ALGORITMOS GENÉTICOS APLICADOS NA MODELAGEM DA PROPAGAÇÃO NA TROPOSFERA

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1 ALGORITMOS GENÉTICOS APLICADOS NA MODELAGEM DA PROPAGAÇÃO NA TROPOSFERA Antonio C. Vilanova 1, Valtemir E. do Nascimento 2, Ailton A. Shinoda 3, Gilberto A. Carrijo 4 1,2 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso, Cuiabá-MT 1 Departamento da Área Eletro Eletrônica antonio.vilanova@cba.ifmt.edu.br 2 Departamento de Informática - valtemir.nascimento@cba.ifmt.edu.br 3 Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Ilha Solteira-SP Departamento de Engenharia Elétrica - shinoda@dee.feis.unesp.br 4 Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, MG Departamento de Engenharia Elétrica - gilberto@ufu.br Resumo Este artigo apresenta um estudo de otimização de parâmetros em um conhecido modelo de propagação na troposfera. O modelo de propagação é baseado no divisor de passos de Fourier para resolução de equações parabólicas. Nossa aproximação utiliza algoritmos genéticos para determinar os valores ótimos de parâmetros que levam o campo elétrico a sua máxima intensidade em um determinado ponto de observação. Por usar algoritmos genéticos na busca dos valores ótimos dos parâmetros, o tempo de processamento é reduzido de forma significativa. Uma avaliação preliminar dos resultados através de simulações mostra que essa aproximação é promissora. Palavras chaves: Algoritmos Genéticos, custo computacional, Divisor de Passos de Fourier, Equações Parabólicas. GENETIC ALGORITHMS APPLIED TO MODELING PROPAGATION IN TROPOSPHERE Abstract - This paper presents a study on the optimization of parameters in so called troposphere radio wave propagation over land model. The propagation model is based on split-step Fourier to solve the parabolic wave equation. Our approach uses genetic algorithm to determine the best parameters toward the maximum field intensity in a given observer s position. By using genetic algorithm the time needed in searching the optimal parameters are greatly reduced. The preliminary evaluation results through simulation show that our approach is promising. Key-words: Genetic Algorithm, computational cost, Equation Parabolic, Split-step Fourier. I. INTRODUÇÃO Dos vários modelos de predição de propagação desenvolvidos nas ultimas décadas, os baseados em equações parabólicas - EP tem sido considerado mais atrativo e eficaz [1]. Estes modelos propiciam solução completa da equação da onda considerando a dependência da refratividade com a distância e as irregularidades dos terrenos [2]. Na solução de equações parabólicas, são usadas principalmente as técnicas do divisor de passos de Fourier, das diferenças finitas e dos elementos finitos. O eficiente algoritmo do divisor de passos de Fourier para solução de equações parabólicas foi desenvolvido em 1973 por Hardin e Tapert [3] e passou a ser e continua sendo muito utilizado nas pesquisas atuais como visto em [1], [4], [5], [6] e [7]. Nas ferramentas que utilizam a equação parabólica com o divisor de passos de Fourier para predição de propagação na troposfera como em [4] e [5], o usuário entra com uma combinação de parâmetros como freqüência, altura e tilt da antena, largura do feixe, entre outros, para obter a cobertura de uma determinada região. Cada parâmetro possui uma faixa de valores possíveis como definido em[8]. O conjunto de todas as combinações dos parâmetros em análise é denominado de espaço de busca. Para encontrar valores ótimos de parâmetros nesses modelos, é necessário inserir cada combinação dos parâmetros e encontrar a que produz a melhor solução. Quando o número de amostras desses parâmetros aumenta, encontrar os valores ótimos desses parâmetros pela força bruta exige muito tempo de processamento. Este artigo propõe a otimização por Algoritmos Genéticos dos parâmetros altura da antena transmissora e freqüência de operação de um modelo de propagação da troposfera, baseado em Equações Parabólicas, com o objetivo de reduzir o custo computacional na obtenção dos valores ótimos dos referidos parâmetros. A. Equação Parabólica EP Neste trabalho, a propagação eletromagnética é resolvida através de Equações Parabólicas e tratada de forma bidimensional, considerando como variáveis a coordenada z,

2 relativa à altura e a coordenada x relativa à distância. O campo é considerado independente do azimute, que corresponde à coordenada y. Os campos apresentam uma dependência do tempo,, onde é a velocidade angular [9]. Para polarização horizontal, o campo elétrico só tem uma componente não nula,, e para polarização vertical, o campo magnético só tem uma componente não nula,,. Para um meio homogêneo, a componente de campo satisfaz a equação de onda escalar bidimensional de Helmholtz, definida por 0, (1) onde, já definidos neste parágrafo, é o número de onda e o índice de refração. A equação (1) se aplica muito bem em meios com baixo contraste de índice de refração, como os analisados neste trabalho. Para análise de meios com alto contraste e/ou variação abrupta, são necessários formulações semivetoriais ou vetoriais. Para propagação em ângulos próximos ao eixo x, direção paraxial, é utilizada a equação reduzida,,, (2) pois a variação lenta de lhe confere convenientes propriedades numéricas. A equação de onda escalar em termos de é (3) Ao fazer uma aproximação utilizando a expansão de Taylor, obtém-se a equação parabólica padrão,, 2,, 1, 0. (4) No vácuo, como não varia com, a equação parabólica padrão é escrita como:, 2, 0. (5) Técnicas baseadas na transformada de Fourier proporcionam poderosas soluções para algumas equações diferenciais. Para isso, é definida, no domínio espectral, a variável transformada θ, onde k é o número de onda e θ é o ângulo de propagação com a horizontal. O princípio dessas técnicas é resolver a equação no domínio espectral mais simples, e depois voltar para o domínio original pela transformada inversa. Aplicando a propriedade da transformada de Fourier / / em (5) resulta: 4, 2, 0, (6) A equação diferencial ordinária (6) pode ser resolvida de forma fechada, resultando em, 0,. (7) O campo no domínio original é obtido pela transformada inversa de Fourier de (7),, 0,. (8) O campo próximo à antena, no domínio espectral, 0,, é obtido, essencialmente, do diagrama de irradiação da antena. O campo distante forma um par de transformada de Fourier com o diagrama de irradiação da antena. O método de Equações Parabólicas converte o problema de propagação na troposfera em um problema de valor inicial que pode ser resolvido empregando métodos numéricos, marchando com a distância em conjunto com as condições de contorno apropriadas. Um método numérico robusto, eficiente e muito utilizado para resolver equações parabólicas em meios não homogêneos, é o Divisor de Passos de Fourier. O valor inicial do campo, na origem, é obtido diretamente do diagrama da antena transmissora. O algoritmo avança com passos x até atingir o alcance máximo desejado. Para cada passo, o campo é determinado ao longo da direção vertical e o perfil do campo, para cada, é armazenado, m é um número inteiro variando de 1 a L e L o total de passos. O campo para a distância é calculado de forma aproximada por, /,, (9) Onde é o índice de refração do meio. No ar, o valor de é sempre maior, porem bem próximo à unidade. Por conveniência, em propagação é utilizada a grandeza refratividade (N), que representa o valor do índice de refração que excede a unidade em partes por milhão, definida por Nn 1 10 e expressa em unidades-n. B. Algoritmos Genéticos - AG Algoritmos Genéticos - AG constituem uma técnica de busca e otimização paralela, inspirada no princípio Darwiniano de seleção natural e reprodução genética [10]. De acordo com a teoria de C. Darwin, o princípio de seleção privilegia os indivíduos mais aptos com maior longevidade e, portanto, com maior probabilidade de reprodução. Indivíduos com melhores descendentes têm maior probabilidade de perpetuarem seus códigos genéticos nas próximas gerações. Tais códigos genéticos constituem a identidade de cada indivíduo e estão representados nos cromossomos. Os Algoritmos Genéticos estão divididos em cinco etapas: 1- geração da população inicial, 2- cálculo da aptidão de cada indivíduo da população, 3- seleção dos genitores para reprodução, 4- reprodução utilizando os operadores cruzamento e mutação e 5- formação de uma nova geração. Este processo é repetido até que um critério de parada seja atingido, geralmente o número de gerações é utilizado como critério de parada. A Figura 1 ilustra o funcionamento do algoritmo.

3 C. O Aplicativo EP-AG O aplicativo Equações Parabólicas otimizadas por Algoritmos Genéticos - EP-AG apresentado neste trabalho é constituído de duas partes principais, uma relativa ao modelo de propagação e a outra ao mecanismo de otimização. A interface gráfica possui painéis para entrada de parâmetros, visualização dos resultados e monitoramento do processo. Os parâmetros do Algoritmo Genético inseridos pela interface são número de gerações, tamanho da população e taxas de cruzamento e mutação, enquanto os parâmetros inseridos para o modelo de propagação são largura de feixe e tilt da antena, altura máxima e alcance máximo do terreno, limites inferior e superior dos espaços de busca da freqüência e da altura da antena, nome e caminho do arquivo do perfil do terreno, tamanho do passo horizontal e número de pontos do perfil vertical do campo. Estes dois últimos juntamente com altura máxima e alcance máximo definem a matriz de pontos de observação, onde o campo elétrico será determinado. O número de linhas dessa matriz é igual ao número de pontos do perfil vertical e o número de colunas à razão entre o alcance máximo e o tamanho do passo horizontal. Um dos painéis da interface permite acompanhar a evolução do processamento apresentando a melhor solução e a média das soluções de cada geração processada pelo AG. A interface possui ainda uma área para apresentação de gráficos como o contorno do campo e o desempenho do AG. II. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA REPRESENTAÇÃO DA SOLUÇÃO INICIALIZAÇÃO DA POPULAÇÃO DECODIFICAÇÃO E CÁLCULO DA APTIDÃO SOLUÇÃO ENCONTRADA? NÃO SELEÇÃO OPERADORES GENÉTICOS Fig. 1. Princípio básico de funcionamento dos Algoritmos Genéticos METODOLOGIA Para obter os resultados apresentados neste trabalho, aplicativo EP-AG foi executado em uma CPU com processador Core Duo 1,8 GHz e memória RAM de 2,0 GB e uma configuração comum mostrada na Figura 2. O perfil de terreno, da configuração, tem altura máxima de 250 m e alcance máximo de 140 km. O número de pontos do perfil vertical foi fixado em 256 e o tamanho do passo horizontal SIM FIM em 4 km. A largura de feixe fixada em 1º e tilt em 0º. Na configuração estão destacados três observadores: Observador 1 localizado a uma distância de 20 km, altura de 50 m e antes de todos os obstáculos; Observador 2 localizado a 70 km de distância, altura de 80 m e entre o 2º e 3º obstáculo; Observador 3 localizado a 110 km de distância, altura de 50 m e após todos os obstáculos. Para analisar os efeitos do gradiente da refratividade e da presença de obstáculos tipo gume de faca na propagação na troposfera, o módulo de propagação do EP-AG foi executado utilizando a configuração da Figura 2, com a antena transmissora fixada a 50m de altitude e a freqüência ajustada em 3950 MHz, para dois perfis de gradiente de refratividade e duas situações de obstáculos. Os perfis de gradiente de refratividade utilizados foram o padrão, obtido por 1, com 0, 118 para qualquer altura e outro com duto de superfície, mostrado na Figura 3, e obtido por (10), onde representa a altura, a refratividade na superfície da Terra e os coeficientes as inclinações dos gradientes de refratividade até 1 e entre 1 2, respectivamente [4]. Quando o módulo de propagação é executado, o campo elétrico é determinado para todos os pontos de observação da matriz. Na modelagem da propagação, após a inserção dos parâmetros, é determinado o perfil vertical inicial, u x,z onde z i 1,2..L é uma amostra da coordenada da altura e L é o número de pontos do perfil vertical. O perfil Altura [m] Faixa da altura da antena Tx Obs. 1 Obs. 2 Obs Alcance [km ] Fig. 2. Configuração comum para determinação dos contornos e pesquisa de valores ótimos de parâmetros Altura H 2 =150m H 1 =135m Refratividade Fig. 3. Perfil de refratividade para o duto de superfície, com 0, 118 e 1,06 1 Fig Perfil de refratividade para o duto de superfície, com 1 (10) 0, e 1,06 1

4 contendo a amplitude e a fase do campo para cada altura é armazenado. Este perfil é propagado longitudinalmente de x para, através de (9). O novo perfil para é usado como perfil inicial para determinação do perfil para o segundo passo de distância, x = x 0 + 2Δx. O procedimento é aplicado repetidamente e perfis de campos na vertical são armazenados para cada passo de distância até que o propagador atinja o alcance máximo. O aplicativo EP-AG efetua uma seqüência de conversões entre os domínios da altura z e do espectro p, através do par de transformada de Fourier. As transformadas são aplicadas por discretização, via FFT, por isso os domínios são truncados em ±z max e ± p max e o valor de p max é determinado em função de z max e do tamanho, L, da transformada, através do critério de Nyquist z max x p max = πl. Como o EP-AG não pode trabalhar com condições de contorno para a superfície, a equação parabólica define um valor inicial do problema, geralmente se recorre a condições de contorno tipo Dirichlet ou Neumann, quando o contorno de interesse é condutor elétrico perfeito. Esta condição de contorno pode ser satisfeita pela extensão do perfil inicial de [0, z max ] para [- z max, z max ] (par simétrico ou impar) ou por aplicar a FFT seno ou coseno, respectivamente. Na modelagem do Algoritmo Genético é utilizada codificação binária, seleção pelo método da roleta, reprodução pelo operador cruzamento, mutação e elitismo. Também é utilizado um mecanismo de validação para garantir que todos os indivíduos atendam às restrições dos espaços de busca. O cálculo da aptidão considera uma combinação dos parâmetros altura da antena e freqüência de operação, utilizando (9). Os resultados do campo elétrico para todos os pontos da matriz podem ser visualizados através dos contornos vistos nas Figuras 4 e 5. A Figura. 4 mostra os contornos do campo para a configuração sem os obstáculos e a Figura 5 os contornos para a mesma configuração, porem com os três obstáculos do tipo gume de faca de 80, 120 e 150m localizados a 40, 60 e 100 km da antena, respectivamente, visualizados na Figura 2. Para a pesquisa da redução do custo computacional, os valores ótimos dos parâmetros foram determinados utilizando a força bruta e a otimização por AG. Para ambos os procedimentos, a configuração utilizada foi a comum da Figura 2., tendo como espaço de busca da freqüência a faixa de 1000 a 4000 MHz e da altura da antena transmissora a faixa de 30 a 150m. O ponto escolhido para determinar o campo elétrico como métrica da aptidão dos indivíduos da população, foi o observador 2, por ele estar na metade do alcance máximo e localizado entre dois obstáculos. III. RESULTADOS NUMÉRICOS A. Do Modelo de Propagação O contorno do campo Elétrico para a configuração sem os obstáculos pode ser visto na Figura 4.a para o perfil de refratividade padrão e na Figura 4.b para duto de superfície. Analisando a Figura 4, observa-se claramente o efeito do duto confinando a onda abaixo de 150 m, forçando-a subir e descer várias vezes e alcançar grandes distâncias. Já o contorno para a mesma configuração com os obstáculos, pode ser visto na Figura 5.a para o perfil de refratividade padrão e na Figura 5.b para duto de superfície. a) b) Fig. 4. Contorno do campo para um perfil de terreno sem obstáculos e com: a) Refratividade padrão b) Duto de superfície A tabela 1 mostra o valor do campo elétrico nos três observadores destacados. No observador 1, o campo não altera o valor com a presença dos obstáculos, sendo de -19,34 dbv/m o gradiente de refratividade padrão e -24,49 dbv/m para o duto de superfície. No observador 2, a presença dos obstáculos diminui a intensidade do campo em 34 db com o gradiente de refratividade padrão e 26 db com o duto de superfície. Apesar dos obstáculos 1 e 2 estarem entre a antena transmissora e o observador 2, percebe-se pela figura 4b que o duto contorna estes obstáculos e eleva a intensidade do campo em 8 db comparada com o gradiente de refratividade padrão. a) b) Fig. 5. Contorno do campo para um perfil de terreno com três obstáculos tipo gume de faca: a) Refratividade. padrão b) Duto de superfície TABELA I Campo Elétrico dos pontos destacados nas Figuras 4 e 5 Presença de Obstáculos, Perfil de Refratividade Observador 1 Observador 2 Observador 3 Não, Fig. 4a Padrão -19,34-26,07-27,81 Não, Fig. 4b Duto -24,49-23,28-25,55 Sim, Fig. 5a Padrão -19,34-60,41-74,48 Sim, Fig. 5b Duto -24,49-49,88-75,84 No observador 3, a presença dos obstáculos diminui a intensidade do campo em 46,67 db com a refratividade padrão e 50,29 db com o duto de superfície. O duto de superfície não aumentou a intensidade do campo no

5 observador 3, uma vez que o mesmo está atrás do 3º obstáculo que obstrui o duto. B. Do Mecanismo de Otimização Os tempos de processamento na busca de valores ótimos dos parâmetros estão apresentados na TABELA II para força bruta e na TABELA III para otimização com AG, para espaços de busca com 10, 20, 40 e 80 amostras. A TABELA IV apresenta a redução do tempo de processamento com AG em relação à força bruta e o erro percentual de todas as soluções em relação à melhor solução encontrada pela força bruta com 80 amostras. Analisando os resultados, percebe-se que quanto maior o número de amostras maior é a diferença do tempo de processamento com o AG em relação ao processamento com a força bruta. A razão disso, é que o AG determina o campo elétrico apenas para algumas combinações de parâmetros, selecionadas aleatoriamente e o número de combinações selecionadas, cresce de forma linear com o número de amostras. Na força bruta o campo é determinado para todas as combinações possíveis do espaço de busca, e esse número cresce de forma exponencial com o número de amostra. Número de Amostras TABELA II Processamento Pela Força Bruta Tempo de Melhor Valores Ótimos processamento Solução Altura da Frequência [minutos] [dbv/m] Antena [Hz] [m] , , , Número de Amostras TABELA III Processamento Com AG Melhor Valores Ótimos Solução Altura da [dbv/m] Antena [m] Tempo de processament o [minutos] Frequência [MHz] , , , , TABELA IV Redução do Tempo de Processamento e Precisão Número de Redução do tempo de Erro em relação à FB com 80 amostras Amostras Processamento FB - Força Bruta AG - Algoritmo Genético 10 0 % 2,31% 1,54% % 1,91% 0,37% % 0,37% 0,00% % 0,00% 0,00% Percebe-se que, apesar do tempo de processamento ser bem menor com a utilização do AG, a precisão apresentada é igual, ou superior, à apresentada com força bruta. Na Figura 6 pode ser visto a curva de desempenho do AG para 10 e 20 amostras. Percebe-se que a melhor solução nunca diminui devido ao elitismo e que a média tende para a melhor solução à medida que o número de gerações aumenta. Na Figura 6a a melhor solução se estabilizou já a partir da 5ª geração. Como o AG é um processo aleatório, ao executar várias vezes o aplicativo para os mesmos parâmetros, as curvas de desempenho obtidas serão diferentes, porém geralmente com as mesmas características: a melhor solução subindo em degraus com poucos níveis e nunca diminuindo de valor e a média tendendo ao valor da melhor solução, porém às vezes diminuindo de valor. Campo Elétrico [dbv/m] Curva de Desempenho do AG - 10 Amostras Melhor Valor Valor Médio Geração Fig.6 Desempenho do 4 AG CONCLUSÃO no observador 01, para um espaço de busca com 10 amostras em a) e 20 amostras em b). IV. CONCLUSÃO Este artigo apresentou um estudo de otimização, utilizando algoritmos genéticos, dos parâmetros altura da antena transmissora e frequência de operação em um modelo de propagação que utiliza equações parabólicas com o divisor de passos de Fourier. Os resultados obtidos demonstram que a utilização de algoritmos genéticos reduz significativamente o tempo de processamento na busca de valores ótimos dos parâmetros pesquisados, sem reduzir a precisão, o que implica na redução do custo computacional. A pesquisa foi realizada com diversas quantidades de amostras no espaço de busca. Constatou-se que quanto maior a quantidade de amostras, maior é a redução do custo computacional. O próximo passo é empregar o AG para otimizar os parâmetros altura da antena e frequência em um modelo de propagação 3D com equações parabólicas, que possui um maior espaço de busca, ressaltando o enorme impacto computacional que a utilização em um modelo 3D acarreta, a redução do custo computacional em tal modelo torna-se imperativo. Outros modelos de propagação e outros parâmetros também poderão ser objeto de estudos futuros utilizando a técnica de otimização empregada neste artigo. REFERÊNCIAS Curva de Desempenho do AG - 20 Amostras melhor media Geração a) b) [1] G. Apaydin and L. Sevgi, "The Split Step Fourier and Finite Element Based Parabolic Equation Propagation Prediction Tools: Canonical Tests, Systematic Comparisons, and Calibration," in IEEE Transactions on Antennas and Propagation Magazine vol. 52, 2010, pp [2] A. E. Barrios, "A Terrain Parabolic Equation Model for Propagation in the Troposphere," in IEEE Transactions on Antennas and Propagation vol. 42, Campo Elétrico [dbv/m]

6 [3] R. H. Hardin and F. D. Tappert, "Applications of the split step Fourier method to the numerical solution of nonlinear and variable coefficient wave equations,," in SIAM. vol. 15, 1973, pp. 423,1973. [4] L. e. a. Sevgi, "A MATLAB Based Two Dimensional Parabolic Equation Radiowave Propagation Package," in IEEE Antennas and Propagation Magazine. vol. 47, [5] O. Ozgun, "Recursive Two Way Parabolic Equation Approach for Modeling Terrain Effects in Tropospheric Propagation " in IEEE Transactions on Antennas and Propagation vol. 57, [6] A. Gokhan, O. Ozgum, M. Kuzuoglu, and L. Sevgi, "Two way Split Step Fourier and Finite Element based Parabolic Equation Propagation Tools: Comparisons and Calibration," in Antennas and Propagation Society International Symposium IEEE [7] O. Ozgum, A. Gokhan, M. Kuzuoglu, and L. Sevgi, "Two way Fourier Split Step Algorithm over Variable Terrain with Norrow and Wide angle Propagation," in Antennas and Propagation Society International Symposium IEEE [8] O. Ozgum, S. G. Tanyer, and C. B. Erol, "An Examination of The Fourier Split Step Method of Representing Electromagnetic Propagation in The Troposphere," in International Geoscience and Remote Sensing Symposium IEEE Toronto Canada, [9] M. Levy, Parabolic equation methods for electromagnetic wave propagation. London: The Institution of Eletrical Engineers, [10] D. E. Goldberg, Genetic Algorittms in Search, Optimzation end MachineLearning: Addsun Wesley, 1989.

7 ANEXO I : DECLARAÇÃO Declaramos, atendendo as normas da 9ª C EEL Conferência de Estudos de Engenharia Elétrica, que uma versão modificada deste artigo foi submetida à DINCON ª Conferência Brasileira de Dinâmica, Controle e Aplicações - a ser realizada em Águas de Lindóia - SP de 28 de agosto a 1º de setembro de de abril de 2001 Antonio Carlos Vilanova Valtemir Emerencio do Nascimento Ailton Akira Shinoda Gilberto Arantes Carrijo