Fundamentos de Computação Gráfica. Transformações Geométricas

Transcrição

1 Fundaentos de Coputação Gráfica Transforações Geoétricas

2 Sisteas de Coordenadas Object Space ou Modelling Space (Espaço local) Este espaço é o sistea de coordenadas relativas a u objecto (ou grupo de objectos). Perite-nos definir coordenadas relativas. António Raires Fernandes - DI - UM 2

3 Sisteas de Coordenadas World Space (Espaço Global) Este espaço engloba todo o universo e perite-nos expriir as coordenadas de fora absoluta. É neste espaço que os odelos são copostos para criar o undo virtual António Raires Fernandes - DI - UM 3

4 Sisteas de Coordenadas Caera Space (Espaço da Câara) Este sistea de coordenadas esta associado ao observador, ou câara. A sua orige é a posição da câara. O seu sistea de eixos é deterinado pela orientação da câara. António Raires Fernandes - DI - UM 4

5 Sisteas de Coordenadas António Raires Fernandes - DI - UM 5

6 Sisteas de Coordenadas Screen Space (Espaço do ecrã) Espaço 2D onde é visualizado o undo virtual António Raires Fernandes - DI - UM 6

7 Sisteas de Coordenadas Object Space World Space Caera Space Screen Space António Raires Fernandes - DI - UM 7

8 Vectores Magnitude v x + y + z Vector Noralizado (ag ) vnor v v Produto Interno v u 3 i v i * u i v u v u cos( α) v α u António Raires Fernandes - DI - UM 8

9 António Raires Fernandes - DI - UM 9 Vectores Projecção Produto Externo 2 n n v n v v n v v α u v v x u ) sin( α u v u v u v u v u v u v u v u v u u u v v v x y y x x z z x y z z y y x y x z z

10 António Raires Fernandes - DI - UM Transforações Geoétricas Considereos a atriz identidade e u ponto no sistea de coordenadas global As coordenadas do ponto a pode ser expressas e função das colunas da atriz O ponto a é ua cobinação linear dos vectores coluna da atriz a a a a a a a a a a a a

11 Transforações Geoétricas U triplo de vectores (u,v,w) pode definir u sistea de coordenadas 3D desde que seja linearente independentes. U conjunto de 3 vectores é linearente independente se nenhu dos vectores se puder escrever coo ua cobinação linear dos restantes, ou seja, não existe nenhua cobinação de núeros a,a2,a3, sendo pelo enos u deles diferente de zero, tal que a v + a2u + a3w António Raires Fernandes - DI - UM

12 Transforações Geoétricas Ua atriz invertível pode ser vista coo ua transforação entre sisteas de coordenadas. Ua atriz invertível iplica que os seus vectores (linha ou coluna) seja linearente independentes. Os vectores de ua atriz invertível representa u sistea de eixos, ou seja, u sistea de coordenadas. António Raires Fernandes - DI - UM 2

13 Transforações Geoétricas Vejaos o que acontece quando os vectores unitários x,y,z são transforados por ua atriz arbitrária M invertível O resultado são as colunas da atriz M As colunas da atriz M fora os eixos de u sistea de coordenadas António Raires Fernandes - DI - UM 3

14 Transforações Geoétricas Da esa fora, assuindo que M é invertível, aplicar a inversa de M aos vectores coluna de M dá o seguinte resultado: António Raires Fernandes - DI - UM 4

15 Transforações Geoétricas Visualização de ua atriz 2D (,) (,3) u M [ v u] 2 2 y (,) v x O vector x é transforado no vector v, e o vector y é transforado no vector u António Raires Fernandes - DI - UM 5

16 Transforações Geoétricas Vejaos o que acontece ao paralelograo forado pelos eixos de cada sistea (,) y u u v y (,) v x x António Raires Fernandes - DI - UM 6

17 António Raires Fernandes - DI - UM 7 Transforações Geoétricas [ ] b Ma b u v M u v a b M Ua atriz pode ser vista coo ua transforação do sistea de coordenadas, ou coo ua transforação de pontos (ou objectos). (,) a (,) (,3) b x y v u

18 Transforações Geoétricas Transforação de sisteas de coordenadas Dado u ponto no sistea azul, a atriz M diz-nos quando vale esse ponto no sistea preto a (,) (,3) b Da esa fora, dado u ponto no sistea preto, a atriz M - diz-nos quanto vale esse ponto no sistea azul Ou transforação de pontos no eso sistea de coordenadas Dado u ponto no sistea preto, a atriz M transfora esse ponto nu outro ponto preto: (,) é transforado e (,3). u y (,) v x António Raires Fernandes - DI - UM 8

19 Transforações Geoétricas Quais as vantagens de representar transforações de pontos através de atrizes? Múltiplas transforações M M 2 P (M M 2 ) P M 2 P, sendo M 2 M M 2 Notação Standard para todas as transforações Transforação Inversa é definida pela atriz inversa António Raires Fernandes - DI - UM 9

20 António Raires Fernandes - DI - UM 2 Transforações Geoétricas Escala Para definir ua escala unifore e todos os eixos definios a seguinte atriz Para definir ua escala não unifore atribuíos diferentes coeficientes na diagonal P a a a P ' P c b a P ' ' / / / P c b a P

21 Transforações Geoétricas Escala e OpenGL glscaled(gldouble x, GLdouble y, GLdouble z) glscalef(glfloat x, GLfloat y, GLfloat z); António Raires Fernandes - DI - UM 2

22 Transforações Geoétricas Rotação y (-sin α, cos α) α y(,) Para expriir ua rotação de u ângulo α utilizando atrizes, vaos prieiro definir u sistea de coordenadas resultante da rotação dos eixos por α. α x' (cos α, sen α) x(,) M cosα sinα sinα [ x' y' ] cosα António Raires Fernandes - DI - UM 22

23 Transforações Geoétricas Rotação 3D e torno dos eixos A rotação inversa é obtida pela inversa da atriz Rx( α ) cosα sin α cosα Ry( α ) sin α cosα Rz( α ) sin α sin α cosα sin α cosα sin α cosα António Raires Fernandes - DI - UM 23

24 Transforações Geoétricas U conjunto de vectores (v,...vn) fora ua base ortogonal se ( i, j), i j, v i v j v u 3 i v i * u i v u v u cos( α) v α u António Raires Fernandes - DI - UM 24

25 Transforações Geoétricas U conjunto de vectores (v,...,vn) fora ua base ortonoral se v x + y + z António Raires Fernandes - DI - UM ( i, j), vi vj δij, i j δij, i j A definição apresentada iplica que o conjunto fora ua base ortogonal, e que os vectores seja unitários vnor v v 25

26 Transforações Geoétricas Ua atriz cujos vectores coluna fore ua base ortonoral é ua atriz ortogonal Se M é ortogonal então M M T Ua rotação é definida por ua atriz ortogonal, logo a inversa de ua rotação é a transposta da atriz de rotação António Raires Fernandes - DI - UM 26

27 Transforações Geoétricas Rotação e OpenGL glrotate{d,f}(ang,x,y,z); sendo ang o ângulo de rotação e graus; e x,y,z o vector que define o eixo de rotação; António Raires Fernandes - DI - UM 27

28 Transforações Geoétricas Translação A translação não pode ser expressa por ua atriz 3x3! Sendo assi a execução de ua translação seguida de rotações ou escalas é definida da seguinte fora P MP + T, sendo M ua atriz invertível, e T ua translação. Logo, aplicando novaente a sequência de operações acia definida ficaríaos co P M P + T M (MP + T) + T (M M)P + M T + T António Raires Fernandes - DI - UM 28

29 Transforações Geoétricas Desta fora seria necessário guardar os resultados parciais para operações posteriores P M P + T M (MP + T) + T (M M)P + M T + T A solução está na utilização de atrizes 4x4. António Raires Fernandes - DI - UM 29

30 Transforações Geoétricas Matrizes 4x4 F M M2 M3 M T M2 M22 M23 M3 M32 M33 Tx Ty Tz P' MP+ T FP Esta operação corresponde a ua translação seguida de ua rotação António Raires Fernandes - DI - UM 3

31 António Raires Fernandes - DI - UM 3 Transforações Geoétricas Transforação inversa rotação seguida de translação duas aneiras diferentes de obter a atriz F - + ' ' T M M F T M P M P T MP P 3 T M M T I M F

32 Transforações Geoétricas Translação e OpenGL gltranslate{d,f}(x,y,z); António Raires Fernandes - DI - UM 32

33 António Raires Fernandes - DI - UM 33 Transforações Geoétricas Matrizes 4x4 > Pontos co 4 coordenadas Pontos co coordenadas distintas representa o eso ponto 3D Se w, para pontos, então teos coordenadas hoogéneas Para vectores w, porquê? (tip: diferença de pontos) w z w y w x P w z y x P / / / x y w w P 4 P 3

34 Transforações Geoétricas As transforações encionadas até agora perite-nos posicionar os objectos no espaço global. Deo!!! (transforações geoétricas) António Raires Fernandes - DI - UM 34

35 Transforações Geoétricas void drawsnowman() { glcolor3f(.f,.f,.f); // Draw Body gltranslatef(.f,.75f,.f); glutsolidsphere(.75f,2,2); Modelar u boneco de neve co esferas e u cone // Draw Head gltranslatef(.f,.f,.f); glutsolidsphere(.25f,2,2); // Draw Eyes glpushmatrix(); glcolor3f(.f,.f,.f); gltranslatef(.5f,.f,.8f); glutsolidsphere(.5f,,); gltranslatef(-.f,.f,.f); glutsolidsphere(.5f,,); glpopmatrix(); // Draw Nose glcolor3f(.f,.5f,.5f); glrotatef(.f,.f,.f,.f); glutsolidcone(.8f,.5f,,2); } António Raires Fernandes - DI - UM 35

36 Transforações Geoétricas Object Space World Space Caera Space Screen Space António Raires Fernandes - DI - UM 36

37 Transforações Geoétricas Por oissão (e OpenGL) considera-se que a câara se encontra na orige, a apontar na direcção do Z negativo. Coo definir ua câara co posição e orientação arbitrárias? António Raires Fernandes - DI - UM 37

38 Transforações Geoétricas Dados para definir ua câara: posição direcção "este lado para cia" António Raires Fernandes - DI - UM 38

39 Transforações Geoétricas Operações sobre a câara: Translação da Câara para posição Orientação da Câara de acordo co os vectores especificados Podeos facilente especificar os eixos do sistea de coordenadas da câara. Assuindo que os vectores fornecidos se encontra noralizados: cz -dir cx cz x up (noralizar) cy up v x u u α v vx ux vu y z vu z y vy uy vu x z vu z x vz uz vu x y vu y x v u v u sin( α) António Raires Fernandes - DI - UM 39

40 Transforações Geoétricas Podeos então definir ua transforação linear do espaço global para o espaço da câara da seguinte fora: F M M o cx cx cx 2 3 Pos cy cy cy 2 3 cz cz cz 2 3 António Raires Fernandes - DI - UM 4

41 Transforações Geoétricas A atriz F perite converter pontos do espaço da câara para o espaço global. O que se pretende é exactaente o contrário, ou seja, pretende-se converter pontos do espaço global para o espaço da câara. Solução: utilizar a transforação inversa! António Raires Fernandes - DI - UM 4

42 Transforações Geoétricas F - perite passar do espaço global para o espaço da câara F M M M T I3 T cx cy cz cx cy cz cx cy cz António Raires Fernandes - DI - UM 42

43 Transforações Geoétricas Posicionaento da câara e OpenGL glulookat( posx, posy, posz, atx, aty, atz, upx, upy, upz) sendo: pos a posição da câara at u ponto para onde a câara aponta up a direcção do vector vertical António Raires Fernandes - DI - UM 43

44 Transforações Geoétricas Object Space World Space Caera Space Screen Space António Raires Fernandes - DI - UM 44

45 Transforações Geoétricas Perspectiva - View Frustu Pirâide truncada que define a região visível near plane far plane E OpenGL o plano de projecção é o near plane António Raires Fernandes - DI - UM 45

46 Transforações Geoétricas O plano de projecção é u plano perpendicular ao eixo do Z, a ua distância n da orige A câara encontra-se situada na orige, a apontar na direcção do eixo do Z negativo Calculo das projecções de u ponto 3D (Px,Py,Pz)(no espaço câara) no plano de projecção x y n Pz n Pz Px Py António Raires Fernandes - DI - UM 46

47 Transforações Geoétricas Clip Space O clip space é u espaço interédio entre o espaço câara e o espaço ecrã. O view frustu é convertido para u cubo cuja gaa de valores nas três coordenadas é [-,]. Desta fora, é extreaente siples deterinar qual a geoetria que se encontra dentro do view frustu. António Raires Fernandes - DI - UM 47

48 Transforações Geoétricas O plano de projecção é definido pelos seus liites de variação e x [l,r] e y [t,b] t plano de projecção y b l x r l ViewFrustu f > Clip space liites de variação de z [n,f] António Raires Fernandes - DI - UM z n l x r z - - x 48

49 Transforações Geoétricas Definição do Frustu e OpenGL glfrustu(left,right,botto,top,near,far); António Raires Fernandes - DI - UM 49

50 Transforações Geoétricas O GLU fornece ua alternativa ais sipática: gluperspective(fy, ratio, near,far); sendo fy ângulo de visão e y. ratio relação fovx/fovy arctan(( top botto) f y 2* near António Raires Fernandes - DI - UM 5

51 Transforações Geoétricas Projecção Ortográfica e OpenGL glortho(left,right,botto,top,near,far); António Raires Fernandes - DI - UM 5

52 Transforações Geoétricas Screen Space Seja xc e yc as coordenadas noralizadas e clip space de u ponto As coordenadas da janela (wx,yw), ou viewport, co ua deterinada largura e altura são definidas da seguinte fora: l argura xw ( xc+ ) 2 yw ( yc+ ) altura 2 Nota: as coordenadas noralizadas e clip space iplica a divisão por w, ou seja -Pz António Raires Fernandes - DI - UM 52

53 Transforações Geoétricas Viewport e OpenGL glviewport(x,y,width,height); António Raires Fernandes - DI - UM 53

54 Transforações Geoétricas Deo (projecções - Nate Robbins) António Raires Fernandes - DI - UM 54

55 Transforações Geoétricas Matrizes e OpenGL Object Space ModelView GL_MODELVIEW World Space Projection GL_PROJECTION Caera Space Screen Space António Raires Fernandes - DI - UM 55

56 OpenGL void changesize(int w, int h) { // Prevent a divide by zero, when window is too short // (you cant ake a window of zero width). if(h ) h ; float ratio.* w / h; // Set the viewport to be the entire window glviewport(,, w, h); glmatrixmode(gl_projection); // Reset the coordinate syste before odifying glloadidentity(); Setup da projecção Necessário quando a janela sofre odificações, ou ao iniciar a aplicação // Set the correct perspective. gluperspective(45,ratio,,); } glmatrixmode(gl_modelview); António Raires Fernandes - DI - UM 56

57 OpenGL void renderscene(void) { glclear(gl_color_buffer_bit GL_DEPTH_BUFFER_BIT); glloadidentity(); glulookat(.,.,5.,.,.,.,.f,.f,.f); glrotatef(a,.,); glutsolidteapot(); } a++; glutswapbuffers(); António Raires Fernandes - DI - UM 57

58 Buffers Color Buffer O OpenGL perite ter 2 buffers distintos. E cada instante visualiza-se u buffer e escreve-se no outro. No final da frae troca-se os buffers. António Raires Fernandes - DI - UM 58

59 Buffers Deo single buffer! Color Buffer e OpenGL Na inicialização glutdisplaymode(glut_double...); No final de cada frae glutswapbuffers(); António Raires Fernandes - DI - UM 59

60 Buffers Depth Buffer ou Z-Buffer Buffer que arazena os valores de z dos pixels que já fora desenhados Perite assi criar ua iage correcta se ser necessário ordenar e dividir polígonos António Raires Fernandes - DI - UM 6

61 Buffers Deo se Z-Buffer! Depth Buffer e OpenGL Deo co Z-Buffer! Na inicialização glutinitdisplaymode(glut_depth... ); glenable(gl_depth_test); No início de cada frae glclear(gl_depth_buffer_bit...); António Raires Fernandes - DI - UM 6

62 Buffers liitações do Z-Buffer núero de bits deterina precisão Z-Buffer não é linear: ais detalhe perto do near plane Muitos bits são usados para distâncias curtas António Raires Fernandes - DI - UM 62

63 Buffers A precisão do Z-Buffer é definida por intervalos crescentes desde o near plane até ao far plane Exeplo (6 bits): znear ; zfar z : intervalo.52 z 9 : intervalo 2.5 António Raires Fernandes - DI - UM 63

64 Buffers A precisão do Z-Buffer é dependente da relação entre o near plane e o far plane Exeplo (6 bits): zfar ; z 9 znear : intervalo 2.5 znear.: intervalo António Raires Fernandes - DI - UM 64

65 Buffers Z-Buffer: ais bits ais precisão Exeplo : zfar ; z 9; znear. 24 bits: intervalo bits: intervalo António Raires Fernandes - DI - UM 65

66 Referências Matheatics for 3D Gae Prograing & Coputer Graphics, Eric Lengyel 3D Math Prier for Graphics and Gae Developent, Fletcher Dunn e Ian Parberry Interactive Coputer Graphics: A Top Down Approach with OpenGL, Edward Angel OpenGL Reference Manual, OpenGL Architecture Review Board "Learning to love your z-buffer, António Raires Fernandes - DI - UM 66