sejam servidos + o seu próprio tempo de serviço Deve esperar n + 1 tempos de serviço exponenciais 92 MQ-06/07 46

47 M/M/s (s = 1) - Tempo de espera no sistema: W W - quanto tempo tem que esperar sabendo que existem actualmente n clientes no sistema? Deve esperar n + 1 tempos de serviço exponenciais Sejam T 1, T 2,, T n+1 n variáveis aleatórias independentes identicamente distribuídas com distribuição exponencial com parâmetro µ, correspondendo aos tempos de serviço. Então a variável aleatória S n+1 = T 1 + T T n+1 representa o tempo de espera dado que já existam n clientes no sistema. S n+1 tem uma distribuição de Erlang A probabilidade de já existirem n clientes no sistema é P n P[W > t] = P n P[S n+1 > t] 93 M/M/s (s = 1) - Tempo de espera no sistema: W P[W > t] = P n P[S n+1 > t] S n+1 é uma distribuição de Erlang com k = n + 1 de exponenciais com parâmetro µ k V.A. independentes e identicamente distribuídas com distribuição exponencial com parâmetro kµ f (t) = (µk)k (k 1)! t k 1 e kµt k n + 1 µ µ/(n + 1) P[S n+1 > t] = P[S n+1 > t] =1 (µ)n+1 t n! t (µ)n+1 0 n! t n e µt dt t n e µt dt k n + 1 k -1 n µk µ 94 MQ-06/07 47

48 M/M/s (s = 1) - Tempo de espera no sistema: W P[W > t] = P n P[S n+1 > t] P[W t] = G(t) e d G(t) = g(t) dt P n = (1 ρ)ρ n P[W > t] =1 G(t) 1 G(t) = (1 ρ)ρ n [1 (µ)n+1 t n e µt dt] 0 n! g(t) = (1 ρ)ρ n (µ) n+1 t n e µt n! g(t) = (1 ρ)µe µt t (t) n n! Derivando em ordem a t ρ = µ = (1 ρ)µe µt e t x n n! = e x 95 M/M/s (s = 1) - Tempo de espera no sistema: W, W g(t) = (1 ρ)µe µt e t g(t) = (1 ρ)µe ( µ)t = µ(1 ρ)e µ(1 ρ)t P[W > t] =1 G(t) t P[W > t] =1 µ(1 ρ)e µ(1 ρ)t = e µ(1 ρ)t 0 P[W > t] = e µ(1 ρ)t para t 0 Distribuição Exponencial com parâmetro µ(1 - ρ) W = E(W) = 1/µ(1 - ρ) = 1/(µ - ) 96 MQ-06/07 48

49 M/M/s (s = 1) - Tempo de espera na fila: W q, W q W q - Tempo de espera na fila n = 0 P(W q = 0) = P 0 = 1 - ρ n > 0 P[W q > t] = P n P[S n > t] n=1 P[W q > t] = (1 ρ)ρ n P[S n > t] n=1 P n = (1 ρ)ρ n n = m +1; m = n 1 P[W q > t] = (1 ρ)ρ m+1 P[S m+1 > t] = ρ P m P[S m+1 > t] m=0 m=0 P[W q > t] = ρp[w > t] = ρe µ(1 ρ)t Não é exactamente uma exponencial, pois P[W q = 0] > 0 97 M/M/s (s = 1) - Tempo de espera na fila: W q, W q W q - Tempo de espera na fila n = 0 P[W q = 0] = P 0 = 1 - ρ n > 0 P[W q > t] = ρp[w > t] = ρe µ(1 ρ)t W = E(W q ) = /µ(1 - ρ) = /µ(µ - ) P[W q > t W q > 0]= P[W q > t] P[W q > 0] = e µ(1 ρ)t P[W q > 0] = 1 - P[W q = 0] = ρ 98 MQ-06/07 49

50 M/M/s (s = 1) - Resumo n = para n = 0, 1, 2 µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 < µ P n = (1 ρ)ρ n para n = 0, 1, P 0 =1 ρ Distribuição de probabilidades L = (µ ) L q = 2 µ(µ ) Número esperado de clientes no sistema e na fila P[W > t] = e µ(1 ρ)t para t 0 W = E(W) = 1/(µ - ) P[W q > t] = ρe µ(1 ρ)t para t 0 W q = E(W q ) = /µ(µ - ) 99 M/M/s (s = 1) - Resumo - comentado n = para n = 0, 1, 2 µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 < µ P n = (1 ρ)ρ n para n = 0, 1, P 0 =1 ρ Distribuição de probabilidades L = (µ ) L q = 2 µ(µ ) Número esperado de clientes no sistema e na fila W = L W = E(W) = 1/(µ - ) W q = W 1 µ W q = L q W q = E(W q ) = /µ(µ - ) 100 MQ-06/07 50

51 M/M/s (s = 1) - Gráfico: L, L q L = (µ ) L q = 2 µ(µ ) 1 L L q L q = L (1 P 0 ) ρ 101 M/M/s (s = 1) - Gráfico: P 0, P 1, P 0 P P P ρ 102 MQ-06/07 51

52 M/M/s (s = 1) - Gráfico: P n 1 ρ = ρ = n n ρ = ρ = n n 103 M/M/s (caso s > 1) RESUMO n = para n = 0, 1, 2 µ n = nµ para n = 1, 2,, s µ n = sµ para n = s, s + 1, s-2 s-1 s s+1 µ 2µ 3µ (s-1)µ sµ sµ Se ρ = /(sµ) < 1 (o ritmo de chegada dos clientes não excede a capacidade de serviço do sistema) e o sistema atinge um regime estacionário. 104 MQ-06/07 52

53 Simplificações no caso M/M/s (s > 1): C n n = para n = 0, 1, 2 µ n = nµ para n s; µ n = sµ para n > s C n = n µ n...µ 2 µ 1 para n 1 C n =1 para n = 0 C n = 1 n! () n para n =1,2,...,s µ 1 s! () s µ sµ () (n s) = () n µ para n = s,s +1,... (n s) s!s 105 Simplificações no caso M/M/s (s > 1): P 0 n = para n = 0, 1, 2 µ n = nµ para n s; µ n = sµ para n > s 1 1 n! ( µ ) n para n =1,2,...,s P 0 = C n C n = 1 s! () s µ () (n s) () n µ sµ = para n = s,s +1,... (n s) s!s s 1 P 0 = 1 n! () n µ + 1 s! µ n=s () s sµ () (n s) 1 s 1 = 1 n! µ () n + 1 s! () s µ sµ m=0 () m 1 m = n - s 106 MQ-06/07 53

54 Simplificações no caso M/M/s (s > 1): P 0 n = para n = 0, 1, 2 s 1 P 0 = 1 n! () n µ + s! 1 () s µ sµ m=0 µ n = nµ para n s; µ n = sµ para n > s () m 1 x n = 1 1 x ρ = /(sµ) < 1 para x <1 s 1 P 0 = 1 n! () n µ + s! 1 1 /(sµ) () s 1 µ Simplificações no caso M/M/s (s > 1): P n n = para n = 0, 1, 2 P n = C n P 0 para n = 1, C n = µ n = nµ para n s; µ n = sµ para n > s 1 n! ( µ ) n para n =1,2,...,s 1 s! () s µ sµ () (n s) = () n µ para n = s,s +1,... (n s) s!s () n P 0 0 n s 1 n! µ P n = () n µ s!s P (n s) 0 n s 108 MQ-06/07 54

55 Simplificações no caso M/M/s (s > 1): L q n = para n = 0, 1, 2 L q = E(n s) = L q = jp s+ j j=0 = j j=0 (n s)p n n=s ( /µ)s s! ρ j P 0 jρ j s! j=0 ( /µ) = P s 0 = P 0 ( /µ) s s! ρ d dρ = P 0 ( /µ) s µ n = nµ para n s; µ n = sµ para n s j = n s; n = s + j P s+ j = ρ d s! j=0 1 ( /µ) ( 1 ρ) = P s ρ 0 s!(1 ρ) 2 dρ (ρ j ) ( µ ) s+ j P s!s j 0 = ( µ ) s s! = P 0 ( /µ) s s! ρ d dρ P n = ( µ ) j P s j 0 = ρ j j=0 () n µ s!s P (n s) 0 () s µ s! () j P sµ M/M/s (s > 1) - Resumo: P 0, P n, L q, L, W q, W n = para n = 0, 1, 2 s 1 P 0 = 1 n! () n µ + s! 1 L q = P 0 ( /µ) s s!(1 ρ) 2 () s 1 µ µ n = nµ para n s; µ n = sµ para n > s 1 /(sµ) 1 ( ) n P 0 0 n s 1 n! µ P n = () n µ s!s P (n s) 0 n s W q = L q L = W = (W q + 1 µ ) = L q + µ W = W q + 1 µ 110 MQ-06/07 55

56 M/M/s (s > 1) - Resumo: P 0, P n, L q, L, W q, W n = para n = 0, 1, 2 µ n = nµ para n s; µ n = sµ para n > s P[W > t] = e µt 1+ P 0 ( /µ) s µt(s 1 /µ) 1 e s!(1 ρ) s 1 /µ P[W q > t] = (1 P[W q = 0])e sµ(1 ρ)t P[W q = 0]= s 1 P n 111 M/M/s (s > 1) - L 112 MQ-06/07 56

57 M/M/s (s > 1) - P Um exemplo M/M/s - Hospital Ritmo médio de chegada: 1 paciente cada 1/2 hora Cada médico precisa em média de 20 minutos para tratar cada paciente Considerando uma hora como a unidade de tempo: 1 = 1 2 hora = 2 clientes por hora 1 µ = 1 3 hora µ = 3 clientes por hora Vamos considerar dois cenários: S = 1 S = MQ-06/07 57

58 Um exemplo M/M/s - Hospital P n (n 2) L q W P[W q > 0] P[W q > 1/2] P[W q > 1] P[W q > t] P[W > t] s = 1 (1/3)(2/3) n L 2 3/4 W q 2/3 h = 40 m 1/24 h = 2.5 m 4/3 1 h (2/3)e -t e -t s = 2 ρ 2/3 = /3 = P 0 1/3 1/2 P 1 2/9 1/3 (1/3)n 1/12 3/8 h = 22.5 m (1/6)e -4t (1/2)e -3t (3 - e -t ) 115 Um exemplo M/M/s - Hospital - P n P n s = 1 s = n 116 MQ-06/07 58

59 Um exemplo M/M/s - Hospital - P[W q > t] P[W q >t] s = 1 s = t 117 Modelos M/M/s s = 1 s > 1 M/M/s com fila de espera de dimensão finita k s = 1 s > 1 M/M/s com população de chamada de dimensão finita s = 1 s > 1 Modelos com e/ou µ variando com o valor de n. s = 1 s > MQ-06/07 59

60 M/M/s/K Assume que num modelo M/M/s A fila de espera é finita. O número de clientes no sistema não pode ultrapassar um valor K, ou seja a capacidade da fila é K - s. Quando um cliente chega ao sistema e a fila está cheia, abandona o sistema. Os tempos entre chegadas são independentes e identicamente distribuídos de acordo com uma exponencial Os tempos de serviço são independentes e identicamente distribuídos de acordo com uma exponencial 119 M/M/s/K A única modificação é: n = para n = 0,1,...,K 1 0 para n K Porque n = 0 para alguns valores de n, este modelo pode convergir para um regime estacionário, mesmo quando ρ = sµ MQ-06/07 60

61 M/M/s/K - Interpretação Este modelo pode traduzir situações Sala de espera de dimensão limitada: Clientes desistem quando chegam ao sistema e este tem K clientes no sistema, ou seja se estão na fila K - s clientes. Este modelo M/M/s/K tende para M/M/s quando K tende para infinito. 121 M/M/s/K (caso s = 1) RESUMO n = para n = 0, 1,, K - 1 µ n = µ para n = 1, 2,, K K-2 K-1 K µ µ µ µ µ ρ = /µ. para n = 0,1,...,K 1 n = 0 para n K 122 MQ-06/07 61

62 Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): C n, P 0 n = para n = 0, 1, 2, K µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 C n = n µ n...µ 2 µ 1 para n 1 C n =1 para n = 0 C n = ( µ ) n = ρ n C n = 0 para n = 0,, K para n K P 0 = C n 1 K P 0 = ρ n 1 = 1 ρk+1 1 ρ 1 = 1 ρ 1 ρ K+1 ρ 1 N+1 1 x = 1 x N x n para x 1 Se ρ = 1 C n = 1 Se ρ = 1 P 0 = 1/(K+1) 123 Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): P n n = para n = 0, 1,, K µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 P n = C n P 0 P 0 = 1 ρ 1 ρ K+1 para n = 1, P n = 1 ρ 1 ρ ρ n K+1 para n = 0, 1,, K C n = () µ n = ρ n C n = 0 para n = 0,, K para n K Se ρ = 1 P n = 1/(K+1) 124 MQ-06/07 62

63 Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): L n = para n = 0, 1,, K µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 L = E(n) = L = np n K n 1 ρ 1 ρ K+1 ρ n P n = 1 ρ 1 ρ ρ n K+1 L = 1 ρ 1 ρ ρ K n 1 nρ K+1 = 1 ρ 1 ρ ρ K d K+1 dρ (ρ n ) = 1 ρ 1 ρ ρ d K K+1 dρ L = 1 ρ 1 ρ ρ d 1 ρ K+1 K+1 = 1 ρ dρ 1 ρ 1 ρ ρ d 1 ρ K+1 K+1 dρ 1 ρ L = 1 ρ 1 ρ ρ d 1 ρ K+1 K+1 dρ 1 ρ para n = 0, 1,, K ρ n 125 Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): L = 1 ρ 1 ρ ρ d 1 ρ K+1 K+1 dρ 1 ρ = 1 ρ (K +1)ρK ρ K+1 1 ρ (1 ρ) (1 ρk+1 )( 1) (1 ρ) 2 = 1 ρ 1 ρ ρ (K +1)ρK (1 ρ)+(1 ρ K+1 ) K+1 (1 ρ) 2 = ρ (K +1)ρK (1 ρ)+(1 ρ K+1 ) (1 ρ K+1 )(1 ρ) d f (x) = f ' (x) dx g(x) g(x) f (x).g' (x) g(x) 2 = ρ (K +1)ρK +(K +1)ρ K+1 +1 ρ K+1 (1 ρ K+1 )(1 ρ) = ρ (K +1)ρK + Kρ K+1 +1 (1 ρ K+1 )(1 ρ) = ρ 1 ρ (K +1)ρK+1 1 ρ K MQ-06/07 63

64 Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): L ρ (K +1)ρK + Kρ K+1 +1 (1 ρ K+1 )(1 ρ) = ρ (K +1)ρK+1 1 ρ 1 ρ K+1 = ρ (K +1)ρK+1 = ρ(1 ρk+1 ) (K +1)ρ K+1 (1 ρ) 1 ρ 1 ρ K+1 (1 ρ K+1 )(1 ρ) = ρ(1 ρk+1 ) (K +1)ρ K+1 + ρ(k +1)ρ K+1 (1 ρ K+1 )(1 ρ) = ρ 1 ρk+1 (K +1)ρ K +(K +1)ρ K+1 (1 ρ K+1 )(1 ρ) = ρ (K +1)ρK + Kρ K+1 +1 (1 ρ K+1 )(1 ρ) 127 Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): L n = para n = 0, 1,, K µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 L = E(n) = L = np n K n 1 ρ 1 ρ K+1 ρ n P n = 1 ρ 1 ρ ρ n K+1 L = 1 ρ 1 ρ ρ K n 1 nρ K+1 = 1 ρ 1 ρ ρ K d K+1 dρ (ρ n ) = 1 ρ 1 ρ ρ d K K+1 dρ L = 1 ρ 1 ρ ρ d 1 ρ K+1 K+1 = 1 ρ dρ 1 ρ 1 ρ ρ d 1 ρ K+1 K+1 dρ 1 ρ L = 1 ρ 1 ρ ρ d 1 ρ K+1 K+1 dρ 1 ρ = ρ (K +1)ρK+1 1 ρ 1 ρ K+1 para n = 0, 1,, K ρ n 128 MQ-06/07 64

65 Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): L 100 L (M/M/1) 10 L (M/M/1/K=50) L (M/M/1/K=10) L = ρ 1 ρ M/M/1 L = ρ (K +1)ρK+1 1 ρ 1 ρ K+1 M/M/1/K 129 Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): L q n = para n = 0, 1,, K µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 L q = L (1 P 0 ) quando s =1 L q = ρ (K +1)ρK+1 1 ρ 1 ρ K+1 L q = ρ (K +1)ρK+1 1 ρ 1 ρ K+1 (1 1 ρ 1 ρ K+1) ρ ρk+1 1 ρ K+1 L = ρ (K +1)ρK+1 1 ρ 1 ρ K+1 P 0 = 1 ρ 1 ρ K+1 L q = ρ 1 ρ (K + 2)ρK+1 ρ 1 ρ K MQ-06/07 65

66 Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1): W, W q n = para n = 0, 1,, K µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 W = L = n P n = P n K 1 W q = L q P n = 1 ρ 1 ρ ρ n K+1 para n = 0, 1,, K K 1 P n = = (1 P K ) 131 Simplificações no caso M/M/s/K (s = 1):Resumo n = para n = 0, 1,, K µ n = µ para n = 1, 2, s = 1 P n = 1 ρ 1 ρ ρ n K+1 para n = 0, 1,, K L = ρ (K +1)ρK+1 L 1 ρ 1 ρ K+1 q = ρ 1 ρ (K + 2)ρK+1 ρ 1 ρ K+1 W = L W q = L q = (1 P K ) 132 MQ-06/07 66

67 M/M/s/K (caso s > 1) RESUMO n = para n = 0, 1,, K - 1 Assuminos que s < K s-1 s s+1 K-2 K-1 K µ 2µ 3µ sµ sµ sµ sµ n = para n = 0,1,...,K 1 0 para n K nµ para n = 0,...,s µ n = sµ para s n K 133 M/M/s/K (caso s > 1): C n C n = n µ n...µ 2 µ 1 para n 1 C n =1 para n = 0 n = para n = 0,1,...,K 1 0 para n K nµ para n = 0,...,s µ n = sµ para s n K ( /µ) n 0 n s n! ( /µ) s n s C n = s n K s! sµ 0 n > K 134 MQ-06/07 67

68 M/M/s/K (caso s > 1): P n, P 0 P n = C n P 0 K P 0 = C n para n = 1, 1 ( /µ) n P 0 0 n s n! ( /µ) n P n = P s!s n s 0 s n K 0 n > K s ( /µ) n P 0 = n! ( /µ)s + s! K n=s+1 sµ n s M/M/s/K (caso s > 1): L q L q = E(n s) = L q = (n s)p n n=s K ( /µ)s (n s) s! n=s = P 0( /µ) s s! sµ n s P 0 K (n s) sµ n=s n s = P 0( /µ) s s! ( /µ)s P n = s! sµ ( sµ ) K (n s) sµ n=s n s n s 1 P 0 s n K = P 0( /µ) s s! = P 0( /µ) s s! ( sµ K s ρ j=0 K s j 1 ) jρ j=0 d dρ (ρ j ) j = n s; n = s j = 0;n = K j = K s = P 0( /µ) s ρ d s! dρ K s ρ j j=0 ρ MQ-06/07 68

69 M/M/s/K (caso s > 1): L q L q = E(n s) = L q = P 0( /µ) s s! (n s)p n n=s ρ d K s dρ j=0 ρ j ( /µ)s P n = s! sµ n s P 0 s n K = P 0( /µ) s ρ d 1 ρ k s+1 s! dρ 1 ρ = P 0( /µ) s ρ 1 ρk s (k s)ρ K s (1 ρ) s! (1 ρ) 2 L q = P 0( /µ) s s!(1 ρ) ρ ( 1 2 ρk s (k s)ρ K s (1 ρ) ) 137 M/M/s/K (caso s > 1): L L = E(n) = L = L = s 1 np n np n + np n s 1 s s 1 np n + L q + s 1 P n n=s = np n + (n s)p n + sp n n=s n=s s 1 s 1 s 1 = np n + L q + sp n = np n + L q + s 1 P n n=s 138 MQ-06/07 69

70 M/M/s/K (caso s > 1): W, W q W = L = n P n = P n K 1 W q = L q ( /µ)s P n = s! sµ n s P 0 s n K K 1 P n = = (1 P K ) 139 M/M/s/K (caso s > 1): Resumo ( /µ) n P 0 0 n s n! ( /µ) n P n = P s!s n s 0 s n K 0 n > K s ( /µ) n P 0 = n! ( /µ)s + s! s ( ) L = np n L q = P 0( /µ) s s!(1 ρ) 2 ρ 1 ρk s (k s)ρ K s (1 ρ) K n=s+1 sµ n s 1 s 1 + L q + s 1 P n W = L W q = L q = (1 P K ) 140 MQ-06/07 70

71 Um exemplo Uma companhia de telefones com 3 linhas. s = 3 As chamadas chegam de acordo com uma distribuição de poisson com um ritmo de 6 por hora = 6 A duração de cada chamada tem uma distribuição exponencial com uma duração média de 15 minutos 1/µ = 15 m = 0.25 h µ = 4 Se todas as linhas estiverem ocupadas as chamadas são colocadas em espera até uma linha fique livre K = 141 Um exemplo P 3 L q W P[W > 0] P[W q > 0] P[W > 0.1] (6 min) P[W q > 1] (6 min) s = 3, K = ρ 6/(3. 4) = 0.5 P 0 P P L 1.74 W q 0.03 h= 2.37 m 0.29 h = 17.4 m P n n 142 MQ-06/07 71

72 Um exemplo Qual a probabilidade de uma chamada ser imediatamente atendida? P[chamada imediatamente atendida] =1 - P[W q > 0] = P[chamada imediatamente atendida] = = P[pelo menos um servidor livre] = = P 0 + P 1 + P 2 = = Um exemplo Determinar a distribuição de probabilidades do número de chamadas em espera P[n chamadas em espera] = P n P 0 = P 0 + P 1 + P 2 + P 3 = P n = P n + 3 (n 1) chamadas em espera 144 MQ-06/07 72

73 Um exemplo Se as chamadas se perderem (não ficam em espera) quando todas as linhas estão ocupadas, determinar a probabiliade de perder uma chamada. Modelo M/M/s/K com s = 3 e K = 3 Sistema de espera sem fila Sistema de perdas de Erlang 145 Um exemplo ρ 6/(3. 4) = 0.5 P 0 P P P 3 L q W s = 3, K = L 1.74 W q 0.03 h= 2.37 m 0.29 h = 17.4 m s = 3, K = 3 6/(3. 4) = h = 15 m MQ-06/07 73

74 Um exemplo Se as chamadas se perderem (não ficam em espera) quando todas as linhas estão ocupadas, determinar a probabiliade de perder uma chamada. P[perder uma chamadas] = P[3 servidores ocupados] = P 3 = Modelos M/M/s s = 1 s > 1 M/M/s com fila de espera de dimensão finita k s = 1 s > 1 M/M/s com população de chamada de dimensão finita s = 1 s > 1 Modelos com e/ou µ variando com o valor de n. s = 1 s > MQ-06/07 74

75 M/M/s com população de chamada finita Assume que num modelo M/M/s A população de chamada é finita, de dimensão N O número de clientes no sistema n só pode tomar os valores 1, 2,, N. Quando existem n clientes no sistema então só existem n - N clientes potenciais que permanecem na fonte de entrada. Exemplo O problema de um serviço de manutenção (com um ou mais técnicos) que tem a responsabilidade de reparar máquinas que avariam de um conjunto de N máquinas. 149 M/M/s com população de chamada finita Cada cliente ou está dentro do sistema ou está fora do sistema. Assume-se que cada cliente o tempo que está fora do sistema (i.e., o intervalo de tempo entre a saída e a próxima entrada do mesmo cliente) segue uma distribuição exponencial com um parâmetro. n Sistema de fila de espera N - n A distribuição de probabilidade do tempo que falta até à próxima chegada ao sistema é o mínimo das distribuições do tempo que falta dos N - n potenciais clientes (fora do sistema) Propriedades 2 e 3 da Exponencial n = (N - n) P2: Falta de Memória P3: Mínimo de várias exponenciais 150 MQ-06/07 75

76 M/M/s com população de chamada finita P2: Falta de Memória A distribuição de probabilidades do restante tempo até ao próximo evento (chegada de um novo cliente) é a mesma independentemente de há quanto tempo ocorreu o último evento (chegada do último cliente); O tempo até a próxima chegada é independente de quando aconteceu a última chegada P3: Mínimo de várias exponenciais Sejam T 1, T 2,, T n variáveis aleatórias independentes com distribuições exponenciais de parâmetros α 1, α 2,, α n. Se T i representa o instante em que ocorre um destes eventos, então U representa o instante em que o primeiro dos n eventos ocorre. Seja U uma V.A, U = min{t 1, T 2,, T n }. U tém uma distribuição exponencial com parâmetro α U n α i i=1 α U = 151 M/M/s com população de chamada finita A única modificação é: (N n) para n = 0,1,...,N n = 0 para n N Porque n = 0 para alguns valores de n, este modelo pode convergir para um regime estacionário, mesmo quando ρ = sµ MQ-06/07 76

77 M/M/s com população de chamada finita (caso s = 1) n = (N - n) para n = 0, 1,, N µ n = µ para n = 1, 2, N (N-1) (N-2) (N-n+2) (N-n+1) n-2 n-1 n N-1 N µ µ µ µ µ µ (N n) para n = 0,1,...,N n = 0 para n N 153 M/M/s - população de chamada finita (s = 1) : C n C n = n µ n...µ 2 µ 1 para n 1 C n =1 para n = 0 (N n) para n = 0,1,...,N n = 0 para n N para n = 0,, N C n = (N n +1)...(N 1)N µ N! C n = (N n)! µ n n para n N C n = MQ-06/07 77

78 M/M/s - população de chamada finita (s = 1) : P 0,P n P 0 = C n 1 P n = C n P 0 N! C n = (N n)! µ n n N N! P 0 = (N n)! µ 1 N! P n = (N n)! µ n P 0 para n = 1, 2,, N 155 M/M/s - população de chamada finita (s = 1) : L q, L L q = E(n s) = N (n s)p n n=s L q = (n 1)P n n=1 L q = N +µ (1 P 0) L = E(n) = L = np n N np n = np n P n + P n = np n = (n 1)P n +(1 P 0 ) N n=1 N n=1 N n=1 K K n=1 = L q +(1 P 0 ) L = N µ (1 P 0 ) = N +µ (1 P 0 ) +(1 P 0 ) 156 MQ-06/07 78

79 M/M/s - população de chamada finita (s = 1) : W q, W W = L = n P n = (N n)p n N N = N P n np n N W q = L q = N L = (N L) = (N L) W = L (N L) W q = L q (N L) 157 População de chamada finita (s = 1) : Resumo (N n) para n = 0,1,...,N n = 0 para n N n N N! P 0 = (N n)! µ n N! P n = P 0 (N n)! µ L = N µ (1 P 0 ) 1 para n = 1, 2,, N L q = N +µ (1 P 0) W = L (N L) W q = L q (N L) = (N L) 158 MQ-06/07 79

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