CONTROLO ESTATÍSTICO DO PROCESSO

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1 CONTROLO ESTATÍSTICO DO PROCESSO A. Análise de Pareto Código do defeito A B C D E F G H I. Com o objectivo de diminuir os custos da qualidade, uma empresa produtora de biscoitos e bolachas fez um levantamento dos tipos de defeitos encontrados em embalagens de uma certa variedade de bolacha. Na tabela anexa encontram-se as frequências e os custos adicionais da falta de qualidade associados a cada tipo de defeito. Descrição do defeito Embalagem mal colada nos topos Embalagem mal colada nos lados Embalagem rasgada Embalagem com pequenos furos Data de validade em falta Embalagem com as cores esborratadas Embalalagem com bolachas partidas Número de bolachas superior a 30 Número de bolachas inferior a 30 Custos Frequência adicionais anuais ( ) J Outros a. Realize uma análise de Pareto baseada na frequência dos defeitos. Quais os tipos de defeitos cuja correcção é necessário priorizar? [Defeitos H, A e D devem ser priorizados, porque conjuntamente perfazem 75% das falhas. Eventualmente E também poderia ser incluído, explicando os 4 tipos 82% das falhas totais] b. Realize uma análise de Pareto baseada nos custos adicionais anuais da qualidade decorrentes dos defeitos listados. O que se pode concluir nesta perspectiva? As conclusões são diferentes das obtidas em a)? Comente. [Erros D, G e B são responsáveis por 8,6% dos custos adicionais da qualidade. Nem sempre os erros mais frequentes são os que têm maior peso no acréscimo dos custos da qualidade. Para os objectivos em vista, a análise baseada nos custos seria mais pertinente que a baseada na frequência dos defeitos.]

2 2 B. Cartas de Médias e Amplitude. A profundidade do buraco cilindrico existente numa peça metálica para encaixe de uma outra peça tem especificação de 3,56 ± 0,08 mm. O processo do seu fabrico está a ser monitorado através de cartas de média e amplitude, e durante um certo período de laboração foram recolhidas 27 amostras de 5 peças cada. O registo da monitorização é o seguinte: Amostra Média (mm) Amplitude (mm) 3,50 0,23 2 3,63 0,20 3 3,59 0,38 4 3,55 0,5 5 3,56 0,25 6 3,54 0,20 7 3,58 0,25 8 3,56 0,20 9 3,6 0,8 0 3,54 0,33 3,55 0,30 2 3,59 0,23 3 3,58 0,08 4 3,57 0,20 5 3,60 0,23 6 3,57 0,33 7 3,56 0,5 8 3,60 0,20 9 3,57 0, ,53 0,5 2 3,60 0,5 22 3,59 0,8 23 3,57 0, ,60 0, ,57 0, ,6 0,8 27 3,58 0,20 a. Estabeleça a localização da linha central e dos limites de controlo para as cartas de média e de amplitude. [Carta da média: LC=3,574, LSC=3,70, LIC=3,45; Carta da amplitude: LC=0,28, LSC=0,46, LIC=0] b. As cartas indiciam a existência de causas assinaláveis de variação no processo? Justifique. [Não. Não há pontos fora dos limites de controlo] c. Estime a tolerância natural do processo (6σ) e pronuncie-se sobre a capacidade do processo para atingir a tolerância especificada. [Tolerância natural=6σ 6(0,094) 0,56 e Tolerância especificada=0,6. Como a primeira é cerca de 3,5 vezes superior à segunda, o processo está sob controlo estatístico mas não é capaz de atingir a tolerância especificada] 2. Reconsidere todas as questões colocadas no problema anterior, assumindo agora que o tamanho das amostras é agora n=8. [Carta da média: LSC=3,66, LIC=3,49; Carta da amplitude: LSC=0,4, LIC=0,03. O processo está sob controlo estatístico, mas não consegue atingir a tolerância especificada, visto que a tolerância natural (0,46) é igual ao triplo da tolerância especificada (0,6)]

3 3 3. A medida do diâmetro de uma certa peça de automóvel foi monitorada durante um certo período de tempo através de cartas de média e amplitude. Para o efeito, foram recolhidas 20 amostras de tamanho igual a 5, tendose feito o seguinte registo: Amostra Média Amplitude Observações (mm) (mm) 20,40 0, ,35 0, ,4 0, ,39 0, ,34 0, ,65 0,36 Operador novo 7 20,37 0, ,40 0, ,50 0, ,39 0,29-20,48 0, ,42 0,78 Linha de óleo danificada 3 20,6 0,36 Material de má qualidade 4 20,36 0, ,45 0, ,43 0,3-7 20,38 0, ,3 0, ,54 0, ,44 0,37 - a. Determine os valores centrais e os limites de controlo para as cartas de média e de amplitude. [Carta da média: LC=20,409, LSC=20,62, LIC=20,20; Carta da amplitude: LC=0,365, LSC=0,77, LIC=0] b. Identifique eventuais pontos que caiam fora dos limites de controlo nas duas cartas. [Carta da média: amostra 6 e amostra 3; Carta da amplitude: amostra 2] c. Calcule os limites de controlo revistos das cartas da média e da amplitude. [Carta da média: LSC=20,6, LIC=20,2; Carta da amplitude: LSC=0,73, LIC=0] d. Estime o valor de σ e da tolerância natural do processo. [Usar os limites revistos: 0,46; 0,876] 4. Num processo que está a ser acompanhado por cartas de média e amplitude com amostras de n=4, encontrou-se que, ao fim da recolha de 20 amostras: X = 4,340 R = 0,320 a. Estabeleça os limites de controlo para as cartas de média e de amplitude. [Carta da média: LSC=2,079, LIC=2,055; Carta da amplitude: LSC=0,037, LIC=0] b. Suponha que a variável medida tinha a especificação 2,050 ± 0,020. Compare a tolerância natural deste processo com a amplitude de tolerâcia especificada, e comente a capacidade do processo para atingir a especificação. [A tolerância natural (6σ=0,047) é ligeiramente superior à especificada (0,40). É aconselhável tentar reduzir a variabilidade do processo]

4 4 5. Num processo que está a ser acompanhado por cartas de média e amplitude com amostras de n=3, encontrou-se que, ao fim da recolha de 30 amostras: X = 2930 R = 230 a. Calcule os limites de controlo e estime σ, admitindo que o processo está sob controlo. [Carta da média: LSC=472,9, LIC=389,; Carta da amplitude: LSC=05,5, LIC=0; σ 24,2] b. Suponha que o limite inferior de especificação da variável era igual a 370. Se o processo estiver sob controlo, o que se pode dizer acerca da sua capacidade para cumprir esta especificação [O valor mais baixo da distribuição do processo é m-3s 358 está bastante abaixo do LIE. O processo está a ser capaz de cumprir a especificação] Amostra 6. O peso individual de bolachas de um certo tipo (em g) estava a ser acompanhado na linha de produção de uma fábrica através de cartas de controlo de média e amplitude. Os valores registados para 20 amostras de 5 bolachas cada constam do quadro abaixo. O valor especificado da variável era 37 ± 3 g. Média (g) Amplitude (g) Observações 34, , , , , , , , ,8 9 Operador novo 0 37,8 6 Operador novo 35, ,4 4 Falha de corrente 3 34,0 4 Material de má qualidade 4 35, , , , , , ,6 6 - a. Desenhe as cartas de controlo correspondentes. [Carta da média: LSC=37,09, LIC=29,93; Carta da amplitude: LSC=3,, LIC=0] b. As cartas indiciam a presença de causas assinaláveis de variação no processo? Justifique. [Carta da média: dois pontos fora dos limites, nº0 e nº2; Carta da amplitude: dois pontos fora dos limites, nº9 e nº3] c. Determine os limites de controlo revistos, se for caso disso. [Carta da média: LSC=35,92, LIC=30,08; Carta da amplitude: LSC=0,70, LIC=0] d. Estime a tolerância natural do processo. [6σ=3,05 g] e. O processo está a conseguir atingir as especificações? [Sim. A tolerância natural é cerca de 50% da especificada (26g)]

5 5 7. O diâmetro de uma certa peça está a ser sujeito a controlo estatístico mediante cartas de média e amplitude. Após se terem examinado 30 amostras de 5 peças cada uma, registou-se: X = R = 330 a. Calcular os limites de controlo para as cartas de média e amplitude. [Carta da média: LSC=49,3, LIC=36,7; Carta da amplitude: LSC=23,3, LIC=0] b. Estime a média e o desvio padrão do processo, assumindo que ele está sob controlo estatístico. [média=43; desvio padrão=4,73] c. Quais são as tolerâncias naturais deste processo?. [µ+3σ=57,2;µ- 3σ=28,8] 8. A voltagem de saída da fonte de alimentação de uma certa máquina fotocopiadora tem uma especificação de 350 ± 5 volts. Amostras de 4 unidades são retiradas a cada hora de laboração e testadas. Ao fim de 30 amostras, registou-se: X = 0560 R = 86,5 a. Calcular os limites de controlo para as cartas de média e amplitude, e estime o valor de σ. [Carta da média: LSC=354,0, LIC=349,90; Carta da amplitude: LSC=6,58, LIC=0; σ=,40] b. Assumindo que o processo está sob controlo e que a variação do produto segue uma distribuição normal, qual é a proporção de defeituosos que está a ser produzida? [P(x<345)+P(X>355)= 0,000+0,07 0,07, ou seja,7%]

6 6 9. Um equipamento electrónico foi concebido para emitir um sinal sonoro de 200 ms de duração. Durante a sua produção, amostras de n=5 artigos foram periodicamente recolhidas e testadas. Os registos de 25 amostras são apresentados abaixo. Nº da Amostra Duração do sinal sonoro (ms) a. Desenhe as cartas de média e amplitude. [Carta da média: LSC=206,03, LIC=93,24; Carta da amplitude: LSC=23,42, LIC=0] b. O processo está sob controlo estatístico? Justifique. [Sim. Não se detectaram causas assinaláveis de variação] c. Estime o desvio padrão do processo. [σ=4,764] d. Assumindo que a distribuição do sinal sonoro é aproximadamente normal, qual é a proporção de artigos que se espera que cumpra com as especificações 90,5 e 20,5 ms?. [P(90,5<X<20,5)=0,96, cerca de 96%] 0. Estão a ser utilizadas cartas de média e amplitude baseadas em amostras de 5 peças para controlar um processo. As especificações para uma certa característica crítica são 29 ± 0. Os produtos que excedem o Limite Superior de Especificação (LSE) podem ser reparados, mas os situados abaixo do Limite Inferior de Especificação (LIE) serão descartados. Ao fim de 50 amostras, registaram-se os seguintes valores: X = 06200,0 R = 58,5 a. Determine os limites de controlo para as cartas. [Carta da média: LSC=230,7, LIC=27,29; Carta da amplitude: LSC=24,59, LIC=0] b. Assumindo que o processo está sobre controlo e a característica medida tem distribuição normal, estimar σ e determinar as

7 7 percentagens de produto que deve ser reparada e que deve ser descartada. [σ=5;p(x<209)=0,003, 0,3%; P(X>229)=0,587, 6%] C. Cartas de Médias e Desvio Padrão. Estão a ser utilizadas cartas de controlo de média e desvio padrão para monitorar a resistência em Ohms no processo de fabrico de resistências para reóstatos. As cartas baseiam-se em amostras de n=5, e após 30 amostras, obteve-se: X = s = 26 a. Determine os limites de controlo para as cartas. [Carta da média: LSC=2004,30, LIC=888,7; Carta do desvio padrão: LSC=84,7, LIC=0] b. Estime o valor de σ, assumindo que o processo está sobre controlo estatístico. [σ=43,] c. Assumindo que a distribuição gerada pelo processo é aproximadamente normal, calcule a proporção de bobinas que está conforme a especificação 2000 ± 50. [P(850<X<250)=0,987, 98,7%] 2. Para controlar um processo, fizeram-se simultaneamente cartas de média e amplitude, e cartas de média e desvio padrão, baseadas em amostras n=4. Calcule os limites de controlo para estas cartas, sabendo que ao fim das primeiras 00 amostras recolhidas se registaram os seguintes valores: 00 X = R = 2076 s = 932,8 [Cartas média/amplitude: LSC=45,2, LIC=4,94; LSC=47,37, LIC=0. Cartas média/ desvio padrão: LSC=45,26, LIC=4,89; LSC=2,4, LIC=0] 3. Para controlar a profundidade de um rasgo (em mm) num eixo de um motor, estão a ser construídas cartas de média e desvio padrão baseadas em amostras de n=4 peças. Ao fim de 25 amostras tinham-se registado os seguintes dados:

8 8 Nº da amostra Média (mm) Desvio padrão (mm) Observações 6, ,40 0, ,36 0, ,65 0,045 Operador novo 5 6,39 0, ,40 0,04 7 6,43 0, ,37 0, ,50 0,08 0 6,42 0,045 6,39 0,04 2 6,38 0, ,40 0,05 4 6,4 0, ,45 0, ,34 0, ,36 0, ,42 0,25 Linha de óleo danificada 9 6,35 0, ,5 0,054 Material de má qualidade 2 6,40 0, ,39 0, ,39 0, ,38 0, ,4 0,029 a. Calcule os limites para as cartas de média e desvio padrão. [Carta da média: LSC=6,47, LIC=6,35; Carta do desvio padrão: LSC=0,08, LIC=0] b. O processo está sob controlo estatístico? Justifique. [Carta da média: pontos amostrais nº 4, 9, 6 e 20 fora dos limites; Carta do desvio padrão: ponto amostrais nº 8 fora dos limites] c. Calcule os limites de controlo revistos, se for caso disso. [Carta da média: LSC=6,45, LIC=6,33; Carta do desvio padrão: LSC=0,074, LIC=0] 4. O teor de humidade (em %) de um certo alimento está a ser monitorado mediante cartas de controlo, tomando amostras de n=8 unidades de produto. Apresentam-se na tabela abaixo os valores registados para a média, a amplitude e o desvio padrão de 22 amostras: Nº da amostra Média (%) Desvio padrão (%) Amplitude (%) 2,72 0,536,2 2 2,80 0,339 0,9 3 3,04 0,669,7 4 3,4 0,477,3 5 2,52 0,526,3 6 3,20 0,543,5 7 2,78 0,92 2,2 8 3,8 0,526,3 9 3,28 0,963 2,4 0 2,74 0,329 0,9 2,78 0,370 0,9 2 2,92 0,438,2 3 2,94 0,559,4 4 3,8 0,492,2 5 2,88 0,432,2 6 2,92 0,554,3 7 3,02 0,683,8 8 3,04 0,82 0,5 9 3,4 0,573,6 20 2,84 0,69,5 2 2,90 0,36 0,8 22 2,94 0,54,3

9 9 a. Obtenha as cartas da média e da amplitude. [Carta da média: LSC=3,45, LIC=2,45; Carta da amplitude: LSC=2,49, LIC=0,8] b. Liste os pontos fora de controlo nas cartas de média e amplitude. [Nenhum ponto fora dos limites em ambas] c. Assuma que o teor de humidade tem uma distribuição aproximadamente normal, e que as suas especificações são 3,0 ± 0,5. i. Estime o valor do desvio padrão do processo [σ=0,469] ii. Estime a percentagem de produtos que deverá ser considerada como não-conforme. [P(X>LSE=0,2, P(X<LIE)=0,7; portanto 29%] iii. O processo está a conseguir atingir as especificações? [Não: a tolerância especifica (=,0) é quase três vezes inferior à tolerância natural (6σ=2,84] iv. Repita ii. e iii., supundo agora que a especificação era 3,0 ± 2,0. [0% de não-conformes. Processo atinge especificações] d. Obtenha as cartas de média e desvio padrão, e identifique pontos fora de controlo [Carta da média: LSC=3,53, LIC=2,37; Carta do desvio padrão: LSC=0,955, LIC=0,097; nenhum ponto fora dos limites] D. Cartas do Número de Defeituosos (cartas np). A inspecção diária de uma certa componente electrónica para o fabrico de televisores ao longo de um período de 2 dias forneceu os resultados da tabela abaixo. a. Obter a carta np para estes dados. [LC 8; LSC 3;, LIC 6] b. Identificar os eventuais pontos fora de controlo. [Há 3 pontos amostrais fora dos limites: nº 5, 6, 0] c. Calcule os limites de controlo revistos, se for caso disso. [LC 6; LSC 28;, LIC 5] Dia Tamanho do lote (n) Número de rejeitados (r) Total Uma empresa produz concentrado de sumo de laranja congelado, que é depois vendido em embalagens cilindricas de cartão com uma capacidade de 250 ml. As embalagens são construídas numa máquina que enrola a folha de cartão e depois aplica na base uma tampa metálica. A inspecção

10 0 das embalagens permite avaliar se elas deixarão eventualmente escapar produto pela costura lateral ou através da tampa metálica da base. Para estabelecer uma carta de controlo do número de não-conformes, foram recolhidas 30 amostras de n=50 embalagens cada, a intervalos de meia hora. Os dados recolhidos constam da tabela abaixo. a. Obter a carta np para estes dados. [LC 2; LSC 2;, LIC 3] b. Identificar os eventuais pontos fora de controlo. [Há 2 pontos amostrais fora dos limites: nº 5 e nº 23] c. Calcule os limites de controlo revistos, se for caso disso. [LC ; LSC 20, LIC 2] Nº da Número de nãoconformes Observações Amostra (r) Novo material Novo operador Total Um certo artigo é fabricado em lotes de 200 items cada. Os lotes são submetidos a uma inspecção 00%. O registo dos 25 primeiros lotes mostrou que havia um total de 75 artigos que não estavam conformes as especificações. a. Determine os limites de controlo para a carta np destes dados. [LC=3; LSC 8;, LIC 0] b. Assuma que todos os pontos da carta caem dentro dos limites de controlo. Estime a fracção média de não-conformes, µ p. [µ p =0,05] c. Se este valor de µ p se mantiver inalterado, qual é a probabilidade de que o 26º lote contenha exactamente 7 artigos não-conformes? E que contenha pelo menos 7 artigos não-conformes? (Use a tabela da lei de Poisson acumulada). [0,022; 0,034]

11 E. Cartas da Fracção Defeituosa (cartas p). No fabrico de um determinado artigo, acompanhou-se o processo através de cartas da fracção defeituosa, tomando amostras de tamanho n=300 durante um período de 25 dias. Os registos figuram na tabela abaixo. a. Determinar o valor central e os limites de controlo para uma carta p. [LC 0,075; LSC=0,0402;, LIC 0] b. Assumindo que todos os pontos fora dos limites que eventualmente apareçam se devem a causas especiais de variação devidamente identificadas na folha de registo, calcule os limites de controlo revistos e desenhe a carta. [Amostra do 5º dia fora dos limites;lc=0,054; LSC=0,0367, LIC 0] Dia Tamanho do lote (n) Número de rejeitados (r) Total Numa empresa que fabrica geradores eléctricos, são inspeccionados diariamente 50 geradores. A melhor estimativa da fracção defeituosa é 0,076. a. Determine o valor central e os limites de controlo para uma carta p. [LC=0,076; LSC=0,88; LIC 0] b. Num certo dia, foram encontrados 5 geradores defeituosos. O processo estava sob controlo nesse dia? [Como a proporção de defeituosos nesse dia (=0,0) estava dentro dos limites de controlo, conclui-se que o processo estava sob controlo] 3. Numa companhia que fabrica vários tipos de tubos de raios catódicos, o processo de fabrico de um certo tipo de tubo está a ser acompanhado por cartas p. Os registos correspondentes a um período de 2 dias durante o qual o processo esteve atribulado figuram na tabela abaixo.

12 2 a. Determine o valor central e os limites de controlo para uma carta p. [LC=0,26; LSC=0,392; LIC=0,28] b. Assumindo que todos os pontos fora dos limites que eventualmente apareçam se devem a causas especiais de variação devidamente identificadas na folha de registo, calcule os limites de controlo revistos e desenhe a carta. [Amostra do 2º dia fora dos limites;lc=0,25; LSC=0,380, LIC=0,20] Dia Tamanho do lote (n) Fracção rejeitada (p) 00 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,24 4. Um fabricante compra parafusos de pequena dimensão, que são vendidos em embalagens contendo vários milhares de unidades do produto. Como uma parte do processo de aceitação destes parafusos, costuma seleccionar aleatoriamente 400 parafusos de cada embalagem, submetendo-os depois a uma inspecção visual para detectar os nãoconformes. Numa encomenda de 0 embalagens do produto, as proporções de parafusos rejeitados em amostras recolhidas em cada embalagem foram: 0 0 0,5 0,75 0 2,0 0,25 0 0,25,25 Acha que esta encomenda de parafusos evidencia a vigência de controlo estatístico no processo do fabrico dos parafusos? [Não. Há pontos fora dos limites de controlo (LSC=0,575;LIC=0,425)] F. Cartas do Número de Defeitos (cartas c). A tabela abaixo apresenta o número de não-conformidades observadas em 26 amostras sucessivas de 00 circuitos electrónicos impressos. Repare-se que, por razões de conveniência operacional, a unidade de amostragem foi definida como sendo 00 circuitos.

13 3 a. Determine o valor central e os limites de controlo para uma carta c. [LC 9,85; LSC=33,22, LIC 6,48] b. Há evidência para acreditar que o processo esteja a ser afectado por causas assinaláveis de variação? Justifique. [Sim. As amostras nº 5 e nº 20 estão fora dos limites de controlo] c. Se for caso disso, determine o valor central e os limites de controlo revistos. [LC 9,67; LSC=32,98, LIC 6,37] Nº da amostra Nº de não-conformidades (c) Observações Novo inspector (inexperiente) Problemas com o controlo da temperatura na máquina de soldar A tabela abaixo apresenta o número de não-conformidades observadas em 25 amostras de tecido de um certo tipo, cada com uma área de m 2. a. Determine o valor central e os limites de controlo para uma carta c. [LC 4,08; LSC=0,, LIC 0] b. Há evidência para acreditar que o processo esteja a ser afectado por causas assinaláveis de variação? Justifique. [Não. Não há pontos fora dos limites de controlo] Nº da amostra Nº de não-conformidades (c)

14 4 G. Cartas do Número de Defeitos por Unidade (cartas u). Uma cadeia de distribuição de produtos biotecnológicos está a monitorar os embarques de material através da sua rede de distribuição. Para o efeito, os erros detectados na entrega e/ou na documentação acompanhante estão a ser registados numa base semanal. Semanalmente, eram aleatoriamente seleccionadas e examinadas 50 encomendas, e os erros registados. Na tabela abaixo figuram os dados de 20 semanas. a. Determine o valor central e os limites de controlo para uma carta u. [LC 0,074; LSC=0,894, LIC 0] b. Desenhe a carta e tire conclusões. Nº da semana Tamanho da amostra Nº total de nãoconformidades 2. Uma empresa fabrica caixas plásticas para as CPU s de computadores pessoais por um processo de moldagem por injecção. Periodicamente, são recolhidas amostras de 5 artigos do processo, registando-se o número de não conformidades nelas encontradas. Na tabela abaixo figuram os dados de 25 amostras. a. Determine o valor central e os limites de controlo para uma carta u. [LC 0,528; LSC=,5, LIC 0] b. Identifique os pontos fora de controlo. Caso seja pertinente, calcule os limites de controlo revistos. [Amostras nº 4 e nº 23 fora de controlo; LC 0,426; LSC=,3, LIC 0] c. Suponha que em vez de amostras de 5 caixas se tinham recolhido amostras de 0 caixas. Repita as alíneas a) e b) e comente. [a) LC 0,264; LSC=0,75, LIC 0; b) Amostras nº 4 e nº 23 fora de controlo; LC 0,23; LSC=0,65, LIC 0]

15 5 Nº da amostra Tamanho da amostra Nº total de não-conformidades INSPECÇÃO POR AMOSTRAGEM A. Curvas Características de Operação e Índices de Qualidade. Considere o plano de amostragem simples em que n=50, c= e N=2000. a. Sem utilizar tabelas, estime as probabilidades de aceitação de lotes com 0,4, 2, 4, e 6% de defeituosos, respectivamente. [0,9824, 0,7358, 0,4060 e 0,992, respectivamente] b. Verifique agora os valores que calculou, recorrendo às tabelas apropriadas. 2. Um plano de amostragem tem n=0 e c=3. Sabe-se que o tamanho do lote é elevado quando comparado com o tamanho da amostra. a. Usando a tabela estatística apropriada, estime as probabilidades de aceitação de lotes com 0,5,, 2, 3, 4, 5, 6 e 8% de defeituosos. [0,998, 0,974, 0,89, 0,58, 0,359, 0,202, 0,05, 0,025, respectivamente] b. Desenhe a curva CO para este plano de amostragem. c. Estime os valores aproximados da percentagem de defeituosos a que correspondem valores de P a iguais a 0,95, 0,50 e 0,0, respectivamente. Que nome especial têm o primeiro e o terceiro destes valores da percentagem de defeituosos? [Os valores podem ser lidos directamenete na curva CO, e são,3, 3,6 e 6,6%, respectivamente (Poderiam também ser achados na Tabela das Distribuições de Poisson Acumuladas). Chamam-se NQA e LTPD, respectivamente]

16 6 3. Considere o plano de amostragem simples em que n=75, c= e N=500. a. Estime p 0,95, p 0,50 e p 0,0 (% de defetuosos dos lotes cujas probabilidades de aceitação são 0,95, 0,50 e 0,0, respectivamente). [Usando tabelas, encontra-se 0,5, 2,24 e 5,9%, respectivamente] b. Estime a P a de um lote com 2% de defeituosos. [0,558] 4. Considere o plano de amostragem simples em que n=75, c= e N=2000. a. Estime as P a s de lotes com 0,2, 0,4, 0,6, 0,8,,0,,2,,4,,6,,8, 2,0, 2,, 2,2, 2,3, 2,4, 2,5, 3,0, 3,5, 4,0, 4,5 e 5% de defeituosos. [Usando a aproximação de Poisson, encontra-se 0.990, 0,963, 0,925, 0,878, 0,827, 0,773, 0,77, 0,663, 0,60, 0,558, 0,533, 0,509, 0,486, 0,463, 0,44, 0,343, 0,263, 0,99, 0,50, 0,2, respectivamente] b. Esboçe a Curva da Qualidade Média Resultante (QMR), e estime o Limite da Qualidade Média Resultante (LQMR). [LQMR,2%] 5. Um fabricante de artigos eléctricos recebe componentes de três fornecedores diferentes. A sua prática é seleccionar dos lotes submetidos uma amostra aleatória representando 0% do tamanho do lote, e rejeitálos quando encontra neles uma ou mais peças defeituosas. Suponha que os fornecedores A, B e C submeteram componentes em lotes de 00, 250 e 000 artigos, respectivamente. a. Para cada um dos fornecedores, estime p 0,95, p 0,50 e p 0,0. [A partir das tabelas da Poisson acumulada, e fazendo as interpolações necessárias, estimam-se os seguintes valores: Fornecedor A-: 0,52%, 6,94%, 23,%; Fornecedor B- 0,2%, 2,78%, 9,24%; Fornecedor C- 0,052%, 0,69%, 2,3%] b. Considera a metodologia usada pelo fabricante correcta? Justifique. [É incorrecta: lotes com um nível de qualidade muito diferente são aceites com idêntica probabilidade. O nível de qualidade aceitável do fornecedor A (NQA A =0,52%)é cerca de 0 vezes superior ao do fornecedor C (NQA C =0,052%). O interesse do fabricante seria manter o mesmo NQA para todos os fornecedores.] c. Calcule a probabilidade de aceitação de um lote com p=3% de defeituosos oriundo de cada um dos três fornecedores. [Utilizando a tabela da Poisson acumulada, conclui-se que um lote com 3% de defeituosos é aceite em 74% das vezes no caso do fornecedor A, 47% das vezes no caso do fornecedor B e em apenas 5% das vezes no caso do fornecedor C. Mais uma vez se comprova que a metodologia utilizada pelo fabricante é inaceitável!] 6. Considere os seguintes dois planos de amostragem simples: i. N=5000, n=50, c=; ii. N=5000, n=00, c=2. Apresentam-se abaixo as respectivas Curvas Características de Operação (curvas CO) e Curvas da Qualidade Média Resultante (curvas QMR). a. A partir das curvas CO, estime os valores aproximados de NQA e LTDP. Assuma que os valores dos riscos do produtor e do consumidor são iguais a 5% e 0%, respectivamente. [Plano (i): NQA 0,8% e LTPD 8%; Plano (ii): NQA 0,9% e LTPD 5,4%]

17 7 b. A partir das curvas QMR, estime os valores do Limite da Qualidade Média Resultante (LQMR) e da percentagem de defeituosos para a qual QMR atinge um máximo. [Plano (i): LQMR,7 00p 3,%; Plano (ii): LQMR,4 e 00p 2,2%] Curvas CO.0 Probabilidade de aceitação (P a ) (i) (ii) Percentagem de defeituosos (00p) Curvas QMR 2.0 Qualidade Média Resultante (QMR) (ii) (i) Percentagem de defeituosos (00p)

18 8 B. Tabelas da Norma MIL-STD-05E (ANSI/ASQC Z.4; ISO 2859). Caracterize os seguintes planos de amostragem para aceitação, regidos pela Norma MIL-STD-05E: a. Amostragem simples, Nível II, inspecção normal, N=000, NQA=,0. [Letra código J, n=80, Ac=2, Re=3] b. Amostragem simples, Nível III, inspecção rigorosa, N=5000, NQA=,5. [Letra código M, n=35, Ac=8, Re=9] c. Amostragem dupla, Nível I, inspecção reduzida, N=000, NQA=,0. [Letra código G; ª amostra: n=3, Ac=0, Re=2; 2ª amostra: n=26, Ac=0, Re=2] d. Amostragem dupla, Nível III, inspecção rigorosa, N=5000, NQA=,5. [Letra código M; ª amostra: n=200, Ac=3, Re=7; 2ª amostra: n=400, Ac=, Re=2] e. Amostragem múltipla, Nível I, inspecção normal, N=5000, NQA=,0. [Letra código J; ª amostra: n=20, Ac=#, Re=2; 2ª amostra: n=40, Ac=0, Re=3; 3ª amostra: n=60, Ac=0, Re=3; 4ª amostra: n=80, Ac=, Re=4; 5ª amostra: n=00, Ac=2, Re=4; 6ª amostra: n=20, Ac=3, Re=5; 7ª amostra: n=40, Ac=4, Re=5] 2. Dos seguintes planos de amostragem, qual é o que oferece a menor protecção contra lotes que possuem % de defeituosos: A. n=25, Ac=3, Re=4; B. n=200, Ac=3, Re=4; C. n=200, Ac=2, Re=3; D. n=25, Ac=2, Re=3? [Plano A, porque tem a maior Probabilidade de Aceitação (A:Pa=0,965; B:Pa=0,857;C:Pa=0,677; D:Pa=0,0,868)] 3. Num processo de controlo por amostragem regido pela norma MIL-STD- 05E, foi utilizada uma amostragem simples, nível de inspecção II, e NQA=4%, sendo o tamanho do lote igual a a. Caracterize os planos de amostragem para as situações de inspecção normal, inspecção rigorosda e inspecção reduzida. [Letra código K; inspecção normal: n=25, Ac=0, Re=; inspecção rigorosa: n=25, Ac=8, Re=9; inspecção reduzida: n=50, Ac=5, Re=8] b. Utilize tabelas da Lei de Poisson Acumulada para calcular as probabilidades de aceitação de um produto com 4% de defeituosos, sob inspecção normal, inspecção rigorosa e inspecção reduzida. [0,986, 0,932 e 0,983, respectivamente] c. Assuma que está a ser aplicada uma inspecção normal, nas condições estipuladas no plano de amostragem supracitado. Uma série de lotes com 8% de defeituosos é submetida para aceitação. Qual é o valor aproximado da probabilidade de ser necessária uma mudança para inspecção rigorosa após a ocorrência dos dois primeiros lotes com aquelas características? (Nota: admita que não ocorreram rejeições nos quatro lotes precedentes) [0,739]

19 9 d. Assuma que está a ser aplicada uma inspecção rigorosa nas condições da alínea c). Após a rejeição de um lote, a qualidade do produto melhora até ao ponto em que os lotes só têm agora 4% de nãoconformes. Qual é a probabilidade aproximada de a inspecção normal voltar a ser implementada após os próximos cinco lotes deste tipo? [0,7032] e. Suponha que um lote com 8% de não-conformes é submetido a inspecção reduzida, nas condições estipuladas no plano de amostragem do problema. Utilize tabelas da Lei de Poisson Acumulada para calcular as probabilidades de que: i. o lote seja aceite e a inspecção reduzida continuada; [0,785] ii. o lote seja aceite, mas a inspecção normal seja retomada; [0,64] iii. o lote seja regeitado. [0,05] 4. Num processo de aceitação por amostragem regido pela norma MIL-STD- 05E, foi utilizada uma amostragem simples, nível de inspecção II, e NQA=0,4%, sendo o tamanho do lote igual a 500. a. Caracterize os planos de amostragem para as situações de inspecção normal e inspecção rigorosa. [Letra código K; inspecção normal: n=25, Ac=, Re=2; inspecção rigorosa: n=200, Ac=, Re=2] b. Assuma que, para a situação descrita, o processo tem estado a operar em regime de inspecção normal e que os últimos cinco lotes inspeccionados foram aceites. De repente, a qualidade dos lotes muda para,6% de não-conformes. Calcule: i. a probabilidade aproximada de que o próximo lote a ser inspeccionado seja aceite; [0,406] ii. a probabilidade de que se torne necessário mudar de inspecção normal para inspecção apertada dentro dos próximos cinco lotes a serem inspeccionados. [0,9083] c. Suponha que, nas condições acima descritas, o processo está agora sob inspecção apertada. Entretanto, foram tomadas medidas correctivas, por tal forma que a média de não-conformes baixou para 0,4%, o valor do NQA. O último lote inspeccionado foi rejeitado. i. Calcule a probabilidade aproximada de que o próximo lote a ser inspeccionado seja aceite; [0,809] ii. Calcule a probabilidade de que a inspecção mude de apertada para normal no âmbito dos próximos cinco lotes a serem inspeccionados. [0,3465]