Sistemas Lineares: Uma Proposta Apoiada na Exploração de Registros Semióticos e na Utilização de um Recurso Computacional

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1 Sistemas Lineares: Uma Proposta Apoiada na Exploração de Registros Semióticos e na Utilização de um Recurso Computacional Thais Michelli Stori da Silva 1 GD6 Educação Matemática, Tecnologias Informáticas e Educação à Distância Resumo. Nesse artigo apresentamos um trabalho de mestrado em andamento, com o qual objetivamos investigar se um experimento de ensino que explora diferentes representações semióticas e que inclui um recurso computacional favorece a aprendizagem de sistemas lineares. O estudo é fundamentado na Teoria dos Registros de Representações Semióticas e baseado na metodologia de Design Experiment. O experimento contará com seis estudantes do curso de Ciência da Computação de uma instituição particular de ensino superior. A revisão de literatura evidenciou como lacuna no estudo de sistemas lineares 3x3, a ausência de um trabalho em que o aluno possa avaliar a classificação de um sistema linear e sua representação gráfica por meio da investigação dos coeficientes das equações que o compõem. Elaboraremos e aplicaremos atividades que permitam a integração de vários registros, como os da língua natural, algébrico e principalmente o gráfico e proporcionaremos um ambiente favorável à experimentação, uma vez que o estudante poderá alterar os valores dos coeficientes no software Winplot, para analisar as diferentes classificações de sistemas nos registros explorados. Palavras-chave: Sistemas lineares. Representações semióticas. Recurso computacional. Introdução Com este trabalho temos por objetivo investigar se um experimento de ensino apoiado em diferentes representações semióticas e na utilização de um recurso computacional pode favorecer os processos de ensino e de aprendizagem do objeto matemático Sistemas Lineares. Procuraremos responder a questão: Que compreensões emergem dos estudantes ao se depararem com uma abordagem sobre Sistemas Lineares concebida de forma a integrar um recurso computacional e explorações de registros semióticos? Nossa experiência docente revela que parte dos alunos que ingressam no curso de Ciência da Computação, geralmente porque gostam muito de computadores, não têm consciência de que precisarão de conhecimentos matemáticos estudados no Ensino Médio. Uma das competências necessárias a um aluno desse curso é que possa ser capaz de evoluir ao longo do tempo, exercitando conhecimento matemático e raciocínio lógico, indispensáveis ao entendimento da computação. 1 Universidade Anhanguera de São Paulo, thais.stori@unasp.edu.br, orientadora: Prof. Dra. Monica Karrer.

2 Segundo relato de alguns alunos da instituição em que trabalho, a Álgebra Linear é vista por eles como uma disciplina de cunho matemático obrigatório, sem qualquer relação com outras disciplinas e com a parte técnica do curso, causando um desinteresse natural. Acreditamos que se trabalharmos com o apoio de um recurso computacional e com a exploração de registros, de forma a apresentar um ambiente favorável para que o aluno construa seu conhecimento, proporcionaremos uma abordagem que favorecerá a compreensão do conteúdo de Sistemas Lineares presente nessa disciplina. Segundo a Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval (2011), para a aprendizagem de um objeto matemático, é necessário efetuar com sucesso a coordenação de pelo menos dois registros distintos. Desta forma, nosso estudo almeja contemplar relações entre representações dos registros gráfico, algébrico e da língua natural. Constatamos na literatura que já existem trabalhos sobre Sistemas Lineares que exploram representações semióticas e recursos computacionais, tais como os de Battaglioli (2008), Jordão (2011) e Gonçalves (2012). Apesar disso, identificamos como lacuna, especificamente no conteúdo de sistemas lineares com três equações e três incógnitas, a ausência de um trabalho em que o aluno possa avaliar a classificação de um sistema linear e sua representação gráfica por meio da investigação dos coeficientes das equações que o compõem. Em boa parte dos trabalhos analisados, quando se utiliza um recurso computacional, todas as equações são dadas, cabendo ao aluno apenas a digitação das mesmas no software e a visualização dos resultados. Partindo da ideia presente no estudo de Gonçalves (2012), cuja proposta envolveu a análise da existência ou não de proporcionalidade entre os coeficientes de sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas, pretendemos ampliar o estudo para sistemas lineares com três equações e três incógnitas. Temos a intenção de tratar o conteúdo de Sistemas Lineares, efetuando as atividades cognitivas de conversão e tratamento de registros (língua natural, algébrico e gráfico), integrando um recurso computacional, de modo que o aluno possa construir algebricamente todos os possíveis modelos de Sistemas Lineares de três equações e três incógnitas, relacionando as classificações com o registro gráfico. Para isso, utilizaremos os recursos disponíveis no software Winplot que permitem a alteração dos coeficientes das equações.

3 Como exemplo, no sistema 2x y z 3 x y z 1 ax by cz d, deixaremos uma equação com a possibilidade de alteração dos parâmetros e solicitaremos que o estudante "experimente", com base nos seus conhecimentos de Geometria Analítica, as possibilidades de obter sistemas possíveis (determinados e indeterminados) ou impossíveis. Dessa forma, acreditamos propiciar ao estudante um ambiente favorável para a construção e discussão dos Sistemas Lineares. Fundamentação Teórica Como pretendemos trabalhar com várias representações de sistemas lineares, focando nos tratamentos e conversões envolvendo os registros gráfico, algébrico e da língua natural, utilizaremos a Teoria dos Registros de Representações Semióticas de Raymond Duval para fundamentar o nosso trabalho. Segundo Duval (2011) boa parte dos estudantes não consegue diferenciar o objeto matemático da sua representação. Considerando que um mesmo objeto pode apresentar várias representações, ele sugere que o ensino de Matemática explore esse fato, para minimizar essa problemática. Para o autor, um registro de representação semiótica é um sistema que permite três atividades cognitivas: a formação, o tratamento e a conversão. Ele afirma que, para que ocorra realmente a aquisição do conhecimento matemático, é necessário que haja a possibilidade de transformações das representações. Essas transformações podem ser classificadas em tratamento ou conversão. No tratamento, as transformações se dão no interior de um mesmo registro. Por exemplo, nos sistemas lineares, cada passagem do processo de escalonamento representa um tratamento. x 2y z 9 2x y z 3 3x y 2z 4 Quadro 1: Exemplo de tratamentos. Fonte: Acervo próprio. x 2y z 9 3y 3z 15 7 y 5z 31 x 2 y z 9 y z 5 2z 4 Na conversão, as transformações se dão pela mudança de um registro para outro. No caso dos sistemas lineares, partindo de um problema escrito na língua natural, podemos passá-lo para a forma algébrica e depois para um registro gráfico, realizando, então, duas conversões, conforme apresentado a seguir.

4 Língua Natural Fábio utilizou apenas notas de R$ 10,00 e de R$ 50,00 para fazer um pagamento de R$ 350,00. Quantas notas de cada tipo ele utilizou, sabendo que no total foram 15 notas? Algébrico 10x 50 y 350 x y 15 Gráfico Quadro 2: Exemplo de conversões. Fonte: Acervo próprio. As conversões podem ser congruentes ou não-congruentes. As primeiras ocorrem segundo três critérios: quando há correspondência termo a termo entre os tipos de registros, quando a cada unidade significante da representação de partida, corresponde a uma única unidade de representação de chegada, e quando há uma ordem que compõe cada uma das representações. Quando pelo menos um destes critérios não for observado, diz-se que a conversão é não-congruente. Duval (2009, p. 63) baseado em investigações no processo de aprendizagem afirma que a conversão das representações semióticas constitui a atividade cognitiva menos espontânea e mais difícil de adquirir para a grande maioria dos alunos, e, para o autor, a dificuldade é ainda maior com as conversões não-congruentes. Duval (2011) classifica os registros quanto a sua natureza, em multifuncionais e monofuncionais e as representações em discursivas e não-discursivas, segundo o quadro apresentado a seguir. Quadro 3: Classificação dos Registros. Fonte: Duval (2011, p. 14)

5 Enquanto os registros monofuncionais (algébrico e gráfico) podem ser tratados de forma algoritmizável, os multifuncionais (língua natural e figural) não permitem esse tipo de tratamento. De acordo com Duval (2011), é comum nos processos de ensino e de aprendizagem que apenas um registro seja privilegiado. Alguns professores acreditam que ensinando desta forma, o aluno conseguirá compreender o conteúdo, mas esse sucesso é momentâneo porque priva o aluno de desenvolver a capacidade de adquirir novos conhecimentos e de ter um conhecimento sólido do objeto matemático trabalhado. Duval (2011, p. 29) não se preocupa apenas com o sucesso em matemática, mas enfatiza que na medida em que a matemática tende a diversificar os registros de representação, sua aprendizagem específica pode contribuir fortemente para o desenvolvimento das capacidades cognitivas globais dos indivíduos. Para Duval (2009, p. 16) a utilização de representações semióticas aparece primordialmente pela atividade matemática e lhe parece ser intrínseca, ressaltando que a compreensão em matemática se dá exclusivamente pela articulação de vários registros de representações, o que não acontece em outras ciências, como a Física e a Biologia, onde a experimentação também se faz presente. Em uma entrevista concedida à Revista Paranaense de Educação Matemática em 2013, Duval conta que nos últimos vinte anos, muitas mudanças ocorreram por conta dos avanços da tecnologia e dos ambientes informatizados. Ressalta que o ensino de matemática deve se adequar a essa realidade. Do ponto de vista cognitivo, os softwares trazem grandes inovações. A mais fascinante é o poder de visualização que eles oferecem em todas as áreas. A segunda é que eles constituem um meio de transformações de todas as representações produzidas na tela. (DUVAL, 2013, p.32) Partindo do ponto de vista desse pesquisador, integraremos em nosso estudo o software Winplot e buscaremos explorar tratamentos e conversões entre representações dos registros da língua natural, algébrico e gráfico. Revisão de Literatura Battaglioli (2008) fez uma análise dos principais livros didáticos indicados pelo PNLEM no que diz respeito ao conteúdo de Sistemas Lineares. Segundo a pesquisadora, o

6 livro didático tem sido utilizado como única ferramenta por alguns professores, mas afirma que este deveria ser apenas um recurso a mais, norteando a preparação das aulas. Partindo dessa problemática, a pesquisadora investigou, à luz da teoria de Duval (2003), como os livros didáticos exploram os vários registros de representações semióticas, tanto nos exemplos, quanto nos exercícios propostos. Ela verificou que o registro predominante nos livros é o algébrico. O registro gráfico é pouco explorado e em apenas um dos livros analisados foi encontrado um exercício proposto utilizando esse registro. Com relação à conversão de registros, notou que a transformação mais explorada envolvia a passagem da língua natural para o registro algébrico. Desta forma, a pesquisadora sugeriu que o registro gráfico seja mais explorado, por acreditar que ele contribui para a compreensão da classificação e da resolução de um sistema linear. A análise feita por Battaglioli (2008) foi importante para nossa pesquisa, pois apresentou lacunas nos livros didáticos com relação a ausência de atividades em que os alunos pudessem explorar o registro gráfico, cabendo ao professor a elaboração de tais atividades. De posse dessa informação, pretendemos explorar de forma intensa o registro gráfico. O trabalho de Battaglioli (2008) inspirou Jordão (2011) a realizar um estudo com alunos do segundo ano do Ensino Médio. Ela elaborou, aplicou e analisou uma sequência didática que abordou a resolução algébrica e gráfica dos sistemas lineares quadrados com o auxílio do software Winplot. Jordão (2011) afirmou que a compreensão dos sistemas lineares envolve a articulação de diferentes registros de representação, concordando com Duval (2003), teórico que enfatiza que não há aquisição do conhecimento matemático sem recorrer a várias representações do objeto de estudo, ou seja, é preciso coordenar pelo menos dois registros. Neste contexto, a pesquisadora procurou investigar qual seria a influência de uma abordagem sobre sistemas lineares 3x3, integrando um recurso computacional e explorações de registros semióticos, nas produções de alunos do Ensino Médio. Para a realização da pesquisa, Jordão (2011) utilizou os pressupostos da Engenharia Didática como metodologia, descrita por Artigue (1996). Ela analisou documentos oficiais Parâmetros Curriculares Nacionais (1998, 2002), pesquisas e artigos relacionados a

7 sistemas lineares e ao uso da tecnologia em sala de aula, bem como dois livros didáticos também analisados por Battaglioli (2008). Na análise a priori, ao elaborar a sequência didática aplicada aos alunos, a pesquisadora descreveu as possíveis estratégias de resolução das atividades e as possíveis dificuldades dos alunos. Ela tratou das oito possibilidades gráficas de sistemas lineares 3x3. A fase da experimentação aconteceu durante oito encontros, cinco em sala de aula e três no laboratório de informática. Participaram vinte e cinco alunos do segundo ano do Ensino Médio de uma escola da rede particular em que a professora lecionava. Apenas sete alunos foram escolhidos como sujeitos da pesquisa, porque só estes seguiram os critérios estabelecidos: assiduidade e entrega das atividades individualmente. Os alunos resolveram as atividades em duplas e todos os comentários foram registrados em áudio. As atividades propostas contemplaram o tratamento e a conversão dos registros da língua natural, algébrico, tabular e gráfico. Com posse dos dados coletados, a pesquisadora constatou na sua análise a posteriori que, quando da resolução de sistemas 2x2, a maioria dos alunos não mostrou dificuldade ao fazer a conversão do registro da língua natural para o registro algébrico; quando o registro de partida era o tabular e o de chegada era o gráfico, o erro ocorreu, principalmente, quando do uso de números racionais não inteiros. Já na sequência didática que abordou os sistemas lineares de ordem 3, constatou-se que dois alunos não conseguiram converter da língua natural para o registro algébrico. No tratamento algébrico desses sistemas, os alunos preferiram a utilização do método da adição. Precisaram classificar os sistemas em: Sistema Possível e Determinado, Sistema Possível e Indeterminado e Sistema Impossível, o que ocorreu de forma mais tranquila quando associado ao registro gráfico proporcionado pelo software. Jordão (2011, p.165) entendeu que o registro gráfico privilegia a abordagem visual ao facilitar a interpretação das posições relativas dos planos, o que não implica na eliminação do tratamento algébrico. Ela constatou a importância da conversão de registros, na medida em que percebeu que os alunos recorreram a outro registro quando apresentaram dificuldade em obter a solução esperada no registro primeiramente utilizado.

8 A autora concluiu em sua pesquisa que o uso do software Winplot foi relevante no ensino de sistemas lineares, visto que facilitou a visualização e a experimentação, contribuindo para a compreensão do conteúdo. Nessa perspectiva sugeriu que outros pesquisadores desenvolvam atividades que propiciem a discussão de sistemas lineares, principalmente os que tratam de sistemas possíveis e indeterminados. Com abordagem diferente da de Jordão (2011), mas seguindo sua sugestão, construiremos um experimento de ensino sobre Sistemas Lineares que tenha por diferencial deixar os coeficientes de uma das equações com possibilidade de alteração, permitindo que o estudante, com base em seus conhecimentos de Geometria Analítica, explore e construa a equação e constate sua conjectura no registro gráfico. Parte da sequência didática desenvolvida por Jordão (2011), especificamente no que diz respeito às oito possibilidades de intersecção (ou não) dos planos relativos aos sistemas, foi aplicada por outra professora a alunos do primeiro ano de Matemática da Universidade Estadual do Paraná/Campus de Campo Mourão. Neste estudo, que valorizou diferentes registros, ficou evidenciado que as práticas pedagógicas dos professores interferem no modo como os alunos concebem os conceitos matemáticos. (HERMANN e REZENDE, 2013, s/p) Gonçalves (2012) estudou os sistemas lineares, especificamente aqueles do tipo 2x2, com o objetivo de investigar as produções de alunos do ensino fundamental a partir de um ensino diferenciado, uma vez que procurou fornecer ao estudante um ambiente de investigação das consequências gráficas e algébricas da existência ou não de proporcionalidade entre os coeficientes das duas equações. Ele também utilizou o recurso computacional do software Winplot para auxiliar na construção do conhecimento. Ele elaborou um experimento de ensino com base na metodologia de Design Experiment de Cobb et al. (2003) e procurou investigar em que aspectos a abordagem proposta, que envolveu a análise das consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade dos coeficientes das equações, influenciou os estudantes na compreensão da qualidade de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas. Ainda, ele procurou investigar como o software adotado, que viabilizou a análise dinâmica das relações entre representações dos registros algébrico e gráfico, contribuiu para a compreensão da análise da qualidade de sistemas lineares.

9 O seu estudo foi fundamentado na Teoria dos Registros de Representações Semióticas de Duval (2006), uma vez que integrou conversões entre os registros da língua natural, algébrico, gráfico e numérico-tabular. A análise do Caderno do Aluno, material de apoio dos professores da rede estadual de São Paulo, fez parte dos procedimentos metodológicos utilizados, visto que o pesquisador é também professor do oitavo ano na rede, conhece o material e as dificuldades dos alunos no conteúdo de sistemas lineares. Verificou que esse material possui vários exercícios nos quais se exigem as conversões da língua natural para o registro algébrico (que, segundo o autor, é a conversão mais comum), da língua figural para a algébrica, da língua natural para o registro numérico-tabular, e, de uma maneira mais tímida, a passagem do registro algébrico para o gráfico, por meio do plano cartesiano, para a explicação da classificação dos sistemas lineares. Para a pesquisa, também foram analisados quatro livros didáticos, sendo que Gonçalves (2012) concluiu que apenas um deles realmente se preocupa com a conversão de registros de forma mais ampla. O estudo contou com quatro alunos entre treze e quatorze anos que se dispuseram a participar em horário extraclasse no laboratório de informática de uma escola estadual. Aos alunos foi entregue um questionário com o objetivo de saber o que conheciam sobre o assunto. Seguiu-se uma breve ambientação com o software escolhido e então receberam fichas de atividades para serem resolvidas no ambiente papel e lápis e também utilizando o software Winplot. Os alunos foram entrevistados para explicarem suas respostas. O pesquisador atuou como orientador durante todo o processo, interferindo somente quando necessário. Os exercícios propostos na atividade com o registro gráfico visaram investigar a existência ou não de proporcionalidade entre os coeficientes e entre os termos independentes das equações componentes dos sistemas lineares sugeridos. Em grande parte das atividades, a atribuição dos coeficientes foi deixada a cargo do aluno. É o que pretendemos fazer em nosso trabalho, só que para sistemas 3x3. Constatou-se que, quando utilizavam o software Winplot, os alunos não apresentavam dificuldade em classificar um sistema linear, contudo, quando usavam lápis e papel, a dificuldade com cálculos e com a resolução das equações afetava o domínio deste conhecimento.

10 Com o desenvolvimento das atividades, o autor percebeu que algumas dificuldades foram superadas, visto que o trabalho foi gradativo na construção dos conceitos, integrando os registros algébrico, gráfico e de língua natural. Evidenciou-se, neste estudo, que a integração entre o trabalho de visualização dinâmica dos gráficos dos sistemas lineares no Winplot e tarefas propostas no ambiente papel e lápis, favoreceu a aprendizagem. Ainda, o uso desse recurso computacional representou um elemento motivacional. Metodologia Utilizaremos em nossa pesquisa os pressupostos do Design Experiment descritos por Cobb et al. (2003). O objetivo dessa metodologia está em proporcionar um estudo detalhado de um determinado domínio matemático, não se atendo a uma sequência de atividades, mas a um experimento que vise a aprendizagem por meio de abordagens diferenciadas e inovadoras. Esta metodologia é focada no pensamento do aluno, sendo flexível, iterativa e cíclica. O Design Experiment pode ser aplicado a classes numerosas ou a pequenos grupos, mas nesta pesquisa será aplicado a um número restrito de alunos, tendo em vista que pretendemos realizar uma análise minuciosa dos dados. Todos os envolvidos (professor, pesquisador e sujeitos) são colaboradores do processo, tendo participação ativa em todo o desenvolvimento do experimento. A duração do processo é indeterminada, dependendo das necessidades do grupo. O pesquisador deve elaborar um desenho inicial com base nas evidências da literatura. Esse desenho, ao ser aplicado, será adaptado de acordo com as produções fornecidas pelos sujeitos. Se possível, o ideal é que o experimento inicial seja testado num estudo preliminar antes da aplicação principal, para verificar se os enunciados estão compreensíveis e para efetuar as alterações necessárias. As produções escritas dos alunos, a áudio-gravação, as entrevistas e até a análise dos erros são elementos indispensáveis para o desenvolvimento do processo e fundamentais no caso de remodelações. Esta metodologia é adequada à nossa pesquisa porque estamos interessados em saber como o aluno constrói o conhecimento de sistemas lineares de ordem 3x3. Entendemos que seu caráter flexível permitirá a realização de reformulações a qualquer momento do processo, favorecendo a análise da trajetória do estudante nessa construção.

11 Inicialmente faremos uma análise preliminar para investigar os conhecimentos já adquiridos pelos alunos no que diz respeito a Sistemas Lineares, e também faremos uma revisão sobre alguns itens da Geometria Analítica. Em seguida, elaboraremos um experimento de ensino sobre Sistemas Lineares. Partiremos de algumas atividades propostas por Gonçalves (2012) sobre sistemas de duas equações e duas incógnitas e, seguindo a mesma dinâmica, faremos a proposta de atividades sobre sistemas de três equações e três incógnitas, integrando os ambientes papel e lápis e computacional. Esse experimento será aplicado a sujeitos do curso de Computação e, dada a característica da metodologia adotada, as atividades inicialmente elaboradas poderão sofrer remodelações durante o processo. Por fim, aplicaremos uma atividade para investigar os possíveis avanços dos sujeitos de nossa pesquisa. Resultados Esperados Esperamos que o experimento de ensino deste trabalho possa proporcionar aos alunos do Ensino Superior uma abordagem diferente sobre sistemas lineares e um ambiente favorável à construção e compreensão desse conteúdo. Almejamos que os sujeitos desta pesquisa possam ser capazes de utilizar vários tipos de representações semióticas para resolver sistemas lineares e que o uso do recurso computacional possa propiciar automaticamente a discussão destes sistemas, por meio da investigação da influência de seus coeficientes. Referências Bibliográficas BATTAGLIOLI, C. S. M. Sistemas lineares na segunda série do ensino médio:um olhar sobre os livros didáticos f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). PUC, São Paulo, DUVAL, R. Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em matemática. In: MACHADO, S. D. A. (org). Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação Semiótica. Campinas: Papirus, Cap. 1, p DUVAL, R. Semiósis e pensamento humano: registro semiótico e aprendizagens intelectuais. São Paulo: Livraria da Física, FREITAS, J. L. M. de; REZENDE, V. Entrevista: Raymond Duval e a teoria dos registros de representação semiótica. Revista Paranaense de Educação Matemática, Campo Mourão, v.2, n.3, p , jul-dez, 2013.

12 GONÇALVES, J. da S. Análise da qualidade de Sistemas Lineares: Um estudo sobre conversões de registros com auxílio do software Winplot f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Universidade Bandeirante de São Paulo, HERMANNs, W. REZENDE, V. Diferentes representações dos sistemas de equações lineares: uma análise dos registros de alunos do 1 o ano do curso de Matemática da UNESPAR/FECILCAM. In: VIII ENCONTRO DE PRODUÇÃO CIENTÍFICA E TECNOLÓGICA. Campo Mourão, JORDÃO, A. L. I. Um estudo sobre a resolução algébrica e gráfica de sistemas lineares 3x3 no 2 o ano do Ensino Médio f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática). PUC, São Paulo, 2011.