TRABALHO DE ÁLGEBRA I

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA TRABALHO DE ÁLGEBRA I PROFESSOR KOSTIANTYN IUSENKO TEMA: Critério de Irredutibilidade de Eisenstein CÓDIGO DA DISCIPLINA: MAT1201 LEONARDO CORREIA MOTA NºUSP

2 SUMÁRIO Nota Biográfica...pág 2 Critério de Irredutibilidade de Eisenstein...pág 4 Enunciado 2...pág 5 Lema de Gauss...pág 6 Exemplos...pág 7 Referências Bibliográficas...pág 8 Rascunhos Anexos...pág 9 1

3 Nota Biográfica Ferdinand Max Gotthold Eisenstein (16/04/ /10/1852) foi um matemático alemão de descendência judaica, morreu antes dos 30 anos devido à tuberculose. Ele sofreu vários problemas de saúde ao longo de sua vida, incluindo a meningite quando criança, esta doença tirou a vida de todos os seus cinco irmãos e irmãs. Seus professores rapidamente reconheceram o seu talento matemático, aos 15 anos já havia ultrapassado o conhecimento que ele poderia obter na escola e começou a estudar cálculo diferencial nos trabalhos de Euler e Lagrange. Aos 17 anos começou a frequentar as aulas de Dirichlet e outros matemáticos da Universidade de Berlim. Em 1843 ele conheceu Hamilton em Dublin o qual lhe deu uma cópia de uma de suas obras sobre a impossibilidade de resolver equações de quinto grau, isto muito estimulou o interesse do jovem Eisenstein na pesquisa matemática. Em janeiro de 1844, já tinha apresentado o seu primeiro trabalho para a Academia de Berlim sobre formas cúbicas com duas variáveis. Em junho de 1844 visita Gauss, no mesmo ano ele se reuniu pela primeira vez com Alexander von Humboldt que mais tarde se tornaria seu padroeiro. Humboldt conseguiu encontrar concessões do rei da Prússia e da Academia de Berlim para compensar o extremo estado de pobreza de Eisenstein. Em 1845, obteve um doutorado honorário na Universidade de Breslau. Teve desavenças com Jacobi devido direitos autorais. Em 1847 ele obteve sua habilitação na Universidade de Berlim e começou a lecionar na mesma lá. Bernhard Riemann assistia suas palestras sobre funções elípticas. Em 1848, Eisenstein foi preso brevemente pelo exército da Prússia devido suas atividades revolucionárias em Berlim, Eisenstein tinha simpatia pela república. Embora preso por apenas um dia, o duro tratamento que sofreu causou danos a sua saúde já delicada. Apesar de sua saúde, Eisenstein continuou escrevendo um trabalho após o outro. Em 1851, a pedido de Gauss, ele foi eleito membro da Academia de Gottingen; um ano mais tarde, sob recomendação de Dirichlet, também foi eleito membro da Academia de Berlim. Morreu aos 29 anos, Humboldt acompanhou seus restos mortais ao cemitério, ele havia recentemente obtido, mas tarde demais, o financiamento necessário para enviar Eisenstein de férias para a Sicília. 2

4 Critério de Irredutibilidade de Eisenstein Seja um polinômio de grau 1. Suponha que exista um número primo p tal que: (i) (ii) (iii) p 0,1,2,, 1 p 2 Então é irredutível em. Demonstração 1 Suponha, por absurdo, que não seja irredutível e que. ;,. Escrevamos tais polinômios em sua forma estendida:, 1, 1 Sem perda de generalidade podemos considerar s r. Ao realizarmos o produto desses dois polinômios, podemos comparar os coeficientes dos termos de mesmo grau obtendo as seguintes igualdades: (ii) (iii) p 2 p Novamente, sem perda de generalidade, supomos que e p, logo: (ii) p Seguindo o mesmo procedimento, podemos provar que p divide,,,,. Portanto, p divide, ou seja p, contradição. 3

5 Enunciado 2 Seja um polinômio de grau 1. Suponha que exista um número primo p tal que: (i) 0 ó (ii) 0 ó para 0 i n-1 (iii) 0 ó Então é irredutível em. Demonstração 2 Suponha, por absurdo, que não seja irredutível e que. ;,. Escrevamos tais polinômios em sua forma estendida:, 1, 1, 0 e r,s < n De (iii), temos que não podem ser ambos divisíveis por p. Supomos, sem perda de generalidade, que p divide apenas, tome: í 0,1,2,, 0 ó, logo 1, pois 0 ó. Note que > * Também, pode-se verificar que para algum i entre 0 e m. Como não são divisíveis por p, então,,, são divisíveis por p. Temos que ó 0 ó, segue de (i) e de (ii) que m = n, o que implica que s = n*, absurdo. 4

6 Lema de Gauss Se é um polinômio irredutível sobre, então também é irredutível sobre. Demonstração Um polinômio é primitivo se o MDC de seus coeficientes é igual a 1. O produto de dois polinômios primitivos também é primitivo: Supondo que tal produto não seja primitivo, então existe um número primo p que divide todos os coeficientes de., portanto este produto será nulo em, logo um dos polinômios deverá ser nulo em. Se é nulo, então todos os seus coeficientes serão divisíveis por p, desta forma teríamos um absurdo; também não pode ser nulo. Assim, um produto de polinômios primitivos deve ser primitivo. Supondo que possa ser fatorado sobre, onde., sendo o MMC dos denominadores dos coeficientes em, temos primitivo. Sendo o MMC dos denominadores dos coeficientes em, temos primitivo. Então:. O lado direito será primitivo o que implica que o lado esquerdo também será primitivo. Isso só será possível se são ±1 o que faz com que a fatoração inicial já fosse em. Portanto podemos extender a validade do Critério de Eisenstein à. 5

7 Exemplos: Exemplo 1: Prove que p(x) = x 3 + 2x + 10 é irredutível em : Tomando p = 2 primo, temos que: p divide a 0 = 10 p divide a 1 = 2 p divide a 2 = 0 p não divide a 3 = 1 p 2 não divide a 0 = 10 Assim, pelo critério de Eisenstein, p(x) é irredutível sobre os racionais. Exemplo 2: Demonstre que a raiz quadrada de todo número primo é irracional: Seja p um número primo qualquer, então partimos do polinômio P(x) = x 2 p. Basta observarmos que p não é divisor de a 2 = 1, mas sim de a 1 = 0 e de a 0 = -p, além disso, p 2 não divide a 2 = 0. O Critério de Eisenstein nos assegura que o polinômio P(x) é irredutível em Q[x], isto implica que P(x) não tem raízes racionais, portanto é irracional. 6

8 Referências Bibliográficas: A. Gonçalves, Introdução a Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2001; L.H.J. Monteiro, Elementos de Álgebra, Ed. Livro Técnico, Rio de Janeiro, 1969;