22.1 CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS QUANTO AO NÚMERO DE LADOS

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1 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B DIVISÃ DA CIRCUNFERÊNCIA EM PARTES IGUAIS Dividir a circunferência em partes (ou arcos) iguais é o mesmo que construir polígonos regulares. Isso porque os pontos que dividem uma circunferência num número n (n>2) qualquer de partes iguais são sempre vértices de um polígono regular inscrito na mesma. Se dividirmos uma circunferência em n partes iguais, teremos também a divisão da mesma em 2n partes, bastando para isso traçar bissetrizes. Existem processos exatos e aproximados para a divisão da circunferência. Se existe um processo exato para divisão da circunferência este deve ser utilizado (e não um aproximado) CLASSIFICAÇÃ DS PLÍGNS QUANT A NÚMER DE LADS Número de Polígono lados 1 não existe 2 não existe 3 triângulo 4 quadrilátero 5 pentágono 6 hexágono 7 heptágono 8 octógono 9 eneágono 10 decágono 11 undecágono 12 dodecágono 13 tridecágono 14 tetradecágono 15 pentadecágono 16 hexadecágono 17 heptadecágono Número de Polígono lados 18 octodecágono 19 eneadecágono 20 icoságono 25 pentacoságono 30 triacontágono 40 tetracontágono 50 pentacontágono 60 hexacontágono 70 heptacontágono 80 octacontágono 90 eneacontágono 100 hectágono 1000 quilógono megágono 109 gigágono googólgono circunferência Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir:

2 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B 168 Dezenas e Unidades sufixo 1 -hena- 20 icosi- 2 -di- 30 triaconta- 3 -tri- 40 tetraconta- 4 -tetra- 50 pentaconta- -kai- 5 -penta- gono 60 hexaconta- 6 -hexa- 70 heptaconta- 7 -hepta- 80 octaconta- 8 -octa- 90 enneaconta- 9 -enea- Assim, um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira: Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono tetraconta- -kai- -di- -gono tetracontakaidigono polígono de 50 lados da seguinte forma: Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono pentaconta- -gono pentacontagono 22.2 PRCESSS EXATS Dividindo a circunferência em n partes iguais, estamos dividindo o ângulo central de 360 o em n partes também iguais. Logo, o ângulo cêntrico (vértice no centro e lados passando por vértices consecutivos do polígono) correspondente à divisão da circunferência em n partes iguais medirá 360 o /n. lado de um polígono regular de n lados é denotado por l n. \bservação: l n l 2 2 n

3 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B 169 1) Dividir uma circunferência em n = 2, 4, 8, 16,... = 2.2 m partes; m N Medida do l 4 numa circunferência de raio r é l 4 = r 2. n Ângulo Cêntrico Polígono Regular o 2 arcos capazes de 90 o 4 90 o Quadrado 8 45 o ctógono 16 22,5 o Hexadecágono 2) Dividir uma circunferência em n = 3, 6, 12,... = 3.2 m partes; m N Medida do l 6 numa circunferência de raio r é l 6 = r. Medida do l 3 numa circunferência de raio r é l 3 = r 3.

4 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B 170 n Ângulo Cêntrico Polígono Regular o Triângulo equilátero 6 60 o Hexágono o Dodecágono 3) Dividir uma circunferência em n = 5, 10, 20,... = 5.2 m partes; m N Propriedade: lado do decágono regular inscrito numa circunferência é o segmento áureo do raio. u seja, l 2 10 = r.(r-l 10 ). Medida do l 10 numa circunferência de raio r é l 10 = r( 5-1)/2. Propriedade: Para uma mesma circunferência, o l 5 é hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são o l 6 e l 10. Medida do l 5 numa circunferência de raio r é l 5 = 5 r ( 2 5 ) 1/ 2

5 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B 171 n Ângulo Cêntrico Polígono Regular 5 72 o Pentágono o Decágono o Icoságono 4) Dividir uma circunferência em n = 15, 30, 60,... = 15.2 m partes; m N n Ângulo Cêntrico Polígono Regular 15 24o Pentadecágono 30 12o Triacontágono

6 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B 172 Exercícios 1. Construir os polígonos regulares de n lados sendo dado a medida do lado l. a) n = 3 b) n = 4 c) n = 5 d) n = 6 e) n = 8 f) n = 10

7 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B Construir ângulos de 48 o, 24 o, 12 o, 144 o, 72 o e 36 o.

8 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B Construir um pentágono regular dado o seu semiperímetro p = 10cm. 4. Construir um pentagrama, dado a medida l do lado PRCESSS APRXIMADS Foram vistos processos para a divisão da circunferência em n partes iguais, por exemplo, para n igual a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15,... É possível dividir uma circunferência em 7, 9, 11, 13,... partes iguais, completando a primeira seqüência, porém estas divisões são aproximadas. Para determinar o erro teórico que se comete nas construções aproximadas determina-se o lado de um polígono regular de n lados em função do ângulo central (ou cêntrico) correspondente, ou seja, l n vale: l n = 2 r sen n

9 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B 175 1) Dividir uma circunferência em n = 7, 14, 28,... = 7.2 m partes; m N Medida do l 7 numa circunferência de raio r é l 7 = l 3 /2 = r 3 /2 0,86602 r Medida do l 7 numa circunferência de raio r é l 7 = 2r sen(180 o /7) 0,86776 r Erro teórico cometido: εt = l 7 - l 7 = -0,00174 r u seja, o erro é por falta e da ordem de dois milésimos, pois 0,0017 0,002 n Ângulo Cêntrico Polígono Regular 7 51,4 o... Heptágono 14 25,7 o... Tetradecágono

10 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B 176 2) Dividir uma circunferência em n = 9, 18, 36,... = 9.2 m partes; m N Medida do l 9 numa circunferência de raio r é l 9 = r - (r 3 - r 2) 0,68216 r Medida do l 9 numa circunferência de raio r é l 9 = 2r sen(180 o /9) 0,68404 r Erro teórico cometido: εt = l 9 - l 9 = -0,00188 r u seja, o erro é por falta e da ordem de dois milésimos, pois 0,0018 0,002. n Ângulo Cêntrico Polígono Regular 9 40 o Eneágono o ctadecágono

11 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B 177 3) Dividir uma circunferência em n = 11, 22, 44,... = 11.2 m partes; m N Medida do l 11 numa circunferência de raio r é l 11 = r 5/4 0,55901 r Medida do l 11 numa circunferência de raio r é l 11 = 2r sen(180 o /11) 0,56346 r Erro teórico cometido: εt = l 11 - l 11 = -0,00445 r u seja, o erro é por falta e da ordem de quatro milésimos. n Ângulo Cêntrico Polígono Regular 11 32,7 o... Undecágono 22 16,3 o... Icosikaidigono

12 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B 178 4) Dividir uma circunferência em n = 13, 26, 52,... = 13.2 m partes; m N Medida do l 13 numa circunferência de raio r é 2r 17 l 13 = 0,48507 r 17 Medida do l 13 numa circunferência de raio r é l 13 = 2r sen(180o/13) 0,47863r Erro teórico cometido: εt = l 13 - l 13 = 0,00644r u seja, o erro é por excesso e da ordem de seis milésimos. n Ângulo Cêntrico Polígono Regular 13 27,69 o... Tridecágono 26 13,84 o... Icosikaihexagono

13 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B 179 5) Dividir uma circunferência em n = 15, 30, 60,... = 15.2 m partes; m N Medida do l 15 numa circunferência de raio r é l 15 = r 2 - r 0,41421r Medida do l 15 numa circunferência de raio r é l 15 = 2r sen(180o/15) 0,41582r l Erro teórico cometido: εt = 15 l - 15 = -0,00161 r u seja, o erro é por falta e da ordem de aproximadamente dois milésimos. bservação: Apesar de existir um processo exato que forneça o l 15, nota-se que este implica em muitos erros gráficos. processo aproximado para a obtenção do l 15, a construção do l 15 dada acima, obtem melhores resultados graficamente.

14 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B 180 Exercício: Construir os polígonos regulares de n lados sendo dado a medida do lado l. n = 7 n = 9 n = 11 n = 15

15 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B PRCESSS GERAIS Quando se propõe uma divisão da circunferência em n partes iguais, se existir um processo exato, este deverá sempre ser utilizado. Nos casos em que não exista tal processo, pode-se utilizar os anteriores ou os gerais isto é, para qualquer número de partes aplica-se um mesmo procedimento Processo de Rinaldini

16 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B Processo de Bion

17 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B Processo de Tempieri

18 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B PLÍGNS ESTRELADS Definições: 1) Polígono estrelado é um polígono cujos ângulos são alternadamente salientes e reentrantes, e cujos lados pertencem a uma linha poligonal fechada que é percorrida sempre no mesmo sentido. 2) Polígono regular estrelado é aquele que se forma de cordas iguais e onde há lados iguais e ângulos iguais. Propriedade: Pode-se obter tantos polígonos estrelados de n vértices quantos números p há, exceto a unidade, menores que a metade de n e primos com n. Processo Geral de Construção: Para obter um polígono regular estrelado de n vértices, deve-se dividir a circunferência em n partes iguais, e unir os pontos de divisão de p em p, sendo que p < n/2, p 1 e p e n primos entre si. Exercícios: 1. Construir os polígonos estrelados de n lados. a) Para n=7 3;2;1 < 7/2 = 3,5 p=3;2

19 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B 185 b) Para n=15 7;6;5;4;3;2;1 < 15/2 = 7,5 p=7;4;2 c) Para n=8 3;2;1 < 8/2 =4 p=3

20 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B Dada uma circunferência de centro e raio r=3cm, construir os seguintes polígonos regulares estrelados: a) Pentágono (n=5, p=2) b) ctógono (n=8, p=3) c) Decágono (n=10, p=3)

21 CD 031 DESENH GEMÉTRIC I TURMA B Quantos polígonos regulares estrelados distintos podem ser traçados quando uma circunferência está dividida em 20, 24, 30 e 36 partes iguais? 4. Construir o pentágono regular estrelado dado a medida a=4cm do seu lado.