UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO JEFERSON DA SILVA GONÇALVES

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1 UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO JEFERSON DA SILVA GONÇALVES ANÁLISE DA QUALIDADE DE SISTEMAS LINEARES: UM ESTUDO SOBRE CONVERSÕES DE REGISTROS COM AUXÍLIO DO SOFTWARE WINPLOT SÃO PAULO 2012

2 JEFERSON DA SILVA GONÇALVES MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ANÁLISE DA QUALIDADE DE SISTEMAS LINEARES: UM ESTUDO SOBRE CONVERSÕES DE REGISTROS COM AUXÍLIO DO SOFTWARE WINPLOT Dissertação apresentada à banca examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência para a obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora Monica Karrer. SÃO PAULO 2012

3 G626a Gonçalves, Jeferson da Silva Análise da qualidade de sistemas lineares../ Jeferson da Silva Gonçalves. - São Paulo, f.: il.; 30 cm. Dissertação (Mestrado - Área de concentração; Educação Matemática) Universidade Bandeirantes de São Paulo. Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática. Orientação: Professora Drª. Mônica Karrer 1. Sistemas lineares. 2. Registros de representações semióticas. 3. Design experiment. 4. Winplot. I. Título. CDD: 512.5

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5 Dedico este trabalho à José Gonçalves de Oliveira, meu pai e à Eva da Silva Gonçalves, minha mãe, que com muita dedicação e amor, me deram a educação sem a qual eu não teria chegado a lugar algum. À Ester Regina Francesquini Gonçalves, minha esposa, pela imensurável paciência e companheirismo, sempre presente com incondicional apoio.

6 AGRADECIMENTOS Primeiramente a Deus, pela saúde, fé e perseverança que tem me dado, permitindo que eu chegasse até aqui. À Professora Doutora Monica Karrer pelo trabalho de orientação desenvolvido com muita competência, paciência, dedicação e amizade. Ao Professor Doutor Paulo Henrique Trentin, que aceitou participar da Banca Examinadora, fornecendo valiosas contribuições e participando de mais uma importante etapa de minha vida. À Professora Doutora Solange Hassan Ahmad Ali Fernandes pelo companheirismo e incentivo durante as aulas de Atividade de Pesquisa e, que gentilmente aceitou participar da Banca Examinadora. Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante, por todo o incentivo e contribuição durante o curso. À Professora Doutora Rosana Nogueira de Lima, que com muita atenção e carinho me apoio durante o início do curso. À minha amiga Patricia Felipe que me convidou para participar do processo seletivo do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante. Aos integrantes do Grupo de Pesquisa Tecnologias Digitais e Educação Matemática, pelas contribuições providas das discussões em grupo. À professora Ma. Ivete Mendes e Freitas que não mediu esforços para me fornecer um exemplar de sua dissertação.

7 Aos estudantes voluntários que se dispuseram a participar desta pesquisa, demonstrando interesse em todo o processo, pois sem eles o experimento não teria sido feito. À minha esposa pela participação em minha vida, que pacientemente gastou horas preparando um cafezinho e, que me incentivou em todos os momentos para a concretização deste trabalho. À minha família, em especial aos meus pais, às minhas irmãs Gislene e Gisele e aos meus cunhados, que sempre estiveram presentes e, souberam compreender minha ausência, sempre colaborando e me impulsionando nos momentos difíceis. À minha filhinha Jully que acompanhou pacientemente sentada ao meu lado à digitação deste trabalho. Aos amigos Alessandra, Fábio e Ronaldo, pelo companheirismo e dedicação nos momentos de estudo. À Secretaria Estadual de Educação de São Paulo pela bolsa de Estudos fornecida. À todos que contribuíram direta ou indiretamente para a concretização deste trabalho. Ao Divino Espírito Santo pelo amparo nos momentos difíceis.

8 [...] Tu tens a fé, e eu tenho obras! Mostra-me a tua fé sem as obras, que eu te mostrarei a minha fé a partir de minhas obras! Tiago 2, 18

9 RESUMO Este trabalho apresenta um estudo sobre sistemas lineares, que teve por objetivo investigar as produções de estudantes diante de um experimento de ensino diferenciado sobre esse conteúdo, elaborado de forma a explorar conversões entre registros, integrando a ferramenta Winplot. Especificamente, teve-se a intenção de estudar a qualidade de um sistema linear de duas equações e duas incógnitas por meio da investigação das consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade, tendo por base a teoria dos registros de representações semióticas de Duval. Dificuldades dos estudantes no estabelecimento de conversões envolvendo representações do registro gráfico do objeto matemático sistemas lineares e a reduzida exploração de conversões com gráficos nos livros didáticos foram evidenciadas na revisão de literatura. Partindo dessa problemática, integramos no experimento os diversos registros, com foco no gráfico, o qual foi aplicado, em sua totalidade, a duas duplas de estudantes com idades entre treze e quatorze anos, que cursavam o nono ano do Ensino Fundamental de uma escola pública. Para a elaboração e condução do experimento foi utilizada a metodologia de Design Experiment, sendo a seleção do software Winplot dada em função de o mesmo permitir um trabalho de integração entre vários registros, apontando compatibilidade com os pressupostos da teoria adotada. A análise das produções dos alunos revelou avanços na avaliação da qualidade de sistemas lineares, apesar da constatação de dificuldades principalmente em tratamentos no registro algébrico e em conhecimentos considerados pré-requisitos para o estudo deste objeto matemático. Palavras chave: Sistemas Lineares. Registros de Representações Semióticas. Design Experiment. Winplot.

10 ABSTRACT This work presents a study of linear systems. It intends to investigate the production of students on a different teaching experiment about the mentioned subject, developed in order to explore conversions between registers, incorporating the Winplot tool. The main intention was to study the quality of systems of two linear equations and two unknowns through the investigation of graphic and algebraic consequences of proportionality, based on Duval s theory of Semiotic Representations Registers. Students' difficulties in establishing conversions involving graphic representations of the mathematical object linear systems and the reduced conversions operating graphics in didactical books were found in the literature review. Starting from these findings, various registers were added in the experiment, focusing the graphic representations, which were applied on two pairs of students that were thirteen to fourteen years old, attending the ninth grade of Elementary School in the public system of education. In order to formulate and conduct the experiment, the methodology of Design Experiment was used, and the software Winplot was selected because it permits the integration of multiple registers, indicating compatibility with the theory adopted. The students' productions were analyzed and revealed progress in the evaluation of the quality of linear systems, although difficulties were noticed mainly in treatment in the algebraic registers and in skills considered pre-requirements for the study of this mathematical object. Keywords: Linear Systems. Semiotic Representations Registers. Design Experiment. Winplot.

11 LISTA DE FIGURAS Figura 1 Exemplo de registro monofuncional não-discursivo Figura 2 Representação no Registro simbólico-algébrico de um sistema linear 4X Fonte: PANTOJA, 2008, p. 86 Figura 3 Resolução apresentada por um grupo de alunos Fonte: PANTOJA, 2008, p. 90 Figura 4 Distribuição das resoluções por categorias Fonte: CURY e BISOGNIN (2009), p. 13 Figura 5 Conteúdos referentes ao terceiro bimestre dos quatro anos finais do Ensino Fundamental Fonte: SÃO PAULO, Conteúdos de Matemática por série e bimestre do Ensino Fundamental Ciclo II (Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática /Coord. Maria Inês Fini. São Paulo : SEE, p. 54) Figura 6 Problema apresentado no registro da língua natural Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 30 Figura 7 Representação de uma equação no registro figural... Fonte: SÃO PAULO... Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p Figura 8 Representação de uma equação no registro figural Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 35 Figura 9 Problema apresentado no registro da língua natural Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 36 Figura 10 Representação de uma equação no registro figural Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 40 Figura 11 Conversão de registro na língua natural para o registro numéricotabular Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 40

12 Figura 12 Conversão de registro na língua natural para o registro numéricotabular... Fonte: SÃO PAULO.. Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p Figura 13 Representação no registro gráfico de um sistema linear e sua classificação Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 46 Figura 14 Problemas na língua natural apresentados no Livro Fonte: (GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. 2009, p. 172). Figura 15 Média do SARESP 2011 relacionada à escola onde foi realizado o experimento Fonte: site < Figura 16 Distribuição percentual dos alunos nos níveis de proficiência, relacionada à escola onde foi realizado o experimento Fonte: site < Figura 17 Resolução esperada Tarefa 8a Figura 18 Resolução esperada - Tarefa 8b Figura 19 Resolução esperada Tarefa 8c Figura 20 Laboratório de Informática utilizado para a realização do experimento Figura 21 Questionário Preliminar Tarefa 2 Produção do Aluno F Figura 22 Questionário Preliminar Tarefa 2 Produção do Aluno A Figura 23 Questionário Preliminar Tarefa 2 Produção do Aluno C Figura 24 Questionário Preliminar Tarefa 3 Produção do Aluno D

13 Figura 25 Questionário Preliminar Tarefa 4 Produção do Aluno E Figura 26 Questionário Preliminar Tarefa 4 Produção do Aluno A Figura 27 Questionário Preliminar Tarefa 5 Produção do Aluno A Figura 28 Questionário Preliminar Tarefa 5 Produção do Aluno C Figura 29 Questionário Preliminar Tarefa 5 Produção do Aluno C Figura 30 Questionário Preliminar Tarefa 5 Produção do Aluno F Figura 31 Tarefa 1 da Atividade do redesign Figura 32 Tarefa 2 da Atividade do redesign Figura 33 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2a - Redesign Figura 34 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2a - Redesign Figura 35 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos - Tarefa 2a - Redesign Figura 36 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos - Tarefa 2a - Redesign Figura 37 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2b - Redesign Figura 38 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2b - Redesign

14 Figura 39 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2b - Redesign Figura 40 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2c - Redesign Figura 41 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos -Tarefa 2c - Redesign Figura 42 Construção do gráfico elaborado pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2a (gráfico) - Redesign Figura 43 Resolução das equações elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2a (gráfico) - Redesign Figura 44 Tabelas elaboradas pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos - - Tarefa 2a - Redesign Figura 45 Representação no registro gráfico no plano cartesiano elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos - Tarefa 2a (gráfico) - Redesign Figura 46 Atividade 1 Tarefa 1 do Design Figura 47 Atividade 1 Tarefa 1 do Design no software Winplot Figura 48 Atividade 1 Tarefa 1 do Design no software Winplot Figura 49 Produção da Dupla 1 Atividade 1 Tarefa Figura 50 Produção da Dupla 2 Atividade 1 Tarefa Figura 51 Atividade 1 Tarefa 2 do Design

15 Figura 52 Produção apresentada pela Dupla 2 - Atividade 1 Tarefa 2 do Design Figura 53 Produção da Dupla 1 Atividade 1 Tarefa Figura 54 Produção da Dupla 2 Atividade 1 Tarefa Figura 55 Atividade 1 Tarefas 3 e 4 do Design Figura 56 Produção da Dupla 1 Atividade 1 Tarefas 3 e Figura 57 Produção da Dupla 2 Atividade 1 Tarefas 3 e Figura 58 Atividade 2 Tarefa 1 do Design no software Winplot Figura 59 Atividade 2 Tarefa 1 do Design Figura 60 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa Figura 61 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa Figura 62 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa Figura 63 Exemplo de uma tela do software Winplot - Atividade 2 Tarefa Figura 64 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa Figura 65 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa Figura 66 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa Figura 67 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefas 3 e

16 Figura 68 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefas 3 e Figura 69 Atividade 2 Tarefa 5 do Design Figura 70 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa Figura 71 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa Figura 72 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa Figura 73 Atividade 2 Tarefa 6 do Design Figura 74 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa Figura 75 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa Figura 76 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa Figura 77 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa Figura 78 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa Figura 79 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa Figura 80 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa Figura 81 Atividade 1 Tarefa 1 do redesign Figura 82 Produção da Dupla 1 Atividade 1 Tarefa Figura 83 Produção da Dupla 2 Atividade 1 Tarefa Produção da Dupla 2 Atividade 1 Tarefa 1.

17 Figura 84 Produção da Dupla 1 Atividade 1 Tarefa Figura 85 Produção da Dupla 2 Atividade 1 Tarefa Figura 86 Produção da Dupla 1 Atividade 1 Tarefas 3 e Figura 87 Produção da Dupla 2 Atividade 1 Tarefas 3 e Figura 88 Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) Atividade 2 Tarefa 1a Figura 89 Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) Atividade 2 Tarefa 2a Figura 90 Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) Atividade 2 Tarefa 2b Figura 91 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa Figura 92 Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) Atividade 2 Tarefa Figura 93 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa Figura 94 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa Figura 95 Atividade 2 Tarefa Figura 96 Atividade Adicional Tarefa Figura 97 Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) na Atividade Adicional Tarefa

18 Figura 98 Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) na Atividade Adicional Tarefa Figura 99 Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) na Atividade Adicional Tarefa Figura 100 Atividade do redesign Atividade 2 Tarefa Figura 101 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa Figura 102 Atividade 3 Tarefa 1 do redesign Figura 103 Produção do aluno da Dupla 1 Atividade 3 Tarefa 1a Figura 104 Produção da Dupla 2 Atividade 3 Tarefa 1a Figura 105 Produção do aluno da Dupla 1 Atividade 3 Tarefa 1b Figura 106 Produção da Dupla 2 Atividade 3 Tarefa 1b Figura 107 Produção do aluno da Dupla 1 Atividade 3 Tarefa Figura 108 Produção do aluno da Dupla 1 Atividade 3 Tarefa Figura 109 Produção da Dupla 2 Atividade 3 Tarefa Figura 110 Produção da Dupla 2 Atividade 3 Tarefa Figura 111 Produção do aluno da Dupla 1 Atividade 3 Tarefa Figura 112 Produção da Dupla 2 Atividade 3 Tarefa Figura 113 Atividade do redesign Atividade 3 Tarefa

19 Figura 114 Produção da Dupla 2 Atividade 3 Tarefa Figura 115 Produção do aluno da Dupla 1 Atividade Figura 116 Produção da Dupla 2 Atividade

20 LISTA DE QUADROS Quadro 1 Exemplos de tratamentos no registro simbólico-algébrico Quadro 2 Exemplo de conversão do registro simbólico-algébrico para o gráfico Quadro 3 Exemplo de conversão do registro da língua natural para o simbólico-algébrico Quadro 4 Exemplo de conversão congruente Fonte: DUVAL, 2000, p. 63 Quadro 5 Exemplo de conversão não congruente Fonte: DUVAL, 2000, p. 63 Quadro 6 Exemplo de Fenômeno da Heterogeneidade da Congruência Fonte: DUVAL, 2009, p. 74 Quadro 7 Questionário Preliminar Tarefa Quadro 8 Questionário Preliminar Tarefa Quadro 9 Questionário Preliminar Tarefa Quadro 10 Questionário Preliminar Tarefa Quadro 11 Questionário Preliminar Tarefa Quadro 12 Questionário Preliminar Tarefa Quadro 13 Questionário Preliminar Tarefa Quadro 14 Questionário Preliminar Tarefa

21 Quadro 15 Questionário Preliminar Tarefa Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2011, p.36 Quadro 16 Questionário Preliminar Tarefa Quadro 17 Apresentação da Atividade 1 do Design Quadro 18 Apresentação da Atividade 2 do Design Quadro 19 Apresentação da Atividade 3 do Design Quadro 20 Apresentação da Atividade 4 do Design Quadro 21 Questionário Preliminar Tarefa 1 Produção de todos os alunos 124

22 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Relação de livros didáticos analisados Fonte: Adaptado de FREITAS (1999) Tabela 2 Designação dos livros analisados Tabela 3 Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios - Livro-1 - Primeira parte Tabela 4 Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios - Livro-1 - Segunda parte Tabela 5 Análise dos registros presentes nos enunciados dos exercícios - Livro Tabela 6 Tipo de registro presente nos enunciados dos exercícios - Livro Tabela 7 Análise dos registros presentes nos enunciados dos exercícios - Livro Tabela 8 Tipo de registro presente nos enunciados dos exercícios - Livro Tabela 9 Análise dos registros presentes nos enunciados dos exercícios - Livro Tabela 10 Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios do Livro Tabela 11 Tipo de registro presente nos exercícios do Livro Tabela 12 Tabela elaborada para a construção do gráfico de y=x+1 no plano cartesiano

23 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO FUNDAMENTOS TEÓRICOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ANÁLISE DO CADERNO DO ALUNO E DOS LIVROS DIDÁTICOS ANÁLISE DO CADERNO DO ALUNO Contexto histótico Sobre o caderno do aluno 7ª série/8º ano volume 3 do Ensino Fundamental ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS METODOLOGIA DE PESQUISA SUJEITOS MATERIAL E AMBIENTE DE TRABALHO METODOLOGIA DE APLICAÇÃO APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DO QUESTIONÁRIO INICIAL (FASE 1) APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES DO DESIGN (FASE 2) ANÁLISE DA APLICAÇÃO DO EXPERIMENTO DESCRIÇÃO DA FASE DESCRIÇÃO DA FASE Análise do caso SPI Atividades 1 e Redesign do caso SPI primeira atividade adicional Redesign do caso SPI segunda atividade adicional

24 6.2.2 Análise do caso SI Redesign do caso SI Análise da Atividade Análise do caso SPD CONCLUSÃO SÍNTESE DAS ETAPAS DE PESQUISA VERIFICAÇÃO DAS HIPÓTESES INICIALMENTE ESTABELECIDAS ANÁLISE DAS QUESTÕES DE PESQUISA PAPEIS DESEMPENHADOS PELOS SUJEITOS O PAPEL DO RECURSO COMPUTACIONAL WINPLOT NO DESENVOLVIMENTO DO EXPERIMENTO PERSPECTIVAS PARA NOVAS INVESTIGAÇÕES REFERÊNCIAS APÊNDICES

25 23 1 INTRODUÇÃO Este estudo objetivou elaborar, aplicar e avaliar um experimento de ensino sobre sistemas lineares, construído de forma a explorar conversões entre os registros gráfico, algébrico, numérico-tabular e da língua natural, nos ambientes papel e lápis e computacional Winplot. Teve-se a intenção de estudar a qualidade de um sistema de duas equações e duas incógnitas, avaliando as consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade dos coeficientes. Procurou-se, com esta construção, fornecer um cenário diferenciado sobre esse tema, a fim de constituir um material de apoio aos docentes, elaborado a partir das novas tendências no ensino de Matemática. Como motivação pessoal para a construção deste estudo, cito de forma reduzida a minha trajetória como docente. Por ser professor de escolas estaduais há treze anos, lecionando Matemática e Física para alunos do Ensino Médio, sempre tive a possibilidade de observar as dificuldades dos estudantes na compreensão de certos conteúdos matemáticos, dentre eles, o conteúdo de sistemas lineares. Este tópico é desenvolvido pela primeira vez no sétimo ano do Ensino Fundamental, englobando os sistemas de duas equações e duas incógnitas. No Ensino Médio ele é retomado, abrangendo, também, os sistemas com três equações e três incógnitas. Em minha prática, pude observar a dificuldade dos estudantes principalmente em situações que requeriam a representação gráfica de sistemas lineares e, pela minha formação em Licenciatura em Matemática, muitas vezes sou questionado a respeito de como tratar e compreender essas dificuldades. Com o objetivo de refletir sobre questões relacionadas ao objeto matemático sistemas lineares e aprimorar a minha formação, ingressei no curso de mestrado do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo. Diante das leituras realizadas e das discussões com professores do programa, com minha orientadora e com colegas do curso, tive contato com a teoria dos registros de representação semiótica de Duval (1995, 2000, 2006). Tal fato me levou a refletir sobre a importância de tratar um conteúdo matemático explorando suas várias representações, desencadeando, assim, a necessidade da elaboração de um estudo científico envolvendo essa teoria.

26 24 Essa vertente de pesquisa em Educação Matemática defende um trabalho de integração entre diversas representações semióticas, provenientes de diferentes registros, no ensino de conteúdos matemáticos. Como exemplos de registros, podem ser citados o gráfico, o algébrico, o da língua natural, dentre outros. Segundo Duval (1995), deve-se procurar entender as dificuldades dos alunos em Matemática avaliando o que há de específico no ensino dessa ciência, que consiste no fato de o acesso a qualquer objeto matemático requerer, necessariamente, de registros de representações semióticas. A teoria dos registros de representações semióticas de Duval (2006) é largamente utilizada em pesquisas na área de Educação Matemática e será detalhada no capítulo 2 do presente estudo. No contexto das pesquisas sobre ferramentas computacionais no ensino de Matemática, destacam-se os estudos de Borba (2005) e de Noss e Hoyles (1996), os quais apontaram a necessidade de pesquisas integrando recursos computacionais, construídas de forma a visar ganhos pedagógicos. Borba (2005) destacou que nos ambientes computacionais são utilizadas diferentes estratégias para o ensino e para a aprendizagem de um determinado objeto matemático, servindo de complemento ao uso do lápis e papel em sala de aula. Para o pesquisador, os softwares educacionais têm o objetivo, dentre outros, de destacar o aspecto visual da Matemática, sendo o seu uso de direito do aluno, que está voltado para o letramento tecnológico, lidando com a leitura e o tratamento nesta mídia. Noss e Hoyles (1996) recomendam a utilização de recursos computacionais, destacando que tais ferramentas podem favorecer o desenvolvimento do pensamento matemático. Para os pesquisadores, um software computacional de Matemática deve constituir um ambiente favorável para que os estudantes possam utilizar as suas potencialidades, transformando-as em novas aprendizagens. Buscamos, então, na literatura acadêmica, como o objeto matemático Sistemas Lineares, que representa um conteúdo desenvolvido inicialmente no Ensino Fundamental e retomado no Ensino Médio, era explorado em termos de registros de representações semióticas e de integração de recursos tecnológicos. Dentre os trabalhos avaliados, destacamos os de Freitas (1999) e Battaglioli (2008), que revelaram problemas no processo de ensino e aprendizagem desse objeto matemático. Freitas (1999) apontou dificuldades por parte dos estudantes no

27 25 estabelecimento de conversões entre representações do registro gráfico e algébrico e Battaglioli (2008) revelou que os livros didáticos analisados pouco exploram a atividade de conversão entre registros, privilegiando apenas o registro algébrico. Essa última pesquisadora também recomendou intensificar a exploração do registro gráfico, pois ele facilita tanto a compreensão do conjunto solução de um sistema linear como também em questões de discussão e classificação de sistemas. Ela também forneceu como sugestão, o uso do software Winplot para auxiliar na visualização de um sistema linear, permitindo, assim, a discussão dos sistemas lineares com os alunos em um registro não usual no ensino deste conteúdo. Estudos sobre o uso de recursos computacionais no ensino e sobre o processo de ensino e aprendizagem de sistemas lineares serão detalhados no capítulo 2 do presente estudo. No capítulo 3, apresentaremos as análises do Caderno do Aluno do Estado de São Paulo e de três livros didáticos. Neste contexto, foi avaliado o trabalho com os registros semióticos, a existência ou não da avaliação da proporcionalidade dos coeficientes de um sistema linear e o uso de recurso computacional. No Caderno do Aluno, notamos uma preocupação na diversificação dos registros semióticos, fato não observado nos livros didáticos avaliados. Nessas obras, notamos que a conversão mais explorada é a do sentido da língua natural para o algébrico, sendo o registro gráfico explorado apenas em uma das obras analisadas. Constatamos a inexistência de análise da proporcionalidade de coeficientes e de uso de software matemático, tanto no Caderno do Aluno como nos livros didáticos. Tendo em vista a problemática exposta anteriormente detectada na revisão de literatura, na análise dos livros e no Caderno do Aluno e, considerando que o conteúdo matemático Sistemas Lineares faz parte do currículo da Proposta Curricular da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo, foi elaborado um experimento visando preencher tal lacuna. Com isso, procurou-se integrar os diversos registros, principalmente o algébrico e o gráfico, tendo o software Winplot como ferramenta de apoio, e explorar a análise das classificações de sistemas lineares pela investigação da existência ou não de proporcionalidade. Para a construção e condução do experimento, foi utilizada a metodologia de Design Experiment de Cobb et al. (2003), que fornece diretrizes para a elaboração de novas abordagens de um conteúdo específico. A descrição dessa metodologia e a

28 26 apresentação dos sujeitos, do ambiente de estudo, do material de coleta e do papel do professor-pesquisador serão expostos no capítulo 4. Com o presente estudo, teve-se a intenção de responder às seguintes questões de pesquisa: Em que aspectos a abordagem proposta, que envolve a análise das consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade dos coeficientes das equações, influencia os estudantes na compreensão da qualidade de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas? Como o software adotado, ao viabilizar a análise dinâmica das relações entre representações dos registros algébrico e gráfico, contribui para a compreensão da análise da qualidade de sistemas lineares? Teve-se por hipóteses que o experimento proposto permitiria avaliar as unidades significativas dos registros gráfico e algébrico de sistemas lineares, a relação entre os diversos registros desse objeto matemático e a análise da qualidade de um sistema de duas equações e duas incógnitas, por meio da investigação das consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade de seus coeficientes. Ainda, dado que o software permite uma análise dinâmica dessas consequências, esperava-se que o mesmo representasse uma ferramenta facilitadora da investigação anteriormente citada. A escolha do software Winplot se deu pelo fato de o mesmo ser livre e por permitir um trabalho de integração entre os registros algébrico, gráfico e numérico, mostrando compatibilidade com a teoria adotada. Ele é de fácil manuseio, traduzido para a língua portuguesa e, por ocupar pouca memória, sua utilização não necessita de computadores de última geração. Salienta-se que tais aspectos favorecem sua utilização em instituições dotadas de laboratório de informática, sendo possível utilizá-lo em qualquer escola que tenha laboratório de informática, sem a necessidade de computadores potentes. No capítulo 5, apresentaremos as atividades elaboradas, acompanhadas de uma análise preliminar baseada no referencial teórico e nos resultados obtidos pela revisão de literatura. O capítulo 6 foi destinado à análise dos dados e o capítulo 7 à

29 27 conclusão do presente estudo. Por fim, são apresentadas as referências bibliográficas.

30 28 2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Neste capítulo, são descritos aspectos da teoria que fundamentou o nosso estudo, além das pesquisas que compuseram a revisão de literatura. 2.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Este trabalho será amparado pela teoria dos registros de representação semiótica de Raymond Duval (1995, 2000, 2003, 2006), a qual defende a importância das representações semióticas no ensino e na aprendizagem matemática, informando que não há aquisição de conhecimento de um objeto matemático sem recorrer aos registros de representação semiótica. O pesquisador Raymond Duval é filósofo e psicólogo e desenvolveu pesquisas envolvendo a psicologia cognitiva e suas relações com o processo de ensino e aprendizagem de matemática. Ele trabalhou no período de 1970 a 1995 no Instituto de Pesquisa em Educação Matemática (IREM) na França e atualmente é professor emérito da Université Du Litoral Cote d Opale na França. Duval (2006) questiona qual tipo de formação matemática deve ser dada a todos os alunos, para que eles possam interagir em um mundo onde há um avanço tecnológico cada vez mais crescente e complexo. O objetivo do ensino da Matemática para o pesquisador não é formar futuros matemáticos ou simplesmente dar subsídios para os alunos usarem no futuro. O objetivo do ensino da Matemática é o de desenvolver as habilidades de pensamento dos alunos, habilidades que serão exigidas na sua vida social e profissional. Segundo Duval, deve-se procurar entender as dificuldades dos alunos em Matemática, avaliando o que há de específico no ensino dessa ciência, para assim conseguir um aprendizado significativo. Duval ressalta que: A principal característica de uma abordagem cognitiva não é olhar para as dificuldades dos alunos com o objetivo de determinar a maneira pela qual a compreensão é possível, e sim determinar a origem de sua incompreensão. (DUVAL, 2006, p.1).

31 29 Os estudos desse pesquisador visam analisar as reais causas das dificuldades encontradas por estudantes para a compreensão da Matemática e, para isso, ele procura estabelecer quais sistemas cognitivos são necessários para os estudantes terem acesso aos objetos matemáticos, considerando que tal acesso requer necessariamente a utilização de registros de representação semiótica. Dentre suas obras, destaca-se Sémiosis et pensée humaine (1995), na qual ele apresenta à comunidade acadêmica os seus pressupostos teóricos. O termo Registro de Representação Semiótica é utilizado por Raymond Duval (1995) para referir-se aos diferentes signos em matemática, tais como figuras, gráficos, escritas simbólicas, língua natural, os quais devem permitir o cumprimento de três atividades cognitivas: formação, tratamento e conversão. A formação de um registro de representação semiótica deve respeitar as regras próprias do sistema utilizado. Ao realizar uma transformação de uma representação para outra, pode-se ter um tratamento ou uma conversão. O tratamento de um registro de representação semiótica é uma atividade na qual se faz uma transformação de uma representação para outra, no interior de um mesmo registro. Como exemplo, apresenta-se uma transformação de escalonamento em um sistema linear: Quadro 1 Exemplos de tratamentos no registro simbólico-algébrico Pode-se observar que ocorreram transformações de representações sem mudança de registro. A primeira equação foi multiplicada por -2 e o resultado foi somado à segunda equação, dando origem a uma nova equação permanecendo no registro simbólico- algébrico. A conversão é uma atividade que transforma uma representação em outra representação, em um registro diferente do qual se partiu, como o exemplo a seguir:

32 30 Representação no Registro Simbólico-algébrico Representação no Registro Gráfico y x 27 y 2x 42 Quadro 2 Exemplo de conversão do registro simbólico-algébrico para o gráfico Um segundo exemplo para o conteúdo de sistemas lineares que se pode citar é a conversão do registro da língua natural para o registro simbólico-algébrico, conforme ilustrado no quadro seguinte. Representação no Registro Língua natural Representação no Registro Simbólico- algébrico Determine dois números reais, cuja soma é 26 e a diferença entre o maior e o menor é igual a 12. x y 26 x y 12 Quadro 3 Exemplo de conversão do registro da língua natural para o simbólico-algébrico Para Duval há dois tipos de conversões: as congruentes e as não congruentes. A conversão congruente é a passagem de uma representação para outra de uma maneira espontânea, ou seja, a transformação está mais próxima de uma situação de simples codificação. A seguir, apresenta-se um exemplo desse tipo de conversão.

33 31 TIPO DE CONVERSÃO Conversão congruente Quadro 4 Exemplo de conversão congruente Fonte: DUVAL, 2000, p SISTEMA OU REGISTRO DA ESCRITA NATURAL Conjunto de pontos com ordenada maior que abscissa. SISTEMA SIMBÓLICO-ALGÉBRICO y>x De acordo com Duval (2009, p. 18), para que exista congruência na conversão, três condições devem ser satisfeitas: correspondência semântica entre as unidades significantes que as constituem, uma mesma ordem possível de apreensão das unidades das duas representações e conversão de uma unidade significante de representação de partida para uma unidade significante correspondente no registro de chegada. Já na conversão não congruente, esta passagem não ocorre de maneira espontânea, ou seja, pelo menos uma das condições citadas anteriormente não é satisfeita. O exemplo seguinte ilustra essa situação. TIPO DE CONVERSÃO Conversão não congruente SISTEMA OU REGISTRO DA ESCRITA NATURAL Conjunto de pontos cujas ordenadas e abscissas têm o mesmo sinal. Quadro 5 Exemplo de conversão não congruente Fonte: DUVAL, 2000, p SISTEMA SIMBÓLICO-ALGÉBRICO x.y>0 Ainda, o autor afirma que pode ocorrer o fenômeno da heterogeneidade da congruência, em que há uma conversão congruente em um sentido de conversão e não congruente no outro, gerando desempenhos distintos dos estudantes quando uma mesma situação é proposta nos dois sentidos. O exemplo seguinte, extraído de Duval (2009) mostra a diferença de desempenho dos estudantes nos dois sentidos de conversão. Quando a conversão ocorreu do registro da língua natural para o simbólico, a taxa de acerto foi de 41% e no sentido contrário foi de 81%. Essa discrepância é explicada pelo autor pelo fenômeno da heterogeneidade da congruência. 1 Traduzido do original em Inglês. 2 Traduzido do original em Inglês.

34 32 A reunião das intersecções de um conjunto com dois outros conjuntos I II I II II I ( A B) ( A C) 41% 81% Quadro 6 Exemplo de Fenômeno da Heterogeneidade da Congruência Fonte: DUVAL, 2009, p. 74 Duval ainda destaca a especificidade da Matemática em relação às outras ciências, dada a sua natureza não real, tendo em vista a necessidade das representações semióticas para o acesso a objetos matemáticos. Segundo o autor, a impossibilidade de acesso ocorre devido ao caráter abstrato dos objetos matemáticos. Como exemplo, pode-se citar o número, cujo acesso não se dá por instrumentos e sim por meio de suas representações. Ainda, o número pode ser representado em diferentes sistemas. Por exemplo, o número trinta e quatro é representado no sistema numérico indo-arábico por 34 e no sistema de numeração romano por XXXIV. Com isso, há necessidade de um modelo específico para a Matemática centrado na importância das representações semióticas, fato que a difere das outras ciências, tais como Física e Biologia, que permitem o contato com seus objetos por meios perceptivos ou instrumentais. Duval (2006) apresenta a classificação de quatro tipos diferentes de registros de representações semióticas: registro multifuncional discursivo; registro multifuncional não-discursivo; registro monofuncional discursivo e registro monofuncional não-discursivo. O registro de representação monofuncional é o tipo de sistema no qual as transformações podem ser algoritmizáveis. Por exemplo, na representação algébrica y ax b, temos y isolado no primeiro membro. Para se isolar x, há uma sequência definida de etapas, a qual consiste em primeiro subtrair b em ambos os membros, da seguinte forma: y b ax b b y b ax Em seguida, dividem-se ambos os membros por a, obtendo:

35 33 y b ax a a y b x a No caso anterior, o registro algébrico é classificado como monofuncional discursivo. Há também os registros monofuncionais não-discursivos, representados pelos gráficos cartesianos. Nestes, também existe um processo definido de construção, como por exemplo, as direções indicadas pelas setas do plano cartesiano e a forma de representação de pontos. y x Figura 1 Exemplo de registro monofuncional não-discursivo O registro de representação multifuncional é o tipo de sistema no qual as transformações não são algoritmizáveis. No caso dos multifuncionais discursivos, tem-se como exemplo a língua natural utilizada na produção de um texto, que pode ser realizado pelo método de produção oral ou pelo método de produção escrita. Já o registro de representação multifuncional não-discursivo é aquele que conserva as características internas do objeto a ser representado. Por exemplo, para a construção de um quadrado, há a necessidade de auxílio de instrumentos para manter as suas características internas, isto é, ter os quatro lados iguais com ângulos internos de 90º. Duval (2003) considera que o ensino da Matemática não leva em conta as conversões, privilegiando os tratamentos de um objeto matemático em um determinado registro. Na visão do autor, isso ocorre devido à formação do matemático, que normalmente privilegia a transformação de tratamento, principalmente no registro monofuncional discursivo. Isto porque é nesse tipo de registro que há a facilidade de

36 34 justificação e tal fato leva o professor de matemática a não observar a importância de estabelecer conversões entre registros do objeto matemático tratado em sala de aula. Desta forma, a análise das atividades de um determinado conteúdo matemático a serem realizadas pelos alunos é desenvolvida do ponto de vista puramente matemático e não pedagógico. Apresentaremos, a seguir, os aspectos evidenciados na revisão de literatura de pesquisas que tratam do objeto matemático sistemas lineares e, em seguida, a utilização de recursos computacionais no ensino de Matemática. 2.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Battaglioli (2008) realizou um estudo sobre sistemas lineares, o qual consistiu em analisar os principais livros indicados pelo PNLEM , evidenciando como estes lidam com os registros de representações semióticas e com o uso de recursos computacionais. A pesquisadora afirma que os livros tratam do conteúdo matemático Sistemas Lineares de forma mecânica, ou seja, ao aluno é apresentado um algoritmo para a resolução de um determinado conteúdo matemático e este é aplicado em diversos exercícios, constituindo em uma reprodução totalmente mecânica, não dando a oportunidade ao aluno de discutir, conjecturar e analisar os resultados obtidos. Com isso Battaglioli (2008) sugere que os livros didáticos deveriam tratar os conteúdos matemáticos com diferentes tipos de representações, envolvendo também os aspectos epistemológicos, dando ao aluno a oportunidade de acompanhar o desenvolvimento do homem e a construção da Matemática. Com essa abordagem, o aluno formularia hipóteses, discutiria e tentaria generalizar o 3 O Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM) é um programa do Governo Federal que foi implantado em 2004 e que tem por objetivo a distribuição gratuita de livros didáticos aos alunos do Ensino Médio público de todo pais. É mantido pelo Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE) com recursos financeiros do Orçamento Geral da União. Fonte: portal do MEC: <

37 35 conteúdo matemático, assumindo assim um papel mais participativo e interessado para a aquisição do conhecimento. Acreditando que os livros didáticos representam o maior suporte dos professores de Matemática, a pesquisadora fez uma análise neste material procurando responder a seguinte questão: Em quais registros de representação semiótica estão sendo abordados os sistemas lineares nos livros didáticos do Ensino Médio e quais as conversão de registros apresentadas nos exercícios resolvidos propostos destes livros? (BATTAGLIOLI, 2008, p. 9). Essa pesquisa, de caráter documental, foi realizada de forma qualitativa. Foram escolhidos para esta pesquisa três dentre os oito livros didáticos recomendados pelo PNLEM-2007, por ela acreditar que, sendo esses livros distribuídos gratuitamente pelo Ministério da Educação (MEC), são possivelmente os mais utilizados pelos professores das escolas públicas. São eles: DANTE, L.R. MATEMÁTICA, Contexto e aplicações vol. 2 EM Ática, 2007, designado como Livro-1; SMOLE K. C. S., DINIZ M. I. MATEMÁTICA Ensino Médio vol.2 Saraiva 2003, designado como Livro-2 e GIOVANNI J. R., BONJORNO J. R. e GIOVANNI JR. J. R. MATEMÁTICA COMPLETA Volume Único FTD 2002 com designação Livro-3. A pesquisa de Batttaglioli (2008) foi fundamentada na teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval (2003) e na teoria de Aprendizagem Significativa de David Ausubel (1988). A análise realizada nos livros didáticos teve como foco os seguintes registros de representação semiótica: a língua natural, o registro algébrico e a representação gráfica. Como estratégia, a pesquisadora analisou os tipos de conversões aplicadas nos exercícios resolvidos e nos exercícios propostos. A pesquisadora considera importante que o professor trabalhe, com os alunos, as definições de um sistema linear e também a reflexão a respeito do conjunto solução, ou seja, verificando que o conjunto solução deve satisfazer cada uma das equações propostas no sistema, com isso, dando sentido aos alunos do motivo da resolução do sistema. Em seu trabalho, é apresentada a verificação matemática da Regra de Cramer para um caso particular de resolução de sistemas lineares com três

38 36 equações e três incógnitas que foi adaptado pela autora de Paiva (1995, p ). Esta regra, segundo a pesquisadora, não é muito indicada para aplicação em sala de aula pelos pesquisadores em Educação Matemática, pelo motivo de envolver cálculos matemáticos muito longos e por sua aplicação ser limitada ao caso de sistemas com solução única e que têm o mesmo número de equações e incógnitas. Os documentos oficiais também sugerem não utilizar a Regra de Cramer para a resolução de sistemas lineares com três equações e três incógnitas: [...] Quanto à resolução de sistemas de equações 3X3, a regra de Cramer deve ser abandonada, pois é um procedimento custoso (no geral, apresentado sem demonstração, e, portanto de pouco significado para o aluno), que só permite resolver os sistemas quadrados com solução única. (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 38). Em seguida, a autora descreve outro algoritmo indicado para a resolução de sistemas lineares, o Método de Gauss ou Método do Escalonamento. Esse algoritmo é recomendado pelos documentos oficiais: [...] A resolução de sistemas 2X3 ou 3X3 também deve ser feita via operações elementares (o processo de escalonamento), com discussão das diferentes situações (sistemas com uma única solução, com infinitas soluções e sem solução). (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 26). Dentre os livros analisados, a pesquisadora destaca o Livro-2 como sendo um livro que trata o conteúdo matemático de forma inovadora, uma vez que sua proposta consiste na retomada do conteúdo matemático em diferentes abordagens. Analisando o conteúdo Sistemas Lineares, o livro faz uma retomada dos sistemas de duas equações e duas incógnitas, conteúdo já estudado no Ensino Fundamental, apresentando a seguir a resolução de um sistema linear de três equações e três incógnitas, e retoma a resolução dos sistemas lineares no estudo das matrizes e dos determinantes. Essa abordagem diferenciada vai ao encontro ao que é proposto nos documentos oficiais, como por exemplo, os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental - PCN (BRASIL, 1998). Em seu estudo, a pesquisadora ressaltou que as conversões entre os registros simbólico-algébrico e gráfico também são destacadas em documentos oficiais, como nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio:

39 37 No estudo de sistemas de equações, além de trabalhar a técnica de resolução de sistemas, é recomendável colocar a álgebra sob o olhar da geometria. (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 37). Com relação à retomada de conteúdos proposta pelos PCN do Ensino Fundamental, o Livro-1 e o Livro-2 abrangem esse quesito, revisando a resolução de sistemas de duas equações e duas incógnitas. Já o Livro-3, segundo a pesquisadora, começa apresentando o sistema com três equações e três incógnitas sem fazer a retomada do conteúdo já apresentado no Ensino Fundamental. Acreditando que os livros didáticos devam apresentar a História da Matemática, Battaglioli (2008) destaca que documentos oficiais defendem tal abordagem: Compreender a construção do conhecimento matemático como um processo histórico, em estreita relação com as condições sociais, políticas e econômicas de uma determinada época, de modo a permitir a aquisição de uma visão crítica da ciência em constante construção, sem dogmatismos ou certezas definitivas. (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 42). Os três livros analisados apresentam referências históricas dos sistemas lineares, mas a pesquisadora destaca que são muito superficiais, deixando de contribuir para a aquisição de conhecimento deste tema. Battaglioli (2008) destaca a importância do uso da informática em sala de aula, seguindo as recomendações dos documentos oficiais: Um outro elemento tecnológico de importância inegável é o computador. Num livro didático podem ser propostas atividades que empreguem o computador como meio auxiliar na aprendizagem de conceitos e procedimentos matemáticos, bem como atividades que auxiliem a formação do aluno para o mundo do trabalho. (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 44). Apesar disso, a pesquisadora observou que nenhum dos três livros analisados sugeria o estudo de sistemas lineares relacionando-o com o uso do computador. Pode-se concluir que, neste quesito em particular, esses livros didáticos não seguem as recomendações dadas pelos documentos oficiais. Com relação aos tipos de registros de representação semiótica abordados pelos livros analisados, a pesquisadora é amparada pelos documentos oficiais, que

40 38 afirmam a necessidade de trabalhar os diferentes tipos de registros relacionados aos conteúdos matemáticos. Podem ser utilizadas diferentes linguagens para representar os conteúdos: símbolos matemáticos, língua natural, desenhos, gráficos, ícones, etc. Esse tratamento diversificado é apontado, atualmente, como um fator muito importante para a compreensão dos conceitos e dos procedimentos matemáticos. (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 52). Segundo a autora, os três livros analisados apresentam poucas conversões de registros. As conversões que aparecem são apresentadas de forma muito tímida e limitam-se às transformações do registro da língua natural para o registro algébrico. Quanto à classificação dos sistemas lineares, a pesquisadora alerta sobre os erros que podem ocorrer com o uso do Método de Cramer. Por exemplo, o Livro-3 classifica os sistemas lineares utilizando somente esse método e, apresenta, equivocadamente, que quando um sistema possui os determinantes da Regra de Cramer iguais a zero (D=0, D x =0, D y =0, D z =0), tal fato implica que ele com certeza é um sistema como possível e indeterminado. Com isso, pode-se induzir o aluno a classificar os sistemas lineares de forma incorreta, tendo em vista que quando todos os determinantes são iguais a zero, pode-se afirmar, apenas, que o sistema não é determinado. As conclusões da pesquisadora revelam que as conversões tratadas nos livros didáticos são, na sua maioria, da língua natural para a representação algébrica. Ela detectou que apenas um exercício do Livro-1 apresentou uma situação em que o registro de partida era o registro algébrico e o registro de chegada era o da língua natural. Outra investigação feita por Battaglioli (2008) tratou da análise das consequências gráficas que ocorrem durante a realização de tratamentos no registro algébrico, em particular na resolução de sistemas lineares com três equações e três incógnitas, para os casos determinado, indeterminado e impossível. Ela forneceu uma proposta de trabalho utilizando o software Winplot e, em cada caso, foi feito o devido tratamento do sistema pelo método do escalonamento, comparando as etapas realizadas com as modificações ocorridas no registro gráfico. Battaglioli (2008) recomenda explorar mais o registro gráfico, pois ele facilitará tanto compreender o conjunto solução de um sistema linear com também classificá-

41 39 lo e discuti-lo quando necessário, utilizando como ferramenta de apoio o software Winplot. Partindo das evidências levantadas por Battaglioli (2008) e das indicações dos PCN, pretendemos fazer uma integração entre os diversos registros do conteúdo matemático Sistemas Lineares. Para essa integração, desejamos elaborar um experimento de ensino sobre essa temática, explorando as conversões entre representações dos registros gráfico, algébrico, numérico-tabular e da língua natural, nos ambientes papel e lápis e computacional, representado pelo software Winplot. Ainda, pretendemos fornecer situações que propiciem a investigação da relação entre o registro gráfico um sistema linear de duas equações e duas incógnitas e a análise da proporcionalidade dos coeficientes de suas equações. Pantoja (2008) realizou um estudo sobre Sistemas Lineares, com o objetivo de elaborar uma sequência didática, relacionando a resolução de sistemas lineares pelo Método da Substituição com o Método do Escalonamento. A pesquisadora afirmou que, na maioria das vezes, o ensino da Matemática provoca antipatia nos alunos, causada pelo fato de os objetos matemáticos tratados em sala de aula serem apresentados de forma fragmentada, não proporcionando ao estudante um relacionamento com os objetos aprendidos. Com relação a esta forma fragmentada de ensino, a pesquisadora destaca os documentos oficiais:... se os conceitos são apresentados de forma fragmentada, mesmo que de forma completa e profunda, nada garante que o aluno estabeleça alguma significação para as idéias isoladas e desconectadas umas das outras. Acredita-se que o aluno sozinho seja capaz de construir as múltiplas relações entre os conceitos e formas de raciocínio envolvidas nos diversos conteúdos; no entanto, o fracasso escolar e as dificuldades frente à matemática mostram claramente que isso não é verdade. (BRASIL, apud PANTOJA, p. 11). Acreditando que os objetos matemáticos sejam tratados de forma desconectada, a pesquisadora ainda cita que, na maioria das vezes, não há uma relação entre o mesmo objeto matemático quando este é apresentado ao aluno primeiramente no Ensino Fundamental e depois com maior profundidade no Ensino Médio, destacando, neste contexto, o objeto matemático sistemas lineares. Em sua pesquisa, Pantoja (2008) destaca que alguns livros didáticos tratam os conteúdos matemáticos de forma isolada, sem trazer relações entre os diversos

42 40 tópicos. Nesse contexto, a pesquisadora cita o livro de Gelson Iezzi et al. (2004), intitulado Matemática, ciência e aplicação, embora tal obra ainda apresente de forma contextualizada os conteúdos matemáticos por meio de situações problemas. Tratando da importância entre as conexões que devem existir entre os objetos matemáticos, a pesquisadora destaca Pais (2006) que diz: quanto mais intensas forem a interatividade e a articulação, mais significativa será a aprendizagem (PAIS, apud PANTOJA, 2008, p. 12). Em sua pesquisa, Pantoja (2008) busca: Construir e avaliar uma sequência de ensino que promova as articulações e integrações de saberes matemáticos em busca de verificar se tais conexões podem promover a aprendizagem de um objeto matemático. (PANTOJA, 2008, p. 13). A elaboração e o desenvolvimento dessa sequência didática buscou relacionar o Método da Substituição apresentado ao aluno no Ensino Fundamental com o Método do Escalonamento que é apresentado no Ensino Médio. Além disso, a autora procurou avaliar se essa relação favoreceria a conversão entre o registro simbólico-algébrico do Método da Substituição com o registro numérico do Método do Escalonamento, dado na forma matricial. A pesquisa de Pantoja (2008) foi fundamentada na teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval (1999), e apresentou dois tipos de representação de um Sistema de Equações Algébricas Lineares, o algébrico e o geométrico. Utilizando a metodologia da Engenharia Didática, Pantoja (2008) elaborou uma sequência de ensino sobre Sistemas Lineares, aplicando-a em uma turma de alunos do Ensino Médio de uma escola pública de Belém. A pesquisadora destacou que o diferencial de sua pesquisa estava no ponto que: trabalhamos a conexão entre a aplicação do Método da Substituição de representação algébrica, e o Método do Escalonamento, de representação matricial e aritmética (p ). Ela procurou investigar se os alunos realizariam a conversão do registro algébrico presente no primeiro método para o registro aritmético presente no segundo. Para Pantoja (2008) a resolução de um Sistema de Equações Lineares pode ser encontrada de quatro formas distintas, pelo método da substituição, pela regra de Cramer, por escalonamento e pelo processo gráfico.

43 41 A sequência didática elaborada por Pantoja (2008) foi aplicada a vinte e quatro alunos do Ensino Médio da Educação de Jovens e Adultos (EJA) durante três meses. Para dar início à pesquisa, foi apresentada aos alunos uma lista de problemas do 1º grau, que envolvia de uma até duas incógnitas para a sua resolução. Essa lista de problemas foi desenvolvida pelos alunos em grupos de quatro ou cinco sujeitos, com o objetivo de que houvesse uma colaboração entre eles na resolução dos problemas propostos. Mesmo em grupos, alguns alunos apresentaram algumas dificuldades na resolução dos problemas propostos. A pesquisadora destaca que essas dificuldades na resolução podem estar relacionadas a: 1 Dificuldade de comunicação em matemática; 2 Dificuldade com a leitura e interpretação dos problemas matemáticos apresentados; 3 Não domínio das quatro operações; 4 Alguns alunos não lembravam como se resolvia sistema aplicando o Método da Substituição; 5 Medo de errar, possível efeito da relação de poder existente em sala de aula; etc. (PANTOJA, 2008, p. 56). As dificuldades encontradas pelos alunos foram trabalhadas durante a realização da sequência didática, dando condições ao aprendizado do objeto matemático apresentado. As resoluções dos problemas propostos foram todas realizadas pelo Método da Substituição, com o objetivo de fornecer condições para que a partir desse método o aluno tivesse condições prévias para o estudo do Método do Escalonamento. Em sua pesquisa, Pantoja (2008) apresenta o Método da Substituição utilizando um Sistema Linear de três equações e três incógnitas, sendo esse sistema possível e determinado. Na sequência de sua pesquisa, é apresentado o Método do Escalonamento para a resolução do mesmo sistema utilizado para apresentar o Método da Substituição. Nesta situação, a pesquisadora apontou que o insucesso dos alunos aplicando o Método do Escalonamento estava no fato de os mesmos não dominarem as operações elementares para a manipulação das linhas do sistema apresentado. Esse fato foi observado na sala de aula da pesquisadora.

44 42 Segundo a autora, a resolução de sistemas pelo Método do Escalonamento na forma matricial perde o sentido para o aluno. Como o objetivo do estudante era encontrar o valor das incógnitas do sistema apresentado, essas não eram utilizadas na resolução do sistema pelo Método do Escalonamento na forma matricial e sim apenas os coeficientes dessas incógnitas, tornando a resolução do sistema por esse método sem significado para o aluno. A sequência didática elaborada pela pesquisadora envolvia problemas de aplicação do cotidiano apresentados no registro da língua natural, que deveriam ser resolvidos aplicando o Método da Substituição com a manipulação de seus coeficientes, a fim de fazer uma relação com o Método do Escalonamento. Após a pesquisadora analisar as resoluções dos alunos e discutir com eles sobre as dificuldades encontradas em relação à conversão da língua natural para a representação algébrica dos problemas propostos, foi notada uma melhora no aprendizado por parte dos alunos, pois ao final de cada resolução dos problemas propostos, havia uma discussão sobre os valores encontrados. Tal fato permitiu a análise dos significados dados às respostas encontradas pelos grupos após resolverem os sistemas. A pesquisadora propôs vários problemas aos grupos, que mostraram habilidade na conversão da língua natural para a representação algébrica. Conforme a teoria de Duval, para a aprendizagem de um objeto matemático, é necessário efetuar com sucesso a coordenação de pelo menos dois registros distintos. A pesquisadora propõe aos alunos expressarem as relações existentes entre os coeficientes de um sistema linear genérico, mas inicialmente os alunos encontraram dificuldades para expressar as relações existentes entre os coeficientes de um sistema linear algébrico, devido ao fato de os cálculos envolverem apenas letras. Com a intervenção do professor em sala de aula, os alunos determinaram as relações existentes entre os coeficientes de um sistema linear. A seguir, a pesquisadora elaborou com os alunos uma relação entre os coeficientes de um sistema genérico 4x4 que temos a seguir:

45 43 Figura 2 Representação no Registro simbólico-algébrico de um sistema linear 4X4 Fonte: PANTOJA, 2008, p. 86 Na sequência, foi proposta aos alunos, a elaboração, sem o auxílio do professor, das relações existentes entre os coeficientes dos sistemas genéricos 2x2 e 3x3. Após a elaboração dessas relações, os alunos aplicaram-nas na resolução de um problema proposto pela pesquisadora. Após a análise das resoluções apresentadas pelos alunos, ficou evidente para a pesquisadora que os mesmos conseguiam resolver o problema proposto usando as relações existentes entre os coeficientes dos sistemas. Após a resolução de outros sistemas lineares utilizando apenas os seus coeficientes, foi dito aos alunos que esse método de resolução, utilizando apenas os coeficientes do sistema, é conhecido como Método do Escalonamento. Com isso, foi possível fazer uma relação entre os dois métodos apresentados, dando um significado ao Método do Escalonamento que utiliza um tratamento aritmético partindo do Método da Substituição, o qual utiliza um tratamento algébrico. Pantoja (2008) destaca que: [...] o uso das relações sem a devida atenção de que estas se originam no Método da Substituição, podem gerar dificuldades [...] (p.90). Uma das dificuldades citadas pela pesquisadora foi verificada quando propôs a c 1 aos alunos o sistema a b 2 que, pela ausência de algumas incógnitas nas b c 3 equações, induziu os alunos ao erro, como vemos a seguir:

46 44 Figura 3 Resolução apresentada por um grupo de alunos Fonte: PANTOJA, 2008, p. 90 Mais uma vez foi necessária a intervenção do professor, que discutiu com os sujeitos sobre a ausência dessas incógnitas, afirmando que, nesses casos, o valor de seus coeficientes é zero. Reiniciando novamente a resolução do sistema anterior, os alunos obtiveram a solução desejada. A pesquisadora destaca que os alunos não tiveram dificuldades em aplicar o Método do Escalonamento para a resolução do sistema anterior, ao contrário, eles aplicaram o método de forma correta, mas utilizaram os coeficientes de forma incorreta. Pantoja (2008) afirma que a resolução de sistemas lineares por meio do cálculo do determinante não possui nenhum significado para o aluno, sendo este procedimento realizado de forma mecânica. A sequência didática de Pantoja (2008) demonstrou aos alunos uma conexão entre o Método do Escalonamento, que é apresentado aos alunos no Ensino Médio, com o Método da Substituição, que é apresentado aos alunos no Ensino Fundamental, dando significado a esse novo método. Pantoja (2008) também apontou que em alguns momentos da pesquisa os alunos apresentaram dificuldades nas conversões entre registros. Segundo a pesquisadora, tais dificuldades foram decorrentes da insegurança dos alunos em realizar algumas manipulações com os sistemas e, nestes momentos de bloqueio, era realizada uma intervenção do professor. Mediante as evidências apontadas por Pantoja (2008), pretendemos elaborar um experimento de ensino sobre Sistemas

47 45 Lineares, estabelecendo conexões entre os diferentes registros empregados nesse objeto matemático, com o auxílio de um recurso computacional. Freitas (1999) realizou uma pesquisa sobre o objeto matemático sistemas lineares parametrizados, com o objetivo de diagnosticar como os alunos ao final do Ensino Médio relacionavam as soluções desse tipo de sistema com a sua representação gráfica. A pesquisadora destacou os trabalhos de Machado (1996), que em suas conclusões afirmou que os alunos têm dificuldades em realizar conversões em duplo sentido entre os registros gráfico e algébrico, o que dificulta o entendimento da resolução dos sistemas lineares. Ela também utilizou como base o trabalho de Bianchini (1995), que apontou os erros mais frequentes apresentados pelos alunos para a resolução de sistemas lineares, sendo eles: o aluno encontra a solução algébrica, mas não faz a verificação; procura a solução algébrica, quando só se pede a gráfica (o que decorre, sem dúvida, do fato do ensino usual ser voltado principalmente para o quadro algébrico); confunde parâmetro e incógnita: este parece ser um ponto crucial na resolução de sistemas, já que o índice de acerto, na questão que exigia esse conceito, foi de apenas 3%; outros tipos de erros aparecem, tais como: de cálculo aritmético e algébrico, de método, gráfico, etc.... (BIANCHINI, apud FREITAS, 1999, p. 09). A pesquisadora também recordou que os sistemas lineares são tratados na 6ª série do Ensino Fundamental, momento em que os alunos obtêm um primeiro contato com o registro gráfico de retas. Esse conteúdo é retomado na 7ª série, sendo que na 8ª série e no 1 ano do Ensino Médio o tratamento com gráficos é embasado no conceito de funções do primeiro grau. A pesquisadora afirmou que os métodos aplicados para a resolução de sistemas lineares não representam fontes de dificuldades para os alunos, desde que eles tenham familiaridade com os mesmos. Mas nos sistemas lineares parametrizados, apenas com a aplicação de um método de resolução, o aluno não obtém direto o conjunto solução, com isso, há a necessidade da discussão do conjunto em função de um parâmetro, o que necessita de algum tipo de interpretação. A autora classifica um parâmetro como implícito, quando utilizado para a representação de infinitas soluções de um sistema possível e indeterminado e como explícito, se aparecer como um coeficiente desconhecido de uma das incógnitas do sistema, implicando na modificação do tipo de solução.

48 46 Freitas (1999) elaborou sua pesquisa embasada em teorias da Didática da Matemática Francesa e em outras pesquisas que abordaram o tema, presentes em sua revisão bibliográfica. Para a elaboração do questionário que foi respondido pelos alunos, e para fundamentar seu trabalho, ela utilizou a teoria de registros de representação semiótica de Raymond Duval. Freitas (1999) também utilizou a noção de quadro proposta por Régine Douady, que é apresentada em sua teoria como um elemento facilitador para a compreensão de um objeto matemático. Douady (1984) faz a seguinte definição de quadro:... constituído de objetos de um ramo da matemática, das relações entre os objetos, de suas formulações eventualmente diferentes e das imagens mentais associadas a esses objetos e suas relações. Essas imagens desempenham um papel essencial como ferramenta dos objetos do quadro. Dois quadros podem comportar os mesmo objetos e diferir pelas imagens mentais e pela problemática desenvolvida. (DOUADY, apud FREITAS, 1999, p ). Como exemplo de quadros, Freitas (1999) cita os dos sistemas lineares e o da geometria analítica. A metodologia de pesquisa adotada por Freitas (1999) foi constituída pelos princípios da Engenharia Didática. Inicialmente a pesquisadora realizou um estudo epistemológico do conceito de sistemas lineares e analisou três livros didáticos do 2 grau (atualmente Ensino Médio) para observar como o assunto era tratado. Em seguida ela aplicou, em sua sala de aula, uma atividade sobre sistemas lineares a uma amostra de quarenta e cinco alunos de uma escola particular, com o objetivo de mapear as possíveis dificuldades encontradas por estes estudantes. Por fim, ela elaborou cinco questões e as aplicou para um grupo de vinte e oito alunos do ensino público. Apresentando de forma resumida, em seu estudo epistemológico a autora concluiu que, apenas no final do século XIX, foi possível estabelecer a resolução de todos os sistemas lineares, o que pode representar uma fonte de análise das dificuldades atuais dos estudantes. Como segunda etapa, Freitas (1999) analisou os seguintes livros didáticos:

49 47 Designação Título / Série / Autor / Editora / Ano Livro-1 Livro-2 Exercícios de Matemática: Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares vol. 5 Álvaro Zimmermann Aranha e Manoel Benedito Rodrigues Policarpo 1993 Os elos da matemática vol.2, 2ª edição Rokusaburo Kiyukawa, Carlos Tadaschi Shigekiyo e Kazuhito Yamamoto Ática 1992 Livro-3 Matemática na escola do 2 grau Antonio da Silva Machado Atual 1996 Tabela 1 Relação de livros didáticos analisados Fonte: Adaptado de FREITAS (1999) A autora observou que o Livro-1 trata o objeto matemático sistemas lineares estabelecendo apenas regras, e são apresentados vários conceitos como termo independente e incógnita sem a preocupação de explicá-los. Nos exercícios também é proposta a análise de parâmetros, sem existir qualquer explicação do seu significado. Nesta obra, não foi encontrada a exploração de representação gráfica ou conversão envolvendo esse registro. Por fim, ela concluiu que essa obra não apresenta articulação dos sistemas lineares com outras áreas do conhecimento, privilegiando apenas a memorização e a aplicação de regras de resolução. O Livro-2 tem o cuidado de retomar temas estudados pelo aluno nas séries anteriores, enfatizando os conceitos que serão necessários para acompanhar o assunto a ser abordado. É realizada uma revisão de equação linear e em seguida é apresentada uma definição formal dos sistemas lineares, caracterizando as incógnitas, termos independentes e coeficientes de um sistema linear. Na parte teórica, não existe um aprofundamento da aplicação dos sistemas lineares em outras áreas do conhecimento, apresenta-se, de maneira superficial, apenas uma aplicação à Física. Ainda, a classificação dos sistemas lineares é realizada apenas algebricamente. Nos exercícios propostos, Freitas (1999) destaca que sempre existe uma tarefa que procura ligar a matemática com o cotidiano do aluno.

50 48 O Livro-3 introduz o conteúdo de sistemas lineares definindo equações lineares e, na sequência, fornece explicações sobre coeficientes, incógnitas e termo independente. É apresentada a solução genérica para uma equação indeterminada. Nesta obra, Freitas (1999) observou que se procura explorar uma abordagem na língua natural, evitando o simbolismo matemático, e a classificação de um sistema linear é apresentada através de exemplos resolvidos. Há uma associação dos sistemas lineares com as matrizes e determinantes e, após essa associação, todos os sistemas apresentados são quadrados. O Livro-3 possui uma seção que apresenta a discussão de um sistema linear em função de um parâmetro k. No entanto, não menciona em nenhum momento o registro gráfico, limitando-se apenas ao tratamento algébrico. Freitas (1999) concluiu que nenhum dos três livros analisados faz qualquer relação dos sistemas lineares de ordem dois ou três com o registro gráfico, e que de acordo com a pesquisadora, isso pode prejudicar a aprendizagem do aluno, visto que:... o fato de se desenvolver esse assunto somente no quadro algébrico faz com que os alunos decorem técnicas sem compreender o significado de suas respostas. (FREITAS, 1999, p. 43). Como terceira fase, a pesquisadora propôs a uma turma de quarenta e cinco alunos de uma escola privada, durante uma aula de cinquenta minutos, duas questões, sendo uma sobre um sistema possível e indeterminado de três equações e três incógnitas, e outra envolvendo a análise de um sistema de duas equações e duas incógnitas, por meio de um parâmetro real. Essa turma já havia estudado a resolução dos sistemas lineares pelo método do escalonamento, bem como a discussão dos sistemas lineares parametrizados na forma algébrica durante um bimestre. Da análise dessa aplicação, a pesquisadora observou que os alunos não tiveram dificuldades em aplicar o método do escalonamento, mas constatou que, na discussão dos sistemas, os alunos obtiveram um baixo índice de acerto (15,5%). Segundo Freitas (1999), a utilização de abreviações SPD, SPI e SI, comumente usadas para a classificação dos sistemas lineares, pode ter dificultado a discussão de um sistema linear. Para Freitas (1999) a conversão do registro algébrico para o registro gráfico daria sentido à solução encontrada pelos alunos.

51 49 Na análise da segunda questão, Freitas (1999) concluiu que a idéia de parâmetro é compreendida pelos alunos de forma errônea, ocorrendo, inclusive, confusão entre parâmetro e incógnita. Foi constatado por Freitas (1999) que a introdução de um parâmetro num sistema linear proporciona grande dificuldade na sua resolução e discussão, isso pode ocorrer pelo fato de este tipo de tarefa ser pouco explorado se comparado com exercícios de sistemas lineares sem análise de parâmetros. Por fim, a pesquisadora aplicou um questionário em um tempo de cinquenta minutos a vinte e oito alunos de uma turma do terceiro ano do colegial (atual terceiro ano do Ensino Médio) de uma escola pública, sendo uma das finalidades a análise do desempenho dos alunos no estabelecimento de relações entre o registro simbólico e gráfico. Freitas (1999) concluiu que os seus sujeitos apresentaram dificuldades na representação gráfica de uma reta, em estabelecer uma identificação entre as representações algébrica e gráfica de uma reta, em identificar a classificação de um sistema linear a partir de sua representação gráfica e em analisar sistemas que envolvem parâmetros. Desse estudo, a autora concluiu que as dificuldades apresentadas pelos alunos para interpretar os resultados de um sistema linear podem ocorrer pelo fato de os livros didáticos privilegiarem algoritmos e, como sugestão para futuras pesquisas, ela indica a elaboração de experimentos de ensino que envolva o registro gráfico e o uso de software. Cury e Bisognin (2009) apresentaram uma pesquisa que investigou os erros apresentados por estudantes iniciantes de disciplinas matemáticas no ensino superior, analisando uma questão que envolvia o objeto matemático sistemas lineares. As pesquisadoras relataram que avaliações de nível estadual ou federal, como por exemplo, o Sistema Nacional de Avaliação de Educação Básica (SAEB), o Programa de Avaliação do Rendimento Escolar do Rio Grande do Sul (SAERS), dentre outros, avaliam as habilidades de estudantes em resolver problemas que têm relação com o objeto matemático sistemas lineares. Em suas investigações, as pesquisadoras tiveram como objetivos:

52 50 a) analisar e classificar erros cometidos por alunos ingressantes em disciplinas matemáticas de cursos superiores; b) elaborar e desenvolver atividades de sala de aula, para explorar as dificuldades detectadas; c) avaliar os resultados da experiência e a possibilidade de re-aplicação em diferentes IES. (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 3-4). Foi elaborada uma prova contendo doze questões que apresentavam conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental e Ensino Médio, na qual os alunos foram solicitados a apresentar o desenvolvimento das resoluções para as questões propostas. Partindo disso, foi realizada uma análise quantitativa e um estudo das produções oferecidas pelos estudantes. Dentre as doze questões que formavam o teste elaborado pelas pesquisadoras, foi escolhida para a análise nesse artigo a questão com maior quantidade de acertos, e que envolvia em sua resolução o objeto matemático sistemas lineares, a qual apresentaremos a seguir: O valor de dois carros de mesmo preço, adicionado ao de uma moto, soma R$ ,00. No entanto, o valor de duas dessas motos, adicionado ao de um carro do mesmo tipo, é de R$ ,00. A diferença entre o valor do carro e o da moto, em reais, é: a) b) c) d) e) (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 4). Foram analisadas as 138 resoluções apresentadas pelos estudantes na questão apresentada anteriormente. Para embasar a pesquisa desenvolvida, as autoras analisaram quatro livros que tratavam do objeto matemático sistemas lineares, para avaliar de que maneira ele era abordado nos diferentes níveis. Do ensino fundamental foram selecionadas as obras de Dante (2002) e de Bigode (2002) e do ensino superior as obras Anton e Busby (2006) e Lay (1999). A escolha dos livros do ensino fundamental se deu por serem os mais utilizados em sala de aula pelos estudantes do curso de licenciatura da UNIFRA 4, onde as pesquisadoras lecionavam. A seleção dos livros do ensino superior também ocorreu pelo fato de eles serem os mais utilizados na instituição em que as pesquisadoras atuavam nas aulas de Álgebra Linear. 4 (UNIFRA) Centro Universitário Franciscano, com sede na cidade de Santa Maria, no estado do Rio Grande do Sul. Fonte: < Acesso em 13 out

53 51 As pesquisadoras constataram que a diferença da abordagem do objeto matemático sistemas lineares apresentado nos livros do Ensino Fundamental e no Ensino Superior está na linguagem e na profundidade na qual o tema é abordado. Com isso, elas analisaram as habilidades que os estudantes já deveriam ter desenvolvido no Ensino Fundamental. Cury e Bisognin (2009) também trataram da conceitualização dos termos sentido de símbolo e estrutura apresentados pelos pesquisadores Fey (1990) e Arcavi (2005), e Dreyfus e Hoch (2004) respectivamente, apresentados no PME 5. Essa conceitualização segundo as pesquisadoras, foram necessárias para a análise das produções apresentadas pelos alunos, para avalizar: Se o aluno se dá conta da estrutura interna do sistema, ou seja, se vê qual método é mais indicado para cada caso (substituição, adição ou, ainda, o uso dos princípios aditivo e multiplicativo para obter equações equivalentes que podem ser solucionadas pelos métodos anteriores), a resolução vai trazer menos dificuldades e gerar menos erros. (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 10). Na pesquisa realizada por Cury e Bisognin (2009) prevaleceu um enfoque qualitativo ao analisar as resoluções apresentadas pelos estudantes, seguindo os processos de Bardin (1979). Essa análise foi desenvolvida em três etapas, denominadas pré-análise, exploração do material e tratamento dos resultados. A questão sobre sistemas lineares que destacamos anteriormente obteve o maior índice de acerto, sendo de sessenta e quatro por cento. As respostas apresentadas pelos alunos foram classificadas em quatro grupos denominados por A, B, C e D. No grupo A, os estudantes conseguiram observar que o problema poderia ser resolvido por um sistema de equações, conseguindo expressar e resolver o sistema encontrado de maneira correta, obtendo a resposta certa. O grupo B foi composto por estudantes que conseguiram notar que o problema poderia ser resolvido por um sistema de equações lineares, expressando de forma correta, mas não apresentando a resposta correta. Neste caso, eles tentaram resolver o sistema, mas cometeram algum erro durante a resolução. 5 (PME) International Group for the Psychology of Mathematics Education. Fonte: < Acesso em 13 out

54 52 Já no grupo C estavam às produções dos estudantes que observaram que se tratava de um problema que envolvia sistema de equações, expressando de forma correta o sistema, mas sem apresentar o conhecimento necessário para resolvê-lo. E finalmente o grupo D foi formado pelas produções dos alunos que não conseguiram modelar o problema. Após a análise das produções dos alunos, as pesquisadoras apresentaram a seguinte tabela: Figura 4 Distribuição das resoluções por categorias Fonte: CURY e BISOGNIN (2009), p. 13 Dentre as 138 resoluções analisadas por Cury e Bisognin (2009), foi realizada uma nova análise, classificando os erros apresentados pelos estudantes que formavam o grupo C. Essa classificação foi composta por seis tipos de erros que os estudantes apresentaram na resolução do sistema de equações. Vale lembrar que nesse grupo, os estudantes conseguiam modelar o problema proposto em um sistema de equações, mas não conseguiam resolvê-lo. As pesquisadoras destacaram que uma das dificuldades apresentadas pelos estudantes estava relacionada ao controle e uso de símbolos. Segundo Cury e Bisognin (2009): Essa habilidade de transformar uma situação dada em linguagem discursiva em um sistema de equações lineares é um passo anterior a qualquer manipulação algébrica que venha a ser feita na resolução e, pelas nossas experiências com problemas de Cálculo Diferencial (por exemplo, taxas relacionadas ou otimização), temos notado que essa é a primeira dificuldade que o calouro apresenta na sua resolução. (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 17).

55 53 Cury e Bisognin (2009) ressaltam que os estudantes deveriam demonstrar facilidade para a resolução do problema proposto, que conforme a análise dos livros do Ensino Fundamental, essa habilidade é ampliada desde a 6ª série. As autoras observaram que os estudantes não possuíam o sentido de símbolo e de estrutura, pois não conseguiam distinguir os métodos necessários para a resolução do problema nem suas operações admissíveis. Segundo as pesquisadoras, tal dificuldade pode se tornar uma barreira aos estudantes ingressantes no Ensino Superior que cursarão disciplinas matemáticas, conforme relatam a seguir. consideramos como evidências claras de falta de sentido da estrutura aquelas produções em que os estudantes têm dificuldades em utilizar o princípio multiplicativo para determinar equações equivalentes que, somadas, permitem cancelar termos semelhantes e isolar uma das incógnitas. (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 18). Com isso, Cury e Bisognin (2009) consideraram não ser satisfatório apenas assinalar os erros cometidos pelos estudantes em sistemas de avaliações estaduais ou federais, sem realizar um debate das possíveis causas que levaram os estudantes a esses erros. Com a possibilidade de realizar novas pesquisas, as autoras conjecturaram que: [...] talvez possamos estabelecer relações entre a forma de ensinar um determinado conteúdo (como equações e sistemas de equações lineares) e as produções dos estudantes ao resolver problemas sobre tal conteúdo. É com esse objetivo que procuramos, neste texto, trazer os conceitos de sentido do símbolo e sentido da estrutura e aproximá-los às resoluções de um sistema de equações, apresentadas por alunos ingressantes em cursos universitários que já deveriam ter domínio desse conteúdo e das habilidades necessárias para a resolução do problema. (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 19). Apresentaremos, a seguir, pesquisas que trataram do ensino de Matemática envolvendo recursos computacionais. Borba e Penteado (2005) discutem os problemas levantados pelos docentes com a introdução da informática no ensino da Matemática. Um dos problemas apresentados pelos pesquisadores é que o uso do computador em sala de aula tornaria o aluno um ser dependente da máquina, que o aluno apenas realizaria os comandos solicitados pelo computador e, com isso, deixaria de desenvolver o

56 54 raciocínio matemático. Para Borba e Penteado (2005), essa visão ocorre porque, na maioria das vezes, o uso do computador não é apresentado de forma clara para a resolução de um problema. Nesse ponto de vista, Borba e Penteado (2005) acreditam ser necessário e de direito do aluno o acesso à informática. Os pesquisadores justificam a iniciação da informática na educação a partir de duas necessidades. A primeira trata da alfabetização tecnológica (p.17), que se refere à maneira de acesso a essa nova mídia e como introduzi-la em atividades fundamentais como, por exemplo, para aprender a contar, entender gráficos, ler, dentre outros aspectos. Com isso, Borba e Penteado (2005) ressaltam que:... a informática na escola passa a ser parte da resposta a questões ligadas à cidadania. (p.17). A segunda justificativa refere-se ao fato de possibilitar a todos o ingresso ao uso do computador, que segundo os pesquisadores: [...] o acesso à informática na educação deve ser visto não apenas como um direito, mas como parte de um projeto coletivo que prevê a democratização de acesso a tecnologias desenvolvidas por essa mesma sociedade. (BORBA e PENTEADO, 2005, p. 17). Os pesquisadores também revelam que a grande maioria dos livros didáticos apresenta o estudo de funções privilegiando o registro algébrico. Para Borba e Penteado (2005), o realce deste tipo de registro está ligado à dificuldade encontrada para gerar diversos gráficos em um ambiente onde se encontra o uso predominante do lápis e do papel. Esses autores fazem referência a outros pesquisadores que ressaltam a importância de apresentar e relacionar as diferentes representações algébrica, gráfica e tabular de uma mesma função para facilitar ao aluno o conhecimento de funções. E para a organização desse diferentes tipos de representações, Borba e Penteado (2005) ressaltam que: Essa nova abordagem só ganha força com ambientes computacionais que geram gráficos vinculados a tabelas e expressões algébricas. (p. 32). Os pesquisadores enfatizam que o uso de tecnologias em sala de aula permite uma discussão entre as conjecturas dos alunos que podem ser sustentadas

57 55 ou rejeitadas com a troca de ideias entre os alunos e o professor, fortalecendo assim o aprendizado. Após essa troca de opiniões o professor poderá também refletir sobre o desenvolvimento da atividade em sala de aula e observar quais foram os pontos positivos mais relevantes durante a atividade e se adequações são necessárias para que a mesma possa ser colocada em sua prática nos anos seguintes. A inserção da tecnologia em sala de aula também contribui na mudança do ensino tradicional, que normalmente parte da teoria para depois chegar a um ponto de investigação. Com a tecnologia é possível inverter essa estratégia, ou seja, partir de uma situação de investigação para depois chegar à teorização de um objeto matemático. Borba e Penteado (2005) destacam que o uso de novas mídias não acabará com as já utilizadas, isto é, a utilização do computador em sala de aula não vai exterminar o uso do quadro negro e do giz, os pesquisadores conjecturam que haverá uma reorganização na utilização dessas mídias, mas não o seu fim. Com isso, o papel dos educadores é contribuir para o ligamento dessas novas tecnologias no ensino da Matemática, e transformar o usual ensino tradicional em um ensino inovador com a utilização de novas mídias. Diante deste cenário, há a necessidade de realizar inovações na prática docente para a utilização do computador em sala de aula, uma vez que tais inovações contribuem para a ampliação do conhecimento tanto do professor quanto do aluno, que segundo Borba e Penteado (2005): [...] ao caminhar em direção à zona de risco, o professor pode usufruir o potencial que a tecnologia informática tem a oferecer para aperfeiçoar sua prática profissional. Aspectos como incerteza e imprevisibilidade, geradas num ambiente informatizado, podem ser vistos como possibilidades para desenvolvimento: desenvolvimento do aluno, desenvolvimento do professor, desenvolvimento das situações de ensino e aprendizagem. (BORBA e PENTEADO, 2005, p. 66). Os pesquisadores alertam que apenas a utilização do computador não acabará com o problema existente no processo ensino e aprendizagem, ressaltando que: [...] a entrada da mídia informática na escola não é a salvação dos problemas pedagógicos, e também sua chegada não paralisa o debate sobre propostas pedagógicas. (p. 88). Apesar disso, os pesquisadores conjecturam que um trabalho envolvendo professor e aluno dispostos a inovarem a prática docente e a prática discente, respectivamente, possa contribuir no processo de ensino e aprendizagem

58 56 com a utilização de novas mídias, proporcionando um crescimento cognitivo para todos os envolvidos. Segundo Boeri e Silva (2011), um tópico muito pesquisado na atualidade relacionado ao processo de ensino-aprendizagem em sala de aula e que ainda origina grande perturbação entre os educadores é o uso do computador em sala de aula. A utilização dos recursos computacionais no ensino de Matemática, segundo estes pesquisadores, possibilita formar um aluno ativo e participativo na construção do conhecimento, trazendo influências significativas para a sua aprendizagem. A utilização do computador nas aulas de Matemática contribui para que o educando perceba esta disciplina de forma mais abrangente e integral, mediando e contribuindo para o seu desenvolvimento lógico e cognitivo. (BOERI; SILVA, 2011, p. 2). O objetivo da pesquisa de Boeri e Silva (2011) consistiu em apontar quais as contribuições significativas que ocorrem no processo ensino-aprendizagem com a utilização da informática em sala de aula para o ensino da Matemática. Segundo os pesquisadores, a escola deve acompanhar os avanços tecnológicos que ocorrem na sociedade, e os professores devem introduzir em sua prática em sala de aula o uso do computador, uma vez que diversos alunos já estão familiarizados com a sua utilização por possuírem acesso facilitado a este recurso. Para os pesquisadores, há duas abordagens vinculadas à utilização da informática em sala de aula. Uma delas é a abordagem construcionista de Papert (1991), apoiada nas teorias de Piaget, na qual o professor desempenha o papel de mediador, auxiliando os alunos nos momentos que julgar necessário. Nessa abordagem a informática é tratada como um recurso para a formação de alunos críticos, que buscam refletir e analisar as suas falhas, compartilhando a construção do conhecimento com a utilização de ferramentas computacionais. A segunda abordagem é a instrucionista, na qual o papel principal no processo de ensino-aprendizagem pertence ao computador. O papel do professor nesta abordagem é conduzir os alunos a pensar sobre os conceitos que estão sendo apresentados no computador. O aluno é um elemento passivo, que desenvolve atividades de maneira mecânica, com ênfase apenas na memorização de atividades, aplicando o computador como um acessório no ensino habitual.

59 57 Segundo os pesquisadores, devem-se deixar nítidos os objetivos reais que se pretende alcançar com o uso do computador em sala de aula, para não tornar a sua utilização um modismo ou algo automatizado. Boeri e Silva (2011) evidenciam profissionais entusiasmados com o uso de ferramentas computacionais no ensino de Matemática, mas, por outro lado, há aqueles que possuem uma visão descrente quanto a essa utilização. Segundo os pesquisadores, esses últimos são cativos ao ensino tradicional, onde o professor possui um papel autoritário e o aluno um papel passivo no processo ensinoaprendizagem, ou têm insegurança na utilização dos computadores ou ainda estão acomodados, acreditando não haver necessidade de aperfeiçoamento tanto no seu conhecimento pessoal quanto na renovação de metodologia em sala de aula. Eles ressaltam que diversos objetivos podem ser atingidos com o uso do computador nas aulas de Matemática, dentre eles, o desenvolvimento do pensamento lógico e a possibilidade de propor aos alunos uma reflexão diante dos seus erros, permitindo que o mesmo seja um sujeito ativo no processo ensinoaprendizagem. Hoje, mais do que nunca, é preciso desenvolver no educando a competência de obter e utilizar informações por meio do computador, contribuindo para a sua formação consciente e capacitando-o a entender e atuar melhor na sociedade em que vive. (BOERI; SILVA, 2011, p. 7). Dentre as contribuições do uso da informática no processo de ensino e aprendizagem de Matemática, segundo Boeri e Silva (2011), destacam-se a possibilidade de o aluno assumir um papel mais ativo durante a aprendizagem e o favorecimento da visualização de um objeto matemático de uma forma dinâmica e precisa, colaborando assim para a confecção de traçados de imagens, como, por exemplo, a exploração de conceitos de geometria que envolve julgamentos sobre reflexão, lugar geométrico, translação, dentre outros. A pesquisa realizada por Souza et al. (2011) apresenta experiências elaboradas e realizadas pelo Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID) instituído na Universidade Federal de Goiás, que dentre as atividades realizadas para o ensino de Matemática, encontra-se a utilização do software Winplot no ensino fundamental e no médio.

60 58 Segundo os pesquisadores, há uma grande necessidade de inovar o ensino da Matemática, para que o aluno se torne um sujeito participativo no processo de aprendizagem, pois, enquanto o aluno estiver passivo nesse processo, ocorrerá um grande desinteresse para o seu aprendizado. Para realizar essa inovação, Souza et al. (2011) sugerem a utilização de ambientes voltados a utilização de recursos computacionais, que segundo os pesquisadores: Nesse ambiente é possível despertar o interesse para a aprendizagem dos conceitos matemáticos e desenvolver as habilidades cognitivas e intelectuais do aluno. (SOUZA et al., 2011, p. 3). Os ambientes informatizados sendo trabalhados de forma bem planejada poderão favorecer o aluno no processo ensino-aprendizagem da Matemática, motivando-o a fazer investigações e ser um sujeito crítico e participativo nesse processo. Além das vantagens proporcionadas ao aluno, o professor também será compensado, uma vez que a utilização de ambientes informatizados exige do docente uma preparação mais aprofundada tanto no conteúdo matemático a ser tratado em sala de aula, quanto na utilização de softwares relacionados a esse conteúdo. Desta forma, assim como o aluno, o professor também terá um maior desenvolvimento cognitivo. Segundo Souza et al. (2011), a escolha por um software livre, identificado pelos autores como aquele que pode ser usado, estudado, redistribuído e modificado com algumas restrições (Sousa e Silva, 2007, p. 1 apud Souza et al., 2011, p. 4) poderá facilitar a utilização do ambiente informatizado, pois além de ser acessível, não exige investimentos financeiros para a sua utilização. O software Winplot está inserido no contexto de softwares livres, podendo ser utilizado tanto no ensino básico quanto no superior. As experiências relacionadas à utilização do software Winplot foram aplicadas a aproximadamente oitenta alunos do nono ano do ensino fundamental e primeiro e segundo anos do ensino médio em uma escola pública de Goiás no ano de Os conteúdos eram tratados a princípio pela professora em sala de aula e a seguir os alunos retomavam esses conteúdos com a utilização do software Winplot. Os alunos realizavam a construção de gráficos e analisavam suas características como: declividade da reta para funções do primeiro grau; zeros da função, vértice da parábola, entre outras características para as funções do segundo

61 59 grau. As atividades foram realizadas em duplas, o que colaborou para a troca de conhecimento entre os alunos. Ao final das atividades, os alunos responderam um questionário que tinha por objetivo analisar quais as suas impressões com o uso de novas tecnologias. Após a análise dos dados, Souza et al. (2011) observaram que os alunos ficaram satisfeitos com as aulas que utilizaram os recursos tecnológicos e destacaram que este tipo de ambiente colaborou para a melhoria do ensino e aprendizagem da Matemática. Com relação à utilização do software Winplot, os alunos o consideraram muito importante, pois ele contribuiu para a retenção de conteúdos matemáticos e facilitou a construção dos gráficos propostos pelos pesquisadores. Souza et al. (2011) concluíram que o uso do computador em sala de aula pode contribuir para o ensino da Matemática, despertando o interesse do aluno para a aprendizagem. Os autores ressaltam a possibilidade das tecnologias contribuírem para a aprendizagem, uma vez que estão acessíveis a maior parte dos alunos e que são, na maioria das vezes, utilizadas por eles para diversão. Os autores destacam que o software Winplot possibilitou aos alunos a visualização e a conversão entre os registros gráficos e algébricos, ou seja, a possibilidade da animação dos gráficos a partir da variação dos parâmetros, possibilita a visualização de um objeto tanto na representação algébrica quanto na representação gráfica. (SOUZA et al, 2011, p. 5). Souza et al. (2011) finalizam seu trabalho ressaltando que futuros professores ou mesmo professores formadores devem procurar novas formas para ministrar suas aulas, sendo uma dessas formas relacionada à utilização de novas tecnologias em sua prática, buscando despertar no aluno o interesse de ampliar o seu conhecimento cognitivo e de ter uma participação mais íntegra na sociedade na qual está inserido. Mota e Laudares (2011) realizaram um estudo sobre questões que envolveram figuras e equações relacionadas a planos, cilindros e quádricas, destacando a necessidade de inovar o processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Para isso, eles sugeriram a inclusão de ferramentas informatizadas. Foi elaborada uma sequência didática que envolvia os objetos matemáticos citados anteriormente, com o objetivo de proporcionar aos alunos habilidades de visualizar e representar planos, cilindros e quadráticas. Apesar de o objeto matemático desses autores não coincidir com o de nosso estudo, optamos por analisar essa pesquisa

62 60 pelo fato de ela integrar os mesmos ambientes, no caso, as mídias "papel e lápis" e Winplot, estabelecendo relações entre representações gráficas e algébricas. A escolha do Winplot por estes autores se deu pelo fato de originar fácil visualização dos objetos matemáticos tratados em sua pesquisa, e por proporcionar um trabalho com várias representações. Com este estudo, Mota e Laudares (2001) tiveram por objetivo investigar: como a habilidade de visualização das figuras espaciais: planos, cilindros e quádricas contribuem para o desenvolvimento do pensamento geométrico? como a utilização das seções transversais das superfícies podem facilitar o traçado do esboço das mesmas? como a articulação entre as representações algébricas e geométricas pode contribuir para o desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem de plano, cilindros e quadráticas na disciplina Geometria Analítica; de que forma a utilização das mídias lápis e papel e do software contribui para o desenvolvimento da habilidade de visualização de figuras tridimensionais? (MOTA e LAUDARES, 2011, p. 3). Mota e Laudares (2011) destacam que os estudantes conferem um significado a um determinado objeto matemático de forma progressiva, a partir do momento em que conseguem observar suas regularidades, construindo assim uma generalização desse objeto matemático. Para estes autores, uma das maneiras de observar essa regularidade em objetos matemáticos que estão associados à Geometria é proporcionar a sua visualização, conforme apontado pelos pesquisadores: Destacamos que a visualização é uma aptidão que está relacionada com a habilidade de gerar uma imagem mental, promover diversas transformações com objetos e reter alterações produzidas sobre o mesmo. (MOTA e LAUDARES, 2011, p. 3). Os pesquisadores destacam que a utilização de softwares relacionados à geometria dinâmica muito contribuem para o aprendizado, pois facilitam a visualização de figuras no plano e no espaço através da experimentação, explorando as alterações das figuras com a utilização do software. A escolha pelo software Winplot se deu justamente pelo fato de o mesmo proporcionar essa exploração. Segundo Mota e Laudares (2011):

63 61 A integração da mídia computacional com o traçado utilizando lápis e papel traz possibilidade de uma melhor compreensão das figuras nos vários espaços, possibilitando, ainda, uma melhor interpretação da equação referente à mesma. (MOTA e LAUDARES, 2011, p. 4). A sequência elaborada pelos pesquisadores contou com elementos teóricos de Zabala (1998). Neste caso, uma sequência didática é concebida como uma maneira de encadear e articular as diferentes atividades ao longo de uma unidade didática, de forma que se tenha uma análise e possibilidade de intervenção para execução das mesmas. (MOTA e LAUDARES, 2011, p. 4). Essa sequência didática foi aplicada a uma turma de graduação em Licenciatura em Matemática, na disciplina de Geometria Analítica, na qual um dos pesquisadores era o professor dessa disciplina. Foram explorados os significados de parâmetros e o que esses parâmetros influenciavam na representação gráfica dessas equações. Os pesquisadores solicitavam aos alunos para construírem a representação no registro gráfico de uma dada função que envolvia os objetos matemáticos de sua pesquisa com a utilização da mídia "papel e lápis". Em seguida, eles deveriam realizar, após as devidas orientações, a mesma atividade com o auxílio do software Winplot, comparando, em seguida, os resultados encontrados entre as duas mídias. Após a realização de algumas atividades, os pesquisadores notaram que os estudantes conseguiram relacionar a representação algébrica e o significado de um parâmetro com a sua representação no registro gráfico utilizando a mídia "papel e lápis". Os estudantes se mostraram mais seguros para realizar as representações das figuras, uma vez que, sempre que necessário, recorriam ao uso do software para comparar os resultados encontrados na mídia "papel e lápis". Mota e Laudares (2011) ressaltam que, ao fazer as relações existentes entre a representação algébrica com a representação gráfica, os alunos tiveram uma evolução cognitiva compreendendo melhor os conceitos de Geometria Analítica, disciplina que interage a equação com a figura, e que o tratamento da representação figural com o auxílio do software colaborou para minimizar as dificuldades apresentadas pelos estudantes na construção de gráficos em três dimensões. Os pesquisadores ainda comprovaram que a interação entre as mídias possibilitou uma diversificação na sequência didática proposta (MOTA E LAUDARES, 2011, p. 11) e os resultados obtidos com a aplicação da sequência

64 62 didática, que tinha como objetivo integrar a utilização de ferramentas informatizadas com a mídia "papel e lápis", apontaram para uma aprendizagem mais eficaz. Fonseca e Júnior (2011) realizaram uma pesquisa com alunos do período noturno do segundo ano do Ensino Médio de uma escola pública da periferia de Uberlândia, no estado de Minas Gerais. O estudo tratou da aplicação de novas tecnologias ao ensino utilizando Objetos de Aprendizagem, e procurou investigar as possíveis contribuições que o uso desses recursos poderia fornecer no processo de aprendizagem da Matemática e da inclusão digital. Os pesquisadores ressaltaram que a maioria dos alunos convive com o uso de novas tecnologias no trabalho ou em casa, e para a sua utilização em sala de aula, destacam o uso de Objetos de Aprendizagem, que foram produzidos por Universidades por meio da Rede Interativa Virtual de Educação (RIVED). Para Fonseca e Júnior (2011), além de inserir as novas tecnologias nas escolas, faz-se necessária uma política estável que contribua com a habilitação dos professores para o uso desses recursos. A equipe engajada para a realização dessa pesquisa foi formada por um professor da área de Matemática da escola na qual foi realizada a pesquisa, por três alunos do curso de Licenciatura em Matemática e mais dois pesquisadores. Um dos aspectos que norteou a realização dessa pesquisa consistiu na verificação da viabilidade de aplicação de um projeto envolvendo novas tecnologias em uma escola de periferia, na qual são encontradas situações adversas. Para a elaboração dos dados dessa ação foram analisados relatórios e questionários desenvolvidos pelos pesquisadores e professores-estagiários, além de documentos motivadores concebidos pela escola para a elaboração de um laboratório de informática. Os pesquisadores ressaltaram que a pesquisa foi desenvolvida de forma colaborativa entre todos os envolvidos, organizada em projetos, com o uso do laboratório de informática, a fim de investigar se existia familiaridade ou não por parte dos alunos para o uso de novas tecnologias. Com isso os pesquisadores destacaram que:

65 63 Quanto aos ambientes informatizados de aprendizagem na escola, temos que a sala de aula é a referência mais viva na concepção de ambientes de aprendizagem para professores e alunos. Nessa perspectiva, quando levamos o computador ou qualquer outra tecnologia para seu interior, é possível ampliar as possibilidades de uma condução interacionista do processo educativo, uma vez que o uso dessas tecnologias favorece um trabalho pedagógico centrado na aprendizagem do aluno. (Fonseca e Júnior, 2011, p. 7). Para os pesquisadores, é necessária a utilização de novas tecnologias em sala de aula que possam contribuir para o ensino da Matemática como um instrumento motivador, em especial para os alunos do período noturno. Essa contribuição foi observada por um professor-estagiário que citou:... Alguns trabalhos estavam aquém do esperado, deixando muito a desejar nas duas turmas; mas o intrigante foi o resultado colhido com os alunos mais fracos das turmas. Eles tiveram nada menos que os melhores trabalhos apresentados, levando em conta também a apresentação. (Fonseca e Júnior, 2011, p. 7). Pereira (2011) realizou uma pesquisa com o objetivo de analisar as contribuições fornecidas pela utilização das Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC) nas aulas de Matemática do Ensino Fundamental. Foi uma pesquisa de caráter qualitativo, visando primeiramente analisar documentos e pesquisas relacionadas ao uso das Tecnologias da Informação e Comunicação na educação, para em seguida propor um curso para professores do ensino fundamental. A pesquisadora ressaltou a necessidade de agregar a utilização das tecnologias tanto no currículo escolar quanto nas práticas educacionais, propiciando ao aluno a participação da ação proposta para a sua aprendizagem, como também acrescentar aos cursos voltados para a formação de professores, a inclusão de métodos de ensino que utilizem as Tecnologias da Informação e Comunicação. Para Pereira (2011), o uso de novas tecnologias no ensino da Matemática faz-se necessário, pois essas ferramentas estão presentes no cotidiano do aluno, conforme destacado pela pesquisadora:

66 64 As novas linguagens dos meios de comunicação eletrônicos e das tecnologias, é algo real na vida das crianças e adolescentes. Cada vez mais se tornam parte ativa da construção das estruturas de pensamento das crianças e jovens, exigindo da escola novas práticas curriculares que consigam agregar elementos da cultura digital em seu projeto educativo, a fim de adentrar o universo do aluno e explorar esses mecanismos em prol da formação do sujeito (PEREIRA, 2011, p. 4). Após o levantamento de dados, a pesquisadora verificou que alguns fatores que impossibilitavam o uso das Tecnologias de Informação e Comunicação eram a incompatibilidade entre o número de computadores disponíveis nas escolas com o número de alunos por turma, a ausência de uma formação de professores com ênfase às práticas pedagógicas embasadas nas particularidades existentes em cada escola, além da falta de um suporte técnico adequado para a manutenção desses computadores. Com a análise desses dados, foi elaborado um curso prático no laboratório de informática aos professores, com o objetivo de proporcionar condições de pesquisar maneiras inovadoras para implantar o uso de novas tecnologias em sala de aula. Pereira (2011) apoia o uso das Tecnologias de Informação e Comunicação no ambiente escolar, ressaltando o compromisso do ensino com a formação do aluno para a sociedade: Precisamos criar condições para que o professor e a escola pensem e reflitam sobre o papel da escola e o ensino da Matemática na formação do individuo perante um contexto de uma sociedade da informação e comunicação, principalmente, levando em consideração a presença das tecnologias na vida das crianças e dos jovens. (PEREIRA, 2011, p. 8). No próximo capítulo apresentaremos a descrição e análise de alguns dos materiais de apoio pedagógico utilizados na rede estadual de ensino público do estado de São Paulo.

67 65 3 ANALISE DO CADERNO DO ALUNO E DOS LIVROS DIDÁTICOS Neste capítulo, apresentamos a descrição e a análise do Caderno do Aluno referente à 7ª série/8º ano Volume 3 do Ensino Fundamental, seguida da análise de três coleções de livros aprovados no PNLE-2011, referentes ao Ensino Fundamental Ciclo II. 3.1 O CADERNO DO ALUNO Vamos apresentar um breve relato do contexto histórico que culminou na criação da Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo. Para fazer esse relato, consultamos os documentos oficiais e as pesquisas de Pietropaolo (2005) e Magni (2011) Contexto histórico O Estado de São Paulo vem tomando iniciativas para uma reforma curricular, visando à melhoria do ensino. Partiremos de 1976, ano em que foram criados os Guias Curriculares do Estado de São Paulo. Segundo Pietropaolo (2005), em relação ao conteúdo matemático, os Guias Curriculares basearam-se em pesquisas referentes ao Movimento da Matemática Moderna, no qual a grande preocupação era tornar a Matemática mais acessível a todos. Novos trabalhos relacionados ao ensino da Matemática foram realizados ao final da década de 70 e começo da década de 80, destacando a Geometria Experimental e Atividades Matemáticas, este último conhecido como Ams. As Atividades Matemáticas marcaram época em São Paulo e foram responsáveis por muitas mudanças no ensino de Matemática nas séries iniciais. Influenciaram livros didáticos e foram objetos de pesquisas para algumas dissertações e teses (PIETROPAOLO, apud MAGNI, 2011, p. 34). Com a preocupação de oferecer acesso à escola a todas as crianças e jovens, em 1988, o Governo do Estado de São Paulo lançou a Proposta Curricular do Estado de São Paulo, sendo um de seus princípios a contraposição aos Guias

68 66 Curriculares, isto porque, enquanto a Proposta Curricular do Estado de São Paulo partia da ampliação cognitiva do aluno, empregando problemas relacionados ao seu cotidiano, nos Guias Curriculares o processo de ensino preocupava-se apenas com a própria Matemática como Ciência. (MAGNI, 2011, p. 36). Entre 1990 e 1994, o Governo do Estado de São Paulo lançou uma nova coleção, com o objetivo de melhoria do ensino de Matemática, a qual foi intitulada Experiências Matemáticas. Salienta-se que esta coleção ainda hoje é utilizada por alguns professores, dando suporte às aulas de reforço. Apesar do aumento do número de alunos matriculados no Estado de São Paulo e no Brasil como um todo, observou-se que não houve um aumento significativo nos índices que mediam o desempenho da educação. Com isso, foi sancionada, em dezembro de 1996, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB, lei 9394/1996), com o objetivo de deslocar o foco do ensino para a aprendizagem. Mas como seria impossível propor um currículo unificado em todo o Brasil, dadas as suas dimensões e sua diversidade cultural, no mesmo ano de 1996, foram propostos os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), os quais continham a proposta de um conjunto básico de competências a serem desenvolvidas pelos alunos para o exercício da cidadania. (BRASIL, 1997, p. 70) 6. Maria Inês Fini, coordenadora geral do projeto São Paulo faz escola da época da implantação da proposta, informou, em entrevista 7, que a nova gestão da Secretária de Estado da Educação de São Paulo realizou, em julho de 2007, uma análise cuidadosa da educação no Estado, sendo o dado mais relevante dessa análise a deficiência de desempenho dos alunos, surgindo, assim, a necessidade de uma nova Proposta Curricular. Em 2008, o Governo do Estado de São Paulo realizou uma nova proposta para a educação, intitulada Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo. Conforme o então Secretário da Educação Paulo Renato Souza citou no texto introdutório do Caderno do Professor, a maior preocupação não era apenas oferecer acesso à escola a todas as crianças e jovens, preocupação que existia em A 6 Disponível em: < 7 Disponível em: < pfe2009>

69 67 maior preocupação, segundo o secretário, deveria ser a melhoria da qualidade de ensino para todos. O Caderno do Aluno integra a nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo que foi implantada em toda rede estadual de ensino público em Este caderno foi elaborado pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, e é utilizado como apoio pedagógico pelos professores das escolas estaduais desse estado. Esses cadernos foram organizados por disciplinas e por bimestres e, a seguir, apresentamos os conteúdos referentes ao terceiro bimestre dos quatro anos finais do Ensino Fundamental, dado o foco de nosso estudo. Figura 5 Conteúdos referentes ao terceiro bimestre dos quatro anos finais do Ensino Fundamental Fonte: SÃO PAULO, Conteúdos de Matemática por série e bimestre do Ensino Fundamental Ciclo II (Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática /Coord. Maria Inês Fini. São Paulo : SEE, p. 54)

70 Análise do caderno do aluno 7ª série/8º ano volume 3 do Ensino Fundamental A escolha e análise deste caderno se deram pelo fato de que o mesmo aborda o objeto matemático sistemas lineares, o qual representa o objetivo de nossa pesquisa. A Situação de Aprendizagem 3 8 trata do objeto matemático sistemas de equações lineares. Basicamente, no início são apresentados alguns problemas, cujas resoluções recaem em sistemas lineares de duas equações com duas incógnitas. A seguir são apresentados dois algoritmos para a resolução de sistemas lineares, sendo eles o método da adição e o método da substituição. Após a resolução de um sistema linear por algum dos métodos escolhido pelo próprio aluno, o mesmo é direcionado através de vários questionamentos, a verificar se os resultados encontrados satisfazem o problema proposto inicialmente. Por fim, são trabalhadas as interpretações gráficas de sistemas lineares e suas classificações. Apresentaremos situações que refletem a ordem como esse conceito é conduzido, de acordo com a análise do caderno. No início, é apresentado o seguinte problema ao aluno: Figura 6 Problema apresentado no registro da língua natural Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 30 Neste caso, o aluno passa a conjecturar a respeito das soluções possíveis para o problema proposto. Em seguida, solicita-se que efetue a conversão entre o registro da língua natural presente no enunciado do problema para o registro algébrico. Na sequência, é solicitada ao aluno a construção de uma tabela com as informações do problema citado anteriormente. Com isso, o aluno realiza a conversão do registro da língua natural para o registro numérico-tabular. Analisando 8 O Caderno do Aluno que integra a nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo apresenta quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4) que almejam delinear o enfoque indicado, colaborando com a ação do professor na sala de aula.

71 69 a tabela, o aluno poderá verificar que o sistema é indeterminado, pois é possível observar que existe mais de uma solução que satisfaz o problema proposto. A seguir, complementa-se o mesmo problema com a seguinte informação: João é 4 anos mais velho que Maria (São Paulo, 2009, p. 31). Com essa nova informação, é solicitada ao aluno a elaboração de uma nova equação incluindo a informação dada. Partindo da análise da tabela construída, o aluno pode concluir que agora existe uma solução determinada para o problema, isto é, há um único par de valores que satisfaz as duas equações. Dando sequência ao problema descrito inicialmente, ao aluno são apresentadas mais duas questões para serem acrescidas, em momentos distintos, à informação inicial do problema, referente à soma das idades de João e Maria. Primeiramente, acrescenta-se a informação de que a idade de João é o triplo da idade de Maria e, a seguir, que a idade de Maria é o dobro da idade de João. No primeiro caso, avaliando os dados da tabela, o aluno pode concluir que a solução será 21 anos para João e 7 anos para Maria. Já no segundo caso, o aluno pode verificar que sua tabela não contém um par de números inteiros que satisfaça a questão proposta. Para finalizar o estudo referente ao problema proposto, ao aluno é solicitado encontrar o valor possível que satisfaz a última informação, referente ao fato da idade de Maria ser o dobro da idade de João. Assim, o aluno é conduzido a resolver o problema algebricamente, sem o auxílio da tabela, encontrando como resposta números racionais não inteiros. Para a introdução do método da substituição, é realizada uma analogia com uma balança de dois pratos. O objetivo é determinar a massa de dois objetos desconhecidos de formas diferentes que são discriminados por x e y, sendo dados dois objetos com massas conhecidas. É apresentada ao aluno uma sequência de duas figuras, que representam as medidas realizadas nas balanças de dois pratos. Em uma das situações, são apresentadas as figuras seguintes:

72 70 Figura 7 Representação de uma equação no registro figural Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 34 Figura 8 Representação de uma equação no registro figural Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 35 Para cada figura, é solicitada ao aluno a representação algébrica das medições realizadas para descobrir a massa dos dois objetos x e y. Com isso, o aluno deverá converter o problema proposto do registro figural para o registro simbólico-algébrico, sendo informado ao aluno que a estratégia utilizada para a resolução do problema, isto é, a troca de valores equivalentes de uma incógnita para determinar o seu valor, é denominada método da substituição. Ao aluno é proposto um novo problema que apresentamos a seguir. Figura 9 Problema apresentado no registro da língua natural Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 36 Na sequência, ao aluno é proposto escrever duas equações, uma para representar o gasto de André no consumo de um refrigerante e dois mistos, e outra para expressar o gasto de Júlia, referente ao consumo de um misto e um

73 71 refrigerante. Neste caso, é proposta uma conversão da língua natural para o registro simbólico-algébrico. A seguir, pede-se ao aluno para calcular a diferença entre estas duas equações. Isso leva o aluno a encontrar o valor do misto que é de R$2,50 e, posteriormente a encontrar o valor do refrigerante, que é R$1,60. Em seguida, é apresentado ao aluno um exercício contendo quatro sistemas lineares propostos no registro simbólico-algébrico, cuja resolução envolvia tratamentos neste registro e conversões deste para o registro numérico. O método indicado ao aluno para sua resolução é o da adição, mas, ao contrário do que ocorre com o método da substituição, em nenhum momento anterior ao exercício proposto é mencionado, no caderno do aluno, o que significa ou como é realizado esse método. Isso ocorre apenas no caderno do professor. A seguir, discute-se qual o melhor método de resolução, sendo solicitada ao aluno a resolução de mais quatro sistemas lineares, deixando ao mesmo a escolha do método que julgar mais conveniente. Visando a construção da solução gráfica de um sistema, na atividade seguinte é apresentado um novo problema no registro da língua natural, que temos a seguir: Figura 10 Representação de uma equação no registro figural Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 40 Espera-se que o aluno converta o problema acima para o registro algébrico e em seguida preencha duas tabelas relacionadas ao mesmo, as quais apresentamos a seguir: Tabela I Figura 11 Conversão de registro na língua natural para o registro numérico-tabular Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 40

74 72 Tabela II Figura 12 Conversão de registro na língua natural para o registro numérico-tabular Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 41 Depois de preenchidas, o aluno deverá procurar um par de valores para x e y que satisfaz as equações encontradas. Prosseguindo a atividade, é apresentado ao aluno um plano cartesiano onde deverão ser indicados os pontos que foram encontrados nas tabelas I e II, para verificar que o ponto comum entre as duas retas, isto é, o par ordenado (8,4), é a solução do problema. Por fim, no último item desta atividade, o aluno é questionado se é possível ligar os pontos do plano cartesiano por uma reta conforme as condições propostas no início da atividade. Na sequência, é apresentada outra atividade, semelhante à mencionada anteriormente, que possui os mesmos objetivos, estabelecendo uma relação entre os registros da língua natural, algébrico, numérico-tabular e gráfico. Na última atividade da Situação de Aprendizagem 3, é proposta ao aluno a associação da classificação de sistemas lineares (possível e determinado, possível e indeterminado e impossível), dadas as representações gráficas de duas retas concorrentes, coincidentes ou paralelas, conforme apresentamos a seguir:

75 73 Figura 13 Representação no registro gráfico de um sistema linear e sua classificação Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 46 Posteriormente são apresentadas três atividades em que o aluno deverá resolver, relacionar e classificar os sistemas propostos conforme as soluções encontradas, relacionando os diferentes tipos de registros algébrico, gráfico e numérico-tabular. Ressaltamos que, na maioria dos casos, o caderno do aluno é um material de apoio que necessita da condução do professor, uma vez que nem todas as definições e procedimentos são apresentados. Por exemplo, o método da adição é explicitado apenas no caderno do professor e o mesmo ocorre com a relação entre as representações gráficas e as classificações de um sistema linear.

76 74 Notamos, na abordagem do caderno, uma preocupação em tratar o objeto matemático explorando as relações entre representações de diferentes registros. Apesar disso, em nenhuma das atividades propostas, é solicitada ao aluno a análise da existência ou não de proporcionalidade entre os coeficientes para avaliar sua classificação. Ainda, o caderno não apresenta qualquer proposta de utilização de recursos computacionais. Salienta-se que recursos de geometria dinâmica permitem ao estudante uma autonomia de exploração, favorecendo um trabalho de levantamento e de validação de conjecturas e de exploração de relações entre registros. Com isso, entendemos que nossa proposta representará um cenário diferenciado para o processo de ensino e aprendizagem do objeto matemático sistemas lineares de duas equações a duas incógnitas, representando um complemento às práticas já existentes neste domínio. 3.2 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS No capítulo 2, apresentamos o trabalho de Battaglioli (2008), a qual entende que os livros didáticos representam um importante suporte para os professores de Matemática. Reforçando essa afirmação, Trentin (2006) realizou uma pesquisa qualitativa e interpretativa fundamentada nos pressupostos de Erickson (1989). Nela, apontou que o avanço de uma pesquisa requer que o pesquisador esteja envolvido no ambiente de observação e que possua afinidades com os cooperadores da pesquisa. Trentin (2006) investigou a contribuição do livro didático para a formação da identidade de um professor de Matemática. Neste contexto, ele afirmou que o livro didático... representava o portador de verdades indiscutíveis tanto sobre a matemática, enquanto uma ciência, quanto aos assuntos e serem ensinados e, inclusive, em relação à ordem de encadeamento dos mesmos. (TRENTIN, 2006, p. 153). Assim, Trentin (2006) comentou que o livro didático... ocupa uma posição de destaque na prática social de um professor de Matemática. (TRENTIN, 2006, p. 150). Por termos uma visão compatível com esses pesquisadores em relação aos livros didáticos, procuramos investigar como três dentre as dez coleções aprovadas

77 75 no Programa Nacional do Livro Didático de 2011 PNLD/2011 tratavam do conteúdo de sistemas lineares. Nesta análise, foram descritos os principais registros de representação semiótica, bem como as conversões desenvolvidas nos exercícios resolvidos e nos propostos referentes ao objeto matemático sistemas lineares, segundo a teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval (1995, 2003, 2006). Além disso, investigamos se as coleções também sugeriam o uso de tecnologias no ensino desse objeto matemático. Além de a seleção dessas obras ter ocorrido pelo fato de serem indicadas no PNLD/2011, a escolha de uma delas ocorreu em função de ela ser utilizada na escola onde foi aplicado o nosso experimento. Já as outras duas obras foram escolhidas por serem utilizadas em escolas pertencentes à mesma região da instituição na qual foi realizada a pesquisa. Com isso, poderíamos observar com quais tipos de registros semióticos e conversões os nossos sujeitos já haviam tido contato. A seguir, apresentamos as coleções que foram analisadas em nossa pesquisa, acompanhadas das resenhas segundo o Guia dos Livros Didáticos: PNLD GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. A conquista da matemática. Edição Renovada São Paulo: FTD, Segundo o Guia dos Livros Didáticos, a coleção apresenta diversos textos relacionados à história da Matemática que contribuem com a contextualização dos conteúdos abordados. Em alguns assuntos há a ausência de justificativas para algumas generalizações, e existe o uso excessivo de nomenclatura. Os conteúdos são apresentados de maneira formal, dando destaque à habilidade de cálculo, com a aplicação de regras e algoritmos. RIBEIRO, J. S. Projeto Radix: Matemática. São Paulo: Scipione, (Coleção Projeto Radix). 9 Disponível em:

78 76 Essa coleção, segundo o Guia dos Livros Didáticos, apresenta os conteúdos pausadamente nos dois primeiros anos, depois um trabalho exagerado dos conteúdos nos dois últimos anos. A coleção apresenta textos que tratam de várias situações, relacionando o assunto abordado com a realidade do aluno. A coleção também apresenta muitas ilustrações como tabelas, fotografias entre outros, o que beneficia o estudo dos conteúdos. Estes são apresentados primeiramente por um texto que favorece ao aluno a formulação de conjecturas, sendo descritos na sequência, esquemas que contribuem na compreensão dos procedimentos. Em alguns casos são apresentadas regras de forma muito direta, em destaque na álgebra. SOUZA, J. R; PATARO, P. R. M. Vontade de saber matemática. São Paulo: FTD, Segundo o Guia dos Livros Didáticos, essa coleção apresenta contextualizações dos conteúdos matemáticos, acompanhadas de textos interdisciplinares. Na maioria das vezes os conteúdos matemáticos são revisados de forma periódica, mas em alguns casos, são tratados de forma superficial, tornando a abordagem repetitiva. Os conceitos matemáticos são apresentados com a ajuda de atividades que envolvem contextos atuais, que contribuem para a elaboração de conjecturas pelos alunos. A seguir, apresentamos uma tabela com as respectivas designações dos livros analisados, sendo uma das coleções subdividida em dois livros:

79 77 Designação Livro-1 Livro-2 Livro-3 Livro-4 Coleção GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. A conquista da matemática, 7º ano Edição Renovada São Paulo: FTD, GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. A conquista da matemática, 8º ano Edição Renovada São Paulo: FTD, Tabela 2 Designação dos livros analisados.. RIBEIRO, J. S. Projeto Radix: Matemática, 8º ano. São Paulo: Scipione, (Coleção Projeto Radix). SOUZA, J. R; PATARO, P. R. M. Vontade de saber matemática. 8º ano. São Paulo: FTD, Visando mapear os conhecimentos dos sujeitos de nossa pesquisa, constatamos, ao questioná-los, que eles estudaram o conteúdo de sistemas lineares utilizando, além do Caderno do Aluno do Estado de São Paulo, a obra indicada como A conquista da matemática, dos autores José Ruy Giovanni, Benedicto Castrucci e José Ruy Giovanni Júnior, da editora FTD. No Currículo do Estado de São Paulo, o objeto matemático sistema linear é um conteúdo a ser tratado na 7ªsérie/8ºano do Ensino Fundamental. Em especial, o Livro-1, destinado à 6ªsérie/7ºano, apresenta uma unidade dividida em duas partes, que trata do objeto matemático sistemas lineares. Em geral, na exposição teórica desta obra, são explorados os registros algébrico e da língua natural. Apresentamos, na tabela 2, a tabulação do tipo de registro presente nos enunciados dos exercícios propostos e resolvidos, referente à primeira parte que trata do objeto matemático sistemas lineares presente no Livro-1. Registro Exercícios resolvidos Exercícios propostos Algébrico 4 8 Gráfico - - Língua Natural - 4 Figural - 1 Tabela 3 Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios - Livro-1 - Primeira parte..

80 78 Os quatro exercícios resolvidos foram apresentados no registro algébrico, com resolução envolvendo apenas tratamentos no interior do mesmo. Nos exercícios propostos, avaliando as conversões indicadas explicitamente nos enunciados das questões, observamos quatro exercícios propostos no registro da língua natural com conversão para o registro algébrico e um exercício proposto no registro figural com conversão para o registro algébrico. A resolução dos oito exercícios propostos restantes envolvia apenas tratamentos no registro algébrico. Na segunda parte, são apresentados dois métodos para a resolução de um sistema de duas equações, o primeiro é o método da substituição e o segundo o método da comparação. Nessa exposição teórica, os registros presentes são o algébrico e a língua natural. A tabela, a seguir, apresenta a tabulação dos registros presentes na segunda seção: Registro Exercícios resolvidos Exercícios propostos Algébrico 4 5 Gráfico - - Língua Natural 1 8 Figural - - Tabela 4 Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios - Livro-1 - Segunda parte.. Todos os exercícios resolvidos apresentados no registro algébrico envolveram tratamentos no interior desse registro, e o exercício resolvido proposto na língua natural envolveu a conversão para o algébrico. Dos exercícios propostos, oito indicavam a conversão da língua natural para o algébrico. Os cinco exercícios propostos no registro algébrico envolviam tratamentos no interior deste registro. No final da unidade que trata de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas, é apresentada uma seção com o título Retomando o que aprendeu, a qual, segundo o Guia dos Livros Didáticos, é uma composição de todos os conteúdos da unidade. A seção apresenta treze exercícios de múltipla escolha, sendo oito propostos no registro da língua natural, quatro no registro algébrico e um no registro figural. Dos trezes exercícios apresentados nessa seção, oito indicavam a conversão da língua natural para o registro algébrico, os cinco no registro

81 79 algébrico envolveram tratamentos no interior desse registro e um indicava a conversão do registro figural para o registro algébrico. Considerando todos os exercícios resolvidos e propostos no Livro-1 sobre o objeto matemático sistema linear, obteve-se a seguinte tabulação: Registro Quantidade de exercícios resolvidos e propostos Algébrico 27 Gráfico - Língua Natural 21 Figural - Tabela 5 Análise dos registros presentes nos enunciados dos exercícios - Livro-1.. Pode-se notar que o Livro-1 privilegia os registros algébrico e da língua natural, não inserindo em sua abordagem registros do tipo monofuncional não discursivo. Tal fato também foi apontado por Battaglioli (2008) em sua análise do conteúdo de sistemas lineares em obras de ensino médio, a qual apontou que as conversões tratadas eram, na sua maioria, da língua natural para a representação algébrica, privilegiando principalmente o registro algébrico. Observamos que o Livro-1 não indica o uso de recurso computacional para apoiar a construção do conhecimento do objeto matemático sistemas lineares. O capítulo sete do Livro-2 tem como título sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas (p. 172). No início desse capítulo são apresentados três problemas na língua natural. No primeiro problema, é proposta a conversão da língua natural para o registro figural, conforme se pode observar na figura a seguir:

82 80 Figura 14 Problemas na língua natural apresentados no Livro-2. Fonte: (GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. 2009, p. 172). Os autores mostram que o trabalho com o registro figural não traz economia de tratamento e, com isso, propõem outra forma de resolução, buscando o registro algébrico. Em geral, na exposição teórica do livro 2, os registros mais presentes são o da língua natural e o algébrico. Na seção de exercícios sobre sistema de equações, o Livro-2 apresenta nove exercícios resolvidos, os seis primeiros solicitam que se verifique se um dado par ordenado (x,y) satisfaz cada uma das equações. Para os três seguintes, é apresentado um sistema linear de duas equações e duas incógnitas, relacionado com o primeiro problema da figura 2, no qual se verifica que, desses três exercícios com pares ordenados (x,y) apresentados, apenas um é solução do sistema. A seguir, o Livro-2 apresenta seis exercícios propostos, sendo que o primeiro solicita, de forma explícita, a conversão do registro da língua natural para o registro algébrico. Nos cinco exercícios seguintes são apresentados sistemas lineares no registro algébrico, acompanhados de um par ordenado (x,y), para que se verifique se ele satisfaz o sistema.

83 81 Para a resolução de um sistema de duas equações e duas incógnitas, o Livro- 2 apresenta inicialmente o método da substituição. São descritos dois problemas resolvidos no registro algébrico, e um exercício proposto com oito itens, todos no registro algébrico. Em seguida é apresentado o método da adição com três exercícios resolvidos e seis exercícios propostos, todos envolvendo tratamentos no registro algébrico. Há no Livro-2 uma seção com o título Resolvendo problemas (p. 186), onde são apresentados, na língua natural, dois exercícios resolvidos, seguidos de treze exercícios propostos, todos no registro da língua natural, sendo esperado que a resolução se dê envolvendo conversões da língua natural para o registro algébrico. Na próxima seção do Livro-2, são apresentados, no registro algébrico, dois exercícios resolvidos de sistema de equações com coeficientes fracionários, seguidos de quatro exercícios propostos, sendo dois no registro algébrico, envolvendo tratamentos no interior desse registro, e dois no registro da língua natural, envolvendo conversões para o registro algébrico. Na seção Retomando o que aprendeu, encontram-se oito exercícios propostos de múltipla escolha, sendo cinco no registro da língua natural, envolvendo a conversão para o registro algébrico, e três no registro algébrico, com resoluções envolvendo tratamentos neste registro. Na seção do Livro-2, que trata da resolução de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas, apresentamos a seguinte tabulação: Registro Exercícios resolvidos Exercícios propostos Algébrico Gráfico - - Língua Natural 3 21 Figural - - Tabela 6 Tipo de registro presente nos enunciados dos exercícios - Livro-2.. Considerando todos os exercícios resolvidos e propostos no Livro-2 sobre o objeto matemático sistema linear, obteve-se a seguinte tabulação:

84 82 Registro Quantidade de exercícios resolvidos e propostos Algébrico 35 Gráfico - Língua Natural 24 Figural - Tabela 7 Análise dos registros presentes nos enunciados dos exercícios - Livro-2.. No Livro-2, nota-se a predominância do registro algébrico, seguido do da língua natural. Conjecturamos que o fato de não existir exploração dos registros gráfico e figural poderá causar prejuízos para o ensino do objeto matemático sistemas lineares, como foi observado por Pantoja (2008). Em sua pesquisa, os alunos apresentaram dificuldades em realizar conversões entre registros quando um deles era não-discursivo. Com relação ao uso de recursos computacionais, notamos que no Livro-2, não há menção de uso de software. O Livro-3 inicia o estudo de equações do primeiro grau com duas incógnitas, apresentando um exercício resolvido dado na língua natural, envolvendo uma conversão para o registro algébrico. Nesta situação, encontra-se o sistema linear x y 8. A seguir, ele apresenta uma tabela com os possíveis valores para cada x y 2 uma das equações, destacando que apenas para os valores de x igual a cinco e y igual a três, as duas equações são satisfeitas. Logo em seguida são apresentados quatro exercícios propostos, sendo o primeiro no registro algébrico, dois na língua natural e um no registro figural. A proposta é que todos esses exercícios sejam resolvidos por tentativas com o auxílio de uma tabela. Dando continuidade ao estudo do objeto matemático sistemas lineares, o Livro-3 apresenta um exercício resolvido, dado na língua natural, e na sequência o seguinte sistema linear relacionado a este problema 2x y 220, utilizando o x y 26 método da substituição para resolvê-lo. Após o exercício resolvido, o Livro-3 apresenta doze exercícios propostos, sendo o primeiro no registro algébrico, formado por seis itens, envolvendo apenas tratamentos no interior desse registro, e onze no registro da língua natural. Desses onze exercícios, três são de múltipla escolha, e um pede para relacionar quatro itens

85 83 no registro da língua natural com quatro sistemas no registro algébrico. Os demais exercícios propostos na língua natural, envolveram conversões desta para o registro algébrico. A seguir, o Livro-3 apresenta três exercícios resolvidos, sendo um envolvendo a conversão do registro da língua natural para o algébrico e os outros dois envolvendo tratamentos no registro algébrico, e para resolver esses exercícios indica-se o método da adição. Na sequência são apresentados nove exercícios propostos, sendo dois no registro algébrico totalizando quatorze itens, todos envolvendo tratamento no interior desse registro. Há um exercício no registro figural que envolve a conversão para o registro algébrico, e seis exercícios apresentados no registro da língua natural, sendo dois de múltipla escolha, onde se espera que a resolução seja dada por conversão para o registro algébrico. A partir de nossa análise, obtivemos a seguinte tabulação: Registro Exercícios resolvidos Exercícios propostos Algébrico 2 4 Gráfico - - Língua Natural 3 19 Figural - 2 Tabela 8 Tipo de registro presente nos enunciados dos exercícios - Livro-3.. Analisando todos os exercícios resolvidos e propostos no Livro-3, sobre o objeto matemático sistema linear, obteve-se a seguinte tabulação: Registro Quantidade de exercícios resolvidos e propostos Algébrico 6 Gráfico - Língua Natural 22 Figural 2 Tabela 9 Análise dos registros presentes nos enunciados dos exercícios - Livro-3.. Pode-se observar que a quantidade de exercícios no registro da língua natural é superior à quantidade de exercícios no registro algébrico, mas vale destacar que no total foram vinte e seis itens representados no registro algébrico. Neste caso, concluiu-se que esse livro privilegia o registro do tipo multifuncional discursivo e

86 84 propõe conversões da língua natural para o algébrico. Nota-se que este livro pouco explora registros não discursivos, uma vez que de um total de trinta exercícios, apenas dois são propostos no registro figural e nenhum no registro gráfico. O Livro-3 não indica o uso de recurso computacional como ferramenta de apoio na construção do conhecimento do objeto matemático sistemas lineares. O Livro-4 apresenta um exercício resolvido envolvendo quatro tipos de registros. Primeiro apresenta o enunciado na língua natural e, em seguida, faz a x y 12 conversão para o registro algébrico, apresentando o seguinte sistema. x 2y 3 Em seguida, ele sugere que se façam tentativas para resolver o sistema, com isso apresentando um registro numérico-tabular, determinando, assim, como solução do sistema, o par ordenado (9,3). Por fim, é apresentado o registro gráfico do sistema anterior, destacando o ponto de intersecção entre as duas retas como solução do sistema proposto, apresentando a seguinte afirmação: Quando as retas que representam graficamente um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas são concorrentes, dizemos que esse sistema tem uma única solução, que corresponde às coordenadas do ponto em que as retas se cruzam (SOUZA e PATARO, 2009, p. 142). Dando continuidade ao estudo de sistemas lineares, o Livro-4 apresenta mais dois exercícios resolvidos no registro algébrico, sendo o primeiro sistema dado por x y 3. Na sequência é apresentada uma tabela com alguns valores para as x y 2 incógnitas x e y, seguida da afirmação de que não é possível determinar valores para x e y que satisfaçam as duas equações. É apresentado no registro gráfico o sistema linear anterior formado por duas retas paralelas, acompanhado da seguinte afirmação: Quando as retas que representam graficamente um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas são paralelas, dizemos que esse sistema não tem solução. (SOUZA e PATARO, 2009, p. 142). O segundo exercício resolvido, apresenta o seguinte sistema linear x y 2 e, seguindo as etapas do exemplo anterior, é apresentada a seguinte 2x 2y 4 afirmação:

87 85 Quando as retas que representam graficamente um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas são coincidentes, dizemos que esse sistema tem infinitas soluções, que correspondem às coordenadas de cada ponto dessas retas (SOUZA e PATARO, 2009, p. 142). Nesta abordagem, nota-se a preocupação de tratar o objeto matemático nos registros algébrico, numérico-tabular e gráfico, seguindo esta ordem de conversão. Após os exercícios resolvidos mencionados anteriormente, são apresentados treze exercícios propostos, sendo três no registro algébrico, um relacionando o registro da língua natural com o registro algébrico, cinco no registro da língua natural, dois relacionando o registro algébrico com o registro gráfico, um pedindo a representação no registro gráfico de sistemas apresentados no registro algébrico, e outro relacionando a representação no registro gráfico de duas retas concorrentes com a solução do sistema. O Livro-4 apresenta na sequência um exercício resolvido na língua natural e exibe o método da substituição para resolvê-lo. A seguir são apresentados três sistemas lineares no registro algébrico para expor o método da adição, sendo dois acompanhados do registro gráfico. No final da seção do Livro-4, que trata do objeto matemático sistemas lineares, tem-se quinze exercícios propostos, sendo dois no registro algébrico com quatro itens cada um, nove na língua natural, dois com a conversão explicita do enunciado do registro algébrico para o registro gráfico, um no registro figural, e o último requisitando a elaboração de um problema no registro da língua natural. A partir de nossa análise, obtivemos a seguinte tabulação: Registro Exercícios resolvidos Exercícios propostos Algébrico 3 5 Algébrico e Gráfico 2 6 Língua Natural 2 14 Língua Natural e Algébrico - 2 Figural - 1 Tabela 10 Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios do Livro-4.. Analisando todos os exercícios resolvidos e propostos no Livro-4 sobre o objeto matemático sistema linear, obtivemos a seguinte tabulação:

88 86 Registro Quantidade de exercícios resolvidos e propostos Algébrico 8 Algébrico e Gráfico 8 Língua Natural 16 Língua Natural e Algébrico 2 Figural 1 Tabela 11 Tipo de registro presente nos exercícios do Livro-4.. Desta forma, conclui-se que o Livro-4 aborda o objeto matemático sistema linear com a preocupação de diversificar os registros e, consequentemente, as conversões entre eles. No Livro-4 não há menção de uso de recurso computacional. Por esta análise, concluímos que os Livros 1 e 2 tratam do conteúdo de sistemas lineares privilegiando os registros algébrico e da língua natural, com ênfase no algébrico. O Livro-3 também envolve estes mesmos registros, porém, enfatiza o registro da língua natural. As conversões presentes nessas três obras normalmente se dão no sentido da língua natural para o algébrico. A única obra que mostra a preocupação de explorar registros não discursivos e outros tipos de conversão além da que parte da língua natural para o registro algébrico é o Livro-4. Pode-se observar que em nenhuma das obras analisadas em nossa pesquisa, foi recomendada a utilização de recursos computacionais. No próximo capítulo apresentaremos a metodologia utilizada para a elaboração e análise do experimento.

89 87 4 METODOLOGIA DE PESQUISA Para a elaboração e análise do experimento, utilizamos a metodologia de Design Experiment de Cobb et al. (2003), a qual prevê a construção de abordagens inovadoras sobre determinado domínio, sendo dotada de caráter cíclico, iterativo e flexível. Conforme Cobb et al. (2003), Design Experiments é uma metodologia que visa observar as formas distintivas de aprendizagem e os procedimentos para ampará-las, não ficando limitada a uma lista de atividades pré-definidas. A aplicação dessa metodologia está inserida em pesquisas que objetivam analisar as formas de aprendizagem de um determinado grupo, permitindo a reconstrução e adaptação durante a aplicação do experimento. Estão absorvidos nesta metodologia múltiplos aspectos, como a elaboração e as questões de avaliação do experimento, a sua aplicação, a necessidade de analisar os dados de forma metódica e a precisão de ser claro em questão das induções necessárias na aplicação da atividade. Um dos objetivos do Design Experiment é ampliar conjecturas, e não apenas melhorar métodos de ensino que já funcionam. Assim, o Design Experiment engloba a análise e reflexão das tarefas propostas aos alunos, a forma de discurso que eles apresentam, os arranjos materiais e as ferramentas utilizados na pesquisa e as formas necessárias para a organização desses elementos. Essa metodologia pode ser aplicada em diversos tipos de grupos. Como exemplo, a sua aplicação pode envolver um pesquisador e um grupo pequeno de alunos, tendo assim o objetivo de criar, em uma menor escala, uma ecologia de aprendizagem, para que se possa estudar o processo com profundidade e detalhe. É essa a modalidade selecionada para a presente pesquisa. Outro modo de manifestação consiste na aplicação de um experimento em um grupo maior, como uma escola recompondo experiências nas quais os pesquisadores colaboram com professores, escola, administradores e outros titulares, para dar suporte à mudança organizacional. Também é possível aplicar essa metodologia em sala de aula envolvendo todos os alunos. Neste caso, os pesquisadores colaboram com um professor que poderá ser um dos integrantes da equipe de pesquisa, para assumir a responsabilidade pelo direcionamento do experimento. Outro exemplo de

90 88 manifestação consiste na elaboração e no desenvolvimento de experimentos envolvendo pretendentes a professores, onde a equipe de pesquisadores auxilia na organização e analisa a instrução de futuros professores. Por fim, o Design Experiment pode ser aplicado para o desenvolvimento de estudos com professores em atividade. Nestes, os pesquisadores colaboram com os professores para dar suporte a mudanças em uma comunidade profissional. Independente do modo de manifestação, Cobb et al. (2003) identificaram cinco pontos presentes em todos os tipos de design. De início, essa metodologia tem o objetivo de ampliar uma classe de teorias envolvendo o processo de aprendizagem e os seus significados para os alunos ou grupos maiores, analisando tanto o enriquecimento de uma ideia matemática, sempre com a meta de dar suporte à aprendizagem, como também questões relacionadas à prática de ensino. Assim há a necessidade de uma organização envolvendo vários níveis de análise. O segundo ponto presente no design é a sua natureza intervencionista, tendo em vista que tem por objetivo procurar novas formas para uma melhoria educacional, partindo de concepções iniciais que foram desenvolvidas em pesquisas anteriores e que são utilizadas para justificar e também para especificar a condição central e as condições secundárias do experimento, com isso auxiliando o desenvolvimento de futuras inovações na prática educacional. O terceiro ponto contido em um design, segundo Cobb et al. (2003), consiste em dois aspectos, o prospectivo e o reflexivo. Os aspectos prospectivos estão relacionados à implementação de hipóteses que servirão de amparo para um processo de aprendizagem que será testado, surgindo assim outras possíveis maneiras de aprendizagem e o seu desenvolvimento. Nos aspectos reflexivos, são avaliadas conjecturas que serão analisadas em vários níveis. O experimento inicial é formado por conjecturas que apoiam uma específica forma de aprendizagem que será testada. Com a aplicação do experimento, poderão surgir novas conjecturas, as quais possivelmente fornecerão informações que alterarão o projeto inicial, sempre visando uma melhoria na aprendizagem. O quarto ponto característico de um design é a sua forma iterativa e cíclica. No decorrer do experimento, com o surgimento de novas informações, poderão ser desenvolvidas novas hipóteses. Essas novas hipóteses serão submetidas ao experimento, alterando assim a sua forma inicial. Assim, o efeito será um processo

91 89 iterativo, com novos ciclos e reestruturações durante toda a aplicação do experimento. Nessa metodologia, o aluno deixa de ser um sujeito passivo no processo de aprendizagem, pois o processo não consiste em apenas fornecer informações prédeterminadas. Durante o design, há uma interação entre o aluno e o pesquisador, tornando-os sujeitos ativos e participativos do experimento. Sendo assim, haverá a necessidade de adaptações e de feedbacks constantes para o próximo ciclo de ensino do experimento. O último ponto característico de um design é o pragmatismo próprio dessa metodologia. Algumas teorias são ampliadas durante o experimento, mas essas teorias são modestas, tanto no que diz respeito à preocupação de um domínio específico do processo de aprendizagem como também quanto ao valor real de sua contribuição durante o design. Para a elaboração de um experimento utilizando a metodologia do Design Experiment, também é necessário um levantamento bibliográfico das pesquisas existentes, para que seja possível demarcar os elementos iniciais de construção do experimento, com o intuito de se elaborar a conjectura inicial do estudo. Ainda, devem-se levar em consideração as particularidades dos estudantes, tanto no aspecto intelectual como no aspecto social. Portanto, o design se diferencia da maioria das metodologias pelo contato direto com os problemas que o aluno pode deparar durante o percurso do experimento. Segundo Cobb et al. (2003), é importante esclarecer qual é o objetivo do estudo a ser realizado e destacar as ideias principais do experimento que consequentemente formarão os próximos objetivos da pesquisa que serão destinados à aprendizagem do aluno. Devem-se explicar as particularidades de novos recursos, como por exemplo, o uso de softwares que podem apoiar a forma concebida de aprendizagem. Após especificar as conjecturas e o sentido do objeto de estudo, a nova empreitada é a elaboração de um experimento que agrupe as conjecturas iniciais que deverão fazer uma transformação expressiva no raciocínio do aluno e os métodos particulares de apoio a essa transformação. De acordo com Cobb et al. (2003), o objetivo principal do design é o aprimoramento do experimento inicial, revisando e avaliando novas conjecturas que surgem das notificações dos alunos junto com o espaço de aprendizagem.

92 90 Uma das particularidades peculiares dessa metodologia é a necessidade de registros planejados do processo de entrosamento em curso, para realizar uma análise retrospectiva do experimento. Com isso, podem-se utilizar diversos tipos de coleta de dados, tais como os registros de áudio, as produções escritas, a captura de imagens, dentre outras formas de registros. A análise retrospectiva é um diferencial dessa metodologia, que permite que os resultados da aprendizagem estejam atrelados ao meio pelo qual esses foram motivados. Com isso, existem sempre condições para criar conjecturas testáveis para a melhoria do experimento. O erro é considerado um elemento primordial para a análise dos dados. Segundo Karrer (2006): A análise dos erros dos estudantes deve constituir um fator primordial, uma vez que o professor-pesquisador entenderá melhor o que os estudantes podem fazer se for capaz de analisar o que eles não foram capazes de resolver (Karrer, 2006, p. 201). Nessa metodologia, existem dois tipos de interações entre o aluno e o professor-pesquisador. O primeiro tipo é a interação receptiva, na qual o professorpesquisador não estabelece distinção entre o seu conhecimento e o conhecimento do aluno. Nesse tipo de interação, o professor-pesquisador poderá encontrar situações não esperadas na condução do experimento. O segundo tipo de interação é a analítica e, nesse tipo de interação, o professor-pesquisador, ao observar entendimentos por parte dos alunos que podem dar suporte a futuras interações, vai direcionando a passagem pela qual o estudante deverá percorrer para identificar o que deve ser aprendido e o que ocasiona essa aprendizagem. Podemos concluir que essa metodologia tem por foco investigar o entendimento oferecido pelo aluno, e segundo Karrer (2006), o papel do professor é:... criar meios de interação que possam encorajar os estudantes a modificar seus pensamentos atuais. Para isso, os alunos devem ser entendidos como seres humanos capazes de oferecer contribuições independentes. (Karrer, 2006, p. 202).

93 SUJEITOS Além do professor-pesquisador, o estudo contou inicialmente com seis sujeitos, estudantes do nono ano do Ensino Fundamental de uma escola pública, na faixa etária entre treze e quatorze anos, porém, somente quatro alunos participaram de todo o processo. No momento da aplicação do experimento, eles já haviam tido contato com o conteúdo de sistemas lineares por meio de uma abordagem que privilegiou o registro algébrico e não utilizou recurso computacional. Ainda, eles não haviam tido contato com abordagens que trataram da análise da proporcionalidade entre os coeficientes das equações e sua relação com o registro gráfico. Dado que os sujeitos precisavam ter noções de certos comandos do Winplot, foi realizada uma atividade de familiarização com esse software, a qual está presente no apêndice A. Durante a familiarização, foi utilizado um projetor multimídia em conjunto com um notebook, para que o professor-pesquisador pudesse trabalhar, em conjunto com os estudantes, com os principais comandos do software Winplot. Durante o processo, o professor-pesquisador assumiu o papel de orientador, interferindo principalmente nos momentos de bloqueio. Ele conduziu o experimento de forma a propor novos questionamentos e outras situações, para evidenciar os possíveis avanços dos sujeitos. Estas intervenções foram detalhadas no capítulo 6, referente à análise da aplicação do experimento. 4.2 MATERIAL E AMBIENTE DE TRABALHO O experimento foi realizado em um laboratório de informática de uma escola estadual em horário extraclasse. Foram utilizados três computadores com o software Winplot instalado. Além dessa ferramenta computacional, foram distribuídas fichas de atividades aos alunos, as quais foram elaboradas explorando as relações entre as diversas representações semióticas, tanto no ambiente papel e lápis como no ambiente computacional utilizando o software Winplot. Para a captura das telas foi utilizado o software Camtásia. Com vistas a caracterizar o ambiente de aplicação do experimento, apresenta-se um panorama da Unidade Escolar (U.E.) na qual foi realizada a nossa pesquisa. Ela está localizada na região do ABC Paulista, em um bairro situado na

94 92 região sul da cidade de São Bernardo do Campo, no estado de São Paulo. São oferecidos os cursos de Ensino Fundamental no período diurno, e de Ensino Médio nos períodos diurno e noturno. Essa U.E., se comparada com as demais localizadas no mesmo município, é considerada nova, com menos de vinte anos de atividade educacional. Um dos fatores 10 primordiais desta U.E. é a preocupação em integrar a comunidade, dado que sempre procura desenvolver projetos que fortalecem a ligação entre a escola, os alunos e os membros da comunidade. Não há grande rotatividade entre os alunos dessa escola, uma vez que a grande maioria dos que iniciam o sexto ano do Ensino Fundamental, concluem o último ano do Ensino Médio nessa mesma U.E. O bairro no qual a U.E. se situa é constituído por um grande número de edifícios residenciais e é muito populoso. Apresentamos, a seguir, o rendimento dessa U.E. na disciplina de Matemática, com base nos resultados do SARESP : Figura 15 Média do SARESP 2011 relacionada à escola onde foi realizado o experimento. Fonte: site < Observamos que essa escola apresenta um resultado referente à disciplina de Matemática acima da média de outras instâncias da rede estadual de ensino do estado de São Paulo. Pode-se notar, na figura a seguir, que grande parte dos alunos está classificada como suficiente, isto é, eles possuem a propriedade ínfima dos 10 Fonte: Plano de Gestão 2010/ SARESP: Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo.

95 93 conteúdos, competências e habilidades almejada para a série/ano escolar em que se encontram. Figura 16 Distribuição percentual dos alunos nos níveis de proficiência, relacionada à escola onde foi realizado o experimento. Fonte: site < 4.3 METODOLOGIA DE APLICAÇÃO Como primeira etapa, foi aplicado um questionário inicial com o intuito de investigar as concepções prévias dos sujeitos, uma vez que eles já haviam tido contato com o objeto matemático em questão. Em seguida, foi realizada uma familiarização com o software Winplot. A partir daí, foram aplicadas as atividades elaboradas, com o intuito de verificar em que aspectos uma abordagem diferenciada sobre sistemas lineares favorece a construção desse conhecimento. Foram avaliadas as compreensões dos sujeitos durante a aplicação do experimento, sendo que o mesmo foi remodelado e complementado de acordo com as necessidades apresentadas pelos sujeitos, conforme descrito no capítulo 6. Teve-se a intenção de investigar em que aspectos essa nova abordagem influenciaria na compreensão da qualidade de sistemas lineares por meio da análise das consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade dos coeficientes das equações. Durante esta fase de aplicação, foram coletadas as produções orais e escritas dos sujeitos, bem como as telas das construções com o software. Como apoio para a coleta de dados, foi utilizado o software Camtasia, que captura as produções orais e as telas do Winplot durante a execução do experimento. O Camtasia Studio é um software de captura de tela e edição de vídeos que possibilita criar tutoriais e apresentações a partir do ambiente de trabalho do Windows.

96 94 Estavam previstos seis encontros de duas horas cada, porém, com a necessidade das reformulações, foram necessários mais seis encontros. Estes ocorreram em horário extraclasse, em um laboratório de informática, com o software Winplot e o software Camtasia instalados em dois computadores. No próximo capítulo apresentaremos as etapas que constituíram o experimento seguido da análise preliminar das atividades.

97 95 5 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES Neste capítulo, serão apresentadas as fases do experimento. Na primeira fase (Fase 1), foi aplicado um questionário preliminar 12 com o intuito de mapear os conhecimentos prévios dos estudantes a respeito de sistemas lineares. Em seguida, foi realizada uma familiarização com o software Winplot mencionando os comandos básicos para a realização das atividades do design. Na segunda fase (Fase 2), foram apresentadas as atividades do design, que integraram o software Winplot. 5.1 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DO QUESTIONÁRIO INICIAL (FASE 1) Tarefa 1. O que é: a) um sistema possível e determinado (SPD): b) um sistema possível e indeterminado (SPI): c) um sistema impossível (SI): Quadro 7 Questionário Preliminar Tarefa 1 A tarefa 1 tem por objetivo avaliar o conhecimento do estudante com relação à classificação de um sistema linear. A resolução envolve o registro da língua natural. É provável que o estudante encontre certa dificuldade para definir os tipos de sistemas lineares, uma vez que Freitas (1999) relatou que o uso frequente das abreviações SPD, SPI e SI pode dificultar a compreensão das classificações de um sistema linear. 12 O questionário preliminar na estrutura apresentada aos alunos consta no Apêndice B.

98 96 Tarefa 2. Resolver os sistemas (por substituição ou por adição) a) x 2y 5 x y 1 c) 7x 21y 35 2x 6y 10 b) 3x 2y 4 4x 3y 23 d) 3x 3y 2 x y 3 Quadro 8 Questionário Preliminar Tarefa 2 A tarefa 2 tem por objetivo avaliar se o estudante domina algum método de resolução (substituição ou adição) de sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas. Nos itens a e b, o estudante encontrará uma única solução para cada sistema. No item c, o estudante encontrará infinitas soluções e, no item d, o sistema não admite solução. A resolução da tarefa envolve tratamentos no registro simbólico-algébrico. De acordo com a Proposta Curricular do Estado de São Paulo, o objeto matemático sistemas lineares deve ser tratado no oitavo ano (antiga sétima série) do Ensino Fundamental. Como os sujeitos de pesquisa estão no nono ano e tendo em vista que este tipo de tarefa é usual no ensino de sistemas lineares, é provável que eles não encontrem dificuldades para a realização da tarefa 2, desde que já tenham se familiarizado com algum tipo de método para a resolução de sistemas lineares. Tarefa 3. Considere, no plano cartesiano, a reta r (na cor azul) e a reta s (na cor rosa). Cada situação apresenta a representação gráfica de um sistema com duas equações e duas incógnitas. Associe cada caso com a classificação do sistema e justifique.

99 97 ( I ) ( II ) ( III )

100 98 ( ) sistema impossível Justifique: ( ) sistema possível e determinado Justifique: ( ) sistema possível e indeterminado Justifique: Quadro 9 Questionário Preliminar Tarefa 3 A tarefa 3 tem por objetivo avaliar se o estudante classifica um sistema linear com duas equações e duas incógnitas por meio da representação desses sistemas no registro gráfico. No item I o estudante encontrará a representação gráfica de um sistema linear possível e determinado, pois as retas r e s são concorrentes, resultando em uma única solução. No item II o estudante encontrará a representação de um sistema linear possível e indeterminado, pois há a representação de duas retas coincidentes, gerando infinitas soluções e, no item III são representadas duas retas paralelas, sendo assim a representação gráfica de um sistema linear impossível, uma vez que a solução é vazia. Apesar de o Caderno do Aluno de Matemática da 7ª série / 8º ano apresentar uma atividade semelhante a esta, é provável que os estudantes apresentem dificuldades na execução dessa tarefa, dado que entendemos que apenas uma atividade com este tipo de exploração não seja suficiente para que ele lide com a relação entre o registro gráfico e a classificação de um sistema linear.

101 99 Tarefa 4. Sem resolver os sistemas lineares, associe cada situação gráfica com o possível sistema correspondente: ( I ) ( II ) ( III )

102 100 4x 4y 16 A ( ) x y 4 Justifique: x y 1 B ( ) x y 3 Justifique: x y 4 C ( ) x y 12 Justifique: Quadro 10 Questionário Preliminar Tarefa 4 A tarefa 4 tem por objetivo avaliar se o estudante faz uma relação entre os registros gráfico e algébrico de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas, sem efetuar a resolução do sistema. No item I o estudante encontrará a representação gráfica de um sistema impossível. Espera-se que ele associe essa representação com a representação simbólico-algébrica do item B, por meio da análise dos coeficientes, uma vez que no enunciado é solicitada a análise sem que se resolva o sistema proposto. No item II o estudante terá duas retas concorrentes, isto é, a representação gráfica de um sistema linear possível e determinado, cuja solução é o ponto de intersecção entre as duas retas. Espera-se que o aluno relacione essa representação no registro gráfico com a representação algébrica do item C, analisando os coeficientes das duas equações que formam o sistema, observando que não há proporcionalidade entre eles. No item III o estudante encontrará duas retas coincidentes, sendo assim, a representação gráfica de um sistema linear possível e indeterminado, pois admite infinitas soluções. Espera-se que o aluno observe a proporção existente entre os coeficientes das duas equações no item A, que representam a mesma reta no plano cartesiano. É possível que o estudante apresente dificuldade para realizar essa tarefa, uma vez que este tipo de relação entre os registros gráfico e simbólico não é usual no ensino de sistemas lineares, conforme constatamos em nossa revisão de literatura. De fato, Battaglioli

103 101 (2008) apontou deficiências de exploração do registro gráfico nos livros didáticos, a nossa análise do Caderno do Aluno e dos livros didáticos apontou a inexistência deste tipo de exploração e Freitas (1999) relatou que seus sujeitos de pesquisa não associavam as características dos gráficos com os conceitos relacionados aos coeficientes que compunham o sistema. Segundo a pesquisadora: O que se observou na pesquisa é que o aluno não recorre aos conceitos de coeficiente angular e linear, isto é, não observa as características dos gráficos: crescente ou decrescente, passa ou não pela origem. O aluno não discrimina essa variáveis pertinentes e não percebe as variações correspondentes na escrita algébrica: coeficiente angular positivo (a da reta y ax b ) implica em reta crescente e coeficiente angular negativo implica em reta decrescente, ou ainda, b 0 passa pela origem e b 0 não passa. (FREITAS, 1999, p. 73). Freitas (1999), concluiu em sua pesquisa que:... o aluno, em geral, não é capaz de identificar retas (representadas pelos respectivos gráficos), dadas as suas equações. p x 2y 4 Tarefa 5. Dado o sistema, (com a, a 0 ). Se a for igual a 5, sem ax 5y 10 resolver o sistema, a representação gráfica do mesmo é representada por ( I )

104 102 ( II ) ( III ) ( ) Justifique: Quadro 11 Questionário Preliminar Tarefa 5 A tarefa 5 tem por objetivo avaliar se o estudante investiga a existência ou não de proporcionalidade entre os coeficientes e entre os termos independentes das equações que compõem o sistema linear, estabelecendo relações entre os registros algébrico e gráfico. É apresentado um sistema linear no qual se tem um parâmetro a acompanhando a incógnita x na segunda equação, e é sugerido o valor cinco para este parâmetro. Espera-se que o aluno compare as duas equações e note a proporcionalidade existente entre elas, verificando que as duas geram a mesma

105 103 reta. Com isso, a representação gráfica (I), que possui um par de retas coincidentes, é a alternativa correta. 2x 2y 4 Tarefa 6. Dado o sistema, (com a, a 0 ). Se a for diferente de 5, ax 5y 10 sem resolver o sistema, a representação gráfica do mesmo é representada por: ( I ) ( II ) ( III ) ( ) Justifique: Quadro 12 Questionário Preliminar Tarefa 6

106 104 A tarefa 6 tem por objetivo avaliar se o estudante investiga a existência ou não de proporcionalidade entre os coeficientes e entre os termos independentes das equações que compõem o sistema linear, relacionando os registros algébrico e gráfico. É apresentado o mesmo sistema linear da tarefa anterior, mas nessa situação é sugerido para o parâmetro a um valor diferente de cinco. Espera-se que o aluno compare as duas equações e note que, para qualquer valor diferente de cinco atribuído ao parâmetro a, não haverá proporcionalidade entre os coeficientes das equações do sistema. Com isso o aluno poderá verificar que esse sistema de equações tem solução única e é representado por duas retas concorrentes, sendo esta situação apresentada no item (III). 2x 2y 4 Tarefa 7. Dado o sistema, (com b, b 0 ). Se b for igual a 7, sem 5x 5y b resolver o sistema, a representação gráfica do mesmo é representada por: ( I ) ( II )

107 105 ( III ) ( ) Justifique: Quadro 13 Questionário Preliminar Tarefa 7 A tarefa 7 tem por objetivo propor o mesmo tipo de análise, porém neste caso é apresentado um sistema linear no qual se tem um parâmetro b no termo independente da segunda equação, sendo sugerido o valor sete para este parâmetro. Espera-se que o aluno compare as duas equações e note a proporcionalidade existente entre os coeficientes das incógnitas x e y, observando que isso não ocorre entre seus termos independentes. Com isso o aluno poderá concluir que se trata de um sistema impossível, sendo assim, tais retas são paralelas, o que pode ser associado à representação do sistema do item (II). É provável que o estudante demonstre dificuldade para realizar as tarefas 5, 6 e 7, conforme constatado na pesquisa de Freitas (1999). Segundo a pesquisadora é possível que os alunos tenham tido contato com sistemas lineares com parâmetros explícitos de forma escassa, dificultando assim a sua compreensão. Nas questões que exigiam a associação entre uma reta e uma equação, a pesquisadora observou que os alunos buscaram resolver essas questões atribuindo valores às variáveis. Esse procedimento, segundo a pesquisadora, não trouxe benefícios, uma vez que, após a análise a posteriori, foi constatado que o índice de acertos foi significativamente baixo. Freitas (1999) também destacou em sua pesquisa que os alunos não compreendiam o objetivo de um parâmetro tanto nas soluções quanto nos enunciados de sistemas lineares. Com isso Freitas (1999) adverte que: Isso mostra

108 106 a pouca importância que o ensino dá à mudança de quadros e à compreensão dos resultados obtidos, já que isso é feito via técnica decorada. (p. 69). Tarefa 8. Determine a representação gráfica de cada sistema linear 3x 4y 5 a) 9x 12y 20 b) x y 7 2x y 2 c) 5x 10y 12 10x 20y 24 Quadro 14 Questionário Preliminar Tarefa 8 A tarefa 8 tem por objetivo verificar se o estudante realiza a resolução algébrica de três sistemas lineares, sendo cada um composto por duas equações e duas incógnitas e represente cada situação graficamente. Para isso, espera-se que ele aplique qualquer um dos métodos de resolução, estabelecendo a conversão do registro algébrico para o gráfico. No primeiro item, o estudante encontrará um sistema impossível, pois há a proporcionalidade entre os coeficientes do primeiro membro das equações, mas essa proporcionalidade não existe entre os termos independentes. Com isso espera-se que o estudante, após aplicar algum método de resolução já estudado nas séries anteriores, encontre uma sentença falsa como, por exemplo, 0 1, e assim apresente uma construção gráfica semelhante à exposta a seguir:

109 107 Figura 17 Resolução esperada Tarefa 8a No segundo item é apresentado ao estudante um sistema linear possível e determinado. Espera-se que o aluno aplique qualquer método para a sua resolução e encontre como conjunto solução S 3,4, sendo este par o ponto de intersecção entre as duas retas que compõem o sistema. A representação gráfica esperada é apresentada a seguir. Figura 18 Resolução esperada - Tarefa 8b

110 108 No terceiro item o estudante encontrará um sistema linear possível e indeterminado, uma vez que os coeficientes das incógnitas x e y e os termos independentes das duas equações que compõem o sistema são proporcionais. Espera-se que o aluno construa uma representação gráfica semelhante à apresentada a seguir. Figura 19 Resolução esperada Tarefa 8c É presumível que o estudante se depare com problemas para a construção gráfica solicitada. Isto porque, segundo Freitas (1999), grande parte de seus sujeitos resolveram os sistemas lineares, mas não conseguiram relacioná-los com suas respectivas representações gráficas. Segundo a pesquisadora, isso pode ter ocorrido devido à predominância que o registro algébrico tem no ensino do objeto matemático sistemas lineares e pelo fato de os livros didáticos analisados em sua pesquisa darem um enfoque muito superficial ao registro gráfico. De fato, Duval (1995) relata que normalmente os registros monofuncionais discursivos são os privilegiados, acarretando nos estudantes dificuldades em reconhecer o objeto matemático em outros registros.

111 109 Tarefa 9. Resolva o seguinte problema: André e Júlia foram a uma lanchonete. André comeu dois mistos, tomou um refrigerante e gastou R$6,60. Júlia comeu um misto e também tomou um refrigerante, gastando R$4,10. Qual o preço do misto e do refrigerante nessa lanchonete? Quadro 15 Questionário Preliminar Tarefa 9 Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2011, p.36 A tarefa 9 contém um problema do Caderno do Aluno da 7ª série / 8º ano do Ensino Fundamental desenvolvido pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo e tem por objetivo avaliar se o estudante realiza a conversão do registro da língua natural para o simbólico-algébrico, obtendo o seguinte sistema linear: 2M 1R 6,60, sendo M o preço do misto e R o preço do refrigerante. Espera-se 1M 1R 4,10 que o estudante resolva o sistema linear pelo método que julgar mais conveniente, que verifique que o mesmo é um sistema possível e determinado e encontre que os preços do misto e do refrigerante são, respectivamente, R$2,50 e R$1,60. É provável que o estudante não encontre dificuldades para a realização da atividade, pois o mesmo já teve contato com esse tipo de tarefa no ano anterior, segundo análise do Caderno do Aluno. Ainda, de acordo com Battaglioli (2008), no conteúdo de sistemas lineares, a maior parte dos livros didáticos trata da conversão do registro da língua natural para o registro algébrico e, conforme Freitas (1999), o estudante normalmente não apresenta dificuldades para a aplicação de algum método de resolução de um sistema linear, desde que já tenha tido contato com esse tópico. Ressalta-se também que Pantoja (2008) constatou que seus sujeitos conseguiam realizar a conversão da língua natural para o registro algébrico sem grandes dificuldades. Tarefa 10. Dado o sistema linear 2x 6y 6, crie um problema na língua natural x y 3 relacionado a esse sistema. Quadro 16 Questionário Preliminar Tarefa 9

112 110 A tarefa 10 tem por objetivo avaliar se o estudante elabora um problema na língua natural que satisfaça as condições impostas pelo sistema apresentado, realizando uma conversão do registro algébrico para o da língua natural. De acordo com a pesquisa de Battaglioli (2008), é provável que o estudante demonstre dificuldade para a realização desta tarefa, uma vez que ela identificou que os livros didáticos avaliados tratavam de conversões da língua natural para o registro algébrico, mas não da conversão contrária. Em sua pesquisa, que incluiu a análise de três livros didáticos, foi detectado que apenas um realizava a conversão do algébrico para a língua natural. Ainda, segundo Duval (2009) pode ocorrer o fenômeno da heterogeneidade da congruência, fato que leva o estudante a não ter o mesmo tipo de desempenho nos dois sentidos de conversão. Após a realização deste questionário inicial, os alunos participaram de uma familiarização com o software Winplot. O roteiro dessa familiarização é apresentado no apêndice A. 5.2 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES DO DESIGN (FASE 2) As atividades 13 seguintes representam o desenho inicial do experimento, planejado de acordo com as evidências da literatura e com o desempenho esperado dos estudantes a partir de seus conhecimentos prévios. Dada a característica da metodologia adotada, estas atividades foram remodeladas ou complementadas, uma vez que o objetivo maior foi flexibilizar o estudo de acordo com as produções dos estudantes. Essas alterações serão expostas no capítulo 6, quando do relato da aplicação do experimento. As tarefas foram concebidas em dois ambientes, no software Winplot e no papel e lápis, sendo que no ambiente computacional normalmente eram estabelecidas as investigações experimentais. Desta forma, as representações semióticas foram exploradas em dois sistemas de produção. São apresentadas, a seguir, as tarefas da primeira atividade. 13 As atividades, na estrutura apresentada aos estudantes, constam nos apêndices C, D, E e F.

113 111 ATIVIDADE 1 ANÁLISE DO CASO SPI PARTE 1 Tarefa 1. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas: x y 3. Cada equação representa uma reta no plano. x y a Abra o arquivo 1 do Winplot. Na tela são dadas duas retas paralelas e suas respectivas equações. Vá em animação (anim) e selecione parâmetros A-W. Altere o valor de a de modo que as retas fiquem coincidentes. Qual foi o valor de a encontrado para essa situação? x y 7 Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de b no sistema para que se x y b obtenham duas retas coincidentes? Agora resolva o exercício no Winplot e compare com sua resposta. O que observou? Tarefa 2. Agora construa no papel a representação gráfica do sistema linear x y 4. Faça o mesmo no Winplot e compare as duas resoluções. Em seguida, x y 4 justifique porque as retas obtidas são coincidentes. Tarefa 3. Complete as tabelas com valores de x e y que satisfazem cada equação. Equação 1: x y 4 x y 1 0 Equação 2: x y 4 x 4 3 y Tarefa 4. Nos casos vistos nas tarefas anteriores, o sistema possui quantas soluções? Neste caso, qual a classificação desse sistema? Quadro 17 Apresentação da Atividade 1 do Design

114 112 A tarefa 1 tem por objetivo que o estudante observe, experimentalmente no software, que um sistema de duas equações com duas incógnitas resulta graficamente em duas retas coincidentes se as equações forem iguais. Para a resolução desta tarefa, é necessário estabelecer relações entre os registros algébrico e gráfico. Na tarefa 2, pretende-se observar se o estudante constrói a representação gráfica do sistema linear proposto no ambiente papel e lápis, e se justifica o resultado gráfico encontrado. Nas tarefas 3 e 4, pretende-se que o estudante relacione a classificação do sistema linear com os resultados obtidos nas representações algébrica e gráfica. Espera-se que ele associe essa situação com a classificação "Sistema Possível e Indeterminado". ATIVIDADE 2 ANÁLISE DO CASO SPI PARTE 2 Tarefa 1. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas: 6x 6y a. Cada equação representa uma reta no plano. 2x 2y 4 Abra o arquivo 2 do Winplot. Na tela são dadas duas retas paralelas e suas respectivas equações. Vá em animação e selecione parâmetros A-W. Altere o valor de a de modo que as retas fiquem coincidentes. Qual foi o valor de a encontrado para essa situação? Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de b no sistema 15x 15y b 3x 3y 9 que se obtenham duas retas coincidentes? para Agora faça o exercício no Winplot e compare o resultado com sua resposta. O que observou? Tarefa 2. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas: 2x 3y 6. Cada equação representa uma reta no plano. 4x 6y a Abra o arquivo 3 do Winplot. Na tela são dadas duas retas paralelas e suas respectivas equações. Vá em animação e selecione parâmetros A-W. Altere o valor de a de modo que as retas fiquem coincidentes. Qual foi o valor de a encontrado para essa situação?

115 113 3x 5y 1 Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de b no sistema para que 9x 15y b se obtenham duas retas coincidentes? Agora faça o exercício no Winplot e compare o resultado com sua resposta. O que observou? Tarefa 3. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas: ax 4y 8. Cada equação representa uma reta no plano. 6x 12y 24 Abra o arquivo 4 do Winplot. Na tela são dadas duas retas concorrentes e suas respectivas equações. Vá em animação e selecione parâmetros A-W. Altere o valor de a de modo que as retas fiquem coincidentes. Qual foi o valor de a encontrado para essa situação? Tarefa 4. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas: 5x 2y 6. Cada equação representa uma reta no plano. 20x ay 24 Abra o arquivo 5 do Winplot. Na tela são dadas duas retas concorrentes e suas respectivas equações. Vá em animação e selecione parâmetros A-W. Altere o valor de a de modo que as retas fiquem coincidentes. Qual foi o valor de a encontrado para essa situação? Tarefa 5. Sem usar o Winplot, construa, no plano, a representação gráfica do 2x 2y 6 sistema linear. Agora faça a mesma construção no Winplot e compare 8x 8y 24 os resultados. O que observou? Tarefa 6. Resolva no papel o sistema linear da tarefa 5: 2x 2y 6. Como você 8x 8y 24 justificaria que este sistema possui infinitas soluções? Como você classificaria esse sistema? Desta forma, podemos afirmar que a representação gráfica de um sistema linear com duas equações e duas incógnitas, classificado como sistema possível e indeterminado, será. Um sistema possível e indeterminado, tem soluções.

116 114 Tarefa 7. Para cada sistema linear, sem utilizar o Winplot, determine o valor de a para que ele admita infinitas soluções, ou seja, para que ele seja um sistema possível e indeterminado. x y a a) 3x 3y 6 2x 5y 8 b) 4x 10y a ax 5y 10 c) 15x 15y 30 6x ay 12 d) 3x 4y 6 7x 7y 14 e) ax 21y 42 f) 6x 5y 18 3x ay 9 g) 2x 3y 10 7x ay 35 h) 2x 4y 10 6x ay 30 Se você construísse a representação gráfica de cada sistema para o valor de "a" indicado, o que você encontraria? Tarefa 8. Após a realização das tarefas anteriores, determine a condição para que o gráfico da solução do sistema linear ax by c dx ey f (com a,b,c,d,e e f não nulos) seja representado por duas retas coincidentes, ou seja, para que ele admita infinitas soluções. Tarefa 9. Abra o arquivo 6 do Winplot. É dada a representação gráfica de um x y a sistema do tipo. Vá em animação e selecione parâmetros A-W. 3x 3y 0 Altere o valor de a de modo que as retas fiquem coincidentes. Qual foi o valor de a encontrado para essa situação? Quadro 18 Apresentação da Atividade 2 do Design As tarefas que compõem a atividade 2 têm por objetivo geral explorar as condições necessárias para que duas retas sejam coincidentes, solicitando do aluno a comparação do registro algébrico com o registro gráfico dos sistemas envolvidos. Espera-se que o estudante relacione os coeficientes e os termos independentes de um sistema de duas equações e duas incógnitas, verificando experimentalmente, com o auxílio do software Winplot, que para obter retas coincidentes é necessário existir uma proporcionalidade entre os coeficientes e os termos independentes das equações que formam o sistema linear. Espera-se ainda que o estudante relacione a

117 115 representação gráfica de duas retas coincidentes com a obtenção de infinitas soluções e que classifique estes casos como sistemas possíveis e indeterminados. Na tarefa 1 o aluno observará um sistema com duas equações e duas incógnitas, no qual os coeficientes das incógnitas x e y são iguais. A primeira equação é igualada a 4 e a segunda tem como valor independente o parâmetro "a". Após a análise com o software, espera-se que o aluno verifique que a proporção existente entre os coeficientes das equações também deve existir entre os termos independentes para que as retas se tornem coincidentes. Com isso o aluno poderá conjecturar que o mesmo deverá ocorrer na segunda parte da tarefa 1, onde é apresentado um novo sistema de equações com as mesmas características do primeiro sistema. Na tarefa 2, apesar de semelhante à tarefa 1, pretende-se que o aluno lide com um sistema em que, em cada equação, os coeficientes de x e y são diferentes. Com o auxílio do software, espera-se que o aluno observe que, para duas retas serem coincidentes, deve existir proporção entre os coeficientes de x e y e entre os termos independentes das duas equações. Nessas condições, espera-se que o aluno conjecture que para a resolução da segunda parte da tarefa 2, as condições observadas na primeira parte da tarefa se mantêm. Nas tarefas 3 e 4, são apresentados sistemas com duas equações e duas incógnitas, sendo que o parâmetro "a" passa a ser o coeficiente da incógnita x ou de y. Com assistência do software, espera-se que o aluno observe que neste caso também é necessária a manutenção da proporcionalidade observada nas tarefas anteriores para obter duas retas coincidentes. Na resolução da tarefa 5, solicita-se ao aluno que determine, no ambiente papel e lápis, a representação gráfica do sistema linear dado no registro algébrico. Espera-se que ele construa duas retas e observe que elas são coincidentes. Na tarefa 6, pede-se para que o estudante resolva o sistema e que justifique a existência de infinitas soluções. Espera-se também que ele associe este caso à classificação de "Sistema Possível e Indeterminado". Após a realização dessa atividade, espera-se que o aluno conclua que, havendo a proporcionalidade entre os coeficientes e os termos independentes de duas equações que formam um sistema linear, a sua representação no registro

118 116 gráfico é um par de retas coincidentes. Após a realização das tarefas anteriores, pretende-se verificar se estas foram suficientes para atingir esse objetivo. Desta forma, na tarefa 7, solicita-se a determinação do valor do parâmetro "a" presente em todos os sistemas lineares apresentados no registro algébrico, para a obtenção de um sistema possível e indeterminado. Ainda, pretende-se observar se o estudante concluiu que, para estes casos, haverá a proporcionalidade entre os coeficientes e os termos independentes. Esta tarefa será realizada somente no ambiente papel e lápis. Na tarefa 8, pretende-se observar se o aluno estabelece uma generalização da situação estudada, afirmando que, para que o gráfico de ax by c dx ey f (com a,b,c,d,e e f não nulos) seja representado por duas retas coincidentes,deve-se ter a d b c. e f Com o auxílio do software Winplot, espera-se que na tarefa 9, o aluno observe que, havendo proporcionalidade entre os coeficientes de x e entre os coeficientes de y, quando o termo independente de uma das equação é nulo, é necessário que o valor do parâmetro "a" também seja nulo para obter duas retas coincidentes. ATIVIDADE 3 ANÁLISE DO CASO SI Tarefa 1. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas: 6x 6y a. Cada equação representa uma reta no plano. 3x 3y 4 Abra o arquivo 7 do Winplot. Na tela são dadas duas retas coincidentes e suas respectivas equações. Vá em animação e selecione parâmetros A-W. Altere o valor de a de modo que as retas fiquem paralelas distintas. Que valores de a satisfazem essa situação? Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de b no sistema 4x 4y 12 para que x y b se obtenham duas retas paralelas distintas? Agora faça o exercício no Winplot e compare o resultado com sua resposta. O que observou?

119 117 Tarefa 2. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas: 2x 3y a. Cada equação representa uma reta no plano. 8x 12y 16 Abra o arquivo 7 do Winplot. Na tela são dadas duas retas coincidentes e suas respectivas equações. Vá em animação e selecione parâmetros. Altere o valor de a de modo que as retas fiquem paralelas distintas. Que valores de a satisfazem essa situação? Tarefa 3. Agora construa no papel a representação gráfica do sistema linear 2x 2y 6. Faça o mesmo no Winplot e compare as duas construções. O que 8x 8y 8 observou? Tarefa 4. Complete as tabelas com valores de x e y que satisfazem cada equação. Equação 1: 2x 2y 6 x y 1 0 Equação 2: 8x 8y 8 x 2 3 y Tarefa 5. Resolva o sistema da tarefa anterior. O que você observou? Qual é a solução desse sistema? Como ele é classificado? Desta forma, podemos afirmar que a representação gráfica de um sistema linear com duas equações e duas incógnitas, classificado como sistema impossível, será. A quantidade de soluções de um sistema impossível é.

120 118 Isto porque retas paralelas não possuem ponto comum. Tarefa 6. Para cada sistema linear, sem utilizar o Winplot, determine para que valores de a ele será um sistema impossível. x y a 2x 5y 8 2x 4y 10 a) b) c) 3x 3y 6 4x 10y a 6x 12y a Qual seria a representação gráfica desses sistemas? Tarefa 7. Após a realização das tarefas anteriores, determine a condição para que ax by c o gráfico da solução do sistema linear (com a,b,c,d,e e f não nulos) dx ey f seja representado por duas retas paralelas distintas, ou seja, para que o sistema seja impossível. x y a Tarefa 8. Dado o sistema, construa as retas de cada equação no 5x 5y 0 Winplot e determine para que valores de a obteremos um sistema impossível. Quadro 19 Apresentação da Atividade 3 do Design A atividade 3 é composta por tarefas que possuem como objetivo geral fornecer um ambiente favorável para detectar as condições necessárias para que a representação no registro gráfico de um sistema linear, composto por duas equações e duas incógnitas e apresentado no registro algébrico, seja a representação de duas retas paralelas. Ainda, pretende-se que esta atividade forneça ao estudante o estabelecimento da relação entre a obtenção de retas paralelas e a inexistência de solução, classificando estes casos como "Sistemas Impossíveis". Para isso, espera-se que o aluno, com o auxílio do software Winplot, verifique que, para obter duas retas paralelas, é necessário que exista uma proporção entre os coeficientes das incógnitas x e y presentes no primeiro membro da equação, mas não entre os termos independentes das respectivas equações. 3x 3y 4 Na primeira parte da tarefa 1, é apresentado o sistema, para que 6x 6y a o estudante explore no Winplot os possíveis valores do parâmetro "a". Espera-se

121 119 que ele observe que para qualquer valor de a 8, as retas serão paralelas distintas. Após a realização da primeira parte da tarefa 1, espera-se que o aluno conjecture que o mesmo deverá ocorrer na segunda parte da tarefa, pois é apresentado um segundo sistema de equações com as mesmas características do primeiro sistema. A tarefa 2 possui o mesmo objetivo proposto na tarefa apresentada anteriormente. Elas diferenciam-se apenas pelo fato de o parâmetro a estar no termo independente da primeira equação e pelos coeficientes de x e y serem diferentes numa mesma equação. Sendo assim, espera-se que o aluno perceba que a relação verificada na tarefa 1 também é válida na tarefa 2, ou seja, deve existir uma proporcionalidade entre os coeficientes das incógnitas, mas não entre os termos independentes. A tarefa 3 deverá ser realizada no ambiente papel e lápis. Espera-se que o 2x 2y 6 aluno apresente a representação no registro gráfico do sistema linear, 8x 8y 8 observando que ele gera duas retas paralelas. Ainda, espera-se que ele justifique tal fato avaliando a proporcionalidade entre os coeficientes e a não existência da proporcionalidade entre os termos independentes. Na tarefa 4, pretende-se que o aluno resolva este sistema no ambiente papel e lápis e estabeleça a relação entre o resultado obtido e a representação gráfica. Pretende-se também que ele identifique tal caso como um sistema impossível e que observe que seu conjunto solução é vazio. Na tarefa 5, é proposto ao aluno determinar o valor do parâmetro a nos sistemas lineares apresentados no registro algébrico, para que se obtenha um sistema impossível. Nesta situação, pretende-se que o aluno associe a análise do parâmetro "a" com a classificação do sistema e com a representação gráfica de retas paralelas. Para realizar essa tarefa, o aluno irá utilizar o ambiente papel e lápis. Espera-se na tarefa 6, que o aluno realize uma generalização. Pretende-se observar se ele estabelece que, para que o gráfico do sistema linear ax by c dx ey f (com a,b,c,d,e e f não nulos) seja representado por duas retas paralelas, deve-se ter que a b c. d e f

122 120 Com o auxílio do software Winplot, espera-se que o aluno experimentalmente realize a tarefa 7. Após observar a proporcionalidade existente entre os coeficientes no primeiro membro das equações que formam o sistema, e que o termo independente de uma das equações é nulo, o aluno deverá concluir que é necessário que o valor do parâmetro "a" seja diferente de zero para obter um sistema impossível. ATIVIDADE 4 ANÁLISE DO CASO SPD Abra o software Winplot e construa um sistema linear de duas equações e duas incógnitas que gere duas retas concorrentes. Explique como pensou para fazer esta construção. Neste caso, quantas soluções tem este sistema? Qual é a sua classificação? Quadro 20 Apresentação da Atividade 4 do Design Nesta atividade, espera-se que o estudante construa duas retas utilizando um pensamento de exclusão, ou seja, que observe que o sistema ax by c dx ey f (com a b a,b,c,d,e e f não nulos) gerará duas retas concorrentes quando. Além disso, d e espera-se que o aluno observe a existência de apenas uma solução, classificando tal sistema em "Sistema Possível e Determinado". Passaremos agora para o capítulo 6, onde apresentaremos os resultados obtidos durante a aplicação do experimento.

123 121 6 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DO EXPERIMENTO Este capítulo contém a descrição dos resultados da aplicação do experimento. Primeiramente apresentamos as produções dos estudantes na Fase 1, relativa ao questionário preliminar. Esta fase apontou para a necessidade de uma revisão dos tópicos considerados como pré-requisitos para o desenvolvimento do experimento. Em seguida, descrevemos a Fase 2, detalhando as análises das atividades do experimento e as reformulações que se mostraram necessárias durante o processo. 6.1 DESCRIÇÃO DA FASE 1 Nesta seção, são apresentadas e analisadas as produções dos estudantes no questionário preliminar. Ainda, é descrito o primeiro redesign realizado em função das dificuldades evidenciadas. Os sujeitos participantes desse estudo pertenciam a uma escola estadual da rede pública de ensino da cidade de São Bernardo do Campo, no estado de São Paulo. A escolha desta escola ocorreu pelo fato de o professor-pesquisador lecionar as disciplinas de Matemática e Física aos alunos do Ensino Médio da mesma, facilitando assim o contato com os sujeitos que participaram da pesquisa. Foi solicitada a colaboração do professor de Matemática das turmas do nono ano (antiga oitava série) do Ensino Fundamental para divulgar o presente estudo. Este professor possuía quatro turmas de nono ano com aproximadamente quarenta alunos em cada e, destes, dez manifestaram interesse em participar do experimento. Aos alunos que manifestaram interesse, foi apresentada a necessidade de disponibilidade para comparecer no contraturno das suas aulas regulares, estabelecendo os dias e horários de realização do experimento. Com isso, naquele momento, seis estudantes se comprometeram com a pesquisa e, consequentemente, foi possível formar três duplas para o desenvolvimento do experimento. Partindo disso, o professor-pesquisador recorreu novamente ao professor da turma com o intuito de obter informações sobre seus sujeitos. Segundo o professor colaborador, havia um aluno que demonstrava facilidades no componente curricular Matemática, dois alunos medianos que apresentavam algumas dificuldades

124 122 relacionadas à organização de ideias, mas com rendimentos satisfatórios e, por fim, três alunos que demonstravam muita dificuldade, sendo que dois deles já estavam cursando o nono ano do Ensino Fundamental pela segunda vez. Apesar do rendimento insatisfatório, o professor colaborador destacou que esses alunos demonstravam interesse em sala de aula. Com isso, os sujeitos voluntários possuíam diferentes habilidades, o que possibilitou um estudo com características próximas da realidade encontrada em sala de aula. Dado que os alunos eram menores de idade, o professor-pesquisador entrou em contato com seus responsáveis para marcar uma reunião para esclarecer possíveis dúvidas. Nessa reunião, o professor-pesquisador informou sobre a importância da participação dos sujeitos no experimento, esclarecendo o diferencial do mesmo em relação a uma aula tradicional, uma vez que haveria a utilização de recursos computacionais para o ensino do objeto matemático sistemas lineares. Durante a reunião também foi apresentado o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido, autorizando os sujeitos a participarem como voluntários desta pesquisa. O modelo do Termo de Consentimento Livre e Esclarecido é apresentado no apêndice G. Os encontros para a realização do experimento ocorreram duas vezes por semana no laboratório de informática, com duração de duas horas cada, na unidade escolar em que os sujeitos eram alunos regulares. Além de a escola dispor do ambiente físico necessário para o desenvolvimento do experimento, os estudantes residiam próximo à unidade escolar, facilitando assim sua locomoção. O laboratório de informática possuía vinte e sete computadores com a configuração necessária para a utilização do software Winplot e do software Camtásia, além de contar com um aluno monitor que participava do Programa Acessa Escola 14, que colaborou com o professor-pesquisador na instalação e na realização dos testes necessários nos computadores e nos softwares mencionados anteriormente. 14 O Programa Acessa Escola é um programa desenvolvido pela Secretaria de Estado da Educação do Estado de São Paulo, coordenado pela Fundação para o Desenvolvimento da Educação (FDE). Fonte: < Acesso em 09/03/2012

125 123 Figura 20 Laboratório de Informática utilizado para a realização do experimento. No primeiro encontro, o professor-pesquisador agradeceu a presença de todos os sujeitos, destacando a importância da participação de cada um no experimento. Este primeiro encontro foi realizado em uma sala de aula que estava vaga no período da tarde, e neste momento foi aplicado um Questionário Preliminar 15. O professor-pesquisador esclareceu aos sujeitos envolvidos na pesquisa, que esse questionário tinha por objetivo investigar as concepções prévias que eles possuíam relacionadas ao objeto matemático sistemas lineares e solicitou a inclusão de justificativas escritas nas questões. O questionário preliminar, que foi aplicado de forma individual, possuía nove fichas contendo as dez tarefas que compunham esse instrumento. Ao término de cada ficha, esta era recolhida pelo professor-pesquisador. Só assim o aluno recebia a ficha seguinte. Adotamos esse procedimento para a entrega das fichas, acreditando que, se apresentássemos todas elas de uma única vez, isso poderia trazer interferências nas resoluções dos sujeitos. 15 O Questionário Preliminar consta no apêndice B.

126 124 Apresentamos a seguir alguns resultados provenientes da análise do Questionário Preliminar. Essa aplicação ocorreu individualmente e sem consulta e, com o intuito de facilitar a leitura, classificamos os sujeitos participantes como Aluno A, Aluno B, Aluno C, Aluno D, Aluno E e Aluno F. Todos os alunos demonstraram dificuldades em definir as classificações de um sistema linear, conforme pode ser observado na análise das produções escritas dos estudantes apresentadas no quadro seguinte. Aluno SPD SPI SI A "SPD é a equação onde se é possivel (sic) obter resultados e com x e y já definidos" SPI é a equação onde se é possivel (sic) obter resultados e com x e y indefinidos SI é a equação onde se é impossivel (sic) obter resultado equivalente B É um sistema possivel (sic) defazer (sic) qualquer coisa, seja qual for o problema ele pode ser feito ele é capacitado para poder projetar ou fazer alguma coisa Ele pode ser feito de uma maneira, mais (sic) não ter (sic) tanta certeza de que ele possa realizar, depende que não pode ser realizado de forma alguma, mesmo que tente não consegue porque é impossivel (sic) realizalo (sic) não há solução. para produzilo (sic) C é um sistema que é mais facio (sic) determinar se as duas letrinhas estiver (sic) com o número é um jeito mais complicado de fazer se não montar a conta é um sistema que não tiver a letra x e y com o resoltado (sic), para montar a conta D É um sistema possivel (sic) de ser resolvido e com uma determinada conta Não sei Um sistema impossivel (sic), é um sistema que é impossivel (sic) de ser resolvido E É um sistema que você possa fazer com que de um resultado perto ou um resultado exato Um sistema que não vem com tudo no óbvio, ele só mostra algumas coisas É um sistema que você nunca vai resolver só o criador do sistema consegue resolvelo (sic) ou utiliza-lo (sic) F e quando um problema pode ser resolvido e seu resultado é exato é quando um problema pode ser resolvido mas não tem um total exato é quando um problema não pode ser resolvido e em sequencia (sic) não tem resultado (não é certeza) Quadro 21 Questionário Preliminar Tarefa 1 Produção de todos os alunos

127 125 A seguir, apresentamos as análises dessas produções e os questionamentos realizados pelo professor-pesquisador. Com relação ao Aluno A, quando o professor-pesquisador o questionou a respeito da produção fornecida, ele relatou: eu não sabia o que era e informou que não havia visto o objeto matemático sistemas lineares no ano anterior, sendo assim, segundo este aluno, a sua produção, descrita no quadro anterior, foi fornecida para não deixar o questionamento sem resposta. O professor-pesquisador realizou uma entrevista com o Aluno B que forneceu para investigar sua compreensão a respeito da classificação de sistemas. Ele relatou: eu não sabia de nada, apenas respondi para não deixar em branco. A seguir, o professor-pesquisador pediu para que o mesmo aluno relatasse sobre sistema possível e determinado, sistema possível e indeterminado e sistema impossível. O Aluno B respondeu: um sistema possível e determinado é quando pode ser feito, quando uma coisa é possível de fazer, uma peça por exemplo. Um sistema possível e indeterminado pode ser feito, mas não dá para terminar a peça e o sistema impossível não dá para ser feito, impossível de fazer a peça. Tal fato revelou que o Aluno B entendia a palavra sistema como uma máquina, isto é, um instrumento utilizado para a realização de alguma tarefa. Ao ser questionado, constatou-se que ele acompanhava um tio que trabalhava na confecção/gráfica de roupas, fato que provavelmente o influenciou nesta compreensão. Com relação à produção do Aluno C, pode-se observar que ele associou a expressão possível e determinado com a facilidade de resolver uma equação. Da mesma forma, associou a expressão possível e indeterminado com uma equação que necessita de uma resolução mais elaborada. Quanto ao caso SI, o aluno disse: não dá para resolver. Avaliando a produção do Aluno D, observamos que ele associou as palavras possível e impossível, respectivamente com a possibilidade ou a não de resolver um sistema. Quando o professor-pesquisador solicitou que o aluno explicasse a sua produção, ele respondeu: eu não sabia o que escrever, então chutei. Do mesmo modo podemos observar que o Aluno E apresentou dificuldades em definir as classificações de um sistema linear. Quando entrevistado, ele classificou os sistemas da seguinte forma: o sistema possível e determinado é uma conta que você olhando para ela, já sabe que o resultado é exato. O sistema possível e indeterminado a conta não tem todos os complementos que a pessoa

128 126 precisa. O sistema impossível é uma conta que você bate o olho, ou ela é muito grande ou você já vê que não vai dar em lugar algum, só o criador da conta consegue resolver ou utilizar. Essa produção revela a associação do termo impossível com a dificuldade de realizar um cálculo, fato que conduz o aluno a classificar os sistemas lineares de forma incorreta. Analisando a produção do Aluno F, notamos, como nos casos anteriores, que ele associou os termos possível e determinado, possível e indeterminado e impossível com a possibilidade de resolver um problema e determinar ou não um valor. Quando o professor-pesquisador questionou o aluno a respeito de que tipo de problema ele estava se referindo, ele disse: qualquer problema que precisa de conta. Conforme relatado na análise preliminar das atividades, essa dificuldade apresentada pelos sujeitos de nossa pesquisa também foi constatada por Freitas (1999), tendo em vista que, em seu estudo, o índice de acerto de uma questão que tratava da discussão e classificação dos sistemas propostos foi de 15,5%. Na Tarefa 2, os sujeitos apresentaram dificuldades no reconhecimento e na resolução de um sistema linear. Apresentamos a seguir, algumas das respostas dadas pelos sujeitos para essa tarefa. Figura 21 Questionário Preliminar Tarefa 2 Produção do Aluno F

129 127 Observamos que o Aluno F não reconheceu um sistema de equações. Ele multiplicou as variáveis x das duas equações do sistema, encontrando x 2. A seguir, aplicou a regra de sinais da multiplicação na variável y, e somou os seus coeficientes. Por fim, realizou a adição dos termos independentes, encontrando na sua forma de pensar uma equação do segundo grau. Ao ser entrevistado, o aluno disse que o objeto matemático equação do segundo grau estava sendo tratado pelo professor da turma regular, por isso ele fez essa associação entre a situação proposta e equação do segundo grau. Isso mostra a existência de uma mecanização no ensino, uma vez que o aluno não encontrou qualquer significado para o objeto matemático apresentado, realizando os cálculos de forma mecânica. Apesar de ter realizado uma associação de forma errônea entre esses dois objetos matemáticos distintos, podemos observar que o aluno resolveu a equação x 2 3y 4 0, que em sua maneira de pensar era uma equação do segundo grau, de forma correta. Notamos que o aluno acreditava estar resolvendo a seguinte 2 equação do segundo grau: x 3x 4 0, sendo assim, ele destacou os coeficientes e o termo independente de forma correta. Continuando em seus cálculos, ' determinou o discriminante e determinou as raízes da equação obtendo x 4 e x '' 1. Na sequência, apresentamos a resposta do Aluno A na Tarefa 2. Este estudante foi classificado inicialmente pelo professor colaborador como sendo um aluno acima da média em relação aos demais das turmas de nono ano em que lecionava.

130 128 Figura 22 Questionário Preliminar Tarefa 2 Produção do Aluno A Após a entrevista, o Aluno A justificou que, para resolver os sistemas, era necessário atribuir valores às variáveis x e y para obter os resultados no segundo membro da equação. Nota-se que o aluno considerou cada uma das equações que formavam o sistema de forma isolada, isto é, resolveu cada uma das equações sem considerar que os valores encontrados para a primeira equação deveriam ser os mesmos para a segunda. Analisando a resolução das equações do ponto de vista que o aluno utilizou, notamos que, na primeira equação do item b, o aluno atribuiu para x o valor zero e encontrou para y o valor dois. Salienta-se que os cálculos foram realizados de forma correta e, com isso, o aluno apresentou um par ordenado para a equação. Já na

131 129 segunda equação o aluno atribuiu o valor sete para x e, por um engano em seu cálculo, encontrou para y o valor menos três. Isso fez com que ele encontrasse um par ordenado incoerente com a equação apresentada. No sistema do item c, o aluno atribuiu o mesmo valor para x nas duas equações, encontrando y igual a um. Apesar de esse aluno ter encontrado a solução do sistema, sua determinação foi por tentativas e não por um processo de resolução de sistemas. Ainda, a atribuição do mesmo valor para x nas duas equações ocorreu de forma arbitrária, ou seja, sem a preocupação de avaliar as duas equações simultaneamente. No último sistema que compunha a tarefa, o aluno não conseguiu, pela estratégia de tentativas, encontrar um valor para substituir em x para encontrar um y inteiro. Já na segunda equação ele atribuiu para x o valor três, encontrando, de forma correta, y igual a zero, mas não notou que o sistema era impossível. Na entrevista, o aluno observou que na sua resolução havia errado o cálculo de 4 7, presente na segunda equação do item b, uma vez que atribuiu o resultado 32, enquanto o certo seria 28. Apesar da dificuldade na compreensão de um sistema linear, na entrevista o aluno demonstrou possuir certas habilidades na resolução de equações. O Aluno C tentou resolver todos os sistemas lineares propostos, porém, apresentou grande dificuldade em compreender o significado de um sistema de equações no registro algébrico. Observa-se que ele tentou relacionar as duas equações de forma equivocada. Apresentamos a seguir, sua produção para um dos itens da Tarefa 2: Figura 23 Questionário Preliminar Tarefa 2 Produção do Aluno C.

132 130 Podemos observar que o aluno tentou igualar as duas equações que formavam o sistema linear, colocando a incógnita x em evidência em cada uma das equações, o que denota dificuldades de tratamento no registro algébrico. Quanto aos demais resultados apresentados na Tarefa 2, destacamos que os Alunos B, D e E responderam apenas Não sei. Esse tipo de dificuldade não era esperado, pois o objeto matemático sistemas lineares é tratado com os alunos no oitavo ano do Ensino Fundamental e, como os nossos sujeitos de pesquisa estavam cursando o nono ano deste ciclo, acreditávamos que eles teriam domínio na resolução das situações propostas na Tarefa 2. Observamos, pelas produções dos alunos, que eles não possuíam uma familiarização com o objeto matemático sistemas lineares, assim, ou deixaram de responder as tarefas ou até se utilizaram de conteúdos tratados em sala de aula que não apresentavam relações com sistemas lineares. Na sequência, apresentamos a resolução da Tarefa 3, na qual os sujeitos apresentaram dificuldades em relacionar as diferentes classificações de sistemas lineares com as suas respectivas representações gráficas.

133 131 Figura 24 Questionário Preliminar Tarefa 3 Produção do Aluno D Durante a entrevista, o Aluno D demonstrou dificuldade em expressar o seu raciocínio, sempre que o professor-pesquisador perguntava o porquê das respostas apresentadas nas tarefas, o aluno respondia: não sei por que respondi assim ou dizia eu acho que é assim, só isso. É possível notar que o aluno relacionou as classificações de um sistema com o grau de dificuldade de visualização. Apesar de associar de forma correta o sistema

134 132 possível e indeterminado com a sua representação no registro gráfico, sua justificativa revelou desconhecimento da relação entre a representação gráfica e a classificação de um sistema linear, o que também foi comprovado na entrevista posteriormente realizada. O aluno F fez a associação do sistema possível e indeterminado de forma correta, mas em sua justificativa ele forneceu a seguinte produção escrita: a figura é determinada mais (sic) seus pontos não. Durante a entrevista, o Aluno F disse que não sabia o que responder, por isso havia justificado dessa forma. As produções dos alunos A, B, C e E na Tarefa 3 revelaram que a relação entre a classificação de um sistema linear com a sua representação no registro gráfico foi realizada de forma imprópria. Os alunos A, B e C apresentaram as mesmas respostas com justificativas diferentes. Para o caso de duas retas concorrentes, os alunos disseram que essa representação era de um sistema possível e indeterminado. Para o caso de duas retas coincidentes, os alunos associaram a um sistema impossível. Para o caso de duas retas paralelas distintas, os alunos classificaram como um sistema possível e determinado. Apesar de os Alunos A, B e C terem realizado as mesmas associações, as suas justificativas foram diferentes, tendo em vista que o Aluno A respondeu que a segunda representação no registro gráfico, que se tratava de duas retas coincidentes, seria de um sistema impossível, justificando que O sistema II é impossível pois r e s não podem ter o mesmo valor, o Aluno B justificou da seguinte forma: Porque as duas retas estão juntas, e o Aluno C, justificou a associação realizada por ele da seguinte maneira: porque as retas estão na mesma fonte de linhas paralelas. Na terceira representação no registro gráfico, eram apresentadas duas retas paralelas não coincidentes, sendo assim, a representação de um sistema impossível. Os alunos associaram essa terceira representação como sendo de um sistema possível e determinado, sendo que o Aluno B justificou da seguinte forma: Porque estão alinhadas, e podem ter algum resultado. O Aluno C justificou de uma maneira mais obscura: os pontos estão as contantes (sic) relações de alinhamento e o Aluno A apresentou a seguinte justificativa: O sistema III é possível e determinado pois as retas estão paralelas e não existe ligação entre eles (sic). Na primeira representação no registro gráfico, referente a duas retas concorrentes, sendo assim, a representação gráfica de um sistema possível e

135 133 determinado, os alunos a classificaram como um sistema possível e indeterminado. O Aluno C apresentou a seguinte justificativa: por que as retas não estão de forma x e y positivo e durante a entrevista este aluno não conseguiu explicar o que pretendeu dizer em sua justificativa, ficando até em dúvida com a sua resposta. O Aluno B justificou que pela função das retas, é possível achar e pode haver um resultado possivel (sic). Neste caso, o aluno relacionou a inclinação das retas como sendo função das retas. O Aluno A apresentou a seguinte justificativa: O sistema I é possível e indeterminado pois as retas se ligam. Como havíamos previsto durante a apresentação e análise preliminar das atividades do questionário inicial, mesmo essa tarefa sendo semelhante a uma atividade apresentada no Caderno do Aluno de Matemática da 7ª série / 8º ano, os alunos apresentariam dificuldade. Isso porque havia apenas uma atividade que envolvia esse tipo de exploração e, provavelmente, isso não seria suficiente para o aluno realizar as relações existentes entre a classificação de um sistema linear e a sua representação no registro gráfico. Na Tarefa 4, que tratava da associação entre as representações algébrica e gráfica de sistemas lineares, o Aluno D respondeu apenas não sei e não realizou nenhuma associação. Os Alunos B e F realizaram corretamente a associação entre os registros gráfico e algébrico, mas responderam não sei explicar/justificar. Foi possível observar, durante a entrevista, que os alunos não fizeram a análise da proporcionalidade dos coeficientes e dos termos independentes dos sistemas para o estabelecimento da relação entre as representações dos registros gráfico e algébrico. Os Alunos A e C justificaram todos os itens da Tarefa 4 de forma incorreta, apesar de eles associarem de forma correta a segunda representação no registro gráfico com a terceira representação do sistema linear no registro algébrico. O Aluno E associou todas as representações no registro gráfico com o registro algébrico de forma correta, mas com justificativas inadequadas, como apresentamos a seguir:

136 134 Figura 25 Questionário Preliminar Tarefa 4 Produção do Aluno E Podemos observar que, na justificativa do Aluno E, ele relacionou o tamanho das retas com os termos independentes de maior valor, acreditando que o tamanho da reta no plano cartesiano estava associado com os valores dos termos independentes, por isso associou a terceira representação no registro gráfico com a primeira representação no registro algébrico. Já a segunda representação no registro gráfico, o aluno a associou com a terceira representação no registro algébrico. Durante a entrevista, o aluno disse que fez essa associação porque a reta azul estava descendo e a rosa subindo por isso os coeficientes de y deveriam ter sinais opostos. O aluno associou a segunda representação do registro algébrico com a primeira do registro gráfico, observando que as equações do sistema possuíam

137 135 termos independentes negativos e, por este motivo, as duas retas deveriam descer. Essa produção mostra que o aluno buscou estabelecer relações entre representações de dois registros distintos, porém, essa tentativa de conversão não ocorreu de maneira correta. Apesar de realizar incorretamente duas associações, o único aluno que durante a entrevista demonstrou ter feito alguma tentativa de relação entre os coeficientes dos sistemas lineares com as representações no registro gráfico foi o Aluno A. A seguir apresentamos as respostas propostas por esse aluno. Figura 26 Questionário Preliminar Tarefa 4 Produção do Aluno A

138 136 Durante a entrevista, o Aluno A disse que relacionou a primeira representação no registro gráfico com a primeira representação no registro algébrico, porque as duas retas eram paralelas e, com isso, comparando os coeficientes de x das duas equações, estes deveriam ter o mesmo sinal e situação semelhante deveria ocorrer com os coeficientes de y. Da mesma forma o aluno realizou a associação da terceira representação no registro gráfico com a segunda representação no registro algébrico, justificando que as retas possuíam a mesma direção, portanto, elas deveriam estar relacionadas com equações que possuíssem coeficientes de x e de y todos com o mesmo sinal, sendo, no caso, todos negativos. A última representação no registro algébrico o aluno relacionou corretamente com a segunda representação no registro gráfico. Durante a entrevista, o aluno justificou essa associação, dizendo que uma das retas estava subindo e a outra descendo, por isso elas deveriam ter os coeficientes com sinais opostos, fato que ocorria com os coeficientes de y no terceiro sistema linear apresentado. Podemos notar que o aluno, mesmo de forma equivocada, analisou os coeficientes das equações para realizar a associação entre os registros gráfico e algébrico, mas em nenhum momento ele mencionou ter realizado alguma análise entre os termos independentes das equações que formavam os sistemas apresentados na Tarefa 4. Partindo dessa análise, pudemos observar a dificuldade dos alunos em associar a representação de um sistema linear no registro gráfico com a sua representação no registro algébrico. Battaglioli (2008) assinalou que os livros didáticos pouco exploram o registro gráfico e, em nossa análise do Caderno do Aluno, observamos a inexistência desse tipo de relação entre os registros gráfico e algébrico pela análise de proporcionalidade entre os coeficientes. Ainda, Freitas (1999) descreveu que os sujeitos que participaram de sua pesquisa não realizaram uma associação entre os coeficientes que compunham um sistema com as características dos gráficos. Na Tarefa 5, foi apresentado aos alunos o seguinte sistema linear 2x 2y 4. Aos alunos foi proposto que considerassem o valor de a igual a ax 5y 10 cinco, e sem resolver o sistema, pretendia-se que associassem sua representação

139 137 algébrica com a gráfica. A representação no registro algébrico que satisfazia a situação apresentada acima era a primeira representação que possuía duas retas paralelas coincidentes. Todos os alunos realizaram a associação de forma equivocada. Os Alunos B, C, E e F associaram o sistema linear no registro algébrico com a segunda representação no registro gráfico, referente a um sistema linear possível e determinado. Os Alunos A e D o associaram com a terceira representação, que se tratava de um sistema impossível. Nas justificativas apresentadas pelos alunos, os Alunos B e D responderam não sei e os outros quatro alunos justificaram de forma incorreta. Selecionamos, para apresentação, as respostas mais significativas apresentadas por dois alunos. Figura 27 Questionário Preliminar Tarefa 5 Produção do Aluno A

140 138 O aluno observou que havia uma proporcionalidade entre as equações que formavam o sistema linear proposto, mas quando foi realizar a associação com a sua representação no registro gráfico, ele cometeu um erro, acreditando que a representação deveria ser de duas retas paralelas. A seguir, apresenta-se a produção do Aluno C nesta mesma tarefa. Figura 28 Questionário Preliminar Tarefa 5 Produção do Aluno C O aluno analisou apenas a segunda equação que formava o sistema, na qual os valores dos coeficientes de x e y eram positivos. Durante a entrevista, ele

141 139 justificou a sua resposta, dizendo que após analisar as três representações, observou que na segunda era apresentada a reta azul que estava na sua maior parte, do lado direito do eixo y, acreditando que se tratava de uma "reta positiva", e como os coeficientes que formavam a segunda equação eram todos positivos, a reta azul representava essa equação. Novamente observa-se uma tentativa de relação entre representações de dois registros distintos, apesar de inadequada. Na Tarefa 6, foi proposto aos alunos o mesmo sistema linear no registro algébrico da tarefa anterior, porém, após a análise, esperava-se que eles concluíssem que, para qualquer valor diferente de cinco, não existiria proporcionalidade entre os coeficientes, portanto, se tratava de um sistema linear possível e determinado. Consequentemente, a associação deveria ser feita com a terceira representação no registro gráfico. Os Alunos B e D responderam não sei na justificativa e não fizeram qualquer associação entre as representações no registro gráfico com o sistema linear proposto. Os alunos E e F relacionaram com a primeira representação no registro gráfico que era de um sistema linear impossível. O aluno A associou o sistema linear proposto com a segunda representação no registro gráfico, a qual se tratava de um sistema linear possível e determinado. Apenas o Aluno C realizou de forma correta a associação do sistema proposto com a sua representação no registro gráfico, mas a sua justificativa não estava associada com a não existência de proporcionalidade entre os coeficientes, como vemos a seguir:

142 140 Figura 29 Questionário Preliminar Tarefa 5 Produção do Aluno C Com isso, pudemos concluir que os alunos não conseguiram estabelecer relações entre representações dos registros gráfico e algébrico partindo da análise da existência ou não de proporcionalidade entre os coeficientes de um sistema linear. A Tarefa 7 apresentou o seguinte sistema linear no registro algébrico 2x 2y 4. Foi solicitada aos alunos a substituição de b pelo valor sete, e sem 5x 5y b resolver o sistema, eles deveriam associá-lo com a sua representação gráfica. Para esta resolução, os alunos poderiam observar a existência de proporcionalidade entre

143 141 os coeficientes das duas equações, mas não entre os termos independentes, sendo, portanto, um sistema impossível. Com isso, a associação ocorreria com a segunda representação no registro gráfico. Os alunos B e D não fizeram a associação, e na justificativa responderam não sei. O aluno A associou incorretamente o sistema com a primeira representação, que se tratava de um sistema possível e determinado. O Aluno E associou o sistema citado anteriormente com a terceira representação, a de um sistema possível e indeterminado. Os alunos C e F, que associaram de forma correta o sistema proposto com a segunda representação no registro gráfico, não conseguiram justificar a sua escolha, o que indica que a escolha foi realizada a esmo. Já era esperado que os alunos apresentassem dificuldades para a realização das Tarefas 5, 6 e 7, dado que Freitas (1999) revelou que seus sujeitos também apresentaram dificuldades em situações de análise de parâmetros para a classificação de sistemas lineares. Além disso, a análise de livros e do caderno do aluno apontou que este tipo de exploração não é usual. Na Tarefa 8, que solicitava a representação gráfica de um sistema linear partindo de sua representação algébrica, o aluno B respondeu não sei para os três sistemas lineares apresentados, sem tentar fazer a conversão para o registro gráfico. O Aluno D apenas marcou um sistema cartesiano para cada um dos sistemas, mas não construiu qualquer reta. O Aluno F somente destacou os valores dos coeficientes de x e de y em cada uma das equações que formavam os sistemas lineares, como apresentamos a seguir. Figura 30 Questionário Preliminar Tarefa 5 Produção do Aluno F

144 142 Os alunos A, C e E realizaram a tarefa de forma incorreta. O Aluno C construiu retas concorrentes nos três sistemas apresentados e, mesmo no caso do sistema possível e determinado, a sua construção estava incorreta. Era esperado que os alunos encontrassem dificuldades para a construção gráfica requerida. Segundo Freitas (1999), os livros didáticos apresentam um enfoque muito superficial no registro gráfico, sendo mais focalizado o registro algébrico, quando se trata do objeto matemático sistemas lineares. E segundo Duval (1995), os registros monofuncionais discursivos são os privilegiados no ensino e, com isso, os estudantes podem ter dificuldades em operar com o mesmo objeto matemático em outros registros. A Tarefa 9, referente a uma aplicação de sistemas lineares, foi retirada do Caderno do Aluno da 7ª série / 8º ano do Ensino Fundamental. Nenhum dos alunos converteu o problema dado em língua natural para a linguagem algébrica. Na entrevista, eles disseram que foram tentando encontrar os valores referentes ao problema por tentativa e erro. Observamos que nenhum deles tentou construir um sistema linear para resolver o problema. Os alunos A,C e F atribuíram valores incorretos para o refrigerante e para o misto. O Aluno D apenas apresentou os valores, mas não identificou a que produtos estavam relacionados os dados apresentados. Os alunos B e E encontraram os valores corretos para o problema proposto, mas como já foi citado anteriormente, esses valores foram encontrados por tentativas, sem recorrer aos sistemas lineares para a sua resolução. Segundo Battaglioli (2008), os alunos não encontrariam dificuldades para realizar esta tarefa, uma vez que a maioria dos livros didáticos inclui a conversão do registro da língua natural para o registro algébrico no conteúdo de sistemas lineares. Apesar disso, os sujeitos de nossa pesquisa apresentaram tal dificuldade durante a realização da Tarefa 9. A última tarefa do questionário inicial, na qual era solicitada a elaboração de um problema partindo de um sistema linear na forma algébrica, cinco alunos A, B, D, E e F não apresentaram resolução ou responderam não sei. Apenas o Aluno C começou a converter a tarefa dada na representação algébrica para a língua natural, mas acrescentou apenas: Renan tem 2 reais e 6 centavo (sic), e ele comprou 6 p. Podemos notar que o aluno acreditava que o coeficiente de x correspondia ao valor

145 143 em reais, o coeficiente de y correspondia aos centavos e o termo independente deveria corresponder ao valor de um produto. Analisando os resultados desta primeira fase, constatamos que os nossos sujeitos não reconheciam um sistema linear, não dominavam qualquer técnica de resolução de sistemas lineares, não sabiam representar um sistema linear no registro gráfico ou no algébrico, não tinham compreensão das classificações de um sistema linear e não utilizavam a análise da proporcionalidade dos coeficientes para avaliar o tipo de sistema dado. Como a nossa proposta, que visava avaliar a qualidade de um sistema linear pela análise da proporcionalidade dos coeficientes, contava com certos conhecimentos prévios dos estudantes, houve a necessidade de um primeiro redesign 16, que consistiu em revisar os métodos de resolução, a representação gráfica de uma reta a partir de uma equação e as classificações de um sistema, sem, contudo, trabalhar com os pontos previstos no experimento. Salienta-se que o redesign constitui uma característica da metodologia de Design Experiment adotada em nossa pesquisa. Nesta fase, optamos por um trabalho conjunto entre professor-pesquisador e alunos. Iniciamos as atividades 17 do redesign com uma tarefa semelhante a uma proposta aos sujeitos no Caderno do Aluno. Ela teve por objetivo a construção do gráfico de uma função de primeiro grau no plano cartesiano, partindo da elaboração e do preenchimento dos dados obtidos em uma tabela. Incluímos este tipo de tarefa no redesign pelo fato de observarmos as dificuldades dos estudantes em construções gráficas. Apresentamos a seguir a primeira tarefa do redesign: Figura 31 Tarefa 1 da Atividade do redesign 16 Redesign: Adaptação e inserção de novas conjecturas no experimento inicial, em função das produções apresentadas pelos alunos. 17 As atividades do redesign na estrutura apresentada aos estudantes estão presentes nos Apêndices H e I.

146 144 O professor-pesquisador resolveu a tarefa em conjunto com os alunos, primeiro solicitando para isolarem o y. Nesse momento, ele notou que os alunos demonstraram dificuldade para isolar y, em virtude do sinal de menos que o antecedia. Em seguida, o professor-pesquisador elaborou na lousa uma tabela semelhante à apresentada a seguir: x y=x+1 y (x,y) -2 y= (-2, -1) -1 y= (-1, 0) 0 y=0+1 1 (0, 1) 1 y=1+1 2 (1, 2) 2 y=2+1 3 (2, 3) 3 y=3+1 4 (3, 4) 4 y=4+1 5 (4, 5) 5 y=5+1 6 (5, 6) Tabela 12 Tabela elaborada para a construção do gráfico de y=x+1 no plano cartesiano.. Com os pares ordenados encontrados, o professor-pesquisador construiu, em conjunto com os alunos, o gráfico referente à primeira tarefa. Salienta-se que, durante a construção, o professor-pesquisador solicitava sugestões dos alunos e observava as possíveis dificuldades. Dando sequência ao redesign, foi proposta aos sujeitos de pesquisa a resolução de três sistemas lineares, dos quais o primeiro era um sistema possível e determinado (item a); o segundo era um sistema possível e indeterminado (b) e o último um sistema impossível (c). 1) Resolva os sistemas lineares por substituição ou por adição e classificar os sistemas de acordo com o tipo de solução encontrada. a) x 2y 5 x y 1 b) 7x 21y 35 2x 6y 10 c) 3x 3y 2 x y 3 Figura 32 Tarefa 2 da Atividade do redesign

147 145 A seguir, apresentamos a resolução realizada com a colaboração de todos os envolvidos na pesquisa, isto é, o professor-pesquisador construiu a resolução de cada sistema na lousa, sempre ouvindo as sugestões dos sujeitos e intervindo quando necessário para facilitar a resolução das tarefas propostas. Figura 33 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos Tarefa 2a Redesign O método utilizado para a resolução dos sistemas lineares foi o método da substituição, uma vez que o professor colaborador afirmou que os alunos em geral demonstravam menos dificuldade em compreender e aplicar este método na resolução de sistemas. Para facilitar a aplicação do método escolhido, o professor-pesquisador foi anotando as etapas na lousa sempre com a colaboração dos sujeitos. Primeiramente eles foram questionados sobre o que significariam os termos isolar e incógnita e de acordo com as respostas sugeridas pelos alunos, foram anotados sinônimos que dariam sentido aos sujeitos.

148 146 O professor-pesquisador sugeriu aos estudantes a escolha de uma das equações que eles julgassem mais simples para isolar uma das incógnitas. Após analisarem as equações, sugeriram escolher a equação II para efetuar o primeiro passo, obtendo assim a seguinte equação: Figura 34 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos Tarefa 2a Redesign Seguindo o método escolhido para a resolução do sistema, os alunos não demonstraram dificuldades em substituir a incógnita, isolada no primeiro passo, na equação I. O professor-pesquisador observou que os sujeitos apresentavam algumas dificuldades na resolução de uma equação. A primeira dificuldade apresentada foi agrupar os termos semelhantes e a seguinte foi permutar os termos entre o primeiro e o segundo membros da equação. Eles sempre usavam a expressão troca de lado tem que trocar o sinal, com isso, a resolução das equações ocorreria de forma equivocada. O professor-pesquisador realizou na lousa a resolução da equação, sempre comentando o princípio do equilíbrio que deve existir entre os membros de uma equação.

149 147 Figura 35 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos Tarefa 2a Redesign Após determinar o valor de y, o professor-pesquisador questionou os alunos a respeito da etapa necessária para determinar o valor de x. Figura 36 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos Tarefa 2a Redesign

150 148 A partir daí, o professor-pesquisador estabeleceu a classificação do sistema proposto aos sujeitos. A seguir apresentamos a resolução do item b, que era um sistema linear possível e indeterminado. Neste item, os sujeitos demonstraram mais confiança na resolução do sistema. O professor-pesquisador foi anotando tudo o que foi sugerido pelos sujeitos e interviu somente nos momentos de bloqueio, para favorecer o encaminhamento da resolução do sistema. Figura 37 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos Tarefa 2b Redesign Os alunos escolheram a equação que passaria pelo primeiro passo, informando que possuíam números menores e com isso ficaria mais fácil para isolar uma das incógnitas. Os sujeitos escolheram isolar o x por observarem que essa incógnita era multiplicada "menos vezes", com isso, seria mais fácil isolá-la. Seguindo as etapas propostas para a resolução do primeiro sistema, apresentamos a seguir a sua resolução e classificação:

151 149 Figura 38 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos Tarefa 2b Redesign Figura 39 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos Tarefa 2b Redesign

152 150 Para não interferir na aplicação do experimento, finalizamos a resolução do sistema anterior e o classificamos em sistema possível e indeterminado, dado que o professor colaborador relatou que esta é a forma como apresentam a classificação deste tipo de sistema aos alunos neste nível de ensino. Sempre acolhendo as sugestões dos sujeitos, apresentamos a seguir a resolução do sistema do item c, que era um sistema impossível. Figura 40 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos Tarefa 2c Redesign Figura 41 Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos Tarefa 2c Redesign

153 151 No final da resolução da equação, os sujeitos acharam estranha a resposta final e manifestaram isso olhando um para o outro com um semblante de dúvida. Um dos sujeitos acreditava que a resolução estava errada, pois, no final da conta, não poderia aparecer nove igual a dois. O professor-pesquisador disse para a turma que a resolução estava correta e que durante a realização da segunda parte do redesign que tratava da representação no registro gráfico, seria discutido o resultado encontrado com maior profundidade. O professor-pesquisador informou que foi desta maneira que eles aprenderam no oitavo ano do Ensino Fundamental e questionou se, na época, eles não acharam um absurdo o resultado encontrado. Eles disseram que nunca haviam pensado nisso. Para a representação no registro gráfico dos sistemas lineares apresentados anteriormente, o professor-pesquisador perguntou aos sujeitos se eles recordavam a forma de construção do gráfico de uma equação e prosseguiu com a resolução do seguinte sistema: Figura 42 Construção do gráfico elaborado pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos Tarefa 2a (gráfico) Redesign

154 152 O professor-pesquisador sugeriu aos alunos que separassem cada uma das equações que formavam o sistema linear e a seguir isolassem a letrinha y de cada uma das equações. Com isso, com a colaboração dos alunos, obtiveram as seguintes equações: Figura 43 Resolução das equações elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos Tarefa 2a (gráfico) Redesign Como citado anteriormente, alguns alunos ficaram em dúvida em relação à variável y ser antecedida por um sinal de menos, e um dos alunos sugeriu multiplicar toda a equação por menos um, a fim de alterar o valor da variável. Dando sequência na resolução da tarefa, o professor-pesquisador solicitou aos alunos a construção de uma tabela para cada uma das equações encontradas, atribuindo valores para x que achassem convenientes. Os alunos demonstraram dificuldades para preencher a primeira tabela, pois notaram que, para valores pares atribuídos a variável x, os valores encontrados para y não eram números inteiros. O professor-pesquisador sugeriu aos alunos atribuírem apenas número ímpares, com isso os resultados encontrados para a variável y

155 153 seriam números inteiros, facilitando assim a construção gráfica. Com isso, os alunos conseguiram completar as duas tabelas sem dificuldades. Figura 44 Tabelas elaboradas pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos Tarefa 2a Redesign Em seguida o professor-pesquisador construiu em conjunto com os alunos um plano cartesiano, localizando os pares ordenados encontrados na primeira tabela. Com isso, eles construíram a reta relacionada. O mesmo processo foi realizado para a outra equação, obtendo o seguinte gráfico: Figura 45 Representação no registro gráfico no plano cartesiano elaborada pelo professorpesquisador em conjunto com os alunos Tarefa 2a (gráfico) Redesign O professor-pesquisador informou aos alunos que o ponto de intersecção entre as duas retas era a solução do sistema proposto. Ressaltou, ainda, que eles já

156 154 haviam encontrado esta solução no processo algébrico. Nesse ponto observamos a dificuldade dos alunos em relacionar um mesmo sistema linear representado num primeiro momento no registro algébrico e a seguir no registro gráfico. Salienta-se que dificuldades deste tipo também foram observadas por Freitas (1999). Neste momento, não foram apresentadas aos alunos as representações gráficas de sistemas possível e indeterminado e impossível. A ausência dessas representações foi devida à preocupação de não fornecer dados que pudessem interferir na aplicação do experimento elaborado. A seguir, apresentamos a descrição da Fase 2 do Design, representada pelas atividades do experimento nos ambientes papel e lápis e Winplot. 6.2 DESCRIÇÃO DA FASE 2 No início de nossa pesquisa, contávamos com seis alunos, os quais participaram do questionário preliminar. Na fase 2 tínhamos por objetivo formar três duplas para a aplicação do experimento, mas por motivos particulares, dois sujeitos deixaram de participar dos encontros. Com isso, nesta seção, apresentamos somente a análise referente à produção de duas duplas, e para facilitar a leitura, estas foram classificadas como Dupla 1 e Dupla 2. A Dupla 1 era formada pelos alunos A e B, e a Dupla 2 pelos alunos C e D, alunos que apresentamos anteriormente quando da exposição do questionário inicial. Antes da aplicação do experimento, foi realizada uma familiarização ao software Winplot. Para isso, o professor-pesquisador utilizou um projetor multimídia em conjunto com um notebook para um melhor acompanhamento dos alunos na utilização do software. Cada aluno ficou em um computador, com os softwares Winplot e Camtasia Studio 18 instalados. Foi entregue aos alunos um roteiro por nós elaborado, contendo os comandos necessários para a utilização do software Winplot durante o desenvolvimento do experimento. Esse roteiro é apresentado no apêndice A, intitulado Familiarização do Software Winplot. No início os alunos demonstraram certo nervosismo pelo fato de utilizarem pela primeira vez uma ferramenta computacional que tinha por objetivo auxiliá-los na 18 Fonte:

157 155 construção de gráficos no plano cartesiano. O professor-pesquisador foi apresentando os comandos do software pausadamente, sugerindo aos alunos que construíssem duas retas concorrentes conforme indicação do roteiro. Ainda, apontou a possibilidade de alteração de algumas configurações que eram apresentadas pelo software, como por exemplo, a espessura de cada uma das retas e sua cor. Ao final da familiarização os alunos demonstraram satisfação com a conclusão do roteiro e questionaram o professor-pesquisador se poderiam treinar mais no computador. Foram sugeridos mais alguns exemplos de equações para que os alunos construíssem os respectivos gráficos com o auxílio do software. Nesta fase, os alunos apresentaram mais confiança, necessitando de menos tempo para concluir as tarefas. Com isso ressaltamos que neste momento o computador foi um instrumento motivador, fato que converge com a visão de Fonseca e Júnior (2011), quando defendem que as novas tecnologias em sala de aula despertam o interesse dos estudantes. Após esta etapa de familiarização, foram entregues para cada dupla, fichas contendo cada uma das atividades que constituíam o experimento. Os arquivos que os alunos utilizariam experimentalmente no software Winplot já estavam instalados nos computadores, em uma pasta que o professor-pesquisador indicou para as duplas. A seguir, apresenta-se a análise das trajetórias dos estudantes durante a execução do experimento Análise do caso SPI Atividades 1 e 2 A Tarefa 1 da Atividade 1 teve por objetivo que os estudantes observassem, experimentalmente no software Winplot, que um sistema de duas equações e duas incógnitas com equações iguais resulta graficamente em duas retas coincidentes. Para a resolução desta tarefa, era necessário estabelecer relações entre os registros simbólico-algébrico e gráfico. Apresentaremos a seguir a primeira tarefa, acompanhada dos procedimentos necessários para a realização experimental no software Winplot.

158 156 Figura 46 Atividade 1 Tarefa 1 do Design. Os alunos abriram o arquivo 1, encontrando a seguinte tela: Figura 47 Atividade 1 Tarefa 1 do Design no software Winplot.

159 157 Seguindo as orientações apresentadas na Tarefa 1, os alunos deveriam encontrar a seguinte tela que apresenta a resposta para a primeira questão proposta nesta atividade. Figura 48 Atividade 1 Tarefa 1 do Design no software Winplot. Com o auxílio do software, os alunos poderiam concluir que, para a primeira questão da Tarefa 1, o valor de a deveria ser igual a três para que as retas ficassem coincidentes. Os alunos já estavam familiarizados com os comandos do software Winplot e, com isso, eles não solicitaram em qualquer momento a ajuda do professorpesquisador para a utilização dessa ferramenta. Apresentaremos a seguir a primeira tarefa realizada pelas Duplas 1 e 2, respectivamente:

160 158 Figura 49 Produção da Dupla 1 Atividade 1 Tarefa 1. Figura 50 Produção da Dupla 2 Atividade 1 Tarefa 1.

161 159 Observamos que os alunos da dupla 2 apresentaram dificuldades para responder à primeira tarefa. Eles não entendiam o significado dos parâmetros apresentados nos sistemas lineares que formavam a primeira tarefa e, com isso, demonstraram dificuldades em justificar suas respostas. Como foi verificado por Freitas (1999), os alunos geralmente não compreendem o significado de um parâmetro inserido em um sistema linear, possivelmente por não terem uma relação maior com esse tipo de abordagem. Como haveria outros contatos com este tipo de sistema, o professor-pesquisador optou por não interferir naquele momento. Na tarefa 2, pretendia-se observar se o estudante estabeleceria a representação gráfica do sistema linear proposto no ambiente papel e lápis, e se justificaria o resultado gráfico encontrado. A seguir apresentamos a Tarefa 2: Figura 51 Atividade 1 Tarefa 2 do Design Mesmo após realizarmos a revisão apresentada anteriormente, pudemos notar que os alunos apresentavam insegurança para construir a representação gráfica do sistema linear proposto no papel e lápis. Com isso, eles perguntaram se poderiam realizar essa primeira atividade pelo Winplot. Compreendendo a insegurança dos alunos, o professor-pesquisador permitiu que os alunos começassem pelo Winplot. Com base na teoria de Duval (2003), é provável que essa insegurança com o registro gráfico tenha ocorrido pelo fato de o ensino de Matemática privilegiar os registros monofuncionais discursivos em detrimento dos demais. Com o auxílio da ferramenta computacional, as duplas realizaram a Tarefa 2. A seguir apresentamos a produção da Dupla 2:

162 160 Figura 52 Produção apresentada pela Dupla 2 - Atividade 1 Tarefa 2 do Design Podemos notar que, para a construção do sistema linear proposto com o auxílio do software Winplot, os alunos não apresentaram dificuldades. Segundo Pereira (2011) e Borba e Penteado (2005), as novas tecnologias estão cada vez mais presentes no cotidiano do aluno e, provavelmente por este fato, observamos grande facilidade no uso do software Winplot durante o experimento. Apesar disso, para a construção do mesmo gráfico no ambiente papel e lápis, eles não tinham ideia de que estratégia usar para esta construção. Apresentamos, a seguir, as produções das duplas 1 e 2, respectivamente:

163 161 Figura 53 Produção da Dupla 1 Atividade 1 Tarefa 2. Figura 54 Produção da Dupla 2 Atividade 1 Tarefa 2.

164 162 Podemos observar que a Dupla 1 transpôs o resultado obtido no Winplot, mas construiu a representação no registro gráfico com equívoco no valor da intersecção entre a reta e o eixo y. Ao ser questionada pelo professor-pesquisador, ela justificou a sua construção informando que As 2 retas obtidas são coincidentes pois as 2 equações são iguais. Nota-se que, como os alunos da Dupla 2 já sabiam o resultado gráfico pelo Winplot, eles apresentaram uma construção gráfica coerente, porém, pôde-se notar vários problemas de tratamentos na resolução algébrica apresentada. Ainda, pela justificativa apresentada por estes alunos, detectamos dificuldades quanto à classificação de um sistema linear. Os alunos apresentaram a seguinte justificativa: Achando a solução x e y, você terá uma equação possível e determinada. Pelo fato de ser possível construir a reta, os alunos acreditavam que o sistema proposto era possível e determinado, enquanto que o correto seria classificá-lo como sistema linear possível e indeterminado. Nas tarefas 3 e 4, esperávamos que os estudantes observassem a existência de várias respostas comuns às duas equações, relacionando esse fato com a classificação "Sistema Possível e Indeterminado". A seguir, apresentamos as tarefas 3 e 4: Figura 55 Atividade 1 Tarefas 3 e 4 do Design

165 163 Novamente notamos que os alunos apresentaram dificuldades para classificar um sistema linear e observamos, também, a dificuldade apresentada pelos alunos na resolução de uma equação do primeiro grau. A Dupla 1 apresentou dificuldades nos cálculos quando os coeficientes de x e y eram números negativos, completando de forma incorreta a tabela quando inseriram tais números. Apesar disso, nota-se que essa dupla, mesmo com algumas dificuldades em justificar sua compreensão na representação da língua natural, conseguiu realizar a classificação do sistema linear proposto. A Dupla 2 completou grande parte da tabela de forma incorreta, acertando apenas dois pares ordenados que satisfaziam as duas equações. Nesta tarefa, a dupla classificou incorretamente o sistema linear proposto como sendo um sistema possível e determinado. A seguir, apresentamos as produções das Duplas 1 e 2, respectivamente: Figura 56 Produção da Dupla 1 Atividade 1 Tarefas 3 e 4.

166 164 Figura 57 Produção da Dupla 2 Atividade 1 Tarefas 3 e 4. Notamos, então, que deficiências em cálculos e em equações afetaram a resolução dessa tarefa. A Atividade 2 teve por objetivo geral explorar as condições algébricas necessárias para que duas retas sejam coincidentes, por meio da comparação entre representações dos registros simbólico-algébrico e gráfico dos sistemas lineares

167 165 propostos. Esperávamos que os estudantes relacionassem os coeficientes e os termos independentes de um sistema de duas equações e duas incógnitas, verificando experimentalmente, com o auxílio do software Winplot, que para obter retas coincidentes é necessário existir uma proporcionalidade entre os coeficientes e os termos independentes das equações que formam o sistema linear. Aguardávamos, ainda, que os estudantes relacionassem a representação gráfica de duas retas coincidentes com a obtenção de infinitas soluções e que classificassem estes casos como sistemas possíveis e indeterminados. Na tarefa 1 os alunos observaram um sistema com duas equações e duas incógnitas, no qual os coeficientes das incógnitas x e y eram iguais entre as duas equações, e o termo independente de uma das equações era o parâmetro a. Apresentamos, a seguir, a atividade proposta aos alunos utilizando o software Winplot. Figura 58 Atividade 2 Tarefa 1 do Design no software Winplot. Após analisarem a situação com o auxílio do software, esperava-se que os alunos verificassem que a proporção existente entre os coeficientes de x e de y das equações também deveria existir entre os termos independentes para que as retas se tornassem coincidentes. Com isso os alunos poderiam conjecturar que o mesmo deveria ocorrer na segunda parte da Tarefa 1, onde foi apresentado um novo

168 166 sistema de equações com as mesmas características do primeiro sistema. Apresentamos a seguir a primeira tarefa da Atividade 2: Figura 59 Atividade 2 Tarefa 1 do Design Novamente observamos que os alunos apresentaram dificuldades para compreender o significado do parâmetro existente no segundo sistema linear proposto nesta atividade, e desta vez, apresentaram dificuldades na utilização do

169 167 software Winplot. Apresentamos a seguir as produções das duplas que colaboraram com o nosso experimento. Figura 60 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa 1.

170 168 Figura 61 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa 1. A Dupla 1 resolveu de forma correta a primeira parte da Tarefa 1, mas para o segundo sistema linear proposto nessa tarefa, a dupla registrou que o valor do parâmetro b deveria ser igual a trinta e logo em seguida, afirmou que as duas respostas encontradas, no papel e lápis e no Winplot, eram iguais. Pela análise da

171 169 tela capturada pelo software Camtásia, foi possível observar que os alunos haviam realizado de forma correta a tarefa com o Winplot, encontrando o valor quarenta e cinco para o parâmetro b, e que o erro ocorreu no momento de registrar o valor na ficha de atividades. Conjecturamos que a Dupla 1 possa ter estabelecido uma proporcionalidade entre os coeficientes, pois não havia qualquer registro dos cálculos realizados por essa dupla por se tratar de uma valor fácil de ser determinado mentalmente. A Dupla 2, não conseguindo relacionar o segundo sistema linear proposto na segunda parte da tarefa, tentou resolver o sistema utilizando o software Winplot, mas para fazer essa atividade neste ambiente, os alunos inseriram a equação 15 x 12y b e, com isso, encontraram a seguinte representação gráfica: Figura 62 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa 1 Notamos que os alunos não observaram a proporcionalidade existente entre as equações que formavam o sistema linear apresentado, e não demonstraram iniciativa em construir o gráfico da segunda equação com o software no mesmo plano cartesiano. Diante disso, após inserirem a primeira equação no software Winplot, encontraram uma tela semelhante à tela apresentada na figura 79, concluindo que o valor de b deveria ser igual à zero.

172 170 Se tivessem realizado esse processo corretamente, encontrariam a seguinte representação gráfica. Figura 63 Exemplo de uma tela do software Winplot - Atividade 2 Tarefa 1. Era esperado que, após a realização da construção do sistema proposto no Winplot, os alunos verificassem que o valor do parâmetro b não poderia ser igual à zero para obter duas retas coincidentes. Além de os alunos terem apresentado dificuldade em compreender o significado de um parâmetro em um sistema linear, dificuldade também encontrada na pesquisa de Freitas (1999), eles tentaram resolver o sistema linear anterior no ambiente papel e lápis. Na ocasião, pudemos identificar outras dificuldades dos alunos na resolução de equações, conforme pode ser observado a seguir. Figura 64 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa 1

173 171 Notamos que na primeira equação à esquerda, a Dupla 2 tentou isolar a incógnita y, mas acabou cometendo um equívoco na quinta linha, quando a incógnita x desapareceu da equação. Com isso, determinaram que o valor da incógnita y deveria ser igual a quatro. Ressalta-se que eles não tentaram encontrar um valor para a incógnita x, terminando assim os seus cálculos. Para a equação à direita, como havia um parâmetro, a dupla não continuou o desenvolvimento de sua resolução. A Tarefa 2 era semelhante à primeira. Nela, os alunos avaliariam um sistema de equações com coeficientes de x e de y diferentes. Embora os alunos apresentassem dificuldades na resolução da primeira tarefa, a segunda foi realizada com mais facilidade, como se observa nas produções das Duplas 1 e 2, respectivamente, apresentadas a seguir: Figura 65 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa 2.

174 172 Figura 66 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa 2. A Dupla 1, além de responder de forma correta a Tarefa 2, apresentou avanços na justificativa em língua natural. Tal fato apontou que os estudantes dessa dupla passaram a relacionar registros monofuncionais e multifuncionais, o que segundo Duval (2003), permite uma compreensão mais efetiva do objeto matemático. A dupla observou que os coeficientes e o termo independentes da primeira equação, multiplicados por três, resultavam nos coeficientes e no termo independente da segunda equação. Apesar de apresentar corretamente os valores solicitados, a Dupla 2 justificou de maneira muito vaga, não apresentando uma análise das relações existentes entre os coeficientes e os termos independentes das duas equações.

175 173 Nas tarefas 3 e 4, foram apresentados sistemas com duas equações e duas incógnitas, em que o parâmetro "a" era o coeficiente da incógnita x ou de y. Com amparo do software, esperávamos que os alunos observassem a necessidade de proporcionalidade entre os coeficientes para obter no registro gráfico duas retas coincidentes. Observamos que os alunos encontraram os valores esperados, conforme ilustrado a seguir pela produção das Duplas 1 e 2, respectivamente: Figura 67 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefas 3 e 4.

176 174 Figura 68 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefas 3 e 4. Na resolução da Tarefa 5, as duplas deveriam determinar no ambiente papel e lápis, a representação no registro gráfico de um sistema linear apresentado no registro simbólico-algébrico. A seguir, apresentamos a Tarefa 5 da Atividade 2: Figura 69 Atividade 2 Tarefa 5 do Design Na sequência, apresentamos as produções das Duplas 1 e 2, respectivamente.

177 175 Figura 70 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa 5. Figura 71 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa 5. Notamos que a Dupla 1 não usou um método algébrico de resolução de sistemas. Ela atribuiu valores a uma das incógnitas para determinar o valor da outra

178 176 incógnita e com isso encontrar os pares ordenados para a construção do gráfico solicitado. Ouvindo áudio-gravação, a dupla disse que dava o mesmo resultado nas duas equações quando eram atribuídos os mesmos valores nas incógnitas x ou y e, com isso, concluíram que era a mesma reta. Apesar de a construção da Dupla 2 envolver imprecisões, ou seja, da reta não interceptar os eixos exatamente nos pontos de ordenada e abscissas iguais a três, notamos que a construção do gráfico satisfez o sistema linear proposto. Novamente observamos a dificuldade dos alunos na realização de tratamentos inerentes à resolução de um sistema de equações. Notamos que eles tentaram encontrar uma única solução para o sistema, embora ele fosse indeterminado. Os alunos realizaram tentativas para encontrar valores para as incógnitas x e y, e novamente efetuaram os seus cálculos de forma incorreta, como apresentamos a seguir: Figura 72 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa 5.

179 177 Observamos que a Dupla 2 apresentou corretamente a representação gráfica, mesmo cometendo erros no processo algébrico. Isso ocorreu porque a dupla iniciou a atividade pelo Winplot, mesmo o enunciado da tarefa solicitando aos alunos que iniciassem sem a utilização do software. Quando questionados pelo professorpesquisador sobre o motivo de não terem seguido as orientações apresentadas na tarefa, um dos alunos dessa dupla disse que acreditava não ter problema começar a tarefa pelo Winplot. O professor-pesquisador orientou a dupla para que na continuidade das tarefas seguisse as orientações propostas e, em caso de dúvida ou bloqueio, solicitasse algum tipo de orientação para o professor-pesquisador. Esse tipo de equívoco na resolução de equações já havia ocorrido nas tarefas anteriores. Salienta-se que essas dificuldades foram amenizadas nas atividades posteriores e esses avanços serão apresentados no momento da exposição da análise da atividade adicional. Na Tarefa 6, solicitamos aos alunos que resolvessem um sistema linear apresentado no registro simbólico-algébrico, aplicando o método que achassem mais conveniente. Apresentamos a seguir a Tarefa 6 do experimento: Figura 73 Atividade 2 Tarefa 6 do Design A Dupla 1 realizou a tarefa construindo uma tabela e o registro gráfico do sistema proposto. Apesar de não haver proporcionalidade na marcação dos pontos nos eixos orientados para a construção do gráfico, esta dupla apresentou avanços na justificativa escrita e na classificação de um sistema que possui infinitas soluções. Pode-se notar que na tabela presente na Figura 91 há dois valores incorretos para y quando foram atribuídos para x os valores menos um e zero. Conjecturamos que esse erro possa ter ocorrido pelo fato de os coeficientes da incógnita y serem negativos nas duas equações, o que dificultou a realização dos cálculos pelos alunos. Segundo a áudio-gravação, os alunos atribuíram os valores nas duas equações e cometeram os mesmos erros em ambas. Apesar disso, considerando os

180 178 valores dos pares ordenados encontrados na tabela, observamos que os alunos apresentaram avanços para a construção de um gráfico. Novamente, ficaram evidentes as dificuldades da Dupla 2 para realizar tratamentos no registro algébrico. Essa dupla também apresentou problemas em justificar que um sistema possível e indeterminado teria como representação gráfica duas retas coincidentes, e que esse tipo de sistema teria infinitas soluções. Apresentamos a seguir as produções das Duplas 1 e 2, respectivamente: Figura 74 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa 6.

181 Figura 75 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa

182 180 Após a realização das tarefas anteriores, foi proposta aos alunos a determinação do valor do parâmetro a presente em todos os sistemas lineares apresentados no registro simbólico-algébrico, de modo que obtivessem sistemas lineares possíveis e indeterminados. Essa tarefa foi realizada somente no ambiente papel e lápis. Apresentamos as produções das Duplas 1 e 2, na sequência: Figura 76 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa 7.

183 181 Figura 77 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa 7. A Dupla 1 acertou os itens b, c, e, f e h, enquanto a Dupla 2 acertou apenas os itens c e e. Essa dificuldade em determinar o valor de um parâmetro num sistema linear também foi constatada por Freitas (1999). Segundo essa pesquisadora, esse tipo de dificuldades pode estar relacionada com a reduzida exploração de tarefas envolvendo parâmetros. Ambas as duplas também apresentaram dificuldades para expressar no registro da língua natural as suas conclusões, principalmente a Dupla 2. A Tarefa 8 envolvia a generalização da questão de proporcionalidade para o caso de um sistema linear possível e indeterminado do tipo ax by c (com a, b, c, dx ey f

184 182 d, e e f não nulos). Diante dos resultados anteriores, não se esperava que os alunos observassem que a condição para esse tipo de classificação era a d b c. e f A Dupla 1 não apresentou essa generalização, apenas determinou um sistema que julgava ser suficiente como resposta. Notamos que o sistema apresentado não condizia com o solicitado, uma vez que não foi construído respeitando a questão de proporcionalidade. Figura 78 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa 8. Os alunos da Dupla 2 não apresentaram essa generalização, mas se utilizaram dos resultados corretos obtidos na tarefa anterior, fornecendo a seguinte produção. Figura 79 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa 8.

185 183 Tal fato aponta que estes estudantes parecem ter uma noção inicial da relação entre sistemas possíveis e indeterminados e equações proporcionais, mas não uma compreensão suficiente para a análise de qualquer sistema deste tipo. O professor-pesquisador questionou os alunos da Dupla 2 sobre a escolha desses casos e eles justificaram que fizeram mentalmente as contas e por isso achavam que aquela escolha seria correta. Para a realização da Tarefa 9, os estudantes contaram com o auxílio do x y a software Winplot. Partindo do sistema, esperava-se que os alunos 3x 3y 0 observassem que, caso houvesse proporcionalidade entre os coeficientes de x e de y, quando o termo independente de uma das equações fosse nulo, seria necessário que o valor do termo independente da outra equação também fosse nulo para obter duas retas coincidentes. Figura 80 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa 9. As duas duplas relataram, sem dificuldades, que "a" valeria zero. Os alunos estavam familiarizados com o software e, com isso, conseguiram resolver a maioria das tarefas propostas neste ambiente. Apesar de notarmos pequenos avanços, principalmente com relação à Dupla 1, também constatamos que as tarefas propostas não foram suficientes para atingir plenamente o nosso objetivo. Em consonância com a metodologia adotada, realizamos um redesign, com o intuito de fornecer novos elementos para favorecer a construção de reflexões a respeito da existência da proporcionalidade neste tipo de sistema.

186 184 Apresentamos a seguir, as reformulações realizadas visando atingir os objetivos propostos Redesign do caso SPI Primeira atividade adicional Após a análise das produções dos alunos, descritas na seção anterior, notamos a necessidade de realizar algumas reformulações nas atividades do nosso experimento referentes ao caso SPI. Salienta-se que o redesign constitui uma característica da metodologia de Design Experiment. Esse redesign está presente no apêndice J. Na Atividade 1, a Tarefa 1 foi dividida em dois itens e acrescentamos entre x y 3 eles o sistema linear, acompanhado por uma tabela, que apresentamos a x y 3 seguir: Figura 81 Atividade 1 Tarefa 1 do redesign. Os alunos deveriam relacionar o novo sistema com o sistema apresentado no início da tarefa, caracterizando sua representação no registro gráfico e identificando sua classificação. A tabela inserida nesse item tinha como objetivo colaborar para a visualização da relação existente entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os valores dos coeficientes da segunda equação. Utilizamos essa mesma estratégia nas tarefas 1, 2, 3 e 4 da Atividade 2. Com a reformulação realizada, notamos que os alunos começaram a relacionar a proporcionalidade entre os coeficientes e termos independentes que formavam os sistemas lineares apresentados na primeira tarefa da Atividade 1, que tratava de sistemas possíveis e indeterminados.

187 185 A seguir apresentamos as produções das duplas 1 e 2, respectivamente: Figura 82 Produção da Dupla 1 Atividade 1 Tarefa 1.

188 Figura 83 Produção da Dupla 2 Atividade 1 Tarefa

189 187 Comparando as produções das Duplas 1 e 2 apresentadas nesta fase com as produções anteriores da mesma atividade, notamos que houve uma melhor compreensão tanto na análise dos coeficientes e dos termos independentes que compunham os sistemas como também na maneira de expressar as suas respostas no registro da língua natural. Notamos que os alunos, com o auxílio do software, estabeleceram sem dificuldade relações entre representações do registro simbólicoalgébrico com representações do registro gráfico. Na Tarefa 2, a Dupla 1 realizou a conversão do sistema linear proposto no registro simbólico-algébrico para o registro gráfico. Por esta produção, foi possível observar que a dupla notou que um sistema com duas equações iguais gera retas coincidentes. Apresentamos a seguir a produção dessa dupla. Figura 84 Produção da Dupla 1 Atividade 1 Tarefa 2. Apesar de os alunos da Dupla 2 não terem apresentado a justificativa escrita referente à construção do gráfico, é notado que, com o auxílio do Winplot, a conversão do registro algébrico para o registro gráfico do sistema linear proposto foi realizada de maneira satisfatória.

190 188 Figura 85 Produção da Dupla 2 Atividade 1 Tarefa 2. Nas tarefas 3 e 4, esperávamos que os estudantes relacionassem a classificação de um sistema linear como possível e indeterminado, quando as duas equações do sistema fossem iguais. As duplas 1 e 2 realizaram a Tarefa 3 de forma satisfatória. Ao contrário da Dupla 2, a Dupla 1 completou toda tabela sem repetir valores. Com isso, a Dupla 1 apresentou na Tarefa 4 uma justificativa mais coerente para classificar o sistema como possível e indeterminado. Salienta-se que na tarefa equivalente antes do redesign, essa dupla já havia apresentado uma compreensão satisfatória em relação a esse questionamento. Já a Dupla 2 encontrou seis pares ordenados distintos, com certa dificuldade em atribuir valores à tabela, e associou a esse número a quantidade de soluções do sistema. A seguir, apresentamos as produções das duplas 1 e 2, respectivamente:

191 189 Figura 86 Produção da Dupla 1 Atividade 1 Tarefas 3 e 4. Figura 87 Produção da Dupla 2 Atividade 1 Tarefas 3 e 4.

192 190 Após a análise da produção da Dupla 2 referente às tarefas 3 e 4, o professor-pesquisador a questionou sobre o motivo da repetição dos valores para completar a tabela e porque informaram que o sistema proposto possuía seis soluções. A dupla informou que acreditava que deveria utilizar os valores já inseridos na tabela. A seguir o professor-pesquisador questionou essa dupla a respeito do que aconteceria se fossem atribuídos outros valores na tabela, e eles responderam que iriam encontrar valores diferentes. Dando sequência ao questionamento, o professor-pesquisador perguntou o que aconteceria se eles atribuíssem infinitos valores na tabela, e prontamente os alunos responderam que iriam encontrar infinitos valores. Quando questionada em relação à representação gráfica do sistema linear proposto na tarefa, a dupla respondeu que seria representada por duas retas iguais, pois, as equações eram iguais. Com isso o professor-pesquisador pôde observar avanços dessa dupla em relação a esse tipo de questionamento. Na Atividade 2 conjecturamos que ambas as duplas começaram a observar a existência de proporcionalidade entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os valores dos coeficientes da segunda equação, como podemos observar nas suas produções apresentadas a seguir. Figura 88 Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) Atividade 2 Tarefa 1a. Apesar disso, a concepção construída pelas duplas para esse tipo de análise não se mostrava estável em todas as situações nas quais elas eram colocadas a avaliar sistemas possíveis e indeterminados. A Dupla 1 realizou a Tarefa 1b de forma satisfatória, determinando o valor do parâmetro b e registrando que Observamos mesmo com coeficientes diferentes as

193 191 retas tem resultados iguais. Já a Dupla 2 não apresentou qualquer registro relacionado ao cálculo realizado para encontrar o valor do parâmetro b que estava incorreto e apresentou a seguinte observação: Que essa equação foi a que mais chegou perto do valor b que é o 55. Mais (sic) o valor de b no winplot deu 45, diferente do nosso resultado. Na Tarefa 2, as duplas responderam as questões propostas de forma coerente e conjecturamos que a Dupla 1 notou a proporcionalidade entre as equações que formavam o sistema desta tarefa. Já a Dupla 2 começou a apresentar evoluções na análise, mas esta ainda não estava focada na questão da proporcionalidade. Podemos observar isso nas produções apresentamos a seguir. Figura 89 Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) Atividade 2 Tarefa 2a. Figura 90 Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) Atividade 2 Tarefa 2b. Na Tarefa 3, as duplas novamente apresentaram dificuldades no registro das relações existentes entre os coeficientes na língua natural escrita. Nessa tarefa, a Dupla 1 realizou a análise da proporcionalidade existente entre os coeficientes de x e de y em cada uma das equações, apresentando a seguinte relação entre os coeficientes:

194 192 Figura 91 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa 3 A Dupla 2 relatou Que todos estão na taboada (sic) do 2. Pode-se notar que essa dupla sempre relaciona a proporcionalidade entre os coeficientes com alguma tabuada. Pudemos notar avanços das duas duplas, observando que, assim como nas tarefas anteriores, durante a realização da Tarefa 4, os alunos notaram a existência de uma relação de proporcionalidade entre os coeficientes dos sistemas dessa tarefa, mas não a explicitaram na forma de igualdade entre quocientes. A Dupla 1 apresentou a seguinte produção: os coeficientes e o termo independente da 2ª equação são quádruplo do dos coeficientes e do termo independente da 1ª equação. A Dupla 2 mais uma vez, realizou a associou a relação existente entre os coeficientes novamente com uma tabuada, apresentando a seguinte resposta: Todas são multiplicado por 4. Na Tarefa 5, as duplas realizaram a conversão do sistema linear proposto no registro simbólico-algébrico para o registro gráfico de forma satisfatória, mas não apresentaram nenhum cálculo. Ao serem questionadas pelo professor-pesquisador, as duas duplas responderam que construíram primeiro no Winplot e em seguida copiaram na ficha de respostas. A seguir a resposta das observações das duplas 1 e 2, respectivamente: Figura 92 Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) Atividade 2 Tarefa 5. Notamos a preferência dos estudantes no uso do Winplot para a construção gráfica de sistemas. Na Tarefa 6, a Dupla 1 realizou a construção do gráfico apresentando alguns cálculos. Quando questionada pelo professor-pesquisador, ela respondeu que

195 193 atribuiu mentalmente dois valores para a incógnita x, encontrando os valores correspondentes para a incógnita y. Esses cálculos foram realizados mentalmente nas duas equações, com isso a dupla concluiu que as retas deveriam ser coincidentes. Figura 93 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa 6 A Dupla 1 afirmou que a representação gráfica de um sistema linear com duas equações e duas incógnitas, classificado como sistema possível e indeterminado será uma reta. Apesar da revisão realizada pelo professor-pesquisador, a Dupla 2 ainda apresentou dificuldades em efetuar tratamentos no registro algébrico na resolução do sistema linear proposto, como apresentamos a seguir: Figura 94 Produção da Dupla 2 Atividade 2 Tarefa 6

196 194 A Dupla 2 anotou que um sistema possível e indeterminado, tem nem uma solução. Ao ser questionada sobre isso, a dupla respondeu ter compreendido os cálculos realizados, por isso apresentaram essa resposta. Constatando a dificuldade dos alunos, o professor-pesquisador atribuiu, em conjunto com a dupla, valores para a incógnita x nas duas equações dessa atividade, encontrando os valores correspondentes para a incógnita y. Os alunos observaram que os pares ordenados encontrados eram os mesmos para as duas equações e, com isso, notaram que as retas possuíam os mesmo pontos. A seguir, o professor-pesquisador questionou a dupla a respeito da quantidade de soluções encontrada, ao que responderam que foram muitas. Quando o professor-pesquisador perguntou o que aconteceria se fossem atribuídos infinitos valores para a incógnita x, os alunos responderam que teriam infinitos valores para a incógnita y. Apresentando a ficha com a Tarefa 6 para a dupla, o professor-pesquisador questionou como seria a representação gráfica de um sistema classificado como sistema possível e indeterminado. A dupla respondeu duas retas iguais. Em seguida a dupla foi questionada quanto ao número de soluções e, diante desse questionamento, responderam que encontrariam muitas, infinitas. Após essa intervenção do professor-pesquisador, conjecturamos que os alunos compreenderam melhor a relação existente entre a representação gráfica de um sistema linear possível e indeterminado de duas equações e duas incógnitas com o número de soluções existentes. Na Tarefa 7, as duplas deveriam determinar o valor do parâmetro a para que os sistemas propostos admitissem infinitas soluções, conforme apresentado a seguir. Figura 95 Atividade 2 Tarefa 7

197 195 A Dupla 1 acertou cinco itens, sendo eles: b, c, e, f e g. Conjecturamos que a Dupla 1 tenha compreendido a relação existente entre o registro gráfico com o registro simbólico-algébrico, conforme a resposta apresentada na segunda parte da Tarefa 7 : Uma reta unica (sic) porque todos são sistemas possiveis (sic) indeterminados com varios (sic) valores para x e y mas sempre com o mesmo valor de x e y entre elas. A Dupla 2, respondeu de forma correta quatro itens, sendo os itens b, c, d e e, mostrando avanços em relação à produção anterior ao redesign. Pudemos notar que esta dupla só resolveu os casos em que os valores de a eram inteiros e positivos, facilitando a sua determinação por cálculo mental. Na segunda parte desta tarefa, pudemos observar que a Dupla 2 ainda apresentou dificuldade em relacionar um sistema linear no registro simbólico-algébrico com a sua correspondente representação no registro gráfico, informando que o gráfico dos sistemas apresentados na Tarefa 7 seria: Todo número divindo (sic) por 2 ou 3 será o valor de a. Na Tarefa 8, pudemos observar que a Dupla 1 não conseguiu generalizar no registro algébrico as condições necessárias para que o gráfico de um sistema possível e indeterminado seja representado por duas retas coincidentes, mas apresentaram no registro da língua natural, de uma forma um pouco confusa, as condições que consideravam necessárias para esse tipo de sistema: Os valores de x e y tem que ser iguais em ambas as equações e tem que ser semelhantes de alguma forma. A Dupla 2 também não apresentou uma generalização para que um sistema possível e indeterminado tenha no registro gráfico retas coincidentes, mas 3x 3y 6 apresentou como resposta o seguinte caso particular:, diferente de 6x 6y 12 todos os trabalhados no experimento. Quando a dupla foi questionada pelo professor-pesquisador sobre essa resposta, os alunos responderam: os números estão na tabuada do dois. Assim, conjecturamos que essa dupla observou um caso particular de relação entre os coeficientes e os termos independentes de duas equações que formam um sistema linear possível e indeterminado. Apesar dos avanços apresentados pelas duplas, notamos que elas ainda apresentavam compreensões limitadas e instáveis. Ora suas produções pareciam revelar domínio na relação da proporcionalidade, ora demonstravam dúvidas nesta compreensão. Com isso, realizamos mais um redesign para o caso SPI, com o objetivo de fornecer aos sujeitos um ambiente favorável para que observassem a

198 196 questão da proporcionalidade existente em todos os sistemas possíveis e indeterminados, independente do valor da proporção. Apresentamos, a seguir, essa reformulação Redesign do caso SPI - Segunda atividade adicional O objetivo da Segunda Atividade Adicional, presente no apêndice K, foi propiciar aos alunos situações de comparação entre vários sistemas do tipo possível e indeterminado, para que eles investigassem o aspecto comum entre eles, ou seja, a proporcionalidade dos coeficientes, independente do valor existente de proporção. Essa Atividade Adicional foi constituída por cinco tarefas. As três primeiras apresentavam sistemas lineares com o parâmetro a no termo independente de uma das equações que formava o sistema proposto, como por exemplo, o sistema 4x 10y 8 linear, que foi apresentado na primeira tarefa. As duplas utilizaram o 2x 5y a software Winplot para determinar o valor do parâmetro a e, em seguida, identificaram os valores dos coeficientes e dos termos independentes em uma tabela, semelhante à apresentada a seguir: Figura 96 Atividade Adicional Tarefa 1. Quando as duplas foram questionadas a respeito da existência de alguma relação entre os valores dos coeficientes de x, dos coeficientes de y e dos termos independentes das duas equações, elas forneceram as seguintes produções.

199 197 Figura 97 Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) na Atividade Adicional Tarefa 1. A Tarefa 2 era semelhante à primeira tarefa. Nela foi apresentado aos alunos um sistema linear acompanhado de uma tabela para ser preenchida da mesma forma que a tarefa anterior, porém, ela também sugeriu aos alunos que examinassem se a relação encontrada na Tarefa 1 também seria válida para a Tarefa 2. A Dupla 1 apresentou a seguinte resposta: Sim, o método da divisão funciona nesse caso também porém os resultados das divisões devem ser sempre 5 para as retas serem coincidentes. Com isso, pode-se notar que essa dupla observou a relação existente entre as equações nessa tarefa em particular, quando afirmou que a proporcionalidade deveria ser igual a cinco. A dupla 2 já apresentou uma justificativa generalizada: Sempre que dividir os termos coeficientes x e y e o termo independentes (sic) serão iguais e as retas coincidentes. Tal fato parece indicar que essa dupla observou a questão da proporcionalidade independente do valor da proporção. Na Tarefa 3, semelhante às tarefas anteriores, as duplas deveriam investigar se a relação encontrada anteriormente também funcionaria na Tarefa 3. A Dupla 1 respondeu: Sim funciona, que é o método da divisão onde se divide a 1º pela 2º, e no caso o resultado é -4. Analisando essa produção, evidenciamos um avanço da Dupla 1, uma vez que ela não mais se prendeu a um caso particular, ou seja, ela apresentou a análise da relação comum entre os sistemas propostos. A Dupla 2 apresentou uma justificativa idêntica à da tarefa anterior. 12x 6y 18 A Tarefa 4 apresentou o sistema linear e solicitou aos alunos, 2x y 3 no registro da língua natural, que relatassem como explicariam para um colega que a representação gráfica desse sistema linear seria constituído por duas retas

200 198 coincidentes. Apresentamos a seguir as produções das duplas referentes a essa tarefa: Figura 98 Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) na Atividade Adicional Tarefa 4. A Tarefa 5 solicitou das duplas a criação de um sistema linear que gerasse duas retas coincidentes e diferente dos apresentados nas tarefas anteriores. Ainda, ela solicitou que as duplas apresentassem, no registro da língua natural, como eles haviam pensado para construir esse sistema. Cada dupla apresentou o sistema linear solicitado na tarefa acompanhado de sua justificativa, como apresentamos a seguir: Figura 99 Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) na Atividade Adicional Tarefa 5.

201 199 Após a aplicação da Atividade Adicional, reaplicamos a Atividade 2. Nesta fase, os alunos demonstraram domínio em avaliar as relações entre os registros algébrico e gráfico de sistemas lineares indeterminados. A título de ilustração, apresentamos as produções das duas duplas nas tarefas 7 e 8, que solicitavam a determinação do valor do parâmetro a para que cada um dos sistemas apresentados admitisse infinitas soluções e a análise generalizada do caso SPI, respectivamente. Figura 100 Atividade do redesign Atividade 2 Tarefa 7 Os estudantes da Dupla 1 responderam corretamente os itens a,b,c,d, e, f e g. Somente no item h apresentaram um equívoco, esquecendo de colocar o sinal de menos no valor encontrado. Com isso, o professor-pesquisador sugeriu que analisassem melhor este item e, com isso, rapidamente os alunos notaram o equívoco cometido. Quando questionados sobre como haviam encontrado os valores de a, o Aluno A explicou apontando para os coeficientes das equações e comentou a respeito da proporcionalidade que existia entre eles. Observamos que, na maioria das vezes, os estudantes dessa dupla obtinham os valores solicitados por cálculo mental. A dupla 2 apresentou dificuldades para a realização dos cálculos. O professor-pesquisador interviu relembrando-os de como resolver regra de três simples. Depois dessa intervenção, a dupla conseguiu determinar todos os valores solicitados nessa tarefa. As duas duplas também reconheceram que a representação gráfica de cada um dos sistemas para o valor de a indicado seria de retas coincidentes.

202 200 A Tarefa 8 tratava da generalização de um sistema possível e indeterminado. A Dupla 1 conseguiu estabelecer, de forma independente, a relação solicitada nessa tarefa, conforme apresentado a seguir. Figura 101 Produção da Dupla 1 Atividade 2 Tarefa 8 Já a Dupla 2 necessitou do auxílio do professor-pesquisador para a construção da forma generalizada da proporcionalidade. Dessa forma, concluímos que, apesar da necessidade do redesign, o objetivo desse ciclo foi atingido Análise do caso SI Nesta seção, serão apresentados os resultados da análise das produções dos estudantes diante de sistemas impossíveis. A partir desta atividade, contamos com a participação da Dupla 2 e de apenas um dos membros da Dupla 1, uma vez que o outro componente dessa dupla relatou que, por problemas particulares, não poderia mais participar dos encontros Redesign do caso SI Dado que durante a aplicação da atividade do caso SPI foram necessárias algumas alterações, procuramos, antes da aplicação das atividades do caso SI propostas e apresentadas anteriormente no capítulo 4, reformulá-las sob o mesmo aspecto. Com isso, a Tarefa 1 da Atividade 3 foi dividida em itens e entre eles inserimos um questionamento a respeito da classificação do sistema apresentado no início da tarefa. Na sequência, solicitamos aos alunos que construíssem no Winplot

203 201 um sistema linear que gerasse duas retas paralelas distintas e completassem a tabela a seguir: Figura 102 Atividade 3 Tarefa 1 do redesign. Na sequência dessa tarefa, foi solicitado aos alunos que verificassem se as relações encontradas nas atividades que tratavam de sistemas possíveis e indeterminados eram válidas para o caso apresentado na Tarefa 1 da Atividade 3, que tratava de sistemas impossíveis. Em seguida, foi solicitada aos alunos a construção de um novo sistema linear que gerasse duas retas paralelas distintas, completando uma tabela semelhante à apresentada na Figura 119. Dando continuidade à Tarefa 1, foram investigadas as conjecturas elaboradas pelos alunos no caso de sistemas impossíveis, ou seja, a relação entre este caso e a representação de duas retas paralelas distintas. Na Tarefa 2 fizemos reformulações semelhantes à tarefa anterior, e inserimos um novo questionamento, que solicitava, no registro da língua natural, a relação existente entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os valores dos coeficientes da segunda equação, elementos encontrados via exploração no Winplot. Nas demais tarefas não foram realizadas reformulações. A seguir, apresentamos a análise das produções dos estudantes na Atividade 3. A atividade reformulada está presente no apêndice L.

204 Análise da Atividade 3 6x 6y a Na Tarefa 1 foi apresentado o sistema, sendo que os estudantes 3x 3y 4 deveriam determinar, com auxílio do Winplot, o valor de a de modo que a representação no registro gráfico gerasse retas paralelas distintas. O integrante da Dupla 1 realizou essa tarefa com sucesso, registrando na ficha de atividade que o valor de a deveria ser Qualquer valor diferente de 8 e que a classificação do sistema seria dada como Impossível. A Dupla 2 realizou essa tarefa de forma correta, indicando que o valor de a para satisfazer essa situação seria O infinito, menos o 8 e, a classificação desse tipo de sistema seria dada como Impossível. Conjecturamos que o sucesso nessa atividade tenha ocorrido graças ao fato de os estudantes terem constituído uma base sólida na tarefa anterior, além de contarem com o auxílio do software Winplot, que, da mesma forma que constatado por Souza et al. (2011), favoreceu aos alunos a atividade de conversão entre os registros algébrico e gráfico, colaborando assim para a determinação do parâmetro a. No item 1a, os estudantes deveriam selecionar um sistema que gerasse duas retas paralelas distintas (sistema impossível) com o auxílio do software, completando em seguida a tabela apresentada no redesign. O aluno da Dupla 1 escolheu um sistema semelhante ao proposto nessa atividade, atribuindo ao parâmetro a o valor 6x 6y 2 dois, apresentando o sistema. Em sua justificativa, ele demonstrou 3x 3y 4 compreensão na análise da relação entre os coeficientes.

205 203 Figura 103 Produção do aluno da Dupla 1 Atividade 3 Tarefa 1a. A Dupla 2 selecionou de forma correta um sistema que se adequava à situação proposta e demonstrou, em sua justificativa, sucesso em analisar a relação entre os coeficientes, apesar dos problemas observados na língua natural escrita, conforme apresentamos a seguir: Figura 104 Produção da Dupla 2 Atividade 3 Tarefa 1a

206 204 Na mesma tarefa foi proposto aos estudantes que selecionassem outro sistema que gerasse duas retas paralelas distintas, e todos realizaram essa etapa 4x 4y 12 com sucesso. No item 1b, foi apresentado o seguinte sistema. Neste x y b caso, os alunos deveriam determinar o valor de b, primeiramente no ambiente papel e lápis, para que a representação no registro gráfico fosse de duas retas paralelas distintas. O integrante da Dupla 1 respondeu Qualquer valor diferente de 3 e, após conferir o obtido com o fornecido pelo software, ele apresentou a seguinte produção: Figura 105 Produção do aluno da Dupla 1 Atividade 3 Tarefa 1b A Dupla 2 respondeu Infinitos números, menos o 3 e também verificou que sua resposta era coerente com a situação presente no software, fornecendo a seguinte produção: Figura 106 Produção da Dupla 2 Atividade 3 Tarefa 1b Pode-se observar que as duplas notaram a relação que deveria existir entre os coeficientes e termos independentes, para que a representação no registro gráfico de um sistema linear fosse dada por duas retas paralelas distintas. Interpretamos que o trabalho com as tarefas do caso anterior (SPI), após o redesign, foi eficaz e favoreceu a continuidade das tarefas, dado que os estudantes conseguiram analisar, sem qualquer intervenção, esta nova situação. A tarefa 2 era semelhante à tarefa anterior. O integrante da Dupla 1 e a Dupla 2 apresentaram produções corretas e equivalentes às já apresentadas.

207 205 2x 2y 6 A Tarefa 3 apresentou o sistema, solicitando aos estudantes a 8x 8y 8 sua representação gráfica, por meio de uma conversão do registro algébrico para o registro gráfico. O componente da Dupla 1 iniciou a tarefa realizando tratamentos no registro algébrico das equações que formavam o sistema e, em seguida realizou conversões do registro algébrico para o registro numérico-tabular, com o objetivo de encontrar os pares ordenados para a elaboração do gráfico que era proposto nessa atividade. Após realizar o primeiro tratamento, o componente da Dupla 1 solicitou a presença do professor-pesquisador para verificar se os valores encontrados por ele estavam corretos, pois havia ficado intrigado em ter que adicionar apenas valores ímpares à incógnita x para obter na incógnita y valores inteiros. O professorpesquisador informou ao aluno que não havia problema em atribuir apenas valores ímpares em uma equação, quando se tem por objetivo determinar apenas valores inteiros, mas solicitou ao aluno verificar se o tratamento realizado no registro algébrico estava correto e, informou que o processo para a construção do gráfico era válido. Depois de alguns instantes, o aluno percebeu o equívoco cometido e, nesse instante, o professor-pesquisador solicitou que prosseguisse na tarefa sem apagar a produção incorreta anterior.

208 206 Figura 107 Produção do aluno da Dupla 1 Atividade 3 Tarefa 3 Após encontrar os pares ordenados para as duas equações, o componente da Dupla 1 forneceu a seguinte produção acompanhada de suas observações. Figura 108 Produção do aluno da Dupla 1 Atividade 3 Tarefa 3

209 207 Pode-se observar que o aluno realizou de forma satisfatória a Tarefa 3, apresentando avanços tanto para realizar o tratamento dentro do registro algébrico quanto para realizar a conversão entre os registros algébrico, numérico-tabular e gráfico. Apesar da imprecisão na elaboração da representação gráfica, a Dupla 2 também apresentou grandes avanços nessa tarefa, tanto no tratamento no registro algébrico quanto na conversão entre os registros numérico-tabular e gráfico, se comparada com as produções fornecidas em atividades anteriores. Da mesma maneira que o componente da Dupla 1, a Dupla 2 realizou um tratamento no registro algébrico e, em seguida, confeccionou uma tabela para obter pares ordenados referentes a cada uma das equações que formavam o sistema linear proposto, atribuindo valores à incógnita x e determinando os valores correspondentes para a incógnita y. Em seguida apresentaram o sistema linear proposto nessa atividade no registro gráfico. A seguir, apresentamos a produção dessa dupla. Figura 109 Produção da Dupla 2 Atividade 3 Tarefa 3

210 208 Figura 110 Produção da Dupla 2 Atividade 3 Tarefa 3 Como o trabalho com construção de gráficos no plano cartesiano estava sendo realizado também nas aulas de Matemática e Física, é provável que este fato influenciou no desempenho dos estudantes. Pode-se notar que os alunos apresentaram uma compreensão mais efetiva, realizando com sucesso tratamentos no registro algébrico e conversões entre os registro numérico-tabular e gráfico. Tal fato vem de encontro com os pressupostos de Duval (2003), quando garante que a habilidade de coordenar representações de diferentes registros contribui para uma sólida construção de um objeto matemático. Para a realização da Tarefa 4, que consistia no preenchimento de duas tabelas, uma com valores que satisfaziam a equação 2x 2y 6 e outra com valores que satisfaziam a equação 8x 8y 8, o aluno da Dupla 1 realizou essa tarefa com sucesso, completando toda a tabela. A Dupla 2 não sabia iniciar a tarefa e, diante isso, o professor-pesquisador teve de intervir para esclarecer aos estudantes que eles poderiam atribuir os valores que julgassem mais convenientes para a construção da tabela. Salienta-se que a dupla ainda apresentava alguns problemas em tratamentos no registro algébrico, apesar de observarmos a redução dessa dificuldade, quando comparado com o que ela apresentava nas tarefas anteriores. Notamos que não havia a necessidade de incluir esta tarefa, uma vez que as duplas só observaram que o sistema era impossível após sua resolução, enquanto tínhamos por objetivo que com esta tarefa elas observassem que não havia par ordenado que satisfizesse simultaneamente as duas equações.

211 209 A Tarefa 5, relacionava as equações da tarefa anterior, e os estudantes 2x 2y 6 deveriam resolver o sistema, apontando suas observações, a solução 8x 8y 8 desse sistema e sua classificação. O aluno da Dupla 1 apresentou os seguintes cálculos Figura 111 Produção do aluno da Dupla 1 Atividade 3 Tarefa 5 O aluno da Dupla 1 reconheceu que se tratava de um sistema impossível por dar resultados distintos (24=8), algo que é impossivel (sic) e, afirmou que a representação gráfica de um sistema linear com duas equações e duas incógnitas, classificado como sistema impossível, era dado por duas retas paralelas distintas e a quantidade de soluções de um sistema impossível era nenhuma. Para a realização dessa atividade, A Dupla 2 apresentou os seguintes cálculos:

212 210 Figura 112 Produção da Dupla 2 Atividade 3 Tarefa 5 Pode-se observar que a Dupla 2 realizou os cálculos dessa tarefa de forma correta, apresentando a classificação do sistema proposto. Nessa tarefa os estudantes ainda informaram que a representação gráfica desse sistema seria representado por retas paralelas. Quando indagados a respeito da quantidade de soluções de um sistema impossível, eles forneceram a produção nem uma. A Tarefa 6 apresentou três sistemas lineares no registro algébrico. Os estudantes deveriam determinar o valor do parâmetro a para obter um sistema impossível, sem o auxílio do software.

213 211 Figura 113 Atividade do redesign Atividade 3 Tarefa 8 O integrante da Dupla 1 realizou a tarefa com sucesso, sem a necessidade da intervenção do professor-pesquisador, indicando a condição de a para que cada sistema se tornasse impossível e confirmando que a representação gráfica desses sistemas seria dada por Duas retas paralelas distintas. A Dupla 2 a princípio apresentou dificuldades em resolver essa tarefa, pois os coeficientes de maior valor estavam na segunda equação. Com a intervenção do x y a professor-pesquisador, questionando para qual valor de a o sistema 3x 3y 6 admitiria no registro gráfico duas retas coincidentes, os estudantes afirmaram que para a igual a dois. Pretendia-se fornecer um ambiente favorável para a comparação entre o caso já visto (SPI) e o novo caso (SI). Em seguida, o professor-pesquisador questionou a dupla a respeito do valor de a para que as retas não fossem coincidentes. Os alunos responderam prontamente que isso ocorreria para qualquer valor diferente de dois. Essa dupla conseguiu responder todos os itens dessa tarefa de forma correta, demonstrando compreensão da relação entre a representação gráfica e a algébrica de um sistema linear impossível. Figura 114 Produção da Dupla 2 Atividade 3 Tarefa 6 Na tarefa 7, os estudantes deveriam apresentar a análise da relação entre os coeficientes de forma generalizada. Assim como na Tarefa 8 da Atividade 2, o aluno da Dupla 1 determinou de forma correta e independente a condição para que um sistema linear no registro gráfico fosse representado por duas retas paralelas

214 212 distintas. A Dupla 2 questionou o professor-pesquisador se era para fazer igual à tarefa da Atividade 2, ao que o professor-pesquisador concordou. Ela encontrou, de forma independente, a condição para que a representação gráfica do sistema linear ax by c fosse representado por duas retas paralelas distintas, ou seja, para que dx ey f o sistema fosse impossível. x y a Na Tarefa 8, foi apresentado o seguinte sistema homogêneo, 5x 5y 0 sendo que os estudantes deveriam determinar o valor do parâmetro a para obter um sistema impossível com o auxílio do software. O aluno da Dupla 1 respondeu qualquer valor diferente de 0 e os alunos da Dupla 2 responderam Infinito (sic) números, menos o 0. Conjecturamos que a utilização do computador favoreceu a realização dessa tarefa, uma vez que o aluno poderia observar, em tempo real, a relação entre as representações algébrica e gráfica, o que também foi constatado por Fonseca e Júnior (2011). Diante dessas produções, concluímos que, o objetivo desse ciclo foi atingido Análise do caso SPD Na Atividade 4, que tratava da análise do caso de um sistema possível e determinado, os estudantes deveriam construir um sistema linear de duas equações e duas incógnitas que gerasse duas retas concorrentes, com o auxílio do software Winplot e explicar como haviam pensado para fazer esta construção. Dando continuidade à Atividade 4, os estudantes deveriam informar quantas soluções esse sistema possuía e qual a sua classificação. Na produção do aluno da Dupla 1, pôde-se observar que ele pautou a sua explicação referente à construção de um sistema possível e determinado com o auxílio do software, relacionando com as análises observadas nas atividades referentes aos casos (SPI) e (SI), informando a inexistência de proporcionalidade entre os coeficientes e termos independentes de um sistema linear para que fossem geradas duas retas concorrentes. Apresentamos a seguir, a produção desse aluno.

215 213 Figura 115 Produção do aluno da Dupla 1 Atividade 4 Salienta-se que bastava existir a diferença entre as duas primeiras razões para que o sistema fosse classificado como possível e determinado, ou seja, a razão existente entre os termos independentes poderia coincidir com qualquer uma das outras duas. Na produção da Dupla 2, observamos que os estudantes analisaram a qualidade do sistema notando a inexistência de proporcionalidade dos coeficientes das equações, conforme apresentado a seguir. Figura 116 Produção da Dupla 2 Atividade 4

216 214 Essa dupla também indicou que as três razões deveriam ser diferentes, enquanto que bastaria que as duas primeiras não coincidissem. Ainda na Atividade 4, todos os estudantes responderam que um sistema desse tipo tinha uma solução e que era classificado como sistema possível determinado. Conjecturamos que o trabalho gradativo de construção da avaliação da existência ou não de proporcionalidade, integrando os registros algébrico, gráfico e da língua natural, permitiu uma sólida construção desse conhecimento. Da mesma forma que constatado por Boeri e Silva (2011), o uso do computador em nosso estudo contribuiu para uma entrada experimental, para aspectos de visualização e para a elaboração de conjecturas na análise dinâmica das relações entre as representações gráfica e algébrica. Em consonância com o apontado por Duval (2003), notamos que a integração entre os registros monofuncionais discursivos, não discursivos e multifuncionais discursivos forneceu uma compreensão efetiva do objeto matemático. No próximo capítulo apresentaremos a conclusão de nosso estudo.

217 215 7 CONCLUSÃO DO ESTUDO Neste capítulo apresentaremos a conclusão de nosso estudo, retomando, de forma sintetizada, o objetivo de nossa pesquisa, a problemática evidenciada na literatura, a análise do Caderno do Aluno do Estado de São Paulo e dos livros didáticos e a elaboração da proposta, destacando as hipóteses iniciais e as questões de pesquisa. Em seguida descreveremos os papéis desempenhados pelos sujeitos envolvidos em nossa pesquisa (alunos e professor-pesquisador), além das influências do software Winplot durante o processo de aplicação do design. Por fim, apresentaremos algumas perspectivas para futuras investigações. 7.1 SÍNTESE DAS ETAPAS DE PESQUISA Pretendíamos, em nossa pesquisa, elaborar, aplicar e avaliar um experimento de ensino sobre sistemas lineares, construído de forma a explorar principalmente conversões entre os registros gráfico, algébrico e da língua natural, nos ambientes papel e lápis e computacional Winplot. Para fundamentar o estudo utilizamos a teoria dos registros de representações semióticas de Duval (1995, 2000, 2006). Buscamos na literatura, pesquisas que trataram do objeto matemático sistemas lineares, as quais basicamente apontaram dificuldades por parte dos estudantes no estabelecimento de conversões entre representações dos registros gráfico e algébrico e a valorização do registro algébrico com reduzida exploração da atividade de conversão nos livros didáticos. Também observamos na literatura, pesquisas que recomendaram intensificar a exploração do registro gráfico, pelo fato de ele facilitar a compreensão do conjunto solução e da classificação de um sistema linear. Com relação às pesquisas relacionadas à inserção de recursos computacionais no ensino de Matemática, observamos a indicação de ferramentas para favorecer o desenvolvimento do pensamento matemático, trazendo benefícios que não seriam possíveis em outros ambientes de ensino, garantindo ao aluno uma participação ativa na construção do conhecimento. Pesquisas que trataram exclusivamente do uso do software Winplot destacaram seu aspecto positivo em relação à exploração de conversões entre os registros gráfico e algébrico.

218 216 Partindo dessa problemática e considerando que o conteúdo de sistemas lineares é dado primeiramente no ensino fundamental, procuramos investigar como o Caderno do Aluno do Estado de São Paulo e uma amostra de livros didáticos indicados pelo Plano Nacional do Livro Didático (PNLD) tratavam deste conteúdo nesta fase de ensino. Com relação ao Caderno do Aluno, notamos uma preocupação em tratar o objeto matemático explorando as relações entre representações de diferentes registros, mas pudemos constatar que, em nenhuma das atividades propostas, era solicitada ao aluno a análise da existência ou não de proporcionalidade entre os coeficientes para avaliar sua classificação. Pudemos observar, também, que este material não apresentava qualquer proposta de utilização de recursos computacionais. Com relação à amostra analisada de quatro livros indicados pelo PNLD, constatamos que três privilegiavam os registros algébrico e da língua natural. Apenas uma das obras mostrou a preocupação de explorar registros não discursivos e conversões distintas daquelas que partiam da língua natural para o registro algébrico. Pudemos observar, também, que em nenhuma das obras analisadas em nossa pesquisa foi recomendada a utilização de recursos computacionais. Diante da problemática exposta, evidenciada na revisão de literatura, na análise dos livros e do Caderno do Aluno, elaboramos um experimento de ensino visando preencher a lacuna detectada. Com isso, procuramos integrar os diversos registros, principalmente o algébrico, o gráfico e o da língua natural, tendo o software Winplot como ferramenta de apoio, e explorar a análise das classificações de sistemas lineares pela investigação da existência ou não de proporcionalidade. Para a construção e condução do experimento, utilizamos a metodologia de Design Experiment de Cobb et al. (2003), que prevê a elaboração de experimentos de domínios matemáticos específicos, com intuito de obter inovações no ensino dessa ciência. O foco deste tipo de metodologia está no sujeito, na análise de sua trajetória, no levantamento de suas dificuldades e de seus possíveis avanços e, diante disso, o experimento foi constantemente remodelado em função das produções dos estudantes. Inicialmente participaram do experimento seis estudantes com faixa etária entre treze e quatorze anos, porém, somente três realizaram todas as atividades. No momento da aplicação, eles cursavam o nono ano do ensino fundamental de uma escola pública do estado de São Paulo e já haviam estudado o conteúdo de

219 217 sistemas lineares segundo uma abordagem que privilegiou o registro algébrico, sem explorações de análise da proporcionalidade entre os coeficientes das equações e sua relação com o registro gráfico. Os alunos também não haviam utilizado qualquer recurso computacional quando estudaram este tópico. A aplicação foi organizada em duas fases. A Fase 1, composta por um questionário inicial, teve a finalidade de investigar os conhecimentos prévios dos estudantes. Nesta fase, eles apresentaram dificuldades em vários aspectos, dentre eles, na resolução algébrica, na representação gráfica e na classificação de sistemas. Como estes conhecimentos eram pré-requisitos para o desenvolvimento do experimento, foi realizada uma revisão destes tópicos, o que representou a primeira reformulação do desenho inicial. Na Fase 2, foram aplicadas as atividades elaboradas, que trataram da análise da qualidade de sistemas lineares por avaliação da existência ou não de proporcionalidade, integrando os registros algébrico, gráfico e da língua natural. Esta fase incluiu o software Winplot, utilizado principalmente como ferramenta para uma entrada experimental. Nesta fase foram realizados redesigns do projeto original, visando adequar as atividades às produções dos estudantes. Para a análise dos dados, foram coletados, avaliados e comparados os registros escritos presentes nas fichas das atividades distribuídas a cada dupla, a áudio-gravação das falas dos estudantes e a captura das telas dos computadores. A seguir, retomaremos as hipóteses iniciais, com a finalidade de verificar se as mesmas foram confirmadas. 7.2 VERIFICAÇÃO DAS HIPÓTESES INICIALMENTE ESTABELECIDAS Hipótese 1. O experimento proposto permitirá avaliar as unidades significativas dos registros gráfico e algébrico de sistemas lineares. Concluímos que os estudantes conseguiram evidenciar, na maioria dos casos e para cada tipo de sistema linear, as condições específicas no registro algébrico. A identificação das unidades significativas neste registro se deu por meio da análise da existência ou não de proporcionalidade entre os coeficientes e termos independentes.

220 218 Isso ocorreu com sucesso nas Atividades 1, 2, 3 e nas Atividades Adicionais. Somente na Atividade 4, para o caso SPD, notamos que os estudantes não observaram que bastava a diferença entre as duas primeiras razões para que o sistema tivesse essa classificação. No registro gráfico, a identificação das unidades significativas se deu pela análise da posição relativa entre duas retas (paralelas distintas, coincidentes ou concorrentes) e os estudantes tiveram sucesso em todas as atividades que trataram deste aspecto. Ressaltamos que esse sucesso não ocorreu de imediato. Durante a execução do experimento, evidenciamos dificuldades na compreensão do significado de um parâmetro presente no registro algébrico de um sistema linear. Ressaltamos que Freitas (1999) também observou este tipo de dificuldade em seus sujeitos, atribuindo essa ocorrência à pouca exploração de sistemas com parâmetros no ensino deste tópico. Ainda, na execução do experimento, os estudantes frequentemente demonstraram dificuldades em estabelecer tratamentos no registro algébrico, o que foi sendo amenizado durante o processo. Outra dificuldade evidente nas produções dos estudantes foi a insegurança na construção da representação gráfica de um sistema linear no ambiente papel e lápis. Em consonância com o afirmado por Duval (2003), é presumível que tal dificuldade tenha ocorrido pelo fato de o ensino de Matemática privilegiar os registros monofuncionais discursivos em detrimento dos demais. Especificamente no ensino de sistemas lineares, tal fato foi constatado por Battaglioli (2008) e, em nossa análise dos livros didáticos, também pudemos observar que o registro gráfico e conversões entre ele e os demais são aspectos pouco explorados. Apesar disso, essas dificuldades foram amenizadas durante o processo e, comparando as produções dos estudantes fornecidas nas Fases 1 e 2 de nosso experimento, concluímos que esta hipótese foi confirmada, com exceção da análise das unidades significativas para a generalização do caso SPD no registro algébrico. Hipótese 2. O experimento proposto permitirá avaliar a relação entre os diversos registros desse objeto matemático. Pautamos o presente estudo na teoria dos registros de representações semióticas de Duval (1995), com o objetivo de fornecer aos estudantes o contato

221 219 com os diversos registros de representação semiótica referentes ao estudo do objeto matemático sistemas lineares. Procuramos elaborar atividades que favorecessem o estabelecimento de relações entre os registros gráfico, algébrico, tabular e da língua natural. As conexões entre representações dos registros gráfico e algébrico se deram pela análise das relações entre os coeficientes presentes no registro algébrico e as posições relativas entre duas retas no registro gráfico, exploradas nos ambientes papel e lápis e computacional. Apesar de essas relações não serem estabelecidas de imediato nas Atividades 1 e 2, demandando a elaboração de atividades intermediárias e de redesigns, notamos que, após as reformulações que se mostraram necessárias, os estudantes tiveram sucesso nas Atividades 1, 2, 3 e nas Atividades Adicionais. Na Atividade 4, conforme já exposto na descrição da hipótese anterior, os estudantes não notaram que, para o sistema ser SPD, bastava que as duas primeiras razões fossem diferentes. Em consonância com Borba e Penteado (2010) e Noss e Hoyles (1996), observamos que o trabalho no software favoreceu o desenvolvimento do pensamento matemático, porém, os avanços nas relações iniciais entre os registros algébrico e gráfico se deram apenas no momento em que reformulamos o desenho original, inserindo uma representação auxiliar, no caso, a tabular, e solicitando um trabalho de comparação entre sistemas. Tal constatação mostra a importância de se integrar representações de diversos registros no ensino de um objeto matemático. Na maior parte das tarefas, também foram requisitadas justificativas na língua natural escrita e, com isso, os estudantes deveriam estabelecer relações entre o registro algébrico, considerado monofuncional discursivo, o registro gráfico, classificado como monofuncional não discursivo e a língua natural, considerada como multifuncional discursivo. Pudemos constatar, durante a aplicação deste experimento, dificuldades dos estudantes em relatar suas conclusões no registro da língua natural. Em diversos momentos tivemos que questioná-los para entender o que queriam expressar. Em consonância com Duval (1995), que afirma que o ensino de Matemática privilegia o registro monofuncional discursivo, interpretamos essas dificuldades com o fato de termos observado a ausência de resoluções de exercícios

222 220 neste tipo de registro nos livros didáticos e no Caderno do Aluno do Estado de São Paulo. Notamos que as dificuldades anteriormente descritas foram amenizadas durante a execução do experimento e, com isso, consideramos que a Hipótese 2 foi parcialmente confirmada. Hipótese 3. O experimento proposto permitirá avaliar a qualidade de um sistema de duas equações e duas incógnitas por meio da investigação das consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade de seus coeficientes. Conforme já relatado, nos primeiros encontros os estudantes não haviam observado as consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade, porém, após a apresentação de um trabalho conjunto entre o software e a representação tabular no ambiente papel e lápis, aliado a tarefas de comparação entre vários sistemas lineares, eles passaram a avaliar a questão da existência de proporcionalidade para o caso SPI. Observamos que a inserção de um novo tipo de representação semiótica no design representou uma nova ferramenta de análise, evidenciando aspectos diferentes daqueles observados por meio das representações inicialmente propostas nas tarefas. Após a avaliação do caso SPI, as investigações para os demais casos ocorreram de forma natural, evidenciando uma sólida compreensão das consequências gráficas e algébricas via análise da existência ou não de proporcionalidade. Os alunos conseguiram generalizar as condições para os casos SPI e SI e, somente para o caso SPD, conforme já relatado anteriormente, a conclusão genérica não foi plena. Com isso, concluímos que esta terceira hipótese só não foi totalmente contemplada devido a este aspecto. 7.3 ANÁLISE DAS QUESTÕES DE PESQUISA Neste momento, retomamos as nossas questões de pesquisa. A primeira questão foi dada por: "Em que aspectos a abordagem proposta, que envolve a análise das consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade dos

223 221 coeficientes das equações, influencia os estudantes na compreensão da qualidade de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas?" Concluímos que a abordagem proposta influenciou positivamente os estudantes na construção de uma sólida compreensão do aspecto qualitativo de sistemas lineares. O trabalho integrado entre os registros algébrico, gráfico e da língua natural permitiu uma nova forma de conceber os sistemas lineares, dado que os estudantes puderam reconhecer sua classificação em diferentes sistemas de representação, estabelecendo relações e comparações entre eles. Ainda, da maneira como foi construído e conduzido, notamos que o experimento favoreceu a autonomia para a resolução das atividades. A segunda questão, relativa à ferramenta adotada é retomada a seguir: "Como o software adotado, ao viabilizar a análise dinâmica das relações entre representações dos registros algébrico e gráfico, contribui para a compreensão da análise da qualidade de sistemas lineares?" Concluímos que o Winplot contribuiu de forma eficaz nas investigações experimentais, apesar de constatarmos que no início do experimento o seu uso não garantiu a visualização da relação entre representações dos registros algébrico e gráfico, conforme se esperava. Constatamos que essa ferramenta teve maior influência quando foi associada a um trabalho conjunto com a representação tabular no ambiente papel e lápis. A despeito deste aspecto, concluímos que o seu uso foi primordial, tanto na construção do conceito como no aspecto motivacional dos estudantes. 7.4 PAPEIS DESEMPENHADOS PELOS SUJEITOS Durante o desenvolvimento do design, coerentemente com a metodologia adotada, que prevê a elaboração de um experimento que seja flexível e que favoreça o avanço dos estudantes, foram necessárias algumas remodelações nas atividades iniciais do nosso experimento. Desta forma, o professor-pesquisador identificou as reformulações necessárias durante a execução do experimento, fornecendo novas atividades, para que os alunos pudessem avançar nas suas construções. Ainda, ele apresentou novos questionamentos e sugestões nos momentos de bloqueio, objetivando proporcionar aos estudantes condições para analisarem suas próprias produções.

224 222 Os estudantes demonstraram motivação para participar dos encontros, principalmente nos momentos de uso do recurso computacional, e procuraram desenvolver as atividades com independência, requisitando o auxílio do professorpesquisador de forma pontual. 7.5 O PAPEL DO RECURSO COMPUTACIONAL WINPLOT NO DESENVOLVIMENTO DO EXPERIMENTO Quanto ao software adotado, da mesma forma que Souza et al. (2011) e Mota e Laudares (2011), confirmamos que o uso deste tipo de ferramenta foi positivo em relação à possibilidade de experimentação e na análise dinâmica e simultânea entre os registros algébrico e gráfico. Apesar disso, conforme relatado anteriormente, esperávamos que esse ambiente fosse suficiente para que os estudantes observassem as relações entre os coeficientes e termos independentes do registro algébrico com a posição relativa das retas no registro gráfico. Notamos que isso não ocorreu de imediato, ou seja, houve a necessidade de integrar uma representação auxiliar, -a tabular, para que os estudantes construíssem essas relações. Após essa intervenção para o caso SPI, notamos que o software favoreceu as análises dos casos SI e SPD. Evidenciamos certa dependência da ferramenta por parte dos estudantes para a construção de gráficos, uma vez que, nas atividades iniciais, quando estas construções eram solicitadas no ambiente papel e lápis, os estudantes pediam para utilizar a ferramenta computacional. 7.6 PERSPECTIVAS PARA NOVAS INVESTIGAÇÕES Observando que o experimento proposto proporcionou ganhos no aprendizado dos estudantes, sugerimos que este mesmo tipo de dinâmica seja elaborada para sistemas lineares com três equações e três incógnitas ou mesmo para outros objetos matemáticos, explorando as conversões entre os diferentes registros e integrando recursos computacionais. Considerando a importância do livro didático como elemento norteador do processo de ensino de Matemática, sugerimos, também, a realização de

225 223 investigações voltadas ao mapeamento dos registros e conversões presentes na abordagem de objetos matemáticos nos diferentes níveis de ensino. Esperamos que este trabalho possa contribuir para a área de Educação Matemática, representando um material adicional para a exploração de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas.

226 224 REFERÊNCIAS BATTAGLIOLI, C. S. M. Sistemas lineares na segunda série do ensino médio: um olhar sobre os livros didáticos f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) - Programa de Pós-graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica PUC/SP, São Paulo, BOERI, C. N.; SILVA, S. L. Novas Tecnologias no Ensino-Aprendizagem da Matemática: o uso da informática. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, Disponível em < Acesso em: 17 set BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 3ª Ed. 1ª Reimpressão. Belo Horizonte: Autêntica, (Coleção Tendências em Educação Matemática, 2). BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Brasília: MEC/SEF, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Guia de livros didáticos: PNLD Brasília: MEC/SEF, COBB, P.; CONFREY, J.; DISESSA, A.; LEHRER, R.; SCHAUBLE, L. Design Experiments in education research. Educational Researcher, v. 32, n. 1, p. 9-13, CURY, H. N. e BISOGNIN,E. Análise de Soluções de um Problema Representado por um Sistema de Equações. BOLEMA, Rio Claro, ano 22, n. 33, p. 1-22, DUVAL, R. Sémiosis et pensée humaine. Berna: Peter Lang, Basic Isseus for Research in Mathematics Education. In: CONFERENCE OF THE INTERNATIONAL GROUP FOR THE PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS EDUCATION, 24, 2000, Hiroshima. Proceedings of the 24 th PME. Hiroshima: Department of Mathematics Education, Hiroshima University, v.1, p , 2000.

227 225. Registros de Representação Semiótica e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: MACHADO, S. D. A. (org.) Aprendizagem em Matemática, Registros de Representação Semiótica. Campinas: Papirus, p , (Coleção Papirus Educação).. A cognitive analysys of problems of comprehension in a learnig of mathematics. Educational Studies in Mathematics, Springer, n. 61, p , Semiósis e Pensamento Humano: Registros semióticos e aprendizagens intelectuais (Fascículo I). São Paulo: Livraria da Física, FONSECA D. S. ; JÚNIOR A. J. S. Ensinando e aprendendo matemática com inclusão digital na escola pública brasileira. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, Disponível em < Acesso em: 17 set FREITAS, I. M. Resolução de sistemas lineares parametrizados e seu significado para o aluno f. Dissertação (Mestrado Ensino da Matemática) - Programa de Pós-graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica PUC/SP, São Paulo, GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. A conquista da Matemática: Edição renovada, 7º Ano. São Paulo: FTD, 2009, p A conquista da Matemática: Edição renovada, 8º Ano. São Paulo: FTD, 2009, p KARRER, M. Articulação entre álgebra linear e geometria: um estudo sobre as transformações lineares na perspectiva dos registros de representação semiótica. São Paulo, f. Tese (Doutorado em Educação Matemática). Programa de Pós-graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica PUC/SP, São Paulo, MAGNI, R. J. M. Formação continuada de professores de matemática: mudanças de concepções sobre o processo de ensino e aprendizagem de geometria f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo UNIBAN, São Paulo, 2011.

228 226 MOTA, J. F.; LAUDARES, J. B. Um estudo de planos, cilindros e quadráticas, explorando seções transversais para o desenvolvimento da visualização, com o Winplot. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM- IACME, Recife, Brasil, Disponível em < Acesso em: 25 out NOSS, R.; HOYLES, C. Windows on Mathematical Meanings: Learning Cultures and Computers. v. 17. Mathematics Education Library, PANTOJA, L. F. L. A conversão de registros de representação semiótica no estudo de sistemas de equações algébricas lineares f. Dissertação (Mestrado) - Departamento de Núcleo de Pesquisa e Desenvolvimento da Educação Matemática e Científica, Universidade Federal do Pará, Belém, PEREIRA A. N. P. Utilização de tecnologias da informação e comunicação nas práticas educativas de matemática na escola básica. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, Disponível em < Acesso em: 17 set PIETROPAOLO, R. C. (Re)significar a demonstração nos currículos da educação básica e da formação dos professores de matemática Tese (Doutorado em Educação Matemática). Programa de Pós-graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica PUC/SP, São Paulo, RIBEIRO, J. S. Projeto Radix: Matemática, 8º Ano. São Paulo: Scipione, 2010, p (Coleção projeto radix). SÃO PAULO (ESTADO). Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática - Ensino Fundamental Ciclo II e Ensino Médio. São Paulo: SEE, Caderno do Aluno: Matemática, Ensino Fundamental 7ª série / 8º ano, volume 3. Coordenação Geral, Maria Inês Fini; São Paulo: SEE, Caderno do Professor: Matemática, Ensino Fundamental 7ª série / 8º ano, volume 3. Coordenação Geral, Maria Inês Fini São Paulo: SEE, 2009.

229 227 SOUZA, C. F. et al. A Inserção do Software Winplot no Ensino de Matemática. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, Disponível em < Acesso em: 17 set SOUZA, J. R.; PATARO, P. R. M. Vontade de saber matemática, 8º Ano. São Paulo: FTD, 2009, p (Coleção vontade de saber). TRENTIN, P. H. O Livro Didático na Constituição da Prática Social do Professor de Matemática. São Paulo, f. Dissertação (Mestrado em Educação) Programa de Pós-Graduação Stricto-Sensu em Educação, Linha de Pesquisa: Matemática, Cultura e Práticas Pedagógicas, Universidade São Francisco USF, Itatiba São Paulo, 2006.

230 228 APÊNDICE A Familiarização do Software Winplot FAMILIARIZAÇÃO DO SOFTWARE WINPLOT Para a utilização do software Winplot, apresentamos um breve roteiro para facilitar o seu manuseio. Na área de trabalho do computador encontra-se o ícone do software Winplot. Dê um duplo "clique" neste ícone para que seja apresentada a tela inicial do software. Com a tela inicial, poderá aparecer uma janela com o título você sabia que.... Nela são apresentadas algumas dicas e sugestões, entre elas como construir gráficos em duas ou três dimensões, como alterar a exibição entre grade retangular e polar, como modificar as marcar dos eixos x e y, dentre outras modificações que poderão ser realizadas na construção dos gráficos. Clique em fechar. A seguir, na barra superior da tela principal do software, aparecerão os ícones Janela e Ajuda. Para construir gráficos em duas dimensões, que é o objetivo de nossa pesquisa, vamos clicar no ícone Janela e em seguida 2-dim ou usar a tecla de atalho F2 Neste caso, abrirá uma nova janela existe uma nova barra superior com oito abas.. Observe que nela

231 229 Na barra superior "clique" em Equação. Com isso, será apresentada uma nova aba vertical A seguir, selecione a opção Implícita. Será apresentada uma nova janela com o título curva implícita, na qual é possível inserir equações do tipo ax by c.

232 230 Digite, então, a seguinte equação: 2x y 1. É possível alterar os atributos de uma reta (cor e espessura). Para alterar a cor da reta, "clique" no botão cor. Neste caso será apresentada a seguinte janela. Vamos, por exemplo, escolher a cor azul e em seguida "clicar" em fechar. Caso deseje alterar a espessura da reta, vá em espessura da linha, altere o valor (por exemplo para 3) e em seguida "clique" em ok.

233 231 Neste caso, aparecerá uma nova janela intitulada inventário, que possui doze novos ícones e a equação que foi digitada aparece em destaque. Ainda nesta janela, tem-se a reta solicitada representada no plano cartesiano, como vemos a seguir: Para inserir uma nova reta podemos seguir os passos anteriores ou clicar no botão. Com isso, retornaremos à janela curva implícita e assim poderemos inserir uma nova equação, como por exemplo, x y 2. Para facilitar a visualização da nova reta vamos alterar a cor para vermelha e clicar em ok. A representação gráfica das equações é apresentada a seguir:

234 232 Pode-se observar que temos duas retas concorrentes. Para facilitar a visualização do ponto de intersecção entre elas, "clique" em ver na barra superior e em seguida em grade. Será apresentada uma nova janela na qual poderemos escolher o tipo de grade para visualizar no plano cartesiano. Pode-se escolher entre setores polares ou retangular. "Clique" em retangular e depois em pontilhado. A seguir, "clique" em aplicar e, para concluir, em fechar.

235 233 Agora temos uma visualização entre as duas retas com a grade retangular: Para verificar o ponto de intersecção entre as retas com o auxílio do software, vá à barra superior e "clique" em Dois e em seguida em Interseções. Surgirá uma nova janela, na qual podemos visualizar as equações inseridas e as coordenadas do ponto de intersecção entre as retas.

236 234 Após verificar o ponto de intersecção entre as retas, "clique" em fechar. Caso deseje inserir a equação algébrica no plano cartesiano, na janela inventário, selecione uma das equações e "clique" no ícone equação. Será possível visualizar a equação selecionada no canto superior esquerdo, apresentada na mesma cor da reta. Faça o mesmo procedimento para a outra equação. Para deslocar a equação de forma que fique próxima a sua representação gráfica, "clique" em Mouse na barra superior da tela principal do software e em seguida "clique" em Texto.

237 235 Agora "clique" com o botão direito do mouse na equação desejada e mantenha o botão pressionado. Arraste a equação até a sua representação gráfica. Se desejar alterar o tamanho e o tipo da fonte da equação apresentada, "clique" em Equação na barra de ferramentas superior da tela principal do software e, em seguida, em Fonte.

238 236 tamanho. Na nova janela é possível alterar o tipo de fonte, o estilo da fonte e o seu Após realizar as alterações que considerar conveniente, clicar no ícone ok. Se houver a necessidade de alterar algum coeficiente ou termo independente de uma das equações ou de ambas, basta clicar no ícone editar que se encontra na janela inventário. Neste caso, retornaremos à janela curva implícita, na qual poderão ser realizadas as alterações necessárias. Após realizar as alterações, "clique" no ícone ok. Observe a nova representação gráfica com as alterações realizadas. Note que, alterando a segunda equação x y 2 para x y 1, temos a seguinte representação gráfica alterada.