Exercícios Capítulo 9 Rotação de Corpos rígidos Sears e Zemansky, Young & Freedman Física I Editora Pearson, 10ª Edição Prof. Dr. Cláudio S.

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1 Exercício Capítulo 9 Rotação de Corpo rígido Sear e Zemanky, Young & Freedman Fíica I Editora Pearon, ª Edição Quetõe Q9 Quando uma fíta de vídeo ou de áudio é rebobinada, por que a velocidade com que ela e deenrola é mai rápida no final do rebobinamento? Q9 Um corpo que gira em torno de um eixo fixo deve er perfeitamente rígido para que todo o ponto do corpo girem com a mema velocidade angular e com a mema aceleração angular? Explique Q9 Qual é a diferença entre a aceleração tangencial e a aceleração ial de um ponto em um corpo que gira? Q9 Na Figura 9, todo o ponto da corrente pouem a mema velocidade ecalar linear v O módulo da aceleração linear a também é o memo para todo o ponto ao longo da corrente? Qual é a relação exitente entre a aceleração angular da dua roda dentada? Explique Q95 Na Figura 9, qual é a relação entre a aceleração ial de um ponto obre o dente de uma da roda e a aceleração ial de um ponto obre o dente da outra roda dentada? Explique o raciocínio que você uou para reponder a ea pergunta Q96 Um volante gira com velocidade angular contante Um ponto de ua periferia poui aceleração tangencial? Poui aceleração ial? Ea aceleraçõe pouem um módulo contante? Pouem direção contante? Explique o raciocínio uado em cada cao Q97 Qual é o objetivo do ciclo de rotação da máquina de lavar roupa? Explique em termo do componente da aceleração Q98 Embora a velocidade angular e a aceleração angular poam er tratada como vetore, o delocamento angular θ, apear de pouir módulo e entido, não é conideo um vetor Io porque o ângulo θ não egue a regra da lei comutativa da adição vetorial (Equação (l )) Prove ea afirmação do eguinte modo Coloque um dicionário apoiado horizontalmente obre a mea à ua frente, com a parte uperior voltada para você de modo que você poa ler o título do dicionário Gire a areta mai afatada de você a 9 em torno de um eixo horizontal Chame ee delocamento angular de p A eguir gire a areta equerda 9 e aproximando de você em torno de um eixo vertical Chame ee delocamento angular de θ A lombada do dicionário deve ficar de frente para você, c você poderá ler a palavra imprea na lombada Agora repita a dua rotaçõe de 9, porém em ordem invera Você obtém o memo reultado ou não? Ou eja, θ + θ é igual a θ + θ,? Agora repita a experiência porém com um ângulo de l cm vez de 9 Você acha que um delocamento infiniteimal dê obedece à lei comutativa da adição e, portanto, o qualifica como um vetor? Cao ua repota eja afirmativa, como você relaciona a direção e o entido de dê com a direção e o entido de tu? Q99 Você conegue imaginar um corpo que poua o memo momento de inércia para todo o eixo poívei? Em cao afirmativo, forneça um exemplo e, e ua repota for negativa explique por que io eria impoível Você pode imaginar um corpo que poua o memo momento de inércia em relação a todo o eixo paando em um ponto epecífico? Cao io eja poível, forneça um exemplo e diga onde o ponto deve etar localizado Q9 Para maximizar o momento de inércia de um volante e minimizar eu peo, qual deve er ua forma e como ua maa deve er ditribuída? Explique Q9 Como você poderia determinar experimentalmente o momento de inércia de um corpo de forma irregular em relação a um dado eixo? Q9 Um corpo cilíndrico poui maa M e raio R Pode ua maa er ditribuída ao longo do corpo de tal modo que eu momento de inércia em relação ao eu eixo de imetria eja maior do que AW? Explique Q9 Explique como a parte da Tabela 9 poderia e uada para deduzir o reultado indicado na parte (d) Q9 O momento de inércia I de um corpo rígido em relação a um eixo que paa em eu centro de maa é I cm Exite algum eixo paralelo a ee eixo para o qual I eja menor do que I cm? Explique Q95 Para que a relaçõe de / fornecida na parte e da Tabela 9 ejam válida, é neceário que a barra tenha uma eção rota circular? Exite alguma retrição obre a área da eção reta para que ea relaçõe ejam válida? Explique Q96 Na parte (d) da Tabela 9, a epeura da placa deve er menor que a para que a expreão de I poa er aplicada Porém, na parte (c), a expreão e aplica para qualquer epeura da placa Explique K Q97 Na Figura 56a ue a expreõe m v e K I para calcular a energia cinética da caixa (coniderando-a uma partícula única) Compare o doi reultado obtido Explique ee reultado Q98 A Equação (98) motra que devemo uar y cm para calcular U de um corpo com uma ditribuição de maa contínua Porém no Exemplo 99 (Seção 95) y não foi medido em relação ao centro de maa ma, im, a partir do ponto inferior da maa pendua Io etá ero? Explique Q99 Qualquer unidade de ângulo iano, grau ou revolução pode er uada em alguma equação do Capítulo 9, porém omente ângulo em iano podem er uado em outra Identifique a equaçõe para a quai o uo do ângulo em iano é obrigatório e aquela para a quai você pode uar qualquer unidade de ângulo, e diga o raciocínio que foi uado por você em cada cao

2 Exercício Capítulo 9 Rotação de Corpo rígido Sear e Zemanky, Young & Freedman Fíica I Editora Pearon, ª Edição SEÇÃO 9 VEOCIDADE ANGUAR ACEERAÇÃO ANGUAR 9 Calcule o ângulo em iano ubtendido por um arco de 5 m de comprimento ao longo de uma circunferência de raio igual a 5 m Qual é ee ângulo em grau? Um arco de comprimento igual a cm ubtende um ângulo de 8 em um círculo Qual é o raio da circunferência dee círculo? (c) E de 7 o ângulo entre doi raio de um círculo de raio igual a 5 m Qual é o comprimento do arco obre a circunferência dee círculo compreendido entre ee doi raio? 9 A hélice de um avião gira a 9 rev/min Calcule a velocidade angular da hélice em / Quanto egundo a hélice leva para girar a 5? 9 Conidere o volante do Exemplo 9 e 9 (Seção 9) Calcule a aceleração angular intantânea para t = 5 Explique porque eu reultado é igual à aceleração angular média para o intervalo entre, e 5 Calcule a velocidade angular intantânea para t = 5 Explique por que eu reultado não é igual à velocidade angular média para o intervalo entre e 5, embora 5 correponda ao valor médio dee intervalo de tempo 9 A lâmina de um ventilador giram com velocidade angular dada por t t, onde = 5 / e = 8 / Calcule a aceleração angular em função do tempo, Calcule a aceleração angular intantânea a para t = e a aceleração angular média α med para o intervalo de tempo t = até t = Como ea dua grandeza podem er compaa? Cao ela ejam diferente, por que ão diferente? 95 Uma criança etá empurrando um carroel O delocamento angular do carroel varia com o tempo de acordo com a relação t t t, onde = / e = / Calcule a velocidade angular do carroel em função do tempo, Qual é o valor da velocidade angular inicial? (c) Calcule o valor da velocidade angular intantânea para t = 5 e a velocidade angular média med para o intervalo de tempo de t = até t = 5 Motre que med não é igual a média da velocidade angulare para t = até t = 5 e explique a razão dea diferença 96 Para t = a corrente de um motor elétrico de corrente contínua (de) é invertida, produzindo um delocamento angular do eixo do motor dado por t 5 t t 5 t Em que intante a velocidade angular do eixo do motor e anula? Calcule a aceleração angular no intante em que a velocidade angular do eixo do motor é igual a zero (c) Quanta revoluçõe foram feita pelo eixo do motor dede o intante em que a corrente foi invertida até o momento em que a velocidade angular e anulou? (d) Qual era a velocidade angular do eixo do motor para t =, quando a corrente foi invertida? (e) Calcule a velocidade angular média no intervalo de tempo dede t = até o intante calculado no item 97 O ângulo decrito por uma roda de bicicleta girando é dado por t a b t c t onde a, b e c ão contante reai ão contante poitiva tai que e t for dado em egundo, θ deve er medido em iano Calcule a aceleração angular da roda em função do tempo Em que intante a velocidade angular intantânea da roda não etá variando? SEÇÃO 9 ROTAÇÃO COM ACEERAÇÃO ANGUAR CONSTANTE 98 A roda de uma bicicleta poui uma velocidade angular de 5 / Se ua aceleração angular é contante e igual a /², qual é ua velocidade angular para t = 5? Qual foi o delocamento angular da roda entre t = t = 5? 99 Um ventilador elétrico é deligado, e ua velocidade angular diminui uniformemente de 5 rev/min até rev/min em Ache a aceleração angular em rev/²e o número de revoluçõe feita no intervalo de Supondo que a aceleração angular calculada no item permaneça contante durante quanto egundo a mai a roda continuará a girar até parar? 9 Deduza a Equação (9) combinando a Equação (97) com a Equação (9) para eliminar t A velocidade angular da hélice de um avião crece de / até 6 / quando ela ofre um delocamento angular de 7 Qual é a aceleração angularem /²? 9 A lâmina rotatória de um mituor gira com aceleração angular contante igual a 5 /² Partindo do repouo, quanto tempo ela leva para atingir uma velocidade angular de 6 /? Qual o número de revoluçõe decrita pela rotação da lâmina nee intervalo de tempo? 9 Um volante leva para girar atravé de um ângulo de 6 Sua velocidade angular nee intante Final é igual a 8 / Calcule a velocidade angular no início dee intervalo de ; a aceleração angular contante 9 A roda de uma olaria gira com aceleração angular contante igual a 5 /² Depoi de, o ângulo decrito pela roda era de 6 Qual era a velocidade angular da roda no início do intervalo de? 9 A lâmina de uma erra circular de diâmetro igual a m começa a girar a partir do repouo Em 6 ela e acelera com velocidade angular contante ate uma velocidade angular igual a / Calcule a aceleração angular e o delocamento angular total da lâmina

3 Exercício Capítulo 9 Rotação de Corpo rígido Sear e Zemanky, Young & Freedman Fíica I Editora Pearon, ª Edição 95 Um dipoitivo de egurança faz a lâmina de uma erra mecânica reduzir ua velocidade angular de um valor ao repouo, completando revolução Com ea mema aceleração contante, quanta revoluçõe eriam neceária para fazer a lâmina parar a partir de uma velocidade angular endo =? 96 Uma fita refletora etreita e etende do centro à periferia de uma roda Você ecurece a ala e ua uma câmara e uma unidade etrobocópica que emite um flah a cada 5 para fotografar a roda enquanto ela gira em um entido contrário ao do ponteiro do relógio Você dipara o etrobocópio de tal modo que o primeiro flah (t = ) ocorre quando a fita etá na horizontal voltada para a direita com delocamento angular igual a zero Para a ituaçõe decrita a eguir, faça um deenho da foto que você obterá para a expoição no intervalo de tempo para cinco flahe (para t = : 5 ; : 5 : e ): faça um gráfico de θ contra t e de a contra t dede t = até t = A velocidade angular é contante e igual a rev/ A roda parte do repouo com uma aceleração angular de 5 rev/² (c) A roda etá girando a rev/ para t = e varia ua velocidade angular com uma taxa contante de -5 rev/² 97 Para t =, a roda de um emeril poui velocidade angular igual a, / Ela poui uma aceleração angular contante igual a /' quando um freio é acionado em t = A partir dee intante ela gira à medida que pára com uma aceleração angular contante, Qual foi o delocamento angular total da roda dede t = até o intante em que ela parou? Em que intante ela parou? (c) Qual foi o módulo da ua aceleração quando ela diminuía de velocidade? 98 Deduza uma expreão para um movimento com aceleração angular contante que forneça θ θ em função de de α e de t (não ue na equação), Para t = 8, uma engrenagem gira em tomo de um eixo fixo a 5 / Durante o intervalo precedente de 8 ela girou atravé de um ângulo de Ue o reultado da parte para calcular a aceleração angular contante da engrenagem, (c) Qual era a velocidade angular da engrenagem para t =? SEÇÃO 9 REAÇÕES ENTRE A CINEMÁTICA ANGUAR INEAR E A CINEMÁTICA 99 O rotor principal de um helicóptero gira em um plano horizontal a 9 rev/min A ditância entre o eixo do rotor e a extremidade da lâmina é igual a 5 m Calcule a velocidade ecalar da extremidade da lâmina atravé do ar e o helicóptero etá em repouo no olo: o helicóptero etá ubindo verticalmente a m/ 9 Um CD armazena múica em uma configuração codificada contituída por pequena reentrância com profundidade de m Ea reentrância ão agrupada ao longo de uma trilha em forma de epiral orientada de dentro para fora até a periferia do dico; o raio interno da epiral é igual a 5 mm e o raio externo é igual a 58 mm À medida que o dico gira em um CD player, a trilha é percorrida com uma velocidade linear contante de 5 m/ Qual é a velocidade angular do CD quando a parte mai interna da trilha eta endo percorrida? E quando a pane mai externa etá endo percorrida? O tempo máximo para a reprodução do om de um CD é igual a 7, min Qual eria o comprimento total da trilha dee CD cao a epiral toe eticada para formar uma trilha reta? (c) Qual é a aceleração angular máxima para ee CD de máxima duração durante o tempo de 7 min? Conidere como poitivo o entido da rotação do dico 9 Uma roda gira com velocidade angular contante de 6 / Calcule a aceleração ial de um ponto a 5 m do eixo, uando a relação a = r Ache a velocidade tangencial do ponto e calcule ua aceleração ial pela fórmula a = v /r 9 Calcule a velocidade angular neceária (em rev/min) de uma ultracentrífuga para que a aceleração ial de um ponto a 5 cm do eixo eja igual a g (ito é, veze maior do que a aceleração da gravidade) 9 Um volante de raio igual a m parte do repouo e e acelera com aceleração angular contante de 6 / Calcule o módulo da aceleração tangencial, da aceleração ial e da aceleração reultante de um ponto da periferia do volante no início: depoi de ele ter gio um ângulo de 6 ; (c) depoi de ele ter gio um ângulo de 9 Um ventilador de teto cuja lâmina pouem diâmetro de 75 m etá girando em torno de um eixo fixo com uma velocidade angular inicial igual a 5 rev/ A aceleração angular é igual a 9 rev/ Calcule a velocidade angular depoi de Quanta revoluçõe foram feita pela lâmina durante ee intervalo de tempo? (c) Qual é a velocidade tangencial de um ponto na extremidade da lâmina para t =? (d) Qual é o módulo da aceleração reultante de um ponto na extremidade da lâmina para t =? 95 Uma propaganda afirma que uma centrífuga

4 Exercício Capítulo 9 Rotação de Corpo rígido Sear e Zemanky, Young & Freedman Fíica I Editora Pearon, ª Edição precia omente de 7 m para produzir uma aceleração ial de para 5 rev/min Calcule o raio neceário dea centrífuga A afirmação da propaganda é viável? 96 Deduza uma equação para a aceleração ial que inclua v e ma não inclua r Você etá projetando um carroel para o qual um ponto da periferia poui uma aceleração ial igual a 5 m/ quando a velocidade tangencial dee ponto poui módulo igual a m/ Qual é a velocidade angular neceária para e atingir ee valore? 9 Calcule o momento de inércia em relação a cada um do eguinte eixo para um eixo de cm de diâmetro, 5 m de comprimento e maa igual a kg Ue a fórmula da Tabela 9 Em relação a um eixo perpendicular à barra e paando pelo eu centro, Em relação a um eixo perpendicular à barra e paando em uma de ua extremidade, (c) Em relação a um eixo longitudinal paando pelo centro da barra 97 Um problema de fueira Ao furar um buraco com diâmetro igual a 7 mm na madeira, no plático ou no alumínio, o manual do fabricante recomenda uma velocidade de operação igual a 5 rev/min Para uma broca com um diâmetro de 7 mm girando com uma velocidade contante igual a 5 rev/min, calcule a velocidade linear máxima de qualquer ponto da broca; a aceleração ial máxima de qualquer ponto da broca 98 Para t =, um ponto na periferia de uma roda com raio de m poui uma velocidade tangencial igual a 5 m/ quando a roda etá freando com uma aceleração tangencial contante com módulo igual a m/ Calcule a aceleração angular contante da roda Calcule a velocidade angulare para t = e t = (c) Qual foi o delocamento angular do giro da roda entre t = e t =? (d) Em qual intante a aceleração ial toma-e igual a g? 9 Quatro pequena efera, toda conidea maa puntiforme com maa de kg, etão dipota no vértice de um quado de lado igual a m e conectada por hate leve (Figura 9) Calcule o momento de inércia do itema em relação a um eixo perpendicular ao quado e paando pelo eu centro (um eixo paando pelo ponto O na figura); cortando ao meio doi lado opoto do quado (um eixo ao longo da linha AB indicada na figura); (c) paando pelo centro da efera uperior da equerda e pelo centro da efera inferior da direita e atravé do ponto O A m kg O B 99 O ciclo de rotação de uma máquina de lavar pouem dua velocidade angulare, rev/min e 6 Figura 9 Exercício 9 rev/min O diâmetro interno do tambor é igual a 7 m Qual é a razão entre a força ial máxima obre a roupa, quando a velocidade angular é máxima, e a força ial, 9 Fator de Ecala de / Quando multiplicamo quando a velocidade angular é mínima? toda a dimenõe de um objeto por um fator de ecala/, ua Qual é a razão da velocidade tangencial máxima maa e eu volume ficam multiplicado por / a) O momento da roupa quando a velocidade angular é máxima e quando a de inércia ficará multiplicado por qual fator? b) Sabendo que velocidade angular é mínima? um modelo feito com uma ecala de -w poui uma energia (c) Calcule, em função de g a velocidade tangencial cinética relacional de,5 J, qual erá a energia cinética do máxima da roupa e a aceleração ial máxima objeto em nenhuma redução de ecala feito com o memo material e girando com a mema velocidade angular? SEÇÃO 95 ENERGIA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO 9 Pequeno bloco, todo com a mema maa m, etão preo à extremidade e ao centro de uma barra leve de comprimento igual a Calcule o momento de inércia do itema em relação a um eixo perpendicular à barra paando em um ponto ituado a ¼ do comprimento a partir de uma da extremidade da barra Depreze o momento de inércia da barra leve 9 Uma batuta conite em um fino cilindro metálico de maa M e comprimento Cada extremidade poui uma tampa de borracha de maa m e cada tampa pode er tratada com precião como uma partícula nete problema Calcule o momento de inércia da batuta em relação ao eixo uual de rotação (perpendicular à batuta e paando pelo eu centro) 95 Uma roda de carroça é feita como indicado na Figura 9 O raio da roda é igual a, m e o aro poui maa igual a kg Cada um do eu oito raio, ditribuído ao longo de diâmetro, pouem comprimento de m e maa igual a 8 kg Qual é o momento de inércia da roda em relação a um eixo perpendicular ao plano da roda e paando pelo eu centro? (Ue a fórmula indicada na Tabela 9)

5 Exercício Capítulo 9 Rotação de Corpo rígido Sear e Zemanky, Young & Freedman Fíica I Editora Pearon, ª Edição Calcule a velocidade da maa m upena no intante em que ela atinge o olo A repota enconta no item é igual, maior ou menor do que a repota do Exemplo 99? Explique ua repota uando conceito de energia FIGURA 9 Exercício Uma hélice de avião poui maa de 7 kg e comprimento igual a 8 m (de uma extremidade a outra) A hélice etá girando a rev/min em relação a um eixo que paa pelo eu centro, Qual é ua energia cinética rotacional? Conidere a hélice como uma barra delgada, Supondo que ela não gire, de que altura ela deveria er largada em queda livre para que adquirie a mema energia cinética? 97 Motre que a unidade de I ão equivalente à unidade de joule Explique por que a unidade "" não precia er incluída nea unidade, Geralmente w é expreo em rev/min em vez de / Ecreva uma expreão para a energia cinética rotacional de forma que e / for expreo em kg m e for expreo em rev/min, a energia cinética erá exprea em joule 98 O prato de dico de um fonógrafo antigo poui energia cinética igual a 5 J quando gira com 5, rev/min Qual é o momento de inércia do prato do fonógrafo em relação ao eixo de rotação? 99 Um volante de motor a gaolina deve fornecer uma energia cinética igual a 5 J quando ua velocidade angular diminui de 65 rev/min para 5 rev/min Qual é o momento de inércia neceário'? 9 Uma corda leve e flexível é enrolada divera veze em tomo da periferia de uma caca cilíndrica com raio de 5 m e maa igual a N, que gira em atrito em tomo de um eixo horizontal fixo O cilindro é ligado ao eixo por meio de raio com momento de inércia deprezívei O cilindro etá inicialmente em repouo A extremidade livre da corda é puxada com uma força contante P até uma ditância de 5 m, e nee ponto a extremidade da corda e move a 6 m/ Sabendo que a corda não deliza obre o cilindro, qual é o valor de P? 9 Deejamo armazenar energia em um volante de 7 kg que poui forma de um dico maciço uniforme com raio R = m Para impedir dano etruturai, a aceleração ial máxima de um ponto na ua periferia é igual a 5 m/² Qual é a energia cinética máxima que pode er armazenada no volante? 9 Suponha que o cilindro maciço do dipoitivo decrito no Exemplo 99 (Seção 95) eja ubtituído por uma caca cilíndrica com o memo raio R e com a mema maa M O cilindro é ligado ao eixo por meio de raio com momento de inércia deprezívei 9 Taxa de perda da energia cinética Um corpo rígido com momento de inércia I gira uma vez a cada T egundo A velocidade de rotação etá diminuindo, de modo que dt/dt > Expree a energia cinética da rotação do corpo em termo de I e de T Expree a taxa de variação da energia cinética da rotação do corpo em termo de I, de T e de dt/dt (c) Um volante grande poui I = 8, kgm² Qual é a energia cinética do volante quando o período de rotação é igual a 5? (d) Qual é a taxa de variação da energia cinética do volante na parte (c) quando o período de rotação é igual a 5 e quando ele varia com uma taxa dt/dt = 6? 9 Uma corda uniforme de m de comprimento e maa igual a kg etá prea ao teto de um gináio e a outra extremidade etá quae tocando o olo Qual é a variação da energia potencial gravitacional e a corda terminar eticada obre o olo (em epira)? 95 Centro de maa de um objeto com maa ditribuída Qual é o trabalho realizado por um lutador para elevar o centro de maa de eu oponente de kg até uma ditância vertical igual a 7 m? SEÇÃO 96 TEOREMA DOS EIXOS PARAEOS 96 Calcule o momento de inércia de um aro (um anel fino) de raio R e maa M em relação a um eixo perpendicular ao plano do aro paando pela ua periferia 97 Em relação à qual eixo uma efera uniforme de madeira leve poui o memo momento de inércia de uma caca cilíndrica de chumbo de mema maa e raio em relação a um diâmetro? 98 Ue o teorema do eixo paralelo para motrar que o momento de inércia da parte e da Tabela 9 ão coerente 99 Uma placa metálica fina de maa M tem forma retangular com lado a e b Ue o teorema do eixo paralelo para determinar eu momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano da placa paando por um do eu vértice 95 Para a placa retangular fina indicada na pane (d) da Tabela 9, ache o momento de inércia em relação a um eixo ituado obre o plano da placa paando pelo eu centro e paralelo ao eixo indicado na figura, Ache o momento de inércia da placa em relação a um eixo ituado obre o plano da placa paando pelo eu centro e perpendicular ao eixo mencionado no item 5

6 Exercício Capítulo 9 Rotação de Corpo rígido Sear e Zemanky, Young & Freedman Fíica I Editora Pearon, ª Edição *SEÇÁO 97 CÁCUOS DE MOMENTO DE INÉRCIA *95 Uando o teorema do eixo paralelo e informaçõe da Tabela 9, ache o momento de inércia da barra delgada de maa M e comprimento indicado na Figura 98 em relação a um eixo paando pelo ponto O ituado a uma ditância arbitrária h de uma de ua extremidade Compare eu reultado com o enconto no Exemplo 9 (Seção 97) *95 Ue a Equação (9) para calcular o momento de inércia de um dico maciço, uniforme, de raio R e maa M em relação a um eixo perpendicular ao plano do dico paando pelo eu centro 6 *95 Ue a Equação (9) para calcular o momento de inércia de uma barra delgada de maa M e comprimento em relação a um eixo perpendicular à barra e paando pela ua extremidade *95 Uma barra delgada de comprimento poui maa por unidade de comprimento variando a partir da extremidade equerda, onde x = O, de acordo com dm/dx = x, onde é contante com unidade de kg/m², Calcule a maa total da barra em termo de e de Ue a Equação (9) para calcular o momento de inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à barra e paando pela ua extremidade equerda Ue a relação enconta na parte para obter a expreão de / em termo de M e de Como eu reultado e compara com o obtido para uma barra delgada uniforme? Explique ea comparação, (c) Repita o procedimento da parte para um eixo paando pela extremidade direita da barra Como eu reultado e compara com o obtido na parte e (c)? Explique ee reultado

7 Exercício Capítulo 9 Rotação de Corpo rígido Sear e Zemanky, Young & Freedman Fíica I Editora Pearon, ª Edição PROBEMAS 955 Faça um deenho de uma roda ituada no plano do papel e girando no entido anti-horário Ecolha um ponto obre a circunferência e deenhe um vetor r ligando o centro com ee ponto, Qual é a direção e o entido do vetor? Motre que a velocidade dee ponto é dada por v r (c) Motre que a aceleração ial dee ponto é dada por a v a r (Veja o Exercício 96) 956 Prove que, quando um objeto parte do repouo e gira em torno de um eixo fixo com aceleração angular contante, a aceleração ial de um ponto do objeto é diretamente proporcional ao eu delocamento angular, Qual foi o delocamento angular total do objeto quando a aceleração reultante fez um ângulo de 69 com a direção ial inicial? 957 O rolo de uma impreora gira um ângulo: t t t = / e =,5 / Calcule a velocidade angular do rolo em função do tempo, Calcule a aceleração angular do rolo em função do tempo, (c) Qual é a velocidade angular poitiva máxima, e para qual valor de t io ocorre? *958 Uma roda de bicicleta com raio igual a m gira com aceleração angular t t, onde = 8 / e = 5 /³ Ela etá em repouo para t = Calcule a velocidade angular e o delocamento angular em função do tempo Calcule a velocidade angular poitiva máxima e o delocamento angular poitivo máximo da roda {Sugetão: Veja a Seção 7} 959 Quando um carrinho de brinquedo é atritado contra o pio, ele acumula energia em um volante O carrinho poui maa igual a 8 kg e eu volante poui momento de inércia igual a kgm O carrinho poui comprimento igual a 5 cm Uma propaganda alega que a velocidade de ecala do carrinho pode atingir 7 km/h A velocidade de ecala é a velocidade do carrinho multiplicada pelo fator de ecala dado pela razão entre o comprimento de um carro real e o comprimento do carrinho de brinquedo Conidere um carro real de comprimento igual a m Para uma velocidade de ecala de 7 km/h, qual deve er a velocidade de tranlação efetiva do carrinho? Supondo que toda a energia cinética inicialmente acumulada no volante poa er convertida em energia cinética de tranlação do carrinho, qual foi a energia cinética inicialmente acumulada no volante? (c) Qual erá a velocidade angular inicial neceária para que o volante tenha a quantidade de energia cinética acumulada no item? 96 Um automóvel cláico Chevrolet Corvette 957 com kg parte do repouo e acelera com aceleração tangencial contante igual a m/ em uma pita de tete circular com raio de 6 m Conidere o carro como uma partícula, Qual é ua aceleração angular? Qual é ua velocidade angular 6 depoi do início? (c) Qual é ua aceleração ial nee intante? (d) Faça um eboço de uma vita de topo motrando a pita circular, o carro, o vetor velocidade e o componente do vetor aceleração 6 depoi de o carro iniciar o movimento, (e) Qual é o módulo da aceleração reultante e da força reultante obre o carro nee intante? (f) Qual é o ângulo formado entre a velocidade do carro nee intante e a aceleração reultante e entre a velocidade e a força reultante? 96 O volante de uma prena de perfuração poui momento de inércia igual a 6, kg M e gira a rev/min O volante fornece toda a energia neceária para a rápida operação de perfuração Calcule a velocidade em rev/min para a qual a velocidade do volante e reduz devido a uma repentina operação de perfuração que neceita de J de trabalho, Qual deve er a potência (em watt) fornecida ao volante para que ele retorne para ua velocidade inicial em 5? 96 Um bolinho de carne deterioa de um bar, com maa igual a g, etá preo à extremidade livre de um fio de 5 m preo ao teto O bolinho é puxado horizontalmente até formar um ângulo de 69 com a vertical e a eguir é libertado, Qual deve er o módulo, a direção e o entido da velocidade angular do bolinho na primeira vez que a aceleração angular e anula? Qual é o egundo intante em que t =? (c) No intante decrito na parte e, qual é o módulo, a direção e o entido da aceleração ial do bolinho? (d) Motre que a repota da parte (c) não depende do comprimento do fio 96 A correia de uma máquina de lavar a vácuo é enrolada ligando um eixo de raio igual a 5 cm com uma roda de raio igual a cm O arranjo envolvendo a correia, o eixo e a roda é emelhante ao decrito na Figura 9 envolvendo a corrente e a roda dentada de uma bicicleta O motor faz o eixo girar com 6 rev/ e a correia faz a roda girar, que por ua vez etá ligada a um outro eixo que empurra a ujeira para fora do tapete que etá endo lavado a vácuo Suponha que a correia não delize nem obre o eixo nem obre a roda Qual é a velocidade de um ponto obre a correia? Qual é a velocidade angular da roda em /? 96 O motor de uma erra de mea gira com 5 rev/min Uma polia ligada ao eixo do motor movimenta uma egunda polia com metade do diâmetro atravé de uma correia V Uma erra circular de diâmetro igual a 8 m etá montada obre o memo eixo da egunda polia, O opeor não é cuidadoo, e a lâmina lança para trá um pequeno pedaço de madeira A velocidade do pedaço de madeira é igual à velocidade tangencial na periferia da lâmina Qual é ea velocidade? Calcule a aceleração ial no ponto obre a periferia da lâmina para entender por que o pó da madeira era não fica grudado em eu dente 7

8 Exercício Capítulo 9 Rotação de Corpo rígido Sear e Zemanky, Young & Freedman Fíica I Editora Pearon, ª Edição 965 Uma roda varia ua velocidade angular com uma aceleração angular contante enquanto gira em tomo de um eixo fixo paando em eu centro, Motre que a variação do módulo da aceleração ial de um ponto obre a roda durante qualquer intervalo de tempo é igual ao dobro do produto da aceleração angular veze o delocamento angular e veze a ditância perpendicular do ponto ao eixo A aceleração ial de um ponto obre a roda ituado a uma ditância de 5 m do eixo varia de 5 m/ a 85 m/ para um delocamento angular da roda igual a 5 Calcule a aceleração tangencial dee ponto, (c) Motre que a variação da energia cinética da roda durante qualquer intervalo de tempo é igual ao produto do momento de inércia da roda em relação ao eixo veze a aceleração angular e veze o delocamento angular, (d) Durante o delocamento angular de 5 mencionado na parte, a energia cinética da roda crece de J para 5 J Qual é o momento de inércia da roda em relação ao eixo de rotação? 966 O trê objeto uniforme indicado na Figura 9 pouem a mema maa m O objeto A é um cilindro maciço de raio R O objeto B é uma caca cilíndrica de raio R objeto C é um cubo maciço cuja areta é igual a R O eixo de rotação de cada objeto é perpendicular à repectiva bae e paa pelo centro de maa do objeto Qual do objeto poui o menor momento de inércia? Explique, Qual do objeto poui o maior momento de inércia? Explique, (c) Como você compara ee reultado com o momento de inércia de uma efera maciça uniforme de maa m e raio R em relação a um eixo de rotação ao longo de um diâmetro da efera? Explique R R ligando o pólo norte ao pólo ul O tempo para a Terra completar um giro é igual a 866 Ue o Apêndice F para calcular a energia cinética da Terra oriunda do movimento de rotação em tomo dee eixo e a energia cinética da Terra oriunda do movimento orbital da Terra em tomo do Sol (c) Explique como o valor do momento de inércia da Terra no informa que a maa da Terra etá mai concenta perto do eu centro 968 Um dico maciço uniforme de maa m e raio R etá apoiado obre um eixo horizontal paando em eu centro Um pequeno objeto de maa w etá colado na periferia do dico Se o dico for libertado do repouo com o pequeno objeto ituado na extremidade de um raio horizontal, ache a velocidade angular quando o pequeno objeto etiver verticalmente embaixo do eixo 969 Uma régua de um metro e maa igual a 6 kg poui um pivô em uma de ua extremidade de modo que ela pode girar em atrito em tomo de um eixo horizontal A régua é mantida em uma poição horizontal e a eguir é libertada Enquanto ela ocila paando pela vertical, calcule a variação da energia potencial gravitacional ocorrida; a velocidade angular da régua; (c) a velocidade linear na extremidade da régua opota ao eixo (d) Compare a repota da parte (c) com a velocidade de um objeto caindo de uma altura de m a partir do repouo 97 Exatamente uma volta de uma corda flexível de maa m é enrolada na periferia de um cilindro uniforme maciço de maa M e raio R O cilindro gira em atrito em tomo de um eixo horizontal ao longo do eu eixo Uma da extremidade da corda etá prea ao cilindro O cilindro começa a girar com velocidade angular Depoi de uma revolução, a corda e deenrolou e nee intante ela etá pendua verticalmente tangente ao cilindro Calcule a velocidade angular do cilindro e a velocidade linear da extremidade inferior da corda nee intante Depreze a epeura da corda {Sugetão: Ue a Equação (98)} 8 A R B 97 A polia indicada na Figura 9 poui raio R e momento de inércia I A corda não deliza obre a polia e eta gira em um eixo em atrito O coeficiente de atrito cinético entre o bloco A e o topo da mea é C O itema é libertado a partir do repouo, e o bloco B começa a decer O bloco A poui maa m A e o bloco B poui maa m B Ue método de conervação da energia para calcular a velocidade do bloco B em função da ditância d que ele deceu C Figura 9 Problema 966 FIGURA 9 - Problema A Terra, que não é uma efera uniforme, poui 97 A polia indicada na Figura 95 poui raio 6 momento de inércia igual a 8MR em relação a um eixo m e momento de inércia 8 kgm A corda não deliza obre

9 Exercício Capítulo 9 Rotação de Corpo rígido Sear e Zemanky, Young & Freedman Fíica I Editora Pearon, ª Edição a periferia da polia Ue método de conervação da energia para da parte é menor do que h calcular a velocidade do bloco de kg no momento em que ele atinge o olo 977 Um dico uniforme fino poui maa M e raio R Fazemo um buraco circular de raio R/ centralizado em um ponto ituado a uma ditância RH do centro do dico, Calcule o momento de inércia do dico com o buraco em de inércia do dico que foi retio do dico maciço) Calcule o momento de inércia do dico com o buraco em relação a um eixo perpendicular ao plano do dico paando pelo centro do buraco, kg 5, m FIGURA 95 - Problema 97 kg 97 Você pendura um aro fino de raio R em um prego na periferia do aro Você o deloca lateralmente até um ângulo a partir de ua poição de equilíbrio e a eguir o liberta Qual é ua velocidade angular quando ele retoma para ua poição de equilíbrio? (Sugetão: Ue a Equação (98)) 97 Um ônibu de paageiro em Zurique, na Suíça, ua ua potência motora oriunda da energia acumulada em um volante grande Utilizando-e de energia da rede elétrica, a roda é colocada em movimento periodicamente quando o ônibu para em uma etação O volante é um cilindro maciço de maa igual a kg e raio igual a 8 m; ua velocidade angular máxima é igual a rev/min Para ea velocidade angular, qual é a energia cinética do volante? Se a potência média neceária para operar o ônibu for igual a 86 W, qual é a ditância máxima que ele pode e mover entre dua paa? 975 Doi dico metálico, um com raio R = 5 cm e maa M = 8 kg e o outro com raio R = 5 cm e maa M = 6 kg, ão oldado junto e montado em um eixo em atrito paando pelo centro comum (Figura 96) Qual é o momento de inércia do doi dico? Um fio fino é enrolado na periferia do dico menor, e um bloco de l,5 kg é upeno pela extremidade livre do fio Se o bloco é libertado do repouo a uma ditância de m acima do olo, qual é ua velocidade quando ele atinge o olo? (c) Repita o cálculo da parte, agora upondo que o fio eja enrolado na periferia do dico maior Em qual do doi cao a velocidade do bloco é maior? Explique por que io deve er aim 978 Um pêndulo é contituído por uma efera uniforme maciça com maa M e raio R upena pela extremidade de uma hate leve A ditância entre o ponto de upenão na extremidade uperior da hate e o centro da efera é igual a O momento de inércia do pêndulo ^ para uma rotação em torno do ponto de upenão é geralmente aproximado como M, Ue o teorema do eixo paralelo para motrar que e R for 5% de e e a maa da hate for deprezível, I p erá omente % maior do que M Se a maa da hate for l % de M e e R for 5% de, qual erá a razão entre I hate em relação a um eixo paando pelo pivô e M? 979 Teorema do eixo perpendiculare Conidere um corpo rígido contituído por uma placa plana fina de forma arbitrária Suponha que o corpo eteja obre o plano xy e imagine que a origem eja um ponto O no interior ou no exterior do corpo Seja I x, o momento de inércia em relação ao eixo Ox, I y o momento de inércia em relação ao eixo Oy e I o momento de inércia do corpo em relação a um eixo perpendicular ao plano e paando pelo ponto Coniderando elemento de maa m i, com coordenada (x i, y i ), motre que I = I x + I y Ea relação é o teorema do eixo perpendiculare Note que o ponto O não precia er o centro de maa, Para uma arruela fina de maa M, raio interno R, e raio externo R ue o teorema do eixo perpendiculare para achar o momento de inércia em relação a um eixo ituado no plano da arruela e que paa atravé de eu centro Você pode uar a informaçõe da Tabela 9 (c) Ue o teorema do eixo perpendiculare para motrar que o momento de inércia de uma placa fina quada de maa M e lado em relação a qualquer eixo ituado no plano da placa e que paa atravé de eu centro é igual a M / Você pode uar a informaçõe da Tabela 9 98 Uma hate uniforme fina é doba em forma de um quado de lado a Sendo M a maa total, ache o momento de inércia em relação a um eixo ituado no plano do quado e que paa atravé de eu centro (Sugetão: Ue o teorema do eixo paralelo) No cilindro junto com a maa do Exemplo 99 *98 Um cilindro de maa M e raio R poui uma (Seção 95) uponha que a maa m que cai eja feita de denidade que crece linearmente a partir do eu eixo, = r, borracha, de modo que nenhuma energia mecânica é perdida onde uma contante poitiva, a) Calcule o momento de inércia quando a maa atinge o olo a) Supondo que o cilindro não do cilindro em relação a um eixo longitudinal que paa atravé etivee girando inicialmente e a maa m foe libertada do de eu centro em termo de M e de R b) Sua repota é maior ou repouo a uma altura h acima do olo, até que altura ea maa menor do que o momento de inércia de um cilindro com mema atingiria quando ela retomae verticalmente para cima depoi maa e memo raio porém com denidade contante? Explique de colidir com o olo? qualitativamente por que ee reultado faz entido Explique, em termo de energia, por que a repota

10 Exercício Capítulo 9 Rotação de Corpo rígido Sear e Zemanky, Young & Freedman Fíica I Editora Pearon, ª Edição 98 Etrela de nêutron e reto de upemova A nebuloa do Caranguejo é uma nuvem de gá luminoo que poui uma extenão de ano-luz, localizada a uma ditância aproximadamente igual a 65 ano-luz da Terra (Figura 97) São o reto de uma exploão de uma upernova, obervada da Terra no ano de 5 A nebuloa do Caranguejo liberta energia com uma taxa aproximada de R R m = 5 kg FIGURA 96 - Problema 975 Figura 97 Problema 98 PROBEMAS DESAFIADORES R 98 O momento de inércia de uma efera com denidade contante em relação a um eixo que paa atravé de eu centro é dado por MR /5 = MR Obervaçõe feita por atélite motram que o momento de inércia da Terra é dado por 8MR O dado geofíico ugerem que a Terra é contituída baicamente de cinco regiõe: o núcleo central (de r = a r= km) com denidade média igual a 9 kg/m³ o núcleo externo (de r = km a r = 8 km) com denidade média igual a 9 kg/m³, o manto inferior (de r = 8 km a r = 57 km) com denidade média igual a 9 kg/m³ o manto uperior (de r = 57 km a r = 65 km) com denidade média igual a 6 kg/m e a crota e o oceano (de r = 65 km a r = 67 km) com denidade média igual a kg/m³ Motre que o momento de inércia de uma efera oca com raio interno R e raio externo R e denidade contante é dado por: 8 I R R (Sugetão: Forme a efera oca pela uperpoição de uma efera grande com denidade e uma efera pequena com denidade - ) Confira o dado uando-o para calcular a maa da Terra, (c) Ue o dado fornecido para calcular o momento de inércia da Terra em termo de MR *98 Determine o momento de inércia de um cone, onde r é o raio da epiral para = e uma contante Em maciço uniforme em relação a um eixo que paa atravé de eu um CD, r é o raio interno da trilha epiral Coniderando como centro (Figura 98) O cone poui maa M e altura h O raio poitivo o entido da rotação do CD, deve er poitivo, de do círculo da ua bae é igual a R modo que r e acrecem à medida que o dico gira Quando o dico gira atravé de um pequeno ângulo d, a ditância varrida ao longo da trilha é d = r d Uando a expreão anterior para r( ), integre d para calcular a ditância total varrida ao longo da trilha em função do ângulo total decrito pela rotação do dico Eixo Figura 98 Problema Em um CD, a múica é codificada em uma configuração de minúcula reentrância dipota ao longo de uma trilha que avança formando uma epiral do interior à periferia do dico À medida que o dico gira no interior de um CD player, a trilha é varrida com velocidade linear contante = 5 m/ Como o raio da trilha epiral aumenta à medida que o dico gira, a velocidade angular do dico deve variar quando o CD etá girando (Veja o Exercício 9) Vamo ver qual é a aceleração angular neceária para manter v contante A equação de uma epiral é dada por: r r h

11 Exercício Capítulo 9 Rotação de Corpo rígido Sear e Zemanky, Young & Freedman Fíica I Editora Pearon, ª Edição Como a trilha é varrida com velocidade linear contante v, a ditância total enconta na parte é igual a vt Ue ee reultado para achar em função do tempo Exitem dua oluçõe para ; ecolha a poitiva e explique por que devemo ecolher ea olução c) Ue ea expreão de (t) para determinar a velocidade angular e a aceleração angular em função do tempo O valor de é contante? (d) Em um CD, o raio interno da trilha é igual a 5 mm, o raio da trilha crece 55 m em cada volta e o tempo de duração é igual a 7 min Calcule o valore de r e de ache o número total de volta feita durante o tempo total da reprodução do om (e) Uando o reultado obtido na parte (c) e (d), faça um gráfico de (em /) contra t e um gráfico de (em / ) contra t dede t = até t = 7 min

12 Exercício Capítulo 9 Rotação de Corpo rígido Sear e Zemanky, Young & Freedman Fíica I Editora Pearon, ª Edição Gabarito Exercício Ímpare Exercício Gabarito cm (c) 5 m 9 /² 7 / 95 / (c) ( ) 6 t t = /, = 7 / 97 α(t) = b-6ct b/c 99-5 rev/, rev rev 9 5/ 95 9 rev 97 5 (c) -87 /² 99 6m 7m 9 9 (c) a 8 m v m, a 8 m 8 m,,8 m 8 m,77 m,8 m 8 m,75 m,775 m 95 7 cm; não (c) 8m 9 m/² m,6 m 8 g 9 (M/+m/) 9 (c) 6kg m kg m kg m 95 9kg m 97 K = π²i ²/8 99 6kg m J K I T dk dt I T dt dt (d) (c) 7J 56 J kg 97 Um eixo paralelo e a uma ditância 5 Rdo centro da efera Exercício 99 Gabarito M a b 95 M h h 95 M t 5 t 6 t (c) máx 68 para t 959 5km/h = 97 m/ 85J (c) 65 / 96 rev/ 8 W 96 7 m/ 88 / 965 m/² (d) 8 kgm² J 66 J 78J 5 (c) 5m (d) velocidade da partícula: m 97 gd mb CmA ma mb I R 97 g R co kg m m (c) 95m MR 8 5 MR M R R kg MR maior r MR r v t r (c) v v r v t v t (d) r 5 cm, 7 m, rev r

13 Exercício Capítulo 9 Rotação de Corpo rígido Sear e Zemanky, Young & Freedman Fíica I Editora Pearon, ª Edição 9-: Gabarito Exercício Pare reolvido Corteia: Editora Pearon 9 rev min x 99 / min rev 6 (5º x /8º)/(99 /) = 7 x - 9-: dw ( t ) t ( 6 / ) t dt ( ) = (-6 / )( ) = -8 / ( ) () / 5 / /, ave o qual é tão grande (em, módulo) quanto a aceleração para t = 9-6: =(5 /) ( / )t (5 / )t, = -( / ) (9 / )t Fazendo-e = reulta em uma equação quadrática em t; o único valor de tempo poitivo para o qual = é t = At t =, = -78 / (c) At t =, = 586 = 9 rev (d) At t =, = 5 / 586 (e) ave = 8 / 9-8: t 5 / ( / )(5 ) 5 / t / t (5 / )(5 ) ( / )(5 ) 69 9-: Reolvendo a Eq (9-7) para t reulta em: t ave, 7 / 8 / ( 7 / ) 8 / t 9-: Da Eq (9-7), com /, / t 6 O ângulo é mai facilmente enconto de : ave t ( 7 / )(6) 9-6: A eguinte tabela dá a revoluçõe e o ângulo atravé do quai uma roda gira em cada intante de tempo e em trê ituaçõe ditinta: O gráfico de e ão o eguinte: Reecrevendo a Eq (9-) como: t( t) encontramo: ( ) e ubtituindo t ( ) (c), a qual quando re-agrupada reulta na Eq (9-) = (/)(/ )( - ) = (/)(/(7 ))((6 /) ( /) ) = 8 / 9-8: A Equação (9-7) é reolvida para = - t, reultando em: 9-: A velocidade angular média é: 6 5 /, e portanto a velocidade angular inicial é: t, or t t ave

14 Exercício Capítulo 9 Rotação de Corpo rígido Sear e Zemanky, Young & Freedman Fíica I Editora Pearon, ª Edição (Exitem muito modo equivalente de e realizar ete 5 / cálculo ) t t (c) t 55 / 9-: A ditância da maa relativo ao eixo ão: 9-:, e, e portanto da Eq (9-6), o momento de inércia é: 5m/ 5m 5 /, 55 /, 5 x m 58 x m I m m m m 6 ou 6 /, para trê algarimo ignificativo 9-: Como a vara poui um comprimento de 5 veze (5 m/)(7 min)(6 /min) = 555 km maior que a ua largura, então a mema pode er conidea (c) 5 / 55 / 6x / como endo uma vara fina (7 min)(6 / min) Da Tabela (9-), 9-: De r, I M (kg)(5m) 788x kg m, x98m/ 5x /, Da Tabela (9-), r 5x m qual é(5 x I M (kg)(5m) 5x kg m /) rev / Para eta vara fina o momento de inércia relativo ao eu eixo 5 x rev / min é obtido coniderando-a como um cilindro ólido e, da Tabela min/6 (9-(f)), 9-: = + t = 5 rev/ + (9 rev/ 8 )( ) = rev/ (note que dede que e ão I MR (kg)(5 x m) 7x kg m dado em termo da revoluçõe, não é neceário converter para iano) 9-: Na expreão da Eq (9-6), cad termo terá a maa onda t = ( rev/)( ) = 68 rev multiplicada por f e a ditância multiplicada por f, e então o (c) Aqui, a converão para iano deve er realizada para que momento de inércia é multiplicado por f (f) = f 5 e poa utilizar a Eq (9-), então (5)(8) 5 = 67 x 8 75m v r (rev / x / rev) m / 9-6: Da Eq (9-7), com I da Tabela (9-(f)), (d) Combinando a Equaçõe (9-) e (9-5), rev / rev 6 K m (7kg)(8m) x x J min 6 / min ( r) ( r) tan De mgy = K, 6 K ( x J ) y 6x m 6km ((rev / x / rev) (75m)) mg (7kg)(98m/ ) ((9rev / 6m / x / rev)(75m)) 9-6: Combinando a Equaçõe (9-) e (9-5), Do reultado da parte, temo: v r 5m / m/ v v 5 / m/ m tan 5 / 9-8: r Para t =, v = 5 m/ e v 5m / 5 /, r e para t =, v = 5 m/ + (- m/ )( ) = 8 m/, então = / (c) avet = (5 /)( ) = 975 = 55 rev 9-8: Reolvendo a Eq (9-7) para I, temo: K (5J) I 5x kg m / (5rev / min x ) 6 rev / min 9-: O trabalho realizado obre o cilindro é P, onde é o comprimento da cordacombinando a Equaçõe (9-7), (9-) e a expreão para I, ver Tabela (9-(g)), temo: w w v ( N)(6 m / ) P v P 7 N g g (98 m / )(5 m) 9-: Com I = MR, a expreão para v é: gh M / m (d) v r (98m / )(m) m / Eta 9-: O centro de maa caiu metade do comprimento da velocidade erá alcançada em um tempo de: corda, então a variação na energia potencial gravitacional é: 5 m/ m/ apó t =, ou para t = mg (kg)(98m/ )( m) 7J m/ v Eta expreão é menor que aquela para um cilindro ólido A maior parte da maa etá concenta na ua borda, então, para uma dada velocidade, a energia cinética do cilindro é maior Uma grande parte da energia potencial é convertida para energia cinética do cilindro, e portanto, uma quantidade menor etá diponível para a maa em queda

15 Exercício Capítulo 9 Rotação de Corpo rígido Sear e Zemanky, Young & Freedman Fíica I Editora Pearon, ª Edição 9-6: Na Eq (9-9), I cm = MR e d = R, então I P = MR 9-8: Utilizando o Teorema do Eixo Paralelo para e encontrar o momento de inércia de uma corda fina relativo ao eixo atravé de ua extremidade e perpendicular a corda, temo: I P I cm M Md M I Ma I Mb 9-5: M 9-5: A análie é idêntica aquela do Exemplo 9-, com o limite inferior na integral endo zero, o limite uperior endo igual a R, e a maa M pr O reultado é: o tempo t (t = é um ponto de inflexão e () não é I NR, o que etá de acordo com a Tabela (9-(f)) um máximo ) e o delocamento angular para ete tempo é: 9-5: Para ete cao temo dm = dx (8 / ) 6 6 (5 / ) x M dm x dx 9-6: m/ tan 5 / x M I x ( x) dx t (5 / )(6) / (c) r ( / ) (6 m) 5m / Ito é maior que o momento de inércia de uma corda uniforme de mema maa e comprimento, vito que a denidade de maa é bem maior longe do eixo que quando mai próximo (d) dele (c) I ( x) xdx M 6 ( x x x x x ) dx x Ete é um terço do reultado enconto na parte, refletindo o fato de que mai a maa etá concenta no final então tan tan69 o : Por integraçõe uceiva da Equaçõe (9-5) e (9-), t t (8 / ) t (5 / ) t t t (9 / ) t ( / ) t 6 A velocidade angular poitiva máxima ocorre quando =, ou t = ; a velocidade angular para ete tempo é: (8 / ) (5 / ) 68 / O delocamento angular máximo ocorre quando, para (e) tan r 6 m (5m / ) e o módulo da força é : F = ma = ( kg)(68 m/ ) = 766 kn (f) arctan 5 o tan arctan (m / ) m /, 9-56: Para uma aceleração angular contante, temo: r r 9-6: A aceleração angular erá zero quando a velocidade for um máximo, o que ocorre na parte inferior do Denotando como o ângulo que o vetor aceleração faz com circulo De conideraçõe de energia, a velocidade é: a direção ial, e utilizando a Equaçõe (9-) e (9-5), v = r r gh gr( co ), onde é o tan tan, ângulo entre a vertical, livre, e r r v R g ( co ) R (98 m/ ) ( co69 o ) 5 / (5 m) erá novamente igual a quando a almôndega paa atravé do ponto mai baixo (c) é direcionada em direção ao centro, ito é:

16 Exercício Capítulo 9 Rotação de Corpo rígido Sear e Zemanky, Young & Freedman Fíica I Editora Pearon, ª Edição (5 / ) (5 m) 9 m / (d) = independente de R R R = (g/r)(- co )R = (g)( co ), 9-6: A egunda polia, com metade do diâmetro da primeira, deve ter dua veze a velocidade angular, e eta é a velocidade angular da lâmina da erra ((5 rev/min)) / 8m 75 m/ rev / min r / 8m 9-7: (5 rev / min) 5x m /, rev / min K I então a força egurando a erragem obre a lâmina deveria er aproximadamente 5 veze tão forte quanto a gravidade / (kg)(9m) rev / min x 6 rev / min : Da Tabela (9-), quantitativamente: x J 7 K x J I MR, I MR and I MR 75, A B C P 86x W ave O objeto A poui o menor momento de inércia, poi, do o qual é aproximadamente 8 min trê objeto dado ua maa é a mai concenta próxima ao eixo 9-76: Para o cao que nenhuma energia é perdida, a altura Por outro lado, o objeto B poui a maa concenta o de recuo h etá relacionada com a velocidade v por: mai ditante do eixo (c) Como I efera = 5 MR, a efera deveria trocar o dico como h = v, e com o reultado para h dado no Exemplo 9-9, pouindo o menor quantidade de momento de inércia g 9-68: Utilizando conideraçõe de energia, o itema adquire h = tanto energia cinética quanto ocorre a perda em ua energia M / m potencial, mgr A energia cinética é: Coniderando o itema como um todo, alguma parte da energia potencial inicial da maa tranformou-e em energia K I mv I m( R) ( I mr ) cinética do cilindro Coniderando apena a maa, a tenão na Utilizando corda realizou trabalho obre a maa, então ua energia total I mr e reolvendo para, obtemo: não é conervada g g, e R R 9-7: Coniderando o itema de referencia zero da energia potencial gravitacional como etando no eixo, a energia potencial inicial é nula ( a corda é empacotada círculo tendo o eixo como centro ) Quando a corda é deenrolada eu centro de 9-7: A energia potencial gravitacional que e tranformou em energia cinética é: K = ( kg kg)(98 m/ )(5 m) = 98 J Em termo da velocidade comum do bloco, a energia cinética do itema é: K ( m m ) v I v kg kg Reolvendo para v, temo: v h 98 J kg v R (8kg m ) (6m) 8m / v kg 9-78: Do teorema do eixo paralelo, o momento de inércia é:i p = (/5)MR M, e M Se R = (5), a diferença é (/5)(5) = (I rod /M ) = (m rod /M), o qual é % quando maa etá a uma ditância de R abaixo do eixo O m rod = () M comprimento da corda é R e metade deta ditância é a M poição do centro de maa Inicialmente toda parte da corda 9-8: Cada lado poui um comprimento a e maa, e etá e movimentando com velocidade R, e quando a corda é o momento de inércia de cada lado, relativo a um eixo deenrolada, o cilindro poui uma velocidade angular, então perpendicular ao lado e atravé do eu centro é: a velocidade da corda é R (a parte uperior final da corda poui a mema velocidade tangencial que a borda do cilindro) M Ma a Da conervação de energia, e utilizando I = (/)MR para um 8 cilindro uniforme, temo: Do Teorema do Eixo Paralelo, o momento de inércia de cada M m M m lado relativo ao eixo atravé do centro do quado é: R R mg R Ma M a Ma Reolvendo para, temo: 8 ( mg / R) 9-8: Do Exercício 9-, a taxa de perda de energia é:, ( M m) I dt e a velocidade em qualquer parte da corda é: ; reolvendo para o momento de v = R T dt I P 5 R 6