Ondas & Mecânica MEEC/IST Aula # 14

Transcrição

1 Ondas & Mecânica MEEC/IST Aula # 14 Sumário Prof. Pedro T. Abreu abreu@lip.pt Atrito e Rolamento As Leis de Kepler e a sua dedução a partir do Movimento num campo de Forças central. O Universo está escrito numa linguagem geométrica e só quem dominar essa linguagem poderá compreender a sua evolução! Galileo Galilei ( ) (cortesia de Doutora Patrícia Gonçalves)

2 Perspectiva histórica Ano I século Tales de Mileto : ~ ac Anaxímenes de Mileto: ~ ac Anaximandro de Mileto: ~ ac Demócrito de Abdera: ~ ac Aristóteles: ac Heráclito de Ponto ac Aristarco de Samos ac Ptolomeu: dc Nicolau Copérnico: Tycho Brahe: Johannes Kepler: Galileu Galilei: Isaac Newton: Albert Einstein: /22/08 As leis de Kepler 2

3 Universo Geocêntrico N Equinócio do Outono solstício de verão 23.5º solstício de Inverno Equinócio da Primavera O que observamos: S A esfera das estrelas completa uma revolução em torno da terra em cada 23h56m. As posições relativas das estrelas não se alteram. O Sol acompanha a esfera celeste no seu movimento diário muito embora de dia para dia se desloque para Este sobre a eclíptica. 4/22/08 As leis de Kepler 3

4 Universo Geocêntrico Qualquer movimento nos céus é circular e uniforme Os objectos celestes são compostos por um material perfeito, não podendo as suas propriedades intrínsecas sofrer variações. A terra é o centro do universo. 4/22/08 As leis de Kepler 4

5 Aristóteles O universo de duas esferas composto por uma esfera interior, habitada pelo homem e por uma esfera exterior para as estrelas. Não explica as posições ou movimentos dos sete planetas então conhecidos, que se movem no éter, nem define em que esfera se encontra o sol. A órbitas dos planetas deveriam ser circulares e concêntricas. Aristóteles propôs exactamente 55 esferas cristalinas concêntricas, com a terra no centro, fazendo parte de um mecanismo físico, cujo movimento era descrito por um sistema matemático complexo mas que não era suficiente para descrever as observações. 4/22/08 As leis de Kepler 5

6 Problema dos planetas O movimento regular dos planetas sobre a esfera celeste (à excepção do Sol e da Lua) é por vezes substituído por um movimento de retrogradação Como explicar o comportamento dos planetas? 4/22/08 As leis de Kepler 6

7 Claudius Ptolomeu Epiciclos foram colocados dentro de epiciclos para explicar melhor os movimentos dos planetas. Foram postulados os equantes, em torno dos quais o centro dos epiciclos se deslocariam com velocidade uniforme para explicar as variações observadas na velocidade dos planetas. deferente epiciclos planeta equante Terra Estas ideias, que partem do universo Aristotélico, foram catalogadas por Ptolomeu no ano 150, no livro Almagest. 4/22/08 As leis de Kepler 7

8 Outros modelos Outros modelos para o Universo surgiram na Grécia antiga ( e não só ) De entre esses modelos, alguns eram menos completos na capacidade de previsão das observações, outros eram menos intuitivos e foram rejeitados. Atomistas: Demócrito e Leucípo O universo é um espaço vazio infinito, preenchido por um número também infinito de partículas minúsculas e indivisíveis: os átomos, que se deslocam em todas as direcções. Heráclito du Pont Sugere que o movimento do ceu se deva à rotação da terra sobre ela própria e que Mercúrio e Vénus se desloquem em torno do Sol, móvel, e não em órbitas circulares independentes em torno da Terra. Pitagóricos O número, sinónimo de harmonia, é a essência das coisas. Criaram a teoria da harmonia das esferas : o cosmos é regido por relações matemáticas. A terra é esférica, e é uma estrela que se move como as demais ao redor de um fogo central. Aristarco de Samos O Sol é o centro de uma esfera de estrelas de grandes dimensões em torno do qual a Terra descreve uma órbita circular 4/22/08 As leis de Kepler 8

9 A escola de Atenas Platão Aristóteles Ptolomeu Parménides Anaximandro Pitágoras Heráclito Diógenes Euclides 4/22/08 As leis de Kepler 9

10 Nicolau Copérnico O sistema Ptolomaico com alterações e adições feitas durante séculos, de modo a melhor se ajustar às observações tornou-se monstruoso! Nenhum dos sistemas Ptolomaicos que Copérnico conhece coincidem inteiramente com as observações feitas a olho nú. Copérnico conclui que o problema do movimento dos planetas, com a terra no centro do Universo não tem solução e que deve haver um erro fundamental nos conceitos de base da astronomia tradicional. De Revolutionibus 1543 Propôe o universo heliocêntrico. 4/22/08 As leis de Kepler 10

11 Tycho Brahe Astrónomo Dinamarquês que esteve ao serviço de Frederico II da Dinamarca e do imperador Rodolfo II. Observações do céu, a olho nú, sistemáticas, numerosas e com o dobro da precisão das efectuadas até à data. Foi o primeiro a efectuar observações regulares dos planetas em todas as configurações. Aceita as harmonias matemáticas da obra de Copérnico, mas não o Heliocentrismo. 4/22/08 As leis de Kepler 11

12 Joannes Kepler Seguidor de Copérnico Neo-Platónico C o n h e c e a o b r a d e Copérnico e está convicto de que o sol se localiza no centro do Universo. Acredita que o universo tem uma ordem intrínseca descrita pelo número Discípulo de Tycho Brahe Dispõe dos dados mais precisos de sempre. Foi encarregue por Tycho Brahe da explicação das suas observações de Marte. Devido ao problema da retrogradação de Marte, abandona os círculos perfeitos para descrever as órbitas dos planetas e apresenta como solução as órbitas elípticas de velocidade variável. "Uma longa série de tentativas sem sucesso forçou Kepler a concluir que nenhum sistema baseado em círculos compostos resolveria o problema. Uma outra figura geométrica deveria, pensou, conter a chave do problema. Tentou vários tipos de ovais, nenhum tendo eliminado as discrepâncias entre a sua hipótese de teoria e a observação. Então, reparou que as próprias discrepâncias variavam de um forma matemática familiar e, ao investigar essa irregularidade, descobriu que a teoria e a observação podiam ser conciliáveis se os planetas se movessem em órbitas elípticas com velocidades variáveis." (em The Copernican Revolution,Thomas s.kuhn ) 4/22/08 As leis de Kepler 12

13 Joannes Kepler "Astronomia Nova (1609) 1ª e 2ª leis Harmonices Mundi (1619) 3ª lei As órbitas dos planetas são elipses, estando o sol localizado num dos focos. Os segmentos de recta que unem o Sol aos planetas varrem áreas iguais em intervalos de tempo iguais. O quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da sua órbita (T 2 α a 3 ) em torno do Sol. 4/22/08 As leis de Kepler 13

14 Confirma heliocentrismo Galileu Galilei Primeiras observações com a luneta em 1609 Observa manchas solares -> rotação do sol Topografia da lua -> semelhante à da terra Sistema de luas de Júpiter-> mini sistema solar Assim concluí, e decidi sem hesitar, que existem três estrelas nos céus movendo-se em torno de Júpiter, como Vénus e Mercúrio em torno do Sol; o que foi estabelecido claramente pelas numerosas observações subsequentes. Estas observações vieram também a estabelecer que não são apenas três, mas sim quatro, os corpos erráticos siderais que executando o seus movimentos de revolução em torno de Júpiter. 4/22/08 As leis de Kepler 14

15 Isaac Newton A descoberta das leis do movimento e da lei da gravitação universal por Isaac Newton foi fortemente influenciada pelo trabalho de Joannes Kepler 1687 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica F = G mm r 2 r r 4/22/08 As leis de Kepler 15

16 O campo gravítico O Campo gravítico é um campo de força central conservativo Linhas equipotenciais Linhas de campo G = F m A energia potencial gravítica, é o trabalho da força gravítica ao deslocar um corpo de massa m de e uma distância r. No caso do deslocamento se efectuar ao longo da linha de campo, vem: 4/22/08 As leis de Kepler 16

17 Movimento num campo central Conservação do momento angular => órbita plana A conservação do momento angular traduz-se na planaridade das órbitas dos planetas :i.e as órbitas dos planetas pertencem ao plano perpendicular ao vector momento angular do sistema planeta-sol. z y x θ 4/22/08 As leis de Kepler 17

18 Movimento num campo central Obedece às leis da conservação do momento angular e da conservação da energia. Conservação do momento angular: Conservação da energia: L = m ṙ 1 2 L 2 mr 2 α r = cte 4/22/08 As leis de Kepler 18

19 1ª Lei de Kepler: Lei das Órbitas 4/22/08 As leis de Kepler 19

20 1ª Lei de Kepler: Lei das Órbitas Mudança de variável cuja solução e : EQUAÇÃO DAS CÓNICAS: 1 r = C 1+ ecos(θ θ 0 ) ( ) 4/22/08 As leis de Kepler 20

21 1ª Lei de Kepler: Lei das órbitas Equação de uma secção cónica cuja natureza depende do valor da excentricidade, e. As secções cónicas classificam-se de acordo com: A condição para que a órbita seja fechada, é que E seja menor que 0. A solução da equação das órbitas para o caso dos planetas é uma elipse, da qual a órbita circular é um caso particular. 4/22/08 As leis de Kepler 21

22 1ª Lei de Kepler: Lei das Órbitas As órbitas dos planetas são elipses, estando o sol localizado num dos focos. a b 4/22/08 As leis de Kepler 22

23 2ª Lei de Kepler: Lei das áreas Os segmentos de recta que unem o Sol aos planetas varrem áreas iguais em intervalos de tempo iguais. sol A área varrida pelo vector num dado intervalo de tempo dt corresponde a metade da área do trapezóide definido pelos vectores e : 4/22/08 As leis de Kepler 23

24 3ª Lei de Kepler: Lei dos períodos O quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da sua órbita (T 2 α a 3 ) em torno do Sol. Para o caso particular de uma órbita circular. A força de atracção gravítica entre o sol e o planeta, resulta numa aceleração centrípeta: Da segunda lei de Newton e da lei da gravitação universal, resulta: 4/22/08 As leis de Kepler 24

25 3ª Lei de Kepler: Lei dos períodos 4/22/08 As leis de Kepler 25

26 Aplicações 1 A estação espacial internacional Qual o tempo que a estação espacial internacional leva a completar uma órbita em torno da terra, sabendo que está localizada a uma altitude de h=400 km (assumindo uma órbita circular)? G=6.67 x 10-11m3 kg-1s-2 MT=5.97 x 1024 kg RT=6.378 x106 m (de Pela terceira lei de Kepler: T= 5556 s ~ 1.5 h 4/22/08 As leis de Kepler 26

27 Aplicações O cometa Halley O cometa Halley tem um período orbital (T) de 76 anos e uma excentricidade e= Podemos assim calcular algumas quantidades referentes à sua órbita: Órbita de Plutão Halley em 2024 Por exemplo o semi-eixo maior da órbita do cometa Halley pode-se calcular a partir da terceira lei de Kepler. => a=2.68 x1012 m = 17.9 ua Assim como a distância do cometa ao sol no periélio e no afélio, a velocidade do cometa no periélio e no afélio 4/22/08 As leis de Kepler 27