Computação Gráfica. Transformações Geométricas

Transcrição

1 Coputação Gráfica Transforações Geoétricas António nio Raires Fernandes - Multiédia

2 Sisteas de Coordenadas Object Space ou Modelling Space (Espaço local) Este espaço é o sistea de coordenadas relativas a u objecto (ou grupo de objectos). Perite-nos definir coordenadas relativas. DI-UM Multiédia 2

3 Sisteas de Coordenadas World Space (Espaço Global) Este espaço engloba todo o universo e perite-nos expriir as coordenadas de fora absoluta. É neste espaço que os odelos são copostos para criar o undo virtual DI-UM Multiédia 3

4 Sisteas de Coordenadas Caera Space (Espaço da Câara) Este sistea de coordenadas esta associado ao observador, ou câara. A sua orige é a posição da câara. O seu sistea de eixos é deterinado pela orientação da câara. DI-UM Multiédia 4

5 Sisteas de Coordenadas DI-UM Multiédia 5

6 Sisteas de Coordenadas Screen Space (Espaço do ecrã) Espaço 2D onde é visualizado o undo virtual DI-UM Multiédia 6

7 Sisteas de Coordenadas Object Space World Space Caera Space Screen Space DI-UM Multiédia 7

8 Vectores Magnitude v x + y + z Vector Noralizado (ag ) vnor v v Produto Interno v u 3 i v i * u i v u v u cos( α) v α u DI-UM Multiédia 8

9 DI-UM Multiédia 9 Vectores Projecção Produto Externo 2 n n v n v v n v v α u v v x u ) sin( α u v u v u v u v u v u v u v u v u u u v v v x y y x x z z x y z z y y x y x z z

10 DI-UM Multiédia Transforações Geoétricas Considereos a atriz identidade e u ponto no sistea de coordenadas global As coordenadas do ponto a pode ser expressas e função das colunas da atriz O ponto a é ua cobinação linear dos vectores coluna da atriz a a a a a a a a a a a a

11 Transforações Geoétricas U triplo de vectores (u,v,w) pode definir u sistea de coordenadas 3D desde que seja linearente independentes. U conjunto de 3 vectores é linearente independente se nenhu dos vectores se puder escrever coo ua cobinação linear dos restantes, ou seja, não existe nenhua cobinação de núeros a,a2,a3, sendo pelo enos u deles diferente de zero, tal que a v + a2u + a3w DI-UM Multiédia

12 Transforações Geoétricas Ua atriz invertível pode ser vista coo ua transforação entre sisteas de coordenadas. Ua atriz invertível iplica que os seus vectores (linha ou coluna) seja linearente independentes. Os vectores de ua atriz invertível representa u sistea de eixos, ou seja, u sistea de coordenadas. DI-UM Multiédia 2

13 Transforações Geoétricas Vejaos o que acontece quando os vectores unitários x,y,z são transforados por ua atriz arbitrária M invertível O resultado são as colunas da atriz M As colunas da atriz M fora os eixos de u sistea de coordenadas DI-UM Multiédia 3

14 Transforações Geoétricas Da esa fora, assuindo que M é invertível, aplicar a inversa de M aos vectores coluna de M dá o seguinte resultado: DI-UM Multiédia 4

15 Transforações Geoétricas Visualização de ua atriz 2D (,) (,3) u 2 y (,) M [ v u] 2 v x O vector x é transforado no vector v, e o vector y é transforado no vector u DI-UM Multiédia 5

16 Transforações Geoétricas Vejaos o que acontece ao paralelograa forado pelos eixos de cada sistea (,) y u u v y (,) v x x DI-UM Multiédia 6

17 DI-UM Multiédia 7 Transforações Geoétricas [ ] b Ma b u v M u v (,) a (,) (,3) b x y u v a b M Ua atriz pode ser vista coo ua transforação do sistea de coordenadas, ou coo ua transforação de pontos (ou objectos).

18 Transforações Geoétricas Transforação de sisteas de coordenadas Dado u ponto no sistea azul, a atriz M diz-nos quando vale esse ponto no sistea preto a (,) (,3) b Da esa fora, dado u ponto no sistea preto, a atriz M - diz-nos quanto vale esse ponto no sistea azul u Ou transforação de pontos no eso sistea de coordenadas y (,) v Dado u ponto no sistea preto, a atriz M transfora esse ponto nu outro ponto preto: (,) é transforado e (,3). x DI-UM Multiédia 8

19 Transforações Geoétricas Considereos u ponto a nu sistea de coordenadas 2D Y Y a (,) Aplicando ua rotação ao ponto a de α e torno da orige obteos b. b (cos(α),sen(α)) α a (,) X Y' Y X X ' cos( α),sin( α) Y ' sin( α),cos( α) α a' (,) α a (,) X X' a' b M b cos( α) sin( α) Ma sin( α) cos( α) DI-UM Multiédia 9

20 Transforações Geoétricas Rotação 3D e torno dos eixos A rotação inversa é obtida pela inversa da atriz Rx( α) cosα sinα cosα Ry( α) sinα sinα cosα sinα cosα cosα sinα Rz( α) sinα cosα DI-UM Multiédia 2

21 Transforações Geoétricas U conjunto de vectores (v,...vn) fora ua base ortogonal se ( i, j), i j, v v i j v u 3 i v i * u i v u v u cos( α) v α u DI-UM Multiédia 2

22 Transforações Geoétricas U conjunto de vectores (v,...,vn) fora ua base ortonoral se ( i, j), vi vj δij, i j δij, i j A definição apresentada iplica que o conjunto fora ua base ortogonal, e que os vectores seja unitários v x + y + z vnor v v DI-UM Multiédia 22

23 Transforações Geoétricas Ua atriz cujos vectores coluna (ou linha) fore ua base ortonoral é ua atriz ortogonal Se M é ortogonal então M M T Ua rotação é definida por ua atriz ortogonal logo a inversa de ua rotação é a transposta da atriz de rotação DI-UM Multiédia 23

24 Transforações Geoétricas Rotação e OpenGL glrotate{d,f}(ang,x,y,z); sendo ang o ângulo de rotação e graus; e x,y,z o vector que define o eixo de rotação; DI-UM Multiédia 24

25 Transforações Geoétricas Quais as vantagens de representar transforações de pontos através de atrizes? Múltiplas transforações M M 2 P (M M 2 ) P M 2 P sendo M 2 M M 2 Notação Standard para todas as transforações Transforação Inversa é definida pela atriz inversa DI-UM Multiédia 25

26 DI-UM Multiédia 26 Transforações Geoétricas Escala Para definir ua escala unifore e todos os eixos definios a seguinte atriz Para definir ua escala não-unifore atribuíos diferentes coeficientes na diagonal P a a a P ' P c b a P ' ' / / / P c b a P

27 Transforações Geoétricas Escala e OpenGL glscaled(gldouble x, GLdouble y, GLdouble z) glscalef(glfloat x, GLfloat y, GLfloat z); DI-UM Multiédia 27

28 Transforações Geoétricas Translação A translação não pode ser expressa por ua atriz 3x3! Sendo assi a execução de ua translação seguida de rotações ou escalas é definida da seguinte fora P MP + T, sendo M ua atriz invertível, e T ua translação. Logo, aplicando novaente a sequência de operações acia definida ficaríaos co P M P + T M (MP + T) + T (M M)P + M T + T DI-UM Multiédia 28

29 Transforações Geoétricas Desta fora seria necessário guardar os resultados parciais para operações posteriores P M P + T M (MP + T) + T (M M)P + M T + T A solução está na utilização de atrizes 4x4. DI-UM Multiédia 29

30 Transforações Geoétricas Matrizes 4x4 R R2 R3 Tx Tx R R2 R3 R T R R R Ty Ty R R R F R R R Tz Tz R3 R32 R33 P' MP + T MtMrP R T T Esta operação corresponde a ua translação seguida de ua rotação do sistea de coordenadas DI-UM Multiédia 3

31 DI-UM Multiédia 3 Transforações Geoétricas Transforação inversa rotação seguida de translação duas aneiras diferentes de obter a atriz F - + ' ' T M M F T M P M P T MP P 3 T M M T I M F

32 Transforações Geoétricas Translação e OpenGL gltranslate{d,f}(x,y,z); Translação seguida de rotação gltranslate glrotate draw DI-UM Multiédia 32

33 DI-UM Multiédia 33 Transforações Geoétricas Matrizes 4x4 > Pontos co 4 coordenadas Pontos co coordenadas distintas representa o eso ponto 3D O ponto 3D é obtido dividindo as três prieiras coordenadas pela últia coordenada. Para vectores w, porquê? (tip: diferença de pontos) w z w y w x P w z y x P / / / x y w w P 4 P 3

34 Transforações Geoétricas As transforações encionadas até agora perite-nos posicionar os objectos no espaço global. Deo!!! (transforações geoétricas) DI-UM Multiédia 34

35 Transforações Geoétricas void drawsnowman() { glcolor3f(.f,.f,.f); // Draw Body gltranslatef(.f,.75f,.f); glutsolidsphere(.75f,2,2); Modelar u boneco de neve co esferas e u cone // Draw Head gltranslatef(.f,.f,.f); glutsolidsphere(.25f,2,2); // Draw Eyes glpushmatrix(); glcolor3f(.f,.f,.f); gltranslatef(.5f,.f,.8f); glutsolidsphere(.5f,,); gltranslatef(-.f,.f,.f); glutsolidsphere(.5f,,); glpopmatrix(); // Draw Nose glcolor3f(.f,.5f,.5f); glrotatef(.f,.f,.f,.f); glutsolidcone(.8f,.5f,,2); } DI-UM Multiédia 35

36 Transforações Geoétricas Object Space World Space Caera Space Screen Space DI-UM Multiédia 36

37 Transforações Geoétricas Por oissão (e OpenGL) considera-se que a câara se encontra na orige, a apontar na direcção do Z negativo. Coo definir ua câara co posição e orientação arbitrárias? DI-UM Multiédia 37

38 Transforações Geoétricas Relação entre câara e objectos na iage final: -Z -Z -Z X X X DI-UM Multiédia 38

39 Transforações Geoétricas Mover a câara nua direcção é equivalente a over os objectos na direcção oposta. Rodar a câara é equivalente a efectuar a rotação inversa nos objectos DI-UM Multiédia 39

40 Transforações Geoétricas Posicionar a câara no undo: Translação do sistea de eixos, seguido de ua rotação para definir a sua orientação Posicionar os objectos no espaço da câara é o processo inverso: Rotação inversa à da câara Translação inversa à da câara p ca M r - (-M t ) p - M r - M t p M ca p M ca R I3 T R R T DI-UM Multiédia 4

41 Transforações Geoétricas Dados para definir ua câara: posição direcção "este lado para cia" DI-UM Multiédia 4

42 Transforações Geoétricas Posicionaento da câara e OpenGL glulookat( posx, posy, posz, atx, aty, atz, upx, upy, upz) sendo: pos a posição da câara at u ponto para onde a câara aponta up a direcção do vector vertical DI-UM Multiédia 42

43 DI-UM Multiédia 43 Transforações Geoétricas Eixos da câara no sistea de coordenadas global z y x z y x z y x x y x T z z z y y y x x x p p p T cz cz cz cy cy cy cx cx cx R R cz cy cx cz cy cx cz cy cx R cy cx cx up cy at p cz 3 T R R T I R M ca

44 Transforações Geoétrica Correção dos dados do glulookat: Os vectores (eixos) tê de ser noralizados e estar ortogonais: cz cy cx cy noralizar( p at) up noralizar( cx cy) cz cx DI-UM Multiédia 44

45 Transforações Geoétricas Object Space World Space Caera Space Screen Space DI-UM Multiédia 45

46 Transforações Geoétricas Perspectiva - View Frustu Pirâide truncada que define a região visível near plane far plane E OpenGL o plano de projecção é o near plane DI-UM Multiédia 46

47 Transforações Geoétricas O plano de projecção é u plano perpendicular ao eixo do Z, a ua distância n da orige A câara encontra-se situada na orige, a apontar na direcção do eixo do Z negativo Calculo das projecções de u ponto 3D (Px,Py,Pz)(no espaço câara) no plano de projecção x y n Pz n Pz Px Py DI-UM Multiédia 47

48 Transforações Geoétricas Clip Space O clip space é u espaço interédio entre o espaço câara e o espaço ecrã. O view frustu é convertido para u cubo cuja gaa de valores nas três coordenadas é [-,]. Desta fora, é extreaente siples deterinar qual a geoetria que se encontra dentro do view frustu. DI-UM Multiédia 48

49 Transforações Geoétricas O plano de projecção é definido pelos seus liites de variação e x [l,r] e y [t,b] t plano de projecção y b l x r l ViewFrustu f z > Clip space z liites de variação de z [n,f] n l x r - - x DI-UM Multiédia 49

50 Transforações Geoétricas Definição do Frustu e OpenGL glfrustu(left,right,botto,top,near,far); DI-UM Multiédia 5

51 Transforações Geoétricas O GLU fornece ua alternativa ais sipática: gluperspective(fy, ratio, near,far); sendo fy ângulo de visão e y. ratio relação fovx/fovy arctan(( top botto) f y 2* near DI-UM Multiédia 5

52 Transforações Geoétricas Projecção Ortográfica e OpenGL glortho(left,right,botto,top,near,far); DI-UM Multiédia 52

53 Transforações Geoétricas Screen Space Seja xc e yc as coordenadas noralizadas e clip space de u ponto As coordenadas da janela (wx,yw), ou viewport, co ua deterinada largura e altura são definidas da seguinte fora: l argura xw ( xc+ ) 2 yw ( yc+ ) altura 2 Nota: as coordenadas noralizadas e clip space iplica a divisão por w, ou seja -Pz DI-UM Multiédia 53

54 Transforações Geoétricas Viewport e OpenGL glviewport(x,y,width,height); DI-UM Multiédia 54

55 Transforações Geoétricas Deo (projecções - Nate Robbins) DI-UM Multiédia 55

56 Transforações Geoétricas Matrizes e OpenGL Object Space ModelView GL_MODELVIEW World Space Projection GL_PROJECTION Caera Space Screen Space DI-UM Multiédia 56

57 OpenGL void changesize(int w, int h) { // Prevent a divide by zero, when window is too short // (you cant ake a window of zero width). if(h ) h ; float ratio.* w / h; // Set the viewport to be the entire window glviewport(,, w, h); glmatrixmode(gl_projection); // Reset the coordinate syste before odifying glloadidentity(); // Set the correct perspective. gluperspective(45,ratio,,); Setup da projecção Necessário quando a janela sofre odificações, ou ao iniciar a aplicação } glmatrixmode(gl_modelview); DI-UM Multiédia 57

58 OpenGL void renderscene(void) { glclear(gl_color_buffer_bit GL_DEPTH_BUFFER_BIT); glloadidentity(); glulookat(.,.,5.,.,.,.,.f,.f,.f); glrotatef(a,.,); glutsolidteapot(); } a++; glutswapbuffers(); DI-UM Multiédia 58

59 Buffers Color Buffer O OpenGL perite ter 2 buffers distintos. E cada instante visualiza-se u buffer e escrevese no outro. No final da frae troca-se os buffers. DI-UM Multiédia 59

60 Buffers Color Buffer e OpenGL Na inicialização glutdisplaymode(glut_double...); No final de cada frae glutswapbuffers(); DI-UM Multiédia 6

61 Buffers Depth Buffer ou Z-Buffer Buffer que arazena os valores de z dos pixels que já fora desenhados Perite assi criar ua iage correcta se ser necessário ordenar e dividir polígonos DI-UM Multiédia 6

62 Buffers Depth Buffer e OpenGL Deo se Z-Buffer! Deo co Z-Buffer! Na inicialização glutinitdisplaymode(glut_depth... ); glenable(gl_depth_test); No início de cada frae glclear(gl_depth_buffer_bit...); DI-UM Multiédia 62

63 Buffers liitações do Z-Buffer núero de bits deterina precisão Z-Buffer não é linear: ais detalhe perto do near plane Muitos bits são usados para distâncias curtas DI-UM Multiédia 63

64 Buffers A precisão do Z-Buffer é definida por intervalos crescentes desde o near plane até ao far plane Exeplo (6 bits): znear ; zfar z : intervalo.52 z 9 : intervalo 2.5 DI-UM Multiédia 64

65 Buffers A precisão do Z-Buffer é dependente da relação entre o near plane e o far plane Exeplo (6 bits): zfar ; z 9 znear : intervalo 2.5 znear.: intervalo DI-UM Multiédia 65

66 Buffers Z-Buffer: ais bits ais precisão Exeplo : zfar ; z 9; znear. 24 bits: intervalo bits: intervalo DI-UM Multiédia 66

67 Referências Matheatics for 3D Gae Prograing & Coputer Graphics, Eric Lengyel 3D Math Prier for Graphics and Gae Developent, Fletcher Dunn e Ian Parberry Interactive Coputer Graphics: A Top Down Approach with OpenGL, Edward Angel OpenGL Reference Manual, OpenGL Architecture Review Board "Learning to love your z-buffer, DI-UM Multiédia 67