A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS QUE TRATAM DE NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS POR ALUNOS DA EJA

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1 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS QUE TRATAM DE NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS POR ALUNOS DA EJA GT 01 Educação Matemática no Ensino Fundamental: Anos Iniciais e Anos Finais Evanilson Landim Alves, Mestrando da UFPE, landime@hotmail.com Andréa Paula Monteiro de Lima, Mestranda da UFPE, a.p.ml@hotmail.com Dayse Bivar da Silva, Mestranda da UFPE, daysebivar@hotmail.com Resumo: O presente estudo investigou o desempenho e as estratégias utilizadas por 35 alunos da 4ª fase da Educação de Jovens e Adultos (equivalente ao 8º e 9º ano do Ensino Fundamental) oriundos da rede pública de ensino de Pernambuco, ao resolverem 3 problemas envolvendo números inteiros. Para fundamentar essa pesquisa, discorremos sobre a história dos números inteiros e o seu ensino, os obstáculos epistemológicos de Brousseau, as características dos alunos da EJA e a aprendizagem de matemática, além do diferentes significados dos números inteiros. Os dados apresentados nos protocolos apontam que semelhante ao que ocorre com crianças e adolescentes, os adultos também têm dificuldade em compreender o conceito de números inteiros. Com relação às estratégias utilizadas, percebemos que os números naturais apresentam-se como um obstáculo para a resolução de problemas com números inteiros, pois a ideia de que do menor não se pode tirar o maior ainda é presente nesses sujeitos. Palavras chave: problemas, números inteiros, EJA, obstáculos epistemológicos. 1. Introdução A motivação para esse estudo surgiu da observação de alguns obstáculos que crianças do 5º e 7º ano apresentam em compreender os diferentes tipos de relações envolvidas nos problemas com números relativos, bem como na resolução de cálculo numérico envolvendo o campo dos inteiros. Ao analisarmos as respostas apresentados em um teste piloto, constatamos que os erros apresentados pelos estudantes resultavam de conhecimentos válidos em outro campo numérico. A partir da análise de algumas pesquisas, como por exemplo, o estudo realizado por Borba (2009) ampliamos a nossa compreensão sobre alguns obstáculos apresentados por crianças e adolescentes na compreensão dos números inteiros. Porém, como não encontramos nenhum estudo que tratasse dos obstáculos epistemológicos observados nos alunos da Educação de Jovens e Adultos (EJA) ao lidarem com situações que abordem esse campo numérico, sentimo-nos instigados a investigá-los.

2 O texto discorre sobre a análise do desempenho dos alunos da 4ª fase da EJA na resolução de problemas que tratam de números inteiros e das estratégias e conhecimentos que eles mobilizam para a resolução das situações propostas. Pensamos com isso, ser possível identificar algumas relações entre os conhecimentos que esses alunos dispõem sobre conceitos e propriedades do conjunto dos números naturais e as estratégias que eles utilizam na resolução de problemas que tratam de números inteiros, por isso, recorremos à teoria dos obstáculos epistemológicos. 2. Fundamentação Teórica Para dá suporte a compreensão dos dados obtidos nessa investigação, discutiremos sobre: desenvolvimento histórico dos números inteiros e algumas pesquisas que tratam do seu ensino, a teoria dos obstáculos epistemológicos e algumas das especificidades do ensino de matemática na Educação de Jovens e Adultos (EJA) Números inteiros relativos: breve percurso histórico e o seu ensino Tudo indica ter sido os chineses os primeiros a conceberem a ideia de números negativos, isso há cerca de dois mil anos. Os números eram representados pelos chineses por meio de barras de bambu. As barras vermelhas representavam os números positivos e as barras pretas eram utilizadas pelos chineses para indicar os números negativos. Os hindus, no século VII também já admitiam a existência de situações do tipo 5 9. Para eles situações como essa, que extrapolam o domínio do conjunto dos números naturais eram tratadas como dívidas. Os hindus não consideravam as quantidades negativas como números e diferenciavam essas quantidades dos números naturais marcando um ponto sobre as medidas negativas. Apesar de alguns povos utilizarem a ideia de quantidades negativas, matemáticos como Descartes e Fermat, no século VII deixaram de ampliar estudos geométricos por ignorarem os números negativos. Bháskara, matemático hindu que viveu no século XII, afirmava que um número positivo possui duas raízes quadradas, uma positiva e uma negativa e já reconhecia que um número negativo não possui raiz quadrada, ele desconsiderava a raiz negativa. Thomas Harriot pensou ter demonstrado na sua obra Artes

3 Analíticas Aplicadas que as raízes negativas eram impossíveis. Apenas no século XIX com Haenkel é que as quantidades negativas ganham uma explicação mais definitiva. Na sala de aula a compreensão dos números inteiros relativos passa por dificuldades semelhantes ao desenvolvimento histórico do conjunto numérico constituído por esses números. Pelo menos uma das dificuldades que os alunos encontram no aprendizado do conceito de número negativo guarda um paralelo muito forte com uma dificuldade encontrada pelos matemáticos no desenvolvimento histórico do conceito. (ASSIS NETO, 1995, p. 3) Para Teixeira (1993) os números positivos e negativos não são caracterizados como números inteiros pelo seu valor absoluto, mas sim, pela posição que ocupam em relação ao ponto de origem, por isso, esses números são tratados como relativos, ou seja, amplia-se a ideia construída no conjunto dos números naturais de que um número sempre representa uma quantidade. Nascimento (2002) aponta esse conflito entre a ideia de número associada a uma quantidade como um dos possíveis obstáculos epistemológicos para a compreensão do conceito de números inteiros. Por isso, pensamos ser pertinente uma breve discussão sobre os principais obstáculos epistemológicos que a literatura aponta para a compreensão do conceito dos números inteiros relativos Obstáculos Epistemológicos na compreensão dos números inteiros relativos Antes de levantarmos os principais obstáculos apontados nas pesquisas para a compreensão dos números inteiros relativos e a sua tipologia, faremos algumas referências sobre a teoria dos obstáculos epistemológicos, a fim de melhor situarmos o leitor a respeito dessa teoria. Recorremos nesse estudo às contribuições apresentadas em 1938 pelo epistemólogo francês Gaston Bachelard ao propor que o conhecimento científico se desenvolve a partir de obstáculos que podem ser observados no desenvolvimento histórico do conhecimento ou na análise da prática educacional. O conhecimento antes de adquirir a sua forma existencial passa por estágios de perturbações e incompreensões, onde se percebem resistências e estagnações do novo conhecimento. Essa resistência, ao desenvolvimento do pensamento científico, em determinado momento, Bachelard chama de obstáculo epistemológico.

4 Brousseau (1976) é o responsável pela inclusão da noção de obstáculos epistemológicos 1 na Educação Matemática. Para ele, um obstáculo epistemológico à aprendizagem da Matemática constitui-se como um saber mal adaptado, isto é, o erro deixa de ser visto como efeito da ignorância e do acaso e passa a ser analisado como consequência de um conhecimento anterior, que tinha validade em certo campo e que continua a ser considerado pelo indivíduo em outras situações, onde o seu domínio de validade não mais se verifica. Como exemplo da generalização de conhecimentos para outros campos que extrapolam a sua abrangência de validade, o que Artigue (1990) chama de generalização abusiva, temos as dificuldades e obstáculos encontrados na construção histórica do conceito de números inteiros (TEIXEIRA, 1993) e que se verifica também na aprendizagem desse conceito (NASCIMENTO, 2002). Estudo realizado por Nunes & Bryant (1997) evidencia que a aprendizagem do conjunto dos números naturais é facilitada quando se utilizam situações que dão significado ao número. Essa facilidade na compreensão de situações que associa número ao seu significado pode está relacionada ao desenvolvimento histórico da representação do número que, segundo Boyer (1974) deu-se em diferentes civilizações (Maias, Egípcios, Hindus, Romanos, Babilônios, Chineses entre outras) por meio da percepção de características entre as quantidades de objetos ou animais e as representações que faziam para representar essas quantidades. No caso dos números relativos, a sua compreensão exige diferentes significados. Outros obstáculos para a compreensão do conceito de números inteiros são apontados por Glaeser (1985): inaptidão para manipular as quantidades negativas isoladas; dificuldade de dar um sentido às quantidades negativas isoladas; dificuldade de homogeneização da reta numérica; a ambiguidade dos dois zeros (zero absoluto e zero origem); a estagnação no estágio das operações concretas (como também foi apontado por Nunes & Bryant); desejo de um modelo unificante. 1 Brousseau também é o responsável pela tipificação da noção de obstáculo no processo didático. Segundo ele, além dos obstáculos epistemológicos que são aqueles constituídos pelo próprio conhecimento dos quais não se pode nem se deve evitar, como por exemplo, a ideia de que do menor não se pode tirar o maior, ele ainda apresenta os obstáculos ontogenéticos, que estão relacionados ao desenvolvimento neurofisiológico do sujeito e os obstáculos didáticos que relacionam-se com as escolhas didáticas realizadas por um sistema educativo.

5 Essa discussão de que o conjunto dos números naturais é um obstáculo para a aprendizagem dos números inteiros não é compartilha por Radford (1997 apud IGLIORI, 2008, p. 134) que associa as dificuldades de compreensão dos números relativos a questões culturais e apresenta como exemplo, a utilização de bastões coloridos pelos matemáticos chineses, o que segundo ele, tem evitado dificuldades na aprendizagem dos números negativos pelos alunos daquele país. Pensamos ser pertinente analisar as estratégias e dificuldades apresentadas pelos sujeitos desse estudo a partir da ótica da teoria dos obstáculos epistemológicos, por considerarmos que as discussões levantadas por essa teoria, como as já mencionadas acima, oferece os recursos dos quais necessitamos para a compreensão das respostas fornecidas por esses alunos da EJA ao resolver problemas envolvendo números inteiros relativos. Mas, antes de começarmos as análises, consideramos importante fazer uma rápida reflexão sobre algumas especificidades observadas nos alunos da EJA Especificidades da EJA e a aprendizagem de matemática Os alunos que frequentam a Educação de Jovens e Adultos no Brasil além das especificidades relacionadas a idade que reúne numa mesma sala de aula, estudantes de diferentes faixas etárias, têm nas questões socioculturais a sua principal característica (FONSECA, 2002). Como diz Hadadd, A Educação de Adultos no Brasil se constitui muito mais como produto da miséria social do que do desenvolvimento. É conseqüência dos males do sistema público regular de ensino e das precárias condições de vida da maioria da população [...]. É uma educação para pobres, para jovens e adultos das camadas populares, para aqueles que são maioria na sociedade do Terceiro Mundo. (HADADD, 1994, p. 86) Nos últimos 80 anos muitas propostas e programas de alfabetização foram lançados no Brasil com o objetivo de reduzir a taxa de analfabetismo que é mais elevada nas regiões mais pobres do país. Como efeito dessas propostas de alfabetização a taxa de analfabetismo caiu de 56% em 1930 para 10% em Mas, a alfabetização de jovens e adultos não pode se limitar a oferecer uma educação momentânea, deve ser uma (nova) oportunidade para que esses alunos entrem em contato com o processo formal de educação e deem continuidade aos seus estudos.

6 essas propostas devem imprimir em seu horizonte a perspectiva de uma alfabetização que não se restrinja a alguns meses de inserção no ambiente de escola, mas que se coloque, antes, como um convite enfático, e um momento de acolhida, para que jovens e adultos se integrem ou se reintegrem ao cenário escolar, e que sinalize a disposição da instituição proponente, dos realizadores e dos mantenedores em resgatar a dívida com aqueles que dele foram excluídos. (FONSECA, 2002, p. 43) A motivação dos alunos da EJA para retornarem a escola dá-se pelos seguintes aspectos: necessidade, desejo e direito. Um aspecto que gera necessidade dos alunos da EJA voltarem a escola é justamente o desejo de dominar conceitos matemáticos. Por isso, é preciso insistir na utilização de conceitos matemáticos para a resolução de problemas ligados também a realidade dos alunos da EJA, como situações que considerem aspectos da vida profissional desses alunos. (Ibidem, ibidem). É preciso considerar também que esses alunos não vêm a escola apenas para dominar situações de uso imediato na vida cotidiana, mesmo sabendo que eles tem interesse de ampliar esses conhecimentos, não se pode perder de vista a sistematização dos conceitos matemáticos com o desenvolvimento de habilidades e técnicas (CARRAHER et al, 1988) que permitam aos alunos da EJA a continuidade dos estudos. Outro aspecto fundamental da Educação Matemática na EJA (e também no Ensino Fundamental da Educação Regular) é colaborar com as práticas de leitura, para isso, deve-se considerar os conceitos que permitam aos estudantes entender o mundo em que vivemos. (CARDOSO, 2000) Diferentes significados para os números inteiros Do mesmo modo que os problemas envolvendo números naturais possuem diferentes significados, os problemas que envolvem números inteiros também apresentam diferentes tipos, entre eles: medida, relação e transformação. Por exemplo, se alguém possui R$ 5,00 na sua conta bancária e retira R$ 7,00, o seu saldo passa a ser uma dívida de R$ 2,00. Assim, o 5 é uma medida positiva, o 2 final uma medida negativa e o 7 representa uma transformação negativa (se fosse o caso de um depósito de R$ 7,00 teríamos uma transformação positiva). Do mesmo modo, o 7 pode ser entendido como uma relação, pois independente do que a pessoa possuía antes ela tem 7 a menos do que tinha antes, o que caracteriza uma relação negativa. (BORBA, 2009).

7 3. Objetivos Verificar o desempenho dos alunos da 4ª fase da EJA na resolução de problemas que tratam de números inteiros. Analisar as estratégias utilizada pelos alunos da EJA ao resolverem problemas com números inteiros. 4. Procedimentos Metodológicos Esta pesquisa foi realizada com 35 alunos da 4ª fase da EJA, que equivale ao 8º e 9º ano do ensino fundamental, no turno noturno de uma escola da rede estadual de Pernambuco. As idades desses sujeitos variam entre 15 a 60 anos, sendo 15 homens e 20 mulheres. Como instrumento de coleta de dados, utilizamos um teste com três problemas envolvendo os números inteiros, classificados assim: o primeiro de medida, o segundo de transformação e o terceiro de relação. Os problemas são apresentados a seguir: 1) Maria Eduarda tinha um saldo bancário de R$ 85,00 e pagou com débito em conta a prestação da sua casa no valor de R$ 260,00. Após a realização desse pagamento qual é o saldo da conta de Maria Eduarda? 2) O quadro abaixo mostra, segundo o Jornal do Tempo, a temperatura mínima e máxima esperada para o Cabo de Santo Agostinho em 08/11/2010. Previsão da Temperatura para o Cabo de Santo Agostinho em 18 /11/2010. Temperatura mínima Temperatura máxima 24 C 30 C Caso a previsão se confirme, ou seja, a temperatura mínima da cidade seja 24º C e a máxima 30º C, qual a variação de temperatura ocorrida na cidade nesse dia? 3) A conta bancária de Davi estava negativa (ele devia ao banco). Hoje ele fez um depósito de R$ 35,00 e a sua conta ficou positiva em R$ 23,00. Em relação ao saldo de ontem, quanto a mais é o seu saldo hoje? Os testes foram aplicados coletivamente e com a presença da professora regente da turma. Para responderem aos três problemas, os estudantes levaram aproximadamente uma hora.

8 De modo geral, pela experiência como professores de matemática da educação básica e pelas estratégias apresentadas pelos sujeitos de algumas pesquisas (NASCIMENTO, 2002; BORBA, 2009), esperávamos que os alunos da EJA resolvessem as questões propostas de modo análogo ao que faziam no conjunto dos números naturais, ou seja, organizando os dados do problema de modo que o algoritmo fique semelhante ao utilizado no conjunto N. 5. Discussão dos Resultados Ao analisar os resultados dos testes, podemos perceber que os sujeitos investigados apresentam dificuldades na resolução de problemas com números inteiros, principalmente nos do tipo relação. A tabela abaixo mostra os dados dos desempenhos desses alunos nos testes. Tabela 1: Desempenho dos alunos nos problemas propostos Branco Acerto Outros erros Erro com módulo correto Problema Problema Problema Total Observando os índices da tabela acima, constatamos que nenhum aluno conseguiu resolver o problema 3, Segundo Borba(2009) os alunos erram esse tipo de situação, porque não compreendem que no significado de relação não é necessário saber quanto se tinha antes para determinar que no final se tem mais ou menos que anteriormente. Outra razão para que os alunos tenham tido um desempenho tão insatisfatório neste problema, pode residir na quebra do contrato didático 2 apresentado na questão, já que nesta situação os alunos não precisariam montar e nem resolver nenhum algoritmo, o que possivelmente poderá ter ido de encontro com o que é habitualmente trabalhado em sala de aula, tendo em vista que o contrato didático pressupõe que o aluno para resolver um problema precisa 2 Brousseau (1986) entende como contrato didático o conjunto de comportamentos do professor que são esperados pelos alunos e o conjunto de comportamentos do aluno que são esperados pelo professor.

9 identificar o cálculo relacional 3 e o cálculo numérico para que possa encontrar a solução da questão apresentada pelo professor. O estudo realizado por Chevallard (1988) mostra que ao apresentar um problema 4 com dados que não permitiam encontrar a solução percebeu que cerca de 80% das crianças (entre 7 e 8 anos de idade) apresentavam mesmo assim uma resposta numérica. O mesmo problema foi aplicado por Medeiros e Correia (2010) para 44 alunos de uma turma de ensino médio da EJA, também nesse estudo o percentual de estudantes que apresentaram uma resposta numérica para o problema foi elevado, chegando a cerca de 66%. Em relação aos erros verificamos que uma quantidade expressiva de alunos (18), apresentaram o mesmo tipo de procedimento, o qual categorizamos como erro com módulo correto. Segue abaixo um protocolo que esclarece melhor essa situação. Figura 1: Resolução do problema 1 apresentada pelo sujeito 26 Avaliamos que o aluno errou o problema por não apresentar o sinal resultante certo, ou seja, indicar que a resposta era um número negativo sinal negativo, porém acertou o módulo do problema, por ter obtido o valor numérico correto. Outros tipos de erros foram apresentados pelos alunos, abaixo apresentaremos um protocolo com um exemplo peculiar. Figura 2: Resolução do problema 2 apresentada pelo sujeito 24 Neste caso o aluno justifica seu raciocínio para resolver a questão, porém equivocase ao apresentar uma variação com elevação de 6ºC positivo e uma baixa de 6ºC negativo, 3 Cálculo relacional é a referência que se faz as operações do pensamento necessárias para identificar as relações envolvidas na resolução da situação proposta. Cálculo numérico é a aplicação das operações (adição, subtração, multiplicação etc) na resolução do item proposto. 4 O problema proposto no referido estudo foi: num navio há 26 carneiros e 10 cabras. Qual a idade do capitão?

10 ficando assim sem uma posição definitiva em relação à solução do problema, como se apenas descrevesse a posição simétrica de valores na reta numérica dos inteiros. Em relação aos tipos de respostas apresentadas pelos sujeitos, percebemos nos três tipos de problemas, que a maioria recorreu à estratégia tirar o menor do maior. Consideramos que o uso desse tipo de estratégia, caracteriza um obstáculo epistemológico causado pelos números naturais, visto que a ideia de que do menor não se pode tirar o maior, ainda está enraizada nesses sujeitos o que gera dificuldades na resolução de adição e subtração com números inteiros. Abaixo segue um gráfico com as estratégias usadas pelos alunos para resolver os problemas. Gráfico1: Percentual dos tipos de estratégias por problemas Analisando o gráfico acima, notamos que outra estratégia bastante utilizada pelos alunos foi a de adicionar medidas, que correspondeu ao dobro do percentual da estratégia do menor tirar o maior. Consideramos que nesta situação muitos alunos não interpretaram o problema e simplesmente somaram os valores informados no enunciado. Mostraremos a seguir um protocolo com um exemplo relativo a adicionar medidas. Figura 3: Resolução do problema 3 apresentada pelo sujeito 17

11 Percebemos uma tendência ao cumprimento de um contrato didático implícito, que é o de utilizar os dados do problema para montar um algoritmo, independente da pergunta apresentada na questão, os alunos parecem sentir a necessidade de realizar algum tipo de cálculo numérico e acabam optando pela adição, por ser uma operação de mais fácil resolução. De um modo geral observamos que os alunos utilizam vários tipos de estratégias. Entretanto, não foi possível organizá-las em categorias, pois verificamos pouca incidência em cada caso. Segue a baixo um exemplo de protocolo que consta na categoria outras. Figura 4: Resolução do problema 3 apresentada pelo sujeito 34 Esse é apenas um exemplo, entre os vários encontrados e que incluímos nessa categoria, não apenas por serem tão singular, mas por não encontrarmos, ainda, subsídios para fazermos as análises consistentes que essas estratégias de resolução necessitam. 6. Considerações Finais Os resultados das análises dos protocolos apontam que do mesmo modo que ocorre com crianças e adolescentes (BORBA, 2009; NASCIMENTO, 2002; TEIXEIRA, 1993) os adultos têm dificuldades de compreender o conceito de números inteiros o que provoca erros na resolução de adição e subtração. As estratégias utilizadas pelos alunos na resolução dos problemas mostraram que os números naturais parecem apresenta um obstáculo epistemológico para a compreensão do conceito de número inteiro, visto que a maioria dos alunos adaptam os dados do problema a ideia construída no conjunto dos números naturais de que do menor não se pode tirar o maior. Percebemos que quando o problema trata de relação entre números inteiros os alunos desse estudo não conseguiram resolvê-lo. Comparando os nossos resultados com o estudo realizado por Borba (2009) verificamos que o baixo desempenho dos estudantes, nesse tipo de problema, também se mostrou presente. Vale destacar ainda que a situação que propomos quebra o contrato didático, uma vez que fornecemos dados desnecessários

12 no enunciado do problema. No entanto, isso só foi percebido nas análises dos resultados. Assim, passamos a nos questionar se o motivo dos alunos não terem acertado a questão proposta deu-se pelas dificuldades enfrentadas, nesse tipo de problema, ou pela quebra do contrato didático, o que pode ser investigado por outros estudos. 7. Referências ARTIGUE, M. Epistémologie et didactique. RDM, v. 10, n. 2/3, p , BORBA, R. O que pode influenciar a compreensão de conceitos: o caso dos números relativos. A pesquisa em Educação Matemática: repercussões na sala de aula, in Borba, R. e Guimarães, G. São Paulo: Cortez, BOYER, C. B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, BROUSSEAU, G. La problématique et l enseignement des mathematiques. Meeting of the CIEAEM, lonvain da neuve, reproduced in les obstacles épistemologiques et les problèmes en mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, 4(2), p CARDOSO, C. de A. As contribuições da Matemática na formação de leitores jovens e adultos. In: Encontro Mineiro de Educação Matemática, 2, 2000, Belo Horizonte. Anais...Belo Horizonte: Escola Fundamental do Centro Pedagógico da UFMG, CARRAHER, T. N.; CARRAHER, D.; SCHLIEMANN, A. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, CHEVALLARD, Y.; BOSCH, M. e GASCÓN, J. Estudar matemáticas: o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artmed, FONSECA, M. da C. F. R. Educação Matemática de Jovens e Adultos: especificidades, desafios e contribuições. Belo Horizonte: Autêntica, GLAESER, G. Epistemologia dos números relativos. Trad. Lauro Tinoco. Boletim GEPEM, Rio de Janeiro, 17:29-124, HADADD, S. Tendências atuais na Educação de Jovens e Adultos no Brasil. In: Encontro Latino-Americano sobre Educação de Jovens e Adultos Trabalhadores. Olinda, Anais 8 do Encontro Latino-Americano sobre Educação de Jovens e Adultos Trabalhadores. Brasília: Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais, INGLIORI, S.B.C. A noção de obstáculo epistemológico e a Educação Matemática. In: MACHADO, S.D.A. (org.). Educação Matemática: uma (nova) introdução São Paulo: Educ, MEDEIROS, J. S; CORREIA, E.S.A. A resolução de problemas matemáticos e o professor. In: V Encontro de Pesquisa em Educação em Alagoas (EPEAL), Maceió, 2010.

13 NASCIMENTO, R.A. Um estudo sobre obstáculos em adição e subtração de números inteiros relativos: explorando a reta numérica dinâmica. Recife: Universidade Federal de Pernambuco, Programa de Pós-Graduação em Educação, 2002 (Dissertação de Mestrado). NUNES, T; BRYANT, P. Crianças Fazendo Matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, TEIXEIRA, L. R. M. Aprendizagem Operatória de números inteiros: obstáculos e dificuldades. Revista Pró-Posições, vol. 4, nº 1[10], UNICAMP. Março, 1993.