TTT-PLOT E TESTE DE HIPÓTESES BOOTSTRAP PARA O MODELO BI-WEIBULL. Cleber Giugioli Carrasco 1 ; Francisco Louzada-Neto 2 RESUMO

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1 TTT-PLOT E TESTE DE HIPÓTESES BOOTSTRAP PARA O MODELO BI-WEIBULL Cleber Giugioli Carrasco ; Francisco Louzada-Neto Curso de Matemática, Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas, UEG. Departamento de Estatística, Universidade Federal de São Carlos, UFSCar. RESUMO O modelo poly-weibul pode ser utilizado para modelar dados de riscos competitivos latentes e, em particular quando os dados apresentam funções de risco em forma de U. Procedimentos de verificação gráfica e testes de hipóteses via técnica bootstrap são considerados como alternativa aos procedimentos usuais baseados na teoria assintótica. Exemplos numéricos ilustram a metodologia adotada. Palavras-chave: Bootstrap, função de risco, modelo bi-weibull, teste de hipóteses, TTT plot. Introdução O modelo poly-weibull surge no cenário de riscos competitivos latentes quando os riscos têm distribuição Weibull independente e, não temos informação sobre qual foi à causa responsável pela falha ou morte do indivíduo. Outra vantagem de utilizar este modelo com relação aos modelos mais simples é, que ele pode acomodar não somente funções de risco constantes, crescentes e decrescentes, mas também funções de risco em forma de U. Neste trabalho apresentamos o modelo poly-weibull e algumas de suas propriedades, apontando as motivações para o seu uso no contexto de dados de riscos competitivos latentes e, propomos uma metodologia para construção de testes de hipóteses baseada na técnica bootstrap, que se apresenta como uma alternativa aos procedimentos usuais de inferência via teoria assintótica. Uma técnica de verificação gráfica para auste do modelo conhecida com TTT-plot é apresentada e exemplos numéricos ilustram a metodologia adotada.

2 Material e Métodos Assumindo que um indivíduo está sueito a m ( ) causas de falhas diferentes e, que o tempo de vida x relacionado com a -ésima causa de falha são independentes e que somente o tempo mínimo entre os vários riscos, t i = min(x,...,x m ) é observado para cada indivíduo, o qual tem uma distribuição poly-weibull (Davison & Louzada-Neto, 000), então a função de risco é dada por, h( t) = m = h m ( t) = = β β t β µ, t > 0 onde µ β 0 são parâmetros associados com a -ésima causa de falha. Neste trabalho vamos, > considerar apenas dois riscos diferentes (m = ), para facilitar os cálculos futuros. Dessa maneira, a função de risco passa assumir a seguinte forma, h ( t ) β β t β t + β β µ µ () β =. () O modelo bi-weibull (), pode acomodar diferentes formas de funções de risco, em particular funções de risco em forma de U, sendo essa uma outra motivação para sua formulação. A Figura apresenta algumas formas dessas funções de risco para o modelo (), a forma dessas funções de risco depende dos valores conuntos dos parâmetros de forma, β e β. Se β = β = o risco é constante, se min( β,β ) > o risco é crescente, se max( β,β ) < o risco é decrescente e, se β < e β > o risco é em forma de U. Função de risco Tempo Figura : Função de risco para o modelo bi-weibull (). Para as curvas µ =.0, µ =.0: ( ) =. 0 β e =. 0 β, (...) 5 β = 0. e = 0. 9 β, (- - -). 5 β e = 5. 0 = β, ( ) 5 β = 0. e β = 8. 0.

3 Um método simples para detectar qual modelo é mais adequado para a análise dos dados consiste em uma técnica gráfica conhecida com TTT plot (tempo total em teste), que é muito útil em contexto onde que há informações qualitativas sobre a curva de risco. Este gráfico é construído a partir das quantidades, r n G ( r / n) = Ti :n +( n r) Tr:n / Ti:n versus r / n, (3) i= i= onde r =,...,n e T i:n, i =,...,n, são estatísticas de ordem da amostra (Mudholkar, Srivastava, Kollia, 996). A Figura apresenta algumas curvas TTT. Uma reta diagonal (A) como resultado do TTT plot indica uma função de risco constante, enquanto que se a curva obtida for convexa (B) ou côncava (C), para um risco decrescente ou crescente respectivamente, nestes casos um candidato ao auste desses dados é o modelo Weibull simples. Agora, se primeiramente a função é convexa e depois se torna côncava (D), a função de risco tem forma de U, então o modelo mais apropriado para o auste desses dados é o modelo bi-weibull. G(r/n) r/n Figura : TTT plot para o modelo bi-weibull (). Para os parâmetros do modelo fixados em µ =.0, µ =.0: (A) ( ) β =. 0 e β =. 0, (B) (- - -) β = 0. 5 e β = 0. 9, (C) (...) β =. 5 e β = 5. 0, (D) ( ) β = 0. 5 e β = Apesar de existirem técnicas gráficas para verificação do auste do modelo a ser utilizado para um conunto de dados, essas técnicas, porém, podem não ser tão precisa quanto um teste estatístico. Desta maneira surge a necessidade da aplicação de testes estatísticos. Considere uma situação onde existe interesse na verificação de um modelo mais complexo do

4 que um modelo weibull simples, dessa forma devemos testar, por exemplo, o modelo weibull simples contra o modelo bi-weibull. Uma possível formulação para as hipóteses do teste é respectivamente, H 0 : Weibull simples e H : bi-weibull. Uma possibilidade para testarmos H 0 versus H é a utilização da estatística de razão de verossimilhanças (ERV) dada por, que sob a teoria assintótica tem uma distribuição ( ) w = l simples l bi, (4) χ. Valores grandes de w indicam reeição da hipótese nula, ou sea, se w > χ o, α modelo bi-weibull austa melhor os dados, caso contrário o modelo mais adequado é o weibull simples. A utilização da ERV (4) é direcionada pelo tamanho da amostra que deve ser suficientemente grande para podermos utilizar a teoria assintótica. Entretanto em análise de sobrevivência e confiabilidade podemos ter amostras pequenas e moderadas, desta forma técnicas de reamostragens podem ser uma atraente alternativa para obtenção da distribuição empírica da ERV (Carrasco, 00). Através da técnica bootstrap paramétrica e/ou nãoparamétrica (Davison & Hinkley, 997), podemos construir novas amostras, e para cada amostra bootstrap calcular w, e no final de R reamostragens ordenar as ERV w < <,... w R determinando a localização da ERV w 0 calculada da amostra original, obtendo o p-valor empírico que é dado por (Cribari-Neto, 000) onde ( ) p R ( w w ) ψ r 0 = r= R, (5) ψ é uma função indicadora que vale quando w r w 0 e 0 caso contrário. Escolha R tal que α ( R+) sea um número inteiro positivo. A reeição da hipótese nula é obtida se adequado para austar os dados, caso contrário aceitamos a hipótese nula. p α, isto é, o modelo bi-weibull é mais Se as reamostras são obtidas através da reposição dos elementos da amostra original temos o bootstrap não-paramétrico. Se estas forem geradas através do modelo () austado com os valores dos parâmetros fixados nos EMV obtidos na amostra original temos o bootstrap paramétrico. Maiores detalhes sobre a técnica bootstrap podem ser obtidos em Davison & Hinkley (997).

5 Resultados e Discussão Nesta seção aplicamos a metodologia adotada nas seções anteriores a dois exemplos gerados com tamanho amostrais iguais a 80, considerando o modelo (). No primeiro exemplo os parâmetros do modelo foram fixados em µ =, µ =, β = 0. 5 e β = 8, enquanto que no segundo exemplo os parâmetros foram fixados em µ =, µ =, β = 0. 5 e β =. A Figura 3 apresenta o TTT plot dos exemplos acima, onde o primeiro exemplo representa uma situação onde provavelmente o modelo bi-weibull é adequado para o auste desses dados enquanto, para o segundo exemplo um modelo de Weibull simples parece ser suficiente para o auste. G(r/n) Figura 3: TTT plot: ( ) Exemplo e ( ) Exemplo. r/n Para confirmar as indicativas gráficas foram feitos testes estatísticos baseados em reamostragens descritos na seção 4. O log da função de verossimilhança para os modelos Weibull simples e bi-weibull para o exemplo foram respectivamente iguais a e Dessa forma a ERV w 0 para testar estes modelos é igual a , com um p-valor empírico bootstrap paramétrico e não-paramétrico iguais a 0.07 e 0.09 respectivamente, isto é, reeitamos a hipótese nula com α = 0. 05, ou sea o modelo bi-weibull austa melhor os dados, o quem vem confirmar a técnica gráfica apresentada. Para os dados do exemplo a ERV para testar o modelo Weibull simples contra o modelo bi-weibull é menor do que 0.0, com um p-valor empírico bootstrap paramétrico e não-paramétrico iguais a 0.60 e respectivamente, isto é, com α = aceitamos a

6 hipótese nula, ou sea, o modelo Weibull simples é mais adequado para o auste, o que também vem confirmar a técnica gráfica apresentada. Conclusões O modelo poly-weibull pode ser utilizado para auste de dados de riscos competitivos latentes e, em particular a dados com função de risco em forma de U. Entretanto, cuidado é necessário nos procedimentos de construção de testes de hipóteses, pricipalmente para amostras pequenas e moderadas. Neste caso, podemos utilizar a técnica de reamostragem bootstrap paramétrico e não-paramétrico na obtenção das distribuições empíricas das estatísticas de testes. A metodologia proposta neste trabalho foi aplicada a dois exemplos de dados simulados. Pode-se verificar que o modelo bi-weibull se austa ao conunto de dados do primeiro exemplo e, que o modelo weibull simples se austa ao segundo conunto de dados. Isto é verificado através da técnica gráfica apresentada e testes de hipóteses via técnica boostrap que foram aplicados a estes exemplos. Referências Bibliográficas. CARRASCO, C.G. Comparação dos procedimentos para construção de intervalos de confiança para os parâmetros do modelo poly-log-logístico p. Dissertação (Mestrado em Estatística) Universidade Federal de São Carlos UFSCar, São Carlos, 00.. CRIBARI-NETO, F. Bootstrap and applications. In: Workshop 000 Métodos Computacionais em Estatística, São Carlos-SP, p.4-4, DAVISON, A.C., HINKLEY, D.V. Bootstrap Methods and their Application. Cambridge: Cambridge University Press, p. 4. DAVISON, A.C., LOUZADA-NETO, F, Inference for the poly-weibull model. Journal ad the Royal Statistical Society D, v.49, p , MUDHOLKAR, G.S., SRIVASTAVA, D.k. and KOLLIA, G.D. A Generalization of the Weibull Distribution with Application to the Analysis of Survival Data. Journal of the American Statistical Association, v.9, p , 996.