Estrada de Rodagem Curvas Concordância Horizontal Circular

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1 Estrada de Rodagem Curvas Concordância Horizontal Circular Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa (7) Histórico No início do transporte rodoviário, as rodovias proporcionavam maior liberdade no deslocamento dos veículos Tinham pouco tráfego Os veículos trafegavam em baixa velocidade Eram sem pavimentação e os veículos podiam invadir a contramão Por isso problemas de traçado (geometria) não eram tão preocupantes 1

2 Histórico Na década de 30 houve grande incremento na construção de rodovias Começam as rodovias pavimentadas A velocidade dos veículos também aumenta Neste momento, passa a ser preocupante a atuação da força centrífuga. Necessidade de superelevação e superlargura. Sobretudo o estudo da superelevação. 3 Geometria A força atua bem no início da curva circular Ou seja, no PC (ponto onde termina a tangente e inicia a curva circular) Assim, é interessante que o plano de rolamento já esteja modificado neste ponto É impossível modificar o traçado em um ponto Iria gerar um degrau na pista 4

3 Geometria Modificar o plano de rolamento antes do PC Teria uma tangente com uma inclinação para um dos lados sem ter a força centrífuga atuando Poderia gerar um tombamento do veículo e desconforto para os passageiros 5 Geometria Iniciar a modificação após o PC No PC já existe a força centrífuga, porém ainda não existe plenamente a superelevação Assim, esta situação também ocasiona desconforto aos passageiros e risco de derrapagem ao veículo por falta da compensação da superelevação total 6 3

4 Geometria Introduzir uma nova curva entre a tangente e o início da curva simples. Essa é a melhor opção encontrada Ao fim da tangente, no início da curva de transição, (TE) inicia-se a superelevação e gradualmente chega-se ao máximo no ponto EC (espiral - arco circular) que é o início da curva circular que demanda toda superelevação O mesmo ocorre quando do término da curva circular CE (curva circular - espiral) que vai perdendo a superelevação até chegar a tangente (ET) sem superelevação 7 Geometria Esta curva de transição deve em cada ponto ao longo do arco proporcionar uma aceleração centrífuga em harmonia com a superelevação da via. Tem-se uma distribuição da superelevação proporcional ao desenvolvimento da curva de transição desde o seu início. 8 4

5 Geometria As melhores curvas são as denominados radiodes que provêm da relação: dρ ρ = dl l 9 Geometria Clotoide ou espiral de Cornu ou de Van Leben ou curva de Euler: 1 l = f ( ) ρ Leminiscata de Bernouilli Curva elástica A mais usada pelos órgãos brasileiros, DNIT, é a clotoide. 10 5

6 Concordância com curva circular 11 Concordância com curva circular D Sentido de estaqueamento 1 6

7 Concordância com curva circular O prolongamento das duas tangentes contíguas a uma curva de concordância se encontram em ponto denominado ponto de intercessão PI A distância entre o PI e o PC e a distância entre o PI e o PT são denominadas tangente externa T. No PI, o prolongamento de uma tangente externa forma um ângulo de deflexão denominado. 13 Concordância com curva circular Os sucessivos PI de uma diretriz formam uma poligonal. Nesta poligonal cada lado mede a soma tangente da diretriz com as tangentes externas de cada curva adjacente. Os raios externos do arco de círculo, normais às tangentes, onde tocam o PC e o PT, formam o ângulo central AC O ângulo central é o mesmo do ângulo de deflexão. 14 7

8 Concordância com curva circular O arco de círculo da curva de concordância é definido por: Raio - R Ângulo central - AC Extensão ou Desenvolvimento entre o PC e PT - D O segmento PIM entre o arco de círculo é o afastamento E. 15 Concordância com curva circular Pode-se deduzir: Tangente externa: T = R tan ( AC ) Afastamento: AC E = R ( sec ( ) 1 ) Desenvolvimento: Π D = AC R

9 Exemplo - Concordância com curva circular Faça a locação por estaqueamento das curvas 1 e conforme a diretriz a seguir. 17 Exemplo - Concordância com curva circular Estratégia de abordagem A deflexão é igual ao Ângulo central T1 PC1 PT1 AC1 D O 18 9

10 Exemplo - Concordância com curva circular o ' " AC T = R1 tan ( ) = 00 tan ( ) 1 = Π o ' " Π D1 = AC1 R1 = = ,90m 84,51m o ' " AC T = R tan ( ) = 50 tan ( ) = 73,65m Π o ' " Π D = AC R = = 143,5m Exemplo - Concordância com curva circular Com os valores das tangentes externas e do desenvolvimento, pode-se calcular os comprimentos das tangentes. PC = PI T = 133,97 4,90 = 91,07 m = 4 11, 07m PT = PC + D = 91, ,51 = 175,58m = 8 15, 58m PC = PT1 + ( PI1 PI T1 T ) = 175,58 + (199,49 4,90 = 58,5m = ,5m 73,65) PT = PC + D = 58, ,5 = 401,77 m = 0 1, 77m + ( PI PF T ) = 401,77 + (151,1 73,65) = 479,4m = 3 19, m PF = PT

11 Exemplo - Concordância com curva circular Manual de Serviços de consultoria para estudos e projetos rodoviários, DNER, 1978, v. 1 Exemplo - Concordância com curva circular Em um traçado com curvas horizontais circulares, conforme a diretriz a seguir, e supondo que se queira manter os dois raios iguais, pergunta-se: Qual o maior raio possível? Qual o maior raio possível para manter um trecho em tangente entre o ponto 1 e o ponto de 80 metros? AC1 = 40 o AC = 8 o 11

12 Exemplo - Concordância com curva circular Resolução letra a) A tangente da curva aumenta proporcionalmente ao raio. O maior raio possível será quando ocorrer a maior tangente no espaço disponível, 70,0m, ou seja, PT =. 1 PC T 1 + T = 70 T 1 AC1 = 40 o PC 1 PT 1 = PC T PT AC = 8 o 3 Exemplo - Concordância com curva circular Resolução letra a) T 1 + T = 70 R tan 0 + R tan 14 = 70 Lembre-se do enunciado: os dois raios são iguais 40 T 1 = R tan 8 T = R tan PC 1 AC1 = 40 o R = 1.173, 98m T 1 PT 1 = PC T T 1 + T = 70 PT AC = 8 o 4 1

13 5 Exemplo - Concordância com curva circular Resolução letra b) T T = 70 Lembre-se do enunciado: os dois raios são iguais 40 T 1 = R tan 8 T = R tan PC 1 R tan R tan 14 = 70 AC1 = 40 o R = 1.043, 54m T 1 PT 1 80 PC T1 + T + 80 = 70 T AC = 8 o PT 6 13

14 Grau de Curva O grau de uma curva G c para um determinada corda c é o ângulo central que corresponde à corda considerada. 7 Grau de Curva Traçando a bissetriz, e pegando o triângulo retângulo OPM, estabelece-se a relação: c G MP sen ( ) = = R R c c G c = arc sen ( ) R O grau de uma curva para uma dada corda c é uma forma alternativa de definir a geometria de uma curva circular. 8 14

15 Corda de uma curva A corda é determinada pelo raio da curva conforme tabela do DNIT Raios de Curva (R) Corda Máxima (c) R <= 100,00m 5,00m 100,00m < R <= 600,00m 10,00m R > 600,00m 0,00m 9 Concordância com curva circular 30 15

16 Exemplo - Grau da curva Qual é o grau da curva da curva 1? 31 Exemplo - Grau da curva Qual é o grau da curva da curva 1? Pela tabela, deve-se usar corda igual a 10,00m, pois o raio é 00,00m Raios de Curva (R) Corda Máxima (c) R <= 100,00m 5,00m 100,00m < R <= 600,00m 10,00m R > 600,00m 0,00m 3 16

17 Exemplo - Grau da curva Pela fórmula: c 10 G = R 00 o o ' " 10 = arc sen ( ) = arc sen ( ) =, G = ' " 10 o 5154 Pode-se dizer que a curva tem raio de 00,00m ou que tem ' " grau G = o Demarcação da curva em campo A demarcação da curva em campo é denominada Locação do eixo. Para demarcar os trechos em tangente, é relativamente fácil. Consiste basicamente na medida de ângulos e de distâncias ao longo de alinhamentos retos Para demarcar os trechos em curvas é mais complexo Não dá para demarcar diretamente a curva no terreno com auxílio de algum compasso Nem se conseguem visadas curvas ou marcação de distâncias curvas com os recursos da topográfia 34 17

18 Locação por deflexões acumuladas 35 Locação por deflexões acumuladas Na figura anterior, com o teodolito posicionado na tangente de referências, mede-se o ângulo de deflexão e as distâncias até o pontos. Isso demarcará o ponto de cada corda. Dá um precisão razoável nas locações reais, se respeitada a tabela anterior de limite da corda em função do raio 36 18

19 Deflexões de uma curva circular A deflexão d c de uma curva circular, para uma corda c, é ângulo formado entre essa corda e a tangente à curva em uma das extremidades da corda. 37 Deflexões de uma curva circular A deflexão é um ângulo orientado com origem na tangente No caso da figura uma deflexão à direita Sendo a tangente perpendicular ao raio e a bissetriz perpendicular à corda, o ângulo de deflexão resulta sempre igual à metade do ângulo central correspondente à corda. 1 d c = G c Em projeto geométrico, dentro dos limites de raios e comprimento de corda apresentados na tabela, é permitido confundir o comprimento de uma corda com o comprimento do arco da curva correspondente

20 Exemplo - Grau da curva Qual a deflexão adotada para a curva 1? 39 Exemplo - Grau da curva Qual a deflexão adotada para a curva 1? Do exemplo anterior: 1 1 o ' " 10 = G c 5154 d = G = ' " 10 o 51 ' 54 Essa é a deflexão para fins de ' " 10 1 o 5 57 projeto e locação para uma curva de R=00,00m e uma corda de 10,00m d = 40 0

21 Deflexão por metro Na locação de uma curva circular pode haver a necessidade de determinar valores de deflexão da curva para arcos fracionários (não coincidentes com 5, 10 e 0 m). Sendo d c a deflexão para uma corda c, o valor da deflexão por metro é dada por: d m = d c c d m Gc = c 41 Exemplo - Grau da curva Qual a deflexão por metro adotada para a curva 1? 4 1

22 Exemplo - Grau da curva Qual a deflexão por metro adotada para a curva 1? Do exemplo anterior: d = ' " 10 1 o 5 57 o ' d d m = = c 10 d m = " " Essa é a deflexão de um metro 0 o 08 ' 36 " para fins de projeto e locação para uma curva de R=00,00m e uma corda de 10,00m 43 Métodos de locação Usa-se o processo de deflexões acumuladas. Posiciona-se o teodolito no PC e toma-se a direção da tangente como referência ou origem para contagem das deflexões. Dois métodos podem ser adotados Estaca fracionária; Estaca inteira. 44

23 Métodos de locação Estaca fracionária São marcados a partir do PC, as cordas; Isto resulta em locação de pontos com estacas fracionárias; Estaca inteira A partir do PC marca-se uma corda que chegue na primeira estaca inteira Isto resulta em locação de pontos com estacas inteiras 45 Métodos de Estaca fracionária 46 3

24 Métodos de Estaca fracionária Os pontos X, Y e Z correspondem a estacas inteiras de 10,00m Corda de 10m, corda considerada igual ao arco X = 5 + 1,07m; Y= ,07m e Z= 6 + 1,07m Deflexões Em X (corda c x, ângulo central = G 10 ): d x =1/ G 10 =d 10 Em Y (corda c y, ângulo central = G 10 ): d y =1/ G 10 = d 10 = d x + d 10 Em Z (corda c z, ângulo central = 3 G 10 ): d z =1/ 3 G 10 = 3 d 10 = d y + d Métodos de Estaca fracionária Na curva circular simples, as deflexões correspondentes a arcos sucessivos são cumulativos Sem necessidade de determinar as cordas c y e c z Têm-se, então: d x = 1º5 57 d y = 1º º5 57 = º51 54 d z = º º5 57 = 4º17 51 Ai é só usar o teodolito e a trena! 48 4

25 Métodos de locação Ângulo de deflexão fracionados não ocasionam nenhum problema aos cálculos das concordâncias em curvas. No entanto, para a utilização prática com teodolitos, podem ocorrer erro e acumulo de erro na hora de lançar as cordas no terreno. Assim, em vez de se usar deflexões com valores fracionados, usam-se raios com valores fracionados que deem deflexões inteiras. R = c sen ( d c ) R = c G c sen ( ) 49 Exemplo - Raio Fracionário Qual seria o raio fracionário para que a deflexão da curva 1 fosse inteira? 50 5

26 Exemplo - Raio Fracionário Qual seria o raio fracionário para que a deflexão da curva 1 fosse inteira? Do exemplo anterior: d = ' " 10 1 o 5 57 Um valor inteiro para a deflexão pode ser: d = ' " 10 1 o 0 00 Então o raio será: R 10 = = 14, m sen (1 88 o ' " 0 00 ) 51 Exemplo - Grau da curva Qual a deflexão por metro adotada para a curva 1? Do exemplo anterior: d = ' " 10 1 o 0 00 o ' " d d m = = c 10 Essa é a deflexão de um metro d 0 o ' 00 " para fins de projeto e locação m = 08 para uma curva de R=14,88m e uma corda de 10,00m 5 6

27 Exercício 01 - Concordância com curva circular No projeto de uma curva circular sabe-se que o PI está na estaca ,60, a deflexão é º36 e o raio é 600,0 metros. Assim, deseja-se calcular: O comprimento das tangentes O desenvolvimento O grau da curva As estacas do PC e do PT 53 Exercício 0 - Concordância com curva circular Faça a locação da curva por estaca fracionária do exercício anterior, supondo a rodovia com esta única curva. Lance em uma tabela cada estaca (começando pelo PC), sua deflexão simples e a deflexão acumulada Supondo ainda uma tangente de 900,00m a partir do PT da curva, qual seria a estaca do PF da rodovia? 54 7

28 Exercício 03 - Concordância com curva circular Para o traçado abaixo com curvas circulares, determinar qual a estaca do PC de cada curva, a estaca do PT de cada curva e o ponto final. R1 = 1.00,0 m Deflexão: 46º PF PP=0 R = 1.600,0 m Deflexão: 30º 55 Exercício 04 - Concordância com curva circular Calcule a distância entre os PIs da curva 1 e da curva da poligonal abaixo. Curva 1 Deflexão: 36º PF PP Curva Deflexão: 48º 56 8

29 Exemplo 05 - Raio Fracionário Qual seria o raio fracionário para que a deflexão da curva 1 e da curva fossem inteiras? Com os novos raios fracionários recalcule os PCs, PTs e o PF para a poligonal abaixo. Qual a diferença total de comprimento da estrada projetada com raios fracionários da calculada com raios inteiros? 57 Exercício 06 - Cálculo de Superlargura e Superelevação Em um projeto, tem-se uma curva com duas faixas, com raio de 00,00m, em relevo ondulado, na classe III do DNIT. Considerando veículo tipo CO e largura de faixa igual a 3,40m. Deseja-se saber qual o valor de superlargura e da superelevação a ser adotado. Obs.: Calcule o raio mínimo pela tabela e pela fórmula. 58 9