Estou com você até a conquista! Página 1 Raciocínio Lógico e matemática Professor Nelson Carnaval

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1 . NÚMEROS NATURAIS y = 0 z = 80 0 = 60.. Multiplicação. Conjunto dos números Naturais (I) I = { 0,,,... } x. y = z x e y fatores z produto. Operações com números Naturais.. Adição x + y = z Propriedades da adição x e y parcelas z soma ou total a) Fechamento: A soma de dois números naturais é um número natural. Ex.: 5 + = 7 b) Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma. Ex.: + 8 = + 8 = = c) Elemento Neutro: O número zero. Ex.: = = 5 d) Associativa: A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as últimas parcelas. Ex.: ( + ) + 5 = = 0 ( + ) + 5 = + ( + 5) = + 8 = 0 + ( + 5) Exercício Resolvido: Numa adição de 5 parcelas, a ª e a ª são, respectivamente, 600 e 700; a ª é igual à diferença entre as duas primeiras; a 4ª é igual à soma da ª com a ª e a 5ª é igual à diferença entre a 4ª e a ª. Calcule a soma. ª = 600 ª = 700 ª = = 00 4ª = = 700 5ª = = 600 Total: Subtração x - y = z x Minuendo y Subtraendo z Resto ou diferença Propriedades da multiplicação a) Fechamento: O produto de dois números naturais é um número natural. Ex.: 5. 8 = 40 b) Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto. Ex.:. 7 = 4. 7 = = 4 c) Elemento Neutro: O número um. Ex.: 8. = 8 ou. 8 = 8 d) Associativa: A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois primeiros ou os dois últimos fatores. Ex.: (. 5). = 5. = 0 (.5).=. (5.). (5. ) =. 0 = 0 e) Distributiva em relação à adição: Na multiplicação de uma soma por um número natural, multiplica-se cada um dos termos por esse número. Ex.: 5 ( + ) = 5. 5 = 5 5(+)= = 5+0 = 5 Exercício Resolvido: O produto de dois números é 96. Qual é o produto de um número vezes maior do que o primeiro por outro número 5 vezes maior do que o segundo? a. b = 96 a. 5b = 0. ab = = Divisão D d r q ou D = d. q + r D Dividendo d Divisor q Quociente r Resto Exercício Resolvido: Numa subtração, o dobro do minuendo é 60. Calcule o resto, sabendo que o subtraendo vale 0. x = 60 x = 80 Obs.: Divisão exata: r = 0. Maior resto possível: R = d Não existe divisão por zero (0). Estou com você até a conquista! Página

2 Exercício Resolvido: O quíntuplo de um número, dividido por esse número aumentado de duas unidades, dá quociente e deixa resto. Qual é esse número? Obs.: x x 5x x + 5x =. (x + ) + 5x = x x = 8 x = 8 = 4..5 Potenciação x y = z Propriedades da potenciação a) x 0 =, x = b) x = x 0 = 0 c) x m. x n = x m+n. = + = 5 = 4 x Base y Expoente z Potência Exercícios Resolvidos Calcule: a) = Resp.: 8 b) 0 = Resp.: c) 5 = Resp.: 5 d). = Resp.: 5 e) 5 4 : 5 = Resp.: 5 f) ( ) = Resp.: 6 g) Resp.: 9 h) (. ) = Resp.:. i) Resp.: j) Resp.: k) 5 Resp.: 5 l) Resp.: m) Radiciação 5 Resp.: d) x x m n m-n x, x n x y x Radicando n Índice y Raiz Exercício Resolvido e) (x m ) n = x m. n ( ) = 6 = 79 f) (x. y) m = x m. y m (. ) =. = 8. 7 = 6 a) 6 Resp.: 6 b) 44 Resp.: c) 04 Resp.: d) 79 Resp.: 9 e) 4 65 Resp.: 5 g) x y m 0 m x y m 0, y Expressões numéricas envolvendo as operações estudadas.. Resolvemos as potências e raízes / eliminamos os parênteses.. Resolvemos as multiplicações e divisões / eliminamos os colchetes.. Resolvemos adições e subtrações / eliminamos as chaves. Estou com você até a conquista! Página

3 EXERCÍCIOS. Um escritor escreveu, em um certo dia, as vinte primeiras páginas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas páginas havia escrito no dia anterior, mais 5 páginas. Se o escritor trabalhou 4 dias ele escreveu: a) 80 páginas. b) 85 páginas. c) 95 páginas. d) 0 páginas. e) 00 páginas.. A diferença entre o maior número de três algarismos diferentes e o menor número também de três algarismos diferentes é: a) 864. b) 885. c) 887. d) 899. e) Um pai tem 5 anos e seus filhos, 6, 7 e 9 anos. Daqui a 8 anos, a soma das idades dos três filhos menos a idade do pai será de: a) anos. b) anos. c) anos. d) anos. e) 5 anos. 4. Se numa divisão o divisor é 0, o quociente é e o resto é o maior possível, então o dividendo é: a) 90. b) 89. c) 8. d) 6. e) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 5 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um número de dias igual a: a) 0. b). c) 5. d) 8. e) O valor numérico de 0 4. : 6 7 a). b) 0. c). d). e) é: 7. Em uma viagem de carro de Recife a Surubim, o motorista de lotação Paulo sabe que, do ponto de partida ao de chegada, o percurso total é de 50 km, sendo que 0 km são percorridos na estrada e o restante, na cidade. Se o carro faz 0 km por litro, na cidade, km por litro, na estrada, e o preço do combustível é de R$,85 por litro, então Paulo gastará com o combustível, nessa viagem, a importância de: a) R$ 8,50. b) R$,. c) R$ 4,05. d) R$ 4,99. e) R$ 7, Júnior possui uma fazenda onde recolhe 45 litros de leite de cabra por dia, que são utilizados na fabricação de queijo. Com cada 5 litros de leite, ele fabrica kg de queijo. O queijo fabricado é, então, dividido em porções de 5 g, que serão empacotados em dúzias. Cada pacote é vendido por R$ 6,00. Quanto Júnior arrecada por dia com a venda do queijo? a) R$ 5,00. b) R$ 4,00. c) R$,00. d) R$ 7,00. e) R$ 6, Suponha que a distância entre as cidades de Caruaru e Recife seja de 40 km. Dois amigos partem de Caruaru com destino a Recife. Um deles utiliza álcool no carro e faz 7 km por litro; o outro utiliza gasolina e faz 0 km por litro, ambos viajam com a mesma velocidade. Se o litro de álcool custava, no dia da viagem, R$,70 e o de gasolina, R$,59, a economia, em reais, com o álcool combustível, em relação ao uso da gasolina, nesta viagem, foi de; a) R$,6. b) R$,6. c) R$,6. d) R$,46. e) R$, A metade do número + 4 é: a) b) 4 c) + 4 d) e) + 4. Numa divisão, o quociente é 8 e o resto 4. Sabe-se que a soma do dividendo, do divisor, do quociente e do resto é 44. Então a diferença do dividendo menos o divisor é: a) 7. b) -7. c) 00. d) 48. e) -48. Estou com você até a conquista! Página

4 . Carlos e Pedro são alunos muito aplicados em Matemática. Certo dia, Carlos perguntou a Pedro se ele sabia resolver a seguinte questão: Determine o algarismo das unidades do número (85474) 64. Pedro resolveu o problema, chegando ao resultado correto. Qual foi o resultado a que Pedro chegou? a) 4. b). c) 5. d) 6. e).. MULTIPLOS E DIVISORES Dados os números naturais A e B, dizemos que A é múltiplo de B, se, e somente se, a divisão de A por B for exata, ou seja, deixar resto zero. Então, dizemos que A é múltiplo de B. Em contrapartida, B é divisor de A. Ex.: 6 é múltiplo de e é divisor de 6. Obs.: O número zero (0) é múltiplo de qualquer número, mas não é divisor, pois não existe divisão por zero. O QUE É NÚMERO PRIMO? Um número natural é primo quando só possui dois divisores: e ele mesmo. Caso ele tenha mais de dois divisores, então esse número é chamado de número composto. O número não é primo nem composto. P,, 5, 7,,,7,9,,... Aqui temos alguns números primos. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Um número será divisível por: a) Dois, quando for par, ou seja, terminar em 0,, 4, 6, 8. Ex.: 60, 86, 9, 98. b) Três, quando a soma de seus algarismos for um número divisível por. Ex.: (++=6), 70(7+0+=9), 86(+8++6=8). c) Quatro, quando seus dois últimos algarismos formarem um número divisível por 4. Ex.: 04 (04 é divisível por 4) 54 (4 é divisível por 4) 84 (84 é divisível por 4) d) Cinco, quando terminar em zero ou em cinco. Ex.: 00, 65, 005. e) Seis, quando for divisível por dois e por três simultaneamente. Ex.: 0, 4, 84. f) Sete, quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos algarismos restantes for um número divisível por sete. Gabarito. D. B. B 4. B 5. C 6. C 7. C 8. E 9. B 0. A. D. D Ex.: 8 (8 x = 6 6 = 7: como 7 é divisível por 7, 8 também é divisível). Estou com você até a conquista! Página 4

5 69 ( x = = 6; 6: x = 6; 6 6 = 0: como 0 é divisível por 7, 69 também é divisível). g) Oito, quando os três últimos algarismos formarem um número divisível por oito. Ex.: 40, é divisível por 8 pois 40 é divisível por , é divisível por 8, pois 880 é divisível por 8. h) Nove, quando a soma dos algarismos for um número divisível por nove. Ex.: 567 ( = 8 é divisível por 9). 4 ( = 9 é divisível por 9). i) Dez, quando terminar em zero. Ex.: 0, 00, 0, 490. Quantos divisores naturais possui o número 40? Primeiro fatoramos 40. Temos que: 40 = n.d.n. = (4 + ). ( + ). ( + ) = 5.. = 0 Então, o número 40 possui 0 divisores positivos (naturais). E, por sua vez, o dobro disso (. 0) de divisores inteiros (positivos e negativos). 0 divisores naturais. 40 divisores inteiros. OBTENÇÃO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO Encontre os divisores de 08: Fatoramos o número dado. j) Onze, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar for um número divisível por onze. Ex.: S(ordem ímpar) = =. S(ordem par) = = diferença =. DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Todo número natural maior que pode ser escrito como um produto de fatores primos. Decompor em fatores primos significa escrever o número como um produto de fatores primos. Ex.: decompor os números 6, 40, 40, 08. Temos que começar dividindo o número pelo menor número primo, caso este seja divisível, e continuamos dividindo por ele até que não seja mais divisível e assim passamos para o próximo primo que seja divisor do quociente. Anotamos o número, que é divisor universal. Multiplicamos o º fator primo pelo e anotamos o resultado. Multiplicamos os próximos fatores pelos divisores já obtidos e anotamos os resultados. NÚMERO DE DIVISORES NATURAIS Admitamos que um certo número seja representado na forma fatorada da seguinte maneira: N = a x. b y. c z. d w então: n.d.n. = (x + ).(y + ).(z +).(w + ) n.d.i. =. (x + ).(y + ).(z +).(w + ) Estou com você até a conquista! Página 5

6 MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) O maior divisor comum (M.D.C.) de dois números A e B é o maior número diferente de um, o qual divide A e B ao mesmo tempo. Por exemplo: se considerarmos os números 6 e 4, podemos perceber que os números,, 4, 6, são divisores comuns, ou seja, dividem tanto o 4 como o 6. Porém, o maior deles, que é o, será o M.D.C. Nesse exemplo, fica fácil de encontrar o maior divisor comum. Quando passamos para números um tanto grandes, por esse método torna-se cansativo e muito trabalhoso. Partimos então para métodos mais práticos. O M.D.C. de vários números naturais é o produto dos fatores primos comuns elevados aos seus menores expoentes. Como exemplo, vamos calcular o M.D.C. (08, 80): Esse resto é colocado ao lado do número 08 e faremos a divisão de 08 pelo resto, no caso 7, colocando o quociente na parte de cima e o resto na parte de baixo: Esse resto 6 é colocado ao lado do 7 e será feita a divisão de 7 por 6, o quociente será colocado na parte de cima e o resto na parte de baixo e procedemos assim até que o resto seja igual a zero. Fatorando 08 e 80: Chegamos ao fim, obtendo como M.D.C. o número 6 APLICANDO M.D.C. A PROBLEMAS O M.D.C. será o produto dos fatores comuns, quem é comum? O e o. Elevados aos menores expoentes, no caso: e. O 5 não participa, pois não é comum. M.D.C. (08, 80) =. = 4. 9 = 6 OBSERVAÇÃO: Se o M.D.C. de dois números for igual a, então dizemos que esses números são primos entre si. Por exemplo, os números 5 e 6 são primos entre si, pois o único número que divide os dois ao mesmo tempo é o número. Também podemos usar o método das divisões sucessivas, chamado vulgarmente de jogo da velha. Procedemos da seguinte forma: dividimos o maior dos números pelo menor, colocando na parte de cima o quociente e o resto na parte de baixo: a) Tenho 84 balas de coco, 44 balas de chocolate e 60 balas de leite. Quero formar pacotes de balas, sem misturar sabores. Todos os pacotes devem ter a mesma quantidade de balas e essa quantidade deve ser a maior possível. Quantas balas devo colocar em cada pacote? Quantos pacotes devo formar? Percebemos que a questão é de M.D.C. porque o problema fala em formar pacotes, ou seja, dividir as balas. O problema diz mesma quantidade de balas, ou seja, a divisão tem que ser exata. O divisor é comum. E o xeque-mate, essa quantidade deve ser a maior possível, pronto é M.D.C. Toda vez que o problema se referir a dividir, repartir, distribuir, em partes iguais, quantidades iguais, sem sobras, com a maior quantidade possível, estamos diante de um problema de M.D.C. Podemos usar qualquer um dos dois métodos apresentados anteriormente: Estou com você até a conquista! Página 6

7 Os fatores primos comuns com os menores expoentes são: M.D.C. (84, 60, 44) =. = 4. = Todos os pacotes devem ter a mesma quantidade de balas, sem misturar sabores, logo, devemos ter em cada pacote balas. Iremos formar: 84 : = 7 pacotes de sabor coco 60 : = 5 pacotes de sabor leite 44 : = pacotes de sabor chocolate = 4 pacotes no total Podemos usar o método das divisões sucessivas. Para isso, começamos achando o M.D.C. de dois deles. Feito isso, calculamos o M.D.C. do número que sobrou, no caso 60, com o M.D.C. encontrado. Pelo método prático: Cada uma das partes terá 6 dm e iremos formar = pedaços. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) Calcular o M.M.C. de dois números, A e B, é encontrar o menor número diferente de zero, que seja ao mesmo tempo divisível por A e B. Como exemplo disso, vamos considerar os números 4 e 6. Olhando para os múltiplos de 4 em sequência, temos: (4, 48, 7, 98,...) e os múltiplos de 6 (6, 7, 08,...). Perceba que o número 7 é o menor múltiplo existente de 4 e 6. Existem outros múltiplos de 4 e 6 ao mesmo tempo, como 44, 6, entre outros. Mas 7 é o menor deles. Quando passarmos para outros números, sucumbiremos na dificuldade e morosidade dos cálculos. Iremos adotar, assim, métodos mais simplificados. Vejamos: O M.M.C. de vários números naturais é o produto dos fatores primos comuns e não comuns elevados aos seus maiores expoentes. Como exemplo, vamos calcular o M.M.C. (08, 80): MÉTODO PRÁTICO O método prático consiste em fatorar simultaneamente os números 60, 84, 44 apenas pelos divisores comuns, veja: Os fatores comuns e. Com os maiores expoentes e. O 5 não é comum, mas no M.M.C. ele participa. Percebam que só dividimos pelos divisores comuns e paramos em 5, 7,, pois não há divisores comuns entre eles a não ser o. Logo, eles são primos entre si. 5, 7 e, são as quantidades de pacotes que iremos formar de sabores, respectivamente, leite, coco e chocolate. No total de = 4 pacotes. b) Um carpinteiro quer dividir, em partes iguais, três vigas, cujos comprimentos são, respectivamente, 0 dm, 4 dm e 54 dm, devendo a medida de cada um dos pedaços ser a maior possível. Qual a medida de cada uma das partes? Qual a quantidade de partes que iremos formar? M.M.C. (08, 80) =.. 5 = = 540 Podemos utilizar um método prático, que é a fatoração simultânea. Nesse caso, fatoramos 08 e 80 ao mesmo tempo. Estou com você até a conquista! Página 7

8 Obs.: a. b = M.M.C. (a, b). M.D.C. (a, b) Veja que: = M.M.C. (08, 80). M.D.C. (08, 80) = = APLICANDO M.M.C. A PROBLEMAS a) Fazer lição dá uma fome... Luciana comeu muitos doces e tomou vários refrigerantes. Era dia º de maio. Luciana decidiu que, a partir de então, para não engordar, só comeria doces de 4 em 4 dias e só tomaria refrigerantes de 6 em 6 dias. Em quais dias do mês de maio ela voltaria a comer doces e tomar refrigerantes no mesmo dia? Vamos analisar o problema da seguinte forma: dias que ela toma refrigerante a partir de hoje 6º, º, 8º, 4º,... dias que ela come doces a partir de hoje 4º, 8º, º, 6º, 0º, 4º,... Verifique que no º ela toma refrigerante e come doces. Logo, ela coincide o refrigerante com os doces de em dias. Então, se hoje é dia º de maio, ela comerá doces e tomará refrigerantes nos dia de maio e 5 de maio. Pelo M.M.C. também chegamos à resposta, veja: Usamos M.M.C. em problemas que desejam descobrir encontros, como, por exemplo, em que dia se encontrarão, depois de quantos dias volta a acontecer, assim por diante. b) Dois ciclistas largaram juntos numa pista, percorrendo-a com velocidade constante. Alberto completa cada volta em 8 minutos. Barreto leva minutos em cada volta. Depois de quantas horas os dois cruzarão juntos, pela primeira vez, o ponto de largada? E pela segunda vez? Logo, transformando os 98 minutos em horas, temos: 98 min =. 60 min + 8 min = horas e 8 minutos (ª vez) x ( h 8 min) = 6 h 6 min 6 horas e 6 minutos (ª vez) EXERCÍCIOS. No alto da uma torre de uma emissora de televisão, duas luzes piscam com frequências diferentes. A primeira pisca 5 vezes por minuto, e a segunda pisca 0 vezes por minuto. Se, num certo instante, as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? a). b) 0. c) 0. d) 5. e) 0.. (UFPE) Uma escola deverá distribuir um total de 60 bolas de gude amarelas e 907 bolas de gude verdes entre alguns de seus alunos. Cada aluno contemplado receberá o mesmo número de bolas amarelas e o mesmo número de bolas verdes. Se a escola possui 00 alunos e o maior número possível de alunos da escola deverá ser contemplado, qual o total de bolas que cada aluno contemplado receberá? a) 8. b) 9. c) 40. d) 4. e) 4.. No almoxarifado de certa empresa, havia dois tipos de canetas esferográficas: 4 com tinta azul e 60 com tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote contenha apenas canetas com tinta de uma mesma cor. Se todos os pacotes devem conter igual número de canetas, a menor quantidade de pacotes que ele poderá obter é: a) 8. b) 0. c). d) 4. e) Calcule o valor de m para que o número.. 5 m admita 60 divisores naturais. a) 0. b) 04. c) 05. d) 06. e) Se o M.D.C. (x, y) = 4 e o M.M.C. (x, y) = 480. Sabendo que x = 60, então o valor de y é: a) 80. b) 8. c) 96. d). e) 0. Estou com você até a conquista! Página 8

9 6. Dois trens partem simultaneamente, de uma mesma estação, fazendo percursos diferentes. Um dos trens parte da estação a cada 90 minutos e o outro, a cada hora e 40 minutos. O tempo que levará para os dois trens partirem conjuntamente é de: a) h. b) 5h. c) 6h. d) 7h. e) 8h. 7. Um colecionador possui mais de 500 selos e menos de 000. Contando o número de selos de 5 em 5, de 5 em 5, e de 5 em 5, sempre sobram. O número de selos do colecionador é: a) 96. b) 98. c) 75. d) 68. e) Uma empresa de telefonia precisa implantar torres de comunicação ao longo de três rodovias distintas, que medem 450 km, 0 km e 00 km. Para facilitar sua localização, decidiu-se instalar as torres mantendo entre elas, sempre a mesma distância nas três rodovias. Foi utilizada a maior distância possível, e elas foram instaladas a partir do quilometro zero de cada rodovia. O número de torres instaladas nas rodovias foi: a) 5. b) 6. c) 8. d) 7. e) Em uma sala do Tribunal há três pilhas de processos, uma com 48, outra com 8 e a última com 40 processos. Para agilizar a distribuição dos processos entre os juízes, um funcionário recebeu a tarefa de separar todos esses processos em pacotes, de forma que: cada pacote tenha mais do que dois processos; um mesmo pacote não contenha processos de pilhas diferentes; todos os pacotes tenham o mesmo número de processos. Após realizar o trabalho, quantos pacotes de processos foram feitos? a) 5. b) 7. c). d) 9. e) Uma representação comercial possui cinco vendedores em seu quadro de funcionários, que viajam periodicamente para sua área de atuação, conforme tabela abaixo: Vendedor João Vanessa Paulo Amanda Manuel Dias 5 em 5 dias 0 em 0 dias 0 em 0 dias 8 em 8 dias em dias Se todos viajarem no dia 0 de março, em que dia eles voltarão a viajar juntos? a) 0 de julho. b) 8 de julho. c) 0 de junho. d) 7 de julho. e) de julho.. Numa corrida de automóveis, três pilotos dão a largada juntos e de um mesmo lugar. O primeiro completa cada volta em 8 segundos; o segundo, em segundos; e o terceiro, em 6 segundos. Após 4 minutos de corrida, eles terão se encontrado: a) vezes. b) 5 vezes. c) 4 vezes. d) vezes. e) 6 vezes.. Três ciclistas A, B e C treinam em uma pista. Eles partem de um ponto P da pista e completam uma volta na pista ao passarem novamente pelo mesmo ponto P. O ciclista A gasta 0 segundos, o ciclista B, 45 segundos, e o ciclista C, 40 segundos, para dar uma volta completa na pista. Após quanto tempo, os três ciclistas passam juntos, no ponto P, pela terceira vez consecutiva? a) 8 min. b) 5 min. c) 0 min. d) 5 min. e) 0 min. Gabarito. A. D. C 4. B 5. D 6. B 7. D 8. E 9. D 0. B. B. A Estou com você até a conquista! Página 9

10 . CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen = número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -, -, -, 0,,,, 4,...} Exemplos de subconjuntos do conjunto Z (a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero: Z* = {..., -4, -, -, -,,,, 4,...} (b) Conjunto dos números inteiros não negativos: Z + = {0,,,, 4,...} (c) Conjunto dos números inteiros não positivos: Z- = {..., -4, -, -, -, 0} (d) Conjunto dos números inteiros positivos Z* + = {,,,...} (e) Conjunto dos números inteiros negativos Z* = {..., -, -, -}.. Reta Numérica Exemplos: (a) - + = 0 (b) +6 + = 9 (c) +5 - = 4 (d) -6 + = - Propriedades da Adição Fechamento: A soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro. Associativa: Para todos a, b, c em Z: a + (b + c) = (a + b) + c + ( + 7) = ( + ) + 7 Comutativa: Para todos a, b em Z: a + b = b + a + 7 = 7 + Elemento neutro: Existe 0 em Z, que, adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é: z + 0 = z = 7 Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que: z + (-z) = (-9) = 0... Multiplicação / Divisão Para realizar a multiplicação e também a divisão de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais: Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e e colocar os números inteiros da seguinte maneira: Sinais dos números iguais diferentes Exemplos: a) (-). (+) = - 6 b) (+5). (+) = +0 c) (-5) : (-5) = + d) (+0) : (-4) = - 5 Resultado positivo negativo Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita... Operação com Números Inteiros... Adição / Subtração Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de ganhar; e, aos números inteiros negativos, a ideia de perder. ganhar + ganhar 4 = ganhar 7 (+) + (+4) = (+7) perder + perder 4 = perder 7 (-) + (-4) = (-7) ganhar 8 + perder 5 = ganhar (+8) + (-5) = (+) perder 8 + ganhar 5 = perder (-8) + (+5) = (-) Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado. Propriedades da Multiplicação Fechamento: A multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro. Associativa: Para todos a, b, c em Z: a x (b x c) = (a x b) x c x ( x 7) = ( x ) x 7 Comutativa: Para todos a, b em Z: a x b = b x a x 7 = 7 x Elemento neutro: Existe em Z, que, multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é: z x = z 7 x = 7 Distributiva: Para todos a, b, c em Z: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) x (4 + 5) = ( x 4) + ( x 5) Estou com você até a conquista! Página 0

11 .. Potenciação de Números Inteiros Para trabalhar a potenciação dos inteiros, devemos observar o sinal da base e trabalhar com a seguinte regra: Sinal da base Positivo Negativo Exemplos: (a) = 9 (b) (-) = 9 (c) = 7 (d) (-) = -7 OBS.: (-) = 9 - = - 9 Resultado Positivo Positivo, se o expoente for par. Negativo, se o expoente for ímpar. EXERCÍCIOS. Qual o valor da expressão: [ - +. (-7 + ) 0]. (-)? a) 5. b) 40. c) 45. d) 50. e) 55.. O intervalo da reta numérica compreendido entre -7 e -8 foi dividido em 9 partes iguais, como mostrado na figura abaixo. O número inteiro que corresponde ao ponto A assinalado nesta reta numérica é: a) 60. b) 54. c) 45. d) 4. e) 6.. Após uma nevasca sofrida por toda a cidade de Gravatá, a temperatura, que era de graus centígrados, caiu o triplo. Então, a temperatura nesse momento era de: a) graus. b) graus negativos. c) 4 graus. d) 4 graus negativos. e) 0 grau. 4. Amplitude térmica é a diferença entre a temperatura máxima e mínima registrada em um lugar. Num dia de inverno em Berlim (Alemanha), a temperatura mínima registrada foi de - C e a temperatura máxima foi de C. Qual foi a amplitude térmica registrada nessa cidade? a) 5 C. b) C. c) 6 C. d) - 5 C. e) - C. 5. Numa adição com três parcelas, o total era 58. Somando-se à primeira parcela, à segunda e subtraindo-se 0 da terceira, qual será o novo total? a) 58. b) 68. c) 7. d) 78. e) Determine o valor da seguinte expressão: 0 (-8) : (-) [5. (-) + (+40) : (-) + ] A tabela abaixo ilustra uma operação correta de adição, na qual as parcelas e a soma estão expressas no sistema de numeração decimal e x, y e z são dígitos entre 0 e 9. Quanto vale x + y + z? a) 7. b) 8. c) 9. d) 0. e). 8. A cidade de Roma foi fundada no ano 750, e a divisão do Império Romano aconteceu no ano Quantos anos se passaram entre a fundação de Roma e a divisão do Império Romano? a) 400 anos. b) 45 anos. c) 045 anos. d) 445 anos. e) 55 anos. 9. Seja P o produto de um número inteiro e positivo N por 9. Se N tem apenas três dígitos, e P tem os algarismos das unidades, das dezenas e das centenas iguais a 4, 6 e, respectivamente, então P + N é igual a: a) b) c) d) e) Em um deserto, a temperatura máxima registrada em um certo dia foi de 40 ºC. se, nesse mesmo dia, a temperatura variou de 5ºC, então a menor temperatura registrada nesse dia foi: a) - C. b) - C. c) C. d) 8 C. e) C. Gabarito. D. B. D 4. A 5. E A 8. B 9. E 0. B Estou com você até a conquista! Página

12 4. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Um número racional é o que pode ser escrito na forma b a, em que a e b são números inteiros, sendo que b deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos b a para significar a divisão de a por b. Fração: número que representa pedaços de um inteiro. Generalidades sobre Frações Fração própria: Numerador < Denominador. Fração imprópria: Numerador > Denominador. Fração decimal: Denominador potencia de 0. Fração ordinária: Não é decimal Fração irredutível: Numerador e Denominador primos entre si. Obs.: Complemento de uma fração própria para um inteiro. x y - x De tomados, faltam tomar para y y completar um inteiro. Ex.: Tomando-se 7, faltam tomar 7 5 para completar um inteiro. Operações com Frações Adição / Subtração Denominadores iguais: mantemos o denominador e operamos com os numeradores. - 4 Ex.: Denominadores diferentes: reduzimos as frações ao mesmo denominador por meio do cálculo do M.M.C. dos denominadores e, em seguida, aplicamos a regra anterior. Ex.: Multiplicação: multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador. 7 4 Ex.: 5 5 Divisão: repetimos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda fração Ex.: 5 7 Potenciação: devemos elevar o numerador e o denominador ao expoente em questão Ex.: 4 6 n Potência de expoente negativo: a n a 5 Ex.: 5 p q Potência de expoente fracionário: a q a p Ex.: 4 Operações com números decimais Adição e Subtração. Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais, temos de seguir alguns passos: Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais. Exemplos:,4 +,7 =, ,4,7 =,400,7 Escrever os números de tal modo que fique vírgula sob a outra vírgula e, em seguida, realiza-se a operação. Exemplos:,400,400 +,7 -,7 4, 0,677 Multiplicação de Números Decimais. Podemos multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas decimais quantas forem o total de casas dos fatores envolvidos no cálculo.,5 casas decimais fator x,5 casa decimal fator ,875 casas decimais Produto Divisão de Números Decimais: para dividirmos dois números decimais, devemos igualar o número de casas decimais e, em seguida, efetuar a divisão como se fossem números inteiros. Exemplo:,975 : 0,5.975 : 500 = 8,65 Geratriz de uma dizima periódica Dízima simples: a geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplos: 7 0, , 99 Estou com você até a conquista! Página

13 Dízima Composta: a geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma d n, em que: n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Exemplos: 5-4 0, , EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO. O valor da expressão : : : é: 5 a) /. b). c). d) /5. e) 5.. Sendo: x= x é igual a: a) b) c) d) e) n n n, podemos afirmar que. Usando as propriedades de potenciação e de radiciação, calcule o valor da expressão numérica: a) 5 b) 4 c) d) e) 6 Gabarito. A. C. A EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Em uma casa comercial, metade dos empregados são homens, são mulheres e os 6 restantes são meninos. Quantos empregados há na casa? Resolução: Procuramos achar a fração referente a homens e mulheres, o restante indica a fração referente aos meninos. Homens = Mulheres = Meninos = 6 5 = (homens e mulheres) 6 6 Restam = 6 (meninos). x = 6 x = 6 empregados. 6. Uma pessoa dá a metade do seu salário para a esposa. Em seguida, dá um terço do que sobrou para o filho mais velho. Depois,. dá 5 do que restou para a caçula. Sabendose que sobraram R$ 640,00, calcule o salário dessa pessoa. Resolução: Quando a questão aborda o que resta, o que sobra, iremos trabalhar somente com os restos. Dá metade = sobram Dá um terço = sobram Dá um quinto = 5 sobram 5 4 Então: x = R$.400, x = dos dos dos de um número é Qual é esse número? Resolução: Quando a questão apresenta DA, DE, DO, ela está se referindo a uma multiplicação x = 9 x =. 9 x = 7 6 Estou com você até a conquista! Página

14 EXERCÍCIOS. (FCC) Certo mês, todos os agentes de um presídio participaram de programas de atualização sobre segurança. Na primeira semana, o número dos participantes corresponde a /4 do total e, na segunda, a /4 do número restante. Dos que sobraram, /5 participaram do programa na terceira semana; e os últimos 54, na quarta semana. O número de agentes desse presídio é: a) 00. b) 40. c) 80. d) 00. e) 0.. (FCC) Um carro percorreu /5 da distância entre duas cidades e depois mais / da estrada restante e, desse modo, faltavam 8 km para completar a distância entre essas duas cidades. A distância que o carro percorreu foi de: a) km. b) km. c) 6 km. d) 7 km. e) 90 km.. (CORREIOS) Uma dona de casa foi a um supermercado e gastou /9 do que possuía em compras e depois foi à feira e gastou /7 do resto do que tinha em frutas e ainda lhe sobrou R$ 8,00. A quantia que ela tinha antes de fazer essas compras era: a) R$,40 b) R$ 5,0 c) R$ 8,00 d) R$ 8,0 e) R$ 9,40 4. Do total das pessoas que estiveram comprando bilhetes nos guichês de uma estação de metrô em certo dia, sabe-se que: foi atendido por Dagoberto, por Breno e 8 5 as demais por Leandro. Nessas condições, o número de pessoas atendidas por Leandro corresponde a que fração do total de pessoas atendidas nesse dia? a) 5 b) 9 40 c) 4 d) 9 40 e) Na convocação da Seleção Brasileira de Vôlei Masculino para as Olimpíadas de Atenas, verificou-se que 4/9 dos jogadores convocados eram de clubes paulistas, / era de clubes mineiros e os 4 restantes eram de clubes de outros estados. Então, foram convocados: a) jogadores. b) 4 jogadores. c) 6 jogadores. d) 8 jogadores. e) 0 jogadores. 6. Um pai disse aos seus três filhos: no banco há uma quantia, que será dividida com vocês três. O mais velho ganha /, o mais novo ganha /6 e o outro ganha o resto, que é de R$.000,00. Quanto é a quantia que havia no banco? a) R$ 6.000,00 b) R$ 0.000,00 c) R$ ,00 d) R$ 5.000,00 e) R$ ,00 7. O soldado Carlos gasta mensalmente /5 do seu salário com alimentação, /4 com educação dos filhos, / com lazer e deposita R$ 0,00 na caderneta de poupança. O salário do soldado Carlos, em reais, é: a) 70,00. b) 600,00. c) 650,00. d) 750,00. e) 50, Num salão de cabeleireiro, /4 das mulheres eram loiras, /, ruivas, e as 5 restantes, morenas. Se / das loiras pintam os cabelos de preto, quantas loiras restam? a). b) 4. c) 6. d) 8. e) Usando as propriedades de potenciação, calcule o valor da expressão numérica: 5 a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 0. 0, Estou com você até a conquista! Página 4

15 0. Dados os números reais x = 0, , y = 0, , z = 0,5 e w afirmar que x y w z 5 4 a) é um nº irracional. b) é um nº natural. c) é um número inteiro. d) 0 < 0 e) ( + ) > 0, é CORRETO. João tem um salário de R$.00,00 por mês. Se /5 de seu salário é utilizado para pagar prestação de utensílios que ele comprou para sua casa, e 4 do restante ele paga a prestação de sua casa própria, qual a importância que João tem no fim, para custear as outras despesas? a) R$ 60,00. b) R$ 85,00. c) R$ 70,00. d) R$ 786,00. e) R$ 768,00.. Numa corrida de fórmula, os três primeiros colocados consomem um total de 640 litros de gasolina. O segundo colocado gasta a 7/8 do que consome o primeiro, e o terceiro utiliza 5/8 da quantidade de combustível usada pelo primeiro. Assinale a alternativa certa para o consumo do segundo colocado. a) 56 litros. b) 60 litros. c) 4 litros. d) 50 litros. e) 400 litros. 5. EQUAÇÕES DO º GRAU Equação é toda sentença matemática aberta expressa por uma igualdade. Neste capítulo daremos, especificamente, as chamadas equações do º grau. Vamos ver alguns exemplos de equações do º grau. Ex.: x 4 9 Ex.: x 7 5x º º Ex.: 5(x membro ) membro x 0 º membro º Para resolvermos mem uma equação do º grau, devemos sempre deixar o valor desconhecido (incógnita) no º membro e os demais valores no º membro. Observe os exemplos a seguir. Ex.: Resolva a equação 4x 5 0 x. Solução: Devemos, de início, colocar no º membro os termos que apresentam a incógnita e, no º membro, os termos que não apresentam a incógnita. Os termos que mudam de membro têm seus sinais trocados. 4x 5 0 x 4x x x 5 x x 5 Ex.: Resolva a equação 5x (x ) (4x ). Solução: 5x (x ) (4x ) 5x 6x 4 8x 6 5x 6x 8x 6 4 7x x 7 º º membro membro Ex.: Resolva a equação Solução: 4x (x 4) ( x) 0 4x (x 4) 0 5( x) x x 4 x Reduzimos ao menor denominador comum, calculando o M.M.C. dos denominadores. Cancelamos os denominadores. Gabarito. B. D. C 4. B 5. D 6. A 7. B 8. E 9. C 0. C. C. C 4x x x 4x x 5x x 7 x 7 7 x Estou com você até a conquista! Página 5

16 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Pensei um número, multipliquei-o por 5, em seguida somei 48, depois dividi tudo por 9 e obtive o número que pensei. Qual foi esse número? Solução: A questão é resolvida por equação por referir-se somente a uma incógnita. Número = x x = x 9. x = 5x x 5x = x = 48 x = 4 48 x =. Uma torneira enche um tanque em 5 min e outra enche o tanque em 0 min. Se as duas forem abertas simultaneamente, em quanto tempo o tanque ficará cheio? Solução: Nas questões relativas à torneira, comparamos sempre a. Ex: T = 5 min em min = 5 T = 0 min em min = 0 Tempo total = T = x min em min = x Encheu é positivo, esvaziou é negativo. Então, temos: M.M.C (0, 5, x) = 0x 5 0 x x x 0 0x 0x x = 6 min 0 5x = 0 x = 5. Uma torneira enche um tanque em 4h, outra enche em 6h e uma válvula o esvazia em h. Estando abertas as torneiras e a válvula, simultaneamente, em quanto tempo o tanque estará cheio? Solução: Comparamos a hora e agimos como na questão anterior. T = 4h M.M.C (, 4, 6,x) = x 4 T = 6h 6 V = h T = xh x SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO º GRAU Imagine o seguinte problema: descubra dois números cuja soma dê 5 e cuja diferença dê 5. Este problema pode ser resolvido por meio de um sistema de equações, o qual se monta com duas equações e dois valores desconhecidos (incógnitas). Vejamos como ficaria o sistema montado. Solução: Considerando o primeiro número como sendo x e o outro número como sendo y, teremos o seguinte: x y 5 x y 5 Uma vez armado o sistema, devemos descobrir um meio para resolvê-lo e, assim, solucionar o problema proposto. Vamos ver duas formas distintas de resolver o mesmo problema. O Método da Substituição Observe passo a passo como funciona este método: º) Isola-se uma das variáveis em uma das equações. Vamos isolar o y na primeira equação: x y 5 y 5 x º) Substitui-se a expressão encontrada no º passo na segunda equação: x y 5 x (5 x) 5 º) Resolve-se a equação encontrada no º passo: x (5 x) 5 x 5 x 5 x x 5 5 x 0 x 0 A soma dos dois deve ser igual a 5 A diferença entre os dois deve ser igual a 5 x 0 4º) No º passo, encontramos um dos valores desconhecidos, x = 0. Agora, substituímos esse valor na expressão encontrada no º passo, no caso, y = 5 x. Com isto, encontramos o outro valor desconhecido e finalizamos o problema. y = 5 x y = 5 0 y = 5 A solução do problema é x = 0 e y = 5, isto é, um dos números é 0 e o outro é 5. + = 4 6 x x x 4x x x x = h O Método da Adição Este método se resume a somar membro a membro as equações que compõe o sistema, de tal modo que uma das incógnitas seja eliminada. Estou com você até a conquista! Página 6

17 Observe: x y 5 x y 5 0 x 0 x x 0 Agora, substituímos o valor de x encontrado em qualquer uma das equações. Por exemplo, na primeira equação: x y 5 0 y 5 y 5 0 y 5 EXERCÍCIOS. Numa fazenda há vacas e galinhas. Num total de 0 cabeças. Se a soma das pernas das vacas e galinhas é.000, podemos concluir que o número de vacas existentes nessa fazenda é: a) 45. b) 80. c) 70. d) 8. e) 80.. Em uma sala, há lâmpadas iguais, um televisor e um aparelho de ar-condicionado. A TV consome / dos quilowatts-hora que uma das lâmpadas consome. O aparelho de ar-condicionado consome 5 vezes o que consome uma lâmpada. Quando os objetos estão ligados, simultaneamente, o consumo total é de.00 quilowatts-hora. Então, podemos afirmar:. O televisor consome 0 quilowatts-hora.. O consumo do ar-condicionado equivale a cinco vezes o consumo das três lâmpadas.. O ar-condicionado consome o equivalente a 45 televisores. Dentre as afirmativas, estão corretas: a) e. b) somente. c) e. d) e. e) todas.. Para um show da banda MAGNÍFICOS, em Recife, os ingressos tiveram preços diferenciados. De segunda a quarta-feira custaram R$ 0,00, e de quinta-feira a sábado, R$ 5,00. Sabendo-se que foram vendidos.000 ingressos e arrecadados R$ 4.500,00, o número de ingressos vendidos até quarta-feira foi: a).000. b).500. c).00. d) 900. e) Em cada jogo do campeonato nacional de futebol uma equipe pode ganhar três, um ou nenhum ponto conforme vença, empate ou perca, respectivamente. Se num total de 5 jogos uma equipe ganhou pontos e não perdeu nenhum jogo, quantas vitórias essa equipe obteve? a) 6 vitórias. b) vitórias. c) 5 vitórias. d) 4 vitórias. e) 7 vitórias. 5. Numa prova de Matemática, contendo 0 questões, Lula fez 6 pontos. Sabe-se que ele ganhava 5 pontos para cada resposta certa e perdia pontos para cada resposta errada. O total de questões que Lula acertou na prova foi de: a) 0. b) 7. c) 5. d) 8. e) Num Rali de motos e de carros, participaram 50 veículos. Assim, podemos afirmar que o número de motocicletas nessa competição, se o total de rodas é de 900, deverá ser igual a: a) 0 motos. b) 40 motos. c) 50 motos. d) 60 motos e) 70 motos. 7. Uma bomba d água enche um reservatório de um carro de bombeiros em vinte minutos. Outra bomba gasta trinta minutos para encher o mesmo reservatório. Em quantos minutos as duas bombas juntas encherão o reservatório? a) 5. b) 6. c) 4. d). e). 8. A soma de três números naturais consecutivos é sempre um número: a) par. b) ímpar. c) primo. d) múltiplo de. e) múltiplo de Um tanque tem duas torneiras. A primeira enche o tanque em 5 horas, e a segunda, em 8 horas. Estando o tanque vazio e, abrindo- -se as duas torneiras durante 5 horas, enche- -se uma parte do tanque. Podemos afirmar que a segunda torneira encherá o restante do tanque em: a) 4 horas. b) 0 horas. c) 7 horas. d) 8,5 horas. e) 8 horas. Estou com você até a conquista! Página 7

18 0. O quíntuplo de um número, dividido por este número aumentado de duas unidades, dá quocientes e deixa resto. Qual é este número? a) 4. b) 6. c) 8. d) 0. e).. Um estudante de 5ª série mostrou dificuldade para entender e resolver uma questão de fração cujo teor era o seguinte: Calcule o valor de x da expressão x 4 Um Auxiliar de Serviços Gerais concluiu que o valor de x é: a) 4. b). c). d). e) 0.. Carlos disse a Renato que era capaz de acertar um número que ele pensasse, fazendo, apenas, 4 perguntas. Renato achou graça e disse: pensei em um número. Então, Carlos disse: some ao número pensado o número 5, multiplique a soma por e subtraia 0 do produto. Informe o resultado das operações, e Renato afirmou 80. Carlos, então, informou corretamente o número que Renato havia pensado. O produto dos algarismos do número que Renato pensou é igual a: a). b) 5. c) 0. d) 48. e) 50.. Um número é composto por dois algarismos. Sabendo-se que a soma do algarismo das dezenas com o algarismo das unidades é 8 e que, subtraindo-se o número do número formado, permutando-se o algarismo das unidades com o das dezenas, o resto dessa subtração é um número terminado em 6, é CORRETO afirmar que o produto dos algarismos das dezenas com o das unidades do número é: a) 40. b) 0. c) 45. d). e).. 4. Uma livraria pretende fazer seu balanço anual. Pedro e João são os contabilistas da Empresa. Se os dois trabalhassem juntos no serviço, eles fariam o balanço em 6 dias, porém, se João trabalhar sozinho, realizará o serviço em 8 dias. Em quantos dias, Pedro, trabalhando sozinho, concluirá o balanço? a) 5. b). c) 9. d) 8. e) Resolvendo o sistema abaixo, é CORRETO afirmar que xy é igual a: a). b) 4. c) 6. d) 0. e) x y 0 x y Gabarito. B. E. C 4. D 5. D 6. C 7. D 8. D 9. C 0. A. D. C. E 4. C 5. D Estou com você até a conquista! Página 8

19 6. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS 6.. Definição: Sistema métrico decimal é o conjunto de medidas que tem por base o metro. 6.. Principais Unidades Metro: Para as medidas de comprimento. Metro Quadrado: Para as medidas de área ou superfície. Are: Para as medidas agrárias, isto é, medidas de grandes extensões de terra. Metro Cúbico: Para as medidas de volume. Litro: Para as medidas de capacidade. Grama: Para as medidas de massa. Obs.: m =.000 dm = t =.000 kg ha = m Unidades Múltiplos Unid. Submúltiplos Principal Comprimento km, hm, M dm, cm, mm dam Superfície km, hm, dam M dm, cm, mm Agrária ha a Ca Volume km, hm, dam M dm, cm, mm Capacidade K, H, Da d, c, m Massa kg, hg, dag G dg, cg, mg ª. A relação nas medidas de comprimento, capacidade e massa é decimal. As mudanças de unidades são feitas, deslocando-se a vírgula de uma em uma casa. ª. A relação nas medidas de superfície e agrária é centesimal. As mudanças de unidades são feitas deslocando-se a vírgula de duas em duas casas. ª. A relação nas medidas de volume é milesimal. As mudanças de unidades são feitas deslocando-se a vírgula de três em três casas. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 0. Exprima, em dm, a adição abaixo: Solução: 8,5 m + 0,75 Dam + 00mm + 0 cm = = 85 dm + 75 dm + dm + dm = 64 dm 0. Exprima, em m, expressão: Solução: Dam + 0, Hm m = = 00 m m m =.750 m 0. Efetue a adição dando o resultado em m. Solução: + 0,05 Da + 0,48 d -,5 d = = 000m + 500m + 48m - 50m = 98m MEDIDAS DE TEMPO O sistema para medida do tempo é sexagesimal, ou seja, as unidades variam tendo como base o número 60. Assim, a hora é a principal unidade, e o minuto e o segundo são seus submúltiplos. h = 60 min min = 60 seg h = 600 seg. EXERCÍCIO RESOLVIDO 0. Se o coração de um homem bate 70 vezes por minuto, quantas vezes o coração bate em um ano não bissexto? Solução: ano = 65 dias = 65 x 4 x 60 x 70 = = vezes. SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO No Brasil, atualmente, a nossa unidade monetária é o REAL. O principal submúltiplo do real é o centavo. Obs.: A conversão da moeda de um país para a moeda de outro país é denominada câmbio. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 0. Se um dólar vale R$,5 quanto valem, em reais, 40 dólares? Solução: 40 x,5 = R$.,00 0. A cotação do dólar, em um dia, era R$,50 para um dólar. Sendo assim, R$ 8.000,00 valem quantos dólares? Solução: D = 8.000,50 = US$.00 EXERCÍCIOS. A pista de kart onde Rodrigo treina tem.400 m de extensão. Se ontem Rodrigo percorreu 6,8 km nessa pista, quantas voltas ele deu? a) 4 voltas. b) 7 voltas. c) 6 voltas. d) 8 voltas. e) 7 voltas.. Um terreno retangular mede 8 hm de largura por cm de comprimento. Quantos metros de tela são necessários para fazer uma cerca em torno do terreno? a),56 metro. b) 5,6 metros. c) 56 metros. d).560 metros. e) metros. Estou com você até a conquista! Página 9

20 . Alguns trens do metrô apresentam informações aos usuários em forma de pequenos filmes. Um desses filmes durava 8 minutos e 0 segundos e precisava ser apresentado em 6 partes de mesma duração. Para isso acontecer, cada uma dessas partes deve durar: a) minuto e 0 segundos. b) minuto e 45 segundos. c) minutos e 0 segundos. d) minuto e 5 segundos. e) minuto e 5 segundos. 4. Um reservatório contém,8 m de óleo. Calcule quantas latas de 50 d estão contidas nesse reservatório, se ele está cheio até os 5/6 de sua altura. a) latas. b) 45 latas. c) 5 latas. d) 67 latas. e) 00 latas. 5. Em um temporal que aconteceu em junho, a chuva caiu com intensidade de 00 milímetros de precipitação. Isso significa que se deixarmos a chuva cair em uma caixa cujo fundo tem um metro por um metro, a água atinge, em uma hora, uma altura de 0 centímetros. Essa quantidade corresponde a quantos litros de água de chuva? a) 00 litros. b) 00 litros. c) 400 litros. d) 600 litros. e) 800 litros. b) litros. c) litros. d) litros. e) litros. 9. De um tonel foi retirado /9 do seu volume total de água e em seguida foi retirado /7 do restante da água e ainda sobraram 4 m de água no tonel. A capacidade total do tonel é de: a) litros. b) litros. c) litros. d) litros. e) litros. 0. Um tanque fora construído com as dimensões de 4,0 m de comprimento, 5 dm de largura e 80 cm de profundidade. Quando totalmente cheio de água, esse tanque tem a capacidade de: a) cm b) m c) d) dm e) 800 dm 6. A capacidade de um reservatório em forma de paralelepípedo retângulo cujas dimensões são 50 cm, 0 dm e m é, em litros: a). b) 0. c) 00. d).000. e) O volume da caixa d água do prédio onde mora Taísa é de 05 m. Sabendo que o consumo diário desse edifício, em média, corresponde aos 4/5 da capacidade da caixa, é correto afirmar que o consumo, em média, por dia, desse prédio é de: a) litros. b) litros. c) litros. d) litros. e) litros. 8. Um reservatório d água foi construído no terreno de uma casa com as seguintes dimensões: comprimento de,5 m, largura de 4,0 m e uma profundidade de 60 cm. Nessas condições, a capacidade desse reservatório é de: Gabarito. E. E. D 4. E 5. B 6. D 7. A 8. E 9. D 0. C a) litros. Estou com você até a conquista! Página 0

21 7. PROPORCIONALIDADE RAZÃO Razão entre dois números é a divisão entre esses números. Quando falamos na razão entre a e b, estamos fazendo: a a antecedent e b b consequent e Razões Especiais Velocidade Média d Vm t. Uma motocicleta percorreu 756 km em 6 horas. Qual a velocidade média do móvel, em km/h e em m/s? 756 km Vm 6 km / h 6 h Transformando em m/s, como cada km corresponde a.000 m e cada hora tem.600 segundos, logo: m / s Podemos, também, fazer o seguinte: quando for passar de km/h para m/s, basta dividir por,6. E, quando for passar de m/s para km/h, basta multiplicar por,6. Escala VD E VR. Um prédio de 0 m está sendo representado em uma planta por um comprimento de 0 cm. Qual a escala utilizada? Primeiro, temos que transformar as medidas na mesma unidade: 0 m = = 000 cm Jogando na razão, temos: 0 cm E ou : cm 00. Se o muro do prédio do exemplo anterior está sendo representado na planta por um segmento de,5 cm, então qual o seu comprimento? Já sabemos a escala utilizada nessa planta, basta substituir os valores: VD,5 cm E VR 00 VR VR 00.,5 cm 750 cm 7,5 m PROPORÇÃO Proporção é a igualdade entre duas razões. a b c d b e a e c são os meios d são os extremos A propriedade fundamental da proporção diz que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. b. c = a. d a) Encontre o valor de x em cada item abaixo: x Aplicando a propriedade fundamental da proporção: 0. x x x 0 x x x 0 8 Aplicando a propriedade fundamental da proporção: 8( x ) (x 0) 8x 8 4x 0 8x 4x 0 8 4x 8 8 x 4 9 x Soma ou diferença dos antecedentes e consequentes A soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente. a c b d a c a b d b c d a) A razão entre dois números é 4/5. Determineos, sabendo que eles somam 7. Estou com você até a conquista! Página

22 Montando o problema, ficamos com o seguinte sistema: x 4 x y y 5 é o mesmo que 4 5 x y 7 x y 7 Aplicando a propriedade soma dos antecedentes e consequentes : x y x 9 4 9x x, 9 x Logo, y é igual a: y = 7 y = 40 x y x x 4.7 b) A razão entre dois números é 5/. Determine- -os, sabendo que a diferença do maior para o menor é igual a. Montando o problema, ficamos com o seguinte sistema: x 5 x y y é o mesmo que 5 x y x y Aplicando a propriedade soma dos termos : x y 5 x 5 x 60 x x 60 0 Logo, y será: 0 y = y = 0 y = 8 x y x 5 5 x 5. c) Na proporção múltipla x y z 5 6 x, y e z, sabendo que x + y + z =., determine Chamamos esse tipo de proporção de proporção múltipla. Devemos resolvê-la como se fosse uma proporção simples. x y z 5 6 x y z x y z x 8 x 4 y 8 y 40 5 z 8 z 48 6 x y z x y z Grandezas Diretamente Proporcionais Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando a razão entre elas permanece constante. a) Calcule o valor de x e y, sabendo que a sequência (x, y, 8) é diretamente proporcional a (0, 0, 40). Se elas são diretamente proporcionais, então a razão permanece constante, veja: (x, y, 8) diretamente proporcional a (0, 0, 40) x 8 y Logo: x 0 x y 0 y Grandezas Inversamente Proporcionais Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o produto entre elas permanece constante. b) Calcule o valor de x e y, sabendo que a sequência (x, y, 9) é inversamente proporcional a (5,5, 45). Se elas são inversamente proporcionais, então o produto permanece constante, veja: (x, y, 9) Inversamente proporcional a (5, 5, 45) 5x 5y x 405 x 8 5y 405 y 7 Estou com você até a conquista! Página