Raciocínio Lógico PF: Agente de Polícia Federal Professor: Fabiano Vieira. Aulas 01 a 28

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1 Raciocínio Lógico PF: Agente de Polícia Federal Professor: Fabiano Vieira Prof. Fabiano Vieira Página 1 de 39

2 RACIOCÍNIO LÓGICO Introdução Seja bem-vindo (a) ao curso de raciocínio lógico!!! O Curso de Raciocínio Lógico preparatório terá como base a linha de ação dos concursos públicos. Na primeira parte, o raciocínio lógico proposicional, trabalharemos com metodologia pautada no objetivo de que o aluno possa assimilar de maneira prática o que muitas vezes parece-nos abstrato no estudo do raciocínio lógico. Através de exemplos práticos e exercícios, nosso material visa assimilação rápida e eficaz de conteúdo. Assim traremos o raciocínio lógico, trazendo do abstrato para o prático, para o cotidiano, dentro da vivência do aluno. Na segunda parte, onde engloba o raciocínio lógico matemático, ou matemática quantitativa, estudaremos o princípio de contagem, também de uma forma mais prática, entendendo não fórmulas, mas a forma de tratar a matéria, sob a ótica dos princípios multiplicativo e aditivo. Entenderemos de forma simples e direta o que são arranjos, combinações e permutações. Na sequência, estudaremos probabilidades sob a ótica CESPE, na qual pauta-se em situações hipotéticas. Para finalizar, estudaremos aritmética, geometria e álgebra linear, que engloba matrizes, determinantes e sistemas lineares. Prof. Fabiano Vieira Página 2 de 39

3 PLANO DE AULAS* Aula Tema da aula Aula 01 Apresentação do Curso. Proposições e conectivo negação Aula 02 Conectivos: conjunção, disjunções e implicação lógica Aula 03 Conectivo: dupla implicação e exercícios de fixação dos valores lógicos Aula 04 Negações da conjunção de disjunção inclusiva leis de Morgan Aula 05 Negação da implicação e da dupla implicação Aula 06 Equivalências lógicas Aula 07 Tautologia, contradição e contingência Aula 08 Argumentos lógicos - Parte I Aula 09 Argumentos lógicos - Parte II, Quantificadores lógicos - Parte I Aula 10 Quantificadores lógicos - Parte II e negações de quantificadores Aula 11 Princípio de contagem Análise combinatória Parte I Aula 12 Princípio de contagem Análise combinatória Parte II Aula 13 Princípio de contagem Análise combinatória Parte III Aula 14 Princípio de contagem Análise combinatória Parte IV Aula 15 Probabilidade Parte I Aula 16 Probabilidade Parte II Aula 17 Probabilidade Parte III, Operações com conjuntos - Parte I Aula 18 Operações com conjuntos - Parte II Aula 19 Operações com conjuntos - Parte III Aula 20 Cálculos aritméticos Parte I Aula 21 Cálculos aritméticos Parte II Aula 22 Cálculos aritméticos Parte III Aula 23 Matrizes, determinantes e sistemas lineares Parte I Aula 24 Matrizes, determinantes e sistemas lineares Parte II Aula 25 Geometria parte I Aula 26 Geometria parte II Aula 27 Geometria parte III Aula 28 Geometria parte IV * O Plano de Aulas pode sofrer alterações no decorrer do curso. Prof. Fabiano Vieira Página 3 de 39

4 RACIOCÍNIO LÓGICO PROPOSICIONAL Introdução: O Raciocínio Lógico Proposicional (denominaremos apenas por RLP), como o próprio nome propõe, trata das proposições lógicas. Tal estudo engloba a identificação de proposições lógicas; conectivos lógicos e suas regras; negações e equivalências de proposições compostas; tautologia, contradição e contingência e; por fim, argumentos lógicos. Para que tal conteúdo seja assimilado com maior eficácia e velocidade, há necessidade de que, em cada tópico, haja o esforço do aluno em memorizar, através de revisão de material, as conclusões de tais tópicos, essenciais para o trabalho com o próximo tópico. Assim, o estudo do raciocínio lógico é cumulativo. Valorações Lógicas Na matemática têm-se infinitos valores possíveis para cada expressão, mas no raciocínio lógico temos somente dois valores, o verdadeiro e o falso. Dizemos que algo é VERDADEIRO quando ACONTECE, e dizemos que algo é FALSO quando NÃO ACONTECE. Vejamos alguns exemplos: 1) O professor Fabiano Vieira é professor de raciocínio lógico do Aprova Concursos. Verdadeiro. Por quê? Porque acontece, ou seja, porque é isto mesmo. 2) O professor Fabiano Vieira é professor de direito tributário do Aprova Concursos. Falso. Por quê? Porque não acontece. Proposições lógicas identificação e codificação Proposições lógicas são frases afirmativas que aceitam verdadeiro ou falso como resposta, ou como julgamento. Desta forma, a proposição lógica, em primeiro lugar, deverá afirmar algo. Além disso, além de afirmar algo, este algo deve ser de tal forma afirmado que seja possível emitir o julgamento verdadeiro ou falso. Para fins de simbologia, podemos relacionar uma proposição lógica com uma letra do alfabeto como A, B, C, D ou P, Q, R, S ou p, q, r, s, etc. Vejamos o exemplo: 1) A: João é rico B: Maria é estudiosa. Desta forma, poderemos não mais trabalhar com frases longas, mas somente com letras, o que facilita em muito o que chamamos de cálculo proposicional, que nada mais é do que a determinação de Verdades ou Falsidades das sentenças lógicas proposições lógicas. Prof. Fabiano Vieira Página 4 de 39

5 Sentenças que não são proposições lógicas identificação Então, há frases que não aceitam verdadeiro ou falso como julgamento, não sendo, portanto, proposições lógicas. Vamos ver alguns exemplos mais comuns? Exemplo 1) Qual seu nome? Perceba que não é possível responder ou julgar como verdadeiro ou falso, pois não é uma afirmação, é um questionamento. Ficaria até mesmo estranho a pessoa fazer esta pergunta e alguém responder VERDADEIRO ou FALSO. Desta forma, frases interrogativas não são proposições lógicas. Exemplo 2) Viva!!! ; Que Bom! ; Legal! ; Que jogador fenomenal! Frases exclamativas não são proposições lógicas, pois não cabe, após o enunciado das mesmas, emitir julgamento VERDADEIRO ou FALSO. Exemplo 3) Faça seu trabalho bem feito ; Eu quero este tópico lido ainda hoje. Perceba que são ORDENS ou PEDIDOS, o que não possibilita julgamento Verdadeiro ou Falso. O máximo que possibilita é disser Sim, senhor, não senhor. Desta forma, as ORDENS não são proposições lógicas. Atenção: Cuidado com as ordens, pois muitas vezes pensamos que são proposições lógicas e não são. Exemplo 4) Esta frase é falsa ; A frase nesta linha é verdadeira. Estas eu as chamo de inexistentes. E isto por quê? Porque não existe efetivamente uma frase para emitir VERDADEIRO ou FALSO. Vejamos: Esta frase é falsa. Mas, que frase? Esta frase. Qual? Esta. Perceba que não há frase de fato. Além disso, tais sentenças, em geral, dão valor a si mesmas. Quando emitem valor falso, caímos em um paradoxo. Por exemplo: Esta frase é falsa. Se dissermos Verdadeiro, então é verdadeiro que é falsa? Afinal, é verdadeira ou falsa? Se dissermos que é Falsa; então é falsa que é falsa, logo é verdadeira. Afinal, é falsa ou verdadeira? Desta forma, tais sentenças não são proposições lógicas. Exemplo 5) X é positivo ; Y é um número par. Nestes casos nós temos incógnitas, ou seja, variáveis. Variável é toda letra que pode assumir um valor numérico. Assim, não podemos julgar como Verdadeiro ou Falso pelo simples fato que não dispomos de determinação do valor de X ou de Y ou, pelo menos, seu período de extensão. Dependerá do valor de X e de Y serem definidos para que seja possível emitir tais julgamentos. Desta forma, como foi apresentada, as variáveis encontram-se livres, o que caracteriza como Sentença Aberta. Assim, tal situação não se caracteriza como proposição lógica. Prof. Fabiano Vieira Página 5 de 39

6 Certamente que, uma vez definida a variável, torna-se possível emitir Verdadeiro ou Falso como julgamento. Por exemplo: X é positivo, se X < 0. Podemos dizer FALSO, pois para X menor que zero ele é negativo e não positivo. Se podemos emitir o julgamento FALSO, é porque esta sentença é proposição lógica. Concluindo, temos que entender que, se ao olhar uma sentença, não houver condições de julgar como Verdadeiro ou Falso, não é proposição lógica. Exemplos: 1) Uma bela árvore. 2) Não sei como julgar esta questão. 3) ) Juntos outra vez. CONECTIVOS LÓGICOS Conectivos ou conectores lógicos são elementos que conectam as proposições, como seu próprio nome diz. Tais conectivos, ao unirem-se com as proposições, causam um efeito em particular, o que caracteriza o conectivo, o que chamamos de Regras de Conectivos. Vamos analisar, para cada conectivo, a expressão que o caracteriza, a simbologia utilizada, o diagrama lógico que o descreve e, por fim, sua regra através de exemplo prático. A base de todo RLP é compreender, memorizar e aplicar as regras dos conectivos em cada seção abordada neste estudo. Assim como as proposições lógicas podem ser descritas por letras, os conectivos lógicos possuirão símbolos para indicar sua presença. Por exemplo: Considerando como P e Q as proposições João é alto e Maria é baixa, respectivamente, teremos que a expressão P ^ Q significa João é alto e Maria é baixa. O conectivo conjunção e é indicado pelo símbolo ^. As proposições do exemplo anterior João é alto e Maria é baixa são chamadas de proposições simples ou átomos. Quando as unimos com conectivos, passam a ser proposições compostas ou moléculas. Algumas bancas como, por exemplo, o CESPE, em algumas questão expressa...considerando que R significa a expressão João não é alto.... Uma vez que a banca expressa...considerando..., vamos considerar. Assim, quando virmos R, entenderemos João não é alto. Além disto, a mesma banca já indicou que podemos simbolizar João não é alto e Maria é baixa como P. Caso a banca indicar ou perguntar se é possível indicar como P expressões com e ou ou, entendamos que é possível. Veremos tais casos mais adiante. Por ora basta entendermos que tanto as proposições quanto os conectivos serão expressos de modos mais resumidos visando facilitar o cálculo proposicional, que é a determinação das valorações Verdadeiro ou Falso das proposições, sejam simples ou compostas. Prof. Fabiano Vieira Página 6 de 39

7 Conectivo Negação Percebemos a presença de tal conectivo quando, na proposição, houver um elemento de negação. Assim ele aparece em frases como João não é alto, Não chove, Nenhum homem é imortal, Ana e Pedro nunca foram ao shopping juntos, Não é verdade que há cão voador, É falso que há cão voador, Nem Ana, nem Pedro foram ao shopping. Nesta última entendamos que há duas negações e o conectivo e, pois a enunciar Nem Ana, nem Pedro foram ao shopping, entendemos que Ana não foi ao shopping e Pedro não foi a shopping. Os símbolos utilizados para expressar este conectivo são ~ ou. Assim, seja A a proposição João é alto ; então ~A significa João não é alto. O diagrama lógico descritivo da negação será o seguinte: Se no diagrama oval tivermos o grupo das pessoas que estudam para concursos, fora dele teremos as pessoas que não estudam para concursos. Se no diagrama oval tivermos o grupo das pessoas que não são bondosos, fora dele teremos as pessoas bondosas. Assim, se dentro é sim, fora e não e, se dentro é não, fora é sim. Desta forma, a negação é o AVESSO; ou seja, a regra da negação é inverter o valor lógico anteriormente dado. ~ V = F e ainda ~ F = V A dupla negação Quando negamos uma proposição duas vezes consecutivas, obtemos a mesma proposição. Assim, se dissermos que não temos nenhum dinheiro, em raciocínio lógico indica que possuímos algum dinheiro, pois não temos nenhum. O mesmo acontece com a expressão Maria não tem nenhuma vontade ; é indicativo, em raciocínio lógico, que ela possui vontade. Tal interpretação dá-se exclusivamente quando a banca organizadora elabora uma questão fazendo a relação entre a dupla negação e a interpretação segundo o raciocínio lógico. Demais situações onde aparecem tais expressões, interpretaremos como o fazemos segundo o senso comum, onde a dupla negação possui a forma de um reforço da própria negação. Tabela-verdade conceito e preenchimento. A tabela-verdade é um elemento utilizado amplamente no RLP, pois vem em nosso auxílio quando temos alguma dúvida e queremos saber a VERDADE. Esta tabela descreve todas as possibilidades, ou seja, tudo o que pode acontecer com determinada situação. Prof. Fabiano Vieira Página 7 de 39

8 Suponha que A e B correspondem respectivamente às proposição simples João é alto e Maria é baixa, respectivamente. Vamos montar a tabela-verdade para estas duas proposições. Primeiramente temos que determinar quantas linhas terá nossa tabela-verdade. O número de linhas corresponde ao número de possibilidades de acontecimentos. Para A teremos duas possibilidades, podendo ser Verdadeiro ou Falso. Para B teremos igualmente 2 possibilidades. Assim, para formar uma tabela-verdade para A e B, teremos 2 x 2 = 4 possibilidades, ou seja, 4 linhas na tabela-verdade. Ainda tais possibilidades, ou número de linhas da tabela, podem ser expressar por 2 n, onde n indica o número de proposições. Então iremos descrever as 4 possibilidades conforme a tabela abaixo. A B V V Aqui descreve que João é alto e Maria é baixa V F Aqui descreve que João é alto e Maria não é baixa F V Aqui descreve que João não é alto e Maria é baixa F F Aqui descreve que João não é alto e Maria não é Perceba que a tabela descreve todas as possibilidades. Como ficaria uma tabela com três proposições lógicas A, B e C? Como há duas possibilidades para cada uma destas proposições simples, teremos 2 x 2 x 2 = 8 possibilidades. Mas, como montaremos tal tabela-verdade de uma forma rápida e prática? Eu sempre indico que se pense nas metades. Vamos ver? A metade de 8 é 4, então dividiremos A com 4 verdadeiros e 4 valores falsos. Para a proposição B, pensamos na metade de 4 que é 2, logo dividiremos B com 2 verdadeiros e 2 falsos na sequência. Então basta, com C, pensar na metade de 2. Se B foi dividido de 2 em 2, C o será de 1 em 1. Então teremos a seguinte tabela: A B C V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Prof. Fabiano Vieira Página 8 de 39

9 O que importa, para que uma tabela-verdade esteja completa, é que existam todas as possibilidades, independentemente da ordem na qual foi montada. Eu indico para pensar nas metades somente para fazer mais rapidamente a tabela. Desta forma, poderemos comprovar que, ao negar uma proposição duas vezes consecutivas, obteremos a mesma proposição, ou seja, a dupla negação de uma proposição possui valores lógicos idênticos, sendo dita como equivalente à própria proposição. Na tabela a seguir, tal condição é demonstrada pelas colunas com valores em negrito. A B ~A ~(~A) V V F V V F F V F V V F F F V F Conectivo Conjunção Este conectivo indica que elementos acontecem juntos, aconteceram juntos, um acontece e outro também acontece, etc. Ocorre em proposições compostas unidas pela partícula e ou similar, indicando que ambos elementos acontecem. Exemplos: 1) João é alto e Maria é baixa; 2) João é alto, mas Maria é baixa; 3) João é algo, porém Maria é baixa; Podem ser utilizados outros termos como entretanto, contudo, etc. O diagrama de conjuntos indica eventos independentes, nos quais há a possibilidade de acontecimento de ambos eventos. Exemplo: 1) João já viajou para Argentina e para Bolívia. A: Viajar para Argentina B: Viajar para Bolívia João está aqui, no grupo dos que já viajaram para Argentina e Bolívia. Na intersecção. Prof. Fabiano Vieira Página 9 de 39

10 Dessa forma, o conectivo conjunção indica a intersecção dos conjuntos. O símbolo lógico utilizado será ^, que é parecido com o símbolo da intersecção matemática ( ). Assim, para a proposição composta A e B, simboliza-se A ^ B. A regra deste conectivo, devido ser este a intersecção dos conjuntos, indica que a conjunção só acontece quando ambos acontecem. Quando dizemos que João viajou para Argentina e Bolívia, estamos expressando que ele viajou para ambos lugares, ou seja, ambos são verdadeiros. Se um dos termos for falso, já não poderemos dizer que João viajou para a Argentina e Bolívia. Desta forma, a tabela-verdade deste conectivo será a seguinte: A B A ^ B V V V V F F F V F F F F Resumo: O e só será verdadeiro se ambos os termos forem verdadeiros (V^V = V). Se houver um termo falso, o e já será falso, independentemente do valor lógico do outro elemento (F ^... = F). Conectivos Disjunções Há dois tipos de disjunções: a inclusiva e a exclusiva. Uma inclui a possibilidade do acontecimento da intersecção, a outra exclui tal possibilidade. A disjunção inclusiva possui a partícula...ou..., enquanto que a exclusiva é expressa pela partícula ou...ou.... Estudaremos cada uma isoladamente. Conectivo Disjunção Inclusiva Expressa pela partícula...ou..., inclui a possibilidade da ocorrência de ambos elementos. Exemplo: 1) Quem já viajou para Argentina ou para Bolívia deve comparecer à Polícia Federal. Quem viajou somente para a Argentina, deve comparecer. Quem viajou somente para Bolívia, deve comparecer. Quem viajou para ambos países, deve comparecer. Logo, uma vez que se trata de eventos independentes, este conectivo indica a união dos conjuntos. Tanto é que seu símbolo () é parecido com o da união de conjuntos matemáticos (U). Prof. Fabiano Vieira Página 10 de 39

11 A: viajou para Argentina B: viajou para Bolívia União dos conjuntos: Pessoas que viajaram para Argentina ou Bolívia Em análise, para que o evento com a partícula...ou... aconteça, basta que um deles aconteça. Desta forma, se um dos termos forem verdadeiros, o...ou... já será verdadeiro. Só não acontecerá o...ou... quando ambos forem falsos. No exemplo, só não há necessidade de comparecer à Polícia Federal a pessoa que não viajou para estes lugares. Assim, só será falso quando ambos são falsos. Desta forma, a tabela-verdade descritiva deste conectivo será a seguinte: A B A v B V V V V F V F V V F F F Resumo: O...ou... será verdadeiro se houver pelo menos um verdadeiro (V v... = V). Somente será falso se ambos forem falsos (F v F = F). Conectivo Disjunção Exclusiva Expressa pela partícula ou...ou..., este exclui a possibilidade da ocorrência de ambos elementos. Exemplo: 1) Ou bebo leite ou como manga. O que isso quer dizer? Se bebo leite, não como manga. Se não bebo leite, como manga. Não é possível que ambos aconteçam e também não é possível que ambos não aconteçam. Desta forma, só será verdadeiro se houver valores distintos. Uma vez que o símbolo para este conectivo será v. Com isto, a tabela-verdade será a seguinte: L M L v M V V F V F V F V V F F F falsos. Resumo: O ou...ou... será verdadeiro somente para valores contrários. Valores idênticos serão Prof. Fabiano Vieira Página 11 de 39

12 Conectivo Implicação Lógica Condicional Este conectivo é expresso por partículas que indicam condição. Considerando as proposições C e P como João foi a Curitiba e João foi ao Paraná, respectivamente, teremos este conectivo indicado como C P que pode ser expresso por Se João foi a Curitiba, então foi ao Paraná ; Se João foi a Curitiba, foi ao Paraná ; Como João foi a Curitiba, foi ao Paraná ; Quando João vai a Curitiba, vai ao Paraná ; Caso João vá a Curitiba, irá ao Paraná, entre outros. Ainda é possível que a banca organizadora inverta os termos. Assim C P pode estar expressa de forma invertida quando diz-se João foi ao Paraná, se foi a Curitiba. Desta forma, a partícula se ou similar (caso, quando, como,..) indicará o primeiro elemento da implicação. O diagrama de conjuntos é descrito como P C O diagrama indica que ir a Curitiba, implica logicamente em ir ao Paraná. Ainda podemos entender que ao sabermos que alguém vai a Curitiba, podemos CONCLUIR que irá ao Paraná. Assim, a implicação pode ser vista como uma conclusão. Ir a Curitiba, entende-se que vai ao Paraná; mas ir ao Paraná não implica ir a Curitiba. Assim, a implicação é como uma via de mão única. Na implicação lógica há duas condições, sendo uma SUFICIENTE e outra NECESSÁRIA. Supondo ainda nosso exemplo: quando uma pessoa diz que vai a Curitiba, é suficiente para compreender que vai ao Paraná. Mas, para que uma pessoa vá a Curitiba, é necessário ir ao Paraná. Desta forma, o primeiro termo da implicação é a condição suficiente, enquanto que o segundo termo é condição necessária; ou seja, o termo anterior símbolo é condição suficiente, e o posterior é condição necessária. Para facilitar, basta pensar na bússola, cuja agulha aponta para o NORTE e tem como outro pólo o SUL ( S N) (Suficiente Necessária). Com isto, a implicação do exemplo pode ainda ser expressa como João ir a Curitiba é condição suficiente para ir ao Paraná, ou ainda, João ir ao Paraná é condição necessária para ir a Curitiba Analisando a regra deste conectivo, a única situação cujo acontecimento é impossível, é que uma pessoa diga que viajou a Curitiba e não viajou ao Paraná. Isto é impossível, pois ir a Curitiba é suficiente para concluir que irá ao Paraná. Então teremos a seguinte tabela-verdade: Prof. Fabiano Vieira Página 12 de 39

13 C P C P V V V É possível a pessoa ir a Curitiba e ir ao Paraná V F F É impossível a pessoa ir a Curitiba e não ir ao Paraná F V V É possível a pessoa não ir a Curitiba e ir ao Paraná F F V É possível a pessoa não ir a Curitiba e não ir ao Paraná Conclusões e Resumo: A única forma da implicação ser falsa é quando temos V F = F. Assim, como conseqüência, se tivermos Falso no primeiro termo, já teremos que a implicação será verdadeira, independentemente do valor lógico da condição necessária (F... = V). Da mesma forma, quando o segundo termo for verdadeiro, a implicação também será verdadeira, independentemente do valor lógico da condição suficiente (... V = V). Conectivo Dupla Implicação Lógica Bi-condicional Este conectivo indica que os termos são idênticos, ou seja, o acontecimento do primeiro acarreta o acontecimento do segundo e vice-versa. É uma via de mão dupla. Considerando C e E como João viajou para Curitiba e João viajou para a Capital Ecológica, respectivamente, então teremos como C E, significa João foi a Curitiba se e somente se foi à Capital Ecológica ; João foi a Curitiba se e só se foi à Capital Ecológica. Equivale a dizer que Se João foi a Curitiba, então foi à Capital Ecológica e se João foi a Capital Ecológica, então foi a Curitiba O diagrama de conjuntos para tal situação, visto que os termos são idênticos, será um só diagrama para ambos os termos. C = E Assim, ambos elementos indicam duas condições lógicas. Ambos são condições suficiente e necessária. Desta forma, poderíamos até mesmo expressar tal conectivo sob a forma João ir a Curitiba é condição suficiente e necessária para ir à Capital Ecológica ou ainda João ir à Capital Ecológica é condição suficiente e necessária para ir a Curitiba. Com isto, temos que este conectivo só será verdadeiro quando ambos os termos forem idênticos. É possível ir a Curitiba e ir à Capital Ecológica e ainda é possível não ir a ambas. O que não pode é dizer que foi a uma e não foi a outra. Prof. Fabiano Vieira Página 13 de 39

14 Ao perceber o conectivo dupla implicação, podemos perguntar sobre os termos: São Idênticos? Se sim, verdadeiro; se não, falso. Desta forma, a tabela-verdade deste conectivo será a seguinte: C E C E V V V V F F F V F F F V Resumo: A dupla implicação só é verdadeira quando se tem elementos com valores idênticos. Será falsa nos demais. RESUMÃO DAS REGRAS DOS CONECTIVOS CONECTIVO TERMO MAIS USADO REGRA CONCLUSÃO Negação...não... ~V = F ~F = V (avesso) Conjunção... e... V^V=V F^...=F Disjunção Inclusiva... ou... V...=V F F=F Disjunção Exclusiva Ou... ou... Valores distintos = V Valores idênticos =F Implicação Lógica Se..., então... V F = F F...=V... V = V Dupla Implicação... se e somente se... Valores idênticos =V Valores distintos = F Lógica Prof. Fabiano Vieira Página 14 de 39

15 NEGAÇÕES E EQUIVALÊNCIAS DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Para o melhor entendimento deste tópico, é importante que o resumão acima descrito já esteja memorizado, pois o entendimento das negações e equivalências também se dá com o entendimento das regras dos conectivos. Uma proposição é a negação de outra quando os valores de sua coluna da tabela-verdade são exatamente o avesso. Uma proposição é equivalente quando possui os mesmos valores lógicos. Quando a banca solicita o equivalente da negação, trata-se da própria negação, pois esta palavra EQUIVALENTE quer dizer: o mesmo que..., mesmo valor lógico de..., pode ser expressa por.... Assim, além do entendimento do mesmo valor lógico, podemos entender que a expressão Como João foi a Curitiba, foi ao Paraná é equivalente a Se João foi a Curitiba, então foi ao Paraná. Leis de Morgan negação da conjunção de disjunção inclusiva A negação de (A ^ B) será ~(A ^B), que é equivalente, segundo Morgan, a (~A ~B). Similarmente, a negação de (A B) tem como negação ~(A B) que é equivalente a (~A^~B). Na prática, podemos entender através de um exemplo. Suponha que A seja João viajou para Argentina e B seja João viajou para Bolívia. Suponha ainda que João nunca tenha saído do Brasil. Assim, se perguntar a João se ele já viajou para Argentina ou Bolívia, ele dirá NÃO, ou seja, ~(A B). O que ele está dizendo? Está dizendo que não viajou para Argentina e não viajou para Bolívia (~A^~B). Podemos ver que isto realmente é verdade na tabela-verdade. Vide itens em negrito. A B ~A ~B A B A^B ~(A B) (~A^~B) ~(A^B) (~A ~B) V V F F V V F F F F V F F V V F F F V V F V V F V F F F V V F F V V F F V V V V Negação da Disjunção Exclusiva Se uma pessoa disser que ou bebe leite ou come manga, a negação seria Se bebe leite, come manga e se não bebe leite, não come manga [(L M)^(~L ~M) que nada mais é que bebe leite se e somente se come manga (L M). Facilmente entendemos pelo resumão que a disjunção exclusiva é a negação da duplaimplicação. Logo, a negação da dupla-implicação será a disjunção exclusiva. Ainda teremos como negação da disjunção exclusiva, no exemplo, o termo [(L M)^(~L ~M), que equivale à dupla-implicação. Prof. Fabiano Vieira Página 15 de 39

16 Negação da Implicação Lógica Consideremos o exemplo onde C e P são respectivamente João foi a Curitiba e João foi ao Paraná, onde a implicação será Se João foi a Curitiba, então foi ao Paraná. A única situação impossível, que não acontece, é o fato de dizer que João foi a Curitiba e não foi ao Paraná. Perceba o conectivo desta última expressão: será o e. Assim, a negação de A B será ~(A B) que é equivalente a A ^ ~B. Importante salientar que a negação de um conectivo não recai nele mesmo, sendo válido também para a implicação lógica. NOMENCLATURAS DAS PROPOSIÇÕES Dependendo da disposição dos valores verdadeiro ou falso das proposições, elas podem ser classificadas como: Tautologia Quando uma proposição sempre é verdadeira, o que acarreta que toda sua coluna na tabela-verdade possui somente valores Verdadeiros. Contradição Oposto à anterior, diz-se de uma proposição que sempre é falsa, o que acarreta que toda sua coluna na tabela-verdade possui somente valores Falsos. Contingência Diz-se da proposição que possui valores mesclados na tabela verdade. Como determinar se uma proposição é tautologia, contradição ou contingência, sem o uso da tabela-verdade? Há duas formas: Através da relação entre as proposições que a compõem, caso houver relação de negação ou equivalência, ou através do que chamo de teste lógico. Este, caso afirmar que uma proposição é tautologia, por exemplo, seja no enunciado ou em alternativas, podemos tentar que seja falso. Se for possível ser falso, tautologia não será. Poderá até ser contradição ou contingência, mas tautologia certamente não será. Para determinar através da análise dos termos que compõem a proposição, através de negações ou equivalências, deveremos analisar os termos compostos como um todo, compreendendo que uma proposição, mesmo composta, pode ser verdadeira ou falsa. Se tivermos uma proposição unida com sua negação através de algum conectivo, temos que entender que, quando uma proposição for verdadeira, sua negação será falsa e vice-versa. Vide quadro a seguir. PROPOSIÇÃO CONECTIVO NEGAÇÃO RESULTADO NOMENCLATURA V ^ F F CONTRADIÇÃO F ^ V F V ν F V TAUTOLOGIA F ν V V V F V TAUTOLOGIA F V V Prof. Fabiano Vieira Página 16 de 39

17 V F F F V V V F F F V F CONTINGÊNCIA CONTRADIÇÃO Similarmente acontece quando unimos uma proposição com seu equivalente, sendo que, neste caso, quando uma proposição for verdadeira, seu equivalente também o será; quando a proposição for falsa, seu equivalente também o será. Vide quadro a seguir. PROPOSIÇÃO CONECTIVO EQUIVALENTE RESULTADO NOMENCLATURA V ^ V V F ^ F F CONTINGÊNCIA V ν V V F ν F F CONTINGÊNCIA V V F F F F CONTRADIÇÃO V V V F F V V V V F F V TAUTOLOGIA TAUTOLOGIA Não se trata de decorar os quadros, mas estes somente servem para informar que é possível determinar tais nomenclaturas sem o uso de tabela-verdade. Veja o exemplo a seguir: 1) (A ^B) ^ (~A ν ~B) Uma vez que temos uma proposição unida com sua negação pelo conectivo e, quando a proposição for verdadeira, sua negação será falsa e vice-versa. Em ambos os casos, o resultado será falso. Assim, temos uma contradição. Vamos verificar pela tabela-verdade? A B ~A ~B A ν B A^B ( ~ A ν~ B) (A ^B) ^ (~A ν ~B) V V F F V V F F V F F V V F V F F V V F V F V F F F V V F F V F Prof. Fabiano Vieira Página 17 de 39

18 Outra forma de avaliar é quando uma questão afirma que uma proposição é, por exemplo, uma tautologia. Esta afirmação pode estar na própria questão, como se dá no caso que questões de Certo e Errado, ou ainda estar nas alternativas. Uma vez que a banca afirma ser uma tautologia, podemos fazer o teste lógico tentando falsificar a proposição. Caso conseguirmos falsificar, tautologia não será. Quando afirmar que é uma contradição, tentaremos o oposto, tornar verdadeiro. Pelo exemplo a seguir explicarei melhor a situação: 1) A (A ν B). Vamos verificar se pode ser tautologia. Então tentaremos falsificar esta proposição. Para que a implicação seja falsa, temos de ter o primeiro termo verdadeiro e o segundo termo falso. Mas perceba que, ao colocar o primeiro termo verdadeiro A, teremos um segundo termo com o A também verdadeiro. Assim teremos obrigatoriamente o termo (A ν B) verdadeiro, independentemente do valor de B. Logo teremos V V que será Verdadeiro. Desta forma, tentamos falsificar e não conseguimos. Uma vez que não foi possível falsificar a proposição, concluímos que sempre será verdadeira, ou seja, será uma Tautologia. Em último caso, poderemos montar a tabela-verdade, até porque esta serve para mostrar a verdade que não enxergamos. ARGUMENTOS LÓGICOS Argumentos lógicos são encadeamentos lógicos de proposições dadas como base, chamadas premissas, juntamente com a conclusão das mesmas. As premissas são valoradas como verdadeiras somente para efeito de raciocínio de encadeamento lógico. Caso a conclusão, a partir desta determinação, for verdadeira, ou seja, a conclusão ser derivada com certeza das premissas, o argumento é válido. Caso a conclusão for falsa ou puder ser verdadeira ou falsa, o argumento será dito inválido ou não-válido. Importa ressaltas que as premissas são dadas como verdadeiras somente para efeito de raciocínio de encadeamento lógico, não que sejam verdadeiras de fato. Por exemplo: Premissa 1: Todo cão é animal Premissa 2: Todo animal é verde Conclusão: Logo, todo cão é verde Se considerarmos as premissas 1 e 2 como verdadeiras para determinar a validade ou não do argumento, veremos que o conjunto cão estará contido no conjunto animal e este último no conjunto verde. Assim, realmente teremos que todo cão é verde. Assim sendo, considerando verdadeiras as premissas, entendemos que a conclusão sai como encadeamento das premissas, sendo, portanto, um argumento válido. Prof. Fabiano Vieira Página 18 de 39

19 Mas se considerarmos a realidade dos fatos, vemos que a premissa 1 é verdadeira e a premissa 2 é falsa e, por causa da premissa falsa, teremos uma conclusão falsa segundo a realidade dos fatos. Mas, o argumento é válido. Assim, a validade real das premissas ou conclusão não determina validade ou não de argumentos. A determinação da validade ou não é avaliada somente a partir do encadeamento lógico e, para isso, supomos verdadeiras as premissas para avaliar tal encadeamento. Os argumentos sempre possuem um ponto de partida, sendo aquele ponto de onde poderemos valorar com certeza alguma proposição simples e faremos o encadeamento das demais. Em último caso, poderemos supor a conclusão falsa e avaliar se conseguimos, a partir da falsidade da conclusão, as premissas verdadeiras. Se conseguirmos, o argumento é inválido, se não conseguirmos, o argumento é válido. É um teste lógico para argumentos. Quando temos uma premissa isolada, esta é o melhor ponto de partida. Exemplo: 1) Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Pasárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Pasárgada. Assim, a) não viajo e caso. b) viajo e caso. c) não vou morar em Pasárgada e não viajo. d) compro uma bicicleta e não viajo. e) compro uma bicicleta e viajo. Teremos Premissa 1: C ν B (V) Premissa 2: V ν ~ C (V) Premissa 3: P ν ~ B (V) Premissa 4: ~ P (V) Neste exemplo, o nosso ponto de partida será a P4. Para que esta seja verdadeira, ~ P deve ser verdadeiro. Assim, P será falso. Com P falso, pela P3 concluiremos que ~B deve ser verdadeiro para que esta premissa seja verdadeira. Com ~ B, teremos que B é falso. Assim, na P1 teremos que C deve ser verdadeiro, já que B é falso. Sendo C verdadeiro, ~C será falso. Então, na P2 teremos obrigatoriamente V verdadeiro. Todos os valores estão determinados: Caso? (V) sim. Compro uma bicicleta? (F) não. Viajo? (V) sim. Vou morar em Pasárgada? (F) não. Com estes valores determinados, a alternativa correta será aquela que conduz a um argumento válido, ou seja, a conclusão seja verdadeira a partir das premissas dadas. Das alternativas, somente a b) será verdadeira. Prof. Fabiano Vieira Página 19 de 39

20 Vamos ver outro exemplo com outro ponto de partida. 2) Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem estudei e não me senti disposto, logo podemos concluir que... a) Se estudei, então me senti disposto. b) Senti-me disposto e me alimentei bem c) Estudei se e somente se não obtive boas notas. d) Não obtive boas notas ou me alimentei bem e) Senti-me disposto ou estudei. Teremos Premissa 1: E B (V) Premissa 2: A D (V) Premissa 3: E ^ ~ D (V) O ponto de partida será na P3, onde temos o conectivo e. Neste, ambos os termos devem ser verdadeiros. Assim E será verdadeiro e ~D será verdadeiro, o que acarreta que D será falso. Com E verdadeiro, na P1 concluímos que B será verdadeiro. Com D falso, na P2 concluímos que A será falso. Todos os valores estão determinados: Estudo? (V) sim. Obtenho boas notas? (V) sim. Alimentei-me bem? (F) não. Senti-me disposto? (F) não. Com estes valores, teremos que somente a alternativa e) será verdadeira, ou seja, será uma conclusão que conduz a um argumento válido. Veremos agora um exemplo onde faremos o teste lógico. 3) A partir das proposições Se um policial não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins e Se o policial teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões, é correto inferir que O policial que tenha tido treinamento adequado e tenha se dedicado nos estudos não toma decisões ruins é uma proposição verdadeira. Como os termos o policial teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos sempre aparecem juntos, simbolizarei esta proposição que seria A ^ B apenas por P. Assim teremos: Premissa 1: ~I R (V) Premissa 2: P I (V) Conclusão: P ~ R Este argumento será válido? Vamos ver se a conclusão pode ser falsa. Se puder, não será válido. Assim, para P ~ R falsa, teremos P verdadeiro que deverá acarretar ~ R falsa. Vamos ver se é possível termos P verdadeiro e ~R falsa, mesmo com as premissas verdadeiras. Prof. Fabiano Vieira Página 20 de 39

21 Com P verdadeira, na P2 teremos I verdadeiro. Assim ~I é falso. Então pela P1, poderemos ter qualquer valor para R que já deixa a P1 verdadeira. Assim, R pode ser verdadeira ou falsa. Desta forma, ~R pode ser falsa ou verdadeira. Assim, o argumento é inválido, pois pode ter conclusão falsa. QUANTIFICADORES LÓGICOS Temos por quantificadores lógicos o UNIVERSAL e o PARTICULAR. O universal é percebido quando temos a partícula TODO, cujo símbolo é, enquanto que o particular é percebido quando temos termos como algum, alguns, existe, existe algum, existe pelo menos um, etc; cujo símbolo é. Quando temos argumentos lógicos contendo quantificadores, devemos resolvê-los preferencialmente por diagramas de conjuntos. Simbolizamos o universal da seguinte forma: Todo A é B B A Simbolizamos o particular da seguinte forma: Algum C é D C D O segredo das questões com quantificadores lógicos é expressar via diagramas o que a questão indica no texto, percebendo todas as possibilidades e não garantindo situações além das garantidas no texto. Exemplo: 1) Um casal tem vários filhos, dentre eles algumas crianças gostam de legumes e também de verduras, sendo que nenhum dos que gostam de doce gostam de verdura. Portanto, dentre essas crianças, é verdade que: a) Alguém que gosta de legumes, gosta de doce. b) Alguém que gosta de legumes, não gosta de doce. c) Alguém que gosta de doce não gosta de legumes. Prof. Fabiano Vieira Página 21 de 39

22 d) Ninguém que gosta de doce, gosta de legumes. Temos que desenvolver diagramas, de tal forma, que contemple todas as possibilidades e, ao mesmo tempo, não afirme nada mais do que já está afirmado no texto. A partir da afirmação Algumas crianças gostam de legumes e também de verduras, teremos o seguinte diagrama: L V Agora, considerando a próxima afirmação...nenhum dos que gostam de doce gostam de verdura..., teremos várias possibilidades para o diagrama de doce. O que importa é que este não possui conexão com verdura. Mas todas as posições abaixo descritas não podem ser garantidas. Pode ser qualquer uma delas. L V doce doce doce A única coisa que podemos afirmar é que há pessoas que gostam de legumes que não gostam de doce. Quais? Aquelas pessoas que gostam também de verduras. NEGAÇÕES DE QUANTIFICADORES LÓGICOS Quando afirmamos que algo não total, é porque é parcial. Quando afirmamos que algo não é parcial, é porque é total. Assim a negação do todo recai no existe algum e vice-versa. É o contraditório. A regra básica é mudar o quantificador, mudando a posição da negação. Além disso, é entender que o SUJEITO da sentença não muda, mudando somente o PREDICADO. Por exemplo: Se alguém diz que todo homem é careca. Uma pessoa pode não concordar e negar dizendo Nem todo homem é careca. O que ela está dizendo? Está dizendo que existe algum ou alguns homens que não são carecas. Assim, basta trocar a posição da negação e mudar o quantificador lógico. Importa não esquecer que a negação da negação torna-se o próprio elemento. Prof. Fabiano Vieira Página 22 de 39

23 Por exemplo: Não existe homem que não seja mortal. Está dizendo que todo homem é mortal, pois o não existe recai em todo não ; o não mortal permanece. Assim teremos que todo homem não não é mortal, resultando em todo homem é mortal. Prof. Fabiano Vieira Página 23 de 39

24 RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PRINCÍPIO DE CONTAGEM ANÁLISE COMBINATÓRIA Chamamos princípio de contagem à parte da matemática que se utiliza das quantidades para determinar o número de possibilidades dos acontecimentos. Para isto, trabalhamos com os princípios multiplicativo e aditivo. Deste tópico surgem as permutações, arranjos e combinações. Alguns termos são essenciais para a compreensão do processo lógico deste tema, são eles: e Este termo, quando surge em encadeamento sucessivo, indica multiplicação. Em conjuntos, significa intersecção de conjuntos. ou Este termo, quando surge como indicação de outra possibilidade, indica soma. Em conjuntos, em eventos independentes, significa união de conjuntos. Tais termos são utilizados da mesma forma no estudo das probabilidades. Identificação das quantidades envolvidas O primeiro passo é entender que neste processo trabalhamos com quantidades para determinar número de possibilidades. Para isto nos utilizamos dos termos descritos. Por exemplo: Dispondo das letras vogais e dos algarismos ímpares do sistema de numeração, quantas placas de veículos com 3 letras e 4 algarismos podemos fabricar com as seguintes especificações: 1) Contendo 3 letras e 4 algarismos. * Quando não há especificação quanto a termos repetidos, entendemos que é possível haver repetições * Desta forma, a placa terá Letra vogal e letra vogal e letra vogal e algarismo ímpar e algarismo ímpar e algarismo ímpar e algarismo ímpar Como são 5 vogais: A, E, I, O e U são 5 letras possíveis para qualquer vaga de letra vogal 5 x 5 x 5 Quanto aos algarismos ímpares 1,3,5,7,9 São igualmente 5 algarismos ímpares disponíveis para cada posição de algarismo ímpar, o que, juntamente com as letras, ficaremos com 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5. Assim teremos placas distintas que podemos formar com tal configuração. 2) Contendo 3 letras distintas e 4 algarismos distintos. * Com tal especificação, impede qualquer repetição. Desta forma, se utilizou uma letra em uma posição, não pode dispor dela para outra. Sempre vai reduzindo o número. * 5 x 4 x 3 x 5 x 4 x 3. Teremos estes valores, pois tal distinção deve-se às letras e aos algarismos, segundo enunciado. Prof. Fabiano Vieira Página 24 de 39

25 Assim, teremos placas distintas que podemos formar com letras e algarismos distintos, dispondo das letras vogais e dos algarismos ímpares. Exemplo: Dispondo de dois sinais distintos, traço e ponto, quantos sinais distintos podem ser formados utilizando-se de até 3 sinais? Até 3 sinais, indica que podemos utilizar um, dois ou três sinais. Então teremos ou e ou e e Para cada espaço, podemos utilizar qualquer um dos dois sinais (traço e ponto), assim teremos 2 ou 2 x 2 ou 2 x 2 x 2 = = 14 sinais. Estes podem ser verificados na sequencia a seguir: FATORIAL (!) O fatorial é um operador que nos auxilia em cálculos que envolvem TROCA. Pensou em TROCA (permuta), pensou em FATORIAL. Exemplo: Três pessoas sentar-se-ão em três cadeiras. De quantas formas distintas este evento pode se dar? Podemos pensar... Para a primeira pessoa, há 3 cadeiras disponíveis, para a segunda, 2 cadeiras disponíveis e para a última pessoa, uma cadeira disponível. Assim teremos 3 x 2 x 1 = 6 formas distintas. Podemos também pensar: São 3 pessoas que podem TROCAR de lugar = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 Assim, este operador define uma multiplicação regressiva a partir do número que aparece antes do operador! até finalizar em 1. Assim 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120; 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24; 3! = 3 x 2 x 1 = 6 ; 2! = 2 x 1 = 2 ; 1! = 1. Por convenção 0! = 1. Divisão de Fatoriais Quando dividimos fatoriais, podemos fazer com que o fatorial maior chegue até o menor e simplifica-se este último. Assim 5! / 3! = 5 x 4 x 3! / 3! = 5 x 4 = 20. Tanto faz a troca A fim de trabalhar com um processo lógico de raciocínio, instituí este termo para indicar uma forma de excluir as possibilidades de repetições desnecessárias ou não desejadas em nosso cálculo. Tal termo indicará para nós a operação de DIVISÃO, tendo no denominado um FATORIAL (TROCA). Com esta metodologia, poderemos avaliar de forma lógica e prática as combinações e permutações com repetição. Prof. Fabiano Vieira Página 25 de 39

26 ANAGRAMAS Sem letras repetidas Permutação Podemos interpretar o anagramas como letras que trocam de lugar. Quando não há letras repetidas nas letras-base, basta fazer a pura permutação. Exemplo: Tomando por base a palavra TROCA, quantos anagramas podemos formar: 1) Começando por vogal. Teremos duas possibilidades para a primeira letra ( A ou O). Restam 4 posições, a letras para trocar de lugar (4!) Assim teremos 2 x 4! = 2 x 4 x x 2 x 1 = 48 anagramas 2) Iniciando por vogal e terminando por consoante. Devemos analisar primeiramente os casos específicos. Teremos 2 letras possíveis para serem a primeira e 3 letras possíveis para ser a última. Restarão 3 letras que podem trocar de lugar. 2 x 3! X 3 = 2 x 3 x 2 x 1 x 3 = 36 anagramas A permutação é simbolizada por P. Assim, a permutação de 3 elementos, ou seja, 3 elementos que TROCAM de lugar, é 3! e pode ser simbolizada por P 3. Com letras repetidas Permutação com repetição Quando temos palavra com letras repetidas, haverá, ao se pensar em anagramas, situações de anagramas repetidos. Por exemplo: tomando por base as letras da palavra REPETE, podemos observar que haverá trocas repetidas. Assim, para calcular o número de anagramas distintos, podemos pensar: São 6 letras que trocam de lugar, mas TANTO FAZ A TROCA de 3 letras E. Sim, pois, se trocarmos apenas tais letras, permanece a palavra REPETE. Então, com este raciocínio, teremos 6! / 3! = (6 x 5 x 4 x 3!) / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 anagramas distintos. Podemos ainda calcular o número de repetições que acontecem pensando em todas as possibilidades menos a quantidade de anagramas distintos. No caso em questão será 6! 120 = = 600 repetições. Podemos ainda pensar: quantas vezes aparecerá a palavra REPETE? Basta deixar as outras letras em suas posições, o R, P e T e pensar nas trocas das 3 letras E. São 3 letras E que trocam de lugar. Será 3! = 6 vezes, nas 720 mudanças, aparecerá a palavra REPETE. Podemos simbolizar este exemplo 6! / 3! como sendo permutação com elementos repetidos, da seguinte forma: Prof. Fabiano Vieira Página 26 de 39

27 Arranjos Dispomos de arranjos nos casos onde termos AB são distintos de BA. Isto ocorre em senhas, em placas de veículos, etc; sendo que, além deste fato, ainda os termos envolvidos devem admitir somente letras ou números distintos, onde os algarismos vão decrescendo no cálculo. Exemplo: Dispondo das vogais, quantos códigos de 3 letras distintas podemos fazer? As vogais: A,E,I,O,U. Como são 3 letras distintas que compõem o código, teremos 5 x 4 x 3 = 60 códigos distintos com letras distintas. Mas porque fiz questão de colocar códigos distintos com letras distintas? Somente para destacar que sempre serão códigos distintos que resultam dos cálculos, mesmo que possibilitasse repetições. Pois se fosse possível repetição, o código 112 é diferente de 121. Há repetição, porém são códigos distintos. Mas no caso dos arranjos, vale somente para situações onde os componentes dos códigos ou senhas são distintos. Logo, 5 x 4 x 3 será Arranjo de 5, 3 a 3 que pode ser simbolizado por A 5,3 ou. Podemos expressar o arranjo através de uma fórmula, onde n é o numero disponível de elementos e o p é o número de elementos para ser formados. Pelo raciocínio lógico, ao visualizar, por exemplo a multiplicação 10 x 9 x 8 x 7, já podemos identificar um arranjo de 10 (o primeiro número) 4 a 4 ( número de vagas, número de algarismos que multiplicam). Combinações A combinação ocorre quando elementos AB significam o mesmo que BA. Isto acontece em grupos, equipes, comissões, etc. Assim vemos que tanto faz a troca da ordem das duas letras, pois é o mesmo elemento. Exemplo: 5 médicos e 8 enfermeiros devem formar equipes com dois médicos e três enfermeiros cada. Note que o tanto faz a troca aparecerá por situação distinta: ser médico, ser enfermeiro; pois tanto faz a troca da ordem dos nomes dos dois médicos, pois é a mesma dupla de médicos na grande equipe; também tanto faz a troca da ordem dos nomes dos três enfermeiros, pois é o mesmo trio de enfermeiros na grande equipe. Assim teremos [(5 x 4) / 2!] x [ (8 x 7 x 6) / 3! ] Veja que a combinação pode ser identificada quando há algarismos em multiplicação de forma decrescente, tendo no denominador um número em fatorial igual ao número de vagas. Assim, no exemplo, temos combinação de 5, 2 a 2 multiplicado por combinação de 8, 3 a 3. Prof. Fabiano Vieira Página 27 de 39

28 A combinação de 5, 2 a 2 pode ser simbolizada por C 5,2 ou ou ainda A fórmula da combinação é a seguinte: Ainda há a combinação com repetição, onde há o número n de elementos disponíveis e o número p de vagas, ou de elementos a escolher. A diferença é que estes elementos p admitem a possibilidade de repetição. Para tal, necessitamos utilizar uma fórmula, que é a seguinte: CR m,p = C m+p-1, p PROBABILIDADES Probabilidade é a relação (Razão = divisão) entre uma parte específica e um total, seja ele geral ou específico. Assim, trata-se de um valor relativo, uma espécie de comparação de uma parte menor com uma maior. Bem como no princípio de contagem, na probabilidade também há os seguintes termos: e Este termo, quando surge em encadeamento sucessivo, indica multiplicação. Em conjuntos, significa intersecção de conjuntos. ou Este termo, quando surge como indicação de outra possibilidade, indica soma. Em conjuntos, em eventos independentes, significa união de conjuntos. Além destes, há alguns termos que fazem com que o espaço amostral seja reduzido, ou seja, será reduzido o total a considerar, não mais sendo o total geral, mas um total específico. Tais termos são:...considerando que...,...sabendo que...,...tendo em vista que..., etc. Uma vez que a probabilidade é a relação entre valores que exprimem quantidades, podemos também resolver as probabilidades pensando em princípio de contagem, onde o numerador indica a quantidade específica solicitada e o denominador a quantidade total geral ou específica. Uma vez que os termos e e ou são, em se tratando de conjuntos, respectivamente, a intersecção e a união de conjuntos, quando há a possibilidade de intersecção entre eles, ou seja, para eventos ditos independentes, teremos que: Prof. Fabiano Vieira Página 28 de 39