Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS

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1 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS Capítulo I ANÁLISE DESCRITIVA DE MECANISMOS Curso de Licenciatura em Engenharia Biomédica Departamento de Engenharia Mecânica Escola de Engenharia UNIVERSIDADE DO MINHO J.C.Pimenta Claro [e-version: 2005]

2 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos INTRODUÇÃO DEFINIÇÕES GERAIS A ciência dos mecanismos estuda os movimentos dos diversos componentes que constituem uma máquina ou equipamento, assim como as forças que esses componentes transmitem. Um movimento fica integralmente definido através do conhecimento do deslocamento, velocidade e aceleração. Máquina define um único, ou vários, mecanismos associados a uma fonte de energia. Mecanismo define um conjunto de corpos rígidos de tal modo interligados que o movimento de um dos seus componente provoque o movimento dos restantes componentes desse mecanismo. Num Mecanismo, os componentes susceptíveis de transmitirem força designam-se por Ligações. 1.2 PARES CINEMÁTICOS A transmissão de movimento, fim básico de um mecanismo, implica a ligação dos diferentes componentes entre si. O conjunto de duas superfícies que estabelecem o contacto entre dois componentes designa-se por Par Cinemático. Os Pares podem classificar-se quanto à Forma, tipo de Contacto e Movimento relativo permitido. Sendo a trajectória de todos os pontos de um componente perfeitamente definida, relativamente a outro a que se encontra ligado, então o par denomina-se Fechado. Caso contrário, o par diz-se Aberto sendo, neste caso, necessária uma actuação exterior para manter um contacto de carácter permanente entre os dois componentes. Quanto ao contacto, os pares podem ser Superiores ou Inferiores, conforme seja pontual (ou linear) ou superficial. Quanto ao movimento relativo permitido, os pares designam-se como: rotóides - permitindo a rotação ou oscilação num plano (também designados como Articulações) esféricos - permitindo rotação ou oscilação em qualquer plano (também referidos como Rótulas) deslizantes - permitindo a translacção rectilínea (o componente fixo toma a designação de Guia e o componente móvel a designação de Corrediça) Na Fig.1.1 encontram-se esboçados alguns Pares Cinemáticos típicos em construção mecânica. Outras definições podem ser estabelecidas, e são usuais em mecânica, tais como: ligação binária - se possui apenas dois componentes de par cinemático ligação ternária - se possui três componentes de par cinemático manivela - ligação que roda ou oscila em torno de um eixo fixo biela - orgão que estabelece a ligação entre duas manivelas ou entre uma manivela e uma corrediça componente motor - ligação que, num mecanismo, recebe o movimento que se pretende transformar componente movido - ligação cujo movimento se pretende utilizar

3 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 2 mecanismos equivalentes - designa equivalência cinemática, isto é, em que componentes motor e movido(s) têm o mesmo movimento fixe - ligação que, num mecanismo, se considera fixa a) chumaceira radial de escorregamento de 360 o b) chumaceira radial de escorregamento 180 o c) chumaceira de rolamentos de esferas ou rolos par rotóide inferior fechado par rotóide inferior aberto par rotóide superior fechado d) chumaceira axial de escorregamento, cónica e) chumaceira axial de escorregamento, cilíndrica f) cilíndro com êmbolo par rotóide superior aberto par rotóide inferior aberto par deslizante inferior fechado g) came com prato h) came com forquilha i) rótula par deslizante superior aberto par deslizante superior fechado par esférico inferior fechado j) parafuso de transmissão l) navalha par helicoidal inferior fechado par rotóide superior aberto Figura Exemplos típicos de Pares Cinemáticos 1.3 MOVIMENTOS Os mecanismos podem realizar três tipos de movimentos: 1 - movimento plano 2 - " helicoidal 3 - " esférico No movimento plano temos a considerar três tipos básicos: movimento de translação " de rotação " misto de translação e rotação

4 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 3 No movimento de translação há ainda a considerar: translação rectilínea " curvilínea No movimento de translação rectilínea todos os pontos de uma ligação descrevem trajectórias rectas e paralelas. Como exemplo, temos o movimento da 'corrediça', num sistema biela-manivela - Fig.1.2. Figura Translação rectilínea No movimento de translação curvilínea as trajectórias descritas pelos pontos de uma ligação são linhas curvas paralelas entre si. Como exemplo, pode tomar-se o movimento da ligação que une as rodas motoras de uma locomotiva - Fig.1.3 Figura Translação curvilínea No movimento de rotação, cada ponto de uma ligação que descreve um movimento plano permanece a uma distância constante, relativamente a um eixo fixo normal ao plano do movimento. Se a rotação for alternada, dentro de um certo ângulo limíte, é denominada Oscilante. Na Fig.1.4 a rotação da barra 2 implica a oscilação da barra 4, dentro do ângulo [B"O 4 B']. Figura Movimento oscilante

5 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 4 No movimento misto (de translação e rotação) os pontos de uma ligação têm simultaneamente as características dos movimentos de translação e de rotação. Na situação ilustrada na Fig.1.3, os pontos das ligações 2 e 4 descrevem uma translação curvilínea em simultâneo com um movimento de rotação. No movimento helicoidal os pontos de uma ligação movem-se com rotação em torno de um eixo fixo e translação paralela a esse eixo. É o caso do movimento descrito por um ponto pertencente a uma porca, enquanto esta é apertada num parafuso ou perno. No movimento esférico cada ponto da ligação mantem-se a uma distância constante de um ponto fixo. 1.4 CICLO, PERÍODO E FASE DO MOVIMENTO Quando os diversos componentes de um mecanismo partem de uma posição inicial, descrevem um determinado movimento e retornam à posição inicial para, deste modo, recomeçarem a mesma trajectória cinemática, diz-se que o mecanismo completou um ciclo, com a duração de determinado período de tempo, tendo assumido fases, ou seja, várias posições instantâneas relativas, durante o ciclo. 1.5 INVERSÃO DE UM MECANISMO Se, num mecanismo, libertarmos a ligação fixa e fixarmos uma ligação anteriormente livre, dizemos que o mecanismo foi invertido. A inversão do mecanismo não modifica o movimento relativo entre as ligações, mas modifica o movimento absoluto de cada ligação em relação a um referencial fixo. Assim, e por exemplo, para o sistema biela-manivela representado na Fig.1.5, o facto de ter quatro ligações faz com que disponha de três inversões possíveis, correspondentes à fixação das ligações 2, 3 ou 4. Estas inversões estão representadas(na Fig.1.6. Figura Sistema biela-manivela 1.6 CLASSIFICAÇÃO DOS MECANISMOS Os mecanismos podem classificar-se em dois grandes grupos, conforme o tipo de movimento do componente movido, ou seja, do tipo de 'saída' que se obtem. Assim, temos mecanismos de: - movimento contínuo - " intermitente

6 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 5 a) b) c) Figura Inversões do sistema biela-manivela 1.7 TRANSMISSÃO DO MOVIMENTO A transmissão de movimento entre duas ligações de um mecanismo pode ser efectuada de três formas diferentes, a saber: - por contacto directo, como nos casos das cames e das engrenagens - por ligação intermédia, como no caso da biela do sistema biela-manivela - por ligação flexível, caso das transmissões por correia e por corrente Transmissão por Contacto Directo Na Figura 1.7 a ligação 2 é motora e a ligação 3 movida. O contacto dá-se no ponto P, no instante aqui representado. O valor de [PM 2 ] - velocidade da ligação 2 no ponto P, ou seja, a velocidade do ponto P - é determinável através do conhecimento da velocidade angular da ligação 2 [ω 2 ] e da distância [PO 2 ]. Por sua vez [PM 2 ] pode ser decomposto segundo as direcções normal e tangencial. Considerando as ligações como rígidas, estas não poderão interpenetrar-se. Por outro lado, supondo que as duas superfícies não perdem o contacto, a componente normal da velocidade no ponto P, enquanto pertencente à ligação 2, será igual à componente normal da velocidade desse mesmo ponto, enquanto pertencente à ligação 3. Conhecida a componente normal, e como a direcção de [PM 3 ] é conhecida (perpendicular a [O 3 P], podemos conhecer o valor de [PM 3 ]. Assim, torna-se possível determinar o valor da velocidade de rotação da ligação 3, (ω 3 ). A velocidade de escorregamento é também, neste caso, determinável. Este valor é dado pela diferença entre as componentes tangenciais, no ponto de contacto, e corresponde à distância [t 2 t 3 ], uma vez que a componente [Pt 3 ] tem direcção oposta à componente [Pt 2 ].

7 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 6 Figura Transmissão por contacto directo a linha [NN'] é a normal comum a 2 e a 3, no ponto P, designada como linha de acção ou de transmissão a linha [TT'] é a tangente comum a 2 e a 3, no ponto P o vector [PM 2 ] é a velocidade da ligação 2, no ponto P o vector [PM 3 ] é a velocidade da ligação 3, no ponto P Se o ponto P estiver segundo a linha de centros [O 2 O 3 ] as componentes tangenciais têm o mesmo valor e sentido, ou seja, nessa situação a velocidade de escorregamento é nula, sendo o movimento de rolamento puro. Assim, a condição de rolamento puro é que o ponto de contacto se situe na linha de centros. Geometricamente é também possível relacionar [ω 2 ] com [ω 3 ]. Para isso a traçagem de paralelas à linha de acção, passando pelos centros de rotação das ligações 2 e 3, definem os pontos e e f por intercepção com a normal comum, e sabendo que: ω 2 = [PM 2 ]/[PO 2 ] e que: ω 3 = [PM 3 ]/[PO 3 ] donde: ω 3 /ω 2 = [PM 3 ] [PO 2 ] / [PM 2 ] [PO 3 ] Como os triângulos [PM 2 n] e [PO 2 e] são semelhantes, então: [PM 2 ]/[PO 2 ] = [Pn]/[O 2 e] Sendo igualmente semelhantes os triângulos [PM 3 n] e [PO 3 f], temos que: [PM 3 ]/[PO 3 ] = [Pn/O 3 f] donde: ω 3 /ω 2 = [Pn]/[O 3 f] [O 2 e]/[pn] = [O 2 e]/[o 3 f]

8 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 7 Dada a semelhança entre os triângulos [O 2 ke] e [O 3 kf], vem ainda: [O 2 e]/[o 3 f] = [O 2 k]/[o 3 k] Substituindo, obtem-se finalmente: ω 3 /ω 2 = [O 2 k]/[o 3 k] Assim, e para um par de superfícies curvas em contacto directo, as respectivas velocidades angulares são inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha de centros pela normal comum. Conclui-se, portanto, que para dois corpos em contacto directo terem razões de velocidade constante, a normal comum deve interceptar a linha de centros num ponto fixo - isso acontece, por exemplo, nas rodas dentadas Transmissão por Ligação Intermédia Através de um método análogo ao anterior, podemos determinar a relação de velocidades angulares entre ligação motora e movida. No exemplo da Fig.1.8 pode concluir-se que: ω 3 /ω 2 = [O 2 k]/[o 4 k] Figura Transmissão por ligação intermédia Transmissão por Ligação Flexível Considerando a transmissão por correia, ilustrada na Fig.1.9, temos que: v a = v b => ω 4 [O 4 b] = ω 2 [O 2 a] => ω 4 /ω 2 = [O 2 a]/[o 4 b] Como os triângulos [ko 2 a] e [ko 4 b] são semelhantes, [O 2 a]/[o 2 k] = [O 4 b]/[o 4 k]

9 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 8 Substituíndo, vem então: ω 4 /ω 2 = [O 2 k]/[o 4 k] Verifica-se, assim, que a relação de transmissão é independente da distância entre-eixos [O 2 O 4 ]. Figura Transmissão por ligação flexível 1.8 NOÇÃO DE GRAU DE LIBERDADE CONSTRANGIMENTOS Um corpo livre tem, por definição, possibilidade de movimentos de translação e de rotação livres, em relação aos três eixos coordenados do espaço carteziano. Cada uma destas possibilidades designase por grau de liberdade. Portanto, num espaço tri-dimensional, um corpo dispõe de seis graus de liberdades. O número de graus de liberdade pode ser reduzido, por introdução de constrangimentos. Assim, um corpo deslocando-se livremente num plano possui apenas três graus de liberdade: translacção segundo os dois eixos coordenados do plano e rotação em torno de um eixo normal ao plano. Aqui, nesta disciplina, vamos restringir-nos aos movimentos planos, uma vez que constituem a grande maioria dos casos típicos empregues em máquinas e mecanismos usuais. Considerando um grupo de quatro ligações movendo-se livremente no espaço - Fig.1.10 Figura Graus de liberdade e, de acordo com o referido atrás, o conjunto possui doze graus de liberdade. Para que estas quatro ligações constituam um sistema com apenas um grau de liberdade, é necessário remover onze graus de

10 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 9 liberdade, o que se consegue constrangendo as ligações - unindo-as entre si e fixando uma delas ao plano que constituirá o fixe, por exemplo. A união entre ligações consegue-se por intermédio dos pares cinemáticos. Se uma ligação é unida a um corpo fixo através de um par rotóide, como no caso da Fig.1.11a), poderá apenas rodar. Um par rotóide retira, assim, dois graus de liberdade. Na Fig.1.11b) está esquematizada a união entre duas ligações livres, através de um par rotóide. Os movimentos possíveis são os de translacção conjunta e, para cada uma das ligações, o de rotação relativamente à outra. Assm, os graus de liberdade foram restringidos de seis para quatro. Generalizando, temos que quatro ligações unidas por quatro pares rotóides possuem quatro graus de liberdade e, se unirmos uma delas ao fixe, são suprimidos mais três graus de liberdade. O resultado é um sistema articulado com um único grau de liberdade - o sistema representado na Fig.1.12 designa-se por quadrilátero articulado ou mecanismo de quatro barras. a) b) Figura União por par rotóide Figura Mecanismo de quatro barras Várias referências foram já feitas a pares rotóides (superiores ou inferiores). A Fig.1.13 contém outros tipos de uniões: a) b) c) Figura Outros exemplos de pares cinemáticos a) par deslizante inferior - retira dois graus de liberdade b) par deslizante superior - retira um grau de liberdade (permite translacção linear e rotação em torno da aresta de apoio) c) par rolante superior - retira dois graus de liberdade (excluindo a possibilidade de deslizamento, apenas permite rotação)

11 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 10 Pode igualmente concluir-se que um par esférico (rótula) retira ao sistema três graus de liberdade e que um par cilíndrico retira quatro graus de liberdade, este último permitindo somente uma rotação e uma translacção Determinação do Número de Graus de Liberdade Critério de Grübler O número de graus de liberdade de um mecanismo pode ser determinado, com algumas restrições, pelo denominado Critério de Grübler que se baseia no excesso de incógnitas (coordenadas dos pontos das ligações) relativamente ao número de equações de ligação passíveis de ser estabelecidas entre aquelas. Na Fig.1.14 está representado um mecanismo de quatro barras, antes e depois da introdução dos pares cinemáticos que promovem a união entre as ligações. Figura Aplicação do Critério de Grübler A posição de cada ligação pode ser determinada pelas coordenadas cartezianas dos seus pontos extremos (quatro por ligação). Considerando as ligações com um carácter rígido, podemos estabelecer, para cada uma, uma equação. Assim: (A o D o ) 2 = (x Do - x Ao ) 2 + (y Do - y Ao ) 2 (A 1 B 1 ) 2 = (x B1 - x A1 ) 2 + (y B1 - y A1 ) 2 (B 2 C 2 ) 2 = (x C2 - x B2 ) 2 + (y C2 - y B2 ) 2 (C 3 D 3 )2 = (x D3 - x C3 ) 2 + (y D3 - y C3 ) 2 Se fixarmos a ligação [A o D o ], retirando-lhe todos os graus de liberdade, teremos para cada uma das restantes ligações uma equação e quatro incógnitas. ou seja, um excesso de três incógnitas relativamente ao número de equações. Teremos assim (3 x 3) = 9 graus de liberdade para o sistema. Em conclusão, para um sistema com L ligações, sendo uma fixa, teremos um número de graus de liberdade X, dado por: X = 3 (L-1)

12 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 11 Quando, na Fig.1.14 b), as ligações são unidas através de quatro pares cinemáticos, podem estabelecer-se mais oito equações (duas por cada par): x Ao = x A1 x B1 = x B2 x C2 = x C3 x D3 = x Do y Ao = y A1 y B1 = y B2 y C2 = y C3 y D3 = y Do Então a expressão - critério de Grübler - que dá o número de graus de liberdade, X, para um sistema com L ligações, sendo uma fixa, unidas por P pares rotóides será: X = 3 (L - 1) - 2 P No caso de as uniões entre as ligações serem promovidas não só por pares cinemáticos primários, que retiram dois graus de liberdade (como os rotóides) mas também por pares secundários, que retiram apenas um grau de liberdade, a expressão toma um carácter mais geral. Assim, e designando os pares primários por P 1 e os pares secundários por P 2, vem: X = 3 (L -1) - 2 P 1 - P Restrições ao Critério de Grübler Existem algumas restrições na aplicação deste método. Assim: - quando (n) ligações se encontram unidas ao mesmo par, este deve ser contado (n-1) vezes; - o critério não é aplicável se uma das ligações tiver sómente dois pares deslizantes paralelos, uma vez que assim não é possível impedir a ligação de se mover independemente do resto do mecanismo - ver Fig.1.15 a); - o critério não é aplicável a certas estruturas transformáveis mediante alteração nas relações entre os seus componentes - ver Fig.1.15 b); - surgem dificuldades em certos sistemas com ligações independentes; assim, por exemplo, os sistemas das Fig.1.15 c) e d) têm o mesmo número de ligações mas (c) é uma estrutura e (d) um mecanismo; - o critério não é aplicável no caso do sistema ter apenas um par rotóide, sendo os restantes pares deslizantes - ver Fig.1.15 e); - o critério não é aplicável a um sistema com duas ligações interligadas, unidas aos restantes componentes por pares deslizantes, não contendo pares rotóides. - ver Fig.1.15 f). - quando aplicado a sistemas contendo (F) ligações independentes, a expressão do critério de Grübler toma a forma: X = 3 (L -1) - 2 P + F

13 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 12 a) b) c) d) e) f) Fig Restrições ao Critério de Grübler 1.9 MECANISMOS DE MOVIMENTO CONTÍNUO Quadrilátero Articulado É o mecanismo articulado mais simples, constituído por quatro barras: uma fixa, outra motora, uma intermédia e uma movida. Consoante as ligações motora e movida tenham movimento de rotação ou de oscilação, assim se designam por manivelas ou barras oscilantes Classificação. Regra de Grashof O quadrilátero articulado pode ser classificado tendo em consideração a relação entre a soma dos comprimentos das ligações maior e menor e a soma dos comprimentos das outras duas ligações. A regra de Grashof diz que, quando a soma dos comprimentos das barras maior e menor é inferior ou igual à soma dos comprimentos das outras duas barras, então a barra mais curta pode rodar de 360 o em relação às outras.

14 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 13 Os quadriláteros articulados que verificam esta condição - como o representado na Fig.1.16 a) - são chamados mecanismos de Grashof. Os que não verifica a regra dizem-se não-grashof - tal como os representados na Fig.1.16 b). a) b) Figura Quadriláteros articulados Fases de ponto-morto e ângulo de transmissão Na Fig.1.17 encontra-se representado um mecanismo não-grashof, designado por sistema duplamente oscilante, uma vez que ligações motora e movida apenas podem oscilar. As quatro fases limíte encontram-se representadas a traço interrompido. O ponto A move-se ao longo do arco [A', A""] enquanto B se move ao longo do arco [B', B""]. Como se pode constatar, quando A se encontra nas posições A' ou A"" as ligações 3 e 4 são colineares. Neste caso a rotação da ligação A não tende a fazer rodar a ligação 4, ficando o sistema numa fase de instabilidade uma vez que, a partir desta posição, a barra 4 poderá rodar num ou noutro sentido, indiferentemente. Estas fases são designadas como fases de ponto-morto. Figura Sistema duplamente oscilante As fases de ponto-morto correspondentes à ligação 4, isto é, considerando esta ligação como motora, verificam-se para o ponto A nas posições A'' e A'''. Supondo ser a ligação 2 a motora, a transmissão de uma determinada potência sujeitará a ligação 3 a uma carga de tracção ou de compressão. Supondo ainda os sentidos marcados na Fig.1.18 para os momentos [T 2 ] e [T 4 ], poder-se-ão esquematizar os diagramas de corpo livre das várias ligações.

15 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 14 Figura Diagrama de corpo livre Para que a ligação 4 esteja em equilíbrio (desprezando as forças de inércia) a soma dos momentos no ponto C deve ser nula, pelo que: F 3,4 = T 4 /h = T 4 /(CB sen γ) em que [F 3,4 ] é o módulo da força exercida pela ligação 3 sobre a ligação 4. Pela equação anterior pode constatar-se que, para um dado binário resistente [T 4 ], a força em A, B e ao longo da ligação 3 será mínima quando γ=90 o e aumentará à medida que [γ] decresce, tornando-se infinita para γ=0 o. O ângulo [γ], medido entre a linha de acção da força na ligação movida [F 3,4 ] e a linha definida pela ligação movida, é denominado ângulo de transmissão. Voltando à Fig.1.17, verifica-se que o ângulo de transmissão se anula quando o mecanismo se encontra numa fase de ponto-morto. Assim, excepto no caso de o mecanismo se destinar a fornecer uma força estremamente elevada (como, por exemplo, no caso do mecanismo denominado de alavanca articulada), as fases de ponto-morto são de evitar, de forma a minimizar os esforços nas barras e articulações e a assegurar sempre a transmissão do movimento. Na prática, não é aconselhável que o ângulo de transmissão seja inferior a 40 o nem superior a 140 o. O valor deste ângulo pode ser determinado através de relações geométricas simples. Assim, e para o mecanismo da Fig.1.19: α Figura Ângulo de transmissão sendo: bem como: z 2 = r r r 1 r 2 cos θ z 2 = r r r 3 r 4 cos α

16 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 15 vem que: cos α = (r r r r r 1 r 2 cos θ)/(-2 r 3 r 4 ) sendo o ângulo de transmissão: γ = 180º - α Mecanismo de Grashof Na Fig.1.20 encontram-se representados dois mecanismo em que a ligação fixa é adjacente à ligação de menor comprimento. O mecanismo (a) é idêntico ao (b), excepto no comprimento da ligação 1 [CD] - no caso (b) a soma dos comprimentos das ligações maior e menor iguala a soma dos comprimentos das outras duas ligações, enquanto no caso (a) isso não se verifica. Ambos os mecanismos se designam por sistemas manivela-barra oscilante, uma vez que a uma rotação completa da ligação motora corresponde uma oscilação da ligação movida. No entanto, enquanto o mecanismo (a) não tem fases de ponto-morto, considerando a ligação 2 como motora, o mecanismo (b) tem uma fase de ponto-morto, na posição A", B", quer a ligação motora seja a 2 ou a 4. a) b) Figura Exemplos de mecanismo de Grashof Um caso de aplicação usual, em que a soma dos comprimentos das ligações maior e menor iguala a soma das restantes, é o da ligação entre as rodas motoras de um veículo de tracção - Fig Figura Ligação de rodas motoras Neste mecanismo, quando A e B estão nas posições A' e B' nenhuma das rodas consegue mover a outra. Para ultrapassar este problema (ponto-morto) é usual promover a ligação do outro par de rodas

17 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 16 desfazado de 90 o (A'B' de um lado e A"B" do outro). A utilização de contra-pesos é também uma medida preventiva desta situação, muito embora traga problemas de desiquilíbrio dinâmico das rodas. Outro exemplo é o da máquina de desenhar, representado na Fig Figura Máquina de desenhar Na Fig.1.23 está representado ainda um outro mecanismo de Grashof, mas em que a ligação fixa é a mais curta. Este mecanismo é designado por dupla manivela e apresenta algumas características particulares. Assim: - não tem pontos-mortos; - ambas as ligações, 2 e 4, são rotativas; - qualquer das ligações, 2 ou 4, pode ser motora ou movida; - a uma entrada (motora) a velocidade constante corresponde uma saída (movida) a velocidade não constante. Figura Sistema de dupla manivela

18 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 17 Esta última característica - velocidade de saída não constante - pode ser demonstrada da seguinte maneira: - quando o ponto C se move ao longo de [C'CC"], equivalente a uma rotação de 180 o da ligação 4, a ligação 2 roda de um ângulo [α] > 180 o ; - quando C descreve o arco [C"C], descrevendo a ligação 4 os restantes 180 o até ao ponto inicial, a ligação 2 roda de um ângulo [β] < 180 o. Esta característica é, muitas vezes, empregue em equipamentos em que a parte útil do ciclo de operação se dá apenas numa direcção, utilizando-se o movimento inverso do ciclo para aquilo que, geralmente, se designa por retorno rápido Sistema Biela-Manivela Formalmente, a consideração de um comprimento infinito para a ligação movida de um mecanismo de quatro barras, faz com que o par que une a ligação intermédia à ligação movida tenha um movimento rectilíneo de vai-vem. Na prática, a ligação movida toma a designação de corrediça (ou pistão), sendo constrangida por guias (ou cilíndro) - de forma a mover-se segundo uma linha recta - e a ligação com movimento rotativo é designada por manivela. A ligação intermédia toma o nome de biela. Este mecanismo é amplamente utilizado como forma de transformação de movimento de rotação em movimento linear (como, por exemplo, no compressor alternativo) ou vice-versa (como por exemplo, no motor de combustão interna). Os dois pontos mortos, nas posições extremas do pistão, são ultrapassados com a instalação de um volante de inércia, no eixo da manivela. Figura Sistema biela-manivela A partir da Fig.1.24, pode ser deduzida a equação do deslocamento do pistão: x 4 = R 2 + L 3 - R 2 cos θ 2 - L 3 cos φ 3 ou ainda: pelo que: x 4 = R 2 (1-cos θ 2 ) + L 3 (1-cos φ 3 ) x 4 = R 2 (1-cos θ 2 ) + L 3 {1-[1-(R 2 /L 3 ) 2 sin 2 θ 2 ] ½ }

19 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 18 Sabendo que o desenvolvimento em série de uma raiz quadrada é da forma: B 2 B B B 8 (1 ± B 2 ) ½ = 1 ± - ± - ± tomando B = R/L sin θ, e sendo uma solução suficientemente aproximada a consideração apenas dos dois primeiros termos da série, vem que: pelo que, finalmente: [1-(R 2 /L 3 ) 2 sin 2 θ 2 ] ½ = 1 - ½ (R 2 /L 3 ) 2 sin 2 θ Par Senoidal ou Mecanismo de Stotch-Yoke x 4 = R 2 (1 - cos θ 2 ) + R 2 2/(2 L 3 ) sin 2 θ 2 Partindo do mecanismo da Fig.1.24 e expandindo o par cinemático C, de modo a englobar o par B, obtemos o sistema representado na Fig Isto corresponde a um mecanismo biela-manivela em que a biela tenha um comprimento infinito. Este mecanismo pode ser utilizado em motores, bombas, sistemas vibracionais, etc., em que a compacidade, isto é, o reduzido atravancamento e consequente economia de espaço, é importante. O facto da potência (velocidade e binário) ser transmitida por escorregamento entre as ligações 3 e 4, limita, no entanto, a sua aplicação a pequenos equipamentos com cargas relativamente modestas. O factor mais notório deste mecanismo é a capacidade de transformação de um movimento de rotação a velocidade constante num movimento de vai-vém harmónico simples. Figura Mecanismo de Scotch-Yoke Da análise à geometria em causa, pode deduzir-se a equação do deslocamento da corrediça 4: x 4 = R 2 (1 - cos θ 2 ) que, como se pode constatar, é equivalente à equação atrás apresentada para o sistema biela-manivela, considerando L 3 =.

20 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos Mecanismos de Retorno Rápido Estes sistemas são vulgarmente utilizados em máquinas-ferramentas e outros dispositivos, em que se pretende realizar um movimento de trabalho (mais lento) numa direcção e um retorno ao ponto de partida (mais rápido) à custa de um movimento motor de velocidade angular constante. A sua característica fundamental é a designada razão de tempo, que traduz a relação entre o tempo de avanço e o tempo de recuo. Obviamente, haverá todo o interesse em que esta razão seja maior que a unidade. Considerando a velocidade angular como constante, a razão de tempo pode ser expressa pelo quociente entre o ângulo de avanço, ou de trabalho, (α), e o ângulo de recuo, ou de retorno, (β). Apresentam-se a seguir alguns exemplos de mecanismos deste tipo, entre os mais comuns Mecanismo de Avanço Este mecanismo - Fig deriva do sistema de dupla manivela, sendo a ligação 2 motora, rodando com velocidade constante. Figura Mecanismo de avanço Este sistema é o único, dentre os de retorno rápido, em que não há pares cinemáticos deslizantes (de escorregamento) entre as ligações básicas. De notar também que a velocidade da corrediça 6 é aproximadamente constante, na maior parte da extensão do percurso de avanço Mecanismo de Whitworth Este mecanismo - Fig deriva da inversão de um sistema de biela-manivela, por fixação da manivela, sendo frequentemente utilizado em máquinas-ferramentas e noutras máquinas, especialmente nas aplicadas à indústria textil.

21 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 20 Figura Mecanismo de Whitworth Mecanismo do Limador É uma variação do mecanismo anterior, em que a rotação da manivela 2 é convertida em movimento rectilíneo da corrediça 6 - Fig Figura Mecanismo do limador

22 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos Manivela Deslocada Igualmente baseado no sistema biela-manivela, este sistema obtem-se por deslocação do eixo da manivela para fora da linha de deslizamento da corrediça - Fig As razões de tempo (α/β) que se conseguem, por este meio, são relativamente pequenas. A sua aplicação impõe-se, sobretudo, pela simplicidade e reduzido atravancamento. Figura Manivela deslocada Alavanca Articulada Este mecanismo aplica-se quando é necessário superar uma grande resistência à custa de uma diminuta força motriz. Utiliza-se, por exemplo, em prensas, máquinas de rebitar, britadoras, embraiagens, dispositivos de fixação de peças a maquinar, etc. Fig Alavanca articulada À medida que o mecanismo biela-manivela (ligações 4, 5 e 6) se aproxima do ponto-morto, há uma rápida subida da relação entre a força útil [Q] e a força de accionamento [P].

23 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 22 Se as ligações 4 e 5 tiverem o mesmo comprimento, verifica-se que: Q/P = cos α/(2 sen α) = 1/(2 tan α) sendo que, enquanto as ligações 4 e 5 tendem para a colinearidade, o ângulo (α) tende a diminuir pelo que [Q] tende para infinito MECANISMOS DE MOVIMENTO INTERMITENTE É comum, em mecânica, a necessidade de converter movimento contínuo (de rotação) em movimento intermitente. Exemplos disso são os mecanismos de comando de operações e de alimentação de peças, em máquinas-ferramentas, e a relojoaria Mecanismos Geradores de Rectas Trata-se de mecanismos em que se pretende que uma ligação tenha movimento alternativo, segundo uma trajectória rectilínea, evitando os problemas de atrito apresentados por sistemas de corrediça guiada, como o de biela-manivela, por exemplo. Alguns destes mecanismos não são capazes de proporcionar um movimento exactamente recto, pelo menos em pontos da trajectória mais afastados do ponto médio, apresentando assim limitações de curso útil Mecanismo de Scott-Russel Esquematizado na Fig.1.31, tem como elemento motor a manivela [AB], que oscila num ângulo (θ) para cada lado do ponto médio. As barras [AB], [BC] e [BE] têm o mesmo comprimento. Figura Mecanismo de Scott-Russel Caso o deslocamento do ponto C fosse rigorosamente ao longo do eixo xx, então E deslocar-se-ia segundo o eixo yy. Como C oscila em torno de D, a trajectória de E não será rectilínea, apenas coincidindo com o eixo yy nos pontos E, A e E 1 e desviando-se do eixo yy nos pontos intermédios.

24 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 23 Pode verificar-se que este desvio será tanto menor quanto maior for o comprimento de [CD] e menor o ângulo (θ) descrito pela manivela [AB]. Variantes deste sistema são, por exemplo, aquela em que [BE] é maior que [AB] - não passando então a trajectória de E pelo ponto A - e aquela em que, fazendo [BC] meio proporcional a [AB] e [BE] - isto é, em que (AB/BC) = (BC/BE) - se consegue uma substancial aproximação à rectilinearidade Mecanismo de Watt O mecanismo da Fig.1.32 foi criado por James Watt, para permitir uma maquinagem suficientemente rectilínea das guias dos pistões das primeiras de máquinas a vapor produzidas industrialmente. Fig Mecanismo de Watt O comprimento dos segmentos [BP] e [CP], da ligação 3, é inversamente proporcional aos comprimentos das ligações adjacentes. Assim: BP/CP = CD/AB pelo que o ponto P descreve uma trajectória em 8 (a traço interrompido, na figura), sendo uma parte apreciável da estensão percorrida aproximadamente recta. A maximização deste efeito consegue-se posicionando A e D de modo a que, ao paralelismo das ligações 2 e 4, corresponda a perpendicularidade relativa da ligação Mecanismo de Robert Básicamente, trata-se de um quadrilátero articulado em que as ligações [AB] e [DC] têm igual dimensão e a ligação [BC] tem metade do comprimento das outras duas - Fig.1.33.

25 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 24 Fig Mecanismo de Robert O mecanismo fica completo com uma extensão da ligação [BC] na sua perpendicular e com um comprimento tal que o ponto P fique sobre o ponto médio de [AD], quando [BC] se encontrar paralelo a [AD]. O movimento de rotação das manivelas [AB] e [CD] é limitado, para um e outro lado, à sua co-lineariedade com [AD]. O ponto P passa pelo ponto médio de [AD] - posição da figura - e, próximo dos extremos do percurso, passa por A e por D, segundo uma trajectória aproximadamente recta. O comprimento de [AB] e de [CD] deve ser, pelo menos, igual a 60% de [AD] e quanto maior for esta relação mais rectilínea, e próxima de [AD], será a trajectória de P Mecanismo de Chebyshev Outra variação do quadrilátero articulado - Fig tem as seguintes proporções: AD = 4 BC = 2 AB = CD = 5 Figura Mecanismo de Chebyshev Do seu funcionamento, temos que: - na posição em que B está em B 1, na perpendicular a [AD] que passa por D, os pontos C e P estarão em C 1 e P 1, respectivamente, e sobre a mesma linha perpendicular; - na posição em que B está em B 2, similarmente, os pontos C e P estarão em C 2 e P 2, sobre a perpendicular a [AD] que passa por A.

26 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 25 Assim, o ponto P encontra-se-á, em três posições distintas, sobre a recta [P 1 P 2 ] paralela a [AD], seguindo uma trajectória aproximadamente recta Mecanismo de Peaucellier Neste mecanismo - Fig o ponto P traça rectas exactas, tendo aplicação prática em sistemas de controlo, registadores, aparelhos de leitura e seguimento, etc. Geometricamente, devem ser obedecidas as seguintes proporções: - o comprimento da ligação 2 deve ser igual à distância [AB]; - as ligações 3 e 4 devem ter igual comprimento; - as ligações 5, 6, 7 e 8 devem ter igual comprimento. Fig Mecanismo de Peaucellier Pantógrafo Trata-se de um quadrilátero articulado, tal como esquematizado na Fig Fig Pantógrafo

27 Opção V MOVIMENTO E MECANISMOS - Análise Descritiva de Mecanismos 26 A demonstração do seu funcionamento pode ser feita, supondo, por exemplo, o movimento do ponto F para F 1. Assim: - a nova posição do quadrilátero será A 1, B 1, C 1, D 1 ; - sendo o ponto H definido pelo cruzamento da linha imaginária [FE] com a ligação [BC] então H 1 será definido pelo cruzamento de [F 1 E] com [B 1 C 1 ]. Tratando-se de um quadrilátero, então a ligação [FD] é, por definição, paralela a [HC]. Logo os triângulos [FED] e [HEC] dão semelhantes, pelo que: FD/HC = DE/CE = FE/HE e, de igual modo: F 1 D 1 /H 1 C 1 = D 1 E/C 1 E = F 1 E/H 1 E mas como: DE/CE = D 1 E/C 1 E então pode concluir-se que: donde, como: FD/HC = F 1 D 1 /H 1 C 1 FD = F 1 D 1 HC = H 1 C 1 se prova que o ponto H é um ponto 'fixo' que pertence à ligação [BC]. Por sua vez, da semelhança dos triângulos [FED] e [HEC] também resulta que: FE/HE = F 1 E/H 1 E ou seja, que os triângulos [FEF 1 ] e [HEH 1 ] também são semelhantes e, portanto, que [FF 1 ] é paralelo a [HH 1 ]. Finalmente, para provar que os deslocamentos são proporcionais às suas distâncias ao ponto fixo E, basta considerar que, por semelhança dos triângulos [FEF 1 ] e [HEH 1 ], se verifica que: FF 1 /HH 1 = FE/HE Assim, a rotação do mecanismo em torno de E provoca o deslocamento de todos os seus pontos (como acima demonstrado para F e H), levando-os a descrever trajectórias quaisquer - rectilíneas ou curvilíneas - sempre paralelas e semelhantes entre si, sendo os seus comprimentos proporcionais à relação de distâncias desses pontos ao ponto E. Este mecanismo, nomeadamente utilizando os pontos F e H como motor e movido, ou vice-versa, é frequentemente utilizado na redução ou ampliação de desenhos, à escala e sem distorções, e no comando de máquinas-ferramentas com leitura óptica (corte de chapa, por exemplo). Neste último caso é frequentemente empregue um pantógrafo com um factor de escala de ampliação de 1:10, entre desenho e peça executada ooo-----