FICHA SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E OS NÚMEROS NATURAIS

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1 FICHA 1 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E OS NÚMEROS NATURAIS Você já parou para pensar como surgiram os números? Será que os números surgiram da invenção de um matemático? O número surgiu a partir do momento em que existiu a necessidade de contar objetos e coisas, e isso aconteceu há mais de anos. Os homens nessa época viviam em cavernas e grutas e não existia a ideia de números, mas eles tinham a necessidade de contar. Assim, quando os homens iam pescar ou caçar, levavam consigo pedaços de ossos ou de madeira. Para cada animal ou fruto capturado, o homem fazia no osso ou no pedaço de madeira um risco. Com a evolução do homem, que deixando de ser nômade fixou-se em um só lugar, esse passou a praticar não somente a caça e a coleta de frutos, mas também o cultivo de plantas e a criação de animais. A partir daí surgiu a necessidade de uma nova forma de contagem, pois o homem precisava controlar o seu rebanho. Passou-se, então, a utilizar pedras: cada animal representava uma. Mas como isso era feito? Para cada animal que ia pastar, uma pedra era colocada dentro de um saco. Ao final do dia, para cada animal que entrava no cercado, uma pedra era retirada. Assim, era possível manter o controle e saber se algum animal havia sido comido por outro animal selvagem ou apenas se perdido. Com a evolução do homem e da matemática, surgiu a palavra cálculo, em latim calculus, que significa contas com pedras. Com o tempo, símbolos passaram a ser utilizados para representar essas quantidades, esses símbolos eram os números e dessa forma, foi surgindo o primeiro conjunto numérico: o Conjunto dos Números Naturais (N), cujos elementos eram 1, 2, 3, 4, 5 e assim por diante. Tempos mais tarde, foi necessária a utilização de um símbolo que representasse a ausência de objetos na contagem, dessa forma, surgiu o zero (0), que foi incorporado ao Conjunto dos Números Naturais (N). Portanto, podemos escrever assim: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}. É comum encontrarmos ao lado do símbolo do conjunto um asterístico (*), para representar a ausência do zero (0) naquele conjunto. Exemplo: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}. Sistemas de Numeração Durante toda a história, assim como a palavra, o número também passou por diversas mudanças na sua representação. Os símbolos 9, nove, IX, são numerais diferentes que representam o mesmo número, apenas escrito em idiomas e épocas distintas. Sistema de Numeração é um sistema que representa números de uma forma consistente, representando uma grande quantidade de números úteis, dando a cada número uma única representação, reflete as estruturas algébricas e aritméticas dos números. Foram criados então símbolos e regras originando assim os diferentes Sistemas de Numeração. Por Exemplo, o nosso sistema de numeração é chamado DECIMAL, pois os agrupamentos são feitos de 10 em 10 unidades, utilizando os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que são utilizados para contar unidades, dezenas e centenas. Outro Exemplo, o sistema romano de numeração é o mais usado na designação de séculos, indicação de capítulos e volumes de livros, mostradores de alguns relógios, etc, depois do sistema de numeração decimal. Nesse Sistema é utilizado sete letras (símbolos) que representam os seguintes números: I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M Na numeração romana, as letras são escritas uma ao lado da outra. Quando temos uma letra maior seguida de uma menor somamos os valores, observe: VI = = 6 XII = = 12 LV = = 55. Quando temos uma letra menor seguida de uma maior, subtraímos o valor da maior pelo valor da menor, veja: IV = 5 1 = 4 IX = 10 1 = 9 XL = = 40. 1

2 Obs.: A letra I somente aparecerá antes do V e do X. A letra X somente aparecerá antes do L e do C. A letra C somente aparecerá antes do D e do M. As letras I, X, C e M somente podem ser escritas seguidamente por três vezes. Observe: XIII = = 13 LXX = = 70. Algumas letras do algarismo romano são escritas com o sinal de um traço, eles representam que os valores devem ser multiplicados por 1.000, e assim respectivamente. Observe: VI e LXXII Números Pares e Ímpares: Você sabe a diferença? Um número é PAR, se ao dividir por 2, não restar nada (resto 0). De outra forma, ele será ÍMPAR, se restar 1. Nós podemos representar esses números em dois conjuntos: o conjunto dos números pares [P = {2n n Z}] e o conjunto dos números ímpares [ I = { 2n + 1 n Z }]. Números Primos e Números Compostos Um número primo é um número natural que tem exatamente dois divisores positivos (distintos): o número 1 e ele mesmo. Por exemplo, o número 2 é primo, porque só divide por 1 e por 2 (ele mesmo). Portanto, exatamente dois divisores positivos. Já o 9 não é primo, pois divide por 1, por 3 e por 9, ou seja, tem 3 divisores positivos. OBS: 2 é o único par que é primo. Você se recorda quais são os 15 primeiros números primos? Primos = { _, _, _, _,,,,,,,,,,,,...} Um número que não é primo é chamado de composto. Por exemplo, o número 9 é composto, como vimos acima. LEMBRETE: Quando multiplicamos dois números, por exemplo, 2 3 = 6, dizemos que 2 e 3 são fatores e 6, que é o resultado da multiplicação, é chamado de produto. Teorema Fundamental da Aritmética O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números naturais positivos maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores. Se escolhermos um número natural qualquer, por exemplo, 12, ele pode ser escrito como uma multiplicação de números primos: (ou 2² 3). O número 90 pode ser decomposto em fatores primos: (ou 2 3² 5). Para decompor um número em fatores primos é fácil e precisa que você se lembre de fatoração (transformar em fatores), mas nós vamos conhecer outro método. Exemplo: Decompor pode ser escrito como o 154, por sua vez, pode ser escrito como 2 77 o 77, por sua vez, pode ser escrito como 7 11 (como 7 e 11 são primos, nós paramos.). Portanto, a decomposição de 308 em fatores primos é (ou 2² 7 11) Agora é sua vez de tentar: decomponha os números 120, 550, 49 e 1024 em fatores primos. 120 = 550 = 49 = 1024 = Divisores de um Número Natural Dizemos que um número é divisível por outro, se o resto da divisão for zero. Por exemplo, 15 é divisível por 3, porque o resto da divisão é zero. Já o mesmo 15 não é divisível por 4, porque deixa resto 3. Os DIVISORES de um número natural X são todos os números que divide X, sem deixar resto. Por exemplo, os divisores de 6 são 1, 2, 3 e 6 (a divisão de 6 por esses números não deixam restos). Representamos o conjunto dos divisores de 6 por D(6) = {1, 2, 3, 6}. Você já aprendeu em algum momento da sua vida escolar um método de encontrar os divisores de um número, mas iremos aprender outro mais fácil. Para isso, precisamos decompor os números em dois 2

3 fatores (não precisam ser NECESSARIAMENTE primos). Vejamos um exemplo: Divisores de pode ser escrito como também pode ser escrito como também pode ser escrito como também pode ser escrito como 5 6 (NÓS PARAMOS QUANDO OS DOIS FATORES SE ENCONTRAM OU ESTÃO PRÓXIMOS). Portanto, os divisores de 30 [D(30)] são 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. Vamos calcular o MDC de 28, 70 e 98 de outra forma: Outro exemplo: Divisores de = 2 50 = 4 25 = 5 20 = (Paramos, pois se encontraram.) Portanto, os divisores de 100 são 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}. Será que você já consegue achar o MDC de um conjunto de números? Ache o MDC de 35, 60 e 150. Máximo Divisor Comum (MDC) Vamos achar os divisores de dois números, por exemplo, 60 e 144. Usando o método anterior, você obterá os seguintes divisores: Se observarmos os divisores comuns de 60 e 144, teremos 1, 2, 3, 4, 6 e 12. O máximo divisor comum (MDC) é o maior de todos os divisores comuns dos números dados. Portanto, o máximo divisor comum de 60 e 144 é 12. Representamos da seguinte maneira: MDC(60, 144) = 12. Portanto, o Máximo Divisor Comum (MDC) de um conjunto de números é o maior número que divide todos eles. Múltiplos de um Número Natural Os múltiplos de um número X são os resultados das multiplicações desse X por 0, por 1, por 2, por 3 e assim sucessivamente. Representamos por M(X) o conjunto dos múltiplos de X. Vejamos um exemplo: os múltiplos de 3 são 0 (0 3), 3 (1 3), 6 (2 3), 9 (3 3), 12 (4 3), 15 (5 3) e assim por diante. Isto é, M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,...}. Ex: Ache os múltiplos de 5 M(5) = {,,,,,,...} Você percebeu algo particular nos múltiplos de 5? Eles terminam em que? Conclusão: Todo múltiplo de 5 termina em ou em. E os múltiplos de 2? O que eles tem em particular? São. E os múltiplos de 3? O que acontece com a soma dos dígitos? Conclusão: Um número é múltiplo de 3 se a soma dos dígitos. Quando um número é múltiplo de 10? Quando termina em. Você lembra como decompor o número 6 em fatores primos? 6 =. Portanto, pra ser múltiplo de 6 tem que ser múltiplo de (ou seja, ser ) e ser múltiplo de (ou seja, a soma do dígitos ). 3

4 Esses detalhes que conhecemos acima nos permite descobrir de quem um número é múltiplo ou por quem ele é divisível, chamamos isso de CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE. Será que você já consegue achar o MMC de um conjunto de números? Ache o MMC de 10, 15 e 18. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Vamos achar os múltiplos de dois números, por exemplo, 12 e 15. Usando a ideia anterior, os múltiplos de 12 e de 15 são: M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, } M(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150,...} Os múltiplos comuns de 12 e 15 são 0, 60, 120, e assim por diante (de 60 em 60). O mínimo múltiplo comum (MMC) é o menor múltiplo (maior que zero) comum aos números. Nesse caso, o menor múltiplo comum de 12 e 15, maior que 0, é 60. Portanto, o MMC (12, 15) = 60. Mas esse é o único jeito de descobrir o MMC? A resposta é NÃO. Vamos lembrar da primeira forma como você aprendeu a achar o MMC. Uma terceira forma de obter o MMC é decompondo os números em fatores primos e multiplicando as maiores potências de primos que aparecem (para cada primo, multiplicar as maiores quantidades). Vamos entender isso melhor calculando o MMC de 12 e 18: 12 = = 2² 3 18 = = 2 3² A maior potência de 2 é 2² (porque aparece 2 vezes: 2 2) e a maior potência de 3 é 3² (porque aparece 2 vezes: 3 3). Portanto, o MMC de 12 e 18 é 2² 3² = = (FUVEST SP G:A) No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes piscam com frequências diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se num certo instante, as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) (PUC G:D) A Dengue é uma doença causada por um vírus, transmitida de uma pessoa doente para uma pessoa sadia por meio de um mosquito: o Aedes aegypti. Ela se manifesta de maneira súbita com febre alta, dor atrás dos olhos e dores nas costas e, como não existem vacinas específicas para o seu tratamento, a forma de prevenção é a única arma para combater a doença. Fonte (adaptado): prdu.unicamp.br/dengue/dengue.html Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575 homens inscreveram-se como voluntários para percorrer alguns bairros do ABC paulista, a fim de orientar a população sobre os procedimentos a serem usados no combate à Dengue. Para tal, todas as pessoas inscritas serão divididas em grupos, segundo o seguinte critério: todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de pessoas e em 4

5 cada grupo só haverá pessoas de um mesmo sexo. Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar bairros distintos, o menor número de bairros a serem visitados é: a) 25 b) 29 c) 37 d) 41 e) (COVEST-G:C) Qual o maior inteiro n para que 3 n divida o produto ? a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) (ENEM G:C) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o numero 1 3 _ , sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu. 4. (ENEM-G:E) Os números de identificação utilizados no cotidiano (de contas bancárias, de CPF, de Carteira de Identidade etc) usualmente possuem um dígito de verificação, normalmente representado após o hífen, como em Esse dígito adicional tem a finalidade de evitar erros no preenchimento ou digitação de documentos. Um dos métodos usados para gerar esse dígito utiliza os seguintes passos: multiplica-se o último algarismo do número por 1, o penúltimo por 2, o antepenúltimo por 1, e assim por diante, sempre alternando multiplicações por 1 e por 2. soma-se 1 a cada um dos resultados dessas multiplicações que for maior do que ou igual a 10. somam-se os resultados obtidos. calcula-se o resto da divisão dessa soma por 10, obtendo-se assim o dígito verificador. O dígito de verificação fornecido pelo processo acima para o número é a) 1. b) 2. c) 4. d) 6. e) 8. De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de a) centena. d) milhão. b) dezena de milhar. e) centena de milhão. c) centena de milhar. (COVEST) Indique a alternativa falsa. Um número natural é divisível por: a) 2 se termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. b) 3 se a soma dos dígitos é divisível por 3. c) 5 se a soma dos seus dígitos é divisível por 5. d) 6 se é divisível por 2 e por 3. e) 9 se a soma dos seus dígitos é divisível por 9. (Mackenzie SP) Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90s, 108s e 144s 5

6 de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. A soma do número das aparições diárias dos partidos na TV foi de: a) 15 b) 16 c) 17 d) 19 e) 21 Considere que o esquema represente uma trilha poligonal que Carlos deve percorrer, partindo do ponto A até chegar ao ponto M. José possui um supermercado e pretende organizar de 100 a 150 detergentes, de três marcas distintas, na prateleira de produtos de limpeza, agrupando-os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, mas sempre restando um. Quantos detergentes José tem em seu supermercado? a) 61 b) 81 c) 101 d) 121 e) 141 (UEL) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente? a) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas. b) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas. c) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas. d) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas. e) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas. Sabendo que o segmento AB possui 11 m de comprimento e, a partir desse, o comprimento de cada segmento seguinte possui um metro a menos que o comprimento do segmento anterior, quantos metros Carlos terá caminhado ao percorrer toda a trilha? a) 176 b) 121 c) 111 d) 66 e) 65 Uma professora propôs aos seus alunos que escrevessem a seguinte expressão numérica que oralmente ela citou: Ao número 6 adicionamos o número 3. Depois, multiplicamos o resultado por 2 e, por fim, adicionamos 1. A expressão corretamente escrita está representada em: a) ( ) + 1 d) (6 + 3) (2 + 1) b) e) (2 + 1) c) (6 + 3) (2 + 1) 6

7 Cinco times de futebol (A, B, C, D e E) ocuparam as primeiras colocações em um campeonato realizado em seu país. A classificação final desses clubes apresentou as seguintes características: O time A superou o time C na classificação; O time C ficou imediatamente à frente do time E; O time B não ficou entre os 3 últimos colocados; O time D ficou em uma classificação melhor que a do time A. Assim, os dois times mais bem classificados foram: a) A e B b) A e C c) B e D d) B e E e) C e D serão ameaçadas de extinção durante uma primavera pela espécie P, se apenas uma delas surgirem na primavera junto com a espécie P. Nessa primavera atual, todas as 4 espécies saíram dos casulos juntas. Qual será a primeira e a segunda espécie a serem ameaçadas de extinção por surgirem sozinhas com a espécie predadora numa próxima primavera? a) A primeira a ser ameaçada é a espécie C e a segunda é a espécie B. b) A primeira a ser ameaçada é a espécie A e a segunda é a espécie B. c) A primeira a ser ameaçada é a espécie C e a segunda é a espécie A. d) A primeira a ser ameaçada é a espécie A e a segunda é a espécie C. e) A primeira a ser ameaçada é a espécie B e a segunda é a espécie C. Em uma floresta, existem 4 espécies de insetos, A, B, C e P, que têm um ciclo de vida semelhante. Essas espécies passam por um período, em anos, de desenvolvimento dentro de seus casulos. Durante uma primavera, elas saem, põem seus ovos para o desenvolvimento da próxima geração e morrem. Sabe-se que as espécies A, B e C se alimentam de vegetais e a espécie P é predadora das outras 3. Além disso, a espécie P passa 4 anos em desenvolvimento dentro dos casulos, já a espécie A passa 8 anos, a espécie B passa 7 anos e a espécie C passa 6 anos. As espécies A, B e C só (COVEST) O produto das idades de três amigos adolescentes (entre 12 e 19 anos) corresponde a 4080 anos. Qual a soma de suas idades em anos? a) 48 b) 49 c) 50 d) 51 e) 52 (COVEST) Renato estará de folga na próxima terça e após cada seis dias. Roberto estará de folga na próxima quarta e após cada sete dias. A partir de hoje, que é segunda, em quantos dias, pela primeira vez, estarão os dois de folga simultaneamente? 7

8 (UPE) Três ciclistas A, B e C treinam em uma pista. Eles partem de um ponto P da pista e completam uma volta na pista ao passarem novamente pelo mesmo ponto P. O ciclista A gasta 30 seg, o ciclista B, 45 seg, e o ciclista C, 40 seg, para dar uma volta completa na pista. Após quanto tempo, os três ciclistas passam juntos, no ponto P, pela terceira vez consecutiva? a) 18 min. b) 25 min. c) 30 min. d) 15 min. e) 20 min. O matemático americano Eduardo Kasner pediu ao filho que desse um nome a um número muito grande, que consistia do algarismo 1 seguido de 100 zeros. Seu filho batizou o número de gugol. Mais tarde, o mesmo matemático criou um número que apelidou de gugolplex, que consistia em 10 elevado a um gugol. Quantos algarismos tem um gugolplex? a) 100 b) 101 c) d) e) Médicos alertam sobre a importância de educar as crianças para terem hábitos alimentares saudáveis. Por exemplo, analisando-se uma bolacha com recheio de chocolate (25 g) e um pé de alface (25 g), observam-se as seguintes quantidades de nutrientes, respectivamente: Em uma de suas salas, o professor Robério pensou em uma expressão numérica e a propôs para seus alunos. Após alguns minutos, Talita e Felipe fizeram as seguintes colocações. carboidratos: 15 g e 0,5 g; proteínas: 1,9 g e 0,5 g. Disponível em: Acesso em: 27 abr (adaptado). Considerando as informações apresentadas, qual deve ser o número de pés de alface consumidos para se obter a mesma quantidade de carboidratos de uma bolacha? a) 8 b) 7 c) 30 d) 50 e) 14 A partir do diálogo travado em sala de aula e do valor correto da expressão a) a resposta dada por Felipe está correta. b) a resposta dada por Talita está correta. c) ambos erraram, pois a expressão proposta pelo professor não tem solução. d) ambos erraram, pois a resposta correta é 36. e) ambos erraram, pois a resposta correta é 1. 8

9 (EPCAR) Uma abelha-rainha dividiu as abelhas de sua colmeia nos seguintes grupos para exploração ambiental: um composto de 288 batedoras e outro grupo de 360 engenheiras. Sendo você a abelha-rainha e sabendo que cada grupo deve ser dividido em equipes constituídas de um mesmo e maior número de abelhas possível, então você redistribuiria suas abelhas em: a) 8 grupos de 81 abelhas b) 9 grupos de 72 abelhas c) 24 grupos de 27 abelhas d) 2 grupos de 324 abelhas e) 12 grupos de 54 abelhas (UPE) Três colegas caminhoneiros, Santos, Yuri e Belmiro, encontraram-se numa sexta-feira, 12 de agosto, em um restaurante de uma BR, durante o almoço. Santos disse que costuma almoçar nesse restaurante de 8 em 8 dias, Yuri disse que almoça no restaurante de 12 em 12 dias, e Belmiro, de 15 em 15 dias. Com base nessas informações, analise as afirmativas seguintes: I. Os três caminhoneiros voltarão a se encontrar novamente no dia 13 de dezembro. II. O dia da semana em que ocorrerá esse novo encontro é uma sexta-feira. III. Santos e Yuri se encontrarão 4 vezes antes do novo encontro dos três colegas. Está CORRETO o que se afirma, apenas, em a) I b) II c) III d)i e II e) II e III Na Quadradolândia são utilizados os seguintes símbolos O professor Robério pediu que Ruth resolvesse a expressão 2 [ 2 ( ) 3 ( ) 10 ] e depois desenhasse o resultado como se escreve na Quadradolândia. Sabendo que ela acertou o cálculo proposto, qual figura ela desenhou? 9

10 (ENEM) Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicionai: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares. Na Figura 1, o quipus representa o número decimal Para representar o zero" em qualquer posição, não se coloca nenhum nó. O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é a) 364. b) 463. c) d) e) os maias representavam os números como mostra a Figura 1: Números superiores a 19 são escritos na vertical, seguindo potências de 20 em notação posicional, como mostra a Figura 2. Ou seja, o número que se encontra na primeira posição é multiplicado por 20 0 = 1, o número que se encontra na segunda posição é multiplicado por 20 1 = 20 e assim por diante. Os resultados obtidos em cada posição são somados para obter o número no sistema decimal. Um arqueólogo achou o hieróglifo da Figura 3 em um sítio arqueológico: O número, no sistema decimal, que o hieróglifo da Figura 3 representa é igual a a) 279. b) 539. c) d) e) (ENEM) Os maias desenvolveram um sistema de numeração vigesimal que podia representar qualquer número inteiro, não negativo, com apenas três símbolos. Uma concha representava o zero, um ponto representava o número 1 e uma barrinha horizontal, o número 5. Até o número 19, GABARITO 1 C 2 D 3 D 4 B 5 D 6 D 7 C 8 D 9 A A 12 B 13 D 14 B 15 B 16 C 17 E 18 C 19 D 10