Mat Top. Tópico: Análise Combinatória. Professores:

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1 Nome: Mat Top Professores: Fred Kennedy Sérgio Data: Tópico: Análise Combinatória QUESTÃO 01 Considere todos os anagramas distintos da palavra ES- COLA e responda cada item a seguir. a) Quantos são, no total? b) Quantos começam com E? c) Quantos terminam em consoante? d) Quantos têm as vogais juntas? e) Quantos têm as vogais juntas e as consoantes também juntas? f) Quantos começam com vogal e terminam em consoante? g) Quantos têm as vogais e consoantes alternadas? QUESTÃO 0 Dado um quadrado ABCD, escolhem-se 3 pontos sobre o lado AB, 5 pontos sobre BC, pontos sobre CD e 1 ponto sobre AD, de modo que nenhum desses pontos coincida com algum vértice desse quadrado. Sendo U o conjunto formado pelos 11 pontos marcados, julgue os itens a seguir. I) Com os pontos do conjunto U, ficam determinados 154 triângulos. II) Com os pontos do conjunto U, ficam determinadas 44 retas. III) Com os pontos do conjunto U, ficam determinados 57 quadriláteros convexos. QUESTÃO 03 Considere todos os números naturais de cinco algarismos distintos que podem ser formados utilizando-se os algarismos 0, 1,, 3, 4, 5 e 7 e responda cada item a seguir. a) Quantos começam com o algarismo 5? b) Quantos possuem o algarismo 5 em sua formação? c) Quantos são, no total? d) Quantos são ímpares? e) Quantos são pares? f) Quantos possuem os algarismos 1 e juntos? QUESTÃO 04 Um restaurante oferece, no cardápio, saladas distintas, 3 tipos de pratos de carne, 4 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras essa pessoa poderá fazer seu pedido? QUESTÃO 05 Um químico dispõe de 10 substâncias. Ele quer misturar delas, porém ele sabe que, entre as dez, existem duas substâncias, A e B, que, somente quando entram em contato entre si, produzem mistura explosiva. Se esse químico não quer produzir mistura explosiva, então o número de maneiras distintas de misturar dessas 10 substâncias é: a) 10 b) 18 c) 11 d) 84 e) 140 QUESTÃO 0 Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele

2 soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 1 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido. De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática? a) 0 8! (3!) b) 8! 5! 3! c) 8 8! 5! 3! 1! e) 8 d) 8! 5! 3! QUESTÃO 07 Considere o seguinte jogo de apostas: Numa cartela com 0 números disponíveis, um apostador escolhe de a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas. O apostador será premiado caso os números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela. O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos. Quantidade de números escolhidos em uma cartela Preço da cartela (R$),00 7 1, , , ,00 Cinco apostadores, cada um com R$500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções: - Arthur: 50 cartelas com números escolhidos; - Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com números escolhidos; - Caio: 1 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com números escolhidos; - Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; - Eduardo: cartelas com 10 números escolhidos. Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são a) Caio e Eduardo. b) Arthur e Eduardo. c) Bruno e Caio. d) Arthur e Bruno. e) Douglas e Eduardo. QUESTÃO 08 Um artesão de joias tem a sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes. A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras. Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter? a) b) 1 c) 18 d) 4 e) 3 QUESTÃO 09 Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta-corrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles,

3 a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora da alteração recomendada é a) c) 10! 4! 10! 5! e) 10 b)! 10! d)! 10! QUESTÃO 10 O designer português Miguel Neiva criou um sistema de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. O sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que é o amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os símbolos que representam preto e branco também podem ser associados aos símbolos que identificam cores, significando se estas são claras ou escuras. Folha de Sao Paulo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 18 fev. 01. (adaptado) De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto? a) 14 b) 18 c) 0 d) 1 e) 3 QUESTÃO 11 IE Fn Se Cm O diretor de uma escola convidou os 80 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. b) 0 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. d) 0 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. e) 70 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. QUESTÃO 1 O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 10 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares.

4 Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número é a) 4. b) 31. c) 3. d) 88. e) 89. QUESTÃO 1 Considere que um professor de arqueologia tenha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e fora do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a seguir. Museus nacionais Museus internacionais Masp São Paulo Louvre Paris MAM São Paulo Prado Madri Ipiranga São Paulo British Museum Londres Imperial Petrópolis Metropolitan Nova York De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode escolher os 5 museus para visitar? a) b) 8 c) 0 d) 4 e) 3 QUESTÃO 13 A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 0, 03,..., 59, 0}, custava R$ 1,50. Disponível em: Acesso em: 7 jul Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 1,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente, a) 3 vez menor. b) 5 vezes menor. c) 4 vezes menor. d) 9 vezes menor. e) 14 vezes menor. QUESTÃO 14 Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de a) uma combinação e um arranjo, respectivamente. b) um arranjo e uma combinação, respectivamente. c) um arranjo e uma permutação, respectivamente. d) duas combinações. e) dois arranjos. QUESTÃO 15 Estima-se que haja, no Acre, 09 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela a seguir. grupos taxonômicos número de espécies Artiodáctilos 4 Carnívoros 18 Cetáceos Quirópteros 103 Lagomorfos 1 Marsupiais 1

5 Perissodáctilos 1 Primatas 0 Roedores 33 Sirênios 1 Edentados 10 Total 09 T & C Amazônia, ano 1, n.º 3, dez./003. Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos - uma do grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a a) b).090. c) d).00. e) QUESTÃO 1 No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura. O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é a). b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. QUESTÃO 17 O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra escura, no número 1. Observe a seguir um exemplo simplificado de um código em um sistema de código com 0 barras. Se o leitr óptico for passado da esquerda para a direita irá ler: Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler: No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, como o código , no sistema descrito acima. Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco barras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou todas as escuras, é a) 14. b) 1. c) 8. d). e) 4. QUESTÃO 18 Em um lançamento de 5 moedas diferentes uma de 5 centavos, uma de 10 centavos, uma de 5 centavos, uma de 50 centavos e uma de 1 real e posterior observação das suas faces superiores, quantos são os possíveis resultados?

6 QUESTÃO 19 Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não têm preferência. De quantos modos os passageiros podem se sentar, respeitando-se as preferências? QUESTÃO 0 IU FSR CG S Considere o padrão de construção representado pelos desenhos abaixo. Na etapa 1, há um único triângulo equilátero. Na etapa, é traçado um segmento a partir dos pontos médios de dois lados do triângulo da etapa 1, formando dois triângulos equiláteros. Na etapa 3, é traçado um segmento a partir dos pontos médios de dois lados do triângulo menor da etapa, formando três triângulos equiláteros. Na etapa 4 e nas etapas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos triângulos menores da etapa anterior. O número de trapézios na ª etapa de construção é a) 14. b) 15. c) 1. d) 17. e) 18. QUESTÃO 1 U E C E A turma K do Curso de Administração da UECE é formada por 3 alunos, sendo mulheres e 14 homens. O número de comissões que podem ser formadas com alunos desta turma, tendo cada comissão três componentes e sendo assegurada a participação de representantes dos dois sexos em cada comissão, é a) 53. b) 53. c) 35. d) 35. QUESTÃO U E M G Observe a tirinha abaixo: Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar e pedir uma casquinha. Na sorveteria, há sabores diferentes de sorvete e 3 é o número máximo de bolas por casquinha, sendo sempre uma de cada sabor. O número de formas diferentes com que Magali poderá pedir essa casquinha é igual a a) 0. b) 41. c) 10. d) 35. QUESTÃO 3 P U C Um fotógrafo foi contratado para tirar fotos de uma família composta por pai, mãe e quatro filhos. Organizou as pessoas lado a lado e colocou os filhos entre os pais. Mantida essa configuração, o número de formas em que poderão se posicionar para a foto é a) 4 b) c) 4 d) 3 e) 48 QUESTÃO 4 P U C A quantidade de anagramas da palavra CONCURSO é: a) 50 b) 5040 c) d) 010 e) 4030 QUESTÃO 5 U F P E A vendedora de roupas está arrumando os cabides da vitrine de uma loja. Ela deve pendurar 5 camisas, 3 bermudas e casacos na vitrine, de modo que cada peça fique uma do lado da outra sem sobreposição. Quantas são as disposições possíveis nessa arrumação, de modo que as peças de um mesmo tipo fiquem sempre juntas, lado a lado na vitrine? a) 30 b) 10 c) d) 4.30 e) 8.40

7 QUESTÃO IU FES RC J Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo: (B, B, M, C, M, C) ou (B,M,M, C,B, C) ou (C, M, M, B, B, C) O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a: a) b) 90 c) 180 d) 70 QUESTÃO 7 IU Fn Sic Ca m p O número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que possamos garantir que nele há pelo menos três pessoas nascidas no mesmo dia da semana é igual a a) 1. b) 0. c) 15. d) 14. QUESTÃO 8 U E G Érika resolve passear com a cachorrinha Kika e, antes de sair do apartamento, escolhe colocar uma roupa e uma coleira na cachorrinha. Se Kika tem 7 roupas e 3 coleiras, todas distintas, de quantas maneiras Érika pode escolher uma roupa e uma coleira para passear com a Kika? a) 10 b) 1 c) 35 d) 4 QUESTÃO 9 U E G Uma loja identifica seus produtos com um código que utiliza 1 barras, finas ou grossas. Nesse sistema de codificação, a barra fina representa o zero e a grossa o 1. A conversão do código em algarismos do número correspondente a cada produto deve ser feita de acordo com esta tabela: Código Algarismo Código Algarismo Observe um exemplo de código e de seu número correspondente: Considere o código abaixo, que identifica determinado produto. Esse código corresponde ao seguinte número: a) 835 b) 574 c) 845 d) 978 QUESTÃO 30 I n s p e r Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de futebol chamado Copa dos Campeões, disputado apenas pelos oito países que já foram campeões mundiais: os três sulamericanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, Inglaterra, França e Espanha). As oito seleções seriam divididas em dois grupos de quatro, sendo os jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B em São Paulo. Considerando os integrantes de cada grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o número de maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo que as três sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é a) 140. b) 10. c) 70. d) 0. e) 40. QUESTÃO 31 U E M G Na Copa das Confederações de 013, no Brasil, onde a seleção brasileira foi campeã, o técnico Luiz Felipe Scolari tinha à sua disposição 3 jogadores de várias

8 posições, sendo: 3 goleiros, 8 defensores, meio-campistas e atacantes. Para formar seu time, com 11 jogadores, o técnico utiliza 1 goleiro, 4 defensores, 3 meio-campistas e 3 atacantes. Tendo sempre Júlio César como goleiro e Fred como atacante, o número de times distintos que o técnico poderá formar é a) b) 480. c) 8! + 4! d) QUESTÃO 3 U n e s p Um professor, ao elaborar uma prova composta de 10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas cada e apenas uma correta, deseja que haja um equilíbrio no número de alternativas corretas, a serem assinaladas com X na folha de respostas. Isto é, ele deseja que duas questões sejam assinaladas com a alternativa A, duas com a B, e assim por diante, como mostra o modelo. Modelo de folha de resposta (gabarito) A B C D E 01 X 0 X 03 X 04 X 05 X 0 X 07 X 08 X 09 X 10 X Nessas condições, a quantidade de folha de respostas diferentes, com a letra X disposta nas alternativas corretas, será a) b) c) 800. d) e) QUESTÃO 33 U E C E Sejam r e s duas retas distintas e paralelas. Se fixarmos 10 pontos em r e pontos em s, todos distintos, ao unirmos, com segmentos de reta, três quaisquer destes pontos não colineares, formam-se triângulos. Assinale a opção correspondente ao número de triângulos que podem ser formados. a) 30 b) 380 c) 400 d) 40 QUESTÃO 34 I F SC CE O número de anagramas da palavra TAXISTA, que começam com a letra X, é a) 180. b) 40. c) 70. d) e) QUESTÃO 35 IF FG SBC Uma senha de internet é constituída de seis letras e quatro algarismos em que a ordem é levada em consideração. A seguir apresenta-se uma senha possível: (a, a, b, 7, 7, b, a, 7, a, 7). Quantas senhas diferentes podem ser formadas com quatro letras a, duas letras b e quatro algarismos iguais a 7? a) 10! b) 50 c) d) 300 e) 10! 4!! QUESTÃO 3 U F S M Para cuidar da saúde, muitas pessoas buscam atendimento em cidades maiores onde há centros médicos especializados e hospitais mais equipados. Muitas vezes, o transporte até essas cidades é feito por vans disponibilizadas pelas prefeituras. Em uma van com 10 assentos, viajarão 9 passageiros e o motorista. De quantos modos distintos os 9 passageiros podem ocupar suas poltronas na van? a) b) c) d) e)

9 QUESTÃO 37 P U C Rose não anotou o número de celular que seu novo amigo lhe informou. Agora ela tem dúvidas em relação aos últimos quatro dígitos. Sabe quais são os dígitos, porém não sabe a ordem em que eles aparecem no número do telefone. Quantas são as diferentes possibilidades para a ordem desses quatros dígitos? a) 8 b) 1 c) 4 d) 3 e) 10 QUESTÃO 38 P U C O número de anagramas da palavra BRASIL em que as vogais ficam lado a lado, e as consoantes também, é a) 4 b) 48 c) 9 d) 40 e) 70 QUESTÃO 39 U E C E Paulo possui 709 livros e identificou cada um destes livros com um código formado por três letras do nosso alfabeto, seguindo a ordem alfabética assim definida: AAA, AAB,..., AAZ, ABA, ABB,..., ABZ, ACA,... Então, o primeiro livro foi identificado com AAA, o segundo com AAB,... Nestas condições, considerando o alfabeto com letras, o código associado ao último livro foi a) BAG. b) BAU. c) BBC. d) BBG. QUESTÃO 40 I F P E Alice não se recorda da senha que definiu no computador. Sabe apenas que é constituída por quatro letras seguidas, com pelo menos uma consoante. Se considerarmos o alfabeto como constituído por 3 letras, bem como que não há diferença para o uso de maiúsculas e minúsculas, quantos códigos dessa forma é possível compor? 4 3 a) 3 b) 3 18 c) e) d) 3 5 QUESTÃO 41 I F S P Dispõe-se de cinco cores para colorir o retângulo que está dividido em quatro outros retângulos menores, R 1, R, R 3 e R 4, de maneira que retângulos com um lado comum não devem ser coloridos com a mesma cor. O número de modos diferentes de colorir os quatro retângulos com apenas duas cores é R 1 R R 3 R 4 a) 8. b) 1. c) 15. d) 18. e) 0. QUESTÃO 4 U E M G O jogo da Mega Sena consiste no sorteio de números distintos de 1 a 0. Um apostador, depois de vários anos de análise, deduziu que, no próximo sorteio, os números sorteados estariam entre os 10 números que tinha escolhido. Sendo assim, com a intenção de garantir seu prêmio na Sena, ele resolveu fazer todos os possíveis jogos com números entre os 10 números escolhidos. Quantos reais ele gastará para fazê-los, sabendo que cada jogo com números custa R$,00? a) R$ 540,00. b) R$ ,00. c) R$ 40,00. d) R$ 5.040,00. Gabarito 01 a) 70; b) 10; c) 30; d) 144; e) 7; f) 1; g) 7 0 V, V, V 03 a) 30; b) 150; c) 10; d) 100; e) 90; f) E

10 0. B Considere 1 posições consecutivas de uma fila, em que as posições de ordem ímpar serão ocupadas pelos 8 filmes de ação, as 5 primeiras posições de ordem par serão ocupadas pelos filmes de comédia, e as 3 últimas posições de ordem par serão ocupadas pelos filmes de drama. Daí, os filmes de ação podem ser dispostos de P8 8! modos, os de comédia de P5 5! maneiras e os de drama de P3 3! possibilidades. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue-se que o resultado é 8! 5! 3!. 07 A Supondo que duas cartelas de um mesmo jogador não possuem dezenas iguais, segue-se que Arthur, Bruno, Caio, Douglas e Eduardo possuem, respectivamente, as seguintes possibilidades de serem premiados: =91; ; e 40. Portanto, como o número de casos possíveis para o resultado do sorteio é o mesmo para todos, podemos concluir que Caio e Eduardo são os que têm as maiores probabilidades de serem premiados. 08 B Há 3 escolhas para a cor da pedra que ficará no vértice A Além disso, podem ocorrer dois casos em relação às pedras que ficarão nos vértices B e D (i) as cores das pedras em B e D são iguais; (ii) as cores das pedras em B e D são distintas. Portanto, as configurações possíveis são: (A, B, C, D) (3,1,,1) e joias (A,B, C,D) (3,,1,1), o que corresponde a distintas. 09 A Sabendo que cada letra maiúscula difere da sua correspondente minúscula, há 10 possibilidades para cada dígito da senha. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, segue-se que existem senhas possíveis de seis dígitos. Analogamente, no sistema antigo existiam 10 senhas possíveis de seis dígitos. Em consequência, a razão pedida é C Cores primárias: 3 (vermelho, amarelo e azul). Cores secundárias: 3 (verde, (amarelo e azul), violeta (azul e vermelho) e laranja (amarelo e vermelho)) Cada uma dessas cores terá três tonalidades (normal, clara e escura); Preto e branco:. Portanto, o total de cores será 3.(3 + 3) + = A Pelo PFC, existem respostas possíveis. Portanto, o diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há alunos a mais do que o número de respostas possíveis. 1 E Começando com 1: 4! = 4; Começando com 3: 4! = 4; Começando com 5: 4! = 4; Começando com 71: 3! = ; Começando com 73: 3! = ; Começando com 751:! = ; Começando com 753:! = ; O próximo será Logo, = 89 (octogésima nona posição). 1 D O professor pode escolher 3 museus no Brasil de modos distintos e pode escolher museus no exterior de 4 4!!! maneiras. Portanto, pelo PFC, o professor pode escolher os 5 museus para visitar de 4 4 maneiras diferentes. 13 C Número de possibilidades de 84 apostas de seis dezenas diferentes. 84.C,5 = 84. = 504 Número de possibilidades de se obter a quina com uma única aposta de 9 dezenas. C9,5 = 1 1 é a quarta parte de 504 logo a alternativa C 14 A Para o grupo A a ordem dos elementos não importa o que nos leva a pensar numa combinação. Mas no jogo de abertura existe o time que jogará em sua caso, então temos um arranjo. Logo a alternativa A é a correta. 15 A Há modos de escolher um espécime do grupo Cetáceos, modos de escolher um espécime do grupo Primatas e modos de escolher um espécime do grupo Roedores. Portanto, pelo PFC podemos formar conjuntos distintos. 1 B Se o fundo for azul, teremos escolhas para a casa e escolhas para a palmeira. Se o fundo for cinza, teremos 3 escolhas para a casa e 1 escolha para a palmeira. Portanto, existem variações possíveis. 17 D

11 B Na sexta construção teremos segmentos paralelos, considerando que dois deles sempre determinam um trapézio, o número! de trapézios será dado por C, 15! ( )! 1 A O número de comissões que podem ser formadas, independentemente do sexo de seus participantes, é 3 3! ! 33! Desse total, devemos descontar o número de comissões cujos membros são todos homens, e o número de comissões cujos membros são todos mulheres. O número de comissões formadas exclusivamente por mulheres é igual a! ! 19! O número de comissões formadas apenas por homens é 14 14! ! 11! Portanto, o resultado pedido é igual a B Como uma casquinha pode ter no máximo 3 bolas e os sabores devem ser distintos, segue-se que o resultado pedido é dado por!! ! 4! 3! 3! 3 E Há possibilidades para o posicionamento dos pais e P4 4! 4 modos de posicionar os filhos. Desse modo, pelo Princípio Multiplicativo, segue que o resultado é C A palavra CONCURSO possui 8 letras, sendo que as letras C e O aparecem duas vezes cada. Para determinar o número de anagramas desta palavra deveremos usar permutação com repetição 8! P, !! 5 E Supondo que as peças de um mesmo grupo (camisas, bermudas e casacos) sejam distinguíveis, há P5 5! 10 maneiras de arrumar as camisas, P3 3! modos de arrumar as bermudas e P! maneiras de arrumar os casacos. Além disso, ainda podemos arrumar os 3 grupos de P3 3! modos. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que o resultado pedido é B Sabendo que a criança ganhou dois picolés de cada sabor, tem- (,, )! se que o resultado pedido é dado por P 90.!!! 7 C Como a semana tem 7 dias, para garantir que há pelo menos três pessoas no mesmo dia da semana, é necessário que haja pelo menos pessoas no grupo. 8 B Para cada uma das 3 coleiras existem 7 roupas. Portanto, o número de maneiras diferentes de se passear com Kika é A De acordo com as informações, temos: Portanto, este código corresponde ao número D Existem maneiras de escolher o grupo que terá duas seleções sul-americanas, e 5 5! 10 3!! 3 3 modos de escolher essas duas seleções, modos de escolher as duas seleções europeias que irão formar o grupo com as duas sul-americanas. Como o segundo grupo é determinado univocamente pelas escolhas do primeiro, segue-se que o resultado pedido, pelo Princípio Fundamental da Contagem, é A Logo, o número de times é: B C10, C8, C, C4, C, D Número de combinações do total de pontos três a três: 1! C1,3 50 3!(1 3)! Número de combinações dos 10 pontos de uma reta três a três: 10! C10,3 10 3!(10 3)!

12 Número de combinações dos pontos da outra reta três a três:! C,3 0 3!( 3)! Portanto, o total de triângulos será dado por: A A primeira letra X será fixa e as outras seis sofrerão permutação com repetição, pois temos duas letras A e duas letras T.! P, 180!! 35 C O resultado é dado por (4,, 4) 10! P !! 4! 3 D Devemos distribuir 9 pessoas para nove lugares distintos, temos então uma permutação de nove elementos: P 9 = 9! = C O número de possibilidades para a ordem dos quatros dígitos é dado por P4 4! C Considerando dois grupos, o das vogais com dois elementos e o das consoantes com 4 elementos, temos três permutações, a permutação dos grupos e as permutações dos elementos em cada grupo. Portanto, o número de anagramas da palavra BRASIL em que as vogais ficam lado a lado e as consoantes também será dado por! 4!! D Quantidade de códigos que começam por A: 1 7 Quantidade de códigos que começam por BA: 11 O restante dos livros começa por BB. Faltam então, 7 livros para obtermos o código do último. ( ) Então, a última letra é G (sétima letra do alfabeto). O código associado ao último livro é BBG. 40 D Pelo Princípio Multiplicativo, podemos formar códigos, sem qualquer restrição, utilizando as 3 letras do alfabeto. Por outro lado, o número de códigos em que figuram apenas vogais, também pelo Princípio Multiplicativo, é dado por Em consequência, o resultado pedido é igual a E Existem apenas duas maneiras de colorir os retângulos usando as cores A e B: 5! Escolhendo duas entre as 5 cotes disponíveis. Número de maneiras para se pintar os retângulos: 4 C 10! Total de combinações possíveis: Valor total dos jogos: 10 R$40,00. C10, 10.! 4! C5, 10!.3! 10 0