7 a SÉRIE 8 o ANO MATEMÁTICA. Caderno do Professor Volume 1 ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS

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1 7 a SÉRIE 8 o ANO ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS Caderno do Professor Volume MATEMÁTICA

2 GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO SECRETARIA DA EDUCAÇÃO MATERIAL DE APOIO AO CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO CADERNO DO PROFESSOR MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS 7 a SÉRIE/8 o ANO VOLUME Nova edição 0-07 São Paulo

3 Governo do Estado de São Paulo Governador Geraldo Alckmin Vice-Governador Guilherme Afif Domingos Secretário da Educação Herman Voorwald Secretário-Adjunto João Cardoso Palma Filho Chefe de Gabinete Fernando Padula Novaes Subsecretária de Articulação Regional Rosania Morales Morroni Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores EFAP Silvia Andrade da Cunha Galletta Coordenadora de Gestão da Educação Básica Maria Elizabete da Costa Coordenadora de Gestão de Recursos Humanos Cleide Bauab Eid Bochixio Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação Educacional Ione Cristina Ribeiro de Assunção Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares Ana Leonor Sala Alonso Coordenadora de Orçamento e Finanças Claudia Chiaroni Afuso Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação FDE Barjas Negri

4 Senhoras e senhores docentes, A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colaboradores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abordagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb. Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orientações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias, dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avaliação constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico. Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história. Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo. Bom trabalho! Herman Voorwald Secretário da Educação do Estado de São Paulo

5 SUMÁRIO Orientação geral sobre os Cadernos 5 Situações de Aprendizagem 0 Situação de Aprendizagem Os racionais como mostruário das frações 0 Situação de Aprendizagem As dízimas periódicas são previsíveis... 9 Situação de Aprendizagem Do googol ao angstrom, um caminho para as potências 7 Situação de Aprendizagem As potências e a memória do computador 5 Situação de Aprendizagem 5 Aritmética com álgebra: as letras como números Situação de Aprendizagem 6 Produtos notáveis: significados geométricos 5 Situação de Aprendizagem 7 Álgebra: fatoração e equações 67 Situação de Aprendizagem 8 Aritmética e Geometria: expressões algébricas de algumas ideias fundamentais 76 Orientações para recuperação 8 Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 8 Considerações finais 85 Quadro de conteúdos do Ensino Fundamental Anos Finais 86

6 Matemática 7ª série/8º ano Volume ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada volume não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações aqui pretendidas referem-se à abordagem desses assuntos, sugerida ao longo de cada Caderno. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores desse Currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em 6 unidades de extensões aproximadamente iguais. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com maior ou menor aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento de cada um desses assuntos. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, ao passo que o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as 6 unidades, uma vez que, juntas, elas compõem um panorama do conteúdo do volume e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicará a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica de seu conteúdo, oito Situações de Aprendizagem, que pretendem ilustrar a abordagem sugerida, orientando o professor em sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas pelos professores com maior ou menor intensidade, segundo seu interesse e de sua turma. Naturalmente, em razão das limitações de espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também, em cada Caderno e sempre que possível, materiais como textos, softwares, sites e vídeos, entre outros, em sintonia com a abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências enunciadas no presente volume. 5

7 Conteúdos básicos do volume Os dois primeiros temas do volume da 7 a série/8 o ano são as frações e as potências. Com relação ao estudo das frações, além da construção da ideia de número racional e da determinação de frações geratrizes, temas normalmente tratados nesta série, a natureza desses assuntos permite que sejam exploradas também duas importantes noções matemáticas: a do infinito e a de classes de equivalência. Concepções relacionadas ao infinito podem ser exploradas por meio de discussões sobre as dízimas periódicas. Quando, por exemplo, chamamos de x a dízima periódica 0,... para, em seguida, multiplicar os dois lados da igualdade x = 0,... por 0, produzindo a nova igualdade 0x =,..., temos a intenção de usar o seguinte artifício algébrico na sequência: 0x x =,... 0,... 9x = x =. Ocorre que o uso de 9 tal artifício para a determinação da geratriz exige que se compreenda um fato importante sobre os conjuntos infinitos, o de que um elemento a menos em um conjunto de infinitos elementos ainda assim produz um conjunto de infinitos elementos. Esse fato foi usado quando concluímos que,... 0,... é igual a. Note que o primeiro fator tem infinitos algarismos à direita da vírgula, ao passo que o segundo tem um algarismo a menos, o que, ainda assim, garante infinitos algarismos à direita da vírgula. Outra questão que também deve ser explorada no contexto das dízimas periódicas é o da dupla representação com vírgula das frações decimais finitas, uma vez que toda fração decimal finita pode ser escrita na forma de uma dízima periódica. Utilizando o mesmo argumento apresentado para a obtenção das geratrizes, podemos mostrar que todo decimal finito pode ser transformado em uma dízima periódica (exemplos: 0, = 0,999...; 8,9= = 8, ; 7 = 6,999...). Com relação à discussão sobre classes de equivalência, o desafio proposto será o de compreender o conjunto dos números racionais como uma forma particular de organização das frações, em que cada número racional será um representante de uma classe de frações equivalentes. A compreensão dos racionais nesse contexto explora diretamente duas habilidades muitas vezes utilizadas no pensamento matemático, a de organizar e a de classificar elementos em conjuntos de acordo com certa propriedade estabelecida. No que diz respeito ao estudo das potências, na 5 a série/6 o ano os alunos foram apresentados ao assunto por meio das potências de base inteira e expoente natural. No volume da 7 a série/8 o ano, a ideia de potência deve ser ampliada pelo uso de expoentes inteiros negativos e pela discussão das principais propriedades operatórias das potências. A opção de não apresentar neste Caderno uma Situação de Aprendizagem específica para o estudo das propriedades operatórias das potências não significa que o assunto não seja importante. Espera-se que um aluno de 7 a série/8 o ano seja capaz, ao longo do ano, de 6

8 Matemática 7ª série/8º ano Volume trabalhar com as propriedades operatórias das potências com razoável destreza e agilidade. As propostas de trabalho nas atividades deste Caderno exploram a ideia do uso das potências na representação de números muito grandes ou muito pequenos em situações práticas e aplicadas, como a de investigarmos o significado das unidades de medida frequentemente usadas na informática (bits, bytes, megabytes etc.). O estudo formal da Álgebra começa no final da 6 a série/7 o ano, por meio do uso de letras para representar situações e da resolução de equações simples, e tem continuidade na 7 a série/8 o ano, quando o enfoque volta-se para as regras de manipulação dos símbolos algébricos. Essa organização curricular não interfere diretamente na ordem tradicional de abordagem dos temas da Álgebra, porém, sugere uma forma diferente de tratá-los, especialmente no que diz respeito ao cálculo algébrico abordado na 7 a série/8 o ano. Normalmente, atribuímos ao estudo da Álgebra as funções de generalizar a aritmética, de possibilitar um processo para a resolução de problemas, de permitir a representação da variação de grandezas e, ainda, de formalizar estruturas matemáticas. Entendemos que essas quatro funções devem ser exploradas de forma relacionada, e não como blocos isolados dentro do planejamento. Dessa forma, as atividades propostas devem ser interpretadas como uma forma de estabelecer a relação entre duas ou mais funções do estudo da Álgebra. Na Situação de Aprendizagem, o objeto de estudo são as semelhanças e diferenças envolvendo as ideias de fração, razão entre números quaisquer e números racionais. Com relação ao conjunto dos números racionais, a Situação de Aprendizagem sugere a exploração do tema por meio da ideia de classes de equivalência, o que precederia a formalização tradicional apresentada na maioria dos livros. As classes de equivalência são apresentadas em situações de contexto e de forma intuitiva, para então serem aplicadas nas frações. Em seguida, a localização das frações na reta numérica está combinada à discussão sobre o caráter de densidade dos números racionais, isto é, o fato de que entre dois números racionais existem uma infinidade de outros números racionais. Essa propriedade marcará um passo entre o caráter discreto ou não contínuo dos números inteiros para a continuidade representada pelos números reais. Na Situação de Aprendizagem, o tema central são as dízimas periódicas. Nela, discutimos que toda fração irredutível possui uma representação decimal, a qual pode ser finita ou infinita e periódica. Nessa Situação de Aprendizagem, além da discussão sobre a obtenção das frações geratrizes, também será explorado o ponto de vista da previsão do tipo de representação decimal de uma fração irredutível por meio de análises e estratégias de fatoração do seu denominador. Nesse processo, serão aprofundados tanto os conceitos relacionados às noções de múltiplos e divisores de um número natural como as regras de divisibilidade. 7

9 Partindo da motivação de que números muito grandes ou muito pequenos encontram nas potências um caminho adequado e prático de representação, na Situação de Aprendizagem procura-se motivar o estudo das potências a partir de situações práticas e desafiadoras, envolvendo notações como as do googol e do angstrom. A atividade também apresenta uma proposta de uso da calculadora no estudo das potências. Na Situação de Aprendizagem, exploramos a relação entre o uso das potências e a memória do computador. Termos como bits, bytes, megabyte, gigabyte e, mais recentemente, terabyte, de uso corrente na informática, geram contexto e significado, pois se referem a unidades de memória dos computadores cuja compreensão e uso estão diretamente relacionados ao estudo das potências, fato que será explorado nessa Situação de Aprendizagem. Na Situação de Aprendizagem 5 abordam-se os padrões e as regularidades em sequências numéricas sob o ponto de vista da diversidade de representações com letras. A estratégia utilizada para que a diversidade de representações possa ser trabalhada por meio da investigação dos alunos é a de associar as sequências numéricas ao arranjo geométrico de bolinhas, arranjo este que poderá ser identificado pelo aluno de diferentes maneiras (por linhas, colunas, reagrupando bolinhas e completando bolinhas). Com base na diversidade de expressões com letras que podem ser obtidas de cada uma das sequências, o professor poderá trabalhar, por meio da ideia de equivalência, a generalização de algumas propriedades, como a distributiva no produto, a comutativa e a associativa, iniciadas na 6 a série/7 o ano com os números naturais. Na Situação de Aprendizagem 6, o tema central a ser desenvolvido são os produtos notáveis, cuja estratégia baseia-se no uso da Geometria. Muitos alunos enfrentam dificuldades no desenvolvimento dos produtos notáveis provavelmente porque aprendem o assunto como mera técnica algébrica, sem compreender o seu sentido, e porque veem o assunto de forma desvinculada de sua aplicação. O uso diversificado de linguagens em particular da linguagem geométrica no caso dos produtos notáveis assume papel muito importante na apropriação de significados no contexto da Álgebra. Na sequência, a proposta da Situação de Aprendizagem 7 é trabalhar fatoração, produtos notáveis e frações algébricas, e simplificações de forma contextualizada. Nesse sentido, é empregada a tradução de problemas enunciados na língua materna para a linguagem da Álgebra como pontapé inicial da atividade. Também será apresentada nessa Situação de Aprendizagem a distinção entre as ideias de igual dade e identidade, o que representa um importante passo para a compreensão do uso de letras no sentido de incógnita ou de variável. Na Situação de Aprendizagem 8, propõem- -se atividades nas quais, mais uma vez, o uso da linguagem escrita e das linguagens aritmética, algébrica e geométrica aparecem de forma 8

10 Matemática 7ª série/8º ano Volume integrada. Problemas aritméticos e algébricos que normalmente são tratados em séries/anos posteriores, como o do número de diagonais de um polígono ou da soma dos n primeiros números ímpares, serão apresentados de forma simples para o desenvolvimento de habilidades relacionadas ao cálculo algébrico. É importante lembrar que as Situações de Aprendizagem 5, 6, 7 e 8 não esgotam nem os temas nem as possibilidades de abordagem do tema expressões algébricas na 7 a série/8 o ano. No entanto, a metodologia proposta consiste na apresentação de uma forma integrada de exploração das diversas funções da Álgebra e na valorização do uso da diversidade de linguagens como estratégia para a aprendizagem com significado, e não como simples regra. É possível que a sistematização de alguns temas do volume também tenha de ser trabalhada por exercícios disponíveis na maioria dos livros didáticos, cabendo ao professor adequar esse trabalho às necessidades dos seus alunos. Quadro geral de conteúdos do volume da 7 a série/8 o ano do Ensino Fundamental Unidade Frações e números racionais. Unidade Decimais finitos e dízimas periódicas. Unidade Fração geratriz de uma dízima; reconhecimento de dízimas a partir da fração irredutível. Unidade Potências: definição e contextos. Unidade 5 Potências: aplicações práticas. Unidade 6 Potências: aplicações práticas e propriedades operatórias. Unidade 7 Propriedades operatórias das potências. Unidade 8 Potências e problemas de contagem. Unidade 9 Expressões algébricas: equivalência e transformações. Unidade 0 Expressões algébricas: operações. Unidade Produtos notáveis e fatoração: abordagem geométrica. Unidade Produtos notáveis e fatoração: abordagem algébrica. Unidade Produtos notáveis e fatoração: abordagem algébrica. Unidade Fatoração e simplificação de frações algébricas. Unidade 5 Fatoração e simplificação de frações algébricas. Unidade 6 Expressão algébrica de algumas ideias fundamentais da Aritmética e da Álgebra. 9

11 SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM OS RACIONAIS COMO MOSTRUÁRIO DAS FRAÇÕES Conteúdos e temas: classes de equivalência; frações equivalentes; razões entre dois números; números racionais. Competências e habilidades: organizar um conjunto de elementos em classes de equivalência, por meio de uma propriedade dada; comparar distintos significados da ideia de fração, compreen dendo suas semelhanças e diferenças; compreender o conjunto dos números racionais reconhecendo cada número racional como um representante de uma classe de frações equivalentes; localizar números racionais na reta. Sugestão de estratégias: identificar propriedades comuns entre objetos ou números; construir classes de equivalência. Roteiro para a aplicação da Situação de Aprendizagem Nosso objetivo, nesta Situação de Aprendizagem, é esclarecer as seguintes questões: Qual é a diferença entre uma fração e a razão entre dois números quaisquer? Qual é a diferença entre uma fração e um número racional? A primeira questão é mais simples. É muito comum associarmos a representação a/b ao resultado da divisão de a por b e chamarmos o símbolo a de fração, mesmo que b a e b não sejam inteiros. Por definição, uma fração é a razão entre dois números inteiros. No entanto, quando falamos de frações como,, 5, ou, então, x, em que x e y y representam grandezas quaisquer, estamos usando a palavra fração em sentido figurado, assim como falamos dente de um serrote ou pé de uma cadeira, sendo tal uso perfeitamente compreensível. A segunda questão exige uma discussão mais completa. Existe uma diferença conceitual importante entre uma fração e um número racional. Para esclarecer tal ponto, vamos precisar da noção de relação de equivalência, apresentada no texto a seguir. 0

12 Matemática 7ª série/8º ano Volume Os números racionais são associados à ideia de razão. Uma fração é uma razão entre dois números inteiros, ou seja, é um número racional. Mas qual é a diferença entre uma fração e uma razão entre dois números quaisquer? E qual é a diferença entre uma fração e um número racional? Na base da construção das respostas a essas perguntas está a noção de relação de equivalência. Quando temos diante de nós um conjunto muito bagunçado de elementos e queremos organizá-lo, recorremos à ideia de equivalência. O conjunto de automóveis que circulam neste momento em nossa cidade é um conjunto bagunçado ; podemos olhar para ele, no entanto, com a intenção de organizá-lo segundo algum critério. Podemos fazer isso considerando apenas o fabricante de cada automóvel ou, se preferirmos, considerando a cor deste. Se considerarmos apenas a cor de cada automóvel, tratando como equivalentes todos os automóveis de mesma cor, o conjunto dos automóveis ficará organizado em classes de equivalência. De acordo com esse critério, todos os automóveis brancos estarão em uma mesma classe, todos os automóveis azuis estarão em outra, e assim por diante. A definição da relação de equivalência dois automóveis são equivalentes se, e somente se, têm a mesma cor conduziu a uma organização do conjunto inicial de automóveis em um conjunto de classes de equivalência. Fixando-se uma relação de equivalência ou seja, ter o mesmo fabricante, o conjunto inicial pode ser reduzido a uma espécie de mostruário, em que um representante de cada fabricante é suficiente para mapear todo o conjunto. O mostruário representará, então, o conjunto das cores: Mostruário do conjunto dos automóveis quanto às cores Branco Azul Preto Prata Cinza Verde Outros PRETO AZUL PRATA VERDE BRANCO CINZA Conexão Editorial OUTROS Da mesma forma, podemos organizar o conjunto das frações, considerando equivalentes e situando em uma mesma classe de equivalência todas as frações que

13 representarem a mesma parte da unidade, como ; 6 ; 5 0 ; 0,5; 6 ; 7 ( ) ; 6 ;... (todas representam a metade da unidade), ou, então, 5 ; 0 ;,666...; 500 ; ;... (todas representam um inteiro mais dois terços). 80 Se o conjunto de todas as frações que existem for organizado assim, agrupando-se em uma mesma classe as frações equivalentes, então o mostruário do conjunto das frações é o conjunto dos números racionais. Um número racional é, portanto, o representante de uma classe de frações equivalentes. Assim, um número racional representa o que há de comum entre todas as frações que representam a mesma parte da unidade. 0 ; ; 6 5 ; 0,857...; 7 5 ; ; 0,; 6 ; ;...;... 7 ;,...; 5 5, ; 6 ; 5 9 ; 5 9 ; 0,5; ; ; 7 ; ; ; 7 9 ; 5 ; ; 5 6 Mostruário das frações: conjunto dos números racionais Resumindo, podemos dizer que um número racional sempre representa uma classe de frações equivalentes. Assim como o número natural 5 representa o que há de comum entre todos os conjuntos que podem ser colocados em correspondência biunívoca com os dedos de uma mão, um número racional representa o que há de comum entre todas as frações que representam a mesma parte da unidade. As frações 5, 0,6 e 9 são diferentes, embora equivalentes; os 5 números 5 ; 0,6 e 9 são diferentes representações do mesmo número 5 racional.

14 Matemática 7ª série/8º ano Volume Para explorar um pouco mais a ideia de relação de equivalência, vamos resolver as seguintes atividades.. Podemos organizar o conjunto de todos os polígonos que existem em classes de equivalência segundo o critério do número de lados. Nesse caso: 0 Nesse caso: a) quais seriam as classes de equivalência? As classes de equivalência seriam: {, }, {, }, {, }, {, }, {5, 5}, e assim por diante. a) quais seriam as classes de equivalência? As classes de equivalência seriam: o conjunto dos triângulos, o conjunto dos quadriláteros, o conjunto dos pentágonos, o conjunto dos hexágonos etc. hexágonos triângulos quadriláteros pentágonos... b) qual seria o mostruário do conjunto dos polígonos? O mostruário seria o conjunto dos tipos de polígonos: {triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos etc.} ou {,,, etc.} 0 b) qual seria o mostruário? O mostruário seria o conjunto das distâncias possíveis de um inteiro na reta até a origem, ou seja, seria o conjunto {,,,, 5,...}. Em outras palavras, estamos escrevendo o conjunto do módulo dos números inteiros.. Considere o conjunto de todas as frações positivas. Para organizá-lo em classes, consideremos equivalentes todas as frações cuja soma do numerador com o denominador resulte sempre no mesmo número. Por exemplo, 5 estaria na mesma classe de 6 e de ; estaria na mesma classe de 6 e de 7, e assim por diante. Nesse caso: 0. Considere o conjunto dos números inteiros não nulos representados na reta numerada e a relação de equivalência: dois números inteiros são equivalentes se, e somente se, estiverem à mesma distância da origem, onde está o número zero. a) quais seriam as classes de equivalência? Antes, para ajudá-lo na tarefa, preencha a tabela a seguir, escrevendo na coluna à direita as frações cuja soma do numerador e denominador vem indicada na coluna da esquerda:

15 Soma igual a Soma igual a Soma igual a Soma igual a 5 Soma igual a 6 As classes de equivalência seriam formadas por frações cuja soma do numerador com o denominador fosse constante, começando pelo menor valor possível, que é, depois,, e assim por diante: soma igual a : ; soma igual a : ; ; Professor, se preferir, você também pode propor a construção da seguinte tabela: soma igual a : soma igual a 5:... ; ; ; ; ; ; ; b) qual seria o mostruário? O mostruário seria o conjunto dos valores possíveis para a soma numerador + denominador: {,,, 5, 6,...,,,...}. Localização dos números racionais na reta Soma igual a : 0 ; ; ;... e assim por diante. ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; Dessa forma, podemos representar as classes de equivalência por meio do seguinte conjunto: Soma igual a, Soma igual a,,, Soma igual a 5 Soma igual a,, 0, 5 8, 6 7, 7 6, 8 5, 9, 0,,,, Soma igual a... A criação dos números racionais representa um momento importante do curso de Matemática no Ensino Fundamental, pois trata de noções que servirão de base para a construção do conjunto dos números irracionais e, portanto, dos reais, objeto de estudo da 8 a série/9 o ano. O fato fundamental do conjunto dos números reais é a equivalência com os pontos da reta, isto é, a associação de cada número real a um ponto da reta e a sua recíproca, sendo cada ponto da reta associado a um número real. Essa equivalência entre pontos da reta e número real representa um passo muito importante na construção de noções geométricas e numéricas com aplicações na Matemática e nas ciências em geral, particularmente na Física.

16 Matemática 7ª série/8º ano Volume Na 6 a série /7 o ano, os alunos representaram os números inteiros, positivos e negativos por pontos equidistantes sobre a reta, respectiva mente à direita e à esquerda em relação ao zero. Essa representação permite compreender os números inteiros como uma ampliação dos números naturais na medida em que a escala, a partir de então, necessitava, além da medida do comprimento de segmento unitário, ser orientada para a esquerda do zero negativa e para a direita do zero positiva: 0 Agora, para representar na reta um número racional com denominador n, devemos dividir cada segmento de comprimento unitário em n partes iguais; os pontos da subdivisão representarão as frações na forma m n. Por exemplo, a representação na reta de todos os números racionais cujo denominador é será, portanto, da seguinte forma: Assim, cada fração de denominador estará associada a um ponto da reta. Repetindo essa operação para todo denominador n inteiro, teremos, para cada classe de equivalência de frações, um ponto correspondente na reta: Embora cada número racional esteja associado a um ponto da reta, a recíproca aqui não é verdadeira, isto é, os pontos da reta não se esgotam com os números racionais. Como sabemos, existem pontos da reta que serão associados aos números irracionais, dando ao conjunto real a qualidade de continuidade que é atribuída à reta. A localização dos números racionais na reta permite que se façam algumas considerações lógicas sobre propriedades fundamentais que diferenciam os campos numéricos. Uma dessas ideias se refere à possibilidade da determinação do sucessor de um número. 5

17 A todo número inteiro, seja positivo, negativo ou zero, podemos determinar seu sucessor e antecessor. Mas pensemos agora nos números racionais: quem é o sucessor de ou de 0,5? Como vemos, não existem sucessores de números racionais. Outra ideia simples que pode ser discutida é a de que, dados dois números inteiros, podemos determinar que a quantidade de números inteiros entre eles é sempre finita e determinada. Por exemplo, entre 5 e existem sete números inteiros: {,,,, 0,, }. E com os racionais, como isso se dá? Considere os números racionais e : quantos racionais existem entre eles? Sabemos que pelo menos um existe: o número médio entre eles, isto é: = = 5. Com relação aos números e 5, podemos novamente determinar o número que está entre eles: = = 9 = 8. Logo, o número encontrado também está entre e. Pensando dessa forma, podemos admitir que sempre haverá um número racional entre dois racionais, e que a esse será associado um ponto na reta. Esse fato permite dizer que, entre dois números racionais, existem infinitos números racionais. Todo conjunto no qual exista uma infinidade de elementos do mesmo conjunto entre dois quaisquer de seus elementos é chamado de conjunto denso. É curioso notar que o conjunto dos números racionais é denso sem ser contínuo. Como dissemos, embora entre dois números racionais quaisquer sempre haja uma infinidade de números racionais, uma vez que ele é denso, o conjunto dos números racionais não completa a reta, isto é, ele não é contínuo. A continuidade é uma qualidade exclusiva do conjunto dos números reais, quando cada ponto da reta imagem associada à continuidade corresponderá a um número real, seja racional ou irracional. A seguir, propomos algumas atividades que representam uma possibilidade ao professor de discutir com os alunos as ideias anteriormente desenvolvidas. Neste momento, não é necessário se deter em aspectos e termos relativos à densidade ou à continuidade. O interessante é que os alunos percebam que, com os números racionais, muitos mais pontos da reta serão associados do que os associados com os números naturais. As noções aqui iniciadas poderão ser exploradas mais detalhadamente na Situação de Aprendizagem seguinte, cujo tema, dízimas periódicas, oferece uma oportunidade de representação de números racionais na reta. 6

18 Matemática 7ª série/8º ano Volume. Localize na reta a seguir os números racionais:,,, 5, e 0,5. 0, Responda às seguintes perguntas: a) Qual é o número natural sucessor de 5? Na atividade anterior, você observou que, diferentemente dos números naturais e inteiros, não existe sucessor de um número racional e que entre dois números racionais sempre existe uma infinidade de outros números racionais. Os conjuntos que possuem essas propriedades são chamados de conjuntos densos. Sendo assim, encontre um número racional que esteja entre: a) e = = 8 b) Qual é o número inteiro sucessor de 7? 6. b) e = 9 = 9 8 c) Qual é o número racional consecutivo de? Não existe. d) Quantos números inteiros existem entre 6 e 0? 5. e) Quantos números racionais existem entre 6 e 0? Infinitos. f) Quantos números racionais existem entre 0, e 0,? Infinitos. c) 0,88 e 0,889 0,88. d), e, , Para resolver essas atividades, os alunos podem tirar a média aritmética entre os números dados. Observação: como exemplo, determinamos a média aritmética entre os valores. Destacamos, no entanto, a possibilidade de infinitas respostas para cada item. 7. Desenhe uma reta e localize nela os números e Identifique 8 0. três números fracionários que estejam entre ambos Algumas soluções possíveis são: 9, 9 e

19 8. Em que intervalo há mais números racionais: entre 0 e ou entre 0 e 0,? Nos dois intervalos há uma infinidade de números racionais. É isso que caracteriza um conjunto denso. 9. Em nossa vida, lidamos com conjuntos que têm a qualidade de serem densos. Um exemplo disso é o tempo: qual é o instante sucessor das 0 horas? É impossível definir, assim como percebemos que entre dois instantes de tempo há uma infinidade de instantes. Pense em outras duas situações que envolvam conjuntos densos. Alguns exemplos podem ser referentes às medidas de temperatura, de massa, de volume, de comprimento etc. Considerações sobre a avaliação A apresentação dos racionais como o mostruário das frações, baseada na ideia de classificações, é fundamental para a compreensão do conceito em questão e pode ser muito esclarecedora a respeito do significado que as relações de equivalência têm na Matemática. Uma vez compreen dida, tal apresentação pode servir de base para uma reorganização conceitual dos outros conjuntos numéricos já estudados ou por estudar. Na resolução das atividades propostas, a aquisição de uma linguagem mais adequada para o tratamento de tais temas é mais importante do que os inúmeros cálculos que podem ser associados a ela. A expectativa ao final desta Situação de Aprendizagem é a de que os alunos tenham ampliado suas noções sobre as frações, condição essencial para a compreensão do conjunto dos números racionais. Essa ampliação está baseada, substancialmente, no conceito de classes de equivalência, sendo, portanto, um conceito importante para o professor avaliar, utilizando classes que envolvem equivalências contextualizadas ou numéricas. Outra noção desenvolvida nesta unidade está associada à localização de números racionais na reta. Nesse caso, o professor pode sugerir algumas atividades cujo denominador seja 0, preparando, de certa forma, a discussão sobre frações decimais e periódicas, objeto da próxima Situação de Aprendizagem. 8

20 Matemática 7ª série/8º ano Volume SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM AS DÍZIMAS PERIÓDICAS SÃO PREVISÍVEIS... Conteúdos e temas: dízimas periódicas. Competências e habilidades: compreender o campo dos números racionais como composto por números cuja representação decimal pode ser finita ou infinita e periódica; reconhecer as condições que fazem que uma razão entre inteiros expresse uma dízima periódica; prever o tipo de representação decimal de uma fração irredutível a partir de análises e estratégias de fatoração do seu denominador. Sugestão de estratégias: análise de dados; construção e análise de tabelas e gráficos; uso de calculadora. Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem As frações representam a razão ou a divisão entre dois números inteiros. Quando nos dispomos a efetuar tal divisão, às vezes o quociente obtido é um número decimal bem-comportado, com um número finito de casas decimais, como o número 0,5, que corresponde à fração ; outras vezes, o resultado da divisão é um número com uma infinidade de casas decimais, com um grupo que se repete periodicamente, ou seja, é uma dízima periódica, como na fração, que corresponde ao número 0,... As frações do primeiro tipo podem ser escritas com seus denominadores em potências de 0: = 5 00, 5 = 0, 7 0 = Nessa situação, as frações são transformadas, de modo que seus denominadores se convertam em potências de 0, e isso é possível quando observamos que o denominador divide alguma potência de 0. Frações como essas representam uma grande vantagem prática, pois, além de serem de fácil comparação, permitem, em sua forma decimal, a aplicação dos mesmos algoritmos usados para efetuar as operações aritméticas. No caso de frações que geram dízimas periódicas, como ou 5, as frações não serão 70 propriamente decimais no sentido de ter um denominador que seja potência de 0, pois, como não existe um último algarismo no desenvolvimento decimal, não existirá uma potência adequada de 0. Assim, essas frações terão representação decimal ilimitada ou infinita. Esta primeira atividade pretende auxiliar os alunos a reconhecer, com razoável grau de certeza, quando uma fração qualquer gerará uma dí- 9

21 zima periódica no caso de ser efetuada a divisão entre numerador e denominador. Para responder a tal questão, basta observar o seguinte: se esperamos que uma fração qualquer a seja equivalente a uma fração decimal, ou seja, a um número b decimal finito, então devemos ter a b equivalente a uma fração com denominador igual a uma potência de 0, ou seja, do tipo c para algum n 0 valor de n. Logo, partindo de uma fração a b já reduzida à sua forma mais simples, para termos a b = c devemos multiplicar o numerador e o n 0 denominador de a pelos mesmos fatores, de b modo a atingir uma potência de 0 no denominador. Isso significa que não podem existir em b fatores que não existam na potência de 0, ou seja, b não pode ter fatores que não sejam ou 5. No caso de qualquer fator primo diferente de ou 5, é certo que o resultado da divisão será uma dízima periódica. Desafio! Cada casa da tabela corresponde a uma fração cujos numerador e denominador são identificados nas respectivas linha e coluna. Assim, por exemplo, a casa assinalada na tabela com a letra E corresponde à fração, enquanto a casa assinalada com a letra M corresponde à fração 6 7. Assinale com um X as casas correspondentes às frações geratrizes de dízimas periódicas. Denominador Numerador E M 8 9 Professor, com a realização da atividade, espera-se que os alunos consigam prever se a divisão entre numerador e denominador de uma fração irredutível gerará ou não uma dízima periódica. Denominador Numerador X X X X X X 5 6 X X X X X X 7 X X X X X X X X 8 9 X X X X X X X X 0

22 Matemática 7ª série/8º ano Volume. Analisando a tabela da seção Desafio!, identifique quando uma fração irredutível não gera uma dízima ao ser dividido o numerador pelo denominador. É esperado que eles constatem que frações irredutíveis, em que o denominador é formado apenas pelos fatores primos e 5, geram decimais exatos quando o numerador é dividido pelo denominador. Para que se possa generalizar alguma conclusão obtida por meio da tabela, é conveniente que sejam consideradas frações com numerador e denominador maiores do que 9, por exemplo, 7 ou Na sequência, os alunos devem ser motivados a refletir sobre os casos de frações irredutíveis em que a divisão entre numerador e denominador gera dízimas periódicas.. Quando uma fração com denominador igual a não gera uma dízima? Quando for possível simplificar os termos da fração, eliminando o fator do denominador, como em 9 = =,5. 6. Todas as frações irredutíveis com denominador contendo apenas fator primo igual a geram dízimas periódicas? Dê exemplos para justificar sua resposta. Os dados observados na tabela indicam que os denominadores geram dízimas periódicas quando o numerador não é múltiplo de. De modo geral, frações irredutíveis com denominador n, n, gerarão dízimas periódicas.. Escreva a sequência dos números primos menores do que 0. Esses números compõem o seguinte conjunto: {9,, 9, 7,,, 7, 5,, }. 5. Quais dos números primos que você escreveu na atividade anterior podem ser combinados para formar o denominador de uma fração irredutível e geradora de uma dízima periódica? Analisando os valores desse conjunto com os dados da tabela, observa-se que, excetuando-se os fatores e 5, todos os outros gerarão uma dízima periódica. Dessa forma, podemos concluir que, se o denominador tiver um fator diferente desses, dois, a fração irredutível gerará uma dízima. 6. Escreva cinco exemplos de frações, diferentes das vistas em sala de aula, nas quais a divisão entre numerador e denominador gerará uma dízima periódica. Neste caso, espera-se que o aluno escreva frações cujo denominador seja um número primo diferente de e 5, e o numerador não seja um múltiplo deste. Algumas possíveis soluções seriam:,,, 5, Em que situação a divisão entre numerador e denominador de uma fração irredutível gera uma dízima periódica? No caso de o denominador ter fatores primos que sejam diferentes de e Escreva cinco exemplos de frações, diferentes das vistas em sala de aula, nas quais, com certeza, a divisão entre numerador e denominador não resultará em uma dízima periódica. Algumas soluções possíveis seriam:, 7, 9, O encerramento desta parte da atividade pode envolver a socialização de todas as respostas e a escrita de uma conclusão geral da classe, sob a coordenação do professor. Em seguida, o próximo passo pode ser discutir pelo menos um processo de obtenção da fração geratriz de uma dízima periódica dada.

23 Dízimas periódicas e cíclicas Quando uma fração corresponde a uma dízima periódica, podemos notar que é possível uma estimativa do tamanho máximo do seu período, isto é, do número de casas decimais que se repetirão. r e s t o s Observe a divisão de por 7: , quocientes Quocientes Restos 6 5 Nessa divisão, acrescentando os zeros necessários para produzir as casas decimais, observamos que as divisões parciais não são exatas e que os restos possíveis são menores do que 7, ou seja, serão,,,, 5 ou 6 o resto 0 (zero) não é incluído, pois sua presença indicaria que a divisão tem um resultado exato, sendo, portanto, um decimal finito. Assim, na sétima casa decimal, certamente ocorrerá a repetição de um resto e, a partir daí, como sempre completamos com zero para continuar a divisão, todos os outros restos se repetirão, produzindo a dízima periódica. Poderíamos prever que, nesse caso, a dízima resultante da divisão teria um período de, no máximo, seis casas decimais, o que efetivamente ocorreu. Na tabela construída, colocamos em ordem os quocientes decimais e os restos produzidos por eles. Observe o desenvolvimento decimal de 7 : r e s t o s ,857 quocientes 0 Quocientes Restos 6 5 Comparando os períodos gerados pelas duas frações, podemos observar que elas possuem os mesmos algarismos, porém ordenados de forma diferente e respeitando um movimento cíclico. Observando que a divisão de 7 começa com resto, que também aparece como resto na divisão de, os restos, a partir desse ponto, também vão coincidir 7 em ambas as divisões, uma vez que o desenvolvimento de tem período de 7 comprimento máximo : 7 = 0, Quocientes 0 i n í 8 c 5 i 7 o do ciclo Restos 6 5 resto inicial 7 = 0,857...

24 Matemática 7ª série/8º ano Volume Desafio! Sem efetuar a divisão, e apoiado na c) d) = 0, = 0, tabela da seção anterior referente à divisão de, encontre o desenvolvimento 7 decimal de 5 7. Seguindo o processo discutido, podemos deduzir que em 5, como o primeiro resto é 5, seu desenvolvimento 7 será: 5 = 0, Observando a tabela de quocientes e restos, é possível encontrar o desenvolvimento decimal de? Justifique sua resposta e tente encontrá-lo. Observando na tabela a coluna dos restos, como ela não apresenta resto igual a, não permite prever o desenvolvimento de a partir de. Portanto, é necessário efetuar 9. Considere a seguinte fração a divisão. r e s t o s = 0, , quocientes 0 Quocientes Restos 0 9 Aplicando o método discutido anteriormente, escreva as frações a seguir na sua forma decimal periódica: a) 0 = 0, b) 9 = 0, r e s t o s , quocientes 6 Quocientes Restos Nessa divisão, além do resto, aparecem outros restos que não estavam presentes na primeira tabela: {, 5, 6, 7, 8, }. Agora, com base nesse novo desenvolvimento, podemos escrever as frações 7, e 8, observando o caráter cíclico dos quocientes: 7 = 0, = 0, ou 8 = 0, As tabelas juntas formam todos os restos que podem ser numeradores ou frações irredutíveis de denominador : {,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, }. Diferente da fração, em que 7 todos os possíveis restos apareceram na primeira tabela, na fração houve a necessidade de se construir duas tabelas.

25 Professor, nessa discussão você pode utilizar calculadoras ou planilhas eletrônicas, explorando outras frações, como. Nesse caso, também serão necessárias duas tabelas, que darão como restos os valores do conjunto {,,, 5, 8, 0,,, 6, 7, 9, 0}. O interessante será perceber que a quantidade de restos igual a não é máxima como com os denominadores 7 e. Os números {, 6, 7, 9,,, 5, 8} não estarão na tabela dos restos, pois podem ser simplificados com o denominador, isto é, não representam frações irredutíveis. Professor, como você pode observar, o trabalho com dízimas, além da abordagem comum, pode ser feito sob forma investigativa, que envolva conceitos simples de divisão e decomposição em fatores primos. Encontrando a geratriz de uma dízima periódica Todo número racional escrito na forma decimal finita se transforma facilmente em uma fração:,5 = 5 00 = 5. Mas e se o número racional for escrito na forma decimal periódica infinita? Combinado à análise das frações que geram dízimas, um trabalho complementar que permite o aprofundamento desse tema é o de operação recíproca, isto é, parte-se de um número decimal escrito na forma de dízima perió dica para encontrar sua fração geratriz. Existem vários métodos para a obtenção da fração geratriz de uma dízima periódica, mas, para o nível de conhecimento dos alunos de 7 a série/8 o ano, propomos o seguinte: Obtenção da geratriz de uma dízima a) simples Em uma dízima periódica simples, o período se apresenta imediatamente após a vírgula, por exemplo, 0,... ou, ou, ainda,,... Para obter a fração geratriz de uma dízima periódica simples, podemos tratá-la como uma incógnita, como y. y = 0,... Em seguida, multiplicamos os dois termos da igualdade por uma potência de 0, cujo expoente é igual à quantidade de numerais do período da dízima. y = 0,... 0y = (0,...) 0 0y =,... Subtraindo uma expressão da outra: (0y y) =,... 0,... obtemos: 9y = y = 9 Assim, a geratriz da dízima 0,... é a fração 9.

26 Matemática 7ª série/8º ano Volume Vamos obter, em outro exemplo, a geratriz da dízima,... y =,... (Multiplicaremos os dois termos por 0 = 00.) 00y =,... (Subtrairemos uma expressão da outra.) 99y = y = 99 Assim, a geratriz da dízima,... é a fração 99. b) composta Em uma dízima periódica composta, entre o período e a vírgula há um ou mais numerais que não fazem parte do período, por exemplo, 0,... ou,0... De modo semelhante ao que foi feito anteriormente, nomearemos a dízima de y. y = 0,... Visto que o período é formado apenas por um algarismo, multiplicaremos toda a expressão por 0. y = 0, 0y =,... Subtraindo uma expressão da outra, teremos: 9y =, y =, 9 = 90 Dessa forma, a geratriz da dízima 0,... é a fração 90. Observe, a seguir, o processo de determinação da geratriz de 0, x 00x 9 900x x = 0, x =, x =, x = 5, x = 5, ,55..., x 00x = 5,5 5..., x = x = 9900 x = Observe que é importante destacar que o produto por potências de 0 deve ser desenvolvido até que seja encontrada a parte decimal periódica igual. Nesse caso, isso foi feito para os produtos obtidos por 00 e

27 Neste momento do trabalho, a capacidade do aluno de aplicar os processos desenvolvidos até aqui para encontrar a geratriz da dízima é desafiada. Caso o professor considere adequado, sugerimos o uso da calculadora para a verificação do resultado. No Ensino Médio, esse assunto será retomado quando o objeto de estudo for a soma de termos infinitos de uma progressão geométrica. Neste momento, por exemplo, a dízima,... será interpretada como a soma infinita das parcelas: + 0, + 0,0 + 0, Determine a fração geratriz de cada uma das seguintes dízimas periódicas: a), b) 0, c), d), Escreva o número racional 7 6 na forma a 0, b, sendo a b uma fração irredutível. 7 Resposta: O decimal 0, corresponde à fração 7 6 = 7 = 7 6. Assim, temos. Encontre o valor de x que é solução da equação: x + 0,x + 0,05x + 0,005x + + 0,0005x +... =. Inicialmente, coloca-se o x em evidência: x( + 0, + 0, , , ) =. Observamos, então, que o coeficiente de x é uma dízima periódica: (,5555 )x =. Encontrando sua geratriz, podemos resolver o problema: y =,555 0y =,5555 0y - y=8, y = 8, = Então: 90 S = 7 8 x = x = Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, a expectativa é de que os alunos tenham compreendido o campo dos números racionais como compostos por números cuja representação decimal pode ser finita ou perió dica e infinita. Tal definição dos números racionais é importante, pois será retomada na discussão sobre outro tipo de número, os irracionais. No caso das dízimas periódicas, a exploração das primeiras experiências com representações infinitas serviu de base para uma série 6

28 Matemática 7ª série/8º ano Volume de atividades com um sentido de investigação e pesquisa. Na avaliação, a exploração da curiosidade dos alunos, a prática de uma reflexão crítica diante de situações insólitas ou curiosas na escrita dos números, como são as dízimas, é muito mais relevante do que a mera fixação de regras operatórias para determinar as geratrizes. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM DO GOOGOL AO ANGSTROM, UM CAMINHO PARA AS POTÊNCIAS Conteúdos e temas: potenciação; propriedades de potenciação; conversões de unidades de medidas. Competências e habilidades: compreender a utilidade das potências na representação de números muito grandes ou muito pequenos; analisar e interpretar dados escritos na forma de potências de 0; relacionar a representação decimal com a notação científica de grandezas. Sugestão de estratégias: uso de calculadora; construção e leitura de tabelas; interpretação de dados. Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem inclua discussões sobre significados, notações e linguagem. O uso de potências na Matemática é um recurso útil para a representação de números muito grandes ou muito pequenos, e esse será o fator motivador desta atividade. No início da 7 a série/8 o ano, o aluno já terá conhecimentos básicos sobre as potências, sendo necessário apenas uma retomada do assunto que Em seguida, a expectativa é a de que possa ser desenvolvido um trabalho para investigar a importância das potências na representação de números muito grandes ou muito pequenos, o que servirá de justificativa para o estudo mais detalhado das propriedades operatórias das potências na sequência do curso. Considerando os números 0, 0 e 0 7, qual deles é escrito com maior número de dígitos? Essa é uma pergunta desafiadora que, além de permitir a retomada da discussão sobre o cálculo de potências a partir do seu significado, também possibilita a compreensão de que contar o número de algarismos necessários para a escrita de uma potência de base 0 é muito simples, bastando para isso olhar para o expoente da potência. Isso ocorre porque nosso sistema de numeração é de base 0 (decimal), o que foi discutido em detalhes nas atividades sobre sistemas de numeração propostas na 6 a série/7 o ano. Diversas áreas da ciência que trabalham rotineiramente com números muito grandes ou muito pequenos utilizam amplamente a linguagem das potências na representação desses números. Por exemplo, a velocidade da luz no vácuo, que é de aproximadamente km/s ou m/s, pode ser escrita como 0 5 km/s ou 0 8 m/s. 7

29 A atividade a seguir utiliza a informação da velocidade da luz em cálculos aplicados. O que se deseja mostrar com esta e outras atividades apresentadas na sequência são algumas possibilidades de cruzamento de dados contextualizados e o trabalho com potências. Tais possibilidades não devem ser interpretadas como atividades acabadas sobre o assunto, mas sim como suporte didático ao trabalho do professor. Cabe, portanto, ao professor articulá-las da maneira mais conveniente, de acordo com os conhecimentos dos alunos sobre potências. Nasa and The Hubble Heritage Team (STScl/AURA). Em Astronomia, a distância que a luz percorre em um ano é chamada ano-luz. Sendo assim, responda: a) quantos metros tem ano-luz, sabendo que a velocidade da luz é 0 8 m/s? Considerando-se o ano com 65 dias de horas, a resposta exigirá o seguinte cálculo: = m = = 9, metros b) qual é a distância entre a Terra e o Sol em anos-luz, sabendo-se que essa distância é de aproximadamente metros? Para responder a esta pergunta, basta escrevermos os valores em notação científica:,5 0, = 0, anos-luz. 9, c) quanto tempo, aproximadamente, um feixe de luz leva para chegar do Sol até a Terra? Como a distância da Terra ao Sol é de aproximadamente,5 0 metros e a velocidade da luz é de 0 m/s, 8 um feixe de luz demorará,5 0 = 500 segundos para atingir a 0 8 Terra, aproximadamente 8 minutos e 0 segundos. Para efeito de comparação, o professor pode comentar que um feixe de luz, em segundo, dá aproximadamente 7 voltas e meia em torno da Terra.. O diâmetro da Via Láctea é de aproximadamente anos-luz. Por que os astrônomos utilizam uma unidade tão grande como o ano-luz para indicar distâncias? Para medir distâncias grandes, é mais prático usar uma unidade grande; na Astronomia, existem unidades menores que o ano-luz, como a unidade astronômica, que é a distância média entre a Terra e o Sol, ou seja, km. O parsec, que corresponde a cerca de,6 anos-luz, é usado normalmente para distâncias entre estrelas ou galáxias. Nos filmes de ficção, muitas vezes as personagens indicam distâncias entre estrelas utilizando as unidades anos-luz e parsec. Faça uma pesquisa sobre unidades de medidas astronômicas e registre alguns exemplos de sua aplicação. 8

30 Matemática 7ª série/8º ano Volume Números muito grandes ou muito pequenos envolvendo medidas reais podem ser utilizados em diversas atividades com potências. A seguir, apresentamos uma tabela com dados reais aproximados que podem servir de referência para que o professor elabore atividades com potências, proporcionalidade e conversões de unidades de medidas. Notação científica. A tabela a seguir apresenta dados reais aproximados envolvendo potências: Número de moléculas em grama de água Número de átomos do corpo humano Raio da Terra Distância entre a Terra e a Lua Distância entre a Terra e o Sol Massa da Terra Idade da Terra Idade do Universo Número de habitantes da Terra (estimativa em 0) Expectativa de vida dos brasileiros em 0 PIB* (Produto Interno Bruto) brasileiro em 0 Número de células do corpo humano Número de possibilidades do sorteio dos seis números da Mega-Sena 0 moléculas 0 8 átomos m 0 8 m,5 0 m 6 0 kg,5 0 9 anos,5 0 0 anos 7 bilhões 7, anos, trilhões de reais 00 bilhões = = 0 50 milhões = = *PIB: Produto Interno Bruto o conjunto de bens e serviços produzidos no ano. Analisando os dados dessa tabela, escreva cada um dos números a seguir em notação científica, ou seja, na forma m 0 n, com m < 0. a) número de habitantes da Terra em 0; 7,0 0 9 pessoas. b) expectativa de vida dos brasileiros em 0 (em segundos);, 0 9 segundos. c) PIB brasileiro em 0., 0 reais. Vale a pena observar que, apesar da praticidade relacionada ao uso de potências para a representação de números muito grandes, quando temos a possibilidade de nos referir a um número dessa natureza por palavras, a compreensão do significado concreto da ordem da grandeza será favorecida. Por exemplo, dizer que o número de habitantes estimado da Terra em 0 foi de pessoas é muito menos esclarecedor do que falar em 7 bilhões de pessoas. Por esse motivo, os exercícios que estabelecem a correspondência entre o uso de potências e as palavras da nossa língua que as representam devem sempre ser incentivados. Veremos a seguir uma atividade que possibilita a introdução da ideia de notação científica. Quando falamos em números grandes para trabalhar potências, uma contextualização interessante que pode ser feita é a do número googol (lê-se gugol ). Há, inclusive, um conhecido site de buscas na internet cujo nome foi inspirado no número googol de Edward Kasner, provavelmente porque esse site traz uma quantidade muito grande de informações. 9

31 Em certa ocasião, o matemático estadunidense Edward Kasner perguntou ao seu sobrinho Milton Sirotta, de nove anos, qual era o maior número que existia. A resposta do pequeno Milton algo parecido com "guuugol" não foi muito animadora, mas, na mente criativa de Kasner, isso virou uma bela brincadeira matemática. Em homenagem ao sobrinho, Kasner chamou de googol o número seguido de 00 zeros ou, dizendo de outra maneira, o número Não é tarefa fácil encontrar em nosso mundo real algo em quantidade tão grande quanto googol. Para se ter uma ideia, o número de gotas de chuva que caem na cidade de São Paulo em um século é muito menor que googol. O número total de grãos de areia das praias do litoral brasileiro também é menor que googol, assim como é menor que googol o número de elétrons em todo o Universo. Para não dizer que googol é um número insuperável, se imaginarmos o Universo inteiro ocupado por prótons e elétrons de tal forma que não sobre nenhum espaço livre, então, estima- -se o número dessas partículas ( 0 0 partículas) em um número maior que googol. Vencida a barreira do googol, imagine um número ainda maior: 0 elevado a googol (Kasner batizou esse número de googolplex). Se fosse possível escrever um dígito a cada meio segundo, quanto tempo levaríamos para escrever todos os zeros de googolplex? A resposta exige apenas alguns cálculos. Dizer que googolplex é 0 googol = é equivalente a dizer que esse número tem o primeiro dígito igual a seguido de googol de dígitos iguais a 0. Nas condições dadas, levaríamos 0, segundos para escrever por extenso o número de zeros de googolplex. Como a idade estimada do Universo é,5 0 0 anos (ver tabela da atividade anterior), o que equivale, aproximadamente, a,7 0 7 segundos, é possível afirmar que, desde o Big Bang até hoje, não haveria tempo suficiente para a empreitada de escrever todos os zeros de googolplex. 0. Cerca de 70% da superfície da Terra encontra-se coberta por água, o que corres ponde a um volume de aproximadamente km (desse total, 97,5% é de água salgada e,5% de água doce). Sabendo que em cada cm temos g de água (a densidade da água é g/cm) e consultando a tabela apresentada anteriormente, calcule o número de moléculas de água na superfície da Terra. Em seguida, compare esse dado com googol. Nesta atividade, desconsidere o fato de a densidade da água salgada ser maior que g/cm. Para resolver esta atividade, primeiro temos de converter km³ em cm³, o que indicará a massa de água na Terra (, 0 gramas). Dado que g de água tem 0 moléculas, então, o número de moléculas do total de água na superfície da Terra é de aproximadamente, 0 6. Aproximando-se grosseiramente esse número para 0 50, pode-se discutir com os alunos que esse número é muito menor que googol. Muitos alunos poderão pensar, à primeira vista, que 0 50 é metade de googol, o que não é verdade. Se dividirmos googol por 0 50, o resultado será 0 50, que é o número de vezes que o número de moléculas de água na superfície da Terra caberia dentro de googol.

32 Matemática 7ª série/8º ano Volume Usando a calculadora Nas calculadoras simples, com oito dígitos no visor, não conseguimos fazer diretamente a conta , contudo, com o conhecimento de potências e notação científica, esse cálculo pode ser feito na calculadora. Sabendo-se que =,7 0 5 e = =, 0 6, o produto procurado é,,7 0. A calculadora nos fornece o resultado de,,7 = = 7,77, e nossos conhecimentos sobre potência indicam que esse número multiplicado por 0 será igual a Entretanto, se você tem uma calculadora científica, vai observar que ela usa a notação científica automaticamente. Nas calculadoras científicas, o resultado dessa conta pode aparecer das seguintes formas, dependendo do fabricante: 7.77 ou 7.77 E ou 7.77 E + Em todos os casos apresentados, o número representa um expoente de uma potência de base 0 que deverá ser multiplicada por 7,77. Três outros detalhes também devem ser observados. Em geral, as calculadoras usam o sistema inglês de representação dos números, em que a vírgula tem a função do nosso ponto, e vice-versa. Assim, o número 8.90,5 no nosso sistema aparece representado na calculadora como 8,90.5 A letra E que aparece em algumas calculadoras refere-se à palavra em inglês exponent, que quer dizer expoente. Algumas calculadoras colocam o sinal de mais ou de menos ao lado da letra E para representar expoentes positivos ou negativos da potência de 0. As calculadoras científicas possuem uma tecla específica para as potências, o que facilita o seu manuseio. Em geral, a tecla é indicada por x y ou, em alguns casos, uma tecla indicando o sinal de acento circunflexo ^ é a que deve ser usada para elevar uma base a um expoente. Exemplos de sequências de teclas que devem ser digitadas nesses dois tipos de calculadora para calcular 5 : I. II. 5 = x y ^ 5 = O resultado que aparecerá no visor será

33 Um dos fatores fundamentais sobre potências com expoentes inteiros pode ser discutido com os alunos com base em uma situação contextualizada: Resposta pessoal. 5. Faça algumas experiências com sua calculadora, registrando a seguir os valores encontrados. 6. Suponhamos que, em determinado país, a produção de um material tenha sido igual a tonelada no ano 000 e, em razão do desenvolvimento tecnológico, passou a triplicar anualmente a partir daí. Uma tabela com as quantidades produzidas ao final de cada ano é apresentada a seguir. Complete os espaços em branco utilizando, quando possível e se necessário, uma calculadora: Ano Produção P (toneladas) Potência correspondente n... n A regularidade da multiplicação pelo fator a cada ano conduz naturalmente à representação da produção correspondente de modo simplificado, por meio de uma potência de n anos após o ano 000, o valor da produção P será n toneladas. As atividades desta etapa permitirão justificar as potências de expoente negativo. Para tanto, pode-se partir das propriedades: a m a n = a m+n a m a = n am n (a 0) Para compreendê-las, basta que se conte o número de fatores resultantes ao efetuar as operações indicadas. Por exemplo: 5 = = 8 números 5 números Uma vez trabalhada a propriedade a m a n = a m+n, os expoentes negativos podem ser apresentados da seguinte forma: 5 = (o produto de um número diferente de zero pelo seu inverso é 5 ). 5 5 = 50 (qualquer número diferente de zero, quando elevado a zero, resulta ). 5 5 x = 5 0 (substituímos 5 por 5x para poder usar a propriedade a m a n = a m + n ). 5 +x = 5 0 (para que a igualdade seja verdadeira, necessariamente x = ). Conclusão: a notação adequada para 5 como potência de base 5 é 5. Posteriormente, pode-se discutir com os alunos que, excluindo-se o caso em que

34 Matemática 7ª série/8º ano Volume a = 0, a notação a n pode ser estendida para o expoen te 0, uma vez que: a 0 = an a = ou, n partindo da propriedade a m a n = a m + n, podemos apresentar o cálculo: a 0 a n = a 0 + n = a n, o que indica que a 0 =. Outro recurso que pode ser explorado na apresentação de expoentes inteiros é o referente à regularidade observada no quadro do Sistema Decimal Posicional. Uma vez construída a tabela, podem-se associar as potências com expoentes negativos à sua parte decimal, de modo que o Sistema Decimal possa ser interpretado em toda a sua generalidade. 7. O nosso sistema de numeração Sistema Decimal Posicional é formado segundo certa regularidade com relação às potências de base 0. Interprete essa característica completando a tabela a seguir: Milhar Centena Dezena Unidade Décimos Centésimos Milésimos 0, 0,0 0,00 0 = = 0 0 = = Faça uma pesquisa em jornais e revistas, e selecione uma notícia que apresente números muito grandes. Escreva um parágrafo resumindo o assunto da notícia e apresente os mesmos números em notação científica. Professor, você pode discutir com os alunos que os expoentes negativos nos permitem representar números muito pequenos com potências. 8. A tabela a seguir indica uma série de representações com potências de expoente negativo. Pesquise sobre as unidades relacionadas, faça a conversão entre as unidades e complete a coluna. centímetro 0 metros milímetro 0 metros micrômetro 0 6 metros nanômetro 0 9 metros angstrom 0 0 metros A tabela Radiação eletromagnética - comprimento de onda em metros, que permite trabalhar potências de forma interdisciplinar com a área de Ciências, é aquela referente ao comprimento de ondas eletromagnéticas, como as ondas de rádio, TV, micro-ondas, radiação infravermelha, luz visível, ultravioleta, raios X e raios gama. Essas radiações diferem entre si pela sua frequência e pelo seu comprimento de onda. As ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo com velocidade constante, igual a km/s (velocidade da luz).

35 Radiação eletromagnética comprimento de onda em metros Raios cósmicos Raios X Luz visível Micro-ondas Rádio Raios gama Ultravioleta Infravermelho Radar TV Raios Raios Raios X cósmicos gama Alta frequência (Comprimento da onda: curto) Ultravioleta Luz visível Infravermelho Micro-ondas Ondas de rádio VLF Energia de corrente alternada Baixa frequência (Comprimento da onda: longo) Centro de Energia Nuclear na Agricultura/USP Encontrado em: Princípios da Irradiação. Texto: Adriano Costa de Camargo. Orientação: Prof. Dr. Júlio Marcos Melges Walder. Laboratório de Irradiação de Alimentos e Radioentomologia. Disponível em: < Acesso em: nov O comprimento de um cordão de DNA na célula é de aproximadamente 0 7 m, o que corresponde a aproximadamente 000 angstroms. Com base nesse dado, calcule a equivalência entre angstrom e metro. angstrom corresponde a 0 0 m. 0. O diâmetro de um fio de cabelo humano é de aproximadamente,5 0 5 m. Quantos fios de cabelo humano teriam de ser colocados lado a lado para formar m? Para determinar a quantidade de fios de cabelo que correspondem a metro, basta que façamos a divisão: = 9 70 fios. Você também pode discutir com,5 0-5 os alunos que o ser humano tem em média fios de cabelo, podemos concluir, portanto, que todos os fios de cabelo de um indivíduo, quando alinhados por seus diâmetros, resultariam em cerca de,5 metros (, ).. Nossos fios de cabelo crescem à taxa de, aproximadamente,,6 0 5 m por hora. Um caracol de jardim se locomove no ritmo de, aproximadamente, 0 m por hora. Quanto tempo nossos fios de cabelo demorariam para crescer o equivalente à distância que um caracol de jardim percorre em hora? A solução deste problema exige que efetuemos os seguintes cálculos: 0 - =,875 0 horas, o que cor responde a,6 0-5,875 0 = 78,5 dias, ou seja, 78 dias e horas. Considerações sobre a avaliação Como dito inicialmente, a opção de não apresentar atividades específicas sobre as operações com potências não significa que tal assunto seja irrelevante, mas apenas que o tratamento usualmente dado a esse assunto costuma ser suficiente. Dessa forma, o foco desta Situação

36 Matemática 7ª série/8º ano Volume de Aprendizagem recai sobre a exploração de potências por meio de sua utilização na representação do googol e do angstrom. Na próxima Situa ção de Aprendizagem, veremos especialmente a família dos bytes: giga, mega, tera etc. O significado dos números contidos nas tabelas apresentadas pode servir de base para a formulação de grande quantidade de problemas interessantes, bem como para a proposição de trabalhos extraclasse. O fundamental é que o trabalho com potências seja desenvolvido com base em problemas contextualizados. Tais problemas podem ser tanto os aqui apresentados como alguns criados pelos próprios alunos. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM AS POTÊNCIAS E A MEMÓRIA DO COMPUTADOR Conteúdos e temas: potências; propriedades de potências. Competências e habilidades: conhecer e operar com as propriedades das operações com potências de expoentes inteiros; reconhecer a potenciação em situações contextualizadas; transformação de unidades. Sugestão de estratégias: construção de tabelas e árvores de possibilidades; construção e análise de gráficos e tabelas; uso de calculadora. Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem As unidades de memória dos computadores são amplamente conhecidas hoje em dia. O uso de termos como megabytes ou gigabytes para se referir à capacidade de memória de dispositivos eletrônicos tornou-se tão comum quanto o uso de quilograma para se referir à massa de determinado produto. Fala-se com naturalidade em pen drives de 8 gigabytes, CD-ROMs de 700 megabytes, DVDs de,7 gigabytes, entre outras coisas. Essas especificações fazem parte do cotidiano no mundo da informática. Contudo, o significado do termo byte e de seus múltiplos ainda é alvo de muitas confusões. Na Ciência da Computação, o byte é a unidade básica de armazenamento de memória no computador. Um byte é constituído por 8 bits. O bit (binary digit, ou dígito binário) é a menor unidade lógica de armazenamento de informação em um computador. O valor de um bit é determinado pelo estado de um dispositivo eletrônico interno do computador, chamado capacitor, que armazena energia em um campo elétrico. Ele pode ser usado para representar informação de 5

37 forma binária em um computador, assumindo somente dois valores: 0, quando o capacitor está desligado (descarregado), e, quando está ligado (ou carregado). Por essa razão, as informações em um computador estão codificadas em uma base de numeração binária, e não decimal. Há duas décadas, a memória dos computadores pessoais raramente ultrapassava algumas dezenas de quilobytes (KB). Alguns estudiosos notaram que o termo quilobyte tinha duas interpretações distintas. Segundo o Sistema Internacional de Medidas (SI), o prefixo quilo (k) corresponde a 000 unidades. Assim, quilobyte ( KB), segundo o SI, corresponderia a 000 ou 0 bytes. Por outro lado, tomando-se como referência a base binária de armazenamento de informação no computador, quilobyte corresponderia a 0 bytes, ou seja, 0 bytes. A diferença relativa entre as duas interpretações para o valor de quilobyte (,%) era pequena, não ocasionado maiores problemas na época. Contudo, com a rápida ampliação da capacidade de memória dos computadores, novas unidades de medida tiveram de ser adotadas, tais como o megabyte, o gigabyte e o terabyte. Atualmente, já se fala em computadores com capacidade de memória medida em petabytes. A diferença relativa entre o sistema binário e o Sistema Internacional aumentou, gerando uma discrepância significativa no valor dessas unidades. Um gigabyte, no Sistema Internacional, corresponde a ou 0 9 bytes. No sistema binário, um gigabyte corresponde a 0 bytes, ou 0778 bytes, um número 7,% maior que o seu correspondente no SI. No caso do terabyte, essa discrepância chega a aproximadamente 0%. Hoje em dia há muita confusão sobre o real significado desses termos. Muitos fabricantes adotam a base decimal na configuração de suas memórias, por causa da facilidade de compreensão por parte do usuário. Contudo, a maioria dos sistemas operacionais adota o sistema binário, o que gera uma discrepância entre a capacidade de memória declarada pelo fabricante e as medidas registradas nos sistemas operacionais. O Escritório Internacional de Pesos e Medidas (Bureau International des Poids et Mesures BIPM), um dos órgãos responsáveis pela regulação do SI, declara que os prefixos do Sistema Internacional de Medidas referem-se exclusivamente às potências de dez, e não devem ser usados para representar bases binárias, como no caso do quilobyte. Em 005, a Comissão Eletrotécnica Internacional (International Electrotech nical Commission IEC) criou um sistema de unidades específicas para o uso no campo das tecnologias de informação e processamento de dados, tendo como base o sistema binário. Foram definidos novos prefixos para designar os múltiplos das unidades de medida relacionadas à memória dos computadores. Nesse novo sistema, 0 bytes passam a ser designados como mebibyte, e não mais como megabyte, que representa 0 6 bytes no SI. O prefixo mega foi substituído por mebi, onde bi é a abreviação de binário. 6

38 Matemática 7ª série/8º ano Volume Na tabela a seguir, é possível comparar as unidades do sistema decimal com as do sistema binário. Base decimal (SI) Quantidade de bytes Base binária (IEC) Quantidade de bytes Diferença (%) quilobyte (KB) 0 = 000 quibibyte (KiB) 0 = 0,% megabyte (MB) 0 6 = mebibyte (MiB) 0 = ,9% gigabyte (GB) 0 9 = gibibyte (GiB) 0 = ,% terabyte (TB) 0 = = tebibyte (TiB) 0 = = ,9% Tendo como base esse contexto, podem-se explorar diversas situações em que as potências são usadas para designar a capacidade de memória ou a quantidade de informações que podem ser codificadas usando-se os bits em um computador. Bits, bytes e as potências de dois Uma informação pode ser codificada por meio de uma combinação de bits. A tabela a seguir mostra a codificação dos algarismos de 0 a 7 com base na combinação de bits. Nas duas primeiras colunas da tabela estão representados os estados dos capacitores da seguinte forma: o símbolo para desligado (ou não magnetizado) e o símbolo para ligado (ou magnetizado). Na terceira coluna, o número binário correspondente à configuração dos capacitores: 0 para desligado e para ligado. Por se tratar de bits, o número binário terá no máximo três casas. Na quarta coluna, encontra-se o número correspondente no sistema decimal associado à configuração dos capacitores e ao número binário. Configuração dos capacitores Estado: D desligado L ligado Número binário ( bits) Número correspondente no sistema decimal D D D D D L 00 D L D 00 D L L 0 L D D 00 L D L 0 5 L L D 0 6 L L L 7 7

39 Utilizando bits, foi possível armazenar oito informações diferentes. Na tabela, foram representados os oito números de 0 a 7. O número 5, por exemplo, foi representado por 0, ao passo que o 7 foi representado por. Utilizando apenas os algarismos 0 e, e três casas, não é possível representar nenhuma outra informação. Para representar mais números, seriam necessários mais bits. Se cada bit só pode assumir dois valores, o número total de informações que podem ser armazenadas com bits é dado por = =. Portanto, com bits é possível armazenar ou 6 informações. Com 5 bits, 5 ou, e assim por diante. Com n bits, é possível armazenar n informações. Em uma tabela, essa situação pode ser representada da seguinte forma: Número de bits 5... n Quantidade de informação armazenada 5... n Total n L capacitor L capacitor L D capacitor D L D D L D L 8 possibilidades D L D Esse tipo de diagrama é uma representação do raciocínio multiplicativo aplicado em várias situações que envolvem contagens, por exemplo, de quantos modos diferentes podemos vestir uma camiseta e uma calça dispondo, para isso, de camisetas e calças.. Complete a tabela a seguir com todas as configurações possíveis envolvendo quatro capacitores e responda: a) Se cada configuração corresponder a uma letra do alfabeto, qual será a última letra que pode ser representada com bits (em ordem alfabética)? Como podemos observar, a última letra do alfabeto que pode ser representada com bits é a letra P. Daí para a frente temos de acrescentar outros bits. A mesma situação pode ser descrita aplicando-se um método denominado diagrama de árvore: b) Qual é a letra associada ao número binário 0? Sendo assim, concluímos que a letra representada pelo número binário 0 é a letra H. 8

40 Matemática 7ª série/8º ano Volume A tabela preenchida ficará como indicado a seguir. Múltiplos de byte Configuração dos capacitores Estado: D desligado L ligado Número binário ( casas) Letra D D D D 0000 A D D D L 000 B D D L D 000 C D D L L 00 D D L D D 000 E D L D L 00 F D L L D 00 G D L L L 0 H. No Sistema Internacional, os prefixos quilo, mega e giga expressam diferentes potências de 0. Assim, quilobyte (KB) equivale a 0 bytes, megabyte (MB) a 0 6 bytes, gigabyte (GB) a 0 9 bytes, e assim por diante. Com base no Sistema Internacional, faça as transformações solicitadas e apresente as respostas na forma de potência de 0. a) 0 megabytes em bytes; = 0 7 bytes. L D D D 000 I L D D L 00 J L D L D 00 K L D L L 0 L L L D D 00 M L L D L 0 N L L L D 0 O L L L L P. Um byte é composto por 8 bits. Quantas informações podem ser armazenadas em um byte? 8 ou 56 informações.. Quantos bits seriam necessários para armazenar 000 informações? Neste item, o aluno deve aplicar não só o raciocínio inverso, como também trabalhar com a estimativa. Seriam necessários ao menos 0 bits, pois 9 é igual a 5 e 0 é igual a 0. b) gigabyte em quilobytes; 0 9 = 0 6 quilobytes. 0 c) 00 quilobytes em gigabytes; 0 0 = 0 gigabytes. 0 9 d) 0 terabytes em megabytes; 0 0 = 0 7 megabytes. 0 6 e) megabyte em terabytes. 0 6 = 0 6 terabytes Já no sistema binário, os prefixos usados expressam potências de. Um quibibyte (KiB) equivale a 0 bytes; mebibyte (MiB) a 0 bytes; gibibyte (GiB) a 0 bytes, e assim por diante. Faça as transformações a seguir e apresente as respostas na forma de potência de. a) mebibytes em quibibytes; 0 = quibibytes. 0 9

41 b) 6 gibibytes em bytes; 0 = bytes. c) quibibyte em mebibytes; 0 = 0 mebibytes. 0 d) 0 tebibytes em bytes; 5 0 = 5 bytes. e) quibibytes em gibibytes. 5 0 = 5 gibibytes. 0 Quando um mebibyte é um megabyte? 6. A capacidade de armazenamento de dados de um CD-ROM está baseada no sistema binário, apesar de ser expressa com os prefixos do sistema decimal (SI). Por exemplo: um CD-ROM de 700 MB (megabytes) tem, efetivamente, uma capacidade real de 700 MiB (mebibytes). Diferentemente, a capacidade real dos DVDs é calculada com potências de 0. Ou seja, um DVD de,7 GB (gigabytes) tem efetivamente uma capacidade de armazenamento de,7 gigabytes. Com base nessas informações, responda: a) Qual é a capacidade real em megabytes de um CD-ROM de 700 MiB? Basta transformar 700 mebibytes em megabytes. (7 0 ) 0 = = = 7 megabytes Portanto, a capacidade efetiva do CD-ROM é de 7 MB. b) Qual é a capacidade real em gibibytes de um DVD de,7 gigabytes? Basta transformar,7 gigabytes em gibibytes. (7 0 - ) 0 9 = = , gibibytes Portanto, a capacidade em base binária do disco de DVD é de, gibibytes. Usando potências para contagem 7. Suponha que você tenha em seu estojo: um lápis, uma borracha e uma caneta. De quantas maneiras diferentes você poderá selecionar elementos dessa lista? Repare que para responder a esta questão, você pode pensar em utilizar conjuntos de um só elemento, dois elementos e três elementos. Coloque esses objetos em uma tabela: Lápis Borracha Caneta Estabeleça então a seguinte regra: o número colocado na casa abaixo do objeto significará que ele foi selecionado; caso contrário, será colocado o zero. Assim, a tabela numerada com significará que você escolheu os três objetos, enquanto a disposição 0 significa que foram escolhidos o lápis e a caneta. Dessa forma, cada casa em que se escreve 0 ou representará uma única maneira de selecionar os objetos. Com base nas ideias desenvolvidas sobre bits, responda à pergunta feita (7). Atenção: a tabela com 000 deve ser excluída, uma vez que mostraria que não foi feita nenhuma escolha. = 7. 0

42 Matemática 7ª série/8º ano Volume Lápis Borracha Caneta Aplique o mesmo raciocínio para 5 objetos. 5 =. Quantos algarismos usamos para escrever as potências de? 9. A tabela a seguir relaciona os expoentes naturais de 0 a 6, das potências de, com o número de casas (algarismos) do resultado da potência escrito por extenso. Observe o exemplo na tabela a seguir e complete-a, calculando o valor das potências. Se necessário, utilize uma calculadora ou uma planilha eletrônica. n elevado a n Número de algarismos Número de algarismos Construa um gráfico no plano cartesiano, relacionando o expoente das potências de da atividade anterior com o número de algarismos da escrita do resultado das potências. Lance no eixo vertical a quantidade de algarismos do número e no eixo horizontal o expoente de base Da mesma forma, o professor pode utilizar o recurso gráfico das planilhas eletrônicas, encontrando, assim, um gráfico semelhante a este: Número de algarismos das potências de Expoente

43 . Caso tenha à sua disposição computadores com uma planilha eletrônica ou calculadoras científicas, construa uma tabela, como a apresentada a seguir, para potências de com expoentes maiores que 6 e complete os valores que faltam: Nesses casos, a contagem de algarismos da potência de é facilitada, pois basta que somemos (referente à casa da unidade) a cada expoente de 0 para determinarmos a quantidade de algarismos da potência de base. O mesmo deve ocorrer com o uso de calculadoras científicas. n elevado a n Número de algarismos E+ 8.79E E+ 0.00E+.99E+.98E E+.759E+ Com esses valores, observamos que, a partir do expoente 7, aparece a notação E+n, sendo que n representa o expoente da potência de base 0. Vale observar a presença de determinado padrão nessa sequência, o que torna a atividade promotora de outras investigações, como a que propomos a seguir.. A tabela e a construção do gráfico nas atividades anteriores nos permitem observar determinado padrão na relação entre o expoente e o número de algarismos da potência na base para expoentes de 0 a 6. Sabendo que esse padrão se repete pelo menos até o expoente 00, determine a quantidade de algarismos do número que representa 00. Para responder a essa pergunta, o aluno pode utilizar algumas estratégias próprias, por exemplo, contar a quantidade de algarismos com base nos dados da tabela na sequência:,,,,... Outra possibilidade consiste em utilizar o gráfico dos colegas, pelo menos quatro deles, e ajustar, fazendo coincidir os pontos iniciais e finais, até encontrar o valor correspondente ao expoente 00. O professor pode, ainda, estimular os alunos a buscar uma forma mais simples para chegar à solução do problema. Para isso, pode sugerir que eles investiguem no gráfico uma correspondência entre a variação de algarismo e do expoente. A ideia é que eles percebam que, a cada variação de 0 no expoente, há um acréscimo de algarismos na escrita por extenso da potência de, isto é, há uma variação de no número de algarismos. Basta, portanto, fazer a relação 0 para. Contudo, como a sequên cia parte do, devemos acrescentar uma unidade no resultado dessa relação. Assim, para encontrarmos o número de algarismos do

44 Matemática 7ª série/8º ano Volume desenvolvimento de 00, devemos fazer a seguinte relação: se a cada 0 no expoente acrescentamos no número de algarismos, quando o expoente for 00, teremos acrescentado 0 algarismos. Como a sequência da quantidade de algarismos partiu do, teremos como solução algarismos, ou seja: 00 = 0; 0 = 0; 0+ = algarismos 0 Agora, vamos observar o que acontece quando o expoente não é múltiplo de 0, como é o caso de 6 e 7. 6 =,6,6 = 0, = algarismos 7 =,7,7 =, 0 + = algarismos Assim, a casa decimal resultante do produto por é ignorada na determinação do número de algarismos da escrita por extenso; é o que percebemos quando ligamos os pontos do gráfico por um traço. Considerações sobre a avaliação Nesta Situação de Aprendizagem, as unidades de medida da quantidade de informação guardada nas memórias dos computadores constituem um exemplo contextualizado do significado das potências e de sua função primordial na linguagem e no registro de números muito grandes. As atividades apresentadas abrem algumas perspectivas de abordagens, mas os caminhos para a exploração do tema são variados e especialmente fecundos. Sendo assim, o professor poderá propor diversos trabalhos complementares às avaliações formais, envolvendo pesquisas na internet ou pequenos projetos de investigação. Para saber mais Você pode ainda pesquisar na internet vários sites que tratam das unidades de medidas exploradas neste Caderno. Algumas palavras-chave que podem ser utilizadas e sites de busca são: bits; angstrom; parsec; anos-luz. Neste volume, são explícitas a conveniên cia e a vantagem na utilização de múltiplos instrumentos de avaliação, entre eles, além das provas, pequenos trabalhos e pequenas tarefas de pesquisa sobre temas sugeridos pelas temáticas das atividades desta Situação de Aprendizagem. Cabe ao professor, em função do equacionamento de seu tempo disponível, efetivar tais práticas avaliativas tendo em vista a exploração do interesse despertado nos alunos pelas atividades.

45 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 ARITMÉTICA COM ÁLGEBRA: AS LETRAS COMO NÚMEROS Conteúdos e temas: uso de letras representando números; operações com letras representativas de números; expressões algébricas; propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição e à subtração. Competências e habilidades: compreender o uso de letras representativas de números; generalizar padrões em sequências por meio de expressões algébricas; reconhecer equivalências entre expressões algébricas; realizar operações simples com polinômios. Sugestão de estratégias: proposição de sequências com diferentes padrões para serem analisadas por estratégias diversificadas de contagem, na busca da identificação de equivalências; atividades individuais e em grupo; resolução de situações-problema. Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 5 A introdução ao uso de letras na representação de problemas normalmente é feita na 6 a série/7 o ano como preparação para o estudo das equações. Na 7 a série/8 o ano, o desenvolvimento de novas habilidades para o cálculo algébrico pode ser iniciado por meio de uma atividade que possibilite a discussão de propriedades das operações algébricas com base na equivalência entre expressões. Nesse sentido, a equivalência entre expressões como (x + ) e (x + ) + + (x + ) e x + 6, ou entre (x + ) (x + ) e x + 5x + 6, ou, ainda, entre x e (x + ) (x ) pode ser trabalhada por meio de alguns recursos geométricos, como apresentado na atividade a seguir:. Observe a sequência de bolinhas e crie uma fórmula que expresse o total de bolinhas em função do número da figura. (Observação: chame o número da figura de n.) 5... Propondo um problema como esse aos alunos, é possível que eles apresentem mais de uma solução, o que deve ser usado como recurso para se verificar a equivalência entre expressões. Uma possível solução é a seguinte: 5... Nesse caso, note que na primeira linha sempre teremos o número de bolinhas igual ao número que representa a figura e, na segunda linha, o total de bolinhas será sempre um a menos que o número da figura. Usando a letra n para representar o número da figura, o total de bolinhas pode ser representado por n + (n ).

46 Matemática 7 a série/8 o ano Volume. Utilizando a mesma sequência da atividade anterior, escreva uma fórmula diferente, porém equivalente à que você encontrou. Resolução Fechando retângulos de n linhas e colunas, devemos acrescentar ainda n bolinhas Agora, o número de colunas é igual ao número da figura e temos duas bolinhas em cada coluna, exceto em uma delas Nesse caso, a fórmula seria n + (n ). (última coluna), que terá apenas uma bolinha. Se preenchermos a coluna que tem apenas uma bolinha com mais uma bolinha, podemos calcular o total de bolinhas multiplicando o número de colunas pelo de linhas e subtraindo a bolinha adicional ao final da conta. Usando letras, o total de bolinhas da figura n será n.. Como as fórmulas obtidas nas atividades anteriores são equivalentes, pois representam a mesma sequência de figuras, apresente uma propriedade algébrica decorrente dessa equivalência. Uma vez que as duas expressões obtidas são equivalentes, n + (n ) tem de ser idêntico a n, o que significa dizer que ambas as expressões devem ser válidas para qualquer n. Decorre, portanto, que n + n tem de ser igual a n.. Observe a sequência de bolinhas e crie duas fórmulas que expressem o total de bolinhas em função do número da figura. (Observação: chame o número da figura de n.) 5... Resolução Completando a figura com uma bolinha, fechamos retângulos de n linhas por colunas Cada retângulo de ordem n contém n bolinhas menos bolinha. Assim, a fórmula pode ser n. 5. Apresente uma propriedade algébrica que decorre da equivalência entre as fórmulas encontradas na atividade anterior. A fórmula, que agora seria n, pode ser comparada com a anterior, de onde se conclui que n + n tem de ser igual a n. 6. Observe a sequência de bolinhas e construa duas fórmulas que expressem o total de bolinhas em função do número da figura. (Observação: chame o número da figura de n.)... 5

47 Resolução Organizamos a figura em n linhas por n + colunas 7. Apresente uma propriedade algébrica que decorre da equivalência entre as fórmulas encontradas na atividade anterior. Como n(n+ ) é equivalente a n + n, concluímos que n n = n e que n = n. linha e colunas linhas e colunas... linhas e 5 colunas linhas e 6 colunas Com isso, chegamos a n(n + ). Resolução Agora, nesta resolução, organizamos a figura da seguinte forma: quadrados com n bolinhas e mais o dobro de n bolinhas A riqueza dessa atividade como instrumento didático está na busca de representações distintas, porém equivalentes, para indicar a quantidade de bolinhas em função do número da figura. Assim, é importante que o professor incentive seus alunos a buscar mais de uma expressão e a mostrar a equivalência entre as expressões obtidas. A seguir, apresentamos outros exemplos de atividades que permitem esse tipo de exploração, bem como algumas possíveis es tratégias de soluções. 8. Cada figura da sequência está indicada por um número. Determine quatro fórmulas diferentes (e equivalentes) para o total de bolinhas de uma figura genérica n dessa sequência Assim, a expressão geral será: n + n. Para esta atividade, apresentamos quatro soluções: 6

48 Matemática 7 a série/8 o ano Volume Solução Solução (n + ) São contadas quatro filas com uma bolinha a mais que o número da figura. Completa-se a figura fechando um quadrado com a quantidade Contudo, as bolinhas do canto são contadas duas vezes, por tanto, devemos subtrair quatro do total. (n + ) Expressão final. 5 (n + ) de linhas e colunas igual ao número da figura acrescido de. A quantidade de bolinhas nesse quadrado será, portanto, igual ao quadrado do número Solução da figura acrescido de uma unidade. (n ) São contados quatro grupos com uma bolinha a menos que o número da Devemos, contudo, subtrair do total de figura. bolinhas as que foram Sobram quatro bolinhas no canto, portanto, devemos acrescentar quatro ao + total. (n ) + Expressão final. 5 (n ) acrescentadas anteriormente. Estas formam um segundo quadrado que tem a quantidade de linhas e colunas igual ao número da figura, menos. Portanto, a Solução quantidade de bolinhas no quadrado menor é São contados quatro gru- igual ao quadrado do n pos com o número de bolinhas igual ao número da número da figura menos uma unidade. figura. n Expressão final. (n + ) (n ) Expressão final. 7

49 De forma resumida, obtemos o seguinte: 5... (n + ) + (n ) n (n + ) (n ) Vamos agora estudar um formato que posteriormente se tornará muito familiar aos alunos. O enunciado será o mesmo das atividades anteriores. Desafio! 9. Cada figura da sequência de bolinhas a seguir está indicada por um número. Encontre duas fórmulas diferentes (e equivalentes) para determinar o total de bolinhas de uma figura genérica n dessa sequência. n = n = n = n = n = 5 Solução : numericamente, é possível observar que a cada número n da figura corresponde um qua drado de n + linhas e n + colunas. A fórmula será (n + ). 5 Numericamente, é possível observar a validade desta fórmula: ) ( + ) ; ) ( + ) ; ) ( + ) ; ) ( + ) ;...; n) (n + ) Solução : nesse caso, formamos um quadrado de n linhas por n colunas, dois retân gulos de n por, e devemos acrescentar ainda bolinha. Temos, portanto, a fórmula: n + n +. 5 Assim, estabelecemos a equivalência entre (n + ) e n + n +. 8

50 Matemática 7 a série/8 o ano Volume Outros exemplos podem ser utilizados como forma de motivar a busca de uma reorganização da figura que facilite a identificação de uma fórmula, como o exemplo apresentado a seguir, que trabalha com a soma dos termos de uma sequência que, no Ensino Médio, identificarão por uma progressão aritmética. 0. Encontre uma fórmula que expresse o número de bolinhas de uma figura genérica n da sequência. 5 Para resolver o problema, vamos reagrupar as bolinhas de forma diferente: 5 Completando os quadrados, obteremos o seguinte: 5 Observe que, para formar esse último quadro, necessitamos: acrescentar a diagonal, indicada em vermelho, que possui uma bolinha a mais que o número da figura; acrescentar uma quantidade de bolinhas igual à que queremos contar em uma forma espelhada, com relação à diagonal, indicada na cor verde. Portanto, temos quadrados de n + linhas por n + colunas, formados pelos acréscimos das n + bolinhas (diagonal) e da imagem espelhada de bolinhas que queremos contar. Assim, o total de bolinhas da figura n será dado por (n + ) (n + ). Utilizando as regras de cálculo algébrico que foram discutidas nos outros exemplos, o aluno poderá reescrever essa fórmula n como + n n (n + ), ou, ainda,. 9

51 Na atividade a seguir, propomos mais algumas situações que permitem a construção de equivalências entre diferentes expressões algébricas. Para realizar esta atividade, o professor pode dividir a sala em pequenos grupos e sugerir que encontrem três formas equivalentes em cada item. Realizando as operações simples aprendidas até o momento, os alunos podem verificar a equivalência entre as expressões encontradas.. Determine fórmulas para o cálculo do número de bolinhas de cada figura das sequências a seguir em função do número da figura. (Observação: chame o número da figura de n.) Para cada caso, apresentamos três soluções equivalentes. a)... c) (n + ) + (n + ) (n + ) + (n + ) (n + )(n + ) n(n + ) Professor, agora proponha um trabalho diferente. Apresente aos alunos uma expressão e peça a eles que façam a representação em bolinhas.. Dada a fórmula para o cálculo do número de bolinhas em função do número n da figura, faça um desenho representativo para n =, n =, n = e n =. a) n + (n + ) + (n + ) Uma possível solução: (n + ) + (n ) (n + ) (n ) b) b) (n + ) Esta é uma possível solução para o problema: n + (n + ) + + n (n + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( = ) 50

52 Matemática 7 a série/8 o ano Volume. Encontre outras fórmulas equivalentes para cada um dos itens apresentados na atividade anterior. (Dica: faça figuras para auxiliar a resolução da atividade.) ) É possível que os alunos apresentem as seguintes soluções: ) Figuras Fórmula n + n + n + Considerações sobre a avaliação Com relação ao processo de avaliação, o professor deve escolher os tipos de instrumentos adequados que sejam compatíveis com as características do conteúdo específico ensinado e com as condições e características da turma, ou seja, a avaliação deve ter a autoria do professor, pois ele é o responsável pela formação dos alunos na disciplina que ministra. Contudo, consideramos importante a reflexão sobre alguns princípios norteadores da ação avaliativa: os instrumentos devem ser diversifi cados de forma a contemplar não apenas a diversidade de competências entre os alunos, mas também as várias dimensões do conhecimento estudado; a prova é um instrumento importante no processo de avaliação, mas não pode ser o único. É possível realizar uma prova de diferentes maneiras. Por exemplo: com ou sem consulta; no tempo de uma aula ou em um tempo maior; na sala de aula, na biblioteca ou em casa; individualmente ou em grupo etc. O formato da prova deve estar atrelado aos objetivos de aprendi zagem determinados pelo professor; os momentos que antecedem uma prova (estudo) e os que a sucedem (correção e recuperação) devem ser valorizados e contemplados no processo de avaliação. A elaboração de roteiros de estudo, incluindo listas de exercícios e questões norteadoras, ajuda o aluno a sistematizar seu conhecimento. O professor pode avaliar como esse estudo foi feito e também analisar as anotações e os exercícios resolvidos pelos alunos. A correção da prova pode ser feita pelos próprios alunos, com algumas orientações de caráter geral dadas pelo professor. Alguns alunos podem atuar como monitores sob a supervisão do professor. Esse processo, assim como o resultado da reelaboração da prova, pode ser avaliado; 5

53 a autoavaliação constitui uma ferramenta essencial na formação do aluno e deve ser considerada dentro do processo de avaliação. É preciso ter muito cuidado para não banalizar esse instrumento. O professor deve discutir com os alunos o significado da autoavaliação e como ela pode servir como instrumento de autoconhecimento para o aluno. aprofundada no decorrer das Situações de Aprendizagem seguintes. Consideramos que o desenvolvimento desta Situação de Aprendizagem foi satisfatório se os alunos estiverem motivados a encontrar as expressões equivalentes e se eles conse guirem generalizar algumas propriedades como a comutativa, a associativa e a distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração. Ao final desta Situação de Aprendizagem, a expectativa é de que o aluno tenha se familiarizado com a possibilidade de expressão de um movimento quantitativo por meio de uma fórmula ou de uma expressão algébrica. Recuperando a noção de equivalência tratada anteriormente, o foco é a equivalência entre expressões com letras, que representam a generalização de determinado padrão. Nas atividades apresentadas, a colaboração entre Álgebra e Geometria pode ser notada e será O professor pode observar que as atividades propostas permitem um trabalho cooperativo. À medida que alguns alunos vão encontrando soluções, o professor pode propor que estes as exponham para os outros colegas, permitindo maior interação entre os alunos. Muitas vezes, as linguagens que os alunos utilizam em suas explicações tornam- -se mais significativas, permitindo maior compreensão por parte dos alunos que ainda não haviam chegado à solução do problema. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 PRODUTOS NOTÁVEIS: SIGNIFICADOS GEOMÉTRICOS Conteúdos e temas: produtos notáveis; trinômio quadrado perfeito; diferença de quadrados; área e perímetro de figuras planas. Competências e habilidades: compreender a demonstração geométrica de um produto notável, de um trinômio quadrado perfeito e da diferença de dois quadrados; utilizar a linguagem algébrica para representar a área e o perímetro de uma figura plana; interpretar enunciados; transpor ideias relacionadas à Álgebra para a Geometria; generalizar e organizar dados a partir de certa propriedade. Sugestão de estratégias: apresentação de um conjunto de exercícios exemplares que exploram diferentes contextos. 5

54 Matemática 7 a série/8 o ano Volume Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 6 É importante que o aluno entenda que a igualdade ( a + b ) = a +ab+ b é uma for ma simplificada de calcular o produto ( a+ b). ( a+ b) sem que seja necessário desenvolvê-la completamente. Contudo, a simples memorização dessas expressões, desprovida de significado, não constitui o melhor caminho para o aprendizado da Álgebra pelos alunos. Nesse sentido, propomos que o professor explore o significado geométrico dos produtos notáveis e sua relação com o trinômio qua drado perfeito. O uso de letras para representar as medidas dos lados de uma figura geométrica é um recurso importante na formação algébrica dos alunos. É o passo para a generalização de determinadas propriedades relacionadas ao perímetro ou à área dessas figuras. A área de um quadrado de lado 5 é igual a 5 5 = 5 = 5. A área de um quadrado de lado 0 equivale a 0 = 00. Então, a área de um quadrado genérico de lado a vale a. Do mesmo modo, o perímetro de um quadrado de lado a pode ser escrito como a. Essas noções serão aplicadas no volume da 7 a série/8 o ano, quando serão estudadas demonstrações geométricas envolvendo os teoremas de Tales e de Pitágoras, além das deduções das fórmulas de áreas de outros polígonos. Para que os alunos possam fazer uso desse procedimento, é necessário que eles conheçam as fórmulas da área e do perímetro das figuras geométricas básicas, como o quadrado, o retângulo e o triângulo. Para aprofundar as ideias relativas às propriedades comutativa e distributiva, por exemplo, você pode sugerir aos alunos que encontrem expressões equivalentes às relativas ao cálculo de áreas de retângulos. Para discutir a igualdade x(a + ) = xa + x = = ax + x, pode-se interpretar a área do retângulo com dimensões x e a + : x a a + Decompondo o comprimento nas medidas a e, obtemos dois retângulos cujas áreas têm soma igual à área do retângulo anterior: x ax x a a + Podemos, portanto, concluir que x(a + ) = = ax + x. A seguir, apresentamos algumas atividades que podem ser propostas aos alunos para que estabeleçam expressões algébricas com base em situa ções geométricas: 5

55 . Observe as figuras a seguir e represente a área de cada re- x x tângulo por duas expressões algébricas equivalentes: a) x + y y xy 5y a 7 y a y O primeiro retângulo pode ser decomposto da seguinte forma: x 0 x x (a y) ( + y)(x + 5) = x xy + 5y a 7 y a y. A expressão a + b refere-se à área de um re tângulo. Represente geometricamente essa x ax 7x yx ax + 7x + yx expressão e encontre uma expressão equivalente a ela. a a y 7 y É preciso observar que, como o é um fator comum em ambas as parcelas, uma das dimensões do retângulo deve ser e outra, a soma de a com b. Portanto: Assim, essa situação nos permite escrever que x (a y) = ax + 7x + yx a b b) x 5 a b a + b y Uma expressão equivalente à dada na atividade é (a + b). Com isso, observamos que (a + b) = a + b, o que evidencia a propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição.. A expressão x(y ) refere-se à área de um retângulo. Represente geometricamente essa 5

56 Matemática 7 a série/8 o ano Volume x expressão e encontre uma expressão equivalente a ela. Nesse caso, o fator comum é o x, portanto, ele será a medida do lado comum na construção do retângulo; a outra medida deve ser (y ). Essa situação pode ser interpretada geometricamente como: x(y ) y y Com base na área do retângulo de lados x e y, podemos observar que: x xy x y Portanto, x(y ) = xy x, o que evidencia a propriedade distributiva da multiplicação com relação à subtração. a uma situação geral que permite, além de sua posterior interpretação no desenvolvimento especí fico dos produtos notáveis como (a + b) e (a b), a construção de noções fundamentais aplicadas tanto à fatoração de trinômios quanto à resolução de equações de o grau pelo método conhecido como soma e produto das raí zes. Nas atividades a seguir, propomos uma exploração sobre esse produto, mais uma vez usando a interpretação geométrica. Vale ressaltar que essa estratégia será retomada na Situação de Aprendizagem 7, quando abordaremos a fatoração e a resolução de equações por cálculo mental.. Represente geometricamente o produto (x + a) (x + b) e encontre uma expressão equivalente a ele. Para resolver essa situação, discuta com a turma que esse produto pode ser interpretado como a área de um retângulo de medidas de lados (x + a) e (x + b). Decompondo a figura pelas medidas x, a e b, encontramos um quadrado de lado x, um retângulo de lados x e a, um retângulo de lados x e b e, por fim, um retângulo de lados a e b. A partir deste momento, o professor pode x x + a a x x + a a explorar a compreensão dessas propriedades utilizando outras situações como essas ou propondo aos alunos muitas das situações x x x xa que encontramos em livros didáticos. x + b x + b Produtos notáveis b b xb ab O desenvolvimento do produto da soma de dois números como (x + a) (x + b) refere-se Dessa forma, podemos escrever: (x + a) (x + b) = x + xa + xb + ab 55

57 A presença, nessa expressão, da soma xa + xb pode ser interpretada como (a + b)x, pois, conforme o que foi discutido anteriormente, podemos realocar os retângulos da seguinte forma: 5. Represente geometricamente o produto (x a) (x b) e depois encontre uma expressão equivalente. Pensando nesse produto como a área de um retângulo, a medida de um lado será (x a) e do outro, (x b). Isso pode ser formado a partir de um quadrado de lado x, como mostra a figura: xb x x a a xb xa x xa x b x b (x a) (x b) xb a + b xa A área do quadrado inteiro corresponde a x, para chegarmos ao valor de (x a) (x b), devemos retirar os retângulos de áreas Obtendo a seguinte configuração: ax e bx, e acrescentar uma vez a área do retângulo de lado ab, que foi retirada duas vezes (uma na área ax e outra na área bx). Geometricamente, temos: x + (a + b)x + ab soma dos termos produto dos termos (x a) (x b) = Portanto, (x + a) (x + b) = x + (a + b)x + ab. Nessa expressão, identificamos que, no desenvolvimento de (x + a) (x + b), a quantidade de x, isto é, o coeficiente de x, é a soma dos números (a + b), e o termo independente é o produto dos mesmos termos a b. x a Outra situação a ser estudada é a que envolve o produto da diferença de dois números, isto é: (x a) (x b). x ax x x ax 56

58 Matemática 7 a série/8 o ano Volume + x a a propriedade distributiva ou a representação geométrica: a) (x + ) (x + 5) = x + ( + 5)x + 5 = x + 8x + 5 b bx b ab bx +ab Chegamos, então, à expressão (x a) (x b) = x xa xb + ab. Vale observar que essa expressão é equivalente à (x a) (x b) = = x (a + b)x + ab, o que, mais uma vez, permite-nos concluir que o coeficiente de x, embora negativo, refere-se à soma (a + b) e o termo independente, ao produto a b. b) (x 7) (x 0) = x (7 + 0)x = x 7x + 70 c) (x + ) (x + ) = x + ( + )x + = x + x + d) (x ) (x 6) = x ( + 6)x + 6 = x 0x + Os quadrados perfeitos A partir dessas situações propostas, o professor pode destacar para o grupo de alunos as semelhanças e diferenças presentes no desenvolvimento algébrico de (x + a) (x + b) e de (x a) (x b). Como vimos, o termo comum x é elevado ao quadrado; se o produto for entre a soma de dois números, o coeficiente de x, isto é, o segundo termo, será positivo, caso seja a diferença de dois números, ele será negativo. O professor poderá ampliar esse tipo de exploração propondo atividades como a representação de produtos (x + ) (x + 5) ou de (x ) (x ). Uma vez dominadas as ideias relativas às interpretações geométricas de fatos algébricos desses produtos notáveis, o professor pode recorrer às situações que envolvem a utilização da propriedade sem que seja feito o uso da propriedade distributiva ou do recurso geométrico. Isso é o que propomos na atividade seguinte. 6. Desenvolva os produtos a seguir sem aplicar A igualdade (a + b) = a + ab + b será dis cutida como um caso particular da situação estudada anteriormente. Essa particularidade reside no fato de a figura correspondente ser um quadrado. A importância desses desenvolvimentos algébricos na Matemática e em outras situações devem permitir que os alunos atribuam significado à expressão algébrica decorrente do produto ou da potência em questão. Para isso, retomamos a demonstração geométrica a partir da decomposição de um quadrado de lado a + + b, que tem área igual a (a + b). Ele pode ser decomposto em quatro figuras: um quadrado de área a, outro quadrado de área b e dois retângulos de área a b. A soma das áreas das quatro figuras é igual à área do quadrado maior, como mostra a figura da atividade a seguir. 7. Observe a figura apresentada a seguir e complete os quadros em branco com letras, indicando as medidas dos lados no o membro e as áreas no o membro. 57

59 a + b a a a + b = a b + + a b b b a b (a + b) = a + ab + b Convém salientar aos alunos que, com base nessa demonstração, qualquer trinômio quadrado perfeito pode ser representado geometricamente por um quadrado. 8. Represente geometricamente o trinômio quadrado perfeito x + x +. x + x Contudo, um trinômio como x x não será um quadrado perfeito, pois o terceiro termo ( ) está precedido do sinal de menos ( ). 9. Faça a representação geométrica dos seguintes trinômios quadrados perfeitos: a) a + 6a + 9 b) x + x + a + x + x x x x + a a a a + x x x x + x a 9 x Desafio! 0. Demonstre geometricamente a igualdade (a b) = a ab + b, partindo de um quadrado de lado a, conforme mostra a figura. a a b (a b) a b b A área do quadrado interno de lado (a b) vale (a b). Ela equivale à área do quadrado maior (a ), subtraída das áreas dos retângulos de lados a e b (a b). Contudo, é preciso adicionar a área do quadrado de lado b (b ), pois ele foi retirado duas vezes ao subtrairmos os retângulos do quadrado maior. Essa operação pode ser visualizada geometricamente na figura a seguir: 58

60 Matemática 7 a série/8 o ano Volume a b (a b) a b = + a b (a b) = a ab + b. Mostre geometricamente que a igualdade (x 5) = x 0x + 5 é válida. O produto notável (x 5) pode ser representado geometricamente da seguinte forma: x x 5 (x 5) x (x 5) x 5x 5 = + 5 5x Represente geometricamente os seguintes produtos notáveis: a) a 6a 9 a (a ) (a ) = a a + a a (a ) = a 6a +9 59

61 b) 9x 6x x (x ) (x ) = (x) x + x x (x ) = 9x 6x + Outra igualdade importante na Álgebra é a diferença de dois quadrados. Algebricamente, essa igualdade significa que a diferença entre o quadrado de dois números é igual ao produto da soma pela diferença entre esses dois números, isto é, a b = = (a + b) (a b). a b a Para apresentar esse produto notável, o professor pode propor uma atividade aos alunos pedindo que cada um construa seu modelo com uma medida para a e outra medida para b, podendo verificar a validade da afirmação para qualquer um desses valores, generalizando, portanto, para medidas a e b. a a b b a b Geometricamente, será construído um quadrado de lado a, do qual será subtraído um quadrado de lado b, conforme a figura a seguir: A figura resultante pode ser dividida ao meio e suas partes, realocadas da seguinte forma: 60

62 Matemática 7 a série/8 o ano Volume b a. Represente geometricamente a expressão algébrica 6x 9y e, depois, encontre a b a b uma expressão equivalente a ela, como o produto de dois números. b a Obtemos, assim, um retângulo cuja área equivale a (a + b) (a b). Podemos concluir assim que: a b = (a + b) (a b). a Solução Agora, o aluno pode pensar que temos a diferença de dois quadrados, um com área 6x e outro com área 9y. Portanto, deve concluir que o lado do quadrado maior é x e do quadrado menor, y. Procedendo conforme o modelo, podemos encontrar como solução: a + b x x a b x 6x 9y x y y y y x Com base no conhecimento desses produtos notáveis, podemos explorar situações mais complexas, como as que sugerimos a seguir. x y x y. Represente geometricamente a expressão algébrica 9 x e, em seguida, construa x x + y y uma expressão equivalente a ela, indicando o produto de dois termos. x y x x x Assim, concluímos que 6x 9y = (x + y) (x y) + x a Solução O aluno pode considerar um quadrado de lado x e, em seu 9 x = ( + x) ( x) interior, um quadrado de lado y. 6

63 y y x x y 5. A figura a seguir mostra um quadrado de lado c formado por triângulos retângulos de catetos a e b, além de um quadrado menor. Mostre que c = a + b. x c x y a b Em seguida, é preciso observar que a diferença dos quadrados (6x 9y ) significa a sobra do retângulo com medidas x e (x y) e y e (x y). Rearranjando, construímos um retângulo de lados (x + y) e (x y). x y A área do quadrado de lado c corresponde a c. Os triân gulos de lado a, b e c têm área igual a a b. O quadrado menor, por sua vez, tem lados iguais a (b a), portanto, sua área é (b a). A área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos triângulos e do quadrado menor. x y c a b x y x a b a x y b x y x + y Portanto, podemos concluir que 6x 9y = (x + y) (x y). a b Portanto: c = + (a b) c = ab + a ab + b c = a + b 6 Terminada essa etapa, sugira outras situações similares, que funcionem como uma introdução à fatoração, tema da próxima Situação de Aprendizagem. Com o intuito de trabalhar um pouco mais com esse manejo algébrico-geométrico, propomos uma atividade que envolve demonstrações. A solução desse problema é uma demonstração do Teorema de Pitágoras, segundo o qual em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos em todos os triângulos. Nesse momento, o professor não precisa enunciar esse teorema, uma vez que ele é o objeto de estudo do volume da 7 a série/8 o ano.

64 Matemática 7 a série/8 o ano Volume Uma noção do desenvolvimento de outras potências (a + b) Apoiados em noções simples, como o diagrama de árvore, propriedades de potências e produtos notáveis, é possível introduzir estudo sobre as regularidades presentes no desenvolvimento de potências sucessivas do binômio (a + b) n. Geometricamente, seria o mesmo processo de calcular o volume de um cubo com arestas (a + b), no caso, (a + b) refere-se à área da base do cubo e (a + b), à altura do cubo: (a + b) A investigação que propomos segue um modelo que vem sendo adotado em outros Cadernos: identificar padrões no sentido de generalizar e organizar dados a partir de certa propriedade. Inicialmente, o professor pode propor para grupos de alunos que completem a seguinte tabela da expansão da expressão (a + b) n para n = 0,, e : (a + b) 0 (a + b) (a + b) (a + b) Os três primeiros casos já são conhecidos. A solução de (a + b) pode ser encontrada por meio da seguinte propriedade de potência: (a + b) = (a + b) (a + b) = = (a + b) (a + ab + b ) = = a + a b + ab + b (a + b) (a + b) (a + b) Desenvolvimento (a + b) 0 = (a + b) = a + b (a + b) = a + ab + b (a + b) = a + a b + ab + b Tendo a tabela completa, o professor pode destacar para os alunos que, no desenvolvimento das potências sucessivas de (a + b) n, de forma geral, o número de termos é sempre uma unidade a mais que o expoente, isto é, igual a n +. Esse fato é importante, pois permite ao aluno uma análise que pode fazê-lo evitar o erro muito comum de desenvolver (a + b) como simplesmente a + b. Assim, ao observar o expoente, espera-se que ele conclua que encontrará um trinômio. 6. Faça o desenvolvimento de (a + b) 5, utilizando padrões e regularidades. 6

65 Nesse caso, ao desenvolvermos a potência, encontraremos 6 termos. Mas quais são eles? Será possível encontrar esses termos sem que sejam necessários os processos de distribuição? Apresente aos alunos a possibilidade de desenvolver potências sucessivas de (a + b) n aplicando o diagrama de árvore: (a + b) 0 a b (a + b) a + b a b a b (a + b) a + ab + b a b a b a b (a + b) a + a b + ab + b a b a b a b a b (a + b) a + a b + 6a b + ab + b a b a b a b a b a b (a + b) 5 a 5 + 5a b + 0a b + 0a b + 5ab + b 5 Com base nessa configuração triangular, o professor pode ressaltar que existe um padrão, o qual permite determinar os termos literais e os coeficientes do desenvolvimento de (a + b) n sem que seja necessário efetuar o produto. Para isso, é preciso, em um processo de análise, separar a parte literal dos coeficientes. Assim, os alunos podem observar os expoentes de cada parte literal e perceber que, da esquerda para a direita, o expoente de a diminui de n para 0 (o primeiro termo a n pode ser escrito como a n b 0 ) e o expoente de b aumenta de 0 a n (o último termo b n pode ser escrito como a 0 b n ). Com relação aos coeficientes, uma vez exposta em cartaz ou na lousa a configuração triangular anterior, podem-se destacar os coefi cientes com círculos, como ilustra a figura a seguir. 6

66 Matemática 7 a série/8 o ano Volume a b a + b a b a b a + ab + b a b a b a b a a b + a b a b + a ab b + a b b a + a b + 6 a b + ab + b a b a b a b a b a b a a b + 0 a b + 0 a b + 5 ab + b 5 Imaginando esses números escritos em cubos, de modo que formem uma pirâmide, como a figura a seguir, é possível observar que cada valor escrito na face do cubo é igual à soma dos que estão sobre ele (veja o exemplo destacado): Esse esquema é conhecido há muito tempo e foi amplamente utilizado pelo matemático francês Blaise Pascal (6-66) no desenvolvimento de sua teoria da probabilidade. Seguindo o raciocínio, teremos o seguinte desenvolvimento para (a + b) 5 : (a + b) 5 = a 5 + 5a b + 0a b + 0a b + 5ab + b 5 É possível concluir que, para o desenvolvi- mento de (a + b) 6 : o número de termos desse desenvolvimento é 7; as partes literais serão a 6, a 5 b, a b, a b, a b, ab 5 e b 6 ; 6 os coeficientes serão, 6, 5, 0, 5, e. Portanto: (a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 5a b + 0a b + + 5a b + 6ab 5 + b 6 65

67 Quanto aos coeficientes, os alunos ainda podem ser estimulados a perceber algumas propriedades ilustradas na seguinte tabela, as quais se referem ao conhecido Triângulo de Pascal. Entre elas, podemos destacar: Coeficientes Portanto, os coeficientes de (a + b) 6 podem ser determinados a partir da linha dos coeficientes de 5 da seguinte forma: (a + b) 0 (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) 6 (a + b) ) Os extremos são ocupados pelo número e dois termos equidistantes dos extremos são iguais (Figura ). ) A soma de dois elementos consecutivos de uma mesma linha será o número da linha seguinte abaixo do segundo elemento (Figura ). Coeficientes Coeficientes Figura Figura O professor pode sugerir que os alunos escrevam, por exemplo, o desenvolvimento de (a + b) 0. Pesquisas similares são objeto de estudo do Ensino Médio, particularmente quando se trata de problemas e contagens e binômios de Newton. Contudo, pelo uso de noções elementares de Álgebra e potências, esse tipo de investigação é oportuno. Fica a cargo do professor perceber as condições de aplicação dessa atividade, podendo ser proposta aos alunos como um pequeno projeto de pesquisa. Considerações sobre a avaliação O tema desta Situação de Aprendizagem é produto notável. O termo notável, nesse caso, pode indicar tanto a importância desse conhecimento para o desenvolvimento de outras noções relativas às operações algébricas, à solução de equações e à demonstração de fórmulas, quanto a possibilidade de ele ser visualizado rapidamente em vários contextos. Para essa rápida visualização, a abordagem adotada apoiou-se no seu significado em contextos geométricos. Dessa forma, uma das expectativas que se coloca nesse processo de 66

68 Matemática 7 a série/8 o ano Volume aprendizagem diz respeito a essa capacidade de atribuir significado aos produtos notáveis com base em uma interpretação geométrica. É comum associarmos o desenvolvimento de, por exemplo, (a + b), à citação oral o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. Embora ela seja um auxiliar na memorização do desenvolvimento do quadrado da soma do binômio, devemos tomar cuidado para que ela não constitua o ponto central da aprendizagem. No caso do desenvolvimento das potências sucessivas de (a + b) n, o que importa é a investigação sobre a presença de padrões e a possibilidade de aplicação de estratégias para generalizações de propriedades. Consideramos o desenvolvimento da Situação de Aprendizagem bem-sucedido se os alunos tiverem consolidado a combinação entre Álgebra e Geometria de modo a identificar e aplicar os produtos notáveis em várias situações. Vale ressaltar que, nas próximas Situações de Aprendizagem, os produtos notáveis serão retomados em outros contextos, permitindo um processo continuado de aprendizagem e avaliação. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 ÁLGEBRA: FATORAÇÃO E EQUAÇÕES Conteúdos e temas: valor numérico de um polinômio; operações entre polinômios; casos de fatoração algébrica; resolução de equações. Competências e habilidades: expressar um polinômio por meio de um produto de fatores mais simples; aplicar os casos de fatoração na simplificação de frações algébricas; resolver equações de o grau por fatoração de polinômios; compreender o significado da fatoração algébrica como recurso para a resolução de equações em diferentes contextos; resolver equações aplicando cálculo mental. Sugestão de estratégias: apresentação de exercícios exemplares que exploram diferentes contextos. Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 7 Os produtos notáveis, os casos de fatoração e a simplificação de expressões envolvendo frações algébricas são alguns dos assuntos abordados no estudo algébrico que, normalmente, é iniciado na 6 a série/7 o ano. As dificuldades declaradas pelos alunos com relação a esses conteúdos são reconhecidas pela maioria dos professores que, por sua vez, não medem esforços na busca de metodologias de trabalho cada vez mais eficientes. Uma das preocupações dos docentes nesse sentido consiste em promover a aproximação entre tais conteúdos, a fim de que a complementaridade entre eles amplie seus significados individuais. 67

69 Assim, convém abordar paralelamente os produtos notáveis e as fatorações, bem como também abordar em conjunto as fatorações e as simplificações de frações algébricas. As diversas etapas que compõem esta Situação de Aprendizagem são decorrentes desse princípio, uma vez que pretendem promover a integração entre todos esses conceitos e ainda a resolução de equações. Vale ressaltar que não se trata de abordar em profundidade a resolução dessas equações, o que será feito posteriormente, mas sim de atribuir significado aos importantes conceitos de valor numérico de um polinômio e de raiz de um polinômio, além de relacionar, desde o início, os casos de fatoração à resolução de equações. a) Se a medida da largura for igual a 6 cm, qual será a medida do comprimento? 6 + = 9 cm b) Se a medida do comprimento for igual a 60 cm, qual será a medida da largura? 60 = 57 cm c) Se a medida da largura for igual a 5 cm, qual será a medida da área do retângulo VASO? 5 8 = 70 cm d) Se a medida do comprimento for igual a cm, qual será a medida da área do retângulo VASO? = 5 cm A primeira atividade relaciona, novamente, a escrita de expressões algébricas ao cálculo de áreas e de perímetros de retângulos. Tal abordagem, que normalmente tem por objetivo ajudar os alunos a compreender os diversos casos de fatorações algébricas, passa a salientar a interpretação do valor numérico de um polinômio e a igualdade entre dois polinômios. Sendo assim, julgamos fundamental que todas as etapas desta primeira atividade sejam rigorosamente cumpridas e avaliadas.. A medida do comprimento do retângulo VASO é cm maior do que a medida de sua largura. Sendo assim, responda: e) Se a medida da largura for x, qual será a medida do comprimento? x + f) Se a medida do comprimento for m, qual será a medida da largura? m g) Se a medida de um dos lados do retângulo VASO for igual a y, qual(quais) das expressões seguintes pode(m) representar o cálculo de sua área (em cm ), e qual(quais) pode(m) representar a medida de seu perímetro (em cm)? (I) (y + ) (IV) y y O V (II) y (y + ) (V) y + y (III) (y ) y (VI) y + 6 Perímetro: (I) e (VI); 68 S A área (II), (III), (IV) e (V).

70 Matemática 7 a série/8 o ano Volume h) Considere as expressões (III) e (IV) do item anterior e calcule, para cada uma, o valor da área do retângulo VASO para y = 0 cm. 70 i) Dois polinômios são idênticos quando possuem valores numéricos iguais para qualquer valor atribuído à variável. Os polinômios (III) e (IV) do item h, que representam a área do retângulo VASO, são iguais ou diferentes? Os polinômios (III) e (IV) são idênticos, e vale a pena chamar a atenção dos alunos para o fato de que esses polinômios obedecem à condição de serem iguais para qualquer valor de y. Você pode pedir que eles calculem alguns valores numéricos positivos, negativos, fracionários ou decimais para verificação. j) Verifique se os polinômios (II) e (III) do item g desta atividade são idênticos calculando o valor numérico de cada um deles para alguns valores de y. Os polinômios (II) e (III) não são idênticos. Apesar de terem o mesmo valor numérico para y = 0, eles têm valores diferentes para outros valores de y, ainda que ambos os polinômios possam representar a área do mesmo retângulo VASO.. Observe os seis polinômios seguintes, no - meados de A a F, e as áreas e dos retângulos representados nas figuras. A = x 6 D = (x ) x x Área Área x Área x a) Quais desses polinômios podem representar o cálculo da área? A e C b) Quais desses polinômios podem representar o cálculo da área? B e D c) Calcule o valor da área para o caso em que x = 0 cm. 8 cm d) Calcule o valor da área para o caso em que x = 5 cm. 69 cm e) Verifique que os polinômios E e F são idênticos, calculando o valor numérico de cada um deles para, pelo menos, quatro valores diferentes de x. Nesse caso, os alunos poderão atribuir a x apenas valores positivos, por se tratar de medida de lado de retângulo. Todavia, o professor deve pedir que não sejam atribuídos apenas valores naturais. B = x x + E = x( + x) C = (x + ) (x ) F = x + 6x. Leia, nos quadrinhos a seguir, o problema que Paulo está propondo a João. 69

71 João, pense em um número positivo qualquer. Pensei: x e) O polinômio A = x + 6x pode representar a área desse retângulo? Por quê? Conexão Editorial O dobro do número que você pensou é o lado de um retângulo. É x. E o outro lado? A área do retângulo pode ser obtida pela expressão (x + ) x, que é idêntica à expressão x + 6x. O professor pode pedir aos alunos que verifiquem a identidade a partir de alguns valores atribuídos a x, a fim de atribuir significado ao conceito de valor numérico de um polinômio. O outro lado do retângulo é três unidades a mais do que esse. É x + a) Quais são as medidas dos lados do retângulo de que fala Paulo no caso de o número x, em que João pensou, ser igual a 0? 0 e Professor! A ideia fundamental na atividade seguinte é a verificação de uma igual dade por meio do cálculo do valor numérico da expressão envolvida. Todavia, nos demais itens, será incluída a ideia de que as equações, quando fatoradas, mantêm os valores de suas raízes. Assim, retoma-se a ideia da atividade anterior, acerca da identidade entre polinômios. Sugerimos que os alunos percorram os itens de a a d, e que, ao final, o professor destaque a equivalência entre as equações. b) Qual é a área do retângulo de que fala Paulo no caso do número x, em que João pensou, ser igual a 8? x(x + ) = 8( 8 + ) = 6 (9) = 0 c) Desenhe um retângulo e assinale nele as medidas dos lados, de acordo com a forma pensada por Paulo. x + x x x + d) Escreva um polinômio para representar o perímetro desse retângulo. P = x + x + x + + x + = 8x + 6. Leia com atenção o enunciado a seguir: A soma de certo número positivo com é elevada ao quadrado e o resultado final é 6. a) Descubra esse número utilizando apenas cálculo mental. 5 b) Chamando o número procurado de a, escreva uma sentença matemática que traduza o enunciado da atividade. (a + ) = 6 70

72 Matemática 7 a série/8 o ano Volume c) Em quais das seguintes sentenças podemos substituir a letra a pelo número que você descobriu de cabeça? Efetuando os cálculos, verifique se a igualdade final é verdadeira. (I) (a + ) (a + ) = 6 (II) a + 6a + 9 = 6 (III) (a + 9) (a + ) = 0 (IV) (a 5) (a + ) = 0 (V) (a ) (a ) = (I), (II), (IV) e (V). d) Existe um número negativo que também satisfaz à condição descrita no enunciado. Qual, dentre os elementos do conjunto a seguir, é esse número? { 8, 9, 0,, } e) Entre as sentenças matemáticas do item c, quais são verdadeiras quando a letra a é substituída pelo número negativo que você descobriu? (I) (a + ) (a + ) = 6 (II) a + 6a + 9 = 6 (III) (a + 9) (a + ) = 0 (IV) (a 5) (a + ) = 0 f) Dentre as sentenças matemáticas do item c desta atividade, quais são verdadeiras quando a letra a é substituída pelo número positivo e também pelo número negativo que você descobriu? Escreva novamente essas expressões. (I) (a + ) (a + ) = 6 (II) a + 6a + 9 = 6 (IV) (a 5) (a + ) = 0 g) Considere as sentenças matemáticas (I) e (IV) do item c. Aplique a propriedade distributiva, elimine os parênteses e verifique que essas sentenças são equivalentes entre si e que também são equivalentes à sentença (II). As equações (I), (II) e (IV) são equivalentes. (II) (I) (a + ) (a + ) = 6 a + 6a + 9 = 6 a + 6a 55 = 0 (IV) (a - 5) (a + ) = 0 a + 6a - 55 = 0 Atribuindo significado às fatorações Fatorar uma expressão algébrica é decompô-la na forma de um produto. Nem todas as expressões algébricas são fatoráveis, mas quando o forem, é importante ter em mente os produtos notáveis. Particularmente, vamos estudar os tipos de fatoração já estudados por meio de certas brincadeiras que envolvem pensar em mais de um número e realizar algumas operações. No final, adivinharemos o número em que você pensou. 5. Pense em um número e siga as instruções: multiplique-o por 5; adicione o resultado a 5; divida o resultado anterior pelo número em que você pensou adicionado a. O resultado final, vamos "adivinhar", é igual a 5, certo? Descubra como conseguimos calcular esse número. Se o número é x, obtemos a seguinte expressão: (5x + 5) (x + ) = 5(x + ) (x + ) = 5 7

73 6. Pense em um número inteiro e positivo. Em seguida, faça o seguinte: eleve-o ao quadrado; multiplique o resultado por ; adicione o resultado anterior ao quádruplo do número em que você pensou; divida o resultado anterior pelo dobro do número. 8. Leia a história em quadrinhos a seguir: Conexão Editorial Lucia, pense em um número inteiro e positivo. 8 O resultado final, vamos "adivinhar", é igual a unidades a mais do que o número em que você pensou, certo? Isto é, se você pensou no número 5, o resultado final foi 7; se você pensou no número, o resultado final foi 5, e assim por diante. Descubra como conseguimos adivinhá-lo. Se o número é x, obtemos a seguinte expressão: (x + x) x = x(x + ) x = x + Multiplique por e subtraia 6. Divida o resultado pela diferença entre o dobro do número e. 8 6 = 8 8 ( 8 ) = 8 7. Pense em dois números naturais consecutivos. Em seguida: eleve cada número ao quadrado; subtraia o menor resultado do maior; divida o resultado anterior pela soma dos números em que você pensou. Aposto que o resultado deu, 5, não deu? 8 =, 5 Deu mesmo. Como é que ele descobriu? 7 O resultado final, vamos "adivinhar", deu, certo? Descubra como conseguimos acertar. Se os números são x e y, obtemos a seguinte expressão: (x y ) (x + y) = = [(x y) (x + y)] (x + y) = = x y Já que x e y são consecutivos, x y =. Outra possibilidade de solução: Se os números são x e (x + ), obtém-se a seguinte expressão [(x + )² - x²] (x+ x+ ) = = (x² + x + x²) (x + ) = = ( x + ) (x+) = = Descubra como o rapaz acertou o resultado obtido por Lúcia. O que se está calculando nesta atividade é o resultado de x - 6, x - que é igual a, de acordo com a seguinte simplificação: x - 6 (x - ) = =. No entanto, estabeleça com os alunos x - (x - ) que x deve ser di ferente de zero e, portanto, x não pode ser.

74 Matemática 7 a série/8 o ano Volume O objetivo das próximas três atividades é construir com os alunos estratégias de cálculo mental que permitirão certa agilidade no processo de fatoração de trinômios do o grau. 9. Encontre dois números cujo produto é 6 e a soma é 5. Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a b = = 6 e a + b = 5. Embora a solução deste exercício possa ser resolvida por cálculo mental, é interessante que o professor explore alguns aspectos dessa situação: como o produto é positivo, os dois números possuirão o mesmo sinal; ou ambos são positivos, ou ambos são negativos, e nenhum deles será zero, pois, senão, o produto seria zero. A fim de descobrir os possíveis números positivos, podemos decompor o 6 como: 6 ; 8 ; e 9, e escrever uma tabela:. Encontre dois números cujo produto é 0 e a soma é 8. Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a b = = 0 e a + b = 8. Já que o produto é zero, um dos números será 0 e, como a soma é 8, o outro número será 8. Portanto, os números são 0 e 8. Fatorando um trinômio do o grau Na Situação de Aprendizagem 6, chegamos às seguintes conclusões: (x + a) (x + b) = x + (a + b)x + ab, e que, (x a) (x b) = x (a + b)x + ab Soma Portanto, os números serão e. 0. Encontre dois números cujo produto é 7 e a soma é 6. Observamos que o coeficiente do termo comum x é a soma (a + b) e que o termo independente é o produto a b. Se o produto for entre a soma de dois números, o coeficiente de x será positivo, caso seja a diferença de dois números, ele será negativo. Assim, se conhecermos os números a e b, poderemos fatorar o trinômio do o grau com coeficiente de x igual à unidade. Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a b = 7 e a + b= 6. Agora, Já que o produto é negativo, os números deverão ter sinais diferentes. Como a soma é negativa, o número negativo terá valor absoluto maior que o positivo. Estudando os possíveis números, podemos decompor o 7 da seguinte forma: Soma Portanto, os números serão e 9. Para fatorar o trinômio x + 7x +, é preciso encontrar os valores respectivos de a e b, que são os termos não comuns. Como o coeficiente de x é 7 e o termo independente é, é necessário considerar quais são os dois números cujo produto é igual a (a b = ) e a soma é igual a 7 (a + b = 7). O número pode ser escrito como ; e 6, o que nos permite montar o seguinte quadro: 7

75 6 Soma 7 8 Portanto, os números são e, e, assim, x + 7x + = (x + ) (x + ). Caso o segundo termo fosse negativo, como no caso de x 7x +, o sinal mudaria dentro dos parênteses: x 7x + = = (x ) (x ). No caso de o trinômio ser um quadrado perfeito, o raciocínio não mudaria. No processo de fatoração de x + 8x + 6, o produto dos dois números deve ser 6 e a soma, 8. Investigando os fatores de 6, encontramos: 6 ; 8 e. Montando a tabela, podemos concluir que os números que satisfazem as condições são iguais a. Resolvendo equações por meio de cálculo mental e fatorações. Utilizando apenas o cálculo mental, descubra o valor do número x tal que: a) elevado ao quadrado e depois adicionado a 5 resulta ; ou b) o dobro subtraído de 9 é igual a ele próprio subtraído de ; 8 c) o dobro da adição entre x e é igual a 0; d) o produto de x pela soma de x com é igual a 0. 0 ou 6 8 Soma Portanto, x + 8x + 6 = (x + ) (x + ) = (x + ). Vale observar que, nesses casos, ambos os termos, x e, são comuns, e é isso que torna esse caso particular. Fique atento! O produto de dois números é zero quando um deles é zero, ou os dois são zero. Embora nessas soluções tenhamos indicado a construção de tabelas, elas serviram unicamente para organizar um raciocínio que os alunos deverão fazer mentalmente. Nas atividades a seguir, tal objetivo será evidenciado.. Utilizando apenas o cálculo mental, descubra o va lor do número x que torna verdadeira a igualdade em cada caso. 7

76 Matemática 7 a série/8 o ano Volume a) x = 0 8 b) x (x 5) = 0 0 ou 5 c) (x ) (x 5) = 0 ou 5 d) 5 (x + 5) = 0 5 e) (x ) (x + ) = 0 ou f) (x ) (x ) = 0 ou Na próxima atividade, os alunos poderão aplicar várias estratégias de fatoração já estudadas. Por exemplo, recorrer às semelhanças com os produtos notáveis ou aplicar, nos casos pos síveis, a ideia da soma e produto dos termos.. Fatore e resolva as equações a seguir: a) x + 6x = 0 (x + 0) (x + 6) = x(x + 6) = 0 soluções: 0 ou 6 b) x 5 = 0 (x + 5) (x 5) = 0 soluções: 5 ou 5 c) x 9 = 0 (x + ) (x ) = 0 soluções: ou d) x = 0 (x -) (x + ) = 0 ou x + x = 0 soluções: ou e) x 6x + 9 = 0 (x ) (x ) = (x ) = 0 solução: f) x + x + 6 = 0 (x + 6) (x + 6) = (x + 6) = 0 solução: 6 g) x x + = 0 (x ) (x ) = 0 soluções: ou h) x 7x + 0 = 0 (x ) (x 5)= 0 soluções: ou 5 Considerações sobre a avaliação Esta Situação de Aprendizagem abordou processos de fatoração algébrica. Foram desenvolvidas atividades apoiadas em conhecimentos algébricos, geométricos e aritméticos. O novo foco de trabalho com produtos notáveis será a sua tradução para a forma de produto entre números ou na forma de fatores. Além disso, apresentamos a identidade entre polinômios, o que nos permitiu destacar a atribuição de um valor numérico às letras, construindo a noção de variável. Embora possamos identificar que os processos de fatoração são bem mais assimilados quando o aluno participa da construção dos significados referentes aos produtos notáveis, percebemos que esse conhecimento se dá em mão dupla, isto é, ao tratarmos da fatoração, ganham também sentido os produtos notáveis. Uma das metas traçadas no trabalho com esta Situação de Aprendizagem é que o aluno saiba efetuar transformações em uma expressão algébrica por meio de fatorações, simplificações e cancelamento, permitindo, de certa forma, uma generalização de procedimentos aplicados nos cálculos aritméticos. 75

77 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8 ARITMÉTICA E GEOMETRIA: EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DE ALGUMAS IDEIAS FUNDAMENTAIS Conteúdos e temas: problemas aritméticos abordados com o auxílio da Álgebra e da Geometria. Competências e habilidades: expressar por meio de letras relações entre números naturais em diversas situações concretas; integrar as linguagens algébrica e geométrica na representação de relações em diferentes contextos; resolver problemas que integram os números e as formas geométricas. Sugestão de estratégias: apresentação de atividades que permitam a integração entre as linguagens aritmética, algébrica e geométrica em diferentes contextos. Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 8 Como você representaria a soma dos n primeiros números naturais a partir do? Como você indicaria o valor de tal soma em termos de n? Como você representaria o número par de ordem n a partir de? E o número ímpar de ordem n a partir de? Como você indicaria, em termos de n, o valor da soma dos n primeiros números pares a partir de? E a soma dos n primeiros números ímpares? Como você representaria o número de diagonais de um polígono de n lados em termos de n? Podemos responder a questões como essas representando um número natural genérico por n e expressando as propriedades e as operações por meio de fórmulas envolvendo n. Procedendo assim, podemos fazer uma ponte entre a Álgebra e a Aritmética. A Geometria também pode ser usada nesse diálogo entre Álgebra e Aritmética, como veremos a seguir. Há uma história bastante conhecida segundo a qual Gauss, importante matemático que viveu entre os séculos XVIII e XIX, com cerca de dez anos de idade, teria efetuado o cálculo da soma dos 00 primeiros números naturais a partir de (S 00 = ) em poucos segundos, ao perceber que a soma da primeira com a última parcela era igual à soma da segunda com a penúltima, que também era igual à soma da terceira com a antepenúltima, e assim por diante. Cada um desses pares de parcelas tem soma igual a 0. 76

78 Matemática 7 a série/8 o ano Volume Com base nessa descoberta, ele teria concluído que a soma das 00 parcelas seria igual a 50 0, ou seja, S 00 = Podemos aproximar o raciocínio de Gauss da linguagem geométrica. Observe as formas triangulares indicadas a seguir. O total de bolinhas representadas em cada uma delas é a soma S 7 = A partir dessa forma retangular, observa-se que há 7 linhas, e que em cada linha há 8 bolinhas ( + 7 = + 6 = = + = 5 + = 6 + = 7 + ). Assim, podemos concluir que o valor de S 7 é igual à metade do produto 7 8, ou seja, S 7 = 7 8 = 8. Se reunirmos as duas formas triangulares, obtemos a seguinte forma retangular: Raciocinando de modo semelhante, seria pos- 7 8 sível mostrar que S =, S 7 =, e n (n + ) assim por diante. De modo que S n =. 77

79 Desafio! Raciocinando como Gauss e inspirado nas formas geométricas apresentadas anteriormente, você é capaz de generalizar e indicar como calcularia a soma dos n primeiros números naturais a partir de? Chamando de S n a soma (n ) + (n ) + (n ) + n, podemos notar que as somas + n, + (n ), + (n ), + + (n ), e assim por diante, resultam sempre em + n; poderíamos concluir que as n parcelas seriam equivalentes a n parcelas iguais a + n, ou seja, que o valor de S n seria igual a n ( + n), ou, ainda, Sn = n (n + ). Tal raciocínio seria perfeito se soubéssemos que n seria um número par, mas isso nem sempre ocorre. Para chegarmos a uma conclusão sobre o valor de S n que seja válida quer n seja par, quer n seja ímpar, podemos raciocinar de outra maneira. Certamente S n pode ser escrita das duas formas indicadas a seguir: S n = (n ) + (n ) + (n ) + n S n = n + (n ) + (n ) + (n ) Somando as parcelas da a igualdade às parcelas correspondentes na a igualdade: S n = ( + n) + ( + n) + ( + n) + ( + n) ( + n) + ( + n) + ( + n) + ( + n) = n ( + n) Logo, S n = n (n + ), independentemente do fato de n ser par ou ímpar. Imaginando uma forma triangular, como nos exemplos anteriores, representando a soma S n ; reunindo duas formas triangulares e formando uma forma retangular com n linhas, em que cada linha tem n + bolinhas, chegaríamos ao mesmo resultado para S n. Como se pode verificar, a linguagem geométrica é muito sugestiva e pode contribuir para a compreensão dos procedimentos aritméticos e algébricos. Outra situação que permite o uso de procedimentos aritméticos e algébricos está baseada no estudo dos números pares e ímpares. Para resolver as atividades a seguir, o professor pode retomar as discussões desta Situação de Aprendizagem, propondo aos alunos que identifiquem os padrões associados aos números pares (n) e ímpares (n ), utilizando mais uma vez a representação figurada dos números com o auxílio das bolinhas. 78

80 Matemática 7 a série/8 o ano Volume. Observando e analisando a representação dos primeiros números pares e ímpares por meio de bolinhas, responda às questões: + = = = = = = = 6 = a) Qual é o quinto número par a partir de? 5 = 0 b) Qual é o centésimo número par a partir de? 00 = 00 c) Qual é o sétimo número ímpar a partir de? 7 = d) Qual é o trigésimo número ímpar a partir de? 0 = 59 e) Represente o número par de ordem n a partir de. n f) Represente o número ímpar de ordem n a partir de. n. Observe os quadrados a seguir e a estratégia usada para calcular a soma dos primeiros números ímpares a partir de. Com base na estratégia apresentada, calcule a soma dos 9 primeiros números ímpares. Na atividade, é importante o aluno perceber o seguinte padrão que poderá ser generalizado, ou seja, a soma dos n primeiros números ímpares é n. A soma dos 9 primeiros números ímpares é 8. Essa atividade será retomada no Volume, pois servirá de base para a demonstração do Teorema de Pitágoras.. Generalize uma fórmula para o cálculo da soma dos n primeiros números ímpares a partir de. i S n = (n ) = n. Como foi visto na atividade anterior, a soma dos n primeiros números ímpares a partir de é igual a n, ou seja, i S = ( n ) = n n a) Mostre que a soma dos n primeiros números pares a partir de é igual a n + n. P A soma S n = (n) é igual ao dobro da soma P dos n primeiros naturais, ou seja, S n = (n) = = ( n). Como já vimos que a soma dos n primeiros naturais é igual a n (n + ), concluímos que P Sn = n (n + ) = n (n + ) = n + n 79

81 b) Calcule a soma dos n primeiros números naturais S n = (n ) + (n) e mostre que ela é igual à soma dos n primeiros números pares a partir de, com os n primeiros números ímpares a partir de, ou seja: i P S n = Sn + Sn. Para S n temos: S n = n (n + ) = n + n. a) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um pentágono convexo? Traçando as diagonais a partir de um dos vértices, um pentágono pode ser subdividido em triângulos, cuja soma dos ângulos internos coincide com a soma dos ângulos internos do pentágono. Logo, a soma pedida vale 80 o, ou seja, 50 o. Somando os valores de Sn i e de S p n, obtemos, então, o mesmo valor que o de S n. c) Considere a soma dos seis primeiros números naturais a partir do que pode ser chamado de soma sanfonada : S S 6 = que, como podemos verificar, é igual a 6, ou seja, 6. Observe a figura a seguir e verifique que a soma sanfonada dos n primeiros números naturais é igual a n, ou seja: S s n = (n ) + (n ) + n + + (n ) + (n ) = n b) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um octógono convexo? Traçando as diagonais a partir de um dos vértices, o octógono fica dividido em 6 triângulos; a soma dos ângulos internos do octógono é 6 80 o, ou seja, 080 o. c) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um quilógono convexo? No caso do quilógono (000 lados), o núme ro de triângulos em que é possível dividi-lo, traçando as diagonais a partir de um dos vértices, é igual a 998 (excetuando-se os dois lados cuja interseção é o vértice de onde partem as diagonais, a cada um dos outros lados corresponde um triângulo); logo, a soma dos ângulos internos do quilógono é igual a o, ou seja, o. 80 A figura anterior representa a soma sanfonada S s 7 ; temos, no caso, S s 7 = 7 = 9. Por analogia, podemos estender o quadrado formado pelas bolinhas para 8, 9,..., n bolinhas em cada lado, sendo válido que o total de bolinhas será n, ou seja, S s n = n. 5. Considerando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 80º, responda: d) Como se expressa, em termos de n, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados? No caso de um polígono de n lados, a soma dos ângulos internos será igual ao número de triângulos em que se pode dividir o polígono convexo multiplicado por 80 o. Excetuando-se os dois lados que determinam o vértice de partida das diagonais, a cada um dos outros lados vai corresponder um triângulo; logo, o número de triângulos é n. Dessa forma, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é S i = (n ) 80 o.