CPV seu Pé Direito no INSPER

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1 CPV seu Pé Direito no INSPER INSPER Resolvida 6/junho/06 Modelo A ANÁLISE QUANTITATIVA E LÓGICA 0. A pavimentação indicada na fotografia possui simetria rotacional de 90º e é formada por quadrados, círculos e figuras com a forma. Em relação ao desenho feito sobre a fotografia, sabe-se que A, B, C e D são centros dos círculos, e que BM = MN = m. A P M B N Q Fotografia da calçada do Palácio Galveias, em Lisboa, Portugal. Em um plano totalmente recoberto por reproduções completas do quadrado ABCD indicado na figura, a razão entre a área preenchida com ladrilhos pretos e a área preenchida com ladrilhos brancos é igual a D Construímos a figura acima, na qual podemos dizer que: a diagonal do quadrado ABCD é 6; o lado do quadrado menor é ; a diagonal do quadrado intermediário é 4. Portanto: AB = 6 Þ AB = 3 PQ = MX = 4 Þ MX = X C a) 0 π 4 + π Área branca = Área círculo +. Área quadrado Área branca = π. +. ( ) = π + 4 b) 4 π 4 + π c) 0 + π 4 π d) 4 + π 4 π e) 0 π 4 π Área preta = 4. (Área trapézio BMXC 4. Área círculo) + + área quadrado intermediário = = 4. [ ( 3 + ). Área preta = 0 π + 4 = 4 π 4 π. ] + ( ) A razão entre a área preenchida com ladrilhos pretos e a área preenchida com ladrilhos brancos é 4 π 4 + π Ȧlternativa B CPV INSPERJUN06

2 INSPER 6/06/06 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades 0. Se x + y + z = xy + xz + yz = 6, então um possível valor para a soma x + y + z é a) 6. b). c) 3. d) 3. e) 3 3. (x + y + z) = x + y + z +. (xy + xz + yz) (x + y + z) = (x + y + z) = 8 x + y + z = 3 Alternativa D 03. Um tanque, inicialmente vazio, tem a forma de prisma triangular regular e suas paredes têm espessuras desprezíveis. Após algum tempo despejando água no tanque, um cano de vazão 3 3 m 3 por minuto o encheu parcialmente, tendo a água ocupado o espaço de um prisma triangular regular, conforme indicado na figura. Funcionando na mesma vazão, o tempo necessário para que o cano acabe de encher o tanque é de 5 minutos e t segundos, sendo que t é um número no intervalo a) [, ]. b) [3, 4]. c) [5, 36]. d) [37, 48]. e) [49, 59]. Para encontrar a área da base do prisma, usaremos a altura do triângulo equilátero. Observe: h = L 3 A área da base é A = ( 3) 3 4 Temos então L = = 3 3 m. Þ 3 = L 3 O volume do tanque é V = = 8 3 m 3. 3 m Utilizando o mesmo raciocínio, podemos concluir que o volume já preenchido do tanque é: = l 3 3 m 3 O lado do triângulo pequeno é l = 3 3 m. A área da base é A = ( 3 3 ). O volume já cheio do tanque é V = O volume que falta ser preenchido é: V V = = 6 3 m = 3 3 m = 3 m3. Como a vazão é de 3 3 m 3 por minuto, temos: = 6 3 = = minutos. Um terço de minutos é, em segundos: t = 3 l. 60 = 0 L 3 O intervalo onde t = 0 se encontra é [3, 4]. Alternativa B CPV INSPERJUN06

3 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 6/06/ É possível demonstrar que o polinômio P(x) = x + x + é uma boa aproximação da função f (x) = e x para valores de x próximos de zero. Usando essa informação, o valor aproximado de 0 e é a),05. b),06. c) 0,78. d) 0,60. e) 0, Quatro moedas de 5 centavos e quatro de 50 centavos são misturadas ao acaso e colocadas em uma fila. A probabilidade de que a primeira e a última moeda dessa fila sejam de 50 centavos é igual a a) 7. b) c) d) 5. Se f (x) = e x, então: f ( 0) = e 0 = 0 e e) 9 5. Assim, usando o polinômio P (x) = x + x +, temos: P ( 0) = ( 0) P ( 0) = = = 00 =,05 Logo, um valor aproximado de 0 e é,05. Alternativa A Temos: E: número de maneiras de se colocar em fila as 8 moedas n (E) = P 8 4,4 = 8! 4! 4! = = 70 A: ocorrer uma moeda de 50 centavos na a e última posição da fila. n (A) = P 6,4 = 6!! 4! = 6. 5 = 5 Assim, a probabilidade procurada é: P (A) = 5 70 = 3 4 Alternativa C INSPERJUN06 CPV

4 4 INSPER 6/06/06 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades 06. O número de pares ordenados (x, y) tais que x e y pertençam ao conjunto{, 3, 5, 7,..., 999}, com x > y, é igual a a) b) c) d) e) No plano cartesiano ortogonal de origem O(0, 0) estão representadas: uma circunferência λ, tangente à reta r em T e ao eixo das ordenadas; o triângulo retângulo OAT, com A(6, 0) e um ângulo externo de medida 0º. Sabe-se, ainda, que r passa pela origem do plano. O número de elementos do conjunto {, 3, 5, 7,..., 999} é dado por: 999 = + (n ). Þ n = 000 O total de pares ordenados (x; y) com x > y é dado por: C 000, = = Alternativa C Nas condições dadas, o raio de λ tem medida igual a a) 5. b). c) 3. d) 3 6. e) 6 3. y B C 60º r T Da figura, temos: Δ OBC Δ OTA (A L A) Logo, o Δ AOC é equilátero e o raio de λ é: r = BC = OM = 3 30º 30º 0º 30º 60º O M A(6,0) x Alternativa C CPV INSPERJUN06

5 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 6/06/ Em uma malha, formada por quadrados de lado medindo cm, foram traçados dois segmentos paralelos, tendo um deles 7 pontos em destaque, e o outro 6, conforme indica a figura. 09. Das afirmações a seguir, apenas uma é falsa. I. André é mais velho do que Bruno; II. Cláudio é mais novo do que Bruno; III. A soma das idades de Bruno e Cláudio é igual ao dobro da idade de André; IV. Cláudio é mais velho do que André; V. Diego tem um ano a menos do que André. Se todas as idades são números inteiros e duas pessoas não têm a mesma idade, então, necessariamente, Um quadrilátero deve ser desenhado sobre essa malha de maneira que tenha os quatro vértices dentre os 3 pontos destacados dos segmentos. O quadrilátero deverá ter apenas um par de lados paralelos, e área igual a cm. O total de quadriláteros diferentes que podem ser desenhados atendendo às condições estabelecidas é igual a a) 9. b). c) 9. d) 3. e) 33. Como o quadrilátero terá apenas um par de lados paralelos e área igual a cm, o quadrilátero será um trapézio de bases B e b e altura 4, portanto: (B + b). 4 = Þ B + b = 6 Para a soma das bases ser 6 cm, precisamos de dois pontos no segmento de cima e dois pontos no segmento de baixo que distam: a) André é o mais velho dos quatro. b) Bruno é o mais novo dos quatro. c) Diego é o mais novo dos quatro. d) Bruno é mais velho do que Cláudio. e) Bruno é mais velho do que Diego. Se I é falso, temos: II. C > B III. B + C = A Þ A = B + C IV. A < C (contraria a conclusão de II e III) Se II é falso, temos: I. B < A III. B + C = A Þ A = B + C IV. A < C V. D = A C < A < B B < A < C Assim, B < D < A < C, ou seja, Bruno é o mais novo dos quatro. Alternativa B em cima embaixo quadriláteros 5 cm cm 4. = 8 4 cm cm. = 4 cm 4 cm 4. = 8 cm 5 cm. = Portanto, = quadriláteros diferentes. Alternativa B INSPERJUN06 CPV

6 6 INSPER 6/06/06 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades 0. Quinze bolas esféricas idênticas de bilhar estão perfeitamente encostadas entre si, e presas por uma fita totalmente esticada. A figura mostra as bolas e a fita, em vista superior.. Em um grupo de 000 pessoas, 70,0% possuem geladeira, 85,0% possuem aparelho celular e 45,% possuem automóvel. O menor número possível de pessoas desse grupo que possuem geladeira, aparelho celular e automóvel é igual a a) 4. b) 6. c) 8. d) 0. e). A medida do raio de uma dessas bolas de bilhar, em centímetros, é igual a a) 4 3. b) 3 +. c) 3 3. d) 3 3. e) 3. altura = r Sendo: U: conjunto do grupo total de pessoas G: conjunto do grupo de pessoas que possuem geladeira C: conjunto do grupo de pessoas que possuem celular A: conjunto do grupo de pessoas que possuem automóvel Temos: n (U) = 00% n (G) = 85% e n (G) = 5% n (C) = 70% e n (C) = 30% n (A) = 45,% e n (A) = 54,8% Assim, a menor porcentagem do grupo de pessoas que possuem, geladeira, celular e automóvel é dada por: n (U) (n(g) + n (C) + n (A)) = G C Unindo os centros das bolas das extremidades, é possível formar um triângulo equilátero. Pela fórmula da altura do triângulo equilátero h = l 3 temos: r = (8r) 3 Þ r = 4r Þ = r (4 3 + ) Þ r = Þ r = (4 3 ) lado = 8r = (4 3 ) 44 3 Þ. (4 3 ) (4 3 ) Þ = 4 3 A medida do raio de uma bola de bilhar é = 3 3 cm. Alternativa E = 00% 99,8% = 0,% Logo, como o grupo possui 000 pessoas, temos 0,% de 000 = 4 A Alternativa A CPV INSPERJUN06

7 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 6/06/06 7. Na reunião de planejamento estratégico de uma empresa, na qual compareceram 30 pessoas, nem todos os participantes se cumprimentaram. Se cada um dos homens cumprimentou apenas 6 mulheres e cada uma das mulheres cumprimentou apenas 4 homens, podemos concluir que o número de mulheres presentes foi a) 0 b) 8 c) 6 d) 4 e) Sejam: H + M = 30 (I) H: número de homens M: número de mulheres Sabendo que o número total de apertos de mão dados entre mulheres e homens e entre homens e mulheres é igual, temos: 6. H = 4. M H = 3 M (II) Substituindo (II) em (I): 3 M + M = 30 5 M = 90 Texto para as questões 3 e 4. Matrizes de Vandermonde são matrizes quadradas em que os elementos ao longo de cada linha formam progressões geométricas de primeiro termo igual a, não necessariamente com a mesma razão para cada linha. Por exemplo, a matriz B a seguir, de ordem 4, é de Vandermonde: B = Seja V uma matriz de Vandermonde de ordem 3 em que a PG formada com os elementos da a linha tem razão, a PG formada com os elementos da a linha tem razão 3 e a PG formada com os elementos da 3 a linha tem razão O determinante da matriz V é igual a a) 6. b) 0. c) 6. d) 0. e) 36. Temos V = , cujo determinante é 0. Alternativa D M = 8 Alternativa B INSPERJUN06 CPV

8 8 INSPER 6/06/06 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades 4. Considere a matriz X, do tipo 3 x, tal que V. X = a b, c 5. Um paralelepípedo reto-retângulo de arestas medindo 3, 4 e 5 está representado no sistema ortogonal xyz, como mostra a figura. sendo a, b e c constantes reais. O valor do elemento que ocupa a a linha de X é necessariamente igual a a). b) a + c. c) 0. d) a c 4. e) b + c. Temos que x + y + 4z = a x + 3y + 9z = b x y + 4z = c. x y z = (I) (II) (III) Equação (I) (III): 4y = a c Þ y = a c 4 a b c Alternativa D Considere cada ponto desse sistema como uma terna (x, y, z), representada matricialmente por meio do vetor x coluna y. Sendo assim, z a solução da equação matricial 3 3,5. x 0,5 = y z representa, nesse sistema de eixos, um ponto pertencente à a) região interior ao paralelepípedo. b) região exterior ao paralelepípedo. c) face ABFE do paralelepípedo. d) face CBGF do paralelepípedo. e) face DCGH do paralelepípedo. Temos: 3 3,5. 0,5 = 4 3,5 3 Para x = 4, y = 3,5 e z = 3, o ponto (x; y; z) encontra-se sobre a face DCGH. Alternativa E CPV INSPERJUN06

9 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 6/06/ Cada lado do polígono indicado na figura mede 0 cm e seus ângulos internos têm medidas de 45º, 90º, 35º e 70º, como mostra a figura. A área desse polígono, em cm², é igual a a) 500. b) 450. c) 400. d) 350. e) 300. Separando um dos losangos da figura, temos: A losango = sen 45 = 50 Como a figura é formada por 0 losangos iguais, temos que a área total é = 500 cm. Alternativa A 7. Em um torneio de xadrez disputado por sete mulheres, cada uma joga com cada uma das outras uma única vez. Em cada partida, a ganhadora acumula pontos, a perdedora acumula zero ponto e, em caso de empate, cada jogadora acumula ponto. A tabela a seguir indica todos os resultados do torneio, exceto o resultado da última partida, entre Elisa e Fernanda, que ainda não foi disputada. Nome Partidas jogadas Partidas ganhas Partidas empatadas Partidas perdidas Pontos acumulados Ana Bianca Camila Daniela Elisa 5 4 Fernanda Gabriela A partida ganha por Elisa, que está indicada na tabela, foi sobre a) Gabriela. b) Daniela. c) Camila. d) Bianca. e) Ana. I. Elisa teve dois empates, Camila e Gabriela tiveram um empate cada. Sendo assim, Elisa empatou com cada uma delas. II. Ana venceu todas as partidas e, portanto, Elisa perdeu para Ana. III. Bianca só perdeu uma partida, que foi para Ana, já que Ana venceu todas. Assim, Elisa não ganhou de Bianca. IV. Elisa e Fernanda não jogaram, logo Elisa não ganhou de Fernanda. Logo, a vitória de Elisa foi sobre Daniela. Alternativa B INSPERJUN06 CPV

10 0 INSPER 6/06/06 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades Texto para as questões 8 e Sorteando-se aleatoriamente um número real x do intervalo [0, π], a probabilidade de que ele satisfaça a desigualdade cos (x) sen (x) cos (x) é igual a a) 6. b) c) d) 4. A figura acima representa os gráficos das funções f (x) = sen (x), g (x) = cos (x), h (x) = cos (x), definidas no intervalo [0, π]. 8. O valor máximo da função d(x) = h(x) g(x) é a) 0,5. b) 0. c). d),5. e). e) 9 5. No gráfico, temos cos(x) sen(x) cos (x), no intervalo ] 5π 6 e 5π 4 [, ou seja, ele está em 5 dos 4 intervalos de π. sen x cos. x No gráfico, para x = π, temos cos x = e cos x =. Então, o valor máximo de (cos x cos x) é ( ) =. Alternativa E cos x A probabilidade de que a desigualdade seja satisfeita é 5 4. Alternativa C CPV INSPERJUN06

11 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 6/06/06 Texto para as questões 0 e. Sejam x e y dois números reais positivos. Definimos as seguintes médias: média aritmética, denotada por MA (x, y), calculada como a metade da soma entre x e y; média geométrica, denotada por MG (x, y), calculada como a raiz quadrada do produto entre x e y; média harmônica, denotada por MH (x, y), calculada como o inverso da média aritmética entre os inversos de x e y; 0. Em um concurso público, o critério de classificação é obter nota final maior ou igual a 0, em uma escala de 0 a 6. A nota final é calculada como a média geométrica entre duas notas: a da prova de conhecimentos gerais e a da prova de conhecimentos específicos, ambas na mesma escala de 0 a 6. As provas são aplicadas em dias diferentes, sendo a primeira de conhecimentos gerais. De acordo com o critério descrito, existe uma nota mínima a ser atingida nessa prova, caso contrário o candidato estará automaticamente desclassificado, independentemente da nota que venha a tirar na prova de conhecimentos específicos. O valor dessa nota mínima é a) 0 b) 5,75 c) 6,00 d) 6,5 e) 0,00. Sejam a e b dois números reais e positivos tais que MH (a, b) = A. O valor de a em função de b e a condição que se deve impor sobre o valor de b para que isso aconteça são, respectivamente, a) b) c) Ab b A e b > A Ab b A e b < A A e b > A d) A e b < A e) a = A b e b > 0 Devemos ter: A = a + Þ a + b = A Þ a = A b Þ b a = b A Ab a = Þ A b > 0 b > A Ab b A Alternativa A A nota mínima X da primeira prova deverá considerar a nota máxima da segunda prova para que o candidato consiga uma média geométrica mínima igual a 0. Assim, temos: x. 6 0 Þ x 6,5 Alternativa D INSPERJUN06 CPV

12 INSPER 6/06/06 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades Texto para as questões e 3. A figura a seguir exibe um trecho do gráfico da função f cuja lei é f (x) = x Um veículo, após ser retirado da concessionária, passa a sofrer uma desvalorização de 5% ao ano. Dessa forma, 9 anos após a saída da concessionária, a desvalorização total do veículo terá sido de, aproximadamente, a) 50% b) 40% c) 30% d) 0% e) 0% Temos: v f = v 0 (0,95) 9 Pelo gráfico, temos (0,95) 3 ~ 0,85 e (0,85) 3 ~ 0,6. Portanto (0,95) 9 = [(0,95) 3 ] 3 ~ (0,85) 3 ~ 0,6 = 60%, que representa uma desvalorização de 40%. Alternativa B. Uma mercadoria teve seu valor reajustado, sofrendo um desconto de 0%. Um mês após esse desconto, ela sofreu um aumento de 0% e, após outro mês, outro aumento de 5%. Caso os reajustes fossem todos de mesmo valor percentual, para que o efeito final sobre o preço da mercadoria fosse o mesmo, seriam necessários três a) aumentos de, aproximadamente, 0%. b) aumentos de, aproximadamente, 4%. c) aumentos de, aproximadamente, 6%. d) descontos de, aproximadamente, 4%. e) descontos de, aproximadamente, 5%. Temos: V. 0,8.,.,5 = V ( + i) 3 Þ ( + i) = 3, Pelo gráfico, temos Þ i = 6%. Portanto, o mesmo efeito seria obtido com três aumentos sucessivos de aproximadamente 6%. Alternativa C CPV INSPERJUN06

13 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 6/06/06 3 Texto para as questões 4 e 5. Ao longo de um ano, a taxa de câmbio de uma moeda X em relação a uma moeda Y foi dada pela seguinte função: (t 3) f (t) =,65 +,5. cos ( π. ) sendo t o tempo, dado em meses desde o início do ano. Assim, t = 9 indica a taxa no início de outubro, que era de,65 unidades da moeda X para uma unidade da moeda Y (note que esse valor da taxa indica que no instante considerado a moeda X era menos valiosa que a moeda Y). 4. Ao longo do ano analisado, a maior taxa de câmbio da moeda X em relação à moeda Y atingida e o instante em que isso ocorreu foram, respectivamente, a),65 e início de janeiro. b),65 e início de março. c),875 e início de janeiro. d),875 e início de abril. e),875 e início de junho. (t 3) f (t) =,65 +,5. cos ( π. ) A maior taxa de câmbio ocorre quando: (t 3) cos ( π. ) = e assim f max =,65 +,5 =,875 (t 3) Como cos ( π. ) π. ( t 3 ) = kπ, k Î Z t 3 =, temos: = k Þ t 3 = 4k Þ t = 3 + 4k Para k = 0 Þ t = 3, então isso ocorreu no início de abril. Alternativa D 5. Houve um intervalo de tempo ao longo do ano considerado em que a moeda X deixou de ser menos valiosa que a moeda Y. Esse intervalo teve duração de a) 5 meses. b) 4 meses. c) 3 meses. d) meses. e) mês. Para a moeda X deixar de ser menos valiosa que a moeda Y devemos ter f (t). Assim: π. (t 3) f (t) =,65 +,5. cos ( ) π. (t 3),5. cos ( π 3 π. (t 3) ) 0,65 Þ cos ( 4π 3 Þ t 9 π. (t 3) ) 0,5 Como o maior t é (início de dezembro), o único valor do intervalo possível é t = ( mês). Alternativa E INSPERJUN06 CPV

14 4 INSPER 6/06/06 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades Texto para as questões 6 e 7. Em uma disciplina de um curso de Economia, os critérios para que o aluno seja aprovado são da seguinte forma: em vez de atingir uma média mínima ao longo do curso, o aluno deve atingir requisitos mínimos em cada uma das provas. Dependendo da nota obtida na prova, o aluno estará aprovado, reprovado ou condicionalmente aprovado (em relação àquela prova). Os critérios de nota são os seguintes: O aluno faz a a prova, obtendo uma nota P : se P <, o aluno estará instantaneamente reprovado, e não poderá continuar o curso; se P < 5, o aluno deverá fazer uma avaliação suplementar, obtendo uma nota AS ; se AS < 7, o aluno estará instantaneamente reprovado, e não poderá continuar o curso; se AS 7, o aluno é condicionalmente aprovado na a prova. se P 5, o aluno é aprovado na a prova. Para os alunos que foram aprovados (condicionalmente ou não) na a prova, é aplicada uma a prova, na qual eles obtêm uma nota P : se P <, o aluno estará instantaneamente reprovado, e não poderá continuar o curso; se P < 5, o aluno deverá fazer uma avaliação suplementar, obtendo uma nota AS ; se AS < 7, o aluno estará instantaneamente reprovado, e não poderá continuar o curso; se AS 7, o aluno é condicionalmente aprovado na a prova. se P 5, o aluno é aprovado na a prova. Se o aluno for condicionalmente aprovado em ambas as provas, ele estará reprovado no curso. Se for condicionalmente aprovado em apenas uma delas, será avaliada a frequência: caso o aluno tenha comparecido a menos de 70% das aulas, estará reprovado, sendo aprovado no caso contrário. Por fim, se o aluno for aprovado em ambas, ele estará aprovado no curso, sem análise da frequência. 6. Um aluno tirou nota P = 4,8 e fez a a prova. Quanto à sua frequência, sabendo-se que ele foi aprovado no curso, é necessariamente verdadeiro que o aluno a) compareceu a pelo menos 70% das aulas. b) compareceu a mais de 70% das aulas. c) faltou em pelo menos 30% das aulas. d) faltou em mais de 30% das aulas. e) não teve sua frequência analisada. Pelos critérios descritos, temos: P 5. O aluno deverá fazer uma avaliação suplementar, obtendo uma nota AS e sendo AS 7 e foi condicionalmente aprovado. Como o aluno foi aprovado, então compareceu a pelo menos 70% das aulas. Alternativa A 7. Sabe-se que um aluno com 80% de frequência e que fez a a prova foi reprovado no curso. Quanto às suas notas P e P, pode-se concluir que, certamente, o aluno obteve a) P < 5 e P < 5. b) P 5 e P <. c) P qualquer e P <. d) P < 5 e P <. e) P e P < 5. Para um aluno ser aprovado no curso tendo feito a a prova, temos os seguintes casos:. P < 5 e AS 7 (aprovado condicionalmente na primeira) P < (reprovado). P < 5 e AS 7 (aprovado condicionalmente na primeira) P < 5 e AS < 7 (reprovado) 3. P < 5 e AS 7 (aprovado condicionalmente na primeira) P < 5 e AS 7 (aprovado condicionalmente na segunda) Ou seja, reprovado por ter sido aprovado condicionalmente em ambas 4. P 5 (aprovado na primeira) P < (reprovado) 5. P 5 (aprovado na primeira) P < 5 e AS < 7 (reprovado) Portanto, em todos os casos concluímos que o aluno obteve P e P < 5. Alternativa E 8. Considere as seguintes proposições: Quem espera sempre alcança Esperar é uma virtude de todo sábio Se ambas as proposições forem verdadeiras, pode-se concluir que a) quem não é sábio, nunca alcança. b) quem espera é sábio. c) os sábios sempre alcançam. d) quem alcança é sábio. e) mesmo sendo sábio, não se alcança. Baseado nas duas afirmações, podemos construir o seguinte diagrama: Logo, concluímos que quem é sábio sempre alcança. alcançar esperar sábio Alternativa C CPV INSPERJUN06

15 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 6/06/06 5 Texto para as questões 9 e 30. Um fabricante de enfeites de festas infantis produz uma peça decorativa usando 4 esferas idênticas de isopor, todas de raio medindo R. Para isso, o primeiro passo da fabricação é dispor sobre uma superfície plana 9 dessas esferas, sendo a vista superior dessa disposição exibida na figura a seguir. 9. Considere uma seção plana que passe pelos centros das esferas E, E e E3. A alternativa que melhor representa essa seção é a) b) O quadrilátero tracejado exibido na figura anterior é um quadrado. Note que duas das esferas, E e E, foram destacadas. O próximo passo é dispor outras 4 esferas apoiadas sobre as da base de modo que cada uma tangencie 4 das esferas da base e das esferas da a camada. A vista superior após a execução desse passo é exibida na figura a seguir. c) Por fim, a última esfera, denotada por E3, é colocada sobre a a camada de modo a tangenciar todas as suas esferas, conforme vista superior exibida na figura a seguir. d) e) O resultado final está esquematizado em perspectiva na figura a seguir, sendo destacadas as esferas E, E e E3 mencionadas nos passos anteriores. INSPERJUN06 CPV

16 6 INSPER 6/06/06 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades 30. O produto final é acomodado em caixas com o formato de cilindro reto de altura 6R e de modo que a superfície lateral da caixa tangencie quatro das esferas da base. Assim, apenas uma parte da capacidade da caixa é efetivamente ocupada por isopor. A razão entre a capacidade da caixa e o volume ocupado pelo isopor é corte corte a) b) c) d) e) (9 4 ) 44 9 (9 + 4 ) 5 4 (9 4 ) 63 9 (9 + 4 ) 8 corte Alternativa D R A R R R B R R cil = raio do cilindro R cil = d AB + R d AB = R Portanto: R cil = R + R V cil = π ( + ) R. 6R = π (9 + 4 )R. 6R V cil = π 6(9 + 4 )R 3 V esferas = π R3 V cil π 6 (9 + 4 )R3 = = V esferas 56 3 π R3 9 (9 + 4 ) 8 Alternativa E CPV INSPERJUN06

17 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 6/06/06 7 Texto para as questões 3 e 3. Uma máquina cortadora a laser é capaz de executar duas funções: cortar e gravar. Cortar significa aplicar o laser com intensidade e por tempo suficientes para que a placa de material seja atravessada; gravar significa aplicar o laser brevemente sobre o material, de modo que sua superfície seja levemente queimada e assuma coloração mais escura que a do material. Uma gráfica oferece os serviços dessa máquina a seus clientes, cobrando da seguinte forma: R$ 0,0 por cm de gravação R$ 0,50 por cm de corte O material fica por conta do cliente, que deve levar a placa em tamanho compatível com a cortadora. 3. A dona de uma sorveteria decidiu fazer um enfeite no formato de um picolé, como mostra a figura a seguir. Para o serviço de corte devemos somar os seguintes comprimentos: ABC + CD + DE + EF + GF + HG + HI + AI Assim, o total será: π = 75 cm (com π 3) Para o serviço de gravação temos que calcular as áreas do retângulo ACDI e do semi-círculo de centro O. Área do retângulo = 0. 5 = 50 cm Área do semi-círculo = π. 5 = 37,5 cm Área total = ,5 = 87,5 cm Sabe-se que: ABO é um arco de circunferência de diâmetro AC; ACDI é um retângulo tal que DI = 0 cm e AI = 5 cm; EFGH é um retângulo tal que o lado HE está contido no segmento DI e os pontos médios de HE e DI coincidem. HE = cm e HG = 0 cm. Para obter tal enfeite, a máquina precisou executar serviços tanto de corte, quanto de gravação. A partir da placa de madeira que a dona da sorveteria levou, cortou-se o contorno da figura (que exclui o segmento HE) e gravou-se a região destacada em cinza. Considerando-se π = 3, o valor cobrado para executar tal serviço deve ser igual a a) R$ 0,00. b) R$ 35,00. c) R$ 37,50. d) R$ 75,00. e) R$ 77,00. Os custos são: Gravação = 87,5. 0, = 37,50 Corte = 75. 0,5 = 37,50 Total = R$ 37,50 + R$ 37,50 = R$ 75,00 Alternativa D INSPERJUN06 CPV

18 8 INSPER 6/06/06 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades 3. Um cliente deseja executar um serviço que envolve tanto corte, quanto gravação. Para isso, coloca a figura em um plano cartesiano e escreve equações e inequações que a descrevem. O contorno que será cortado é dado pelas seguintes equações: Contorno x + y = 4, x Î [ ; ] e y 0 y = x, x Î [ ; 0] y = x, x Î [0; ] x + y = 4, com x Î [, ] e y ³ 0 y = x, com x Î [, 0] y = x, com x Î [0, ] x + y = 4 y = x Já a região gravada é descrita pelas seguintes inequações: x + y, com x ³ 0 e y ³ 0 x + y 4, com x 0 e y ³ 0 Dentre as alternativas a seguir, a que melhor representa o serviço executado é a) b) y = x Região I: x + y, x 0 e y 0 Região II: x + y 4 x 0 e y 0 II I c) d) Alternativa A e) CPV INSPERJUN06

19 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 6/06/06 9 Texto para as questões 33 e 34. A figura exibe os gráficos das funções f e g, ambas de domínio ]0, π], cujas leis são, respectivamente: d) f(x) = + sen x e g(x) = log x. e) 33. A figura que melhor representa o gráfico da função m, cuja lei é m(x) =. f(x), é a) m (x) = f (x) e f (x) = + sen x b) f (x) = + sen x f (x) = + sen x f (x) = + sen (x) Logo, m (x) = f (x) = + sen x Logo, m (x) = + sen x Então: 0 m (x) e T = π = π c) O gráfico pedido é o primeiro. Alternativa A INSPERJUN06 CPV

20 0 INSPER 6/06/06 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades 34. A figura que melhor representa o gráfico da função h, cuja lei é h(x) = g(f (x)), é e) a) b) Dado que h (x) = g (f (x)) então h (x) = log ( + sen x ) Observa-se que + sen x 0 Þ sen x Logo, em x Î ]0, π] Þ x 3π A única alternativa em que x 3π é a E. Alternativa E c) d) CPV INSPERJUN06

21 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 6/06/ Após a administração de um antibiótico, a população de bactérias causadoras de uma infecção passa a diminuir a uma taxa de 0% por hora. Se a população inicial de bactérias é dada por B 0, o gráfico que melhor representa t, o tempo decorrido em horas após a administração do antibiótico, em função de B, o número de bactérias ainda presentes na infecção, é e) a) População de bactérias: y = B 0 0,9 t log 0,9 y = log 0,9 (B 0. 0,9 t ) Þ Þ log 0,9 y log 0,9 B 0 = log 0,9 0,9 t Þ b) Þ log 0,9 y B 0 = t log 0,9 0,9 Þ t = log 0,9 y B 0 Função logarítmica decrescente em que Portanto: y > 0 t y B 0 > 0. c) B 0 B Alternativa C d) INSPERJUN06 CPV

22 INSPER 6/06/06 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades COMENTÁRIO DA PROVA DE ANÁLISE QUANTITATIVA E LÓGICA Essa prova ddo processo seletivo do INSPER junho de 06 mostrou algumas alterações em relação aos semestres anteriores. As questões tiveram enunciados mais curtos e sucintos, favorecendo sua melhor compreensão e tornando a prova menos cansativa. Ressaltamos, porém, que ainda é pequeno o espaço para rascunho, essencialmente necessário para este tipo de prova. Observe a distribuição das questões e o grau de dificuldade. MATEMÁTICA 5 Geometria Plana 3 Geometria Espacial Geometria Analítica 5 Lógica 4 Trigonometria 3 Matrizes Matemática Financeira Estatística Análise de Gráficos Exponenciais e Logaritmos Álgebra Teoria dos Conjuntos RACIOCÍNIO LÓGICO Álgebra Funções Probabilidades Análise Combinatória Geometria Analítica GRAU DE DIFICULDADE 0 Nível fácil 7 Nível médio 05 Nível difícil CPV INSPERJUN06