Física 1. 1 Breve Histórico do Sistema Internacional de Unidades de Pesos e Medidas (SI)

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1 Física 1 1 Sistema Internacional de Unidades, Teoria dos Erros; Algarismos significativos e Regras de Arredondamento. Prof. Alexandre W. Arins 1 Breve Histórico do Sistema Internacional de Unidades de Pesos e Medidas (SI) O sistema decimal de unidades foi concebido no século XVI, quando era grande a confusão das unidades de pesos e medidas. A partir de 1790, a Assembléia Nacional Francesa solic itou que a Academia Francesa de Ciências desenvolvesse um sistema de unidades que fosse adequado para uso internacional. Este sistema, baseado no metro como unidade de comprimento e no grama como unidade de massa, foi adotada inicialmente como medidas práticas no comércio e na indústria, sendo posteriormente também adotado nos meios técnicos e científicos. A padronização em nível internacional começou em 1870, resultado da Convenção Internacional do Metro, da qual o Brasil foi um dos signatários em maio de 1875, e que foi ratificada em Esta Convenção estabeleceu a Agência Internacional para Pesos e Medidas (BIPM - Bureau International des Pois et Mesures) e constituiu também a Conferência Geral em Pesos e Medidas (CGPM - Conférence Générale de Pois et Mesures), para tratar de todos os assuntos relativos ao sistema métrico. O BIPM, cuja tarefa principal é a unificação das medidas físicas, opera sob a supervisão do Comitê Internacional para Pesos e Medidas (CIPM - Comité International des Pois et Mesures) e sob a autoridade da CGPM (site para consulta: As atividades do BIPM, que no início eram restritas apenas às medidas de comprimento e de massa e a estudos metrológicos relativos a estas quantidades, foram estendidas a padrões de medidas de eletricidade (1927), fotometria (1937), radiações ionizantes (1960) e de escalas de tempo (1988). Devido à abrangência das atividades do BIPM, o CIPM criou, a partir de 1927, os Comitês Consultivos de Unidades (CCU - Comité Consultatif des Unités) para assessorar na elaboração dos documentos a serem levados à aprovação, assegurando uniformidade mundial para as unidades de medidas. Em 1948, a 9 a CGPM, por sua Resolução n. 6, encarregou o CIPM de "estud ar o estabelecimento de uma regulamentação completa das unidades de medidas"...e "emitir recomendações pertinentes ao estabelecimento de um guia prático de unidades de medidas, para ser adotado por todos os países signatários da Convenção do Metro". A mesma Conferência Geral adotou também a Resolução n. 7, que fixou princípios gerais para os símbolos das unidades e forneceu uma lista de nomes especiais de unidades. A 10 a CGPM, em 1954, decidiu adotar como base deste "sistema prático de unidades", as unidades das grandezas de comprimento, massa, tempo, intensidade de corrente elétrica, temperatura termodinâmica e intensidade luminosa. A 11 a. CGPM, em 1960, através de sua Resolução n. 12 adotou finalmente o nome SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, com abreviação internacional SI para o sistema prático de unidades, e instituiu regras para os prefixos, para as unidades derivadas e as unidades suplementares, além de outras indicações, estabelecendo uma regulamentação para as unidades de medidas. A definição de Quantidade de Matéria (mol) foi introduzida posteriormente em 1969 e adotada pela 14 a CGPM, em Página 1 de 17

2 1.1 Pesos e Medidas no Bra sil Até 1862 o Brasil utilizava as unidades e medidas de Portugal (ex: vara, braça (extensão), quintal (massa), etc.), mas estas medidas nunca foram rigorosamente cumpridas. Em 1862 o Sistema Métrico francês foi adotado em todo o Império, mas somente em 1872 foi aprovado o Regulamento do Sistema adotado. Em 1875 o Brasil fez-se representar na Conferência Internacional do Metro, mas como este Ato não foi retificado no Brasil, logo a partir da I CGPM (1889), deixamos de manter ligações com esta Entidade. Somente em outubro de 1921, o Brasil aderiu novamente à Convenção do Metro, iniciando em 1935 a elaboração de um projeto de regulamentação do seu sistema de medidas. Com o advento do Estado Novo, foi somente a partir de 1938 que foram fixadas as bases para a adoção definitiva do sistema de pesos e medidas, o que culminou em 1953 com a adesão do Brasil à CGPM. Em 1960, o Brasil participou da 11 a CGPM, que criou o Sistema Internacional de Unidades. Em conseqüência destes fatos, foi criado em 1961 o Instituto Nacional de Pesos e Medidas (INPM), hoje designado como Instituto Nacional de Metrologia, Normatização e Qualidade Industrial (INMETRO), ao qual cabe a responsabilidade de manter atualizado o quadro geral de unidades e resolver as dúvidas que possam surgir da sua aplicação ou interpretação. 1.2 Unidades de Ba se ou Fundamentais São sete unidades bem definidas que, por convenção, são tid as como dimensionalmente independentes: Grandeza Unidade Símbolo Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Corrente elétrica ampère A Temperatura termodinâmica Kelvin K Quantidade de matéria mol mol Intensidade luminosa candela cd 1.3 Unidades Derivadas São formadas pela combinação de unidades de base, unidades suplementares ou outras unidades derivadas, de acordo com as relações algébricas que relacionam as quantidades correspondentes. Os símbolos para as unidades derivadas são obtidos por meio dos sinais matemáticos de multiplicação e divisão e o uso de expoentes. Algumas unidades SI derivadas têm nomes e símbolos especiais. Página 2 de 17

3 1.3.1 Alguma s unidades SI derivadas simple s em termos da s unidades de base Grandeza Unidade Símbolo Área metro quadrado m 2 Volume metro cúbico m 3 Velocidade metro por segundo m/s Aceleração metro por segundo quadrado m/s Unidades SI derivadas com nome s especiais Grandeza Unidade Símbolo Expressão(*) Freqüência hertz Hz s -1 Força newton N kg m/s 2 Pressão, tensão pascal Pa N/m 2 Energia, Trabalho joule J N.m Potência watt W J/s Unidades de uso permitido com as do sistema internacional Em 1969 o CIPM permitiu o uso de algumas unidades importantes amplamente empregadas. As combinações destas unidades com as do Sistema Internacional resultaram em unidades compostas cujo uso deve ser restrito a casos especiais, de modo a não comprometer as vantagens de coerência das unidades SI. Grandeza Unidade Símbolo Conversão Minuto min 1 min = 60 s Tempo Hora h 1 h = 60 min = 3600 s Dia d 1 d = 24 h = s Volume Litro (1) l, L 1 L = 1 dm 3 = 10-3 m 3 Massa Tonelada (2) t 1 t = 10 3 kg (1) Esta unidade e seu símbolo, l, foram adotados pelo CIPM em O símbolo alternativo, L, foi adotado pela 16 a CGPM em 1979, de modo a evitar o risco de confusão entre a letra l e o número 1. (2) Em países de língua inglesa esta unidade é chamada de "tonelada métrica". Página 3 de 17

4 1.3.4 Alguns Fatores de Conversão entre S.I e Sistema Britânico 1 m = 100 cm = 39,4 in (inch = polegada) = 3,28 ft (pés) 1 mi (milha) = 1,61 km = 5280 ft 1 in = 2,54 cm. 1.4 Escrita dos símbolos e unidades de medidas (Convenções e estilo) Os princípios gerais relativos à escrita de símbolos das unidades foram adotados pela 9a. CGPM, em 1948 (Resolução n. 7). Alguns comentários são apresentados a seguir. Os símbolos usados para discriminar quantidades físicas devem ser apresentados em itálico, mas os símbolos das unidades são digitados em romano [ex: F = 23 N]. As unidades derivadas de nomes próprios devem ser escritas com a primeira letra em maiúsculo, enquanto que as outras devem ser apresentadas em minúsculo [ex: newton, N; pascal, Pa, metro, m], exceto o litro, que pode ser escrito em minúsculo ou maiúsculo ( l ou L). O símbolo da unidade é geralmente descrito pela primeira letra do nome da unidade [ex: grama, g e não gr; segundo, s e não seg ou sec], com algumas exceções [ex: mol, cd e Hz]. Também, o símbolo da unidade não deve ser seguido por um ponto e o seu plural não é seguido de "s" [ex: 3 kg e não 3 kg. ou 3 kgs]. A palavra "grau" e seu símbolo " " devem ser omitidos da unidade de temperat ura termodinâmica, T [isto é, usa-se apenas kelvin ou K e não Kelvin ou K], mas usados quando se quer designar temperatura Celsius, [ex: graus Celsius ou C]. Os símbolos dos prefixos que representam grandezas maiores ou iguais a 10 6 são escritos em maiúsculo, enquanto que todos os outros são escritos em minúsculo [ex: mega, M; hecto, h]. Um prefixo nunca deve ser usado sozinho [ex: 10 6 /m 3, mas não M/m 3 ]. Não deve ser colocado espaço entre o prefixo e a unidade e prefixos compostos devem ser evi tados [ex: 1 pf, e não 1 p F ou 1 µf; 1 nm, e não 1mµm]. O agrupamento formado pelo símbolo do prefixo ligado ao símbolo da unidade constitui-se em um novo e inseparável símbolo, de modo que pode ser elevado a potências positivas ou negativas e ser combinado com outros símbolos de unidades para formar símbolos de unidades compostas. Desta forma, um expoente se aplica à unidade como um todo, incluindo o seu prefixo [ex: 1 cm 3 = (10-2 m) 3 = 10-6 m 3 ; 1 cm -1 = (10-2 m) -1 = 10 2 m -1 ; 1µs -1 = (10-6 s) -1 = 10 6 s -1 ; 1 V/cm = (1 V)/(10-2 m) = 10 2 V/m]. Quando um múltiplo ou submúltiplo de uma unidade é escrito por completo, o prefixo deve ser também escrito por completo, começando com letra minúscula [ex: megahertz, e não Megahertz ou Mhertz]. Página 4 de 17

5 O quilograma é a única unidade de base cujo nome, por razões históricas, contém um prefixo. Seus múltiplos e submúltiplos são formados adicionando-se os prefixos à palavra "grama" [ex: 10-6 kg = 1 mg = 1 miligrama e não 1 microquilograma ou 1µkg]. A multiplicação de unidades deve ser indicada inserindo-se um ponto "elevado", ou deixando-se um espaço entre as unidades [ex: ou N m]. A divisão pode ser indicada tanto pelo uso de uma barra inclinada, de uma barra de fração horizontal ou por um expoente negativo [ex: m/s, ou, ou ], mas o uso repetido da barra inclinada não é permitido [ex: m/s 2, mas não m/s/s; m kg/ (s 3 A), mas não m kg/s 3 /A]. Para se evitar má interpretação, quando mais de uma unidade aparece no denominador, deve -se utilizar parêntesis ou expoentes negativos [ex: W/(m 2 K 4 ) ou W m - K -4 ]. Os nomes das unidades não devem ser misturados com os símbolos das operações matemáticas [ex: pode-se escrever "metro por segundo", mas não metro/segundo ou metro segundo -1 ]. Quando o produto de duas unidades é escrito por extenso, recomenda-se o uso de espaço entre elas, mas nunca o uso do ponto. É tolerável o emprego de hífen nestes casos [ex: deve-se escrever newton metro ou newton-metro, mas não newton.metro]. Números com mais de quatro dígitos devem ser separados por um espaço a cada grupo de três dígitos. Nunca utilizar pontos ou vírgulas nas separações, para evitar confusões com as marcações de decimais [ex: , mas não ou 299,792,458]. Esta convenção é também aplicada à direita do marcador de decimais [ex: 22,989 8]. O valor numérico e o símbolo da unidade devem ser separados por um espaço, mesmo quando usados como um adjetivo [ex: 35 mm, mas não 35mm ou 35 -mm]. Deve-se colocar um zero antes do marcador de frações decimais [ex: 0,3 J ou 0.3 J ao invés de,3 J ou.3 J]. Sempre que possível, o prefixo de uma unidade deve ser escolhido dentro de um intervalo adequado, geralmente entre 0,1 e 1000 [ex: 250 kn; 0,6 ma]. Em 1969 o CIPM permitiu o uso de algumas unidades importantes amplamente empregadas [ex: unidade de volume para líquidos ou gases: (l ou L), onde 1L = 1dm 3 = 10-3 m 3 ]. A combinação destas unidades com as do Sistema Internacional resultaram em unidades compostas, cujo uso deve ser restrito a casos especiais [ex: concentração: mol/l]. Página 5 de 17

6 1.5 Notação Científica É uma forma compacta de escrever números extensos, sejam pequenos ou grandes. Esta notação é muito usada nos artigos científicos uma vez que quantidades grandes ou diminutas aparecem frequentemente em várias áreas do conhecimento. A notação científica separa um número em duas partes: uma fração decimal, usualmente entre 1 e 10, e uma potência de 10. Assim 1,74 x 10 4 representa 1,74 vezes 10 elevado à quarta potência, ou seja, Para números pequenos são usados expoentes negativos. Deste modo, em vez de escrevermos 0, , podemos escrever 4,78 x 10-8, que significa 4,78 divididos por 10 elevado à oitava potência. Uma notação científica é escrita da seguinte forma: A 10 L onde 1 < A < 10 e L Em outras palavras escrevemos o valor de uma grandeza como um número compreendido entre um (1) e dez (10), multiplicado pela potência de dez conveniente. Observe que: Se o valor for maior ou igual a dez o expoente da base dez é positivo. Ex.: a) 110 = 1, b) 100 = 1, c) 5001 = 5, Se o valor for menor de que 1, o expoente do dez é negativo. Ex.: a) 0,11 = 1, b) 0,00852 = 8, Se o valor for maior ou igual a um e menor do que 10, então podemos escrever o número sem potência de dez. Ex: 8,0 = 8, = 8,0. Página 6 de 17

7 1.6 Prefixos utilizados com a s unidades do S.I Para facilitar a escrita e a comunicação mesmo os números escritos em notação científica podem ser representados pelos prefixos tabelados abaixo. Fator Prefixo Símbolo = Yotta Y = Zetta Z = Exa E = Peta P = Tera T 10 9 = Giga G 10 6 = Mega M 10 3 = quilo k 10 2 = 100 hecto h 10 1 = 10 deca da 10-1 = 0,1 deci d 10-2 = 0,01 centi c 10-3 = 0,001 mili m 10-6 = 0, micro µ 10-9 = 0, nano n = 0, pico p = 0, femto f = 0, atto a = 0, zepto z = 0, yocto y Página 7 de 17

8 2 - Arredondamentos de números Os critérios usados para arredondamentos de números seguem o decreto 886/66 do IBGE, que se resume em: Arredondamento em décimos: escrevem-se os resultados finais com somente uma casa após a vírgula. Ex: 5,2 / 45,9 / 0,3. Arredondamento em centésimos: escrevem-se os resultados finais com duas casas após a vírgula. Ex: 5,23 / 45,92 / 0,33. Arredondamento em milésimos: escrevem-se os resultados finais com três casas após a vírgula. Ex: 5,236 / 45,928 / 0,334. 1) Caso a direita do valor a ser arredondado estiver um número menor que cinco (0, 1, 2, 3, 4) devemos permanecer com o arredondando. Ex: 4,234 4,23 2) Caso a direita do valor a ser arredondado estiver um número maior que cinco (6,7,8,9) devemos acrescentar uma unidade no arredondando. Ex.: 4,266 4,27 3) Caso a direita do valor estiver o número 5 temos os seguintes caminhos a tomar: Existindo algum número significativo após este cinco, acrescentamos uma unidade. Ex: 63,351 63,4 Não existindo número significativo após este cinco, acrescentamos uma unidade se o arredondando for ímpar. Ex: 63,875 63,88 Não existindo número significativo após este cinco, permanece o arredondando se for um número par. Ex: 63,885 63,88 Página 8 de 17

9 3 Medir uma grandeza Você certamente já sabe de forma intuitiva o que significa medir grandezas físicas. De maneira formal, uma medição consiste quase sempre em comparar duas quantidades de uma mesma grandeza (comprimentos, massas, tempos etc), sendo uma delas definida como um padrão. O padrão é a convenção a definir a quantidade unitária de certa grandeza, recebendo sua unidade uma nomenclatura especial (metro, grama, segundo, etc). Para comparar algo à convenção aceita (medir), utiliza-se um instrumento calibrado pelo padrão de medida. Por exemplo, quando afirmamos que um objeto possui 2 kg de massa, queremos dizer que, dentro de certa precisão, sua massa corresponde a duas massas-padrão, cuja unidade de medida no sistema adotado é o quilograma, denotada pelo símbolo kg. Em toda medida é fundamental o uso da unidade da grandeza correspondente, uma vez que padrões dependem de convenções. A convenção mais utilizada atualmente é o Sistema Internacional de unidades (SI). 3.1 Conceito de grandeza Não conseguimos definir claramente o conceito de grandeza porque é um conceito primitivo, quer dizer, termos não definidos, assim como são o ponto, a reta e o plano na Geometria Elementar. A idéia é que se pode considerar como grandeza tudo o que pode ser medido. Grandezas Física são grandezas que podem ser medidas. Ex: massa, tempo, força, etc. Existem dois tipos de grandezas, as físicas e as não físicas. As grandezas físicas são classificadas em: a) Grandezas escalares: são caracterizadas por um número real, positivo ou negativo, acompanhado de uma unidade de medida. Exemplo: massa, tempo, temperatura. b) Grandezas vetoriais: são caracterizadas por um número real denominado módulo ou intensidade, acompanhado de uma unidade de medida, uma direção e um sentido. Como exemplo, considere um carro se movimentando sobre a estrada retilínea com velocidade de 20 km/h. Para que a grandeza física velocidade ficar caracterizada, precisamos conhecer: seu módulo, sua direção e seu sentido. É através das grandezas físicas que nós medimos ou quantificamos as propriedades da matéria e da energia. Estas medidas podem ser feitas de duas maneiras distintas: - de maneira direta: quando medimos com uma régua o comprimento de algum objeto; quando medimos com um termômetro a temperatura do corpo humano; quando medimos com um cronômetro o tempo de queda de uma pedra. - de maneira indireta: quando medimos, por exemplo, através de cálculos e instrumentos especiais, a distância da Terra ao Sol ou a temperatura de uma estrela. Página 9 de 17

10 3.2 Medida e incerteza Uma medida determina o valor de uma grandeza física nas unidades convencionadas. Presume-se que, independentemente do ato de medir, exista um valor verdadeiro associado à grandeza, e que a medida seja um processo de mera extração dessa informação. O valor verdadeiro é o ideal do romantismo experimental: possui precisão infinita e, por isso, jamais pode ser atingido. Como não podemos evitar essa fonte de dúvida, precisamos ser realistas e incluí-la como algo intrínseco a todo resultado de medida: toda medida deve, então, possuir uma incerteza. Isso implica que, ao contrário do nosso ideal de valor verdadeiro, uma medida real não é representada por um valor pontual, mas por um intervalo. A incerteza denota o intervalo de confiança em que o(a) experimentador(a) garante como correto o resultado da medida, ou, de forma complementar, o quanto o valor mais confiável obtido pela medida pode diferir do valor verdadeiro. A incerteza é sempre denotada por um número positivo. Para expressar corretamente o resultado de uma medida, é preciso fornecer, além do valor obtido para a grandeza, também sua incerteza e sua unidade de medida. Isso ocorre porque o resultado de uma medida não é um valor pontual, mas um intervalo. 3.3 Notação 4 - TEORIA DE ERROS Nas ciências experimentais estamos envolvidos com análises de resultados de medições, em geral expressos em números que devemos ter claramente definidos, a priori, para interpretá-los corretamente. Esses números estão associados às grandezas físicas que queremos medir. Quando fazemos uma medição de um dado objeto, usando um instrumento de medida, percebemos que o ato de medir é estar fazendo uma comparação com uma unidade associada ao Página 10 de 17

11 instrumento. Outra observação que podemos ressaltar é que, ao efetuarmos medições de alguma grandeza nem sempre esta pode ser obtida diretamente. Por exemplo, para quantificar uma área de um terreno necessitamos primeiramente efetuar medidas de comprimentos que delimitam o terreno, para depois determinarmos a área por meio de cálculos algébricos. Diferenciamos, neste exemplo, então as medidas diretas que são as dos comprimentos e a medida indireta que é a da área. A partir do século XVIII, o desenvolvimento e barateamento dos instrumentos de medida em muito multiplicaram as observações quantitativas em laboratório e em campo. Logo os físicos deixaram - se de se contentar em ter conseguido medir, eles passaram a buscar a melhor medida possível. Em termos mais precisos, queriam a resposta do Problema Fundamental da Teoria dos Erros: se em condições idênticas foram obtidas medidas x 1, x 2... x n para uma grandeza de valor exato x desconhecido, determinar a probabilidade de que o valor de x seja uma quantidade expressa em termos dos x k, como é o caso da média dessa s medidas. Esse problema foi exaustivamente estudado por Legendre, Laplace e Gauss, entre o final do século XVIII até o início de século XX. O resultado mais fundamental foi estabelecido por Gauss, ao provar que os erros das medidas têm uma distribuição gaussiana (ou da curva normal) então o valor mais provável de x é a média das medidas x k. Postulado de Gauss: Para uma série de medidas (X 1, X 2,...X N ) dignas de confiança, o valor mais provável da grandeza, é a medida aritmética simples de todas as grandezas medidas, isto é : 4.1 Classificação dos erros De uma maneira geral, os erros são classificados em: Erros Grosseiros: são causados por falta de atenção ou de prática do experimentador. Erros Sistemáticos: são conseqüências de imperfeições do instrumento, do experimentador e do método usado. Exemplos: uso de uma escala em condições diferentes daquela em que foi aferida (em outra temperatura). Experimentador: Atrasar ou adiantar o cronômetro. Método usado: negligenciar a ação da temperatura, pressão. Erros Acidentais: são aqueles provenientes de causas indeterminadas, temporárias, variáveis, imprevisíveis e que modificam de maneira irregular e variável o resultado das medições. Os erros acidentais são inevitáveis, não são elimináveis nem completamente corrigíveis. Erro de cálculo Erro de leitura (ler 81 ao invés de 31) Erro de cópia (transcrever 645 ao invés de 654) Página 11 de 17

12 Erros provenientes do manuseio errado do instrumento. Erro de paralaxe Para evitar tais erros devemos: * Repetir cuidadosamente as medições (resultados discrepantes devem ser rejeitados); * Adquirir prática com o instrumento medidor. * Aferir ou calibrar o instrumento antes do uso. * Substituir a observação humana por elementos mecânicos ou elétricos (sensores). * Escolher um método adequado para medir aquela variável. 4.2 Erros Relativos na s medidas de grandezas física s Erro relativo é a relação entre o erro e a medida da grandeza, isto é: Erro relativo = erro / medida Para se expressar o erro relativo em termos de percentagem, basta multiplicá-lo por 100, isto é: erro medida Erro relativo (%) = x100 Exemplo: Se a massa de um martelo é estimada em 250 gramas, com um erro de ±5 gramas, então: Erro Relativo = 5/250, ou seja, Erro Relativo = 0,02 ou ainda, em termos percentuais: Erro Relativo = 2%. É importante que o erro de uma medida seja expresso na s mesma s unidades da grandeza corre spondente; de sta forma o erro relativo é um número adimensional. 4.3 Precisão de uma medida e algarismos significativos (AS) A precisão de uma medida é determinada pelo erro envolvido na mesma. Por exemplo, se a medida do comprimento de um fio de cobre foi estimada em 10 metros, com um erro de apenas 1 (mm) milímetro, ou seja, 0,001 metro podemos dizer que a medida foi muito precisa, pois com um erro desta magnitude (0,01%) podemos admitir que estamos muito próximos do valor verdadeiro do comprimento do fio. Página 12 de 17

13 Para a medida de cada grandeza física, precisamos usar unidades adequadas. Para se medir a distância entre duas estrelas utiliza-se como unidade o ano-luz (um ano luz é a distância percorrida pela luz em um ano;) pois trata-se de distâncias muito grandes para os nossos padrões referenciais usuais de distâncias. Assim, não há significado algum dizer que a distância entre duas estrelas é de metros, pois não existe nenhum método conhecido que permita alcançar tal precisão, ou seja, precisão de 1 metro em mais de 9,5 x metros. Por outro lado, para medidas de grandezas físicas típicas do mundo atômico, usamos grandezas como o Ângstron (1 Å = metros), e o elétron volt (1 ev = 1, x Joule). A precisão de uma medida é indicada pelo número de algarismos significativos no valor numérico que a representa, ou seja, quanto maior o número de algarismos significativos, maior a precisão da medida. Os algarismos significativos de uma quantidade numérica, como o nome sugere, são todos aqueles algarismos cujos valores se têm certeza. E o número de algarismos significativos contidos em uma quantidade numérica é dado pelo número n de dígitos que se conhecem como certos, mais um (este último se refere ao dígito duvidoso). Por exemplo: se considerarmos uma distância D = 326 km e afirmarmos que este número tem a precisão de três algarismos significativos, isto significa que: os algarismos 3 e 2 são conhecidos como exatos (corretos), isto é, temos certeza sobre seus valores, e o dígito 6 é tido como duvidoso. Podemos assim expressar este dado escrevendo, D = 326 km ± erro, e o erro neste caso é dito ser da ordem de, digamos, 4 km, por exemplo. Assim, o valor de D é expresso como D = 326 km ± 4 km, onde 3 e 2 são chamados dígitos corretos e 6 é chamado de dígito duvidoso. 4.4 Algarismos significativos e a Notação científica Conceitos Os algarismos de uma medida devem ter o número de casas decimais do erro estimado, no caso do exemplo da régua abaixo, a estimativa da medida deveria ter uma casa decimal. Veja que no exemplo abaixo teremos um número composto por três algarismos significativo, a inspeção direta do instrumento nos fornece o comprimento do bloco entre 3,4 cm e 3,5 cm, ou seja, a medida será dada pelos algarismos que temos certeza (3,4) mais um que é o algarismo duvidoso. Página 13 de 17

14 Sendo a menor divisão do instrumento igual a 1 mm, convencionamos associar 0,5 mm como incerteza instrumental. Supondo que o experimentador estime o algarismo duvidoso como sendo 6, sua melhor resposta para o comprimento do bloco seria O número de algarismos significativos (AS) é o número de algarismos corretos mais o algarismo duvidoso, no caso do exemplo acima, 3 algarismos significativos (AS). Outros exemplos: 7,25 kg têm 3 AS, sendo 5 o duvidoso; 4,5326 s têm 5 AS, sendo 6 o duvidoso; 5,08 x 10 2 m tem 3 AS, sendo 8 o duvidoso; 15,21 m têm 4 AS, sendo 1 o duvidoso; m têm 5 AS sendo 0 o duvidoso; 25,2 s têm 3 AS sendo 2 o duvidoso; 25,20 s têm 4 AS sendo 0 o duvidoso; 25,200 s têm 5 AS sendo o 0 duvidoso. Observe que 25,2; 25,20 e 25,200 não têm o mesmo significado. Medindo a massa de uma pedra, com uma balança, encontra-se o valor de 3,25 kg. Ou seja, a massa foi determinada com três algarismos significativos. Suponha agora que eu queira expressar a massa da pedra em gramas. Como um quilo equivale a mil gramas, escrevemos com toda tranqüilidade: "A massa da pedra expressa em gramas é g. Mas, isto e stá errado! Vejamos: ao escrever g estou escrevendo a informação massa da pedra com quatro algarismos significativos. Porém, a medida efetuada, dava a massa da pedra com três algarismos significativos. E uma simples mudança de unidade não pode alterar o número de algarismos significativos de uma medida. O jeito é utilizar a notação científica. Sem alterar o número de algarismos significativos (isto é o que realmente importa), poderíamos escrever: 3,25 x 10 3 g. Atenção: Os zeros porventura situados à esquerda dos números que expressam a medida, não dão nenhuma informação quant o à precisão da medida. Eles aparecem e desaparecem ao saber das mudanças das unidades utilizadas para expressar a medida. Com exceção destes zeros, todos os demais algarismos são significativos. Lembre-se: Vale tudo com exceção dos zeros à esquerda. Outros exemplos: A medida 0, g apresenta 3 AS (algarismos significativos). A medida 3,50 x 10 8 km apresenta 3 AS (algarismos significativos). Suponha que ao medir o comprimento de uma mesa foi obtido 3,5 m (dois algarismos significativos). Em km pode-se escrever 0,0035 km em 3,5 x 10-3 km que estaremos corretos, pois a quantidade de algarismos significativos não foi alterada. (zeros à esquerda não contam). Em centímetros poderia ser: 3,5 x 10 2 cm; 35 x 10 cm; 0,35 x 10 3 cm; 0,035 x 10 4 cm. Página 14 de 17

15 Em milímetros pode ser: 3,5 x 10 3 mm; 35 x 10 2 mm; 0,35 x 10 4 mm; 0,035 x 10 5 mm. Não poderia ser 350 cm nem 3500 mm, pois estaríamos alterando o número de AS da medida. A forma padrão de se expressar o número de algarismos significativos de uma quantidade numérica é através da notação científica, onde o número de dígitos presentes é exatamente o número de algarismos significativos. Mais alguns exemplos: 6,022 x algarismos significativos 9,10 x algarismos significativos 8,314 x algarismos significativos 2, x algarismos significativos Existem outras formas de se indicar a precisão de uma medida que depende da área profissional, ou mesmo de um ramo científico específico. Exemplos: Considere duas grandezas físicas expressas como A = 2 e B = 2,000. Estas quantidades possuem o mesmo valor numérico, mas se ambas as medidas foram relatadas no mesmo contexto, podemos entender que a grandeza B foi expressa com quatro algarismos significativos e A com apenas um; isto é a medida de B é mais precisa do que a de A. É comum se expressar grandezas físicas medidas experimentalmente, por exemplo, a constante de Planck, na forma, = (52) x J. Note que os dois dígitos entre parêntese se referem ao erro experimental envolvido na medida, e afetam as duas últimas casas decimais do número Operações com Medidas Físicas. Todos os números usados na Física refletem as limitações das medidas. Por isto temos que modificar ligeiramente nossas idéias de aritmética. O conceito de algarismos significativos nos permite evitar números ilusórios e supérfluos. 5.1 Adição A medida que tiver a menor aproximação, isto é a que for mais pobre em casas decimais é que vai nos indicar o número de decimais que vai ter o resultado. 12,458 cm + 3,22 cm + 1,5 cm a ultima parcela é a que tem menos AS logo 12,5 cm + 3,2 cm + 1,5 cm = 17,2 cm. Página 15 de 17

16 Atenção: Pode acontecer que quando você fizer o arredondamento antes da operação, encontre o último algarismo diferente do que encontraria se fizesse o arredondamento depois da operação, mas normalmente este fato não traz maiores conseqüências. 5.2 Subtração A subtração de quantidades medidas funciona da mesma maneira que a soma. Porém aconselha-se aqui a você efetuar o arredondamento antes da operação. Por exemplo: 25,482 cm 10,5 cm = 25,5 10,5 = 15,5 cm Guarde isto: No caso das parcelas estarem em unidades diferentes reduz-se todas as parcelas à maior unidade antes de efetuar a operação matemática. 5.3 Multiplicação Quando dois números, provenientes de medições, são multiplicados, seu produto não pode ter maior precisão (ou mais algarismos significativos) que o menos preciso dos fatores. Ou seja, o fator que possuir o menor número de AS é que vai determinar o número de AS do resultado. A idéia é algo como: "A corrente não pode ser mais forte que o seu elo mais fraco. Exemplos: 4,62 m x 9,3 m = 43 m 2 (3ASx2AS = 2AS) 1432 x 2,1 = 3007 = 3, (4AS x 2AS = 2AS) * Um estudante mede um bloco de madeira e encontra os seguintes resultados: Como ele deverá expressar em cm 3 o volume deste bloco? Volume = a x b x c O volume deverá ser expresso com apenas 2 AS, já que a largura é a medida menos precisa. Volume = 12,1 x 6,3 x 0,84 = 64,03 cm 3. Portanto o volume = 64 cm 3 Deve-se observar que números que não são resultado de medidas podem ter precisão ilimitada, e podem ser expressos em qualquer grau de precisão requerida pela natureza do problema. Por exemplo, se uma área foi medida e se encontra 3,76 m 2, o dobro desta área seria 2 x 3,76 m 2 = 7,52 m 2. ** Uma bolsa contém 25 bolinhas idênticas, um estudante mediu uma delas, resultando para o seu volume 1,76 cm 2. Que valor avaliaria ele para o volume total das bolas? Volume de uma bolinha = 1,76 cm 3 Volume das 25 bolinhas = 25 x 1,76 cm 3 Página 16 de 17

17 Neste caso 25 é uma quantidade exata (não é resultado de uma medição), logo o resultado deverá ter 03 AS (o mesmo do volume de uma bolinha). Volume das 25 bolinhas = 44,0 cm Divisão O que foi dito sobre multiplicação, se aplica à divisão. Nunca prossiga a divisão além do número de algarismos significativos da medida menos precisa que você esteja usando. Ou seja: Ex: 9,2/2,31 = 3,98 = 4,0 (2AS/3AS = 2 AS) Lembre-se: O resultado de um cálculo não pode ser mais preciso que o termo menos preciso envolvido no cálculo 6 A utilização das letras gregas Na área tecnológica (particularmente na Física e Matemática) é comum o uso de letras gregas para representar ângulos, coeficientes, constantes e até mesmo variáveis. Daí a importância de conhecê-las. Abaixo aparece uma lista com as letras (maiúsculas e minúsculas) e seu nome. Página 17 de 17