ELETRICIDADE II. Atenção: indica pontos de maior relevância no texto.

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2 Indicação de ícones Os ícones são elementos gráficos utilizados para ampliar as formas de linguagem e facilitar a organização e a leitura hipertextual. Atenção: indica pontos de maior relevância no texto. Mídias Integradas: sempre que se desejar que os estudantes desenvolvam atividades empregando diferentes mídias: vídeos, filmes, jornais, ambiente AVA e outras. Atividades de aprendizagem: apresenta atividades em diferentes níveis de aprendizagem para que o estudante possa realizá-las e conferir o seu domínio do tema estudado. Saiba mais: oferece novas informações que enriquecem o assunto ou "curiosidades" e notícias recentes relacionadas ao tema estudado. Aula prática: apresenta atividades em diferentes níveis de aprendizagem para que o estudante possa realizá-las e conferir o seu domínio do tema estudado. Palavra do Professor Estudamos até agora circuitos em tensão e correntes contínuas, cujos valores não se alteram com o tempo. Nesta disciplina, iremos estudar circuitos em tensão e correntes alternadas, onde seus valores e polaridades se modificam ao longo do tempo. Os circuitos alternados estão presentes nas usinas geradoras de eletricidade que alimentam as indústrias e residências. Para um bom entendimento desta disciplina, é fundamental que o aluno aplique uma boa parcela do seu tempo no estudo de conceitos matemáticos importantes, como números complexos, diagramas fasoriais e operações trigonométricas. Bom estudo! 2 2

3 Projeto Institucional Disciplina: Eletricidade II (carga horária: 80h). Ementa: Números Complexos. Sinais Senoidais. Análise de Circuitos Indutivos. Análise de Circuitos Capacitivos. AULA OBJETIVOS MATERIAIS CARGA HORÁRIA Aula 1 - Números Complexos Compreender a teoria dos números complexos e diagramas de fasores. Ambiente virtual. Apostila didática. Recursos de apoio: links, exercícios, textos complementares, práticas. 20 horas Aula 2 - Sinais Senoidais Compreender formas de onda senoidais para a resolução de circuitos resistivos, capacitivos e indutivos em sistemas alternados. Ambiente virtual. Apostila didática. Recursos de apoio: links, exercícios, textos complementares, práticas. 20 horas Aula 3 - Análise de Circuitos Indutivos Conhecer o funcionamento de circuitos indutivos em regime alternado. Ambiente virtual. Apostila didática. Recursos de apoio: links, exercícios, textos complementares, práticas. 20 horas Aula 4 - Análise de Circuitos Capacitivos Conhecer o funcionamento de circuitos capacitivos em regime alternado. Ambiente virtual. Apostila didática. Recursos de apoio: links, exercícios, textos complementares, práticas. 20 horas 3

4 Aula 1 - Números Complexos Objetivos Compreender a teoria dos números complexos e diagramas de fasores. A resolução de circuitos elétricos consiste basicamente no cálculo de correntes, tensões e potências. Para tanto, necessitamos de instrumentos matemáticos que tornem possível a melhor compreensão deste assunto. Sendo assim, primeiramente estudaremos a teoria dos números complexos, que será o instrumento matemático vital para a resolução de circuitos em corrente alternada e, em seguida, estudaremos o diagrama fasorial, que será importante para a análise e visualização dos fenômenos elétricos em corrente alternada Representação dos Números Complexos O conceito de número complexo ou número imaginário foi introduzido com o intuito de se poder representar raízes quadradas de números negativos, cujos resultados não fazem parte do conjunto dos números reais. Denomina-se unidade imaginária o numero j, tal que: j 2 = -1. Um número complexo possui três formas diferentes de representação: Forma Cartesiana z = a + jb, onde a e b são números reais e j representa a unidade imaginária. Ex.: Represente os números complexos a seguir no plano cartesiano: z 1 = 3 + j3, z 2 = 5, z 3 = -2 - j Forma Polar z = Z Φ, onde Z representa o módulo do número complexo z e Φ o ângulo em relação à parte positiva do eixo real Forma Trigonométrica Um número complexo pode também ser representado na forma trigonométrica, como segue: Transformação da Forma Cartesiana para Polar Para a transformação da forma cartesiana para a polar, valem as expressões: e Exemplos: 4 4

5 1. 2. Segmento oz no 3 quadrante: 3. Segmento oz no 4 quadrante: Atividade de Aprendizagem 1 - Transformar os números complexos a seguir, da forma cartesiana para a polar representando-os no plano cartesiano: a) z 1 = 4 + j4 b) z 2 = 7 c) z 3 = j4 d) z 4 = -3 + j2 e) z 5 = -5 f) z 6 = -4 - j3 g) z 7 = -j4 h) z 8 = 4 - j Transformação da Forma Polar para Cartesiana Na figura a seguir podemos obter, por trigonometria, as expressões de a e b.. Estas expressões podem ser utilizadas para a transformação da forma polar para a cartesiana. 5

6 Atividade de Aprendizagem 1 - Transformar os números complexos a seguir, da forma polar para a cartesiana, representando-os no plano cartesiano: a) z 1 = b) z 2 = c) z 3 = d) z 4 = e) z 5 = 6-90 f) z 6 = g) z 7 = Operações com Números Complexos As quatro operações matemáticas básicas podem ser realizadas com números complexos de forma bastante simples, conforme veremos a seguir Soma e Subtração Para somar e subtrair dois números complexos utiliza-se a forma cartesiana, somando-se ou subtraindo-se as partes reais e imaginárias correspondentes. Assim, considerando-se os seguintes números complexos genéricos: z 1 = a 1 + jb 1 e z 2 = a 2 + jb 2 Então: z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + j(b 1 + b 2 ) z 1 - z 2 = (a 1 - a 2 ) + j(b 1 - b 2 ) Exemplos: Considere os seguintes números complexos: z 1 = 10 + j10 z 2 = 5 + j4 z 3 = -5 + j15 z 1 = j20 a) Atividade de Aprendizagem a) z 1 + z 2 b) z 3 + z 4 c) z 1 + z 4 d) z 2 + z 3 f) z 2 z 1 g) z 3 z 4 h) z 4 z 3 i) z 2 z 3 e) z 1 z Multiplicação e Divisão 6 6

7 Para multiplicar ou dividir dois números complexos, utiliza-se a forma polar da seguinte maneira: Multiplicação: multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos (ângulos). Divisão: dividem-se os módulos e subtraem-se os argumentos (ângulos). Assim considerando-se os seguintes números complexos genéricos: z 1 = Z 1 Φ 1 e z 2 = Z 2 Φ 2 Então: z 1 z 2 = Z 1.Z 2 Φ 1 + Φ 2 z 1 /z 2 = Z 1 /Z 2 Φ 1 Φ 2 Exemplos: Considere os seguintes números complexos: z 1 = z 2 = z 3 = z 4 = a) Atividade de Aprendizagem a) z 1.z 2 b) z 2.z 3 c) z 3.z 4 d) z 1.z 4 e) z 1 /z 2 f) z 2 /z 3 g) z 1 /z 3 h) z 3 /z 2 i) z 4 /z 2 j) z 4 /z Conjugado de um Número Complexo Dado um número complexo genérico z = a + jb ou z = Z Φ, o seu conjugado z* é definido como: z* = a jb ou z* = Z -Φ 7

8 Aula 2 - Sinais Senoidais Objetivos Compreender formas de onda senoidais para a resolução de circuitos resistivos, capacitivos e indutivos em sistemas alternados. Os circuitos elétricos trabalham com tensões e correntes contínuas e alternadas. Em diversos dispositivos, a forma de onda da corrente depende da forma de onda da tensão neles aplicada, além da natureza dos mesmos, ou seja, se são resistivos, indutivos ou capacitivos. Trataremos aqui do sinal alternado. O sinal alternado (CA Corrente Alternada ou AC Alternate Current) varia de polaridade e valor ao longo do tempo e, dependendo de como essa variação ocorre, têm-se diversas formas de sinais alternados (senoidais, quadrada, triangular etc.). Abordaremos daqui em diante a forma de onda senoidal Análise do Sinal Senoidal Representação Gráfica Uma tensão senoidal pode ser representada graficamente de duas formas: nos domínios temporal e angular, como mostra a figura ao lado Valor de Pico e Valor de Pico a Pico A amplitude máxima, positiva ou negativa, que a tensão senoidal pode atingir é denominada tensão de pico V p e amplitude total, entre os valores máximos positivos e negativos, é denominada tensão de pico a pico V pp, assim temos: V pp = 2.V p Período e Frequência O tempo que a função necessita para completar um ciclo é chamado de período (T) e o número de vezes que um ciclo se repete por segundo é chamado de frequência (f), sendo a relação entre eles a seguinte: f = 1 / T Onde: T = tempo (s); f = frequência (Hz) Representação Matemática Matematicamente, os gráficos da tensão senoidal nos domínios temporal e angular podem ser representados, respectivamente, por: v(t) = V p sen ωt e v(θ) = V p sen θ. Onde: v(t) = v(θ) = valor da tensão no instante t ou para o ângulo θ (em V) Vp = valor de pico ω = frequência angular (rd/s) 8 8

9 Frequência Angular θ = ângulo (rd) A frequência angular ou velocidade angular, representada pela letra grega ω (ômega), corresponde à variação do ângulo θ do sinal em função do tempo. Das expressões matemáticas anteriores, têm-se a relação: θ = ωt. Pelos gráficos da figura a seguir, quando θ = 2π, tem-se que t = T. Assim, é válida a relação 2π = ω T. Portanto, a frequência angular ω pode ser calculada por: ω = 2 π / T ou ω = 2π f. Exemplo: Analisemos o seguinte sinal senoidal: Fase Inicial Nos circuitos elétricos, nem sempre um sinal senoidal inicia o seu ciclo no instante t = 0s. Neste caso, dizemos que o sinal possui uma fase inicial θ 0. Assim sendo, a expressão completa para representar o sinal senoidal deve incluir esta fase inicial, conforme segue: v(t) = V p sen (ωt + θ 0 ) Se o sinal inicia o seu ciclo adiantado, θ 0 é positivo. Se o sinal inicia o seu ciclo atrasado, θ 0 é negativo, conforme figura ao lado. Exemplo: Represente graficamente os seguintes sinais senoidais: a) v(t) = 10.sen (20kπt + π / 3 ) V b) v(t) = 15.sen (8kπt + 30 ) V Defasagem Num circuito elétrico, é muito comum a análise de mais de um sinal senoidal, sendo necessário, às vezes, conhecer a diferença de fase entre eles. A diferença de fase Δθ entre dois sinais de mesma frequência é denominada defasagem, sendo que a mesma é medida tomando-se um dos sinais como referência. Exemplo: Qual a defasagem entre os seguintes sinais: a) v1(t) = 10 sen (ωt + π/2) V b) v1(t) = 18 sen (ωt - π/4) V c) v1(t) = 12 sen (ωt + π/4) V v2(t) = 5 sen ωt V v2(t) = 12 sen (ωt - π/4) V v2(t) = 8 sen (ωt - π/2) V 9

10 2.2 - Diagrama Fasorial Outra forma de representar um sinal senoidal é através de um fasor ou vetor girante de amplitude igual ao valor de pico(v p ) do sinal, girando no sentido anti-horário com velocidade angular ω. A este tipo de representação, dá-se o nome de diagrama fasorial, conforme figura ao lado. A projeção do segmento OP = V p no eixo vertical é uma função seno, reproduzindo, portanto, a tensão senoidal v(t) ou v(θ): v(t) = V p sen ωt ou v(θ) = V p sen θ. A figura a seguir mostra o diagrama fasorial e os valores instantâneos de tensão para os vários valores de θ ou ωt. Se no instante t = 0 o vetor OP formar um ângulo θ 0 com a referência do diagrama fasorial (parte positiva do eixo horizontal), isso significa que o sinal possui uma fase inicial e, portanto, o valor instantâneo da tensão será dado por: v(t) = V p sen (ωt + θ 0 ). Exemplo: Representar os seguintes sinais senoidais graficamente e através do diagrama fasorial correspondente: v 1 (t) = 10 sen (100πt + π / 3 ) V v 2 (t) = 15 sen (20πt - 30 ) V Representação com Números Complexos Como foi visto, um número complexo tem um módulo e fase, como na representação fasorial. Isto sugere a possibilidade de se representar um sinal senoidal também por um número complexo, sendo a amplitude e a fase inicial do sinal correspondente respectivamente ao módulo e ao ângulo do número complexo Nomenclaturas Utilizadas Matematicamente Expressão trigonométrica: v(t) = Vp sen(ω+ θ 0 ) v(t) = tensão instantânea (variável) => letra minúscula; V p = tensão de pico (valor fixo) => letra maiúscula Expressão em número complexo: V = V p θ 0 = V p cosθ 0 + jv p sen θ 0 V = tensão complexa (variável) => letra minúscula; V p = tensão de pico (valor fixo) => letra maiúscula

11 No caso de tensões, correntes e potências elétricas representadas por números complexos, os módulos podem ser dados tanto por valores de pico quanto por valores eficazes, sendo que este último conceito será estudado mais adiante. Por que quatro formas de representação de um sinal senoidal? Forma de Onda: Representa visualmente o sinal, tal como ele é e como aparece no osciloscópio, durante a análise de um circuito. Ele pode estar no domínio temporal v(t) ou angular v(θ). Diagrama Fasorial: Representa o fenômeno graficamente de forma mais simplificada que a forma de onda, permitindo, inclusive, operações de soma e subtração de vários sinais. Expressões Trigonométricas: Representa matematicamente a função com todos os seus detalhes, como: amplitude, frequência angular e fase inicial, além de permitir o cálculo de valores instantâneos. Número Complexo: Representa matematicamente a função de forma mais simplificada que a expressão trigonométrica, informando apenas a amplitude e a fase inicial, facilitando, porém, operações de soma, subtração, multiplicação e divisão de vários sinais. Exemplos: Vejamos as quatro formas diferentes de se representar uma tensão senoidal: Expressão Trigonométrica: Número Complexo: v(t) = 12 sen (ωt + 60 ) (V) v = V ou v = 6 j10,39 V Operações com Diagrama Fasorial e Números Complexos Para a resolução de circuitos elétricos em corrente alternada, são necessárias diversas operações matemáticas entre tensões, correntes e potências. As operações de adição e subtração podem ser realizadas tanto com diagrama fasorial como através dos números complexos, embora este último processo seja o mais indicado, devido à facilidade e, principalmente, à precisão dos resultados. Já, as operações de multiplicação, divisão, potenciação e raiz quadrada devem ser realizadas somente por números complexos, dadas às limitações do digrama fasorial Adição e Subtração 11

12 Já vimos como as operações de adição e subtração podem ser feitas com números complexos. Obviamente, isto vale também quando os números complexos representam tensões, correntes e potências. Com o diagrama fasorial, tais operações podem ser realizadas através de um processo gráfico denominado método do paralelogramo. Para isso, é necessário conhecer uma propriedade da representação por diagrama fasorial, como segue: Número Negativo (ou Multiplicado por-1): Num diagrama fasorial, dado um fasor, o seu negativo corresponde ao deslocamento do fasor em 180. Nos números complexos, isto corresponde a: Forma Polar: Somar ou subtrair 180 na fase. Forma Cartesiana: Trocar os sinais das partes real e imaginária. Atividade de Aprendizagem 1 - Dadas às tensões a seguir, obter v 1 + v 2 e v 1 - v 2 por diagrama fasorial e por números complexos, representando o resultado graficamente: a) v1 = 20 0º V e v2 = 5 0º V b) v1 = 20 0º V e v2 = 12 90º V c) v1 = 20 60º V e v2 = 10-30º V Multiplicação e Divisão Para realizar operações de multiplicação e divisão envolvendo tensões, correntes e potências complexas, basta utilizar a forma polar, uma vez que através de diagrama fasorial, tais operações seriam extremamente complicadas. 2.5 Circuitos Resistivos em C.A. A resistência elétrica, quando submetida a uma tensão alternada, produz uma corrente elétrica com a mesma forma de onda, mesma frequência e mesma fase da tensão, porém, com amplitude que depende dos valores da tensão aplicada e da resistência, conforme a Primeira Lei de Ohm, que pode agora ser generalizada para sinais alternados senoidais Tensão e Corrente na Resistência Elétrica Considere o circuito a seguir, no qual uma fonte de tensão senoidal v(t) alimenta um resistor R: A forma de onda da tensão e da corrente, bem como a representação fasorial desses sinais estão mostradas na figura a seguir:

13 Como se vê, o resistor não provoca nenhuma defasagem entre tensão e corrente e, portanto, a resistência elétrica pode ser representada por um número complexo com módulo R e fase nula (na forma polar) ou composta apenas pela parte real R (na forma cartesiana), isto é: Forma Polar: R = R 0º = R Forma Cartesiana: R = R + j0 = R Representando a Primeira Lei de Ohm com números complexos, tem-se, portanto: v = V p 0º e R = R 0º Potência Dissipada pela Resistência Elétrica Vejamos agora o que acontece com a potência elétrica numa resistência submetida a uma tensão alternada senoidal. A potência instantânea p(t) dissipada por uma resistência elétrica R pode ser obtida pelo produto, ponto a ponto, entre v(t) e i(t), ou em função de R, isto é: p(t) = v(t) i(t) ou p(t) = R i² (t) ou A figura a seguir mostra como fica a forma de onda da potência: Como resultado, tem-se que a potência elétrica consumida é pulsante e sempre positiva, pois num mesmo instante, a tensão e a corrente são ambas positivas ou negativas, o que prova que, independente da polaridade da tensão ou do sentido da corrente, a resistência comporta-se sempre como um receptor, consumindo a potência fornecida pela fonte, que por sua vez, comporta-se sempre como um gerador. Além disso, nota-se que a frequência da 13

14 forma de onda da potência é o dobro da frequência da tensão e da corrente. Neste caso, P p representa a potência de pico, e vale: P p = V p I p. Pela figura acima, percebe-se também que, enquanto a corrente e a tensão têm valores médios iguais a zero, a potência média P dissipada pelo resistor é a metade da potência de pico, ou seja: Como será visto a seguir, a potência média é a que interessa na análise da potência nos circuitos em corrente alternada Valor Eficaz Para sinais alternados senoidais, existe um conceito muito importante denominado valor eficaz ou rms. O valor eficaz V ef ou V rms de uma tensão alternada corresponde ao valor de uma tensão contínua que, se aplicada a uma resistência, faria com que ela dissipasse a mesma potência média caso fosse aplicada essa tensão alternada. As medidas de tensão e corrente alternadas realizadas por multímetros são dadas sempre em valores eficazes. Matematicamente, para uma tensão alternada senoidal, a tensão eficaz V rms pode ser calculada a partir do valor de pico V p ou de pico a pico V pp, através das seguintes expressões: Observações: 1. A sigla rms significa root mean square ou raiz média quadrática; 2. O conceito de valor eficaz é aplicado também à corrente elétrica; 3. As tensões da rede elétrica são dadas em valores eficazes (110V rms e 220V rms). 4. Para compreender melhor o significado físico deste valor, consideremos um sinal senoidal com tensão de pico V p alimentando um resistor R, conforme a figura ao lado. A tensão e a corrente eficazes no resistor valem, respectivamente: A potência dissipada pelo resistor, calculada em função dos valores eficazes de corrente e tensão, é equivalente à potência média P analisada no tópico anterior, ou seja:

15 Desta forma, para sinais alternados senoidais, é muito mais fácil trabalhar em função de valores eficazes, uma vez que a potência resultante nos cálculos já corresponde à potência média P. Essa mesma potência seria dissipada caso fosse aplicada ao resistor uma tensão C.C. de valor igual ao da tensão eficaz. Desta forma, a potência pode ser calculada por uma das seguintes expressões: Apenas para finalizar, já vimos que as tensões e correntes alternadas senoidais num circuito podem ser representadas por números complexos. Daqui em diante, os seus módulos poderão ser expressos em valores de pico ou eficazes, sendo que neste último caso, suas grandezas ou unidades deverão vir acompanhadas da sigla rms, para que não sejam confundidas, isto é: Em valores eficazes: v ms = V ms 0 0 e i ms = I ms ϴ 0 Em valores de pico: v = V p ϴ 0 e i = I p ϴ 0 Atividade de Aprendizagem 1 - Dado o gráfico das tensões senoidais a seguir, pedem-se, para ambos os sinais: a) Valor de pico e valor de pico a pico; b) Período, frequência e frequência angular; c) Fase inicial e defasagem entre eles; d) Expressão matemática. 2 - Uma tensão senoidal tem frequência de 100 Hz, valor de pico de 10V e inicia o ciclo com atraso de π/3 rd. Pedem-se: a) Período e frequência angular; b) Expressão matemática; c) Representação gráfica. 3 - Dadas às tensões v 1 = 30 0º V e v 2 (t) = 20 sen (ωt: + π/ 2) (V), pedem-se os sinais: a) v 3 = v 1 + v 2 fasorialmente; b) v 3 = v 1 + v 2 matematicamente através de números complexos; c) v 3 = v 1 + v 2 matematicamente através das expressões trigonométricas; d) v 3 = v 1 + v 2 graficamente (soma ponto a ponto); e) v 4 = v 1 - v 2 fasorialmente; 15

16 f) v 4 = v 1 - v 2 matematicamente através de números complexos; g) v 4 = v 1 - V 2 matematicamente através das expressões trigonométricas; h) v 4 = v 1 - v 2 graficamente (subtração ponto a ponto). 4 - Dado o circuito ao lado, determine: a) Expressões de v(t) e i(t) nas formas trigonométrica e complexa; b) Formas de onda e representações fasoriais de v(t) e i(t); c) Expressões de v 1 (t) e v 2 (t) nas formas trigonométrica e complexa; d) Formas de onda e representações fasoriais de v 1 (t) e v 2 (t); e) Potências de pico e média fornecida pelo gerador e dissipada por cada resistor; f) Formas de onda das potências do item anterior. 5 - Dado o circuito ao lado, determine: a) Expressões de v(t) e i(t) nas formas trigonométrica e complexa; b) Formas de onda e representações fasoriais de v(t) e i(t); c) Expressões de i 1 (t) e i 2 (t) nas formas trigonométrica e complexa; d) Formas de onda e representações fasoriais de i 1 (t) e i 2 (t); e) Potências de pico e média fornecida pelo gerador e dissipada por cada resistor. f) Formas de onda das potências do item anterior. 6 - Um aquecedor elétrico para torneira tem o circuito ao lado: a) Qual a potência média e de pico dissipada pelo aquecedor em cada posição? b) Qual a corrente eficaz e de pico consumida pelo aquecedor em cada posição?

17 Aula 3 - Análise de Circuitos Indutivos Objetivos Conhecer o funcionamento de circuitos indutivos em regime alternado Indutor Um indutor ou bobina consiste em um fio enrolado helicoidalmente Sobre um núcleo, que pode ser de ar, ferro ou ferrite. A figura ao lado mostra os três principais tipos de indutores e seus respectivos símbolos: Indutor em Corrente Contínua Quando a chave é fechada, uma corrente i começa à circular pelo indutor. Esta corrente, ao passar pelas espiras, cria um campo magnético. As linhas de força cortam as espiras subsequentes, gerando nelas uma tensão e, denominada força eletromotriz induzida (fem). Conforme Lenz, esta tensão se opõe, através de i à causa que a originou (aumento da corrente i). Como resultado da oposição, a corrente leva certo tempo Δt = t 1 para atingir o valor de regime I, imposto apenas pela resistência ôhmica do fio do indutor. Quando a corrente atinge o valor de regime e fica constante, a chave é aberta no instante t 2, como indica a figura seguinte: A variação do campo magnético devido à diminuição da corrente i induz uma fem e com polaridade contrária, originando uma corrente i que se opõe a essa diminuição. Desta forma, mesmo sem a alimentação E, a corrente leva certo tempo Δt = t 3 t 2 para ser eliminada Indutância Colocando-se um núcleo de ferro na bobina e repetindo-se a experiência da figura que representa um indutor alimentado, a oposição oferecida pelo indutor à variação da corrente será maior, como mostra a figura acima. Uma bobina ou indutor é caracterizado por sua indutância. A indutância L depende das dimensões do indutor (comprimento e diâmetro do enrolamento), do material de que é feito o núcleo (ar, ferro ou ferrite) e do número de espiras. Quando um núcleo de ferro é colocado na bobina, a sua indutância L aumenta. 17

18 Indutância L A indutância L é a medida da capacidade do indutor de armazenar energia na forma de campo magnético. A unidade de medida da indutância é o Henry (H). Observação: A unidade de medida de indutância (H) é em homenagem ao físico norte-americano Joseph Henry ( ) que descobriu diversos fenômenos eletromagnéticos e criou o telégrafo magnético. A oposição às variações de corrente num indutor é análoga à oposição à passagem de corrente num resistor. No indutor, a tensão é diretamente proporcional à variação de corrente. Sendo L esta constante de proporcionalidade, que é dada por: Onde: v (t) = tensão do indutor l = indutância = variação da corrente em função do tempo Porém, como esta expressão depende de conceitos de matemática avançada (função derivada), ela será tratada de forma bem mais simples a partir do próximo tópico Indutor Ideal em Corrente Alternada No tópico anterior, foi visto que quando uma tensão contínua é aplicada a um indutor, a corrente sofre um atraso até atingir o valor de regime. Se a tensão aplicada a um indutor ideal (resistência ôhmica nula) é senoidal, a corrente (também senoidal) fica atrasada de 90 em relação à tensão, como mostra a figura a seguir, considerando que a tensão aplicada tem fase inicial nula (θ 0 = 0 ). Neste caso: v (t) = V p sen ωt ou v = V p 0º i (t) = I p sen (ωt - 90 ) ou I = I p 90º Reatância Indutiva X L A medida da oposição que o indutor oferece à variação da corrente é dada pela sua reatância indutiva X L. O valor (em módulo) da reatância indutiva é diretamente proporcional à indutância L e à frequência f da corrente (ou de sua frequência angular ω), sendo calculada por: X L = 2π f L ou Onde: X L = módulo da reatância indutiva em Ohm [Ω] L = indutância da bobina em Henry [H] f = frequência da corrente em Hertz [Hz] X L = ω L ω = frequência angular da corrente em radianos/segundo [rd/s] Pela expressão da reatância indutiva, percebe-se que quanto maior a indutância L e a frequência f (ou ω), maior é a reatância X L do indutor

19 Conclusão: O indutor ideal comporta-se como um curto-circuito em corrente contínua e como uma resistência elétrica em corrente alternada. Para uma frequência muito alta, o indutor comporta-se como um circuito aberto Primeira Lei de Ohm para o Indutor Ideal A Primeira Lei de Ohm pode ser usada num circuito em corrente alternada, substituindo-se a resistência elétrica pela reatância indutiva, isto é: Considerando-se as variáveis em questão na forma de números complexos, tem-se: Neste caso, V e I podem ser valores de pico, pico a pico ou eficazes. Assim, pode-se representar a reatância indutiva por: X L = ω L 90º ou X L = jω L Percebe-se, portanto, que a reatância indutiva de um indutor ideal tem fase sempre igual a 90 (forma polar) ou tem somente parte imaginária positiva (forma cartesiana). A fase da reatância indutiva, que corresponde à defasagem entre a tensão e a corrente no indutor, é chamada de Ф. Se a tensão possui fase inicial θ 0, a corrente no indutor passa a ter fase (θ 0-90 ), de forma que a fase da reatância indutiva continua sendo Ф = 90. A fase Ф de uma reatância, como será visto mais adiante, é muito importante para a análise da potência em circuitos reativos (indutivos e/ou capacitivos). Exemplos: 1. Sobre uma bobina de 200mH é aplicada uma tensão de 110V rms l60hz. 2. Considerando a bobina ideal e fase inicial da tensão nula, pedem-se: a) Reatância da bobina em módulo e em número complexo. Cálculo de X L em módulo: X L = 2π f L = 2 π = 75,4Ω. Em número complexo, tem-se: X L = j75,4ω ou X L = 75,4 90º Ω. b) Valor eficaz da corrente na bobina: c) Gráficos da tensão e corrente na bobina I p = 2 I rms = 2 1,46 = 2A V p = 2 V rms = = 156V 19

20 3. Em que frequência uma bobina de 100rnH tem 150Ω de reatância? 4. Em um circuito indutivo alimentado com 110V rms /60Hz, deseja-se que a corrente seja limitada em 200mA. Qual deve ser o valor da indutância da bobina? Sendo a corrente de pico na bobina iguala 200mA, seu valor eficaz é: A reatância da bobina vale: Portanto, a indutância da bobina deve valer: 5. Dado o circuito a seguir, pede-se: a) Expressão da corrente na forma polar e em função do tempo. Calculando-se a reatância do indutor, tem-se: X L = ω L = 2π = 18,85Ω Assim: X L = j18,85ω ou X L = 18,85 90º Ω A corrente, na forma polar, vale: Transformando a expressão da corrente para o domínio tempo, temse: i(t) = 1,6 sen (ωt - 30 ) (A) i(t) = 1,6.sen (377t -π/ 6) (A) b) Diagrama fasorial ou Potência num Indutor Ideal Através da expressão p(t) = v(t) i(t), pode-se levantar o gráfico da potência instantânea num indutor ideal, que fica como mostra a figura a seguir:

21 Em um circuito puramente indutivo (sem resistência ôhmica), não há dissipação de energia. Observando o gráfico da potência instantânea, verifica-seque a potência é ora positiva, ora negativa, de forma que sua potência média é zero. Quando a potência é positiva, significa que o indutor está recebendo energia do gerador, armazenando-a na forma de campo magnético. Quando a potência é negativa, significa que o indutor está se comportando como um gerador, devolvendo a energia armazenada ao circuito. Esta sequencia se repete duas vezes em cada ciclo da tensão do gerador. Desta forma, a energia é sempre trocada entre o gerador e o indutor, não havendo dissipação de potência (perdas) Potência Ativa Num circuito reativo, a potência média (dissipada) é denominada potência ativa P (ou real), sendo calculada por: P = V ms I ms cos Ф [W]. A fase Ф é a defasagem entre a tensão e a corrente, que corresponde à fase da reatância. Como no indutor ideal Ф = 90, tem-se que: P = V ms I ms cos 90 = V ms I ms 0 = 0W (potência média nula) Circuito RL Série Na prática, um indutor apresenta indutância e resistência elétrica (devido à resistividade do fio do indutor). Portanto, a corrente elétrica, ao percorrer um indutor, encontra dois tipos de oposição: a reatância indutiva e a resistência ôhmica do fio. Quando uma tensão alternada é aplicada a um circuito RL série, a corrente continua atrasada em relação a ela, só que de um ângulo menor que 90, pois, enquanto a indutância tende a defasá-ia em 90, a resistência tende a colocá-ia em fase com a tensão. A figura ao lado (a) mostra um circuito RL série, no qual a resistência R representa o equivalente de todas as resistências em série com o indutor (inclusive a resistência ôhmica do fio do indutor). Por simplicidade, a corrente foi considerada com fase inicial nula. Pelo diagrama fasorial, vê-se que a corrente i no indutor (que é a mesma no resistor) está atrasada de 90 em relação à tensão v L. Como tensão e corrente num resistor estão sempre em fase v R e i estão representadas no mesmo eixo. A tensão v do gerador é a soma vetorial de v L com v R, resultando numa defasagem Ф menor que 90 em relação à corrente Impedância Indutiva Z L A oposição que o indutor real oferece à passagem da corrente elétrica depende de R e de X L. Esta combinação é denominada impedância indutiva Z L, dada em (Ω], e pode ser representada por um único símbolo, como mostra a figura ao lado. 21

22 Aplicando-se a Primeira Lei de Ohm, tem-se: Do diagrama fasorial da figura a seguir, v L, v R e i podem ser representados na forma de números complexos: A reatância indutiva X L vale: A resistência R vale: Como v = v R + v L (soma vetorial), dividindo-se ambos os lados da igualdade por i, tem-se: Assim, a impedância indutiva Z L vale: Z L = R + jx L ou Z L = R + jω L A impedância indutiva pode ser também representada na forma polar como segue: Módulo: Fase: ou, ainda: No plano cartesiano, a impedância indutiva fica como na figura ao lado. Em geral, a resistência do enrolamento de uma bobina é baixa (de unidades a centenas de Ohm). Portanto, em muitos casos ela pode ser desprezada, sendo o indutor considerado ideal. Exemplos: 1. Uma bobina,quando ligada a uma fonte CC de 10V, consome 100mA e, quando ligada a uma fonte CA de 10V rms /500Hz, consome 20mA rms. Calcular: a) Resistência da bobina. Quando a bobina é ligada à fonte CC, só existe o efeito da resistência ôhmica, pois sendo a tensão constante, a reatância indutiva é nula. Portanto:

23 b) Reatância e indutância da bobina. Quando a bobina é ligada à fonte CA, além da resistência ôhmica, há o efeito da reatância indutiva. Assim, o módulo da impedância indutiva é: Como o valor da reatância indutiva é: Portanto, a indutância vale: c) Impedância complexa da bobina e sua representação gráfica Para a representação na forma polar, é necessário calcular a fase: Portanto: d) Diagrama fasorial do circuito CA (considerando fase inicial da tensão da fonte nula). Tem-se: V rms = 10 0 V. Como a corrente i está atrasada de Ф= 78,5 em relação à tensão, seu valor na forma complexa é: i rms = 20-78,5º ma. As tensões v R e v L valem: V Rrms = R i =100 0,02-78,5 = 2-78,5 V V Lrms = X L i = ,02-78,5 = 9,8 11,5 V 2. Dado o circuito ai lado, determinar: a) Impedância do circuito e o valor de L. A impedância, na forma cartesiana, vale: Z L = 30 + j40 Ω. Na forma polar, tem-se: Módulo: 23

24 Fase: Portanto: Z L = Ω Pela reatância indutiva, tira-se L: b) Corrente no circuito: c) Diagrama fasorial e formas de onda. Para o diagrama fasorial, tem-se: v = V rms e i = 2,2 37 A rms Calculando-se v L e v R : v L = X L i = 40 90º 2,2 37º = V rms v R = R i= 30 0º 2,2 37º = V rms Portanto: Para as formas de onda, tem-se: V(t)= sen (2π f t + 90 ) = 156 sen (377t + 90 ) (V) V L (t) = 88 2.sen (377t +127º) = 124,5 sen (377t+127º) (V) v R (t) = 66 2 sen (377t + 37 ) = 93,3 sen (377t + 37 ) (V) i(t) = 2,2 2. sen (377t + 37 ) = 3,1 sen (377t+ 37 ) (A) 3. Para o circuito ao lado, calcular: a) A tensão no indutor e a corrente do circuito. Cálculo de v L, através da fórmula do divisor de tensão: Tem-se: R = 100Ω e v =110 45ª V rms X L = jω L = j2π f L = j2π 100.0,2 = j125,7 = 125,7 90º Ω Z L = R + X L = j125,7 = 160,6 51,5º Ω

25 Logo: A corrente do circuito pode ser calculada por: b) Diagrama fasorial Potência em Circuitos Indutivos Para a análise da potência num circuito indutivo formado por um resistor e um indutor ligados em série, consideremos o circuito da figura a seguir (a). Representando os fasores das tensões envolvidas (em V rms) na forma de um triângulo, tem-se a figura (b). Notar que a fase Ф corresponde tanto à fase da impedância equivalente quanto à defasagem entre tensão e corrente do gerador. Multiplicando-se os lados do triângulo de tensões pela corrente i do circuito, obtém-se o triângulo de potências, como na figura acima (c). A base deste triângulo é a potência ativa P (ou real), dada em Watt [W], que pode ser obtida através de uma das seguintes expressões: A hipotenusa do triângulo representa a potência aparente P AP, cuja unidade é Volt-Ampère [VA], e dada pela expressão: A altura do triângulo é a potência reativa P R (neste caso, potência reativa indutiva P RI). A potência reativa tem como unidade Volt-Ampère Reativo [VAR], e dada por uma das seguintes expressões: 25

26 Como mostra a figura a seguir, essas três potências se relacionam da seguinte forma: Fator de Potência - FP A relação entre a potência real P e a potência aparente P AP é denominada fator de potência FP, cuja expressão pode ser tirada da figura acima. Portanto, o fator de potência pode ser calculado diretamente através da fase Ф da impedância. É muito comum chamar o fator de potência de cosseno fi, devido à sua expressão. O fator de potência dá uma medida do aproveitamento da energia fornecida pelo gerador à carga. Em circuitos formados por resistores e/ou indutores, três situações são possíveis: Se a carga é puramente resistiva, não há potência reativa e, portanto, P Ap = P, ou seja, FP = 1. Neste caso, a carga aproveita toda a energia fornecida pelo gerador (dissipa potência por efeito Joule). Se a carga é puramente indutiva (ou reativa), não há potência ativa e, portanto, P AP = P R' ou seja, FP = O. Neste caso, a carga não aproveita nenhuma energia fornecida pelo gerador, ou seja, não dissipa potência, mas apenas troca energia com o gerador. Se a carga é indutiva (impedância reativa indutiva), há potência ativa e reativa e, portanto, P 2 AP = P 2 + P 2 R, ou seja, O<FP< 1. Neste caso, a carga aproveita somente uma parte da energia fornecida pelo gerador, ou seja, somente a parte resistiva da carga dissipa potência por efeito Joule. Exemplos: 1) Dado o circuito a seguir, pede-se:

27 a) Leitura dos aparelhos X L = j2π.f. L = j2 π.60.0,1 = j37,7 Ω Z L = 50 + j37,7 = 62,6 37º Ω (o amperímetro indica 1,76 A rms ) V 1 = R.i = ,76-37º = 88-37º V rms (V 1 indica 88 V rms ) v 2 = X L.i = 37, ,76-37 = 66,4 53 V rms (V 2 indica 66,4 V rms ) b) Fator de potência FP = cosф = cos37 = 0,799 c) Potência ativa dissipada pelo circuito P = V rms. I rms. cosф = 110.1,76.0,799 = 154,7W d) Potências aparente e reativa do circuito P Ap = V rms. I rms = 110.1,76 = 193,6 VA P R = V rms. I rms. senф = 110.1,76.sen37 = 116,5 VAR e) Diagrama fasorial Embora o resistor esteja em série com o indutor, devido à fase das tensões nestes dispositivos serem diferentes, a soma de suas tensões (medidas pelos voltímetros) não é igual à tensão fornecida pelo 27

28 gerador. Essa soma só é válida se feita vetorialmente, já que as tensões são valores complexos. De toda a potência que o gerador entrega à carga, somente uma parte é consumida (154,7W). A outra parte (potência reativa) não é usada para realizar trabalho útil, sendo constantemente trocada entre a carga e o gerador. Um wattímetro conectado ao circuito mediria apenas essa potência ativa de 154,7W. Se a potência reativa aumentar, sem aumento na potência ativa, a potência aparente aumenta, causando aumento no consumo de corrente e implicando numa fiação de bitola maior e, portanto, num aumento de custo. Por isso, a concessionária de energia elétrica controla o fator de potência (cosф) dos usuários, estipulando um valor mínimo, que é de 0,85, abaixo do qual os usuários pagam multa. Na prática, quando o FP cai abaixo do mínimo estabelecido (0,85), é possível fazer a correção, introduzindo-se capacitores ao circuito. 2. A potência consumida (ativa) por uma instalação elétrica é de 2400W. Se a tensão de alimentação é de 220V rms, calcular a potência aparente e a corrente consumida quando: a) FP = 0,9 b) FP = 0,6 Observação: Apesar de a potência consumida útil ser a mesma, a corrente consumida aumentou com a diminuição do fator de potência da instalação elétrica. 3. Calcular o fator de potência de um circuito RL série cujo amperímetro indica 10A, o voltímetro ligado ao gerador indica 220V e o wattímetro indica 2000W. Como os instrumentos medem valores eficazes, tem-se: P Ap = V rms I rms = = 2200VA

29 4) No circuito a seguir, a leitura dos instrumentos V=220V, 1=55ª e P=10kW. Calcular: a) Impedância do circuito b) Resistência e indutância c) Potências aparente e reativa d) Fator de potência: 29

30 Aula 4 - Análise de Circuitos Capacitivos Objetivos Conhecer o funcionamento de circuitos indutivos em regime alternado Capacitor Um capacitor ou condensador é um dispositivo que armazena cargas elétricas. Ele consiste basicamente em duas placas metálicas paralelas, chamadas de armaduras, separadas por um isolante, chamado material dielétrico. A figura ao lado mostra os detalhes construtivos e o símbolo genérico de um capacitor: Capacitância C A capacitância C é a medida da capacidade do capacitor de armazenar cargas elétricas, isto é, armazenar energia na forma de campo elétrico. A unidade de medida de capacitância é o Farad [F], e seu valor depende, principalmente, das dimensões do capacitor e do tipo de dielétrico. Observação: A unidade de medida de capacitância [F] é em homenagem ao físico inglês Michael Faraday ( ) que estudou diversos fenômenos relacionados às cargas elétricas. Capacitância: Consideremos um capacitor alimentado por uma fonte de tensão contínua E, como mostra a figura ao lado. Quando a chave é fechada (t=o), o capacitor começa a armazenar cargas até atingi rum valor Q. A quantidade de cargas que um capacitor pode armazenar depende de sua capacitância C e da tensão V entre seus terminais, isto é: Q = V C Onde: Q => quantidade de cargas em Coulomb [C] V => tensão entre os terminais em Volt [V] C => capacitância em Farad [F] Exemplo: Num capacitor de 100µF, é aplicada uma tensão de 10V. Determinar a carga elétrica total armazenada no capacitor e a quantidade de elétrons que se deslocaram de uma placa para outra. Q = V C = = 10-3 = 1mC Como Q = n.q e, onde n representa o número de elétrons (em excesso ou em falta) e q e = 1, C (carga elementar de um elétron), tem-se:

31 Isto significa que a placa superior está com 6, elétrons em falta e a inferior tem um excesso de 6, elétrons, ou seja, os elétrons da placa superior se dirigiram para a placa inferior através da fonte de alimentação Tensão e Corrente no Capacitor Aplicada uma tensão E no capacitor, inicialmente, a corrente i (fluxo de cargas) é mais intensa, diminuindo à medida que o capacitor se carrega, até parar (i=o). Por outro lado, a tensão v no capacitor (potencial associado às cargas elétricas) começa em zero e cresce até atingir o valor da tensão de alimentação (v = E). O tempo necessário para que o capacitor se carregue totalmente (situação em que a tensão atinge o valor máximo e a corrente vale zero) depende das resistências do circuito. Num circuito puramente capacitivo, esse tempo é extremamente pequeno, isto é, o capacitor se carrega quase que instantaneamente, comportando-se, a partir daí, como um circuito aberto. Assim, três conclusões muito importantes podem ser tiradas em relação ao comportamento do capacitor: 1. Um capacitor armazena energia na forma de campo elétrico. 2. Um capacitor comporta-se como um circuito aberto em tensão contínua, mas permite a condução de corrente para tensão variável. 3. Num capacitor, a corrente está adiantada em relação à tensão. O fato de o capacitor permitir a condução de corrente quando a tensão aplicada é variável, não significa que esta condução ocorra sem qualquer oposição. Só que no caso do capacitor, ao contrário do que ocorre no indutor, quanto mais rápida é a variação da tensão, menos oposição existe à passagem da corrente. Portanto, no capacitor, a corrente é diretamente proporcional à variação de tensão, sendo esta constante de proporcionalidade a capacitância C, que é dada por: Onde: i(t) => corrente no indutor c => capacitância dv(t) / dt => variação da tensão em função do tempo Da mesma forma que para o indutor, esta expressão depende de conceitos de matemática avançada (função derivada), sendo tratada de forma bem mais simples a partir do próximo tópico. 31

32 Circuito RC Série em Corrente Contínua O comportamento do circuito RC série alimentado por uma fonte de tensão contínua é muito importante, já que os conceitos envolvidos serão de grande utilidade no projeto de circuitos temporizados. Carga do Capacitor Se o capacitor for conectado a uma fonte de tensão contínua E através de um resistor R, como na figura ao lado, ele levará certo tempo para se carregar totalmente. Na figura acima, o capacitor encontra-se inicialmente descarregado. No instante t = 0, a chave é fechada (b). De acordo com a Segunda Lei de Kirchhoff, tem-se: v R (t) + v C (t) = E = constante Em t = 0, o capacitor está descarregado, ou seja, V c (0) = 0. Assim, V R (O) = E. Portanto, a corrente inicial é máxima, e vale: i(0)= I = E / R. Do ponto de vista físico, não existe corrente através do capacitor, mas uma movimentação de elétrons, como indica a figura (c). Como a carga q do capacitor começa a aumentar, a tensão no capacitor v C (t) também aumenta, diminuindo a tensão no resistor v R (t) e a corrente i(t) do circuito. Após um determinado tempo, o capacitor carrega-se completamente com carga máxima Q, fazendo com que sua tensão atinja o valor da fonte (V c =E) e a corrente no circuito seja nula, como na figura (d). Conclui-se, portanto, que durante certo intervalo de tempo, a tensão no capacitor aumenta e a corrente no circuito diminui. Como se vê pelos gráficos, a curva de v c (t) é uma exponencial crescente, enquanto v R (t) e i(t) são exponenciais decrescentes, cujas expressões são:

33 Observação: Nestas expressões, e é o algarismo neperiano e vale aproximadamente 2,718. Pelas expressões, percebe-se que quanto maior o valor do resistor e do capacitor, mais tempo leva para que o capacitor carregue-se totalmente. A medida da velocidade de crescimento da tensão no capacitor é dada pela constante de tempo τ (letra grega tau) do circuito, definida como: Onde: R => resistência em Ohm [Ω]; τ => constante de tempo em segundo [s] Na expressão de v c (t), considerando-se t = τ = R C, obtém-se: v d (τ) = E (1- e -1 ) O,63 E C => capacitância em Farad [F]; Isto significa que, passado um tempo t igual a uma constante de tempo τ, a tensão no capacitor atinge aproximadamente 63% da tensão da fonte E. Na expressão de v c (t), considerando-se o tempo dado em constantes de tempo τ, o gráfico da carga do capacitor fica como mostra a figura a seguir: Deste gráfico, conclui-seque, do ponto de vista prático, o capacitor pode ser considerado totalmente carregado, ou seja, V C E, passado um tempo t 4 τ ou t 4 R C, pois, nesta condição, a sua tensão é maior que 98% da tensão da fonte. Descarga do Capacitor Estando o capacitar totalmente carregado, com V C = E, e desligando-se a fonte de tensão, ele permanece neste estado por muito tempo, já que a resistência do dielétrico é muito elevada (isolante). Assim, a descarga só pode ocorrer caso haja resistência de fuga entre as placas do capacitar, ou se no lugar da fonte for colocado um fio, curto-circuitando-se os terminais do resistor e do capacitar. Considerando-se este último caso, como na figura a seguir (a), inicialmente o capacitar encontra-se com v c (O)= E, o mesmo ocorrendo com o resistor, porém com polaridade invertida, ou seja, V R (O)= - E. 33

34 Assim, o capacitor se descarrega pelo resistor com a mesma constante de tempo 't =R C. até que, passado um tempo t 4τou t 4 R C, ele pode ser considerado totalmente descarregado, como mostra a figura (b). Observe que a curva da tensão no resistor tem o mesmo aspecto que a do capacitor, mas sua polaridade é contrária. Com a corrente ocorre algo semelhante. Inicialmente ela é máxima, mas no sentido contrário ao da carga do capacitor. Conforme diminui a tensão no capacitor e no resistor, sua intensidade também diminui, até zerar. As expressões das tensões e corrente no circuito, durante a descarga do capacitor, são as seguintes: Exemplo: No circuito ao lado, considerando que o capacitor encontra-se inicialmente descarregado, determinar: a) Constante de tempo do circuito: τ = R C = = 1ms b) Com a chave na posição 2, expressões de v c (t), v R (t)e i(t) c) Após t = 10 τ, coma chave na posição 3, expressões de v c (t), v R (t) e i(t) Passado o tempo t = 10 τ, pode-se considerar que o capacitor encontra-se totalmente carregado, com V c = E = 10V. Portanto: Descarga do Capacitor:

35 Tensão no Resistor: Corrente no Circuito: d) Esboço da curva de v c (t), baseado nos itens (b) e (c): Capacitor em Corrente Alternada No tópico anterior, foi visto que quando uma corrente contínua é aplicada a um capacitor, a tensão leva um certo tempo para atingir o valor máximo. Portanto, no capacitor, a corrente está adiantada em relação à tensão. Se a tensão aplicada a um capacitar é senoidal, a corrente (também senoidal) fica adiantada de 90 em relação à tensão. A figura a seguir mostra o diagrama fasorial e as formas de onda da tensão e da corrente num capacitor, considerando que a tensão aplicada tem fase inicial nula (θ 0= 0 ). Neste caso: v(t) = V p senωt ou v = V p 0º i(t) = I p sen(ωt+90º) ou i = I p 90º Reatância Capacitiva X c A medida da oposição que o capacitor oferece à variação da corrente é dada pela sua reatância capacitiva X c. O valor (em módulo) da reatância capacitiva é inversamente proporcional à capacitância C e à frequência f da corrente (ou de sua frequência angular ω),sendo calculado por: Onde: X c => módulo da reatância capacitiva em Ohm [Ω] C => capacitância do capacitor em Farad [F] 35

36 f => frequência da corrente em Hertz [Hz] ω => frequência angular da corrente em radianos/segundo [rd/s] Pela expressão da reatância capacitiva, percebe-se que quanto maior a capacitância C e a frequência f (ou ω), menor é a reatância X c do capacitor. Conclusão: O capacitor comporta-se como um circuito aberto em corrente contínua e como uma resistência elétrica em corrente alternada. Para uma frequência muito alta, o capacitor comporta-se como um curto circuito Primeira Lei de Ohm para o Capacitor A Primeira Lei de Ohm pode ser usada para o cálculo da reatância capacitiva como segue: Considerando-se as variáveis em questão na forma de números complexos, tem-se: Neste caso, V e I podem ser valores de pico, pico a pico ou eficazes. Assim, pode-se representar a reatância capacitiva por: Percebe-se, portanto, que a reatância capacitiva de um capacitor tem fase sempre igual a -90º (forma polar) ou tem somente parte imaginária negativa (forma cartesiana). A fase da reatância capacitiva, que corresponde à defasagem entre a tensão e a corrente no capacitar, é chamada de Φ. Se a tensão possui fase inicial θ 0, a corrente no capacitar passa a ter fase (θ 0+ 90º), de forma que a fase da reatância capacitiva continua sendo Φ =-90º. Exemplos: 1. Calcular a reatância de um capacitar de 4,7µF nas frequências de 60Hz e 400Hz. Para f = 60Hz: Para f = 400Hz: Portanto, quanto maior a frequência, menor a reatância capacitiva. 2. Qual a intensidade da corrente no circuito a seguir e como fica o diagrama fasorial? A reatância vale: Portanto, a intensidade da corrente é de:

37 Como a fase da tensão é de 120, a corrente tem fase de 210, pois está adiantada em 90. Assim, o diagrama fasorial fica como mostrado ao lado. 3. Em que frequência a corrente no circuito a seguir vale 0,5A rms? Se I=0,5A, então: Portanto, a frequência deve ser de: Potência num Capacitor Através da expressão p(t) = v(t) i(t), pode-se levantar o gráfico da potência instantânea num capacitor, que fica como mostra a figura a seguir. Em um circuito puramente capacitivo, não há dissipação de energia. Observando o gráfico da potência instantânea, verifica-se que a potência é ora positiva, ora negativa, de forma que sua potência média é zero. Quando a potência é positiva, significa que o capacitor está recebendo energia do gerador, armazenando-a na forma de campo elétrico nas suas armaduras. Quando a potência é negativa, significa que o capacitor está se comportando como um gerador, devolvendo a energia armazenada ao circuito. 37

38 Esta sequencia se repete duas vezes em cada ciclo da tensão do gerador. Desta forma, a energia é sempre trocada entre o gerador e o capacitor, não havendo dissipação de potência (perdas). Potência Ativa Num circuito reativo capacitivo, a potência média (dissipada) é denominada potência ativa P (ou real), sendo calculada por: A fase Φ é a defasagem entre a tensão e a corrente, que corresponde à fase da reatância capacitiva. Como no capacitar Φ = -90 tem-se que: Circuito RC Série Quando uma tensão alternada é aplicada a um circuito RC série, a corrente continua adiantada em relação a ela, só quede um ângulo menor que 90, pois enquanto a capacitância tende a defasá-ia em 90, a resistência tende a colocá-ia em fase com a tensão, como mostra a figura a seguir. Pelo diagrama fasorial, vê-se que a corrente i no capacitar (que é a mesma no resistor) está adiantada de 90 em relação à tensão v C. Como tensão e corrente num resistor estão sempre em fase, v R e i estão representadas no mesmo eixo. A tensão v do gerador é a soma vetorial de v c com v R, resultando numa defasagem Φ menor que 90º em relação à corrente Impedância Capacitiva Z c A oposição que o capacitor oferece à passagem da corrente elétrica depende de R e de X c. Esta combinação é denominada impedância capacitiva Z c, dada em [Ω], e pode ser representada por um único símbolo, como mostra a figura a seguir

39 Aplicando-se a Primeira Lei de Ohm, tem-se: Do diagrama fasorial da figura anterior (b), v C, v R e i podem ser representados na forma de números complexos: A reatância capacitiva X c vale: v c = V c 0º v R = V R 90º i = I 90º A resistência R vale: Como v = v R + r C (soma vetorial), dividindo-se ambos os lados da igualdade por i, tem-se: Assim, a impedância capacitiva Z c vale: A impedância capacitiva pode ser também, representada na forma polar como segue: Módulo: Fase: Ou, ainda: No plano cartesiano, a impedância capacitiva fica como segue: 39

40 Potência em Circuitos Capacitivos Para a análise da potência num circuito capacitivo formado por um resistor e um capacitor ligados em série, consideremos o circuito da figura a seguir (a). Representando os fasores das tensões envolvidas (em V rms) na forma de um triângulo, tem-se a figura (b). Multiplicando-se os lados do triângulo de tensões pela corrente i do circuito, como na figura (c), obtémse o triângulo de potências, formado por: Potência aparente P Ap [VA]: P Ap = V rms I rms Potência ativa P [W]: P = V rms I rms ou P = V rms I rms cos Φ Potência reativa P R [VAR]: P R = V rms I rms ou P R = V rms I rms sen Φ A potência reativa, neste caso, recebe o nome de potência reativa capacitiva P RC. A relação entre essas três potências é: Fator de Potência - FP A relação entre a potência real P e a potência aparente P Ap é denominada fator de potência FP, cuja expressão pode ser tirada da figura anterior (c)

41 Portanto, o fator de potência pode ser calculado diretamente através da fase Φ da impedância, mesmo que ela seja negativa, pois cosφ = cos(-φ). Em circuitos formados por resistores e/ou capacitores, três situações são possíveis: Se a carga é puramente resistiva, não há potência reativa e, portanto, P Ap = P, ou seja, FP = 1. Neste caso, a carga aproveita toda a energia fornecida pelo gerador (dissipa potência por efeito JouIe). Se a carga é puramente capacitiva (ou reativa), não há potência ativa e, portanto, P Ap = P r, ou seja, FP = O. Neste caso, a carga não aproveita nenhuma energia fornecida pelo gerador, ou seja, não dissipa potência, mas apenas troca energia com o gerador. Se a carga é capacitiva (impedância reativa capacitiva), há potência ativa e reativa e, portanto, P Ap = P 2 + P 2 R ou seja, O FP 1. Neste caso, a carga aproveita somente uma parte da energia fornecida pelo gerador, ou seja, somente a parte resistiva da carga dissipa potência por efeito JouIe. Exemplos: 1. Dado o circuito ao lado, pedem-se: a) Impedância complexa nas formas cartesiana e polar Forma cartesiana: Z C = R - jx C = 40 - j30 Ω Forma polar: Portanto: Z C = Ω b) Corrente, tensão no resistor e tensão no capacitor c) Valor da capacitância d) Potências aparente, ativa e reativa P Ap = V rms I rms = = 200VA P = V rms I rms = 80 2 = 160W P R = V Crms I rms = 60 2 = 120VAR e) Diagrama fasorial 41

42 a) Valor de R 2. Dado o circuito a seguir, pedem-se: Pelo triângulo de tensões: A reatância capacitiva vale: Valor da corrente: Portanto, o resistor vale: Atividade de Aprendizagem 1 - No circuito a seguir, no qual é aplicada uma tensão retangular, a tensão no capacitar vale V C (O) = OV. Determinar: a) Constante de tempo do circuito e período da tensão retangular; b) Expressões de v C (t), v R (t)e i(t) para os intervalos O t < 5µs e 5 t < 1Oµs; c) Esboço das formas de onda de v C (t), v R (t) e i(t) para as condições do item b. 2 - Qual o valor mínimo do resistor que deve ser ligado em série com um capacitar de 1OOOµF, para que o mesmo demore no mínimo, uma hora para se carregar? 3 - Em que frequências um capacitor de 33µF possui reatâncias de 10Ω e 1kΩ? 4 - Qual a intensidade da corrente no circuito ao lado, e como fica o diagrama fasorial?

43 5 - Em que frequências a corrente no circuito a seguir vale 10mA rms e 1A? 6 - O ângulo de defasagem entre tensão e corrente em um circuito RC série é de 60. Calcular os valores de R e C, sabendo-se que Z C = 200Ω (em módulo) e que f = 500Hz. 7 - Para o circuito a seguir, pedem-se: a) Corrente e impedância complexas; b) Tensões complexas no resistor e no capacitor; c) Diagrama fasorial. 8 - Em um circuito RC série, v C = 80 0º V rms, VR = 80V rms e I =0,2A rms. Se a frequência do gerador é 60Hz, pedem-se a) Tensão do gerador e impedância complexas; b) Expressões de v(t), v R (t) e v C (t); c) Diagrama fasorial. 9 - No circuito a seguir, deseja-se um FP = 0,8. Qual deve ser o valor de C? 10 - No circuito a seguir, deseja-se que v C = v R /3. Determinar: a) vc e vr; b) Valor de C; c) Ângulo Φ. 43