Computação Gráfica. Transformações Geométricas

Transcrição

1 Coputação Gráfica Transforações Geoétricas António Raires Fernandes - Coputação Gráfica 7/8

2 Sisteas de Coordenadas Object Space ou Modelling Space (Espaço local) Este espaço é o sistea de coordenadas relativas a u objecto (ou grupo de objectos). Perite-nos definir coordenadas relativas. DI-UM Coputação Gráfica 7/8 2

3 Sisteas de Coordenadas World Space (Espaço Global) Este espaço engloba todo o universo e perite-nos expriir as coordenadas de fora absoluta. É neste espaço que os odelos são copostos para criar o undo virtual DI-UM Coputação Gráfica 7/8 3

4 Sisteas de Coordenadas Caera Space (Espaço da Câara) Este sistea de coordenadas esta associado ao observador, ou câara. A sua orige é a posição da câara. O seu sistea de eixos é deterinado pela orientação da câara. DI-UM Coputação Gráfica 7/8 4

5 Sisteas de Coordenadas DI-UM Coputação Gráfica 7/8 5

6 Sisteas de Coordenadas Screen Space (Espaço do ecrã) Espaço 2D onde é visualizado o undo virtual DI-UM Coputação Gráfica 7/8 6

7 Sisteas de Coordenadas Object Space World Space Caera Space Screen Space DI-UM Coputação Gráfica 7/8 7

8 Vectores Magnitude v x + y + z Vector Noralizado (ag ) vnor v v Produto Interno v u 3 i v i * u i v u v u cos( α ) v α u DI-UM Coputação Gráfica 7/8 8

9 Vectores Projecção 2 n n v n v v n v v DI-UM Coputação Gráfica 7/8 9 Produto Externo α u v v x u ) sin( α u v u v u v u v u v u v u v u v u u u v v v x y y x x z z x y z z y y x y x z z

10 Transforações Geoétricas Considereos a atriz identidade e u ponto no sistea de coordenadas global a a a a a a DI-UM Coputação Gráfica 7/8 As coordenadas do ponto a pode ser expressas e função das colunas da atriz O ponto a é ua cobinação linear dos vectores coluna da atriz a a a a a a

11 Transforações Geoétricas U triplo de vectores (u,v,w) pode definir u sistea de coordenadas 3D desde que seja linearente independentes. U conjunto de 3 vectores é linearente independente se nenhu dos vectores se puder escrever coo ua cobinação linear dos restantes, ou seja, não existe nenhua cobinação de núeros a,a2,a3, sendo pelo enos u deles diferente de zero, tal que a v+ a2u + a3w DI-UM Coputação Gráfica 7/8

12 Transforações Geoétricas Ua atriz invertível pode ser vista coo ua transforação entre sisteas de coordenadas. Ua atriz invertível iplica que os seus vectores (linha ou coluna) seja linearente independentes. Os vectores de ua atriz invertível representa u sistea de eixos, ou seja, u sistea de coordenadas. DI-UM Coputação Gráfica 7/8 2

13 Transforações Geoétricas Vejaos o que acontece quando os vectores unitários x,y,z são transforados por ua atriz arbitrária M invertível O resultado são as colunas da atriz M As colunas da atriz M fora os eixos de u sistea de coordenadas DI-UM Coputação Gráfica 7/8 3

14 Transforações Geoétricas Da esa fora, assuindo que M é invertível, aplicar a inversa de M aos vectores coluna de M dá o seguinte resultado: DI-UM Coputação Gráfica 7/8 4

15 Transforações Geoétricas Visualização de ua atriz 2D (,) (,3) u 2 [ v u] ] 2 y (,) M v x O vector x é transforado no vector v, e o vector y é transforado no vector u DI-UM Coputação Gráfica 7/8 5

16 Transforações Geoétricas Vejaos o que acontece ao paralelograa forado pelos eixos de cada sistea (,) y u u v y (,) v x x DI-UM Coputação Gráfica 7/8 6

17 Transforações Geoétricas 2 2 u v (,) a (,) (,3) b y u v DI-UM Coputação Gráfica 7/8 7 [ ] b Ma b u v M x a b M Ua atriz pode ser vista coo ua transforação do sistea de coordenadas, ou coo ua transforação de pontos (ou objectos).

18 Transforações Geoétricas Transforação de sisteas de coordenadas Dado u ponto no sistea azul, a atriz M diz-nos quando vale esse ponto no sistea preto a (,) (,3) b Da esa fora, dado u ponto no sistea preto, a atriz M - diz-nos quanto vale esse ponto no sistea azul u Ou transforação de pontos no eso sistea de coordenadas y (,) v Dado u ponto no sistea preto, a atriz M transfora esse ponto nu outro ponto preto: (,) é transforado e (,3). x DI-UM Coputação Gráfica 7/8 8

19 Transforações Geoétricas Quais as vantagens de representar transforações de pontos através de atrizes? Múltiplas transforações M M 2 P (M M 2 ) P M 2 P, sendo M 2 M M 2 Notação Standard para todas as transforações Transforação Inversa é definida pela atriz inversa DI-UM Coputação Gráfica 7/8 9

20 Transforações Geoétricas Escala Para definir ua escala unifore e todos os eixos definios a seguinte atriz P a a a P ' DI-UM Coputação Gráfica 7/8 2 Para definir ua escala nãounifore atribuíos diferentes coeficientes na diagonal P c b a P ' ' / / / P c b a P

21 Transforações Geoétricas Escala e OpenGL glscaled(gldouble x, GLdouble y, GLdouble z) glscalef(glfloat x, GLfloat y, GLfloat z); DI-UM Coputação Gráfica 7/8 2

22 Transforações Geoétricas Rotação y (-sin α, cos α) y(,) Para expriir ua rotação de u ângulo α utilizando atrizes, vaos prieiro definir u sistea de coordenadas resultante da rotação dos eixos por α. α α x (cos α, sen α) x(,) M cosα sinα sinα [ x' y' ] cosα DI-UM Coputação Gráfica 7/8 22

23 Transforações Geoétricas Rotação 3D e torno dos eixos A rotação inversa é obtida pela inversa da atriz Rx( α) cosα sinα cos α Ry( α) sinα sinα cosα sin α cosα cosα sinα Rz( α) sinα cosα DI-UM Coputação Gráfica 7/8 23

24 Transforações Geoétricas U conjunto de vectores (v,...vn) fora ua base ortogonal se ( i, j), i j, v i v j v u 3 i v i * u i v u v u cos( α ) v α u DI-UM Coputação Gráfica 7/8 24

25 Transforações Geoétricas U conjunto de vectores (v,...,vn) fora ua base ortonoral se ( i, j), vi vj δij, i δij, i j j A definição apresentada iplica que o conjunto fora ua base ortogonal, e que os vectores seja unitários v x + y + z DI-UM Coputação Gráfica 7/8 25

26 Transforações Geoétricas Ua atriz cujos vectores coluna fore ua base ortonoral é ua atriz ortogonal Se M é ortogonal então T M M Ua rotação é definida por ua atriz ortogonal, logo a inversa de ua rotação é a transposta da atriz de rotação DI-UM Coputação Gráfica 7/8 26

27 Transforações Geoétricas Rotação e OpenGL glrotate{d,f}(ang,x,y,z); sendo ang o ângulo de rotação e graus; e x,y,z o vector que define o eixo de rotação; DI-UM Coputação Gráfica 7/8 27

28 Transforações Geoétricas Translação A translação não pode ser expressa por ua atriz 3x3! Sendo assi a execução de ua translação seguida de rotações ou escalas é definida da seguinte fora P MP + T, sendo M ua atriz invertível, e T ua translação. Logo, aplicando novaente a sequência de operações acia definida ficaríaos co P M P + T M (MP + T) + T (M M)P + M T + T DI-UM Coputação Gráfica 7/8 28

29 Transforações Geoétricas Desta fora seria necessário guardar os resultados parciais para operações posteriores P M P + T M (MP + T) + T (M M)P + M T + T A solução está na utilização de atrizes 4x4. DI-UM Coputação Gráfica 7/8 29

30 Transforações Geoétricas Matrizes 4x4 F M M2 M3 M T M2 M22 M23 M3 M32 M33 Tx Ty Tz P' MP+ T FP Esta operação corresponde a ua translação seguida de ua rotação DI-UM Coputação Gráfica 7/8 3

31 Transforações Geoétricas Transforação inversa rotação seguida de translação duas aneiras diferentes de obter a atriz F - + ' ' T M M F T M P M P T MP P DI-UM Coputação Gráfica 7/8 3 obter a atriz F F 3 T M M T I M F

32 Transforações Geoétricas Translação e OpenGL gltranslate{d,f}(x,y,z); DI-UM Coputação Gráfica 7/8 32

33 Transforações Geoétricas Matrizes 4x4 > Pontos co 4 coordenadas Pontos co coordenadas distintas representa o eso ponto 3D w z y x P 4 w w P 4 P 3 DI-UM Coputação Gráfica 7/8 33 O ponto 3D é obtido dividindo as três prieiras coordenadas pela últia coordenada. Para vectores w, porquê? (tip: diferença de pontos) w z w y w x P / / / x y

34 Transforações Geoétricas As transforações encionadas até agora perite-nos posicionar os objectos no espaço global. Deo!!! (transforações geoétricas) DI-UM Coputação Gráfica 7/8 34

35 Transforações Geoétricas void drawsnowman() { glcolor3f(.f,.f,.f); // Draw Body gltranslatef(.f,.75f,.f); glutsolidsphere(.75f,2,2); Modelar u boneco de neve co esferas e u cone // Draw Head gltranslatef(.f,.f,.f); glutsolidsphere(.25f,2,2); // Draw Eyes glpushmatrix(); glcolor3f(.f,.f,.f); gltranslatef(.5f,.f,.8f); glutsolidsphere(.5f,,); gltranslatef(-.f,.f,.f); glutsolidsphere(.5f,,); glpopmatrix(); // Draw Nose glcolor3f(.f,.5f,.5f); glrotatef(.f,.f,.f,.f); glutsolidcone(.8f,.5f,,2); } DI-UM Coputação Gráfica 7/8 35

36 Transforações Geoétricas Object Space World Space Caera Space Screen Space DI-UM Coputação Gráfica 7/8 36

37 Transforações Geoétricas Por oissão (e OpenGL) considera-se que a câara se encontra na orige, a apontar na direcção do Z negativo. Coo definir ua câara co posição e orientação arbitrárias? Que dados são necessários para definir ua câara? DI-UM Coputação Gráfica 7/8 37

38 Transforações Geoétricas Dados para definir ua câara: posição direcção "este lado para cia" DI-UM Coputação Gráfica 7/8 38

39 Transforações Geoétricas Operações sobre a câara: Translação da câara para posição Orientação da câara de acordo co os vectores especificados Podeos facilente especificar os eixos do sistea de coordenadas da câara. Assuindo que os vectores fornecidos se encontra noralizados: v x u v u α cz -dir cx cz x up (noralizar) cy up vx ux vyuz vzuy vy uy vxuz vzux vz uz vxuy vyux v u v u sin( α) DI-UM Coputação Gráfica 7/8 39

40 Transforações Geoétricas Podeos então definir ua transforação linear que perita posicionar a câara: M Pos F o cx M cx2 cx3 cy cy cy 2 3 cz cz 2 cz 3 DI-UM Coputação Gráfica 7/8 4

41 Transforações Geoétricas A atriz F perite converter pontos do espaço da câara para o espaço global. O que se pretende é exactaente o contrário, ou seja, pretende-se converter pontos do espaço global para o espaço da câara. Solução: utilizar a transforação inversa! DI-UM Coputação Gráfica 7/8 4

42 Transforações Geoétricas F - perite passar do espaço global para o espaço da câara DI-UM Coputação Gráfica 7/ cz cz cz cy cy cy cx cx cx M M T I M F T

43 Transforações Geoétricas Posicionaento da câara e OpenGL glulookat( posx, posy, posz, atx, aty, atz, upx, upy, upz) sendo: pos a posição da câara at u ponto para onde a câara aponta up a direcção do vector vertical DI-UM Coputação Gráfica 7/8 43

44 Transforações Geoétricas Object Space World Space Caera Space Screen Space DI-UM Coputação Gráfica 7/8 44

45 Transforações Geoétricas Perspectiva - View Frustu Pirâide truncada que define a região visível near plane far plane E OpenGL o plano de projecção é o near plane DI-UM Coputação Gráfica 7/8 45

46 Transforações Geoétricas O plano de projecção é u plano perpendicular ao eixo do Z, a ua distância n da orige A câara encontra-se situada na orige, a apontar na direcção do eixo do Z negativo Calculo das projecções de u ponto 3D (Px,Py,Pz)(no espaço câara) no plano de projecção n x Px Pz n y Py Pz DI-UM Coputação Gráfica 7/8 46

47 Transforações Geoétricas Clip Space O clip space é u espaço interédio entre o espaço câara e o espaço ecrã. O view frustu é convertido para u cubo cuja gaa de valores nas três coordenadas é [-,]. Desta fora, é extreaente siples deterinar qual a geoetria que se encontra dentro do view frustu. DI-UM Coputação Gráfica 7/8 47

48 Transforações Geoétricas O plano de projecção é definido pelos seus liites de variação e x [l,r] e y [t,b] plano de projecção t y b l x r lviewfrustu > Clip space f liites de variação de z [n,f] z n l x r - - DI-UM Coputação Gráfica 7/8 48 z x

49 Transforações Geoétricas Definição do Frustu e OpenGL glfrustu(left,right,botto,top,near,far); DI-UM Coputação Gráfica 7/8 49

50 Transforações Geoétricas O GLU fornece ua alternativa ais sipática: gluperspective(fy, ratio, near,far); sendo fy ângulo de visão e y. ratio relação fovx/fovy arctan(( top botto) f y 2* near DI-UM Coputação Gráfica 7/8 5

51 Transforações Geoétricas Projecção Ortográfica e OpenGL glortho(left,right,botto,top,near,far); DI-UM Coputação Gráfica 7/8 5

52 Transforações Geoétricas Screen Space Seja xc e yc as coordenadas noralizadas e clip space de u ponto As coordenadas da janela (wx,yw), ou viewport, co ua deterinada largura e altura são definidas da seguinte fora: l argura xw ( xc+ ) 2 yw ( yc+ ) altura 2 Nota: as coordenadas noralizadas e clip space iplica a divisão por w, ou seja -Pz DI-UM Coputação Gráfica 7/8 52

53 Transforações Geoétricas Viewport e OpenGL glviewport(x,y,width,height); DI-UM Coputação Gráfica 7/8 53

54 Transforações Geoétricas Deo (projecções - Nate Robbins) DI-UM Coputação Gráfica 7/8 54

55 Transforações Geoétricas Matrizes e OpenGL Object Space ModelView GL_MODELVIEW World Space Projection GL_PROJECTION Caera Space Screen Space DI-UM Coputação Gráfica 7/8 55

56 OpenGL void changesize(int w, int h) { // Prevent a divide by zero, when window is too short // (you cant ake a window of zero width). if(h ) h ; float ratio.* w / h; // Set the viewport to be the entire window glviewport(,, w, h); glmatrixmode(gl_projection); // Reset the coordinate syste before odifying glloadidentity(); // Set the correct perspective. gluperspective(45,ratio,,); Setup da projecção Necessário quando a janela sofre odificações, ou ao iniciar a aplicação } glmatrixmode(gl_modelview); DI-UM Coputação Gráfica 7/8 56

57 OpenGL void renderscene(void) { glclear(gl_color_buffer_bit GL_DEPTH_BUFFER_BIT); glloadidentity(); glulookat(.,.,5.,.,.,.,.f,.f,.f); glrotatef(a,.,); glutsolidteapot(); } a++; glutswapbuffers(); DI-UM Coputação Gráfica 7/8 57

58 Buffers Color Buffer O OpenGL perite ter 2 buffers distintos. E cada instante visualiza-se u buffer e escreve-se no outro. No final da frae troca-se os buffers. DI-UM Coputação Gráfica 7/8 58

59 Buffers Color Buffer e OpenGL Deo single buffer! Na inicialização glutdisplaymode(glut_double...); No final de cada frae glutswapbuffers(); DI-UM Coputação Gráfica 7/8 59

60 Buffers Depth Buffer ou Z-Buffer Buffer que arazena os valores de Z dos pixels que já fora desenhados Perite assi criar ua iage correcta se ser necessário ordenar e dividir polígonos DI-UM Coputação Gráfica 7/8 6

61 Buffers Depth Buffer e OpenGL Deo se Z-Buffer! Deo co Z-Buffer! Na inicialização glutinitdisplaymode(glut_depth... ); glenable(gl_depth_test); No início de cada frae glclear(gl_depth_buffer_bit...); DI-UM Coputação Gráfica 7/8 6

62 Buffers liitações do Z-Buffer núero de bits deterina precisão Z-Buffer não é linear: ais detalhe perto do near plane Muitos bits são usados para distâncias curtas DI-UM Coputação Gráfica 7/8 62

63 Buffers A precisão do Z-Buffer é definida por intervalos crescentes desde o near plane até ao far plane Exeplo (6 bits): znear ; zfar z : intervalo.52 z 9 : intervalo 2.5 DI-UM Coputação Gráfica 7/8 63

64 Buffers A precisão do Z-Buffer é dependente da relação entre o near plane e o far plane Exeplo (6 bits): zfar ; z 9 znear : intervalo 2.5 znear.: intervalo DI-UM Coputação Gráfica 7/8 64

65 Buffers Z-Buffer: ais bits > ais precisão Exeplo : zfar ; z 9; znear. 24 bits: intervalo bits: intervalo DI-UM Coputação Gráfica 7/8 65

66 Referências Matheatics for 3D Gae Prograing & Coputer Graphics, Eric Lengyel 3D Math Prier for Graphics and Gae Developent, Fletcher Dunn e Ian Parberry Interactive Coputer Graphics: A Top Down Approach with OpenGL, Edward Angel OpenGL Reference Manual, OpenGL Architecture Review Board "Learning to love your z-buffer, DI-UM Coputação Gráfica 7/8 66