Disciplina: Física Geral I

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2 Disciplina: Física Geral I Material de Apoio: Capítulo 01 Fernando Sato, Denilson, Rodrigo, Luiz Henrique Juiz de Fora, 02 de Agosto de

3 Lista de Figuras 1.1 Telescópio Hubble Grandezas físicas derivadas Outras grandezas físicas derivadas Módulo de um vetor grandezas escalares e vetoriais Componentes de um vetor Vetor unitário Produto escalar de dois vetores Base canônica Ortonormal Regra da mão direita Produto Vetorial Produto misto

4 Lista de Tabelas 1.1 Sistema Internacional de Unidades - SI Algarísmos significativos

5 Sumário 1 Unidades, Grandezas físicas e Vetoriais Informações Preliminares Introdução A natureza física Porque Estudar física? Grandezas físicas fundamentais Sistema de medição derivadas Ordem de Grandeza Precisão na medição Precisão no resultado da multiplicação Algarísmos significativos Unidades de medida Diferenças entre grandezas escalares e vetoriais Componentes de um vetor Vetor unitário Produto escalar Produto vetorial

6 Capítulo 1 Unidades, Grandezas físicas e Vetoriais 1.1 Informações Preliminares O conteúdo deste material foi baseado em livros textos de Física Geral I e não tem como objetivo substituí-los. O principal objetivo deste material é servir como apoio ao estudante direcionando as partes essenciais do curso. Lembremos também que o material terá uma abordagem pragmática apresentando de maneira concisa as principais partes de um curso de Física Geral I. Gostaríamos de lembrar o estudante que é muito importante entender os conceitos envolvidos em cada etapa para depois prosseguir com a resolução de problemas. Durante a dedicação da resolução dos problemas propostos é importante tentar encontrar por si próprio a solução do problema, levando sempre em conta o conhecimento prévio e o atual da teoria envolvida. Em geral os problemas podem parecer complicados e sem solução, mas lembre que outros alunos que passaram por esta etapa conseguiram resolver os mesmos problemas e você também é capaz de resolvê-los, não se lamente 6

7 estude e seja persistente! 1.2 Introdução Neste capítulo inicial, apresentaremos algumas preliminares importantes que serão necessárias em nosso estudo. Esta parte do curso de Física I têm uma abordagem de conceitos semelhantes ao que já foi visto no ensino médio, mas de extrema importância devido aos inúmeros conceitos que serão introduzidos que serão utilizados nos próximos cursos que faremos pela frente. Cientistas de todas as áreas utilizam os conceitos definidos na física, Desque químicos, que estudam a estrutura das moléculas, até o paleontólogos que tentam reconstruir como os dinossauros caminhavam. A física é a base de toda a engenharia e tecnologia. Nenhum engenheiro pode projetar uma tela plana de tv, uma nave espacial ou qualquer outro objeto, sem antes entender os princípios básicos da física. Ao final deste capítulo deveremos ser capazes de identificar: ==> Grandezas físicas fundamentais; ==> Unidade de Medida; ==> Algarismos significativos; ==> Diferença entre grandeza escalar e vetorial; ==> Quais as componentes de um vetor; ==> Vetores unitários; ==> Formas de muitiplicação vetorial. 7

8 1.3 A natureza física A física é uma ciência experimental. O físico observa fenômenos e tenta encontrar padrões e os princípios que relacionam esses fenômenos. Esses padrões são denominados teorias físicas ou, quando bem estabelecidas e de largo uso, leis e princípios físicos. O desenvolvimento de uma teoria física requer criatividade em todos os estágios ou seja, fazer perguntas pertinentes e buscar recursos experimentais para respondê-las. A figura 1.1, mostra um instrumento onde foram realizado renomadas experiências. Figura 1.1: Telescópio Hubble. 1.4 Porque Estudar física? Para que possamos entender com um pouco mais de detalhes todo o universo que nos envolve, precisamos percebê-lo, interagir com ele e, com isso tirar resultados. Uma das 8

9 formas de fazer isso é inferindo medidas e com isso tirar informações e estimativas sobre o que estamos tentando entender. Estudar a natureza é algo simplesmente belo que transcende o saber por si só, levando-nos a interagir e ser levado por todo esse imenso desabrochar! Pergunto-me a cada instante porque tamanho repúdio na maioria das pessoas ou até mesmo desprezo pelas ciências, seja ela física, química, matemática ou biologia, está última em menor escala. Por que é tão difícil compreender a natureza, se somos parte dela? Será que a dificuldade está no entendimento ou apenas no desinteresse de obter respostas às vezes simples outras vezes nem tanto, mas que se refere ao nosso papel intelectual de estar aqui neste tempo e espaço. A busca da reflexão que em muitos casos negamos, deixa nos órfãos de nós mesmos neste universo de saber. Muitas pessoas apenas afirmam que podem viver para sempre sem saber o que estamos tentando propor aqui, outras poderão se questionar porque nesta imensidão nunca pensou em nada e se sentir vazio, mas o que pretendo é começar a refletir o papel de estar aqui e a importância responsável de sermos conscientes em tudo que tentamos construir. Um fator interessante de reflexão e muitos já se questionaram, é a questão do tempo, por que ele passa mais rápido ou devagar dependendo da situação em que encontramos, visto que o tempo passa com a mesma forma (velocidade)? exceto se estamos viajando com velocidades consideráveis à velocidade da luz. As perguntas feitas a si mesmo durante toda a humanidade, na maioria das vezes são as mesmas, mas onde estão as respostas, deve estar escrito em algum manual ou cabe a cada um imprimir a sua, por sermos diferentes na essência, temos respostas diferentes para um mesmo questionamento onde todas podem estar corretas para aquele momento, ser uma verdade? 9

10 absoluta? ou não! Quando começamos a pensar de maneira liberta de preconceitos ou pessimismo do ponto de vista intelectual, dá-se a si mesmo a capacidade de romper barreiras ante insuperáveis da compreensão. Mas existe beleza na compreensão? A inferência intelectual do ponto de vista físico de uma maneira simples busca, padrões que podem ser descritos de uma mesma forma, com isso, algo que inicialmente apresentam como sendo comportamentos distintos, podem ter por trás uma mesma lei de formação. Em função destes padrões! foi criado o que chamamos de sistema de medição. Que começares a questionar daqui por diante. Na física temos o sistema de unidades que provém de uma definição, que corresponde ao nosso sistema de medidas, compreender em física significa em muito medir, comparar ver como se comporta, para obter muitas resposta em física, precisamos apenas de uma régua (medição do comprimento), um cronômetro (medição do tempo) e uma balança. Para efetuar medidas é necessário fazer uma padnização escolhendo unidades para cada grandeza. Antes da instituição do Sistema Métrico Decimal (no final do século XVIII exatamente a 7 de abril de 1795), as unidades de medida eram definidas de maneira arbitrária, variando de um país para outro, dificultando as transações comerciais e o intercâmbio científico entre eles. As unidades de comprimento, por exemplo, eram quase sempre derivadas das partes do corpo do rei de cada país: a jarda, o pé a polegada outras. Até hoje, estas unidades são usadas nos EUA e na inglaterra, embora definidas de uma maneira menos individual, mas através de padrões restritos às dimensões do meio em que vivem e não mais as variáveis desses indivíduos. Até 1995, existiam duas unidades suplementares: o radiano e o esferorradiano (esterradiano, em 10

11 Portugal). A partir de então, com uma resolução da CGPM (Conferência Geral de Pesos e Medidas), elas se tornam derivadas. 1.5 Grandezas físicas fundamentais Existem sete unidades básicas do SI, ou seja, elas são definidas segundo um determinado critério, que podem ser observadas na tabela abaixo. A coluna à esquerda. A partir delas, podem-se derivar todas as outras unidades existentes. As unidades básicas do SI, posto que dimensionalmente axiomáticas, são dimensionalmente independentes entre si. Tabela 1.1: Sistema Internacional de Unidades - SI Grandeza Unidade Símbolo Comprimento metro m Massa Kilograma Kg Tempo segundo s Corrente elétrica Ampere A Temperatura Termodinâmica Kelvin K Quantidade de Matéria Mol mol Intensidade Luminosa Cândela cd Sistema de medição derivadas Todas as unidades existentes podem ser derivadas das unidades básicas do SI. Entretanto, consideram-se unidades derivadas do SI apenas aquelas que podem ser expressas através das unidades básicas do SI e sinais de multiplicação e divisão, ou seja, sem 11

12 qualquer fator multiplicativo ou prefixo com a mesma função. Desse modo, há apenas uma unidade do SI para cada grandeza. Contudo, para cada unidade do SI pode haver várias grandezas. Às vezes, dão-se nomes especiais para as unidades derivadas. Segue uma tabela com as unidades SI derivadas que recebem um nome especial e símbolo particular: Figura 1.2: Grandezas físicas derivadas É fácil de perceber que existem muitas unidades derivadas do SI (por exemplo; m 2, m 3, etc.). As tabelas que se seguem não pretendem ser uma lista exaustiva, mas colocar as unidades do SI das principais grandezas. Na primeira tabela, unidades que não fazem uso das unidades com nomes especiais: 12

13 Figura 1.3: Outras grandezas físicas derivadas. 1.6 Ordem de Grandeza Ordem de grandeza é uma forma de avaliação rápida, do intervalo de valores em que o resultado deverá ser esperado. Para se determinar com facilidade a ordem de grandeza, deve-se escrever o número em notação científica (isto é, na forma de produto N.10 n e verificar se N é maior ou menor que (10) 1 2. a) Se N > 3, 16, a ordem de grandeza do número é 10 n+1. b) Se N < 3, 16, a ordem de grandeza do número é 10 n. Onde (10) 1 2 = 3, 16 Vamos trabalhar uma situação hipotética Suponha que você e mais três amigos vão passar uma semana na selva e, não tendo certeza se encontrarão água limpa para beber, querem levar uma quantidade suficiente para toda a viagem. O Quanto de água deverão levar? Resolução: Para fazermos cálculos aproximados, precisamos de algum conhecimento mínimo, para dar o pontapé inicial? no problema. No nosso exemplo, podemos partir 13

14 do fato de que os médicos recomendam que cada pessoa beba pelo menos 2 litros de água por dia. Como são quatro pessoas, serão necessários pelo menos oito 8 litros de água por dia. Para uma semana, a quantidade total será 8x7 = 56 litros. Para dar certa margem de segurança, arrendondamos para 60 litros. Este é um exemplo típico do caso em que não existe um valor exato; o que se pode fazer é um cálculo aproximado. Ao fazermos um cálculo aproximado, é comum darmos como resposta a potência de dez mais próxima do resultado calculado e a resposta dada dessa maneira é chamada de ordem de grandeza. No exemplo anterior, em que a quantidade de água foi estimada em 60 litros, podemos observar que as potências de 10 mais próximas de 60 são 10 1 e 10 2 : Mas, como 60 está mais próximo de 10 2 que de 10 1, sua ordem de grandeza será Precisão na medição A maioria das pessoas pressente apenas vagamente que medições têm precisão limitada. Mas o que significa precisão? Precisão de uma medida refere-se ao número de algarismos significativos ou ao número de casas decimais com que o operador registra o resultado. Cálculos baseados em medições são válidos apenas dentro do intervalo especificado. Mesmo que a pessoa meça tão precisamente quanto possível, o resultado não poderá ter precisão maior do que as limitações impostas pelo instrumento de medida e pelas condições em que a medição é feita. Exemplo: Três pessoas mediram os lados de uma folha de papel comum com uma régua de plástico, para calcular a área. Veja os resultados que elas obtiveram. O que você acha? 14

15 ==> A primeira pessoa obteve as medidas: 23 cm por 16 cm. Área: 368 cm 2. ==> A segunda pessoa obteve as medidas: 23, 3 cm por 16, 2 cm. Área: 377, 46 cm 2. ==> A terceira pessoa obteve as medidas: 23, 28 cm x 16, 17 cm. Área: 376, 4376 cm2. Resposta: Se o pedaço de papel for comum e a régua for de plástico, graduada em centímetros e com marcações largas, não se espera que uma pessoa meça com aproximação de centésimo de centímetros. Portanto, o resultado apresentado pela terceira pessoa não é razoável? nem pense em julgá-lo preciso. A área calculada pela segunda pessoa é altamente duvidosa: com uma régua de plástico graduada em centímetros, é possível ler décimos de centímetro? A primeira resposta é a melhor. Importante: Quando medimos, é preciso ter em mente a precisão do instrumento. Portanto, se um operador afirma que a medida é 15, 4 centímetros, está dizendo que a medida real é maior do que 15, cm e menor do que 15, cm. Se for necessário dizer isto explicitamente, deve escrever 15, 40, 05 cm Precisão no resultado da multiplicação O que acontece quando números são multiplicados? Existe uma tendência de as pessoas assumirem, sem pensar muito sobre o assunto, que mais casas decimais em um produto significam que a área calculada é mais precisa do que as próprias medidas usadas para calculá-la. Exemplo: Um retângulo tem 13, 32, 0 cm de comprimento por 6, 22, 0 cm de largura. Qual é a área? Resposta: Os valores mínimos para as medidas feitas seriam 13, 1 cm de comprimento e 6, 0 cm de largura. Considerando esses valores, a área seria: Os valores máximos para as medidas feitas seriam 13, 5 cm de comprimento e 6, 4 cm 15

16 de largura. Considerando esses valores, a área seria: A média dos dois valores calculados para a área do retângulo é: 82, 5 cm 2 A diferença entre a área máxima e a média é 3, 9 cm 2. Então a área deve ser escrita como segue: 82, 5 ±3,9cm Algarísmos significativos Em medidas físicas é facil encontrar uma dispersão de valores muito grande. O raio de um átomo e o raio de um universo é só um exemplo entre tantos. Para expressar esses valores adequadamente, é conveniente o uso da notação científica. Escreve-se o valor com apenas um dígito antes da vírgula, completa-se com algarismos decimais necessários (eventualmente truncando e arredondando o valor em alguma casa decimal) e se multiplica tudo pela potência de dez adequada. Por exemplo, o comprimento de um fio vale mm ou é da ordem de 1, 43x10 7 mm. Note que se usaram apenas dois algarismos após a vírgula sendo que o último foi arredondado para?cima? uma vez que 1, 4269 está mais próximo de 1, 43 que de 1, 42. A regra de arredondamento aqui proposta é a de arredondar o último dígito para? cima? caso o próximo dígito seja 5, mantedo-o caso contrário. Note que ao truncar e arredondar as casas decimais, perdemos muito da informação inicial, mas isso pode ser remediado usando quantos algarismos forem necessários depois da vírgula, como por exemplo, 1, x10 7 mm reproduz o valor com toda a precisão inicial. Denomina-se algarismo significativo o número de algarismos que compõe o valor de uma grandeza, excluindo eventuais os zeros à esquerda usados para acerto de unidades. Mas atenção: ZEROS À DIREITA SÃO SIGNIFICATIVOS. Na tabela a seguir um mesmo valor do 16

17 raio de uma roda é escrito com diferente número de algarismos significativos. Tabela 1.2: Algarísmos significativos Raio (mm) Significativos 57, , 79x , x , 6x A escolha de quantos significativos serão usados no valor da grandeza depende da grandeza, do processo de medida e do instrumento utilizado. O NÚMERO DE ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS DE UMA GRANDEZA É DETERMINADO PELA SUA INCERTEZA 1.9 Unidades de medida Para que possamos entender melhor a natureza, precisamos com a utilização das definições dadas acima, realizar as medições e com isso, fazer c omparações para entendê-las melhor, então qualquer resultado de alguma medida na natureza, precisa estar acompanhada do tipo de medida que foi realizada, para que a compreensão seja completa. Como por exemplo 2 m (entendemos que isto representa uma quantidade 2 de distância no sistema internacional de unidades), caso apenas escrevêssemos 2 não saberíamos o que este número representaria (se metros, segundos, kilograma, ou qualquer outra coisa). Baseados nestas características fica bem claro a importância de conter na expressão o 17

18 que está se medindo, ou seja, a unidade Diferenças entre grandezas escalares e vetoriais Antes de começar a discutir o que é uma grandeza escalar ou vetorial, vamos buscar os conceitos de escalar e vetor. Um vetor é um segmento de reta orientado utilizado para definir uma grandeza vetorial. Para que possa ser definido, um vetor deve possuir : Valor numérico módulo com unidade de medida, direção e sentido. Módulo (valor numérico): É o tamanho do vetor ou o valor da grandeza que ele representa. Por exemplo : Na figura 1.4 temos um vetor comprimento, com exatamente 10 centímetros (cm), então, seu módulo será representado da seguinte forma: A = 10cm. Na figura 1.4 temos um vetor velocidade com valor 50km/h. Logicamente é impossível representar na figura o valor 50 e principalmente a unidade km/h. Utilizamos, então, um comprimento qualquer para o vetor e indicamos seu módulo assim: v = 50km/h. Direção: Corresponde à posição ocupada pela reta suporte do vetor. Nas figuras anteriores, as retas pontilhadas embaixo dos vetores são suas retas suporte. A posição ocupada por ela é a direção. Por exemplo, na figura 1.4, a direção do vetor A é Horizontal e na figura 1.4, a direção do vetor v é inclinado de um ângulo θ em relação à horizontal, no sentido anti-horário. Sentido: É a posição da seta do vetor, para onde ele aponta. Sobre uma direção 18

19 Figura 1.4: Módulo de um vetor. podemos encontrar dois sentidos. Na figura Sempre que desejamos medir ou avaliar um fenômeno, recorremos a grandezas que possam expressar quantitativamente o que ocorre. Estas variáveis recebem o nome de Grandezas Físicas. Podemos classificar as grandezas físicas de duas maneiras. A primeira é quanto à natureza de sua existência e a segunda quanto ao seu grau de complexidade. Uma grandeza é escalar quando, para ser definida necessita apenas de valor numérico e unidade de medida. Por exemplo: Tempo. Podemos definir claramente o tempo apenas pelo seu valor numérico e unidade, sem a necessidade de qualquer outra informação para a sua compreensão. Dizemos: um evento durou 5, 0 horas, 10 segundos ou 3, 0 dias e pronto. Uma grandeza é vetorial quando, para ser definida necessita de valor numérico (chamado de módulo), unidade de medida, direção e sentido. Por exemplo: Espaço. Se afirmarmos que um automóvel de deslocou 300 metros, podemos fazer a seguinte 19

20 pergunta: Para onde? A resposta corresponde à direção e sentido (Ver definição de vetores). Por exemplo: o deslocamento ocorreu sobre uma pista horizontal para a minha direita. Com estas duas últimas informações fica claro ao leitor (ouvinte) para onde o automóvel de deslocou. A seguir colocamos uma figura 1.5 com algumas grandezas físicas importantes, classificadas como escalares ou vetoriais. Figura 1.5: grandezas escalares e vetoriais Componentes de um vetor Considere o vetor deslocamento A como sendo o da figura: 1.6. Para determinar as componentes do vetor, adota-se um sistema de eixos cartesianos. As componentes do vetor A, segundo as direções x e y, são as projeções ortogonais do vetor nas duas direções. 20

21 Figura 1.6: Componentes de um vetor Vetor unitário O vetor unitário u do vetor a é um vetor que possui a mesma direção e sentido de a e cujo módulo é 1. matematicamente, o vetor unitário u é definido como: u = a a (1.1) O vetor unitário u representa de uma forma concisa a orientação (direção e sentido) 21

22 Figura 1.7: Vetor unitário. do vetor a Produto escalar O produto escalar de dois vetores a e b é o resultado do produto do comprimento (também chamado de norma ou módulo) de a pela projeção escalar de b em a. a b = a b cos θ (1.2) Onde θ é o ângulo formado pelos vetores e a e b são seus comprimentos. Essa expressão somente contém uma definição do comprimento de um vetor como a raiz quadrada do seu produto escalar, mas não fornece meios de se calcular o comprimento do vetor. 22

23 Figura 1.8: Produto escalar de dois vetores. a a = a a cos 0(1.3) Entretanto, essa expressão permite o cálculo do ângulo θ entre os vetores: a b θ = arccos a b (1.4) Note que não é necessário mencionar nenhum sistema de coordenadas para se obter o valor do produto escalar. A formula acima é válida independente do sistema de coordenadas.fisicamente, se a fosse uma força, o produto escalar mediria o quanto da força a estaria sendo aplicada na direção de b. Isto só é válido, entretanto, se o vetor b for unitário. Do contrário, a magnitude da projeção de a em b ( o quanto da força a está aplicado na direção de b ) deve ser obtida por a b, visto que b o vetor unitário na direção de b. b b representa Produto vetorial A notação do produto vetorial entre dois vetores a e b do espaço vetorial é a b (em manuscritos, alguns matemáticos escrevem a b para evitar a confusão com a 23

24 letra ). Podemos defini-lo como: a b = a b sin θ (1.5) onde θ é a medida do ângulo entre a e b (0 0 a ) no plano definido pelos dois vetores, e é um vetor unitário perpendicular a tanto a quanto b. Figura 1.9: Base canônica Ortonormal O problema com esta definição é que existem dois vetores unitários que são perpendiculares à a e b simultaneamente: se a b é perpendicular, então - a b também o é. O resultado correto depende da orientação do espaço vetorial, i.e. da quiralidade do sistema de coordenadas (i, j, k). O produto vetorial a b é definido de tal forma que ( a, b, a b ) se torna destro se (i, j, k) é destro ou canhoto se (i, j, k) é canhoto. Uma forma fácil de determinar o sentido do vetor resultante é a regra da mão direita. Se um sistema de coordenadas é destro, basta apontar o indicador na direção do primeiro operando e o dedo médio na direção do segundo operando. Desta forma, 24

25 Figura 1.10: Regra da mão direita o vetor resultante é dado pela direção do polegar. Como o produto vetorial depende do sistema de coordenadas, seu resultado é referenciado como pseudovetor. Felizmente na natureza os produtos vetoriais aparecem aos pares, de maneira que a orientação do sistema de coordenadas é cancelado pelo segundo produto vetorial. O produto vetorial pode ser representado graficamente, com respeito a um sistema de coordenadas destro, como se segue: Propriedades 25

26 Figura 1.11: Produto Vetorial Significado geométrico O comprimento do produto vetorial, a b, pode ser interpretado como a área do paralelogramo definido pelos vetores a e b. Isto significa que o produto misto (ou triplo-escalar) resulta no volume do paralelepípedo formado pelos vetores a, b e c. Propriedades algébricas O produto vetorial é anticomutativo, a b = b a, distributivo sobre a adição, a ( b + c ) = a b + a c, e compatível com a multiplicação por escalar, tal que (r a ) b = a (r b ) = r( a b ). Não é associativo, mas satisfaz a identidade de Jacobi: a ( b c ) + b ( c a ) + c ( a b ) = 0 A distributividade, linearidade e identidade de Jacobi mostram que R 3 junto com a adição de vetores e o produto vetorial formam uma álgebra de Lie. Além disso, dois vetores não nulos a e b são paralelos se e somente se a b = 0. 26

27 Figura 1.12: Produto misto Notação Matricial O vetor unitário î, ĵ e k para uma dado sistema ortogonal de coordenadas satisfaz as seguintes igualdades: î ĵ = k ĵ k = î k î = ĵ Com estas regras, as coordenadas do resultado do produto vetorial de dois vetores podem ser calculadas facilmente, sem a necessidade de se determinar qualquer ângulo. Seja: a = a1 î + a 2 ĵ + a 3 k = [a1, a 2, a 3 ] b = b1 î + b 2 ĵ + b 3 k = [b1, b 2, b 3 ] 27

28 Então: a b = [a2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 ]. A notação acima também pode ser escrita formalmente como o determinante de uma matriz: î ĵ k a b = det a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 (1.6) O determinante de três vetores pode ser recuperado como: det( a, b, c ) = a ( b c ). a 1 a 2 a 3 a b c = det b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 (1.7) 28