Supletivo Tropical - Matemática MATEMÁTICA. Caderno do Estudante. Ensino Médio

Transcrição

1 MATEMÁTICA Caderno do Estudante Ensino Médio 1

2 Roteiro de Estudos Ensino Médio Dados do Aluno Nome: Matrícula: Celular: Grade Currícular Área de Conhecimento Matérias Português Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Literatura Inglês Matemática e suas Tecnologias Matemática Geografia Ciências Humanas e suas Tecnologias História Sociologia filosofia Biologia Ciências da Natureza e suas Tecnologias Química Física 2

3 Introdução Este material foi desenvolvido por nossa equipe de professores com a finalidade de ajudá-lo a preparar-se para a avaliação necessária à obtenção do certificado de conclusão do Ensino Médio na modalidade à distância - denominado EAD e terá avaliação do aprendizado por prova composta das matérias que contemplam as 04 áreas do conhecimento, definidas na Base Nacional Comum curricular - BNCC. São elas: 1. Linguagens, Códigos e suas Tecnologias 2. Matemática e suas Tecnologias 3. Ciências Humanas e suas Tecnologias 4. Ciências da Natureza e suas Tecnologias A apostila contém os assuntos necessárias para sua preparação para as provas presenciais, exigidas pelo MEC de acordo com a Lei 9394/96 - LDB - Lei de Diretrizes e Bases da educação Nacional, que tem como objetivo principal verificar se você é capaz de usar os conhecimentos em situações reais da sua vida em sociedade. Você poderá, ainda, complementar seus estudos com outros materiais didáticos, como vídeos aulas e sites com conteúdo adicional, sugeridos em nosso site onde também poderá ter acesso ao conteúdo oferecido aqui. No Ambiente Virtual de aprendizagem - AVA, oferecido pelo curso, você poderá auto avaliar-se praticando os simulados com as questões elaboradas para ajudá-lo em seu processo de aprovação. Caro(a) estudante É com grande satisfação que apresentamos este curso. A proposta é oferecer um material pedagógico de fácil compreensão, que favoreça seu retorno aos estudos. Sabemos quanto é difícil para quem trabalha ou procura um emprego se dedicar aos estudos, principalmente quando se parou de estudar há algum tempo. O Programa nasceu da constatação de que os estudantes jovens e adultos têm experiências pessoais que devem ser consideradas no processo de aprendizagem. Trata-se de um conjunto de experiências, conhecimentos e convicções que se formou ao longo da vida. Dessa forma, procuramos respeitar a trajetória daqueles que apostaram na educação como o caminho para a conquista de um futuro melhor. Nos Cadernos e vídeos que fazem parte do seu material de estudo, você perceberá a nossa preocupação em estabelecer um diálogo com o mundo do trabalho e respeitar as especificidades da modalidade de ensino à distância praticada por nós. Esperamos que você conclua o Ensino Médio e, posteriormente, continue estudando e buscando conhecimentos importantes para seu desenvolvimento e sua participação na sociedade. Afinal, o conhecimento é o bem mais valioso que adquirimos na vida e o único que se acumula por toda a nossa existência. Bons estudos! 3

4 Matemática Conjuntos Na matemática, um conjunto é uma coleção ou uma reunião de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A. Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Conjuntos podem ser representados por: Sua propriedade característica A = {x/x é o conjunto das vogais} Enumerando seus elementos entre chaves A = {a, e, i, o, u} Por Diagrama de Venn Tipos de conjuntos Existem diferentes tipos de conjuntos, seus nomes estão de acordo com a quantidade de elementos que eles agrupam. O agrupamento de termos com características semelhantes é uma definição para a palavra conjunto. Os conjuntos recebem nomes de acordo com a quantidade de elementos que podem vir a ser agrupados. Conjunto finito Esse tipo de conjunto representa uma quantidade limitada de elementos. Por exemplo, o conjunto dos números compreendidos entre 1 e 10 será representado da seguinte maneira: {x / 1 < x < 10} ou {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Conjunto infinito Apresenta uma quantidade infinita (ilimitada de termos). Por exemplo:? O conjunto dos reais é considerado um conjunto infinito, pois não possui fim.? O conjunto dos números inteiros também é considerado infinito. Conjunto unitário Esse conjunto é caracterizado por possuir apenas um único elemento. Por exemplo:? O conjunto dos números naturais compreendidos entre 0 e 2. Nesse caso existe somente um elemento, o 1. Representamos por {1}.? O conjunto dos números inteiros compreendidos entre 3 e 1. Entre os números 3 e 1 existe apenas o número inteiro 2. Portanto, a representação deste conjunto unitário é { 2}. Conjunto Vazio O conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sua representação pode ser feita utilizando duas simbologias: { } ou Ø. 4

5 Por exemplo:? O conjunto dos números naturais antecessores ao 0 (zero) é considerado vazio, pois nos números naturais não existe antecessor de zero.? O conjunto dos números fracionários existentes no conjunto dos números inteiros é considerado um conjunto vazio, pois não existem frações dentre os números inteiros. Conjunto Universo É o conjunto representativo de todos os elementos da conjuntura na qual estamos trabalhando, e também de todos os conjuntos relacionados. Na representação do conjunto universo utilizamos a letra maiúscula U. Tabela de simbolos para operações com conjuntos Simbolos de conjuntos Operações com conjuntos Quando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números. É possível também operar conjuntos. Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença de conjunto, Conjunto complementar. Todas essas operações são representadas por símbolos diferentes. Veja a representação de cada uma delas: União de conjuntos Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7}, a união deles seria pegar todos os elementos de A e de B e unir em 5

6 apenas um conjunto (sem repetir os elementos comuns). O conjunto que irá representar essa união ficará assim: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. A representação da união de conjuntos é feita pelo símbolo U. Então, A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Intersecção de conjuntos Quando queremos a intersecção de dois conjuntos é o mesmo que dizer que queremos os elementos que eles têm em comum. Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}, a intersecção é representada pelo símbolo, então A B = {5, 6}, pois 5 e 6 são os elementos que pertencem aos dois conjuntos. Se dois conjuntos não têm nenhum elemento comum, a intersecção deles será um conjunto vazio. Dentro da intersecção de conjuntos há algumas propriedades: 1) A intersecção de um conjunto por ele mesmo é o próprio conjunto: A A = A 2) A propriedade comutatividade na intersecção de dois conjuntos é: A B = B A. 3) A propriedade associativa na intersecção de conjuntos é: A (B C) = (A B) C Diferença entre conjuntos Dados o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto B = {5, 6, 7}, a diferença desses conjuntos é representada por outro conjunto, chamado de conjunto diferença. Então os elementos de A B serão os elementos do conjunto A menos os elementos que pertencerem ao conjunto B. Portanto A B = {0, 1, 2, 3, 4}. Conjunto complementar Conjunto complementar está relacionado com a diferença de conjunto. Achamos um conjunto complementar quando, por exemplo, dado um conjunto A e B e o conjunto B e A, então B é complementar em relação a A. A = {2, 3, 5, 6, 8} B = {6,8} B A, então o conjunto complementar será CAB = A B = {2, 3, 5}. Conjuntos numéricos A Matemática organiza os modelos numéricos em conjuntos, no intuito de facilitar alguns procedimentos operatórios. As relações de pertinência são utilizadas na composição dos conjuntos. Observe-os, juntamente com seus elementos: Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...} Inteiros Z = {... 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...} Racionais Q = {2/5; 2,3; 0,05; 2; 18; 5; 2,25} Irracionais I = { 8; 6; 2, } Ao analisarmos os conjuntos numéricos, observamos que alguns elementos são pertencentes a outro conjunto, por exemplo: o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos inteiros e o conjunto dos números inteiros está contido nos 6

7 números racionais. A união entre os números naturais, inteiros e racionais formam o conjunto Q, que ao ser unido aos números irracionais, determina o conjunto dos números reais. Entre os conjuntos, podemos afirmar as seguintes condições: N C Z C Q C R N está contido em Z, que está contido em Q e que está contido em R I C R I está contido em R Q U I = R Q união com I, corresponde a R Q I = Ø Q intersecção com I, corresponde a vazio I = R Q I corresponde a R, subtraído de Q Observe mais algumas importantes relações entre os conjuntos: N Z = inteiros positivos Z N = inteiros negativos (N Q) U Z = Z (Q U I) N = N R N = N N U Z = Z Simbolos de conjuntos Função Uma função é uma relação de um conjunto A com um conjunto B, onde cada elemento de A se relaciona unicamente com um elemento de B. Usualmente, denotamos uma tal função por f: A B, y=f(x), onde f é o nome da função, A é chamado de conjunto de partida, B é chamado de contradomínio e y=f(x) expressa a lei de correspondência (relação) dos elementos x A com os elementos y B. Diagrama de Venn de uma função Conforme suas características, as funções são agrupadas em várias categorias, entre as principais temos: função sobrejetora, função injetora, função bijetora, função trigonométrica, função lineare, função modular, função quadrática, função exponencial, função logarítmica, função polinomial, dentre inúmeras outras. Função do 1 Grau A Função Polinomial do 1 o Grau, mais conhecida como Função do 1 o Grau, é uma Função Afim. Esse tipo de Função pode representar muitos eventos cotidianos como, por exemplo, o valor que uma pessoa paga ao final de um mês no seu plano de celular pós-pago; pagando um valor fixo mais um outro valor variável em termos do tempo de uso em ligações. Digamos que o valor da assinatura seja fixo em R$20,00 e o custo de ligação é R$0,05 por minuto de chamada. Assim, o valor total do pré-pago pode ser representado pela lei: f(x) = ,05x Onde x é o tempo de ligações, em minutos; e f(x) o preço total a ser pago, em reais. função de 1 Grau O exemplo acima é de uma Função Afim. Uma Função Afim é toda funcão f: R R que pode ser escrita na forma f(x) = ax + b como os coeficientes `a` e `b` reais. A função linear do tipo y = ax + b, assim como a função afim do tipo y = ax, sempre serão representadas por uma reta. 7

8 Função Identidade função identidade Função Constante A função identidade é uma função do 1 Grau do tipo y = x. O gráfico da função identidade é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrante (y=x), ou seja, a reta passa pela origem (0,0). Por essa mesma razão ele se parece com a função linear. A função estabelece uma relação entre domínio e imagem. O domínio, a variável independente, é caracterizado por x, e a imagem, a variável dependente, por y ou f(x). Na funçao constante, independentemente de qual seja o valor do domínio, ela sempre terá a mesma imagem. A fórmula geral dessa função é representada por: f(x) = c f(x) = imagem, que é sempre contante (c); Gráfico da função constante x = Domínio da função. O gráfico da função constante é bidimensional e sempre será uma reta horizontal em relação ao eixo x. Isso acontece porque a imagem é constante. No gráfico, utilizamos as coordenadas do plano cartesiano x e y. Recorde-se de que x é o eixo das abscissas, e y, o das ordenadas. Função exponencial Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe: y = 2 x y = 3 x + 4 y = 0,5 x y = 4 x A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação: f: R R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1. Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas: Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação. Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais. Exemplo 1 (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por 8

9 v(t) = v * 2 0,2t, em que v é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ ,00, determine o valor que ela foi comprada. Temos que v(10) = , então: v(10) = v * 2 0,2* = v * = v * 1/ : 1/ 4 = v v = * 4 v = A máquina foi comprada pelo valor de R$ ,00. Exemplo 2 (EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,03 20 = 1,80. Temos a seguinte função exponencial P(x) = P * (1 + i) t P(x) = 500 * (1 + 0,03) 20 P(x) = 500 * 1,03 20 P(x) = 500 * 1,80 P(x) = 900 O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões. Função logarítmica Toda função definida pela lei de formação f(x) = log a x, com a 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. Exemplos de funções logarítmicas: f(x) = log 2 x f(x) = log 3 x f(x) = log 1/2 x f(x) = log 10 x f(x) = log 1/3 x f(x) = log 4 x f(x) = log 2 (x 1) f(x) = log 0,5 x Determinando o domínio da função logarítmica Dada a função f(x) = log (x 2) (4 x), temos as seguintes restrições: 1) 4 x > 0 x > 4 x < 4 2) x 2 > 0 x > 2 3) x 2 1 x 1+2 x 3 Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4. Dessa forma, D = {x? R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4} Gráfico de uma função logarítmica Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações: 9

10 ? a > 1? 0 < a < 1 Função crescente Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma: Função decrescente Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma: Características do gráfico da função logarítmica y = log a x O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0. Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1. Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im(imagem) = R. Através dos estudos das funções logarítmicas, chegamos à conclusão de que ela é uma função inversa da exponencial. Observe o gráfico comparativo a seguir: Podemos notar que (x,y) está no gráfico da função logarítmica se o seu inverso (y,x) está na função exponencial de mesma base. Sucessão ou sequência Sequência é sucessão, encadeamento de fatos que se sucedem. É comum percebermos em nosso dia a dia conjuntos cujos elementos estão dispostos em certa ordem, obedecendo a uma sequência. 10

11 Por exemplo: Todos nós sabemos que o Brasil é penta campeão mundial de futebol e os anos, em ordem cronológica, em que ele foi campeão mundial são: 1958, 1962, 1970, 1994 e Essas datas formam um conjunto com os elementos dispostos numa determinada ordem. O estudo de sequência dentro da matemática é o conjunto de números reais dispostos em certa ordem. Assim chamado de sequência numérica. Exemplo: O conjunto ordenado (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) é a sequência de números pares. O conjunto ordenado (7, 9, 11, 13,15) é a sequência de números impares 7 e 15. O conjunto ordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200) é uma sequência de números que começa com a letra D. Matematicamente, quando temos uma sequência numérica qualquer, representamos o seu 1º termo por a 1 assim sucessivamente, sendo o n-ésimo termo a n. Exemplo: (2, 4, 6, 8, 10) temos: a 1 = 2; a 2 = 4; a 3 = 6; a 4 = 8; a 5 = 10 A sequência acima é uma sequência finita, sua representação geral é (a 1, a 2, a 3,..., a n ). Para as sequências que são infinitas a representação geral é (a 1, a 2, a 3, a n,... ). Para determinarmos uma sequência numérica precisamos de uma lei de formação. Exemplo: A sequência definida pela lei de formação a n = 2n² - 1, n N*, onde n = 1, 2, 3, 4, 5,... e a n é o termo que ocupa a n-ésima posição na sequência. Por esse motivo, a n é chamado de termo geral da sequência. Utilizando a lei de formação a n = 2n² - 1, atribuindo valores para n, encontramos alguns termos da sequência. n = 1 a 1 = 2. 1² - 1 a 1 = 1 n = 2 a 2 = 2. 2² - 1 a 2 = 7 n = 3 a 3 = 2. 3² - 1 a 3 = 17 n = 4 a 4 = 2. 4² - 1 a 4 = 31. Assim, a sequência formada é (1, 7, 17, 31,...) Progressão aritmética A sequência numérica onde, a partir do 2º termo, a diferença entre um número e seu antecessor resulta em um valor constante é denominada de Progressão Aritmética. O valor constante dessa sequência é chamado de razão da PA. Observe: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, = = = = = = = = = 3 Observe que nessa sequência a razão possui valor igual a 3. Em uma progressão aritmética podemos determinar qualquer termo ou o número de termos com base no valor da razão e do 1º termo. Para tais cálculos, basta utilizar a seguinte expressão matemática: Exemplo 1 an = a1 + (n 1) * r Sabendo que o 1 o termo de uma PA é igual a 2 e que a razão equivale a 5, determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica. 11

12 a18 = 2 + (18 1) * 5 a18 = * 5 a18 = a18 = 87 O 18º termo da PA em questão é igual a 87. Em algumas situações ocorre a necessidade de determinar o somatório dos termos de uma progressão aritmética. Nesses casos a expressão matemática determina a soma dos termos de uma PA. Exemplo 2 Na sequência numérica ( 1, 3, 7, 11, 15,...), determine a soma dos 20 primeiros termos. Cálculo da razão da PA 3 ( 1) = = = = = 4 Determinando o 20º termo da PA a20 = 1 + (20 1) * 4 a20 = * 4 a20 = a20 = 75 Soma dos termos A soma dos 20 primeiros termos da PA ( 1, 3, 7, 11, 15,...) equivale a 740. Progressão geométrica Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência: (2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada. 4 : 2 = 2 8 : 4 = 2 16 : 8 = 2 32 : 16 = 2 64 : 32 = 2 O termo constante da progressão geométrica é denominado razão. Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica. Veja: 12

13 An = A 1 * q n-1 Com base nessa expressão, temos que: a 2 = a 1 * q a 3 = a 1 * q 2 a 5 = a 1 * q 4 a 10 = a 1 * q 9 a 50 = a 1 * q 49 a 100 = a 1 * q 99 Exemplo 1 Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG. a 8 = 4 * 3 7 a 8 = 4 * 2187 a 8 = 8748 O 8º termo da PG descrita é o número Exemplo 2 Dada a PG (3, 9, 27, 81,...), determine o 20º termo. a 20 = 3 * 3 19 a 20 = 3 * a 20 = Soma dos termos de uma PG A soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte expressão matemática: S n = A 1 * (q n - 1) q - 1 Exemplo 3 Considerando os dados do exemplo 2, determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG. S n = A 1 * (q n - 1) q - 1 S n = 3 * (3 20-1) 3-1 S n = 3 * ( ) 2 S n = S n = Exemplo 4 Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os valores foram os seguintes: Janeiro: 98,00 13

14 Fevereiro: 99,96 Março: 101,96 Abril: 104,00 Maio: 106,08 Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em todos os meses o índice inflacionário foi constante. Os termos estão em progressão geométrica, observe: 106,08 : 104 = 1, : 101,96 = 1,02 101,96 : 99,96 = 1,02 99,96 : 98,00 = 1,02 A razão dessa progressão geométrica é dada por 1,02, isto indica que a inflação entre os meses é de 2%. Vamos determinar a soma dos gastos dessa dona de casa, observe: S n = 98 * (1, ) 1,02-1 S n = 98 * (1, ) 0,02 S n = 98 * 0, ,02 S n = 1.314,39 Os gastos da dona de casa com compras de supermercado, foram equivalentes a R$ 1.314,39. Análise combinatória Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória. Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória. Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes ele pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória. Para efetuar os cálculos desses problemas, devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória: - Princípio fundamental da contagem - Fatorial - Arranjos simples - Permutação simples - Combinação - Permutação com elementos repetidos Fatorial O fatorial de um número está envolvido nos estudos de análise combinatória, ele é representado por: n!. O fatorial de um número consiste em um importante mecanismo nos estudos envolvendo Análise Combinatória, pois a multiplicação de números naturais consecutivos é muito utilizada nos processos de contagem. Fatorial de um número 14

15 consiste em multiplicar o número por todos os seus antecessores até o número 1. Observe a definição a seguir: Representamos o fatorial de um número por n! e o desenvolvimento por n! = n * (n 1) * (n 2) * (n 3) *... * 4 * 3 * 2 * 1 para n 2. Caso n = 1, temos 1! = 1 e n = 0, temos 0! = 1. Exemplo 1 3! = 3 * 2 * 1 = 6 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = ! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = ! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = ! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = Alguns cálculos envolvendo fatorial exigem algumas técnicas de simplificação e fatoração. Observe as demonstrações a seguir: Exemplo 2 Vamos calcular o valor de 12! / 8!. Nesse caso, se desenvolvermos os fatoriais dos números e depois efetuarmos a divisão, o método de resolução estará correto. Mas essa forma de resolução pode se tornar complexa para números elevados, por isso devemos desenvolver o fatorial do maior número até chegarmos ao fatorial do menor número, simplificando os fatoriais semelhantes. Observe: Arranjo simples Os agrupamentos formados nos exercícios de análise combinatória podem ser considerados Arranjos simples. Será assim classificado se levarmos em consideração a ordem de seus elementos, ou seja, se os agrupamentos forem diferentes entre si pela ordem de seus elementos. Por exemplo, vamos considerar dois agrupamentos dos números divisíveis por 3, de 5 algarismos formados com os elementos (algarismos) do conjunto A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Os números e são divisíveis por 3 e possuem 5 algarismos do conjunto A. E os algarismos utilizados na construção desses números são iguais, mas estão dispostos em ordens diferentes, tornando-os diferentes entre si. Portanto, esse exercício de análise combinatória é um exemplo de arranjo simples. Quando os agrupamentos de um exercício de análise combinatória forem caracterizados como Arranjos simples, para calcular a quantidade de agrupamentos formados não é preciso esquematizar todos eles, basta utilizar a seguinte fórmula: A n,p = n! (n p)! n é a quantidade de elementos do conjunto. p é um número natural menor ou igual a n, que representa a união dos elementos na formação dos agrupamentos. Assim, podemos definir arranjo simples como sendo: Dado um conjunto qualquer com n elementos e um valor para natural p. Será formado um arranjo simples de p elementos distintos de um conjunto qualquer seqüência formada por p elementos do conjunto. Exemplo 1: Considere o conjunto I = {a,b,c,d}: 15

16 Quantos são os arranjos simples dos elementos de I, tomados dois a dois? Como o exercício já informou que se trata de um arranjo simples, devemos retirar os dados e aplicá-los na fórmula. n = 4 p = 2 A n,p = n! (n p)! A 4,2 = 4! (4 2)! A 4,2 = ! 2! A 4,2 = 4. 3 A 4,2 = 12 Exemplo 2: Numa corrida tem 4 competidores. Há quantas possibilidades para os dois primeiros lugares? Resposta: ( a sequência é importante neste caso ) Se há 04 possibilidades para o primeiro lugar e 03 possibilidades para o segundo lugar teremos portanto 4 x 3 = 12 possibilidades. Exemplo 3: Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias. De quantas maneiras poderei me calçar utilizando um par de meias e um de sapatos? Pelo princípio fundamental da contagem temos que multiplicar 4, que é o número de elementos do primeiro conjunto, por 10 que corresponde ao número de elementos do segundo conjunto. Portanto: Resposta: Poderei me calçar de 40 maneiras diferentes. Princípio fundamental da contagem O princípio fundamental da contagem está diretamente ligado às situações que envolvem as possibilidades de um determinado evento ocorrer, por exemplo, os modos distintos que podemos organizar as pessoas em uma fila, o número de placas de automóveis que podemos formar com letras e algarismos, as possíveis combinações da Mega Sena, entre outras situações. O princípio fundamental da contagem é a estrutura básica da Análise Combinatória, através dele desenvolvemos técnicas e métodos de contagem na resolução direta de problemas. Exemplo 1 Vamos supor que uma fábrica produza motos de tamanhos grande, médio e pequeno, com motores de 125 ou 250 cilindradas de potência. O cliente ainda pode escolher as seguintes cores: preto, vermelha e prata. Quais são as possibilidades de venda que a empresa pode oferecer? Vamos construir uma árvore de possibilidades: Tamanho Motor Cor 16

17 Grande 125 Preta 250 Vermelha Prata Média 125 Preta 250 Vermelha Prata Pequena 125 Preta 250 Vermelha Prata Possibilidades de venda Tamanho Motor Cor Grande 125 cc 250 cc Preta Vermelha Prata Preta Vermelha Prata Média 125 cc 250 cc Preta Vermelha Prata Preta Vermelha Prata Pequena 125 cc 250 cc Preta Vermelha Prata Preta Vermelha Prata O número de possibilidades de venda totaliza 18 opções. A fábrica oferece três tamanhos de moto, e para cada tamanho dois tipos de motores e, ainda, três opções de cores. Dessa forma, o número total de possibilidades resulta da seguinte multiplicação: 3 * 2 * 3 = 18 possibilidades. Esse cálculo efetuado de forma direta é denominado Regra do Produto. Exemplo 2 De quantas maneiras distintas podemos formar placas de automóveis, com 3 letras e 4 algarismos? Considere as letras do alfabeto e os algarismos de 0 a 9. A formatação da placa será a seguinte: 17

18 Letras Números Considerando as 26 letras do alfabeto e os algarismos de 0 a 9, teremos: Letras Números Aplicando a regra do produto, temos: 26 * 26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10 = placas. Permutação simples Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!. n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*3*2*1 Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24 Exemplo 1 Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO? Resolução: Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de permutação simples. P = 4! = 24 GATO GAOT GOAT GOTA GTAO GTOA AGTO AGOT AOGT AOTG ATGO ATOG TAGO TAOG TOAG TOGA TGAO TGOA OGTA OGAT OATG OAGT OTAG OTGA Exemplo 2 De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais? Resolução: Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos. P = n! P = 5! P = 5*4*3*2*1 P = 120 Portanto, o número de posições possíveis é 120. Exemplo 3 De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres: a) em qualquer ordem Resolução Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos 12! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = possibilidades b) iniciando com homem e terminando com mulher Resolução Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos: Seis homens aleatoriamente na primeira posição. Seis mulheres aleatoriamente na última posição. 18

19 P = (6*6) * 10! P = 36*10! P = possibilidades Combinação simples É o conjunto de elementos que não depende da sua sequência. Exemplo 1: Quantas combinações podemos fazer com as letras A e B? Resposta: apenas 01 combinação - AB ( pois BA representa a mesma combinação ) Exemplo 2: Quantas combinações, de duas cores, podemos fazer com as cores azul, verde e branco? Resposta: 03 combinações - azul e verde, verde e branco e azul e branco. Todas as outras uniões representam duplas repetidas. Permutação envolvendo elementos repetidos Entendemos por permutações uma sequência ordenada, construída por elementos disponíveis. O número de permutações de n elementos é dado pelo fatorial de n, isto é, basta calcularmos o fatorial do número de elementos do conjunto fornecido. Para o melhor entendimento vamos considerar os anagramas da palavra LUA. Lembrando que anagrama de uma palavra corresponde à permutação das letras de uma palavra, formando ou não outra palavra. Observe: Anagramas da palavra LUA LUA ULA UAL ALU AUL ALU No caso da palavra LUA, não existe repetição de letras, então podemos determinar os anagramas através da seguinte expressão matemática: Pn = n! P3 = 3! = 3*2*1 = 6 A palavra LUA possui 6 anagramas. Permutação envolvendo um elemento repetido Determinar os anagramas da palavra MORANGO. Os anagramas serão formados a partir de uma sequência de 7 letras, das quais duas são iguais a O. Dessa forma temos: Permutação envolvendo dois elementos diferentes repetidos 19

20 Determine os anagramas da palavra MARROCOS. Os anagramas serão formados a partir da sequência de 8 letras, das quais duas são iguais a R e duas iguais a O. Temos que: Outras situações envolvendo elementos repetidos Anagramas da palavra MATEMÁTICA. Nesse caso temos 10 letras, onde ocorrem as seguintes repetições: duas letras M, três letras A e duas letras T. Então: Trigonometria Trigonometria (do grego trigōnon -triângulo- +metron -medida-) é um ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo retângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de um dos seus ângulos agudos. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica. A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos e egípcios, sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Através da prática, conseguiram criar situações de medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia (190 a.c 125 a.c) foi um astrônomo grego que introduziu a Trigonometria como ciência, por meio de estudos ele implantou as relações existentes entre os elementos do triângulo. O Teorema de Pitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonométricos, pois é através dele que desenvolvemos fórmulas teóricas comumente usadas nos cálculos relacionados a situações práticas cotidianas. 20

21 Teorema de Pitágoras Pitágoras de Samos, mais conhecido simplesmente por Pitágoras, foi um filósofo e matemático grego que viveu há cerca de anos. Ele é tido como o responsável pela descoberta e demonstração de uma relação existente entre o tamanho dos lados de triângulos retângulos e a área de quadrados, tendo desenvolvido, assim, o denominado Teorema de Pitágoras, considerado uma das principais descobertas da Matemática. O Teorema de Pitágoras talvez seja o mais importante teorema de toda a matemática. Com ele pode-se descobrir a medida de um lado de um triângulo retângulo, a partir da medida de seus outros dois lados. Pitágoras disse: A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa = a 2 = b 2 + c 2 Em qualquer triângulo retângulo esta regra se aplica. Lembre-se que triângulos retângulos são triângulos que tenham um ângulo interno medindo 90º. É possível utilizar a regra de pitágoras em praticamente todas as figuras geométricas planas, pois, de alguma forma elas podem ser divididos em triângulos. Por exemplo um quadrado. Podemos determinar a medida da bissetriz de um ângulo interno usando a mesma fórmula, basta perceber que a bissetriz seria a hipotenusa de um triângulo inscrito no quadrado: Assim, h 2 mediria: a 2 +b 2 Razões trigonométricas no triângulo retângulo A trigonometria é uma ferramenta matemática bastante utilizada no cálculo de distâncias envolvendo triângulos retângulos. Na antiguidade, matemáticos utilizavam o conhecimento adquirido em trigonometria para realizar cálculos ligados à astronomia, determinando a distância, quase que precisa, entre a Terra e os demais astros do sistema solar. Atualmente a trigonometria também é bastante utilizada e para compreender o seu uso é necessário assimilar alguns conceitos. Observe a figura abaixo que representa um triângulo retângulo. Note que o maior lado é denominado de hipotenusa e os outros dois lados de catetos. A hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto (ângulo de 90 o ). Além do ângulo reto, há dois ângulos agudos, α e β. A trigonometria estabelece relações entre os ângulos agudos do triângulo retângulo e as medidas de seus lados. Vejamos quais são essas relações. triângulo retângulo cateto oposto seno= hipotenusa O seno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. cosseno= cateto adjacente hipotenusa O cosseno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. A tangente de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto cateto oposto tangente=> adjacente. cateto adjacente 21

22 Geometria Analítica A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, baseia-se nos estudos da Geometria por meio da utilizaçãoo da álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês René Descartes ( ), criador do sistema de coordenadas cartesianas. Breve histórico Os estudos relacionados com a Geometria Analítica datam do século XVII. Descartes, ao relacionar a álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos capazes de analisar por meio de métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas. Uma característica importante da Geometria Analítica apresenta-se na definição de formas geométricas de modo numérico, extraindo dados informativos da representação. Com base nesses estudos, a Matemática passa a ser vista como uma disciplina moderna, capaz de explicar e demonstrar situações relacionadas ao espaço. As noções intuitivas de vetores começam a ser exploradas de forma contundente na busca por resultados numéricos que expressem as ideias da união da Geometria com a álgebra. Os vetores constituem a base dos estudos do espaço vetorial e são objetos que possuem as características relacionadas com tamanho, direção e sentido. Os vetores são muito utilizados na Física como ferramenta auxiliar nos cálculos relacionados à Cinemática Vetorial, Dinâmica, Campo Elétrico, entre outros conteúdos. Os cientistas Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz concentraram estudos na Geometria Analítica, que serviu como base teórica e prática para o surgimento do Cálculo Diferencial e Integral, muito utilizado atualmente na Engenharia. Plano cartesiano Criado por René Descartes, o plano cartesiano consiste em dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas. O plano cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço. As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes, conforme mostrados na figura Plano cartesiano Exemplo 01> O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é formado por um par ordenado (x, y ), onde x: abscissa e y: ordenada. Marcando pontos no plano cartesiano Dados os pontos A(3,6), B(2,3), C(-1,2), D(-5,-3), E(2,-4), F(3,0), G(0,5), represente-os no plano cartesiano. 22

23 Marcando o ponto A(3,6) Primeiro: localiza-se o ponto 3 no eixo das abscissas Segundo: localiza-se o ponto 6 no eixo das ordenadas Terceiro: Traçar a reta perpendicular aos eixos, o encontro delas será o local do ponto. O sistema de coordenadas cartesianas possui inúmeras aplicações, desde a construção de um simples gráfico até os trabalhos relacionados à cartografia, localizações geográficas, pontos estratégicos de bases militares, localizações no espaço aéreo, terrestre e marítimo. Distância entre dois pontos no plano A distância permeia todos os conceitos da geometria analítica, pois nesta área da matemática temos a relação de elementos geométricos com os algébricos, e o elemento básico da geometria é o ponto. Um dos conceitos básicos que vimos na geometria é que a menor distância entre dois pontos é dada por uma reta, contudo, na geometria analítica esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e por meio dessas coordenadas podemos encontrar o valor da distância entre dois pontos. Vamos representar dois pontos quaisquer no plano cartesiano. Portanto, teremos que a distância entre os pontos A e B será a medida do segmento que tem os dois pontos como extremidade. Por se tratar de dois pontos quaisquer, representaremos as coordenadas desses pontos de maneira genérica. figura 1 Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto, podemos construir um triângulo retângulo utilizando os pontos A e B, como mostra a figura a seguir. figura 2 Note que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo AOB, e a medida de AB corresponde à distância entre esses dois pontos. Por se tratar de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, no qual teremos: figura 3 23

24 figura 4 Note que basta fazer as diferenças das coordenadas de cada um dos pontos e elevar ao quadrado, contudo são coordenadas do eixo X com coordenadas do eixo X e de forma análoga para as coordenadas do eixo Y. Calcule a distância entre os pontos: A (4,5) e B(1,1) e represente-os geometricamente. Como vimos anteriormente, basta aplicar a expressão para o cálculo da distância entre dois pontos. Sendo assim: 24