AULA 04 Média, Mediana e Moda

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1 Cursinho Pré-Vestibular da UFSCar São Carlos Matemática Professora Elvira e Monitores Ayana e Larissa AULA 04 Média, Mediana e Moda Conceitos envolvidos: Variáveis Média Moda Mediana Conceito relacionado: Desvio Padrão Os conceitos abordados nesta aula são muito utilizados em pesquisas científicas ou em outros tipos de pesquisa e parte deles está muito presente em nosso cotidiano: nós mesmos utilizamos; os(as) professores(as) utilizam; as escolas, as empresas e os jornais utilizam, mesmo que não usem as palavras que apresentaremos aqui para se referirem aos dados que estão apresentando ou utilizando. Variáveis Def. Variável é uma característica de determinada população de estudo que pode ser medida. As variáveis podem ou não ter representação numérica e são classificadas em quantitativas ou qualitativas. 1. Variáveis quantitativas são características que podem ser representadas por números. As variáveis quantitativas são classificadas como discretas ou contínuas. Variáveis quantitativas discretas são as características que podem ser medidas e expressas apenas por um número inteiro. Geralmente são resultado de contagens. Exemplos: Número de filhos, número de alunos do Cursinho UFSCar, número de faltas em aula etc. Variáveis quantitativas contínuas são as características que podem ser medidas em escala contínuas e expressas por um número real. Exemplos: altura(m), massa corporal(kg), tempo(horas), comprimento(m), etc. 2. Variáveis qualitativas são as características que não podem ser expressas por um número. As variáveis qualitativas podem ser nominais ou ordinais. Variáveis qualitativas ordinais são características que podem ser ordenadas. Exemplos: escolaridade (primeira série, segunda série, oitavo ano), estágio de doença (inicial, intermediário, terminal), meses etc. Variáveis qualitativas nominais são características que não ordenadas. Exemplos: gênero, cor da pele, cor dos olhos, orientação sexual etc. Moda Em um conjunto de dados, moda é o valor ou intervalo que surge/aparece com mais frequência. Seja A o conjunto dos valores da altura, em metros, de um determinado grupo de pessoas: A= {1,75; 1,76; 1,76; 1,76; 1,68; 1,62; 1,64; 1,69; 1,76; 1.80; 1.86; 1,58; 1,57; 1,59; 1,60} Qual a moda desse conjunto? Resposta: A moda é 1,76, pois, é o valor que mais aparece no conjunto. Mediana A mediana é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, ou seja, quando são ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor que a divide ao meio. Metade dos valores do conjunto de dados é maior que a mediana e a outra metade é menor. 1

2 Para determinar a mediana, usa-se a seguinte regra: 1- Ordenam-se os elementos do conjunto de dados; 2- Se a quantidade de elementos do conjunto for ímpar, a mediana é o elemento que está no meio do conjunto ordenado; 3- Se a quantidade de elementos do conjunto for par, a mediana é a média dos elementos que estão no meio do conjunto ordenado; Qual a mediana do conjunto A= (15, 10, 12, 14, 13, 18, 14, 15, 19)? Resposta: Primeiro devemos ordenar os números em ordem crescente e identificar o valor que divide os valores: A= (10, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 18, 19) A mediana dos dados é 14. Média Simples A média aritmética é considerada uma medida de tendência central e é muito utilizada no cotidiano. É obtida pelo resultado da divisão do somatório dos valores do conjunto de dados pela quantidade de dados no conjunto. Exemplo. Determine a média do conjunto B = {3, 12, 23, 15, 2}. Média = ( )/5 = 55/5 = 11 Lucas participou de um concurso, em que foram realizadas provas de Português, Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo que Lucas obteve 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual foi à média (média ponderada) que ele obteve? Lucas obteve nota final 6,45. Exercícios 1) A tabela abaixo apresenta as notas em matemática de uma turma de 30 alunos. Média Ponderada Na média aritmética simples, todos os elementos do conjunto de dados têm exatamente a mesma importância, dizemos então que eles têm o mesmo peso relativo. No entanto, existem casos em que os elementos têm importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta está importância, ou seja, deve considerar o peso relativo do elemento. Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada. Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa. A média aritmética ponderada p de um conjunto de números x1, x2, x3,..., xn cuja importância relativa ("peso") é respectivamente p1, p2, p3,..., pn é calculada da seguinte maneira: Qual a moda, média e mediana das notas? 2) ENEM Questão 170 Prova Amarela. A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda. Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior 2

3 média anual. As empresas que este investidor escolhe comprar são A) Balas W e Pizzaria Y. B) Chocolates X e Tecelagem Z. C) Pizzaria Y e Alfinetes V. D) Pizzaria Y e Chocolates X. E) Tecelagem Z e Alfinetes V. 3) ENEM Questão 175 Prova Amarela. O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de janeiro de 2010 a outubro de Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é: A) B) C) D) E) ) ENEM Questão 137. As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora. (Foto:Reprodução) Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor nota atribuída ao professor. A nova média, em relação à média anterior, é: A) 0,25 ponto maior B) 1,00 ponto maior C) 1,00 ponto menor D) 1,25 pontos maior E) 2,00 pontos menores 5) ENEM 2014 Questão 159. Ao final de uma competição de ciências em uma escola, restaram apenas três candidatos. De acordo com as regras, o vencedor será o candidato que obtiver a maior média ponderada entre as notas das provas finais nas disciplinas química e física, considerando, respectivamente, os pesos 4 e 6 para elas. As notas são sempre números inteiros. Por questões médicas, o candidato II ainda não fez a prova final de química. No dia em que sua avaliação for aplicada, as notas dos outros dois candidatos em ambas às disciplinas, já terão sido divulgadas. Candidato Química Física I II X 25 III A menor nota que o candidato II deverá obter na aprova final de química para vencer a competição é: A) 18 B) 19 C) 22 D) 25 E) 26 6) Enem Questão 155 Caderno amarelo Segundo dados apurados no Censo 2010, para uma população de 101,8 milhões de brasileiros com 10 anos ou mais de idade e que teve algum tipo de rendimento em 2010, a renda média mensal apurada foi de R$1202,00. A soma dos rendimentos mensais dos 10% mais pobres correspondeu a apenas 1,1% do total de rendimentos dessa população considerada, enquanto que a soma dos rendimentos mensais dos 10% mais ricos correspondeu a 44,5% desse total. Disponível em: Acesso em: 16 nov. 2011(adaptado) 3

4 Qual foi a diferença, em reais, entre a renda média mensal de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais ricos e de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais pobres? A)240,40 B)548,11 C)1723,67 D)4026,70 E)5216,68 7) Enem Questão 160 Caderno amarelo Em uma seletiva para a final dos 100 metros livres de natação, numa olimpíada, os atletas, em suas respectivas raias, obtiveram os seguintes tempos: A) I e III B) I e IV C) II e III D) II e IV E) III e IV 9) Enem 2016 Questão 148 Caderno amarelo Em uma cidade, o número de casos de dengue confirmados aumentou consideravelmente nos últimos dias. A prefeitura resolveu desenvolver uma ação contratando funcionários para ajudar no combate à doença, os quais orientarão os moradores a eliminarem criadouros do mosquito Aedes aegypti, transmissor da dengue. A tabela apresenta o número atual de casos confirmados, por região da cidade. A mediana dos tempos apresentados no quadro é: A) 20,70 B) 20,77 C) 20,80 D) 20,85 E) 20,90 8) Enem 2016 Questão 141 Caderno Amarelo O procedimento de perda rápida de peso é comum entre os atletas dos esportes de combate. Para participar de um torneio, quatro atletas da categoria até 66 kg, Peso-Pena, foram submetidos a dietas balanceadas e atividades físicas. Realizam três pesagens antes do início do torneio. Pelo regulamento do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre o atleta mais regular e o menos regular quanto aos pesos. As informações com base nas pesagens dos atletas estão no quadro. A prefeitura optou pela seguinte distribuição dos funcionários a serem contratados: I. 10 funcionários para cada região da cidade cujo número de casos seja maior que a média dos casos confirmados. II. 7 funcionários para cada região da cidade cujo número de casos seja menor ou igual à média dos casos confirmados. Quantos funcionários a prefeitura deverá contratar para efetivar a ação? A) 59 B) 65 C) 68 D) 71 E) 80 Após as três pesagens, os organizadores do torneio informaram aos atletas quais deles se enfrentariam na primeira luta. A primeira luta foi entre os atletas 4

5 10) O Procedimento de perda rápida de "peso" é comum entre os atletas dos esportes de combate. Para participar de um torneio, quatro atletas da categoria até 66 kg, Peso-Pena, foram submetidos a dietas balanceadas e atividades físicas. Realizaram três "pesagens" antes do início do torneio. Pelo regulamento do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre o atleta mais regular e o menos regular quanto aos "pesos". As informações com base nas pesagens dos atletas estão no quadro. Após as três "pesagens", os organizadores do torneio informaram aos atletas quais deles se enfrentariam na primeira luta. A primeira luta foi entre os atletas a) I e III. b) I e IV. c) II e III. d) II e IV. e) III e IV 5