Modelagem de fenômenos naturais ANÁLISE ESTATÍSTICA DE VARIÁVEIS REGIONALIZADAS

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1 FACULDADE DE CIÊNCIAS AGRONÔMICAS UNESP, campus de Botucatu Programa de Pós-Graduação ANÁLISE ESTATÍSTICA DE VARIÁVEIS REGIONALIZADAS Paulo M. Barbosa Landim 11/07 Análise espacial de dados Introdução ao SURFER Exercício 01 12/07 Análise variográfica Exercício 02 13/07 Krigagem pontual e para blocos Exercício 03 14/07 Regressão polinomial Krigagem para dados com tendência Exercício 04 15/07 Krigagem indicadora Co-Krigagem Exercício 05 18/07 Simulação Exercício 06 25/07 Data final para a entrega dos exercícios 1 2 Do rigor na ciência Jorge Luis Borges Naquele Império, a Arte da Cartografia logrou tal perfeição que o mapa de uma única Província ocupava toda uma Cidade, e o mapa do Império, toda uma Província. Com o tempo, esses Mapas Desmedidos não mais satisfizeram e os Colégios de Cartógrafos levantaram um Mapa do Império, que tinha o tamanho do Império e coincidia pontualmente c om ele. Menos interessadas no Estudo da Cartografia, as Gerações Seguintes entenderam que esse dilatado Mapa era Inútil e não sem Impiedade o entregaram às Inclemências do Sol e dos Invernos. Hoje, nos desertos do Oeste perduram despedaçadas Ruínas do Mapa, habitadas por Animais e por Mendigos; e em todo o País não há outra relíquia das Disciplinas Cartográficas. Modelagem de fenômenos naturais modelo conceitual modelo escalar modelo matemático: determinístico estocástico (estatístico) Modelos estocásticos e a metodologia estatística 4 3 1

2 População e amostra Amostragem para obter dados Amostragem aleatória simples A população constituída por N unidades é numerada sequencialmente e n unidades serão sorteadas, com base numa Tabela de números ao acaso, sem reposição. As observações sendo coletadas em pontos de amostragem, localizados dentro da região de estudo, a componente aleatória serão as coordenadas geográficas a serem escolhidas casualmente Números ao acaso

3 Amostragem aleatória estratificada Subdividir a região em estudo em células de dimensões fixas nas direções leste-oeste e norte-sul. Dentro de cada célula, as coordenadas geográficas de um ponto são escolhidas aleatoriamente e o ponto selecionado. Dessa forma, ao final desse processo, o número de unidades selecionadas será igual ao número de células Amostragem sistemática Feita sobre os nós de uma malha regular definida a partir de uma origem escolhida aleatoriamente. Teoricamente, a componente aleatória seria dada pela escolha do ponto de origem, mas, isso não ocorre na prática, pois a malha regular é definida inicialmente, pelo responsável pela amostragem, para otimizar a coleta das unidades de amostragem dentro da região de estudo

4 Análise de dados: descrição interpretação estimação* *Este é o grande desafio: a estimativa de valores para situações de previsão quantitativa Análise estatística de dados univariados Estatística descritiva Variáveis A e B

5 Histograma: A Estatísticas A B Histograma: B Média Erro padrão Mediana Moda Desvio padrão Variância Curtose Assimetria Intervalo Mínimo Máximo Soma Contagem Teste t: intervalos de confiança para média amostral Teste t: comparação entre médias A e B x t n s /. ( / 2; 1) n A B Média: Variância: Observações: A: 1,22± 2,02 x 0.323/ 38 = 1,22 ± 0,106 = 1,114 1,326 B: 1,24±2,02 x 0.342/ 38 = 1,24 ± 0,112 = 1,128 1,352 H0: Distribuições de A e B são iguais g.l.: 37 Estatística t: t crítico uni-caudal: Como t crítico > calculado, aceitar H

6 A importância do georreferenciamento Distribuições espaciais: A B Dados georreferenciados Concentração de nutrientes Produtos químicos tóxicos Cor do solo Fertilidade dos solos Índice de poluição hídrica Distribuição de chuvas Infestação de pragas Gerenciamento de zonas pesqueiras Agricultura de precisão Estatística clássica variáveis aleatórias: lei das probabilidades valores independentes sem continuidade espacial Estatística espacial valores associados à localização no espaço e/ou no tempo distribuição contínua de valores nos pontos amostrados Em Estatística A) Provas podem ser repetidas indefinidamente B) As provas são independentes: o resultado de uma prova não é influenciado pelo resultado de provas precedentes. Na Natureza, porem: Quando se tira uma amostra num determinado ponto, de coordenada x, o teor da referida amostra é um valor único, fisicamente determinado, e é impossível a repetição desta experiência Se fosse retirada outra amostra num ponto muitíssimo próximo de x, poder-se-ia dizer que a condição (A) estaria satisfeita, porem neste caso não se estaria respeitando a condicionante (B)

7 Na jogada de um dado, o resultado ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 tem a mesma probabilidade de ocorrer: Processo aleatório e não tendencioso. Várias jogadas e vários dados : Pode-se calcular a probabilidade Mapeamento de solos Amostragem para o teor de um painel E na Natureza? Como prever a ocorrência de um evento? Questões Outras situações: teor em uma mina de cobre Até que distâncias devem ser consideradas as amostras? Quantas devem ser usadas? Aquela eventualmente colocada no centro da área terá um peso maior que as demais? Se amostras formarem grupos qual a influência desses agrupamentos? Como evitar que os resultados sejam sub ou super estimados? A relação espacial, em termos geométricos, entre as amostras estimadoras e a área a ser estimado, tem importância? Essa técnica de estimativa pode ser utilizada indistintamente para solos in situ e solos transportados?

8 Biomassa numa plantação de eucaliptos Dimensão de uma pluma de contaminação Volume de petróleo no pré-sal Estatística espacial e interpolação de valores Valores são coletados (amostra) e se quer estimar o comportamento espacial do fenômeno em estudo (população) Interpolação: procedimento matemático de ajuste de uma função à pontos não amostrados, baseando-se em valores obtidos em pontos amostrados. Produto final: Mapas (Modelo digital)

9 O objetivo fundamental da amostragem é coletar valores de uma variavel, no espaço 1-2-3D para, ao estimar valores em locais não amostrados, determinar o comportamento espacial da população sob estudo. Usando informações pontuais conhecidas, como estimar um valor em local não amostrado? 33 Estratégia para a amostragem: características da area a ser amostrada planejamento a ser adotado para determinar a seleção de amostras em termos de localização e densidade procedimento a ser utilizado para o cálculo da estimativa e sua interpretação. 34 Hipótese: valores de um atributo tendem a ser semelhantes em locais próximos, por comparação com locais afastados A representação de dados no espaço é essencial em diversas áreas do conhecimento, sendo de uso extensivo em agronomia, biologia, ecologia, geografia, geologia, meteorologia, etc. Quando do estudo espacial de dados, porem, é imprescindível o conhecimento do usuário sobre o tema a ser pesquisado, pois obter um mapa com forte efeito estético é bastante fácil usando os recursos gráficos disponíveis O mais importante, porém, é saber verificar o significado do resultado obtido para que o mapa, entendido como modelo, possa ser útil para a explicação do fenômeno em estudo e principalmente para a sua previsão em situações futuras. 9

10 Campo de validade da interpolação Interpretação: Conhecimento a priori Quantificação: Conhecimento baseado no polígono que engloba o conjunto de dados Métodos de interpolação Funções globais: consideram todos os pontos da área; permite interpolar o valor da função em qualquer ponto dentro do domínio dos dados originais; a adição ou remoção de um valor tem conseqüências no domínio de definição da função Funções locais: definidas para porções do mapa; alteração de um valor afeta localmente os pontos próximos ao mesmo Métodos de estimativa para modelagem de superfícies A escolha de um método de interpolação Um método é "melhor" do que outro? Quão fiel aos dados originais é o resultado obtido? A superfície estimada representa uma solução plausível? O resultado é esteticamente agradável? TRIANGULAÇÃO: conecta pontos amostrados formando triângulos e interpola os valores entre eles; são considerados métodos de estimativa diretos, pois os contornos derivam do padrão original dos dados; não permite extrapolação, as estimativas limitam-se estritamente à área amostrada

11 RETICULAÇÃO (GRIDDING): estabelece uma grade regular (grid) sobre a área estudada e calcula os valores nos nós do reticulado com base nos valores dos pontos adjacentes já amostrados; são considerados métodos de estimativa indiretos, uma vez que os contornos são construídos a partir dos dados estimados para os nós da grade e não a partir dos dados originais; permite tanto a interpolação quanto a extrapolação de valores Um algoritmo matemático é utilizado para ajustar uma superfície através dos dados estimados para os nós; há um grande número de algoritmos Estimativa do reticulado Reticulado Definição, espaçamento e origem reticulação a estimar o valor de cada nó por seleção de pontos próximos com valores conhecidos filtragem dos valores dos nós de modo a suavizar os contornos resultantes e permitir o melhor ajuste com os valores originais Fornecidos n valores conhecidos, regularmente distribuídos ou não, Z 1, Z 2,..., Z n, o valor Z* a ser interpolado para qualquer nó da rede será igual a Z* = Σp i Z i Diferença entre métodos: maneira como os Z i são escolhidos e os respectivos pesos p i são calculados e aplicados durante a reticulação

12 Estimativa do reticulado Algorítmos para interpolação inverso do quadrado da distância curvatura mínima vizinho natural Técnicas: janelas móveis Escolhe-se uma janela com um tamanho apropriado e calcula-se um valor no centro, resultante da media dos valores que se encontram dentro da área considerada Polígonos de Thiessen Método para determinar, numa área, a região mais próxima de um ponto unir todos os pares de pontos com segmentos de reta perpendiculares a cada segmento de reta Polígono de Thiessen

13 Inverso da distância Inverso do quadrado da distância (IQD) Distribuição dos pontos 0,135-5,

14 Mínima Curvatura IQD 53 0,135-5, ,135-5,129 Vizinho Natural A incerteza da estimativa Os resultados são sempre incertos. Essa incerteza não é uma propriedade intrínsica do fenomeno. A incerteza reflete apenas o grau de desconhecimento do observador. 55 0,135-5, Preferível estar aproximadamente certo, do que perfeitamente errado! 14

15 Origens da Geoestatística Kolmogorov, Weiner, Matern, Gandin, Fisher (início até meados de 1900) Krige (1951) e De Wijs ( ) Geoestatística : localização geográfica e a dependência espacial. Matheron (1962,1963) Teoria das variáveis regionalizadas VARIÁVEIS REGIONALIZADAS: A localização geográfica é parte integral de qualquer variável. Os valores das variáveis não são independentes e identicamente distribuidos. Ocorre dependência espacial entre os valores Atualmente Geoestatística: abordagem probabilística de modelagem, que engloba um conjunto de técnicas, para a análise e mapeamento de valores de variáveis regionalizadas distribuídos no espaço e/ou no tempo. Envolve três etapas: 1) Análise: descreve a covariância espacial dos valores de um fenômeno em estudo, por meio da análise estrutural ou modelagem do semivariograma. 2) Inferência: estima, pelo método da krigagem, valores de uma variável regionalizada distribuída no espaço (1D, 2D, 3D) em locais não amostrados, e verifica a incerteza associada à estimativa. 3) Simulação: calcula um conjunto de realizações equiprováveis e igualmente representativas do fenômeno em estudo

16 Classificação de métodos para interpolação espacial Global Deterministico Estocástico Regressão (inexato) Trend surface (inexato) Local Deterministico Estocástico Kriging (exato) Polígonos de Thiessen (exato) Inverso do quadrado da distância (exato) Splines (exato) Referências OLEA, R. A. (2009) A practical primer on geostatistics: U.S. Geological Survey, Open-File Report , 346 p. OLIVER, M.A., editor (2010) Geostatistical Applications for Precision Agriculture: Springer, 331 pp. OLIVER, M.A.; WEBSTER, R. (2015) Basic Steps in Geostatistics: The Variogram and Kriging: Springer, 100 pp. SOARES, A. (2006) Geoestatística para as Ciências da Terra e do Ambiente. IST Press, 2ª. Edição, 214 pp. YAMAMOTO, J.K.; LANDIM, P.M.B. (2013) Geoestatística. Conceitos e Aplicações: Editora Oficina de Textos, 215 pp sites sobre geoestatística: Software GsLib ( SGeMS (Stanford Geostatistical Modeling Software) GSTAT ( GS+ ( Surfer (