a) achar a média entre os números: 6, 6, 7, 8 b) achar a média entre os números: 3, 4, 4, 4,5, 5, 6, 7, 7 1) pelo processo de média simples: 5 9

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1 INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA Instrumental Matemático Básico Material elaborado pelo Prof. Antonio Sales para uso exclusivo nas aulas de estatística Este material não substitui o estudo em livros indicados na bibliografia ou citados na referência bibliográfica MÉDIA ARITMÉTICA A média aritmética de um conjunto de dados é o quociente entre a soma de todos eles e o número deles. Temos a média aritmética simples e a média aritmética ponderada (MAP) Exemplos de média aritmética simples: a) achar a média entre os números: 6, 5, Resolução : b) achar a média entre os números: 6, 6, 7, Resolução: 6, Exemplos de média aritmética ponderada: Obs. A MAP ocorre quando são atribuídos pesos, porém o processo pode ser usado quando há elementos repetidos. Nesse caso o resultado pode também ser obtido por média simples. a) achar a média entre os números: 6, 6, 7, 8 2x6 1x7 1x Resolução: 6, b) achar a média entre os números: 3, 4, 4, 4,5, 5, 6, 7, 7 Resolução: 1) pelo processo de média simples: ) pelo processo de média ponderada: 1x3 3x4 2x5 1x6 2x c) Observe que quando se calcula a média de uma seqüência numérica, alguns valores dessa seqüência ficam abaixo da média e outros ficam acima dela. São os desvios em relação à media. Por exemplo, se a média de uma seqüência for 4, então o valor 2 está abaixo da média e tem um desvio -2. Exercícios: Determinar a média aritmética (simples ou ponderada) das seqüências de números abaixo: 1) 10, 11, 15, 25 2) 4, 4, 6, 6, 6, 9, 9, 10, 12, 15, 15, 15 3) 7, 4, 6, 3 4) 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 22 5) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 6) 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 8 7) 3, 18, 25 8) 1,25; 2,5; 2,75; 2,75; 3,0; 3,25; 9) 1,1; 2,2; 3,3; 4,4;

2 10) 11, 12, 13, 14, 15 ( observe que a média coincide com a mediana) 11) 2, 6, 10 12) 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 6, 6, 10, 10, 13) 2, 2, 6, 6, 6, 6, 10, 10, 10 Para pensar: 1. A média é sempre um elemento da seqüência apresentada? 2. Se dissermos que a média da idade dos alunos da classe é 22 anos, significa que há, pelo menos, uma pessoa com essa idade na classe? Para que serve a média, então? 3. Uma pessoa está deitada com os pés em um tacho de água fervente, a 100ºC, e a cabeça em um freezer a -28ºC. Qual a temperatura a média dessa pessoa? Ela está saudável? 4. Em algumas universidades adota-se o seguinte critério de avaliação: a primeira nota tem peso 2, a segunda nota tem peso 3 e a soma é dividida por 5. O que significa isso? 5. Uma seqüência de 50 números vai do número 15 ao número 37. Pergunta-se: a) É possível ter 50 valores entre 15 e 37 ( incluindo o 15 e o 37)? b) A média dessa seqüência pode ser o número 40? Por que? c) A média dessa seqüência pode ser o número 10? Por que? d) A média dessa seqüência pode ser o número 15? Por que? e) A média dessa seqüência pode ser o número 30? Por que? f) É possível ter apenas 3 valores entre 15 e 37 (incluindo o 15 e o 37)? Nesse caso a média será menor do que 15 ou maior do que 15? 6. Uma seqüência com 50 números pode ter a mesma média que uma seqüência com apenas 10 números? FREQÜÊNCIA Freqüência é o número de vezes que um elemento aparece na seqüência. A freqüência pode ser simples ou acumulada, pode ser relativa ou não. A freqüência relativa é dada em porcentagem e trataremos dela após o estudo da porcentagem. A) Freqüência simples (fi) é o número de vezes que um elemento aparece na seqüência. Exemplo: 1. Na seqüência 3,4,5,5,6,6,6,7,8: O número 3 tem freqüência 1; O número 4 tem freqüência 1; O número 5 tem freqüência 2; O número 6 tem freqüência 3; Os números 7 e 8 têm freqüência 1 cada um deles. 2. Na seqüência 17,12,13,17,15,12,14,17,18,14,15,15, qual a freqüência do número: a) 17? b) 13? c) 12? d) 14? E) 15? B) Freqüência acumulada (Fi) é a quantidade de elementos que existem, desde o início, até um determinado valor. Exemplo: 1.Na seqüência 3,4,5,5,6,6,6,7,8: Há 4 números antes do 6, logo a freqüência acumulada antes de 6 é 4. A freqüência acumulada até 6 é 7, isto é, há 7 números até 6 (incluindo o 6). A freqüência acumulada até 7 é 8. Por que? A freqüência cumulada até 5 é 4. Por quê? Farmácia e Enfermagem 2008B 2

3 2. Na seqüência 17,12,13,17,15,12,14,17,18,14,15,15, qual a freqüência acumulada até: a) 13? b) 15? c) 17? C) Dispositivo prático para o cálculo da média ponderada: Agora que já estudamos sobre freqüência já podemos aprender um dispositivo prático para o cálculo da média. Dada a seqüência 3,3,3,3,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,7,7,8,9,9,9,9, calcule a média seguindo os seguintes passos: 1. Chame os valores de xi e a freqüência de fi 2. Monte a seguinte tabela com os valores e as freqüências: xi fi fi.xi Obs fi.xi é o produto da primeira coluna com a segunda total de fixi 141 A media é =5, total de fi O total pode ser representado pelo símbolo. Dessa forma, o cálculo fixi acima ficaria: média= 5, 6 o símbolo fi pode ser fi 25 Total =25 Total =141 substituído pela letra n NOÇÕES DE PORCENTAGEM 1 A porcentagem é um conceito matemático amplamente usado. Ele é útil porque é conhecido de todos e tem como base o valor 100. O valor 100 é a unidade básica de medida, é o todo, a totalidade. Qualquer valor que representa o inteiro, ou o todo, é comparado a 100 e a partir daí são feitas as demais comparações. Por exemplo, se alguém tinha R$ 80,00 e gastou R$ 20,00, ele gastou ¼ do valor inicial, mas se quisermos saber em porcentagem, dizemos que se os R$ 80,00 representam R$ 100,00, os R$ 20,00 representam R$ 25,00, isto é, 25%. Como a porcentagem é um conceito já de domínio público a comunicação, usando esse conceito, fica acessível a todos e outras comparações podem se tornar desnecessárias. Outra forma de representar a porcentagem é através do número decimal (número com vírgula), conforme se vê abaixo:: 25 25%=0,25 porque 25%= =0, %=0,32 porque 32%= =0, %=0,05 porque 5%= =0, Às vezes se faz necessário determinar um índice em que se considera o 1000 como base. Chama-se por mil e tem o símbolo o / o o. Por exemplo, 0,5% = 0,5/100 = 5/1000= 5% o. Recomenda-se que durante o processo, enquanto se está fazendo os cálculos, seja usada a forma decimal e que a forma % seja usada apenas no final do processo ou como resposta final. Farmácia e Enfermagem 2008B 3

4 10 10%=0,10=0,1 porque 10%= =0,10=0,1 100 Para transformar um número dado em porcentagem, desde que se saiba de que número maior ele é parte, é uma tarefa relativamente simples. Veja os exemplos abaixo: 1. Uma pessoa que irá viver 60 anos, aos 5 anos de idade terá vivido quanto por cento da sua vida? Cálculo: Primeiro modo: 60 anos corresponde ao total a ser vivido, logo 100%. Então procede-se do seguinte modo: % 5 x% 60x= x=500 x = 500/60 8,3% ou 0,083 Segundo modo: Divide 5 por 60 e o resultado é multiplicado por /60= 0,083 8,3% 2. Se numa classe há 70 alunos, então 14 alunos representam quanto por cento da classe? Cálculo: Primeiro modo: 70 alunos correspondem ao total, logo 100%. O procedimento é: % 14 x% 70x= x=1400 x = 1400/70 20% ou 0,20 ou 0,2 Segundo modo: Divide 14 por 70 e o resultado é multiplicado por /70= 0,2 20% 3.Suponha que na classe haja 70 alunos, então: Nº de alunos Representa... da classe Cálculo Representação decimal 1 1,4% 1 0,014 /70 5 7,1% 5 0,071 / % 7 0,10=0,1 / % 2 0,3 =0,30 1/ ,8% 3 0,428 0/ % 4 0,6=0,60 2/ % 7 1=1,00 0/70 Exercícios: 3. Uma pessoa ganha R$ 750,00 por mês e paga R$ 150,00 de aluguel. Quanto por cento, do seu salário, gasta em aluguel? Farmácia e Enfermagem 2008B 4

5 4. Se a esperança de vida de uma pessoa for de 80 anos e ela já está com 22 anos. Quanto por cento já viveu? 5. Se a esperança de vida de uma pessoa for de 85 anos e ela já viveu 27 anos. Quanto, por cento, falta viver? 6. Um acadêmico precisa tirar nota 7 numa prova, mas conseguiu apenas a nota 5. Quanto por cento lhe falta? 7. Suponha que a seqüência seguinte represente as notas obtidas em Bioestatística. 2,2,4,5,5,6,7,8,8,9,9,10,10,10,10,10. Pergunta-se: a) Qual a média da a turma? b) Quanto, por cento, dos alunos ficaram abaixo da média da turma? c) Quanto, por cento, dos alunos tiraram nota menor do que 7? d) Quanto, por cento, dos alunos tiraram exatamente a nota 7? e) Quanto, por cento, dos alunos tiraram nota maior do que 8? f) Quanto, por cento, dos alunos tiraram nota menor do que 7 e maior do que 2? (2 < x < 7) g) Quanto, por cento, dos alunos tiraram nota menor do que 5 ou maior do que 8? (x < 5 ou x > 8) h) Quanto, por cento, dos alunos tiraram nota maior do que 5 e menor do que 9? (5 < x < 9) i) Quanto, por cento, dos alunos tiraram nota 10? 8. Mônica mede 1, 65m de altura e João 1,72m. a) Quanto, por cento, João é mais alto do que Mônica? b)quanto, por cento, Mônica é mais baixa do que João? c) A altura de João representa quanto, por cento, da altura de Mônica? d)e a altura de Mônica representa quanto, por cento, da altura de João? 9. Quando se diz valores abaixo de 7 o 7 está incluído? 10. E quando se diz valores acima de 15 o 15 deve ser contado? 11. Qual outra forma e dizer abaixo ou acima de certo valor? 12. Quanto, por cento, desses exercícios você acertou? FREQÜÊNCIA RELATIVA Como já foi dito, a freqüência relativa é a freqüência simples transformada em porcentagem. Há freqüência relativa simples e freqüência relativa acumulada. A) Freqüência relativa simples (fri). Tomando o exemplo dado anteriormente talvez fique mais fácil o entendimento. 1Na seqüência 3,4,5,5,6,6,6,7,8: O número 3 tem freqüência 1, logo, a sua freqüência relativa é 1/9= 0,11=11%; O número 4 tem freqüência 1, logo, a sua freqüência relativa é 1/9= 0,11=11%; O número 5 tem freqüência 2, então, a sua freqüência relativa é 2/9= 0,22=22%; O número 6 tem freqüência 3, então, a sua freqüência relativa é 3/9= 0,33=33%; Os números 7 e 8 têm freqüência 1 cada um deles, isto é, cada um representa 11% da seqüência, que é a sua freqüência relativa simples. 2. Na seqüência 17,12,13,17,15,12,14,17,18,14,15,15, qual a freqüência relativa simples do número: a) 17? b) 13? c) 12? d) 14? e) 15? B) Freqüência relativa acumulada (Fri) é a quantidade de elementos que existem, desde o início, até um determinado valor, transformada em porcentagem. Exemplo: Farmácia e Enfermagem 2008B 5

6 1.Na seqüência 3,4,5,5,6,6,6,7,8: A freqüência relativa acumulada até 6 é 7/9=77%. A freqüência relativa acumulada até 7 é 8/9=88%. Por que? A freqüência relativa cumulada até 5 é 4/9=44%. Por que? 2. Na seqüência 17,12,13,17,15,12,14,17,18,14,15,15, qual a freqüência relativa acumulada até: a) 13? b) 15? c) 17 Em Estatística usa-se a seguinte notação para freqüências: fi ( com f minúsculo)= freqüência simples Fi (com F maiúsculo)= freqüência acumulada fri (com f minúsculo) = freqüência relativa simples Fri (com F maiúsculo)= freqüência relativa acumulada Em todos os casos a letra i indica a classe em que está localizada a referida freqüência. Exemplo: f 3 indica a freqüência simples da classe 3 e, nesse caso, i=3. essa notação é útil particularmente quando os dados estão dispostos em uma tabela, como no caso seguinte. Sejam 3, 4, 4, 5 e 6 as idades de 5 crianças. Distribuídas num quadro ficam da seguinte forma: Classe (i) Idade (xi) fi Fi fri Fri fri% Fri% ,20 0,20 20% 20% ,40 0,60 40% 60% ,20 0,80 20% 80% ,20 1,00 20% 100% 5 1,00 100% a)qual a idade que está na classe 2? Resposta: 4 b)qual a freqüência simples (fi) da classe 2 (f 2 )? Resposta: 2, porque o 4 aparece duas vezes. c)qual a freqüência relativa simples (fri)da classe 2 (fr 2 )? Resposta: 40%, porque há dois elementos na classe 2 e 2/5=0,4=40% d)qual a freqüência acumulada (Fi) até a classe 2 (F 2 ), isto é, quantos elementos há até à classe 2? Resposta: há 3 elementos. Uma vez o número 3 e duas vezes o número 4. e)qual a freqüência relativa acumulada (Fri) até a classe 2 (Fr 2 ), isto é, quanto, por cento, dos elementos estão até à classe 2? Resposta: Como há 3 elementos, então, há 3/5=0,6=60%. O USO DA CALCULADORA Usar a calculadora será uma prática constante em nossas aulas e por essa razão é necessário que se conheça um pouco sobre essa ferramenta de trabalho. 1) Convém lembrar que os programas das calculadoras foram elaborados em países cuja notação matemática tem alguma diferença em relação à nossa. Um exemplo é o uso do ponto em lugar da vírgula. Se você digitar 2 mil e 374 usando ponto o seu cálculo sairá errado porque a calculadora vai entender o como 2,374. Quando a calculadora lhe apresentar o resultado 3.5 entenda como 3,5. Portanto, não use ponto quando não quiser digitar um número decimal. 2) A calculadora do celular não é um bom instrumento para uso em sala de aula. Ela apresenta o problema de exigir que se selecione função e digite a mesma tecla duas ou três vezes, tornando o processo muito longo, dificultando o trabalho e facilitando o erro. Uma calculadora simples é preferível ao celular. A calculadora que usaremos deve ter raiz quadrada. Farmácia e Enfermagem 2008B 6

7 3) Em provas nãos era permitido o uso do celular NÚMEROS DECIMAIS Sempre que precisamos determinar a razão entre dois números é comum aparecerem os números decimais. Qualquer divisão, frequentemente, produz números decimais e é necessário que saibamos trabalhar com eles para que o processo não se torne muito complicado e exposto a erros sem que tenhamos consciência. Os números decimais, também conhecidos como números com vírgulas, possuem uma parte inteira e uma parte fracionária ou decimal (também conhecida como casa decimal). A parte decimal pode ser exata, com uma quantidade finita de casas, ou não exata, com uma quantidade infinita de casas. O números decimais não exatos podem ser periódicos ou aperiódicos, mas esta classificação, embora muito importante no estudo da Matemática, não tem muita relevância para quem simplesmente vai utilizar esses números. O mais comum é que se trabalhe com números com poucas casas decimais - normalmente duas casas. Para essa adequação do número decimal usam-se, normalmente, dois procedimentos: TRUNCAMENTO e ARREDONDAMENTO. O truncamento ocorre quando simplesmente são desprezadas algumas casas decimais. O número é cortado a partir de certo algarismo. Não é um procedimento recomendado. Arredondamento, como o nome indica, é a transformação de um número em outro uma unidade maior ou menor. Para o arredondamento adota-se o seguinte procedimento: a) quando o primeiro algarismo a ser abandonado for menor do que 5, deixa inalterado o que permanecer; b) quando o primeiro algarismo a ser abandonado for maior ou igual a 5, acrescenta-se uma unidade ao que permanecer; c) Nunca se deve fazer arredondamentos sucessivos. Por exemplo: 2,73 2,7 3,0 é um procedimento errado. d) Quando é processada uma adição de números arredondados ocorre certa diferença na soma, para mais ou para menos. Normalmente para menos. Nesse caso recomenda-se que seja feita a compensação. Abaixo estão alguns exemplos do que foi exposto: Nº Trunc. p/ 1 casa decim. Arred. p/ 1 casa decim. Trunc. p/ 2 casas decim. Arred. p/ 2 casas decim. Trunc. p/ o inteiro. 2, ,8 2,9 2,87 2,88 2,0 3,0 2, ,8 2,8 2,84 2,84 2,0 3,0 2, ,8 2,9 2,85 2,86 2,0 3,0 2,855 2,8 2,9 2,85 2,86 2,0 3,0 2,8355 2,8 2,8 2,83 2,84 2,0 3,0 2,8455 2,8 2,8 2,84 2,84 2,0 3,0 2, ,2 2,3 2,26 2,27 2,0 2,0 O simples truncamento não é um procedimento recomendado. EM NOSSOS TRABALHOS USAREMOS SEMPRE O ARREDONDAMENTO. Arred. p/ o inteiro. Exercícios Efetue o arredondamento dos seguintes números para duas casas decimais: a) 16, b) 23, c) 39, d) 6, e) 6, f) 1, g) 7, h) 2,5576 i) 2,5536 Farmácia e Enfermagem 2008B 7

8 OBSERVAÇÕES: Em nossas atividades estaremos adotando as seguintes regras arbitrárias: a) As freqüências relativas, quando em forma decimal, serão arredondadas para 2 ou 3 casas decimais e, quando em porcentagem, se necessário, para 1 ou 2 casas decimais apenas. b) Os arredondamentos da média, mediana, desvio padrão, etc.,quando necessário, serão todos para não mais do que duas casas decimais. c) Nos cálculos de proporcionalidade, se a variável quantitativa for discreta estaremos arredondando para o inteiro e, se for contínua, para, no máximo, duas casas decimais, quando necessário. d) Nos quadros, as freqüências relativas, deverão sempre permanecer em representação decimal. A transformação para um número com o símbolo % fica reservada para textos ou gráficos. A representação decimal facilita os cálculos posteriores. ATIVIDADES: a)consulte um dicionário sobre o significado da palavra arbitrário. b)consulte um livro de estatística sobre o significado das palavras: variável quantitativa discreta, variável quantitativa contínua e variável qualitativa. c)o professor escreveu 10 números no quadro e pediu que os alunos calculassem a média. Não sabemos quais foram os números escritos, sabemos apenas que o menor deles era o 7 e o maior, 15. Avalie agora as médias encontradas pelos alunos e assinale a letra (a) se achar que pode estar certa, (b) se achar que está errada e (c) se achar que não dá para opinar. As respostas dos alunos foram: Aluno A: a média é 17 ( a ) ( b ) ( c ) Aluno B: a média é 11 ( a ) ( b ) ( c ) Aluno C: a média é 7 ( a ) ( b ) ( c ) Aluno D: a média é 7,5 ( a ) ( b ) ( c ) Aluno E: a média é 13 ( a ) ( b ) ( c ) d) Taxa de glicose sanguínea dos alunos da turma C de Enfermagem, em 07/11/06-8h da manhã. Calcule a taxa média. Identificação do (a) acadêmico(a) A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W Sexo F F F M M F F F F F F F F F F F F F F F F F F Mg/dl de glicose Respostas dos exercícios 1) 15,25 2) 9, 25 3) 5 4) 10 5) 4,5 6) 4,24 7)15,33 8) 2,58 9) 2,75 10) 13 11) 6 12)4,54 13) 6,44 Para pensar: 1) não 2) não, ela serve para representar o grupo 3) 36º, não 4) peso é uma freqüência hipotética, isto é, supõe-se que a primeira nota tenha se repetido duas vezes e a segunda nota tenha se repetido 3 vezes. Freqüência: A2) a) 3 b) 1 c) 2 d)2 e) 3 B2) recomenda-se ordenar os números na ordem crescente a) 2 b)5 c) 8 Exercícios com porcentagem: 3) 20% 4)27,5% 5) 31,8% 6) 28,6% 7a)7,2 7b)43,7% (7/16) 7c) 6/16=37,5% 7d) 6,2% (1/16) 7e) 43.7%(7/16) 7f)4/16=25% 7g) 62,5% 7h) 25% 7i) 31,3% Farmácia e Enfermagem 2008B 8

9 8) a) 4,2% b) 4,1% c) 104,2% d) 95,9% Freqüência relativa: A2) a)25% b) 8,3% c) 16,7% d) 16,7% e)255 B2) a) 25% b) 66,7% c) 91,7% Arredondamentos: c) 40,00 f)1,90 h) 2,56 i) 2,55 Farmácia e Enfermagem 2008B 9