As Leis de Kepler. Prof. Dr. Juscelino P. Silva. Centro Federal de Educação Tecnológica do Ceará - CEFETCE Unidade de Ensino de Juazeiro do Norte

Transcrição

1 As Leis de Kepler Prof. Dr. Juscelino P. Silva Centro Federal de Educação Tecnológica do Ceará - CEFETCE Unidade de Ensino de Juazeiro do Norte 22 de março de 2008

2 Sumário Prefácio ii 1 Introdução Kepler, Copérnico e as Leis da Gravitação As Leis de Kepler A Segunda Lei de Kepler Noções Preliminares Momento Angular A Órbita em Coordenadas Polares A Primeira Lei de Kepler A Fórmula de Binet Cônicas em Coordenadas Polares Interpretação Geométrica da Segunda Lei de Kepler A Terceira Lei de Kepler O Período de Revolução de um Planeta Referências 13 i

3 Lista de Figuras 2.1 Órbita do planeta Momento angular constante Trajetória em coordenadas polares Área entre os raios vetores Órbita elíptica Interpretação da Segunda Lei Corda focal ii

4 Prefácio Desde a antiguidade o homen indaga-se sobre os mistérios do Universo e de como os planetas e o sistema se comportam em relação uns aos outros. As Lei de Kepler é um marco na Gravitação descrevendo com a precisão matemática o comportamento de tais objetos celestiais. Embora enunciadas por Kepler, o mesmo não consegui mostrar que tais Leis seriam verdadeiras. Tal feito foi alcançado por Sir Isaac Newton, um dos maiores gênios de todos os tempos, com o auxílio de sua segunda Lei do Movimento e de sua outra Lei intitulada de Lei Universal da Gravitação. Não se pode esquecer que as Leis de Kepler são amplamente fundamentadas nas observações do astrônomo Dinamarquês Tycho Brahe, cujo mesmo era seguidor das teoria de Nicolau Copérnico. Tais Leis colocaram abaixo vários dogmas religiosas impostos pela igreja católica, sendo que os feitores de tais proezas sofreram duras penas e incassáveis perseguições da mesma igreja católica. Esta notas estão divididas da forma seguinte: No capítulo 1 apresentamos um pouco da história de tais Leis e ainda das pessoas envolvidas em tal enlace gradioso. Por motivos didáticos apresentamos primeiramente a demonstração da Segunda Lei, uma vez que a mesma é, de certa forma, independente da outras duas e tal fato é apresentado no capítulo 2. No capítulo 3 apresentamos a fórmula de Binet que com auxílio da Primeita Lei transforma a equação do movimento em uma equação do tipo oscilador harmônico simples. Falamos ainda um pouco sobre cônicas em coordenadas polares e demonstramos a Primeira Lei de Kepler. Por último, no terceiro capítulo, com auxílio da duas outras Leis, demonstramos a bela e surpreemdente Terceira Lei de Kepler. Para um bom entendimento de tais resultados, tentei ser o mais detalhista possível e portanto um estudante de matemática, física ou engenharia,que possua alguns poucos conhecimento do cálculo diferencial de uma variável, não terá dificuldades em ler e entender tais resultados e suas interpretações. Uma excelente referência para tais resultados e muito outros ainda interessantes está na primeira referência destas notas e trata-se do livro da Coleção Matemática Universitária, intitulado Equações Diferenciais Aplicadas dos professores Djairo Guedes de Figueiredo e Aloísio Freiria Neves [1]. Os motivos que me fizeram escrever tais notas foram apenas o interesse de entender e admirar a forma como a Matemática e a Física conseguem expressar e elucidar fatos longícuos à nossas mãos e olhos, mas próximos da abstração e da genialidade da mente de tais homens. Espero que aqueles que, por ventura, vierem a ler tais notas consigam admirar, como eu, um dos mais belos resultados encontrados pelo homen. Prof. Dr. Juscelino P. Silva Juazeiro do Norte - Ce 22 de março de 2008 iii

5 Capítulo 1 Introdução Conteúdo 1.1 Kepler, Copérnico e as Leis da Gravitação As Leis de Kepler Kepler, Copérnico e as Leis da Gravitação Ao publicar, em 1543, seu famoso trabalho De Revolutionibus Orbium Coelestium lançando a teoria heliocêntrica, Copérnico iniciava uma nova fase na História da Ciência. É difícil, hoje, fazer-se uma idéia do que significou naquela época desafiar a teoria milenar de Ptolomeu, entrando em conflito frontal com a teologia cristã e com arraigados princípios de ordem, estética e simplicidade matemática do Universo. As idéias lançadas por Copérnico germinaram e encontraram em Galileu e Kepler os seus grandes seguidores. Os trabalhos de Galileu são o início da Mecânica, que nas mãos de Newton recebeu a admirável formalização que conhecemos. Kepler foi assistente de Tycho Brahe no observatório de Praga, e quando este faleceu, aquele assumiu sua posição. Kepler ficou de posse de longas tabelas contendo observações astronômicas sobre a órbita de Marte. Em 1609, ele publicou sua Astronomia Nova, no qual estarreceu a todos defendendo a teoria de as órbitas dos planetas em torno do sol não são círculos. E além disso, sua segunda lei implica que a velocidade dos planetas não é constante. Novamente, a idéia de um universo harmonioso e estético no conceito grego foi desafiada. E isso desagradou a muitos. Em 1619, quando Kepler publicou seu segundo trabalho sobre a teoria planetária, ele o denominou Harmonia do Universo e procurou mostrar em sua teoria a perfeição da obra de Deus. Em seu livro em Principia Mathematica, de 1687, Sir Isaac Newton mostrou que as três leis de Kepler podem ser obtidas como consequência de outras duas leis de sua autoria, a Segunda Lei do Movimento e a Lei Universal da Gravitação As Leis de Kepler As três leis que Kepler enunciou em seus trabalhos são: Nicolau Copérnico. ( 1473 Polônia 1543 Prússia.) Galileu Galilei. ( 1564 Itália 1642 Itália.) Johannes Kepler. ( 1571 Alemanha 1630 Alemanha.) Tycho Brahe. ( 1546 Dinamarca 1601 Dinamarca.) Sir Isaac Newton. ( 1643 Inglaterra 1727 Inglaterra.) 1

6 Capítulo 1. Introdução Prof. Dr. Juscelino P. Silva Primeira Lei Cada planeta se move em órbita elíptica, tendo o sol um dos focos. Segunda Lei O raio vetor ligando o sol a um dado planeta varre área iguais em tempos iguais. Terceira Lei A razão entre o quadrado do período de revolução de um planeta e o cubo do semi-eixo maior de sua órbita é a mesma para todos os planetas. Até o final deste trabalho demonstraremos as leis acima. 2

7 Capítulo 2 A Segunda Lei de Kepler Conteúdo 2.1 Noções Preliminares Momento angular A Órbita em Coordenadas Polares Por uma questão de conveniência, que à posteriore ficará clara, provaremos primeiramente a Segunda Lei de Kepler. 2.1 Noções Preliminares Consideremos um planeta P de massa m deslocando-se em sua órbita ao redor do sol. Representaremos por X(t) = (x(t), y(t), z(t)) a órbita (trajetória) de P, isto é, para cada instante t, X(t) é um vetor de R 3, cujo mesmo doravante será chamado de raio vetor, que determina as coordenadas cartesianas de P. Assumiremos que a órbita de P é suficientemente suave ao ponto de podermos calcular as derivadas primeira e segunda de X. A origem do nosso sistema tridimensional será o Sol, como mostra a figura (2.1). Seja F a força que rege o Figura 2.1: Órbita do planeta movimento de P, então pela Segunda Lei de Newton, temos F = mẍ, (2.1) 3

8 Capítulo 2. A Segunda Lei de Kepler Prof. Dr. Juscelino P. Silva onde Ẋ = dx/dt representa a derivada com respeito a t (tempo) e m é a massa de P. Entretanto tal força é oriunda do campo gravitacional gerado pela presença do sol e portanto tal força é dada pela Lei Universal da Gravitação, que afirma que a mesma deve ser diretamente proporcional ao produto das massas do planeta e do sol e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os mesmos, possuindo ainda a direção do raio vetor que os une, o que matematicamente é expresso por F = mmg X r 2 (2.2) r onde r = X e M é a massa do sol e G é a constante de proporcionalidade que é conhecida com constante universal da gravitação. O sinal negativo é devido a força gravitacional ser de atração, portanto contrária a orientação do raio vetor X. Usando as equações (2.1) e (2.2) tem-se Ẍ = MG X. (2.3) r3 2.2 Momento Angular A definição a seguir será de grande valia. Definição 1. O momento angular Y, associado ao planeta P é dado pela curva Y def = X Ẋ. (2.4) Note que o momento angular é, em cada t, ortogonal ao raio vetor (vetor posição) e ao vetor velocidade de P dado por Ẋ. Em virtude da equação (2.3) temos que Lema 1. A órbita do planeta P é uma curva plana. Demonstração: Para provarmos tal resultado é suficiente provarmos que que o momento angular de P é constante, pois assim sendo a órbita estará no plano de R 2 contendo a origem, que é ortogonal a Y, veja figura (2.2). Com efeito, calculando a derivada o momento angular Y, temos Figura 2.2: Momento angular constante ( Ẏ = Ẋ Ẋ + X Ẍ = 1 MG ) r 3 Ẋ Ẋ = 0, (2.5) onde usamos a equação (2.3) e o que Ẋ Ẋ = 0. Assumiremos que tal constante é não nula, uma vez que, caso Y = 0, teremos ( ) d X rẋ ṙx (X X)Ẋ (X Ẋ)X (X Ẋ) X = dt r r 2 = r 3 = r 3 Note que r = X é a distância entre o sol e o planeta P. Daí segue que Y(t) = cte (constante). = Y X r 3 = 0 4

9 Capítulo 2. A Segunda Lei de Kepler Prof. Dr. Juscelino P. Silva o que implicaria que X(t) = cte r(t) e portanto o planeta P possuiria uma reta como órbita, o que, por motivos óbvios, não pode ser verdade. Assim sendo Y(t) = κ = (κ 1, κ 2, κ 3 ) 0 e o planeta P possui órbita planar. 2.3 A Órbita em Coordenadas Polares Vimos na seção anteiror que a órbita de X é planar e portanto não há perda de generalidade em considerarmos tal plano como sendo o plano z = 0 e assim a órbita de P assumirá a forma X(t) = (x(t), y(t), 0), (2.6) e ainda Y(t) = (0, 0, x(t)ẏ(t) ẋ(t)y(t)). Representando apenas por κ a única coordenada não nula de Y, temos que x(t)ẏ(t) ẋ(t)y(t) = κ (constante) mediante (2.5). Por motivos que ficarão claros à frente, usaremos coordenadas polares para representar a órbita X do planeta P, isto é, faremos como mostra a figura (2.3). r(t) = X(t), x(t) = r(t) cos θ(t) e y(t) = r(t) sen (t), (2.7) Figura 2.3: Trajetória em coordenadas polares. Consideremos agora a área A(t), da região sob a órbita X de t 0 à t, isto é, a área sob a curva limitada pelo raio vetor X(t 0 ) = (r(t 0 ), θ(t 0 )) e X(t) = (r(t), θ(t)), veja a figura (2.3). Escrevendo, pelo menos localmente, r = r(θ), temos que a área A(t) é expressa por A(t) = 1 2 θ(t) θ(t 0 ) r 2 (θ(t))dθ(t) = 1 2 t t 0 r 2 (θ(t)) θ(t)dt, (2.8) onde dθ = θdt e abusamos da notação usando e mesma variável para limite de integração e variável de integração. Definição 2. A velocidade areolar associado ao planeta P é definida por Ȧ(t), ou seja, a taxa de variação da área descrita pelo raio vetor em relação ao tempo. Em virtude de tal definição temos o seguinte lema Lema 2. A velocidade areolar do planeta P é constante. 5

10 Capítulo 2. A Segunda Lei de Kepler Prof. Dr. Juscelino P. Silva Figura 2.4: Área entre os raios vetores. Demonstração: Com base em (2.7) temos que e portanto ẋ = ṙ cos θ r θsen θ, ẏ = ṙ sen θ + r θcos θ (2.9) Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo a (2.8) Em virtude de (2.11) temos xẏ ẏx = r 2 θ = κ. (2.10) Ȧ(t) = 1 2 r2 (θ(t)) θ = 1 κ. (2.11) 2 Lei 1 (Segunda Lei de Kepler). O raio vetor ligando o sol a um dado planeta varre área iguais em tempos iguais. Demonstração: Usando (2.11) temos que A(t) = 1 κ t + A(0). (2.12) 2 Considere dois intervalos de tempo iguais, digamos (t 1, t 2 ) e (t 3, t 4 ), onde t 2 t 1 = t 4 t 3. Assim a área percorrida no intervalo de tempo (t 1, t 2 ) é A(t 2 ) A(t 1 ) e ainda A(t 2 ) A(t 1 ) = 1 2 κ (t 2 t 1 ) = 1 2 κ (t 4 t 3 ) = A(t 4 ) A(t 3 ), (2.13) onde A(t 4 ) A(t 3 ) é a área percorrida pelo raio vetor no intervalo de tempo (t 3, t 4 ). Desta forma fica provada a Segunda Lei de Kepler. Após provarmos a Primeira Lei de Kepler apresentaremos uma visão geométrica da Segunda Lei. 6

11 Capítulo 3 A Primeira Lei de Kepler Conteúdo 3.1 A Fórmula de Binet Cônicas em Coordenadas Polares Interpretação da Segunda Lei de Kepler Provaremos neste capítulo a Primeira Lei de Kepler com o auxílio da fórmula de Binet. 3.1 A Fórmula de Binet Com base nas expressões (2.9) temos Usando a equação (2.3), obtemos ẍ = rcos θ 2ṙ θsen θ r θ 2 cos θ r θsen θ (3.1) ÿ = rsen θ + 2ṙ θcos θ r θ 2 sen θ + r θcos θ. (3.2) rcos θ 2ṙ θsen θ r θ 2 cos θ r θsen θ = MG cos θ r2 (3.3) rsen θ + 2ṙ θcos θ r θ 2 sen θ + r θcos θ = MG sen θ, r2 (3.4) daí fazendo cos θ (3.3) + sen θ (3.4) temos r r θ 2 = MG r 2 (3.5) e usando que r 2 θ = κ obtemos r θκ + 1 r = MG κ 2. (3.6) Fazendo ainda sen θ (3.3) + cos θ (3.4), temos 2ṙ θ + r θ = 0 (3.7) que é equivalente a equação r 2 θ = κ, uma vez que d ( ) r 2 θ = 2ṙ dθ θ + r θ. Devido a tal fato tal equação não será levada em consideração daqui em diante. Albert Binet. ( 1857 França 1911 França) 7

12 Capítulo 3. A Primeira Lei de Kepler Prof. Dr. Juscelino P. Silva Observação 1. Note que o par de equações são equivalentes a equação que rege o movimento, dada por Ẍ = MG r 3 X. r θκ + 1 r = MG κ 2, r2 θ = κ (3.8) Observação 2. Observe que, devido a (2.10) a função θ(t) 0, t, tem-se que tal função possui uma função inversa, a saber, t = t(θ). Assim podemos entender r como uma função de θ, da forma r(θ) = r(t(θ)). Temos ainda que dt(θ) dθ = 1 θ(t(θ)) Lema 3 (Fórmula de Binet). A função r = r(θ) satisfaz a equação diferencial d 2 ( ) 1 dθ r r = MG κ 2. (3.10) Demonstração: onde usamos (3.9). Daí segue que Utilizando a regra da cadeia temos (3.9) dr dθ = ṙ dt dθ = ṙ θ e dṙ dt = r dθ dθ = ṙ θ, (3.11) d dθ ( 1 r ) = r 2 dr dθ = ṙ r 2 θ = ṙ κ. (3.12) Na última igualdade usamos (2.10). Derivando mais uma vez temos d 2 ( ) 1 dθ 2 = d ( ( )) d 1 = 1 r dθ dθ r κ dṙ dθ = r, (3.13) κ θ onde na última igualdade usamos (3.11). Substituindo a última equação em (3.6) obtemos o resultado desejado. 3.2 Cônicas em Coordenadas Polares A fórmula de Binet, vista na seção anterior, é de fato muito útil devido a equação (3.10) ser uma equação linear de segunda ordem relativamente fácil de ser resolvida, uma vez que a mesma é uma equação do tipo oscilador harmônico. É um fato bastante simples de ver que uma solução geral da equação (3.10) é da forma 1 r = α cos θ + β sen θ + MG κ 2 (3.14) onde α e β são constantes dependendo dos dados iniciais. Vamos supor, sem perda de generalidade, que θ(0) = 0, isto é, que no inicial t = 0 o planeta P situava-se sobre o eixo dos x a uma distância r(0) = r 0 do Sol. A equação (3.14) pode ser escrita na forma 1 r = 1 cos θ + d ( 1 r 0 dθ θ=0 r = 1 r 0 cos θ ṙ0 κ ) sen θ + MG κ 2 Foi usado o Teorema da Função Inversa para funções de uma variável. sen θ + MG κ 2, (3.15) 8

13 Capítulo 3. A Primeira Lei de Kepler Prof. Dr. Juscelino P. Silva onde ṙ 0 = ṙ(0). Fazendo mais uma simplificação na equação (3.15) temos 1 r = λ cos (θ ω) + MG κ 2, (3.16) onde λ 2 = (1/r 0 ) 2 + (ṙ 0 /κ) 2 e ω = tg 1 ( r 0 ṙ 0 κ 1) e portanto tal equação assume a forma r = 1 + λκ2 MG κ 2 MG cos (θ ω). (3.17) Representando e = λκ2 MG e d = λ 1, afirmamos que a equação r = d e 1 + e cos (θ ω) (3.18) é uma elipse com excentricidade e e centro no ponto ( e 2 d/(1 e 2 ), 0 ). Observação 3. Não há mundança nenhuma, em termos geométricos, tomarmos coodenadas polares na forma x = r cos (θ ω) e y = r sen (θ ω), (3.19) uma vez que a única mudança é que agora estamos considerando o ângulo que o raio vetor faz com a reta θ = ω e antes considerávamos o ângulo entre o raio vetor e a reta θ = 0. Observação 4. É natural assumirmos que e < 1 uma vez que r 0, M e G devem ser números consideravelmente grandes e κ não deve ser uma constante muito grande por representar uma velocidade (areolar) de um planeta. Vejamos então que a equação (3.18) é uma elipse. Temos que r + e r cos (θ ω) = d e, elevando ambos os lados ao quadrado e usando (3.19), segue que x 2 + y 2 = e 2 (d 2 2dx + x 2 ) e ainda completando o quadrado (1 e 2 )x 2 + 2de 2 x + y 2 = e 2 d 2, ( ) 2 x + e2 d 1 e 2 + y2 1 e 2 = e2 d 2 (1 e 2 ) 2, que é uma equação da elipse onde c = (x + c) 2 a 2 + y2 b 2 = 1, e2 d 1 e 2, a2 = e2 d 2 (1 e 2 ) 2 e b 2 = e2 d 2 1 e 2. (3.20) Note que estamos assumindo que e < 1 e portanto c > 0 e ainda 0 < (1 e 2 ) 2 < 1 e 2 < 1, implicando com a > b. Logo tal elipse possui seu eixo maior sobre o eixo dos x. (veja a figura (3.2)). Com isso, acabamos de provar o seguinte resultado Lei 2 (Primeira Lei de Kepler). Cada planeta se move em órbita elíptica, tendo o sol um dos focos. 9

14 Capítulo 3. A Primeira Lei de Kepler Prof. Dr. Juscelino P. Silva Figura 3.1: Órbita elíptica Figura 3.2: Interpretação da Segunda Lei 3.3 Interpretação Geométrica da Segunda Lei de Kepler Agora que sabemos como é a forma geométrica da órbita do planeta P vejamos na figura (3.3) uma interpretação geométrica para a Segunda Lei de Kepler. Na figura acima os intervalos de tempo são iguais, isto é, t 2 t 1 = t 4 t 3 e portanto pela Segunda Lei afirma que as áreas hachuradas acima são iguais. Observação 5. Este resultado é impressionante!. Na antiguidade, além de os povos acharem que as órbitas eram circulares, achava-se ainda que a velocidade em que os planetas se deslocavam sobre suas órbitas era constante. Mas a Segunda Lei mostra que tal velocidade não é contantes mas sim a velocidade da área varrida pelo raio vetor, em particular quando o planeta encontra-se mais perto do sol sua velocidade é maior de quando o mesmo está distante do sol. 10

15 Capítulo 4 A Terceira Lei de Kepler Conteúdo 4.1 O Período de Revolução de um Planeta Provaremos aqui a Terceira Lei de Kepler. 4.1 O Período de Revolução de um Planeta Fica óbvio, pela Primeira Lei de Kepler, que as órbitas dos planetas são periódicas e portanto cada planeta deve possuir um período de revolução, isto é, o tempo necessário para cada planeta dar uma volta completa em torno do Sol. Representaremos aqui por T o período do planeta P e provaremos o seguinte resultado Lei 3. A razão entre o quadrado do período de revolução de um planeta e o cubo do semi-eixo maior de sua órbita é a mesma para todos os planetas. Demonstração: Consideremos agora um sistema de coordenadas cuja origem é o Sol, o mesmo é um dos focos da trajetória do planeta em questão e ainda o eixo maior de tal elipse está sobre o eixo dos x. A corda focal de um elipse é o segmento de reta, de comprimento 2l, que é perpendicular ao eixo maior passando por um dos focos e suas extremidas estão sobre a elipse. Veja figura(4.1). Tendo em vista que a equação de tal elipse é o valor de l dever tal que (x + c) 2 a 2 + y2 b 2 = 1 (4.1) c 2 a 2 + l2 b 2 = 1, implicando assim que l = b 2 /a. Usando as expressões (3.20) concluímos que l = b2 a = e d = κ2 MG (4.2) Usando o fato da velocidade areolar Ȧ ser constante temos que T = Área da Elipse Ȧ = πab 1 2 κ = 2 πab κ, (4.3) 11

16 Capítulo 4. A Terceira Lei de Kepler Prof. Dr. Juscelino P. Silva Figura 4.1: Corda focal. seguindo que T 2 a 3 = 4π2 b 2 aκ 2 = b2 a 4π κ 2 = l 4π κ 2 = κ2 MG 4π κ 2 = 4π MG. (4.4) Concluíndo a demonstração deste resultado surpreendente. 12

17 Referências Bibliográficas [1] Figueiredo, D. G. de, Neves, A. F., Equações Diferenciais Aplicadas, Coleção Matemática Universitária [2] Stewart, J., Cálculo, vol. II, Quinta Edição, Editora Thomson