Tema V. CURVAS COMPOSTAS

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1 Tema V. URVA MPTA URVA MPTA Quando se produzem duas curvas circular sucessivas e ambas estão do mesmo lado de sua tangente comum, estas curvas constituem uma curva composta. s raios destas curvas são diferentes. Utilizam-se quando se deseja adaptar o traçado à topografia do terreno, sobretudo na zona montanhosa, em que pode ser necessária a utilização de duas, três, ou mais curvas circulares simples de raios diferentes. É por este motivo que em dependência do número de curvas de raios diferentes empregados, o sistema de curvas composta recebe o nome de curvas compostas de dois centros, de três centros, etc. urvas compostas de dois centros Na figura observa-se que o P da segunda curva coincide com o PT da primeira, e a este ponto se lhe denomina P. Figura No. urva composta Para a curva de maior raio:

2 R : Raio em metros T : Tangente em metros : ângulo de inflexão em graus sexagésimos. Para a curva de menor raio: R : Rádio em metros T : Tangente em metros : ângulo de inflexão em graus sexagésimos. Além : = + = Ângulo de inflexão no PI Em uma curva composta há sete elementos que a definem:, R, T,, R, T, onhecidos quatro destes setes elementos, incluindo entre eles um ângulo, é possível determinar os outros três restantes. T b = R R cos ( R R ) cos = Y en en T a = R R cos + ( R R ) cos = Y en en en = T +T cos R en a b = X R en R R R R en = R en T a cos T b R R R =R + T b en R ( cos ) cos R =R R ( cos ) T a en cos Na figura representou-se uma curva composta mas de forma inversa à da figura.

3 Figura No. urva composta. As curvas compostas de dois centros tratam-se para seu cálculo e replanto, como duas curvas circulares simples por separado. As especificações recomendam que a curva de maior raio não seja superior em vez e meia ao raio da curva mais fechada. R.5R URVA DE TRÊ ENTR Utilizam-se nas vias de giro e nas revoltas de raio mínimo das intersecções, com o objectivo de adaptar-se melhor à trajectória das impressões deixadas pelos veículos de desenho, com o qual se economiza na construção do pavimento. empre que as condições do lugar de construção da intersecção permitam-no, o projectista deverá utilizar uma curva de três centros em lugar de uma curva circular simples.

4 Figura No 4. urva de três centros Pode-se observar que a curva de três centros é uma variante da curva composta (com três centro), com a particularidade de que os raios das curvas extremas R são iguais e maiores que o raio R da curva central. omo os raios da curva de três centros utilizados nas vias de giro das intersecções são de curto comprimento, para sua implantação se recomenda o método das coordenadas. É possível e muito recomendável a utilização de curvas de transição em lugar das curvas de três centros nas vias de giro. Para a curva de R : = + T = R tag / D = R

5 Para a curva de raio R : T = R tag / D = R nde T e T : Tangentes particulares das curvas de rádio R e R em metros. D e D : Desenvolvimentos particulares das curvas de raio R e R em metros. e : Ângulos centrais que subentendem às curvas de raio R e R em graus sexagésimos Ademais: T e =[ R en ( R R )en ] ec nde: Te: Tangente exterior da curva de três centros em metros cos = R R : Retranqueo da curva de três centros, o qual estão em função da velocidade de desenho adoptada na via de giro da intersecção. URVA REVERA Quando duas curvas se sucedem em sentido contrário e têm o ponto de união ou tangencia comum, recebem o nome de curvas reversas. Este ponto recebe o nome de ponto de curvatura reversa (PR), e nos casos de raios de curvaturas pequenos podem-se produzir problemas que fazem difícil o movimento dos veículos devido a uma manobra errática dos condutores, além de que se criam problema para o desenvolvimento da sobre elevação e o correcto escorrimento das águas superficiais que caem sobre a calçada. Para seu cálculo e implantação seguem-se os mesmos princípios estudados nas curvas circulares simples.

6 Figura No 3. urvas reversas. URVA DE TRANIÇÃ. Elementos e funções fundamentais da curva de transição.. álculo da longitude da curva de transição Introdução. Denominam-se curvas de transição àquelas curvas que se colocam nos extremos das curvas circulares simples, de forma tal que a mudança de curvatura entre o troço recto e o arco circular seja suave e gradual e que a sobre elevação em todos seus pontos este conforme com o grau de curvatura. A necessidade da curva de transição compreende-se quando analisamos o movimento de um veículo entre um lance recto e um circular. Quando um veículo que circula por um lance recto de estrada chega a um circular, deve colocar suas rodas dianteiras com um novo ângulo, que depende do raio da curva circular pela qual vai transitar. ompreendese que este movimento não pode ser realizado instantaneamente, senão que se precisa dum intervalo de tempo para poder o realizar; criando assim a necessidade duma curva de transição cuja longitude tanto faz à velocidade do veículo pelo tempo. Entre as curvas de transição mais usualmente empregadas podem citar-se:

7 lotoide; Na qual se cumpre que o raio de curvatura é inversamente proporcional a sua longitude. Lemniscata de Bernoulli; Na qual se cumpre que o grau de curvatura é directamente proporcional ao raio vector. Espiral cúbica; É uma curva dada pelas mesmas expressões da clotoide, mas desprezando na equação de "ela" alguns termos. De todas elas, a mais difundida é a clotoide, já que sua forma se adapta à trajectória seguida por um veículo que viaja a velocidade constante e cujo volante é accionado de forma uniforme. As vantagens da clotoide sobre a curva circular simples podem resumir-se no seguinte: Produzem uma fácil e natural trajectória para os veículos, de forma tal que a força centrífuga aumenta e diminui gradualmente quando um veículo entra ou sai de dita curva. Este facto tende a garantir uma velocidade uniforme; bem como aumentar as condições de segurança. Produzem a longitude desejável para o desenvolvimento da sobre elevação, e toda ela pode ser distribuída em dita curva. nde a secção transversal do pavimento da via na parte circular, tem que ser alargado, as clotoides facilitam a longitude desejável para a transição em largura. A estética duma estrada é altamente favorecida com sua utilização. Figura. urva de transição

8 T: Ponto de mudança de tangente a clotoide. : Ponto de mudança de clotoide a circular. : Ponto de mudança de circular a clotoide. T: Ponto de mudança de clotoide a tangente. l: Arco de clotoide desde o T ou T a um ponto qualquer de dita curva. ls: Longitude total da clotoide desde o T ao ou desde o ao T. φ: Angulo central do arco de clotoide l. φ s : Angulo central do arco de clotoide ls; chamado ângulo da clotoide. g: Grau de curvatura da clotoide em um ponto (variable) Gc: Grau de curvatura do círculo deslocado, ao que resulta tangente a clotoide; no e. : Ângulo de inflexão no PI; igual ao ângulo central que subtende a toda a curva de transição. c: Ângulo central que subtende o arco circular intermédio de desenvolvimento Dc, entre o e o. e: rdenada à tangente de qualquer ponto da clotoide com referência ao T ou T e a tangente inicial. Y s : rdenada à tangente no ou. X: Distância sobre a tangente de qualquer ponto da clotoide com referência ao T ou T e a tangente inicial. X s : Distância sobre a tangente do ou. : Retruque. Menor distância que separa ao arco circular prolongado e a tangente inicial. t: Abcissa do retruque. Ts: Tangente da clotoide. Distância entre o PI e o T ou entre o PI e o T. A seguir expõem-se as expressões que permitam calcular as coordenadas (x;y) de um ponto qualquer sobre a clotoide, com o objectivo de obter a fórmula que rege às inflexões neste tipo de curva e poder chegar a implantaras no terreno.

9 Figura. lotoide entre o T e o. Φ: Ângulo central que subtende a um arco de espiral l. l R l Quando φ = φ s ; l = ls, a expressão anterior transforma-se em: s l R Y: rdenada para um ponto qualquer sobre a curva clotoide em função do ângulo Ø. Esta expressão pode-se expressar em função de l: Y 3 7 R l !.5! Expressão simplificada Y l X: Abcissas de qualquer ponto sobre a clotoide com referência ao T ou T de dita curva. X 5 9 R l... 5.! 9.4! Expressão simplificada

10 onhecidas estas expressões, é possível determinar a equação que rege as inflexões numa clotoide. 0 l l FUNÇÕE FUNDAMENTAI. Na figura representam-se os dois arcos de clotoide compreendidos entre o T e o ; e entre o T e o, os quais estão unidos por um arco circular intermédio que o subtende um ângulo central de: c = - Para colocar as clotoides transladou-se radialmente o arco circular para adentro à posição AA'; na qual: qual vem dado pela expressão: BA = B'A'= (retruque) = Y - R c ( - cos ) expressão simplificada ls 4 R c Figura. Funções fundamentais Da própria figura pode-se determinar a abcissa do retruque:

11 t = Xs - Rc sen φs expressão simplificada l t s Estes dois valores são de grande utilidade, já que mediante eles é possível conhecer outras funções fundamentais da clotoide; como são: a tangente (Ts) e sua externa (É). Para sua determinação utilizamos a figura 3. Figura 3. utras funções A tangente é a distância que separa ao PI do T e do T; sua determinação é fundamental para conhecer as estações dos pontos notáveis da curva de transição. Y' = T c +.tan / e segundo a definição de tangente: Ts = t + y' Pelo que: T s = T c +.tan / + t Que é a expressão utilizada para determinar a tangente numa curva de transição. A função externa (E) é a distância entre o PI e o ponto médio da curva de transição. Da figura 3 obtém-se Es =Ec +.sec /

12 Além, da própria figura 3 é possível determinar o desenvolvimento do arco circular intermédio entre o e o. 0( ) Dc G Nas expressões anteriores Ts; o; t; Tc; É e Dc, expressam-se em metros e ; em graus sexagésimos. e Gc, Na figura 4 pode-se determinar outras funções menos importantes das curvas clotoide ou de transição. Figura 4. Funções menos importante da curva clotoide. orda Longa (L): Distância entre o T e o ou entre o T e o. X L os 3 Tangente urta (T): Distância entre o ponto de inflexão da clotoide (v) e o ou de dita curva. Y T en Tangente Longa (TL): a distância entre o ponto de inflexão da clotoide (v) e o T ou T de dita curva: TL =X T cosφ

13 RITÉRI PARA A DETERMINAÇÃ DA LNGITUDE DA URVA LTIDE. Existem diferentes factores que fixam a longitude da clotoide; cada um deles dá lugar aos seguintes critérios: Longitude mínima de clotoide para o desenvolvimento da sobre elevação. Longitude mínima de clotoide por conforto dinâmico e de segurança para o utente. Longitude mínima de clotoide por conforto óptico. As longitudes das curvas clotoides em nenhum caso devem ser menores que o 60 % da velocidade de desenho da via. Longitude mínima para o desenvolvimento da sobre elevação. Este critério proporciona valores mínimos de curva clotoide para que se possa desenvolver satisfatoriamente a sobre elevação. Para isso, se estabelecem valores máximos de pendente longitudinal dos bordes da via com relação a seu eixo, os quais dependem da velocidade de desenho adoptada; com o objectivo de conseguir um bom drenagem do pavimento na zona próxima no ponto de 0 % de sobre elevação. Pode-se chegar a determinar por uma simples proporção que: nde: a: largura da via; em metros. l p a. e max max min. e max : peralte máximo correspondente à curva; em m/m. ls (min) : longitude mínima de clotoide por transição de peralte; em metros. P máx : denominador da pendente longitudinal máxima obtido em função da velocidade na tabela. Tabela. Pendente longitudinal máxima Velocidad de diseño VD (km/h) Pendente longitudinal máxima 30 /00 40 /5 50 /50 60 /75 80 /00 00 /5

14 Longitude mínima por conforto dinâmico e de segurança para o utente. Este critério fixa valores adequados para a mudança da aceleração transversal ou centrífuga, com o objectivo de conseguir uma cómoda transição entre o troço recto e o troço circular. Pode-se determinar pela seguinte expressão: V V l min 7emáx 46.65Kt R As especificações recomendam para o coeficiente Kt os seguintes valores: Desejável Para VD < 80 km/h --- Kt = 0,50 m/s 3 VD 80 km/h --- Kt = 0,40 m/s 3 Máximo Para VD = 00 km/h --- Kt = 0,50 m/s 3 VD = 80 km/h --- Kt = 0,60 m/s 3 VD <80 km/h --- Kt = 0,70 m/s 3 Longitude mínima por conforto óptico. Este critério recomenda que por razões de ordem estético, o ângulo Øs que subtende a clotoide deva ter um valor mínimo de 3,5 graus. A longitude mínima da clotoide segundo o critério de confort óptico, deve ser igual ou maior que a novena parte do raio do arco circular intermédio. l min R 9 A forma de proceder num caso particular, será determinar a longitude mínima de curva de transição pelo cada um dos três métodos tratados e escolher a maior deles; que a sua vez cumpre com os dois restantes. Exemplo de cálculo de longitude de curva de transição.

15 alcular a longitude mínima de curva de transição de acordo aos três métodos desenvolvidos, se conhecem-se os seguintes dados: VD = 80 km/h. Rc = 57,96 m. e max = 0 % = 0,0 m/m. e = 6% = 0,06 m/m pendente longitudinal dos borde = /00 a = 7.00 m. Longitude mínima recomendável. Por transição de peralte, na expressão: ls (min) = 0,6 VD = 0,6. 80 ls (min) = 48,00 m ls (min) = p. a/. e ls (min) = 00. 7/. 0,06 = 4 m. Longitude esta menor que a mínima recomendável em função da velocidade de desenho. Por conforto dinâmico e segurança para o utente, na expressão: V V l min 7emáx 46.65Kt R Por conforto óptico na expressão: l min 7.0, 06 46, ,96 =5m R 57,96 l min m bserva-se que o critério dominante é o de conforto óptico, já que é maior que os dois restantes. Portanto, a longitude da clotoide a utilizar é de 48 metros (critério baseado na velocidade de desenho), ou preferivelmente 64 metros que resultou ser o critério dominante. No ANEX I encontram-se tabuladas as longitudes de clotoide em função da velocidade de desenho e do raio e grau de curvatura da curva de transição. Deve-se destacar que se colocaram duas colunas para estas longitudes: longitude mínima e longitude óptica.

16 A longitude mínima obedece ao critério dominante entre transição de peralte e conforto dinâmico e de segurança para o utente; e a longitude óptica ao critério de conforto óptico. onstruiu-se desta forma motivado porque o critério de conforto óptico quase sempre resulta dominante sobre os outros dois, e em muitas ocasiões não é possível o desenvolvimento desta longitude devido a restrições no traçado; ou seja, dá-se a possibilidade de utilizar segundo o caso, ou a longitude dominante resultante dos dois primeiros critérios desenvolvidos; ou a longitude óptica. Deve-se assinalar que as longitudes de curva de transição que aparece no ANEX I são longitudes mínimas; pelo que se não existem restrições para seu desenvolvimento no terreno, é possível utilizar longitudes maiores que as que aparecem em dito anexo. URVA DE TRANIÇÃ MPLETAMENTE TRANIINALE. Denominam-se assim àquelas curvas de transição nas que não existe arco circular intermédio; isto é, c = 0. Na figura 5 encontra-se representado este problema. ponto comum entre as duas clotoides denomina-se clotoide-clotoide (); e para que esta condição suceda deve se cumprir que: φs = / 360º en Y E Ângulo para replantar a união da externa com o ss bisando o T. Δ=φ+ φ a URVA DE TRANIÇÃ AIMÉTRIA. As curvas de transição assimétricas produzem-se quando devido a limitações no traçado não é possível a colocação de clotoides iguais à entrada e à saída de dita curva. No cada uma delas se mantêm as mesmas funções deduzidas para a curva de transição mas com algumas variações. Destaca-se que as expressões a utilizar dependerão das magnitudes dos retruqueis nas clotoides de entrada e de saída

17 Figura 5. urvas de transição completamente transicional Na figura 6 pode-se demonstrar que: i > : en t T T tan en t T T tan i > : en t T T tan en t T T tan nde: T e T: Tangente da clotoide primeiramente e saída ( m).

18 Figura 6. urva de transição assimétrica A função externa responde à seguinte equação: s sa os R T Ren t E ângulo para replantar a união da externa com o arco circular bisando ao T será: a E Z Y en 360º nde: Z na figura 6, será igual a: 4 4 en en R Z Por último, o desenvolvimento do arco circular entre o e será: G D 0 álculo E Implantação Da urva De Transição Trabalhos De ampo

19 Definem-se os trabalhos de campo como o conjunto de operações que deve realizar a comissão de topografia, para poder chegar a replantar as estações notáveis (T; ; PM; e T) e todas as estações pares da curva de transição. Fundamentalmente existem dois métodos para o replanto: Por ângulos de inflexão. Por coordenadas. Replante por ângulos de inflexão. É o método mais generalizado para o replanto da clotoide e utiliza a expressão: 0 l l nde: ls e l: expressam-se em metros. φs: expressam-se em graus sexagésimos. α: expressa-se em minutos sexagésimos. Não obstante, podem-se usar outras duas formas de calcular as inflexões para o replante similares à anterior, é onde o ângulo de inflexão α' esteja expressado em função do parâmetro K e A. Kl 40 57,96l A Define-se o parâmetro K como a razão de mudança do grau de curvatura da clotoide por estações pares do traçado (0m); ou seja, como a clotoide é uma curva de curvatura uniformemente variável (g = 0º00' no T ou T e g = Gc no ou ), o parâmetro K indica como é esta variação a cada 0m. parâmetro K é uma constante para uma mesma clotoide. parâmetro A define-se como: A R. l nde: R: Rádio da clotoide em um ponto qualquer; em metros.

20 l: Longitude pela clotoide entre o T ou T e o ponto P; em metros. No caso particular de que o ponto P da clotoide coincida com o ou : A R. l nde: Rc: Rádio do arco circular; em metros. ls: Longitude da clotoide; em metros. parâmetro A é também uma constante para uma mesma clotoide; pelo tanto, existe uma expressão que os relaciona. 98,40 K A IMPLANTAÇA PR RDENADA. Demonstrou-se que o ângulo central que subtende a toda a clotoide (Øs), para pontos P sobre a mesma varia entre = 0º00' até l l e avalia-se na expressão, para os diferentes pontos da clotoide, os ângulos centrais resultantes serão os correspondentes às estações pares do traçado. e estes valores de φ substituem-se nas expressões de x e y, obtêm-se as coordenadas (x; y) correspondentes às estações pares do traçado e ter-se-á resolvido o problema do replante por coordenadas desde a tangente inicial. Resolver este problema mediante o cálculo manual resulta muito engrosso (chato); pelo que se criou uma tabela ANEX II, para valores unitários de x e y, que ao multiplicar pelos ângulos φ e por suas distâncias ao T ou T de todas as estações pares do traçado nos proporcionam os valores da (x) e da (y) dessas estações. = Exemplo de registo de replante por coordenadas. alcular o registo de replante por coordenadas da curva clotoide cujos dados são: ET T = 8 +,4 φ =0º00 L s =0m Assim, para calcular o x e a y correspondente à estação ET 84+ 0,00, se procede da seguinte forma:

21 Acham-se no ANEX II os valores unitários da (x) e da (y) para: φ= 0º00' e sua diferença para um minuto ('). Para a x: Para φ = 0º00'..., Diferencia para '... 0, Para a y: Para φ = 0º00'... 0, Diferencia para '... 0, Multiplica-se a diferença para um minuto pela quantidade de minutos que tem o ângulo φ na estação ET ,00: 0, ,68'=0, (para a x) 0, ,68'=0, (para a y) e soma o resultado anterior com o valor correspondente a 0º00'., , =, ( para a x) 0, , =0, (para a y) Multiplica-se o resultado anterior pela distância entre o T e a estação ET 84+0,00: e aproxima-se até o centímetro X =, ,86 =8,860000m Y =0, ,86 =0, m X =8,86m Y = 0,0m Estes valores aparecem nas duas últimas colunas da tabela 4 para a estação ET 84 +0,00. processo repete-se na cada estação par do traçado. Tabla No 4. Registo de replante por coordenadas

22 ETAÇÃ T= 8+,4 DITANIA (m) (l/ls)² φ X (m) Y (m) 0,00 0,0000 0º00' 0,00 0,00 8+0,00 8,86 0,0055 0º03,30 ' 84+0,00 8,86 0,0578 0º34,68 ' 86+0,00 48,86 0,0678 º39,48 ' 88+0,00 68,86 0,393 3º7,58 ' 90+0,00 88,86 0,5493 5º9,6 ' 9+0,00 08,86 0,830 8º3,80 ' =93+, 4 8,86 0,00 8,86 0,0 48,86 0,47 68,84,3 88,8,83 08,66 6,0 0,00,0000 0º00' 0,63 6,97