AS LEIS DE KEPLER A LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

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1 AS LEIS DE KEPLER A LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

2 Um pouco de História Grécia antiga: Determinação da diferença entre as estrelas fixas e errantes (planetas) Primeiros modelos planetários explicando o movimento celeste Cláudio Ptolomeu ( ) criou o modelo predominante por séculos, baseando-se na trajetória de alguns planetas, desenvolveu um sistema geocêntrico (Terra no centro do sistema solar) com deferentes e epiciclos para explicar as laçadas. Ptolomeu apresentou seu modelo na sua obra-prima Almagesto, onde estava também catalogada 49 constelações, incluindo as doze constelações do Zodíaco

3 Um pouco de História Depois do modelo Ptolomaico, o modelo de maior destaque foi o de Nicolau Copérnico ( ), que construiu um modelo heliocêntrico (Sol no centro) do sistema solar. Entretanto o modelo de Copérnico não foi aceito imediatamente, pois era diferente do pensamento dominante da época Um dos seus opositores era o astrônomo Tycho Brahe ( ), que fez um grande trabalho observando as órbitas dos planetas, em especial de Marte.

4 Um pouco de História Utilizando as anotações de Brahe, o seu discípulo Johannes Kepler conseguiu estabelecer três Leis básicas que regem os movimentos planetários, as chamas hoje Leis de Kepler. Vale notar que elas são leis empíricas, isto é, obtidas a partir da observação pura. Com essas Leis, ele confirmou a teoria heliocêntrica de Copérnico

5 A PRIMEIRA LEI DE KEPLER (LEI DAS ÓRBITAS) As órbitas dos planetas em torno do Sol são elipses nos quais ele ocupa um dos focos

6 A SEGUNDA LEI DE KEPLER (LEI DAS ÁREAS) A área descrita pelo raio vetor de um planeta (linha imaginária que liga o planeta ao Sol) é diretamente proporcional ao tempo gasto para descrevê-la A 2 A 1

7 A TERCEIRA LEI DE KEPLER (LEI DOS PERÍODOS) O quadrado do período da velocidade de revolução de um planeta em torno do Sol é diretamente proporcional ao cubo do raio médio de sua elipse orbital T 2 = k R 3 T2 R 3 = k

8 Mas porque o sistema solar é assim??? Leis de Kepler: empíricas, baseadas na observação Não havia embasamento teórico na época da sua criação que sustentasse as leis Desde o momento em que foram escritas, vários cientistas tentaram explica-las. Coube ao inglês Isaac Newton ( ) dar a resposta final e demonstrá-las teoricamente. Na sua obra prima Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Newton demonstrou as Leis de Kepler utilizando os conceitos de movimento conhecidas hoje como Leis de Newton, juntamente com o auxílio de uma nova linguagem matemática criada por ele, o Cálculo Diferencial e Integral.

9 IMPLICAÇÕES DO SEU TRABALHO Newton determinou que os corpos orbitam o Sol devido à uma força de atuação à distância que decaia com o quadrado da separação entre eles e dependia das suas massas. Essa força chamada por ele de Força Gravitacional era também a responsável por fazer com que os objetos na Terra caiam na sua superfície, bem como pela translação da Lua em volta da Terra. Foi a primeira grande unificação da Física, pois juntou as Leis Celestes e Terrestres, que eram vistas como coisas diferentes. Com seu trabalho, Newton iniciou uma nova era na Física, tanto em termos de compreensão como aplicação científica.

10 A LEI DA GRAVITAÇÃO UINIVERSAL Dois corpos materiais se atraem mutuamente com forças que têm a direção da reta que os une e cuja intensidades são diretamente proporcionais ao produto de suas massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância que os separa. F = G M m d²

11 A LEI DA GRAVITAÇÃO UINIVERSAL G = constante da gravitação universal F F m 1 m 2 Note que a força é igual para os dois corpos, mesmo que um seja mais massivo que o outro d

12 O SISTEMA SOLAR EXPLICADO O Sol contém cerca de 99, 85% de toda a massa do Sistema Solar, fazendo-o de longe o objeto mais massivo nas redondezas. Dessa forma, todos os planetas e objetos no sistema solar são atraídos em sua direção. Quanto mais perto do Sol, maior a força da gravidade. Isso faz com que os corpos mais perto orbitem mais rápido, e vice-versa. Como a força da gravidade é central e decai com o quadrado das distâncias, as órbitas são planas e elípticas. Já que todas as órbitas são devidas à gravidade, a periodicidade e constância das 2ª e 3ª Leis de Kepler derivam dessa característica e podem então ser deduzidas

13 DEDUÇÃO DA SEGUNDA LEI DE KEPLER A segunda lei de Kepler diz que um planeta orbitando o sol varre áreas iguais em tempos iguais. Matematicamente: A t = c, onde c é uma constante Primeiramente, vamos mostrar que um corpo orbitando outro pela força da gravidade tem momento angular constante. (Na realidade, toda força central tem essa característica, como a força elétrica por exemplo). Partindo da definição do momento angular, teremos que:

14 DEDUÇÃO DA SEGUNDA LEI DE KEPLER Momento angular L = r x p, onde r é o raio da órbita e p o momento linear dado por p = mv, assim L = r x mv Já que temos um produto vetorial, a direção de L é perpendicular tanto à velocidade v quanto ao raio r, e seu módulo é o produto dos módulos dos dois vetores com o seno do ângulo entre eles: L = r x m v L = rmv sin α Para que o momento linear seja constante, sua variação com o tempo precisa ser zero, assim: L = 0 L = (rxp) = r p x p + x r t t t t t Agora, vamos analisar essas variações com calma para continuar

15 DEDUÇÃO DA SEGUNDA LEI DE KEPLER r t p t p t é a variação de r com o tempo. Essa é a definição de velocidade, portanto temos que r t = v é a variação do momento com o tempo, sendo p = mv, v v = m, já que m é constante. Mas t t = a, assim p t = m a = F Essa é a definição de força dada por Newton, a variação do momento com o tempo. Substituindo o que sabemos, temos então: L = r t t x p + p t x r L t = v x p + F x r Temos dois produtos vetoriais, mas por definição o produto vetorial de grandezas com o mesmo sentido é zero. A velocidade é sempre paralela ao momento linear, portanto v x p = 0 A definição da força gravitacional diz que a atração é na direção da reta que une os corpos, ou seja, F e r são paralelos. Assim: F x r = 0 Finalmente, chegamos que L = = 0. Já que a variação de L é zero, L é constante, que é o que queríamos t mostrar.

16 DEDUÇÃO DA SEGUNDA LEI DE KEPLER A área descrita pela reta r unindo os pontos P a F, quando ele vai até Q, é aproximadamente a área um triângulo de base r e altura r θ para uma variação pequena no ângulo, de forma que A = r r θ 2 A variação dessa área num certo tempo é dada então por A = r² θ t t 2 Lembrando da definição do momento angular, temos que: L = r x m v L = rmv t, onde v t será a velocidade perpendicular a r. Para o intervalo t, admitindo que seja bem pequeno, v t pode ser o pedaço da órbita percorrida nesse tempo, compreendida pelo arco r θ. Sendo assim: L = rmv L = mr² θ t que pode ser rearranjado para r² θ t = L m

17 DEDUÇÃO DA SEGUNDA LEI DE KEPLER Vamos comparar a última expressão obtida com a variação da área com o tempo: A = r² θ e r² θ t t 2 t = L A, podemos ver que = L m t 2m Mas nós sabemos que m e L são constantes, portanto temos que para quaisquer variações iguais na área varrida pelo planeta durante sua órbita, o tempo necessário será sempre o mesmo, provando assim a segunda lei de Kepler!! A = L 2m t

18 DEDUÇÃO DA SEGUNDA LEI DE KEPLER Algumas considerações: 1. A dedução correta da segunda Lei de Kepler é feita apenas com a aplicação do cálculo diferencial e integral, nós apenas chegamos a um valor aproximado. Nesta situação, todas as variações são infinitesimais, e o resultado final é integrado para toda a órbita 2. Para chegar na segunda lei, sabíamos que a órbita era uma elipse. Esse fato, que é dado pela 1ª Lei, pode ser deduzido a partir da prova de que a força gravitacional é central, depende do inverso do quadrado da distância e que a energia do movimento é negativa, a qual não será feita aqui pela dificuldade matemática envolvida. 3. Nem todos os corpos orbitando o Sol o fazem numa elipse. Cometas por exemplo executam um movimento na forma de hipérbole e necessitam de outra análise do seu movimento

19 DEDUÇÃO DA TERCEIRA LEI DE KEPLER A Terceira Lei de Kepler diz que o período orbital de um planeta ao quadrado é proporcional à sua distância média ao cubo. Para deduzir essa lei, consideraremos a órbita dos planetas circular. Podemos fazer isso pois, embora seja uma elipse, sua excentricidade é muito pequena. Começaremos analisando um planeta em torno do Sol como uma partícula que executa um movimento circular uniforme com raio r e velocidade angular ω. A força centrípeta que mantém o planeta na órbita é a força gravitacional entre ele e o Sol. Temos assim então:

20 DEDUÇÃO DA TERCEIRA LEI DE KEPLER F c = mω 2 r, sendo que ω = 2π, onde T é o período de revolução. T Substituindo a velocidade angular na expressão da força centrípeta: F c = mω 2 r F c = m 2π 2 4π2 r = m r T T² Essa é portanto a força centrípeta que liga o planeta ao Sol. Agora, sabemos que essa é também a força de atração gravitacional entre eles. Assim, sendo M a massa do Sol, m a massa do planeta e r a distância entre eles, a lei da gravitação universal será: F g = G M m r², onde G é a constante da gravitação universal G = 6, N m² kg²

21 DEDUÇÃO DA TERCEIRA LEI DE KEPLER Já que a força da gravidade é a força centrípeta, temos a igualdade: F c = F g m 4π 2 M m r = G T² r² Cortando as massas m que aparecem dos dois lados e explicitando o período orbital, temos que: T 2 = 4π² GM r³ Note que 4π² é uma constante, pois as variáveis G e M são a constante da GM gravitação universal e a massa do Sol, respectivamente. Portanto chamando k = 4π², temos que GM T2 = k r³, que é a terceira lei de Kepler!!

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