LOQ Fenômenos de Transporte I

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1 LOQ Fenômenos de Transporte I FT I 01 Revisão de Grandezas, Dimensões e Unidades Prof. Lucrécio Fábio dos Santos Departamento de Engenharia Química LOQ/EEL Atenção: Estas notas destinam-se exclusivamente a servir como roteiro de estudo. Figuras e tabelas de outras fontes foram reproduzidas estritamente com fins didáticos.

2 Revisão de Grandezas, Dimensões e Unidades Objetivos Ao terminar esta etapa você deverá ser capaz de: Compreender a importância da utilização das unidades nos diversos ramos da ciência Diferenciar grandeza, dimensão e unidade Reconhecer os vários sistemas de unidades empregados no dia a dia Ter conhecimento pra tico de precisa o e reconhecer a importa ncia da homogeneidade dimensional nos ca lculos de engenharia 2

3 Sistema Internacional de Unidades (SI) Desenvolvido em 1960 É utilizado em quase todo planeta; Visa uniformizar e facilitar as medições e as relações internacionais daí decorrentes; Sua necessidade... Libéria (Africa) USA (América do norte) Myanmar (Asia) 3

4 Grandezas e unidades Uma grandeza é tudo aquilo que pode ser medido e possibilita que tenhamos características baseadas em informações numéricas e/ou geométricas O valor de uma grandeza é geralmente expresso sob a forma do produto de um número por uma unidade. A unidade é apenas um exemplo específico da grandeza em questão, usada como referência. Exemplo: A velocidade v de uma partícula pode ser expressa da seguinte forma: v = 25 m/s = 90 km/h Onde, o metro por segundo e o kilometro por hora são unidades alternativas para expressar o mesmo valor da grandeza velocidade. 4

5 Por convenção as grandezas físicas são organizadas segundo um sistema de dimensões. As 7 (sete) grandezas de base e dimensões utilizadas no sistema SI são apresentas Tabela 1. Tabela 1 Grandezas de base e dimensões utilizadas no SI Grandeza de base Símbolo de grandeza Símbolo de dimensão comprimento l, x, r, etc L massa m M Tempo, duração t T Corrente elétrica I, i I Temperatura termodinâmica T Ɵ Quantidade de substância n N Intensidade luminosa I v J Todas as outras grandezas são grandezas derivadas, que podem ser expressas em função das grandezas de base por meio de equações da física. 5

6 Dimensões Extensão mensurável, pode ser uma grandeza qualquer ou mesmo uma variável de processo. Instrumentos de medida Cada uma das sete grandezas de base do SI é considerada como tendo sua própria dimensão, que é simbolicamente representada por uma única letra maiúscula em tipo romano sem serifa. Por exemplo: Nome área L 2 velocidade LT -1 Dimensão força LMT -2 T T Tipo sem serifa Tipo serifado 6

7 As dimensões das grandezas derivadas são escritas sob a forma de produtos de potências das dimensões das grandezas de base por meio de equações que relacionam as grandezas derivadas às grandezas de base. Em geral a dimensão de uma grandeza Q é escrita sob a forma de um produto dimensional dim Q = [Q] = L a M b T c Ө d N e I f J g (1) Onde: Q é o símbolo da grandeza e os expoentes indicam o grau de dependência entre a grandeza derivada e a grandeza fundamental. E os expoentes, que são em geral números inteiros pequenos, positivos, negativos ou zero, são chamados de expoentes dimensionais 7

8 Exemplo A grandeza derivada velocidade (símbolo aleatório: v) pode ser expressa em função das grandezas distância percorrida x e a duração de percurso t por meio da equação:. v = dx/dt Daqui, estabelece-se então a equação de dimensão da grandeza. v = [v] = L 1 M 0 T -1 Ө 0 N 0 I 0 J 0 v = [v] = L 1 T -1 v = [v] = m 1 s -1 8

9 Unidades São valores específicos, definidos por convenção para expressar as dimensões, tais como: Para comprimento: metro [m] ; Para velocidade: quilometro por hora {km/h] ; ou Para volume: centímetro cúbico [cm 3 ]. Dividem-se em: Unidades de base; Unidades derivadas. 9

10 Ao acrescentar unidades aos números que não são fundamentalmente adimensionais, obtém-se as seguintes vantagens: Reduz a chance de se cometer erros nos cálculos; Reduz o volume de cálculos intermediários; Abordagem lógica do problema; Fácil entendimento do significado físico dos números utilizados. 10

11 A Tabela 2 apresenta as 7 (sete) grandezas de base e unidades de base do sistema SI. Tabela 2 Grandezas de base e unidades de base do SI Grandeza de base Unidade de base Nome Símbolo Nome Símbolo comprimento l, x, r, etc metro m massa m kilograma kg tempo, duração t segundo s corrente elétrica I, i ampere A temperatura termodinâmica T kelvin K quantidade de substância n mol mol intensidade luminosa I v candela cd 11

12 A Tabela 3 fornece alguns exemplos de grandezas derivadas, com as correspondentes unidades derivadas coerentes expressas diretamente a partir das unidades de base. Tabela 3 Exemplos de unidades SI derivadas coerentes, expressas a partir das unidades de base Grandeza derivada Unidade derivada Nome Símbolo Nome Símbolo área A metro quadrado m 2 volume V metro cúbico m 3 velocidade v metro por segundo m.s -1 aceleração a metro por segundo quadrado m.s -2 densidade ρ quilograma por metro cúbico kg.m -3 Outras unidades derivadas do SI apresentam nomes especiais. A Tabela 4 mostra algumas dessas unidades. 12

13 A ultima coluna da Tabelas 4 mostra a expressão das unidades SI consideradas em função das unidades de base. Tabela 4 Unidades SI derivadas coerentes possuidoras de nomes e símbolos especiais Grandeza derivada Nome Símbolo força newton N kg.m.s -2 energia ou trabalho joule J kg.m 2.s -2 Expressão em unidades de base do SI pressão pascal Pa kg.m -1.s -2 (= N.m -2 ) carga elétrica coulomb C s.a diferença de potencial elétrico volt V m 2 kg s -3 A -1 frequência hertz Hz s -1 Muitas unidades antigas foram definidas em termos de SI e são conservadas por serem tradicionais e úteis. Algumas são apresentadas na Tabela 5. 13

14 A Tabela 5 fornece uma lista de unidades fora do SI, cujo uso com o SI é admitido pelo Comitê Internacional de Pesos e Medidas (CIPM) Tabela 5 Unidades derivadas das unidades básicas SI Grandeza Nome da unidade Símbolo da unidade Valor em unidades do SI tempo minuto min 60 s hora h s dia d s volume litro L, l 10-3 m 3 = 1 dm 3 temperatura grau Celsius o C k 273,15 14

15 As potências de dez são utilizadas por conveniência com menores ou maiores unidades no SI, conforme apresentado na Tabela 6. Tabela 6 Alguns prefixos usados no sistema métrico Prefixo Símbolo Significado Exemplo giga G gigâmetro (Gm): 1 x 10 9 m mega M megâmetro (Mm): 1 x 10 6 m quilo k quilômetro (km): 1 x 10 3 m deci d decímetro (dm): 0,1 m centi c centímetro (cm): 0,01 m mili m milímetro (mm): 0,001 m micro μ micron (μm): 1 x 10-6 m nano n nanômetro (nm): 1 x 10-9 m pico p picômetro (pm): 1 x m femto f femtômetro (fm): 1 x m 15

16 Tabela 7 Sistema CGS (cm-g-s) Grandeza Dimensão Unidade Símbolo Massa M grama g Comprimento L centímetro cm Tempo T segundo s Temperatura Ө celsius o C Tabela 8 Sistema Americano de Engenharia (SAE) Grandeza Dimensão Unidade Símbolo Massa M libra-massa lb m Comprimento L pé ft Tempo T segundo s Temperatura Ө rankine ou fahrenheit o R ou o F 16

17 A Tabela 9 apresenta as relações entre as unidades utilizadas para expressar as principais dimensões encontradas nos processos industriais. Tabela 9 - Relações entre as unidades Massa 1 Kg = 1000 g = 0,001 t = 2,20462 lb m 1 lb m = 453,593 g; 1 slug = 14, 5939 Kg = 32,2 lb m Comprimento 1 m = 100 cm = mm = 10 6 micra (µ) = angstrons (Å) = = 39,37 in = 3,2808 ft = 1,0936 jarda = 0, milha = 10-3 Km Volume 1 m 3 = L = 10 6 cm 3 = 10 6 ml = 35,3145 ft 3 = 264,17 gal 1 ft 3 = in 3 = 7,4805 gal = 0, m 3 = 28,317 L Força 1 N = 1 kg.m/s 2 = 10 5 dinas = 10 5 g.cm/s 2 = 0,22481 lb f = 0,1019 kg f 1 lb f = 32,174 lb m.ft/s 2 = 4,4482 N = 4, dina O Slug é uma unidade de massa no Sistema Inglês. O slug se define como a massa que se desloca a uma aceleração de 1 ft/s² quando se exerce uma força de uma Libra força sobre ela. 17

18 Continuação da Tabela 9 Tabela 9 - Relações entre as unidades Pressão 1 atm = 1, N/m 2 (Pa) = 101,325 KPa = 1,01325 bar = 1, dina/cm 2 = 1,033 Kg/cm 2 = 760 mm Hg a 0 o C (torr) = 10,333 mh 2 O a 4 o C = 14,696 lb/in 2 (psi) = 33,9 ft H 2 O a 4 o C = 29,921 in Hg a 0 o C Energia 1 J = 1 N.m = 10 7 erg = 10 7 dina.cm = 2, KW.h = 0,23901 cal = 0,7376 lb f.ft = 9, BTU Potência 1 W = 1 J/s = 0,23901 cal/s = 0,7376 lb f.ft/s = 9, BTU/s = 1, HP Temperatura T(K) = T( o C) + 273,15 T( o R) = T( o F) + 459,67 T( o R) = 1,8. T(K) T( o F) = 1,8. T( o C) + 32 Fator de conversão da Lei de Newton Constante universal dos gases 1Kg.m / s gc 1N 2 1g.cm / s 1dina 2 32,174lb 1lb.ft / s ΔT(K) = ΔT ( o C) ΔT( o R) = ΔT ( o F) ΔT(K) = 1,8. ΔT( o R) ΔT( o C) = 1,8. ΔT( o F) 9,81Kg.m / s 1Kg 8,314 m 3.Pa/gmol.K = 0,08314 L.bar/gmol.K = 0,08206 L.atm/gmol.K = 62,36 L.mmHg/gmol.K = 0,7302 ft 3.atm/lbmol. o R = 10,73ft 3.psi/lbmol. o R = 8,314 J/gmol.K = 1,987 cal/gmol.k = 1,987 BTU/lbmol. o R Adaptado de: BALDINO; ALBERTO (2013, p. 16) m f

19 Conversão de unidades e fatores de conversão O procedimento de conversão de um conjunto de unidades em outro corresponde simplesmente em multiplicar os números e suas unidades associadas por razões, chamadas fatores de conversão, de modo a obter a unidade desejada. Fator de conversão = Unidade nova Unidade velha Exemplos: 1) 1000 g kg g 1 kg = 1 kg g 2) 36 in ft 36 in 1 ft = 3 ft 12 in 3) 7200 s h s 1 min 1 h = 2 h 60 s 60 min 19

20 4) Se um avião se desloca com o dobro da velocidade do som, qual a velocidade em kilometros por hora? Dados: Velocidade do som: ft/s 1kilometro (km) = 304,8 ft Solução: 2 x ft 1 km 60 s 60 min = ,25 km s 304,8 ft 1 min 1 h h Para praticar!!! 1. Seja uma tubulação de diâmetro (D) igual a 6 in, que escoa um fluido com massa específica (ρ) igual a 62,43 lb m /ft 3, com uma velocidade (υ) igual a cm/min e uma viscosidade (μ) igual a 10-3 Pa.s. Obtenha o número de Reynolds (Re) para essa condição. Dado: Resposta: (adimensional) 20

21 2. Resolva o exercício 1 com os seguintes dados: Dados: ρ = 31 lb m /ft 3 υ = cm/min μ = 10-3 Pa.s D = 6 in Resposta: (adimensional) Utilizando dois ou mais fatores de conversão Em análise dimensional, sempre faça três perguntas: Quais dados são fornecidos? Qual a quantidade que precisamos? Quais fatores de conversão estão disponíveis para nos levar, a partir do que é fornecido, ao que precisamos? 21

22 Temperatura Escala Celsius Também utilizada em ciência. A água congela a 0 o C e entra em ebulição a 100 o C. Para converter: K = o C + 273,15 C 5 9 F - 32 Escala Fahrenheit Geralmente não é utilizada em ciência. A água congela a 32 o F e entra em ebulição a 212 o F. Para converter: F 9 5 C 32 22

23 Volume As unidades de volume são dadas por (unidades de comprimento) 3. A unidade SI de volume é o m 3 Normalmente usamos 1 ml = 1 cm 3 Outras unidades de volume: 1 L = 1 dm 3 = 1000 cm 3 = 1000 ml 23

24 A incerteza na medida A incerteza na medida Todas as medidas científicas estão sujeitas a erros, os quais são refletidos no número de algarismos informados para a medida. São também refletidos na observação de que duas medidas sucessivas da mesma quantidade são diferentes. Precisão e exatidão Medidas exatas estão próximas do valor correto. Medidas precisas estão próximas entre si. 24

25 Exercício Na troposfera, camada atmosférica que se estende da superfície da Terra até a base da atmosfera (0 a 11 km), a pressão atmosférica (atm) se relaciona com a altitude (h em m) de acordo com a equação que segue: em que P o (atm) e T o (K) são respectivamente a pressão atmosférica e a temperatura ao nível do mar e latitude de 40º, g é a aceleração da gravidade (m/s 2 ) e R é a constante universal dos gases (J/mol.k). Obtenha: a. as unidades das constantes 0,0065 e 5,05. b. sendo P o = 1atm e T o 290 K, calcule a pressão atmosférica numa altitude de pés (ft). 25

26 Dever de casa!!! Resolver a lista de exercícios desta unidade 26